Tema 1. Los trazados geométricos fundamentales que se realizan en el plano

1. 1. TRAZADOS FUNDAMENTALES EN EL PLANO
DIBUJO TÉCNICO 1º BACHILLERATO

2. SUMARIO
1. Trazados fundamentales en el plano
1.1. Elementos geométricos fundamentales
1.2. Perpendicularidad
1.3. Paralelismo
1.4. Operaciones básicas con segmentos
1.5. Ángulos
1.6. La circunferencia
1.7. Lugares geométricos

3. 1. 1. Elementos geométricos fundamentales
1.1.1. El punto
Elemento geométrico indivisible y adimensional.
Se representa por dos pequeñas rectas que se cortan o por una
circunferencia muy pequeña.
Se designa siempre por letras en mayúscula o por números.
3
A
B
3

4. 1.1.2. La línea
Se genera por un punto que se desplaza sobre el plano. Según sea el
desplazamiento del punto obtendremos diferentes tipos de líneas:
A2
A1
A4
A3

5. r
- Recta: cuando el punto mantiene siempre
una dirección fija.
Se designa por letras en minúscula o por
dos puntos por los que pase.
Una recta es infinita.
A
Si conocemos el origen de la recta pero no
su final, tendríamos una semirrecta.
Una parte finita de recta limitada por dos
puntos extremos determinan un
segmento.
Los segmentos se designan por una letra
minúscula o por los puntos de sus
extremos con una pequeña recta horizontal
encima.
AB
s
0
A
B

6. - Curvas: cuando el punto cambia
de dirección en cada una de sus
posiciones consecutivas.
A
Las curvas pueden ser abiertas,
cuando el punto en su
desplazamiento no vuelve a pasar
por el origen, o cerradas, cuando
el punto vuelve al lugar de partida,
delimitando una porción de plano.
Hay muchos tipos de líneas
curvas, algunas se estudiarán
especialmente, como la
circunferencia o las curvas
cónicas.
A

7. - Líneas quebradas: cuando
el punto cambia
bruscamente de dirección.
Si son cerradas, estas líneas
determinan polígonos.
- Líneas mixtas: cuando
mezclan partes rectas y
curvas. Se emplean en
molduras y en enlaces.

8. 1.1.3. El plano
Es la superficie generada por una recta que se desplaza sobre otras dos
paralelas. Se designa por letras griegas.
En geometría plana coincide con el papel del dibujo. Dependiendo del tipo
de línea que delimite una porción de plano, ésta recibirá distintos nombre:
polígono, círculo, etc.
α
r
t
s

9. 1. 2. Perpendicularidad
s
Dos rectas son perpendiculares cuando
se cortan en un punto de intersección
dividiendo el plano en cuatro ángulos
rectos.
90º
90º
Se representa por este símbolo: ⊥
r
90º
90º
r⊥s
Gráficamente lo podemos indicar de
esta manera.
s
t
r

10. 1.2.1. Perpendicular a una recta en un punto de ella
A
1
P
2
r

11. 1.2.2. Perpendicular a una recta por un punto exterior a ella
P
2
1
A
r

12. 1.2.3. Perpendicular a una semirrecta en su origen
4
2
3
0
1
s

13. 1.2.4. Perpendiculares con la escuadra y cartabón
s
r

14. 1. 3. Paralelismo
Dos rectas son paralelas cuando por
mucho que las prolonguemos no se
cortan entre sí. Se dice que se cortan
en un punto impropio (situado en el
infinito).
s
r
Se representa por este símbolo: II
r II s
s
=
=
Gráficamente lo podemos indicar de
esta manera.
r

15. 1.3.1. Paralela a una recta pasando por un punto
P
2
3
1
r
s

16. 1.3.2. Paralela a una recta a una distancia dada
d
P
3
s
d
2
A
1
r

17. 1.3.3. Paralelas con la escuadra y cartabón
s
r

18. 1. 4. Operaciones básicas con segmentos
1.4.1 SUMAR SEGMENTOS
Para sumar dos o más segmentos, los situamos sobre una
semirrecta consecutivamente.
A
C
A
B
D
B≡C
AB + CD = AD
D
r

19. 1.4.2. RESTAR DOS SEGMENTOS
Para restar dos segmentos, los situamos sobre una semirrecta
superpuestos.
A
C
A≡C
B
D
D
AB - CD = DB
B
r

20. 1.4.3. MULTIPLICAR UN SEGMENTO POR UN NÚMERO
Colocamos el segmento tantas veces consecutivamente como el
número por el que queremos multiplicarlo.
A
B
A
B≡A’
3AB = AB’’
B’≡A’’
B’’ r

21. 1.4.4. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
Es la recta perpendicular al segmento en su punto medio.
dividiéndolo en dos partes iguales.
1
A
M
2
B
AM = MB = AB
2

22. 1.4.5. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES
Si queremos dividirlo en un número múltiplo de 2 (2, 4, 8, etc.) podemos
trazar mediatrices consecutivas.
Para dividirlo en cualquier número de partes iguales usaremos el
teorema de Thales.
2’
1’
=
A
3’
=
1
=
2
=
3
AB
= A1’
5
4’
=
4
5
B

