electricidad, circuitos rl, rlc...

1. Benemérita Universidad Autónoma
de Puebla
Facultad de Ingeniería
Colegio Ingeniería Mecánica Eléctrica
Materia: Electricidad y Magnetismo
Circuitos de primer y segundo orden
Alumno: Palafox Aguilera Esmeralda
Sarahí
Profesor: Pinto Iguanero Bernardina
Ciclo escolar: primavera 2015

2. INTRODUCCIÓN
La conductancia (G) es el reciproco a la resistencia, la susceptancia (B) es el
reciproco de la reactancia, y la admitancia es el reciproco de impedancia.
Los circuitos que tienen tanto inductancia como capacitancia exhiben la propiedad
de resonancia, la cual es importante en muchos tipos de aplicaciones. La resonancia
es la base de la selectividad de frecuencia en sistemas de comunicaciones. Por
ejemplo, la capacidad de un receptor de radio o de televisión para seleccionar cierta
frecuencia transmitida por una estación particular y, al mismo tiempo, eliminar las
frecuencias de otras estaciones está basada en el principio de resonancia.
Circuitos de primer orden se consideran circuitos que contienen diversas
combinaciones de dos o tres elementos pasivos (R,L, C)
Circuitos de segundo orden tienen dos elementos de almacenamiento.
Un circuito RLC es un circuito lineal que contiene una resistencia eléctrica, una
boina (inductancia) y un condensador (capacidad).
Existen dos tipos de circuitos RLC, en serie o en paralelo, según la interconexión de
los tres tipos de componentes.

3. Circuito RC
Se llama circuito RC a la combinación en serie de un capacitor y un resistor. Dicho
circuito puede representar cualquier conexión de resistores y capacitores cuyo
equivalente sea un solo resistor en serie con un solo capacitor.
Circuito Serie RC
En un circuito RC en serie la corriente (corriente alterna) que pasa por la resistor y
por el capacitor es la misma
El voltaje entregado VS es igual a la suma fasorial de la caída de voltaje en el
resistor (Vr) y de la caída de voltaje en el capacitor (Vc).
Vs = Vr + Vc (suma fasorial)
Circuito RC serie en corriente alterna
Esto significa que cuando la corriente está en su punto más alto (corriente pico), será
así tanto en el resistor como en el capacitor.
Pero algo diferente pasa con los voltajes. En el resistor, el voltaje y la corriente están
en fase (sus valores máximos y mínimos coinciden en el tiempo). Pero el voltaje en
el capacitor no es así.
Como el capacitor se opone a cambios bruscos de voltaje, el voltaje en el capacitor
está retrasado con respecto a la corriente que pasa por él. (El valor máximo de
voltaje en el capacitor sucede después del valor máximo de corriente en 90o).
Estos 90º equivalen a ¼ de la longitud de onda dada por la frecuencia de la
corriente que está pasando por el circuito.
El voltaje total que alimenta el circuito RC en serie es igual a la suma fasorial
del voltaje 0en el resistor y el voltaje en el capacitor.

4. Circuito serie RL
La diferencia principal es que las respuestas de fase son opuestas: la reactancia
inductiva se incrementa con frecuencia, en tanto que la reactancia capacitiva
disminuye con la frecuencia.
Un circuito RL contiene tanto resistencia como inductancia
RESPUESTA SINUSOIDAL DE CIRCUITOS RL EN SERIE
Todas las corrientes y todos los voltajes son sinusoidales cuando el voltaje de
entrada es sinusoidal. La inductancia provoca un desplazamiento de fase entre el
voltaje y la corriente que depende de los valores relativos de la resistencia y la
reactancia inductiva.
En un circuito RL, el voltaje en el resistor y la corriente se retrasan con respecto al
voltaje de la fuente. El voltaje en el inductor se adelanta al voltaje de fuente.
Idealmente, el ángulo de fase entre la corriente y el voltaje en el inductor siempre es
de 90°. Estas relaciones de fase generalizadas.
Las amplitudes y las relaciones de fase de los voltajes y de la corriente dependen de
los valores de la resistencia y la reactancia inductiva. Cuando un circuito es
puramente inductivo, el ángulo de fase entre el voltaje aplicado y la corriente total es
de 90°, y la corriente va retrasada con respecto al voltaje. Cuando existe una
combinación tanto de resistencia como de reactancia inductiva en un circuito, el
ángulo de fase se encuentra entre 0° y 90°, según sean los valores relativos de la
resistencia y la reactancia inductiva. Recordemos que los inductores prácticos tienen
resistencia de devanado, capacitancia entre los devanados, y otros factores que
impiden se comporten como un componente ideal. En circuitos prácticos, estos
efectos pueden resultar significativos; sin embargo, para el propósito de aislar los
efectos inductivos, los inductores serán tratados como ideales.

