2. La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el
lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de
distancias r+r', a dos puntos fijos F y F', denominados focos, es
constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de
la elipse.
La elipse tiene dos eje, el eje mayor A-B, también llamado real, y
el eje menor C-D, ambos se cruzan perpendicularmente en el
centro O de la elipse.
La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia
focal 2c, y se cumple que .
La elipse es simétrica respecto a los dos ejes.
Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los
focos, se denominan radios vectores r y r', y por definición se
cumple que r+r' = 2a.

4. 1) La elipse como cónica
La elipse surge de la intersección de una superficie cónica con un plano,
de tal manera que la inclinación del plano no supere la inclinación de la
recta generatriz del cono, consiguiendo así que la intersección sea una
curva cerrada. En otro caso el corte podría ser una hipérbola o una
parábola. Es por ello que a todas estas figuras bidimensionales se las llama
secciones cónicas o simplemente cónicas.

5. 2) La elipse como hipotrocoide
La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R = 2r,
siendo R el radio de la circunferencia directriz, y r el radio de la
circunferencia generatriz.
En una curva hipotrocoide, la circunferencia que contiene al punto
generatriz, gira tangencialmente por el interior de la circunferencia
directriz.

6. 3) Construcción paramétrica de una elipse
Se dibujan dos circunferencias concéntricas cuyos diámetros equivalen
a la medida de los ejes ortogonales de la futura elipse. Si trazamos
segmentos paralelos a los ejes principales X e Y, partiendo del extremo
de los radios alineados, la intersección de dichos segmentos son puntos
de la elipse
.

7. En coordenadas cartesianas
 Forma cartesiana centrada en origen
La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en
el origen, es:
donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a
corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse
es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad
del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia
focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.
Forma cartesiana centrada fuera del origen
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:


8. EN COORDENADAS POLARES
En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la
elipse es:
Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la
excentricidad ), es:
Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, θ es el
ángulo polar y para la ε es la excentricidad.
Si no se quiere pre-calcular la excentricidad convendrá utilizar la ecuación , en
caso contrario utilizar la ecuación .

9. Formas paramétricas
La ecuación paramétrica de una elipse con centro en y siendo el
semieje mayor y el menor, es:
con
no es el ángulo aθ del sistema de coordenadas
polares con origen en el centro de la elipse, a sino la anomalía
excéntrica de la elipse. La relación entre y aθ es
La ecuación paramétrica de una elipse con centro en la que el
parámetro sea concordante con el ángulo polar respecto al
centro desplazado es:
Con
. El parámetro es el ángulo de un sistema polar cuyo
origen está centrado en .

10. Área interior de una elipse
El área de la superficie interior de una elipse es:
Siendo a y b los semiejes
Perímetro de una elipse
El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de
segunda especie.
Ramanujan, en su fórmula, utiliza el “semieje mayor” (a) y el “semieje menor” (b) de la
elipse. Expresión aproximada del perímetro de una elipse:

11. Propiedad Optica
Consideremos un espejo que tenga forma de elipse. Si un rayo de luz que parta de
uno de los focos choca contra el espejo, se reflejará hacia el otro foco.
La propiedad óptica de la elipse se aplica en las ``galerías de murmullos'' como la
que se encuentra en el Convento del Desierto de los Leones, cerca de la Ciudad de
México, en la cual un orador colocado en un foco puede ser escuchado cuando
murmura por un receptor que se encuentre en el otro foco, aún cuando su voz sea
inaudible para otras personas del salón. Otra aplicación de la propiedad óptica de la
elipse es la de ciertos hornos construidos en forma de elipsoides. Si en uno de sus
focos se coloca la fuente de calor y en el otro se coloca el material que se quiere
calentar, todo el calor emanado por la fuente de calor se concetrará en el otro foco

12. Astronomía
Una de las principales aplicaciones de la elipse se da en la
astronomía. Johannes Kepler, estudiando los movimientos de
Marte, al aplicar el modelo de Copérnico de órbitas circulares
alrededor del sol, vio que los cálculos discrepaban ligeramente de
la posición real del planeta en el firmamento. Así que intentó
ajustar la órbita a otras curvas y finalmente encontró que la elipse
se ajustaba maravillosamente a ella. Así encontró su primera ley del
movimiento de los planetas. En realidad Kepler tuvo una suerte
enorme, ya que Marte era el planeta conocido entonces cuya
órbita era más excéntrica. Si en lugar de Marte hubiera decidido
estudiar a Venus, cuya órbita es prácticamente circular,
posiblemente nunca hubiera descubierto sus leyes del movimiento.

13. 
Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la
elipse que tiene por ecuación: 4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0
Solución:
 La ecuación dada se puede escribir en las formas
equivalentes:






(completación de cuadrado)
(factorización y simplificación)
(dividiendo por 4)

14. 
Esta última ecuación corresponde a la
elipse cuyo centro es el punto C(2, -1),
semiejes;
a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es
paralelo al eje y y tiene por ecuación x = 2.

Los vértices son los puntos V1(2, 1), V2(2, -3),
V3(3, -1) y V4(1, -1).

Como
se tiene que los focos
están localizados en los puntos
y