23. s
1. 5. Ángulos
Un ángulo es la porción de plano
limitada por dos semirrectas con el
mismo origen.
Las semirrectas serán los lados del
ángulo y el origen común su vértice.
El plano queda dividido por las
semirrectas en dos ángulos; uno
cóncavo y otro convexo.
Los ángulos se miden en grados. La
circunferencia completa mide 360º, 1º
= 60ʼ, 1ʼ = 60ʼʼ
α
ángulo convexo
β
r
V
ángulo cóncavo
Designación de los ángulos
A, B
AVB, 1A2
rs, l1l2
α, β

24. 1. 5. 1. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU AMPLITUD.
0º
V
V
Nulo
90º
<90º
V
Agudo
Recto
360º
>90º
180º
Obtuso
V
Llano
V
V
Completo

25. 1. 5. 2. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN.
β
β
α
V
α
β
α
α
β
Opuestos por el vértice
Consecutivos o adyacentes
Superpuestos
α
β
β
α
Complementarios
β
α
Suplementarios
Conjugados

26. 1. 5. 3. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO.
Es la semirrecta con origen en el vértice que divide al ángulo en dos partes
iguales.
Método 1:
s
b
2
3
α
V
1
r

27. Método 2:
s
4
b
2
5
α
V
1
3
r

28. Método 3:
s
d
=
= =
A
b
d
α
=
V
r

29. Bisectriz de ángulo de vértice inaccesible.
s
B
γ
b3
δ
1
2
b
b1
b4
b2
α
β
A
r

30. Recta concurrente a otras dos pasando por un punto.
s
B
=
t
P
D
=
E
=
=
=
=
r
C
A

31. 1. 5. 4. PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS.
s
1- Los ángulos cuyos lados sean
paralelos entre sí, serán iguales.
=
s’
α’
r
r’
=
=
=
α
2- Los ángulos cuyos lados sean
perpendiculares entre sí, serán
iguales.
s
α’
s’
α
r
r’

32. 3- Las bisectrices de dos ángulos
opuestos por el vértice están
alineadas, formando una línea recta.
V
α’
b
α
4- Las bisectrices de dos ángulos
adyacentes formarán un ángulo recto.
b1
b2
α
β
V

33. 1. 5. 5. OPERACIONES CON ÁNGULOS.
Copiar ángulos
B
B’
s
s’
α
V
A
r
V’
α’
A’
r’

34. Sumar ángulos
α
α+β
β’
β
V
α’
r

35. Restar dos ángulos
α’
α
β’
α-β
V
β
r

36. Multiplicar un ángulo por un número
3α
α’‘’
α
α’’
V
α’
r

37. División de un ángulo en 2, 4, 8, 16... partes iguales
V

38. División del ángulo recto en tres partes iguales
2
3
30º
30º
90º
4
30º
1

39. 1. 5. 6. CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON EL COMPÁS
90º
90º
V
150º
V
120º
135º
60º
V
V
30º
45º
165º
V
105º
15º
V
75º

40. 1. 5. 7. CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN
60º
90º
150º
135º
30º
45º
165º
105º
75º
15º
60º
120º

41. 1. 6. La circunferencia
Línea curva, cerrada y plana,
generada por un punto que se
desplaza alrededor de otro
llamado centro manteniendo
siempre la misma distancia.
Se nombra normalmente por su
centro.
A
A’
d
centro
d
O

42. 1. 6. 1. Elementos de la circunferencia.
1
1. Radio (r),segmento que une el
centro con un punto cualquiera.
2. Cuerda (BC), segmento que une
dos puntos cualesquiera.
3. Diámetro (12), segmento que une
dos puntos de la curva pasando por
el centro. Es la mayor cuerda posible.
4. Arco (BC), parte de la circunferencia limitada por dos puntos.
-Cuadrante: Arco de 90º
-Semicircunferencia: Arco de 180º
B
A
M
r
f
O
C
2
5. Flecha de un arco (f), trozo de radio perpendicular a cuerda que une sus
extremos.
6. Círculo, superficie plana limitada por una circunferencia.

43. 1. 6. 2. Posiciones relativas de una recta y una circunferencia.
Sobre un plano, una recta y una
circunferencia pueden tener las
siguientes tres posiciones:
1. Exteriores (r), cuando no tienen
ningún punto en común y la distancia
de la recta al centro es mayor que el
radio de la circunferencia (d1 > r).
2. Secantes (s), cuando la recta y la
circunferencia tienen dos puntos en
común (A y B) y la distancia de la recta
al centro es menor que el radio de la
circunferencia (d2 < r).
r
d1
d3
T
O
s
A
d2
t
B
3. Tangentes (t), cuando la recta y la circunferencia tienen un solo punto en
común (T) y la distancia de la recta al centro es igual que el radio de la
circunferencia (d3 = r).