5. Circuitos Serie y Paralelo RC, RL y RCL
IMPEDANCIA Y ADMITANCIA DE CIRCUITOS RC EN PARALELO
La impedancia se compone de un componente de magnitud y un componente de
ángulo de fase.
(Imagen del circuito básico)
La expresión para la impedancia total se desarrolla como sigue, por medio de
números complejos. Como sólo existen dos componentes R y C, la impedancia total
se encuentra con la regla del producto sobre la suma
Al multiplicar las magnitudes, sumar los ángulos presentes en el numerador, y
convertir el denominador a forma polar, se obtiene:
Ahora dividiendo la expresión para la magnitud presente en el numerador, y convertir
el denominador en forma polar se obtiene
De manera equivalente, esta expresión se escribe como:
Conductancia, susceptancia y admitancia
La expresión fasorial para la conductancia se establece como

6. Ahora se introducen dos términos nuevos que son utilizados circuitos RC en
paralelo. La susceptancia capacitiva (Bc) es el recíproco de la reactancia capacitiva.
La expresión fasorial para. Susceptancia es
La admitancia es el reciproco de la impedancia. La expresión fasorial para
admitancia es
La unidad de cada uno de estos términos es el Siemens(S), el cual es el reciproco
del Ohm, cuando se trabaja circuitos en paralelo, a menudo es más fácil utilizar la
conductancia (G), la susceptancia capacitiva (Bc), y la admitancia (Y) en lugar de la
resistencia (R), la reactancia capacitiva (Xc), y la impedancia (Z). En un circuito RC
en paralelo, la admitancia total es simplemente la suma fasorial de la conductancia y
la susceptancia capacitiva.
ANÁLISIS DE CIRCUITOS RC EN PARALELO
La ley de ohm y la ley de las corrientes de Kirchhoff se utilizan en el análisis de
circuitos RC.
Se examinan las relaciones de corriente y voltaje en un circuito RC dispuesto en
paralelo
Por conveniencia, en el análisis de circuitos en paralelo, las formas de la ley de.
Ohm utilizan impedancia pueden ser reescritas como admitancia valiéndonos de la
relación.
𝑌 =
1
𝑍
𝑉 =
𝐼
𝑌
𝐼 = 𝑉𝑌

7. 𝑌 =
𝐼
𝑉
RELACIONES DE FASE DE CORRIENTE Y VOLTAJE.
CONVERSIÓN DE LA FORMA EN PARALELO A LA FORMA EN SERIE.
Para cada circuito RC dispuesto en paralelo, existe un circuito RC equivalente en
serie para una frecuencia dada. Dos circuitos se consideran equivalentes cuando
ambos presentan una impedancia igual en sus terminales; es decir que la magnitud
de la impedancia y el ángulo de fase son idénticos.
Lo primero que se debe realizar para la conversión es:
determinar la impedancia y el ángulo de fase del circuito en
paralelo luego se utilizan los valores de Z y Ƀ para construir un
triángulo de impedancia. Los lados verticales y horizontales del
triángulo representan la resistencia equivalente en serie y la
reactancia capacitiva como se indica, estos valores se calculan
aplicando las siguientes relaciones trigonométricas.
ANÁLISIS DE CIRCUITOS RC EN SERIE-PARALELO
La impedancia de componentes dispuestos en serie es más fácil de expresar en
forma rectangular, y la impedancia de componentes dispuestos en paralelo se
encuentra mejor utilizando la forma polar.
Primero se expresa la impedancia de la parte en serie del circuito
En forma rectangular y la impedancia de la parte en paralelo en forma polar. A
continuación, se convierte la impedancia de la parte en paralelo a forma rectangular
y se le suma a la impedancia de la parte en serie. Una vez determinada la forma
rectangular de la impedancia total, puede ser convertida a forma polar para conocer
la magnitud y el ángulo de fase y calcular la corriente.
EL TRIÁNGULO DE POTENCIA PARA CIRCUITOS RC

