Este documento describe las posiciones relativas de rectas y circunferencias y las normas de tangencia. Explica que una recta puede ser tangente, secante o no tener puntos en común con una circunferencia. También describe que dos circunferencias pueden ser tangentes, secante o exteriores/interiores sin puntos en común. Además, presenta ejercicios para dibujar diferentes configuraciones de rectas y circunferencias tangentes.

1. TANGENCIAS
DIBUJO TÉCNICO 1º BACHILLERATO

2. Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
En un plano, una recta y una circunferencia pueden adoptar tres posibles
posiciones:
1. No tienen ningún punto en común.
O
r

3. 2. Tienen dos puntos en común. Son secantes.
A
O
B
r

4. 3. Tienen un solo punto en común. Son tangentes.
T
O
r

5. PRIMERA NORMA DE TANGENCIA:
Una recta tangente a una circunferencia será perpendicular al radio en el
punto de tangencia.
T
O
r

6. EJERCICIO: Trazar una recta tangente a la circunferencia O en el punto T.
O
T

7. EJERCICIO: Rectas tangentes a una circunferencia (O) y que pasen por un punto
exterior a ella (A).
T1
t1
A
M
t2
O
T2

8. Posiciones relativas de dos circunferencias
En un plano, dos circunferencias pueden adoptar tres posibles
posiciones:
1. No tienen ningún punto en común.
En este caso pueden ser:
A) Exteriores, cuando una está fuera de la otra.
O2
O1

9. Posiciones relativas de dos circunferencias
En un plano, dos circunferencias pueden adoptar tres posibles
posiciones:
1. No tienen ningún punto en común.
En este caso pueden ser:
A) Exteriores, cuando una está fuera de la otra.
B) Interiores, cuando una está dentro de la otra.
O1
O2
O1≡O2
Cuando las circunferencias interiores comparten el mismo
centro, decimos que son concéntricas.

10. Posiciones relativas de dos circunferencias
En un plano, dos circunferencias pueden adoptar tres posibles
posiciones:
2. Cuando tienen dos puntos en común, son secantes.
A
O2
O1
B

11. Posiciones relativas de dos circunferencias
En un plano, dos circunferencias pueden adoptar tres posibles
posiciones:
3. Cuando tienen un único punto en común, son tangentes.
Las circunferencias tangentes pueden ser:
A) Exteriores, una está fuera de la otra.
T
O2
O1

12. Posiciones relativas de dos circunferencias
En un plano, dos circunferencias pueden adoptar tres posibles
posiciones:
3. Cuando tienen un único punto en común, son tangentes.
Las circunferencias tangentes pueden ser:
A) Exteriores, una está fuera de la otra.
B) Interiores, una está dentro de la otra.
O2
O1
T

13. SEGUNDA NORMA DE TANGENCIA:
Dos circunferencias tangentes tienen siempre sus centros alineados con el
punto de tangencia.
T r1
O1
r2
r2
O2
T
O1O2=r1+r2
r1
O2
O1
O1O2=r2-r1
El segmento que une los centros de las circunferencias tangentes será la suma
de radios en el caso de las exteriores y la diferencia en el caso de las
interiores.

14. EJERCICIO: Circunferencias tangentes a una circunferencia (O) conocido el radio
(r) y el punto de tangencia (T).
r
O
O2 r
T
r
O1

15. EJERCICIOS DE TANGENCIAS

16. 1. Circunferencias tangentes comunes a dos rectas que se cortan
conocido el radio.
R
s
r

17. 1. Circunferencias tangentes comunes a dos rectas que se cortan
conocido el radio.
R
s
O1
T
T
T
T
R
R
O2
T
T
O4
T
T
O3
r
R
R

18. 2. Rectas tangentes comunes a dos circunferencias de distinto radio.
(Exteriores. Método 1)
O2
O1

19. 2. Rectas tangentes comunes a dos circunferencias de distinto radio.
(Exteriores. Método 1)
T1
T’1
=
A
t1
=
R-r
M
O2
O1
=
B
T’2
=
T2
t2

20. 2. Rectas tangentes comunes a dos circunferencias de distinto radio.
(Interiores. Método 1)
A
t2
R+r
T1
T’2
=
=
O2
M
O1
=
=
T’1
T2
t1
B

21. 2. Rectas tangentes comunes a dos circunferencias de distinto radio.
(Exteriores. Método 2)
T1’
A’
r’
=
t1
T1
A
=
r
=
=
O2
O1
=
=
T2
t2
T2’
M
O

22. 2. Rectas tangentes comunes a dos circunferencias de distinto radio.
(Interiores. Método 2)
t1
A
T1
=
=
M
O1
O
=
T2’
r
O2
=
=
T1’
T2
t2
r’
=
A’

23. 3. Dada la recta r y los puntos P y T, dibuja las posibles circunferencias que
siendo tangentes a r en T, pasen por el punto P.
P
T
r

24. 4. Dada la recta r y los puntos P y T, dibuja las posibles circunferencias que
siendo tangentes a r en T, pasen por el punto P.
O
P
T
r

25. 4. Dada la recta r y el punto P, dibuja las posibles circunferencias de radio R
que siendo tangentes a r pasen por el punto P.
R
P
r

26. 4. Dada la recta r y el punto P, dibuja las posibles circunferencias de radio R
que siendo tangentes a r pasen por el punto P.
R
P
O1
R
O2
R
T1
T2
r

27. 5. Dibuja las posibles circunferencias tangentes comunes a las tres rectas que
se cortan r, s y n.
n
r
s

28. 5. Dibuja las posibles circunferencias tangentes comunes a las tres rectas que
se cortan r, s y n.
n
T
T
O4
O2
T
T
T
T
O1
T
T
T
T
T
T
O3
r
s

29. 6. Dibuja 4 circunferencias de igual radio tangentes interiores a la
circunferencia dada y a su vez tangentes entre sí.
O

30. 6. Dibuja 4 circunferencias de igual radio tangentes interiores a la
circunferencia dada y a su vez tangentes entre sí.
b1
O4
O1
T
t
b2
O
T
O3
T
r
T
O2
A

31. 7. Dibuja las posibles circunferencias de radio r tangentes a la circunfe-rencia
dada O y que pasen por el punto P.
r
r=35
rO=25
OP=40
P
O

32. 7. Dibuja las posibles circunferencias de radio r tangentes a la circunfe-rencia
dada O y que pasen por el punto P.
r
OB=OA + AB=r + rO
OC=AB − OA=r − rO
r=35
rO=25
OP=40
B
O1
A
T1
T4
P
O3
O
T2
O2
O4
C
T3

33. F, MOHEDANO
DIBUJO TÉCNICO 1º BACH.
IES LOS MANANTIALES (TORREMOLINOS)