44. 1. 6. 3. Ángulos en la circunferencia.
Según la posición del vértice y
de los lados respecto a una
circunferencia, podemos
considerar los siguientes
ángulos: pueden tener las
siguientes tres posiciones:
1. Ángulo central.
Es el que tiene su vértice en el
centro y sus lados son radios de
la circunferencia.
V≡O
α
A
B

45. 2. Ángulo inscrito.
Su vértice está en la
circunferencia y sus lados son
cuerdas. Vale la mitad del
central que abarca el mismo
arco.
B
V
α
O
β
A
β
α=
2

46. 3. Ángulo semiinscrito.
Su vértice está en la
circunferencia y tiene un
lado tangente y otro
secante. Vale la mitad del
central correspondiente al
arco que determina el lado
secante.
t
V
α
β
A
O
α=
β
2

47. 4. Ángulo interior.
Su vértice está dentro de la
circunferencia. Vale la
semisuma de los centrales
correspondientes a su arco y
al de su opuesto por el
vértice.
C
D
γ
V
α
O
B
β
α=
A
β+γ
2

48. 5. Ángulo exterior.
Su vértice está fuera de la
circunferencia y sus lados
son secantes. Vale la
semidiferencia de los
centrales corres-pondientes
a los arcos que abarcan
sus lados.
V
C
α
D
γ
O
B
β
α=
A
β-γ
2

49. 6. Ángulo circunscrito.
Su vértice está fuera de la
circunferencia y sus lados
tangentes. Vale la
semidiferencia de los
centrales corres-pondientes
a los arcos que abarcan
sus lados.
T1
V
α
γ
β
O
T1
β-γ
α=
2

50. 1. 6. 4. Circunferencia que pasa por tres puntos.
Por tres puntos no alineados, únicamente puede pasar una circunferencia.
B
C
A
O

51. 1. 6. 5. Rectificación de la circunferencia.
Rectificar una circunferencia es dibujar gráficamente un segmento que
coincida con su longitud, 2πr. Al intervenir el número irracional π, la
construcción siempre es aproximada.
Existen varios métodos, pero por su precisión, veremos el método
Kochansky para rectificar una semicircunferencia.

52. A
r
πr
O
30º
C
r
B
r
r
D

53. 1. 7. Lugares geométricos
Un lugar geométrico es un conjunto
de puntos del plano que cumplen una
determinada característica común
para todos. Así por ejemplo, una
circunferencia se puede definir como
el lugar geométrico de los puntos del
plano que se encuentran todos a la
misma distancia de otro punto fijo
llamado centro.
A
B
0
0A=0B=0C
C

54. 1. 7. 1. Lugar geométrico de los
puntos del plano que
equidistan de otros dos dados.
Estos puntos se encuentran en la
mediatriz del segmento que
determinan los dos puntos dados.
Todos los puntos de la mediatriz
pueden ser centros de las
circunferencias que pasen por los
dos extremos del segmento.
2
1
A
B
3
1A=1B
2A=2B
3A=3B

55. 1. 7. 2. Lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a
una distancia dada de una recta.
Será el conjunto de puntos que se encuentran en las paralelas trazadas a la
recta a esa distancia. Todos esos puntos pueden ser centros de las
circunferencias tangentes a la recta de radio la distancia.
d
1
r
d
T
P
d
d
3
2
1P=2P=3T=d

56. 1. 7. 3. Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos
rectas dadas.
Los puntos buscados se encuentran en la bisectriz del ángulo que forman las
dos rectas o en la paralela media si las rectas son paralelas. Todos esos
puntos pueden ser centros de las circunferencias tangentes a ambas rectas.
s
T1
2
A
1
A1=B1
T12=T22
r
B
T2

57. 1. 7. 4. Lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una
distancia dada de una circunferencia.
Estos puntos formarán la
circunferencia concéntrica a
la dada de radio r+d. Si el
radio de la circunferencia
dada es mayor que la
distancia pedida, habrá otra
circunferencia de radio r-d. Si
la distancia y el radio
coinciden, esta segunda
circunferencia concéntrica se
reducirá a un punto.
Todos esos puntos pueden
ser centros de las
circunferencias tangentes
exteriores o interiores a la
dada.
d
r
r-d
O
r+d
B
T
A
AT=BT=d

58. 1. 7. 5. Lugar geométrico de los puntos del plano desde los que vemos a un
segmento determinado bajo un ángulo dado.
Un segmento AB se ve desde
un punto P bajo un ángulo α,
cuando al trazar rectas que
pase por el punto P y por los
extremos A y B del segmento,
estas formen un ángulo igual
a α.
Todos esos puntos formarán
un arco capaz y su simétrico,
que tendrán como cuerda
común al segmento AB.
B
A
1
α
2
α
α
B
A
α
3

59. Construcción del arco capaz del segmento AB bajo el ángulo α.
α
α
A
B
O1
M
B
A
α
O2

60. F, MOHEDANO
DIBUJO TÉCNICO 1º BACH.
IES LOS MANANTIALES (TORREMOLINOS)