8. IMPEDANCIA Y ADMITANCIA DE CIRCUITOS RL EN PARALELO
La expresión para la impedancia total de un circuito RL en paralelo de dos
componentes se desarrolla como sigue
De manera equivalente, esta ecuación se expresa como
CONDUCTANCIA, SUSCEPTANCIA Y ADMITANCIA
En circuitos RL dispuestos en paralelo, la expresión fasorial para susceptancia
inductiva (Bc) es
𝐵𝑐 =
1
𝑋 𝐿 < 90°
= 𝐵𝑐 < −90° = −𝑗𝐵𝑐
Y la expresión fasorial para admitancia es
𝑌 =
1
𝑍 < ± 0
= 𝑌 < ∓𝜕
En el circuito RL básico en paralelo, la admitancia total es la suma fasorial dela
conductancia y la susceptancia inductiva
𝑌 = 𝐺 − 𝑗𝐵 𝐿
Tal como para el circuito RC; la unidad es el siemens (S)

9. ANÁLISIS DE CIRCUITOS RL EN SERIE-PARALELO
La impedancia de componentes en serie se expresa con más facilidad en forma
rectangular, y que la impedancia de componentes en paralelo es más fácil de
calcular utilizando la forma polar. Los pasos para analizar un circuito que tenga
componentes en serie y en paralelo, primero se expresa la impedancia de la parte
dispuesta en serie del circuito en forma rectangular y la impedancia de la parte en
paralelo en forma polar. Después se convierte la impedancia de la parte en paralelo
a forma rectangular y se le suma a la impedancia de la parte en serie. Una vez que
se determina la forma rectangular de la impedancia total, se puede convertir a forma
polar para ver la magnitud y el ángulo de fase y calcular la corriente. El método es
expresar primero cada impedancia de rama en forma rectangular y convertir luego
cada una de estas impedancias a forma polar. A continuación, se calcula cada
corriente de rama mediante notación polar. Una vez que se conocen las corrientes
de rama, es posible encontrar la corriente total sumando las dos corrientes de rama
en forma rectangular.
EL TRIÁNGULO DE POTENCIA PARA CIRCUITOS RL
El factor de potencia es igual al coseno de β (FP =cos β)

10. IMPEDANCIA DE CIRCUITOS RLC EN PARALELO
La impedancia total se calcula utilizando el método del recíproco de la suma de
recíprocos, exactamente como se hizo para circuitos con resistores en paralelo.
CONDUCTANCIA, SUSCEPTANCIA Y ADMITANCIA
Las formulas fasorial se vuelven a establecer

11. ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC EN PARALELO
En un circuito en paralelo domina la reactancia más pequeña porque produce la
mayor corriente de rama.
La reactancia capacitiva varía inversamente con la frecuencia, y que la reactancia
inductiva varía directamente con la frecuencia. En circuitos RLC en paralelo a
frecuencias bajas, la reactancia inductiva es menor que la reactancia capacitiva; por
consiguiente, el circuito
Es inductivo. Conforme se incrementa la frecuencia, XL aumenta y XC disminuye
hasta alcanzar un valor donde XL = XC. Éste es el punto de resonancia en paralelo.
A medida que la frecuencia aumenta un poco más, XC se vuelve más pequeña que
XL, y el circuito se vuelve capacitivo.
Relaciones de corriente
En un circuito RLC dispuesto en paralelo, las corrientes que circulan por las ramas
capacitiva e
Inductiva siempre están desfasadas en 180° entre sí Como IC e IL se suman
algebraicamente, la corriente total es en realidad la diferencia de sus magnitudes.
Por tanto, la corriente total que entra a las ramas de L y C en paralelo siempre es
menor
que la corriente de rama individual más grande Desde luego, la corriente que circula
en la rama resistiva siempre está desfasada en 90° con respecto a ambas corrientes
reactivas, según muestra el diagrama fasorial
Conversión de en serie-paralelo a paralelo
La configuración particular en serie-paralelo es importante porque representa un
circuito que tiene ramas L y C en paralelo, con la resistencia de devanado de la
bobina tomada en cuenta como resistencia en serie en la rama L.

12. Es conveniente ver al
circuito en serie-paralelo
en una forma
equivalente en paralelo
Las fórmulas siguientes proporcionan la inductancia equivalente, Leq, y la
resistencia en paralelo equivalente, Rp (eq):
La equivalencia de los circuitos significa que, a una frecuencia dada, cuando se
aplica el mismo valor de voltaje a ambos circuitos, la misma corriente total fluye en
ambos circuitos y los ángulos de fase son los mismos. De manera básica, un circuito
equivalente sólo propicia que el análisis de circuitos sea más conveniente

13. Circuitos con entrada cero.
CIRCUITOS CON ENTREDA CERO
En circuitos sin fuentes de excitación pueden existir corrientes y tensiones debido a
la energía almacenada en las inductancias o en los condensadores.
Se llamara “respuesta a entrada cero” a la obtenida en un circuito sobre el que no
actúa ninguna fuente independiente, estando únicamente sometido a la excitación
divida a la carga inicial de sus elementos almacenadores de energía.
En la figura 11.5. El interruptor S2 está abierto y mientras que S1 está cerrado
existiendo una tensión E en bornes del condensador. Si en el instante t=0 se abre S1
y se cierra S2, el condensador se descargara a través de la resistencia R, de
acuerdo con el circuito de la figura 11.5 b)
A partir de t=0 s el comportamiento del circuito de la figura 11.5 b viene definido por:

15. El producto RC que caracteriza la respuesta exponencial de ambas variables tiene
dimensión de tiempo y recibe el nombre de “constante de tiempo del circuito”
T=RC
Si R viene dada en ohmios y C en faradios, t viene expresada en segundos. La
inversa de dicho termino tiene la dimensión de una frecuencia y se denomina”
frecuencia natural del circuito”.
El hecho de que se le llame “frecuencia” no debe inducir a confusión pensando que
da lugar a oscilaciones de tipo senoidal en la respuesta. Este nombre proviene de la
dimensión del término. En cuanto al calificativo de “natural” se debe al hecho de que
caracteriza la respuesta del sistema cuando no existen fuentes de excitación
externas. Es decir, caracteriza la que podemos llamar respuesta propia, libre o
natural del circuito.
En este caso particular, La no existencia de fuentes de excitación implica el que,
transcurrido un tiempo infinito, todas las tensiones e intensidades son nulas. Esto es
lógico, ya que la energía almacenada inicialmente en el condensador acaba por
disiparse totalmente en la resistencia.
El tiempo necesario para cualquier variable pase de su valor inicial a cero es infinito.
Sin embargo, transcurrido un tiempo t se ha producido por un 63.2% de esta
variación, pasado un tiempo 2t el 86.5% y pasado un tiempo de 3t el 95%. Es decir,
cuanto menor es la constante de tiempo, mayor es la rapidez con que el circuito
tiende a su estado final, pudiendo considerarse que se ha alcanzado estado final al
cabo de un tiempo igual a tres o cuatro veces el valor de t. Muchos autores prefieren
valores más conservadores y consideran que el estado final se alcanza después de
un tiempo igual o superior a cinco veces la constante de tiempo, pero lo
verdaderamente importante es que esta constante es un buen referente de la
rapidez de respuesta de un circuito.

16. Para fijar ideas, considere de nuevo el circuito de la figura 11.5 pero asignando los
siguientes valores a los diferentes componentes:
La constante de tiempo de circuito es:
Es decir, ha sufrido una variación de 63.2% .Del mismo modo, al cabo de un tiempo
3t la tensión en el condensador es: u (3t) = 100 e-3 = 4.98V y al cabo de un tiempo
4t: u (4t)=100/e4=1.83V. Es decir al cabo de 4.02 ms =0.8 ms ya se ha producido un
98.12% de la variación total de la tensión en el condensador.
Derivando la expresión (11.20) con respecto a t, y haciendo t=0, se tiene la
pendiente en el origen de la tensión.
Es decir, la pendiente en el origen corta al eje de tiempos en el punto t=t. Esto
confirma la idea de cuanto menor es t (mayor pendiente en el origen) mayor es la
rapidez con la que el circuito tiende a su estado final.
Por último, se hará notar que la respuesta del circuito a entrada cero es proporcional
a la carga inicial del elemento almacenador de energía. A partir de las expresiones
(11.20) y (11.21) se aprecia fácilmente que la tensión u y la intensidad i son
proporcionales a la tensión inicial en el condensador, E.
Los resultados obtenidos para el circuito RC de la figura 11.5 son aplicables a
cualquier circuito que contenga cualquier número de resistencias y un solo elemento
almacenador de energía, inicialmente cargado.

17. Nótese que, si existe un solo elemento almacenador de energía, la ecuación
diferencial que caracteriza el circuito es de primer orden, ya que ese elemento define
una sola condición, su carga inicial.
Se resumen a continuación las propiedades más importantes de estos circuitos de
primer orden sin fuentes de excitación.
1) La repuesta a entrada cero viene definida por una ecuación diferencial lineal y
homogénea del tipo:
2) La solución a la ecuación es:
3) De acuerdo con lo anterior, todas las variables del circuito vienen
caracterizadas por la misma variación de tipo exponencial, difiriendo unas de
otras en su valor inicial.
4) El coeficiente 1/t en la expresión exponencial es llamada frecuencia natural
que, se expresa en s-1.
5) t es la constante de tiempo del circuito que se expresa en segundos. Para
un circuito formado por una resistencia y un condensador se ha visto que
dicha constantes: t = RC. Del mismo modo para un circuito formado por una
resistencia y una bobina se verá que dicha constante es L/R, siendo l la
inductancia de la bobina.
6) Cuanto menor es la constante de tiempo del circuito, mayor es la velocidad
con la que las variables se aproximan a su estado final.
7) La respuesta del circuito es proporcional a la carga inicial del elemento
almacenador de energía.

18. Circuitos con entradas distintos a cero.
En el caso de un condensador su ecuación de definición, considerando condiciones
iniciales no nula o diferente de cero, es:
El interruptor S del circuito de la figura 11.5 lleva en la posición a un tiempo que
puede considerarse infinito. Para t=0 se pasa a la posición b. calcularemos las
expresiones de la tensión en el condensador y la intensidad en cada resistencia a
partir de dicho instante.
Como el interruptor lleva colocado en la posición a un tiempo infinito, se habrá
establecido el régimen permanente en el circuito. Al ser la fuente de 12V de tensión
continua, el condensador se comporta en régimen permanente como un circuito
abierto y para calcular la tensión a que está cargado se utiliza el circuito de la figura
11.16 resultando U=6V.

19. Al cambiar el interruptor a la posición b, el condensador mantendrá la tensión de 6V.
En la figura 11.17 se ha representado el circuito después del cambio del interruptor.
La tensión inicial en el condensador del circuito de la figura 11.17 es de 6V. La
tensión inicial entre A y B es, por tanto, 6V.
Inicialmente, se puede escribir el sistema de ecuaciones:
Luego: t = Req C= 4 10-2 s, y teniendo en cuenta la expresión (11.16), se escribirá:

20. La representación gráfica se da en la figura 11.18.
En el circuito de la figura 11.19 el interruptor S1 a la posición b y simultáneamente
se cierra S2. Calcular las expresiones de i1 e i2 e iL para t>0.
Antes de cerrar S2, como S1 lleva cerrado tiempo suficiente para que se halle
establecido el régimen permanente, la bobina se está comportando como un
cortocircuito, luego:
Al cambiar de posición S1 y cerrar S2, la intensidad por la bobina ha de seguir
teniendo este valor. El circuito a estudiar se representa en la figura 11.20.

21. Valores iniciales: inicialmente la bobina mantiene su corriente, luego:
Valores finales: En régimen permanente, la bobina se comporta como un
cortocircuito, luego:
La resistencia equivalente vista desde los terminales de la bobina es: Req= 2Ω, de
donde:

22. Obsérvese que al estar en paralelo la resistencia de 1Ω con la fuente de tensión su
valor no influye en el resto del circuito, no interviniendo en la constante de tiempo del
mismo. La intensidad en esta resistencia se mantiene constante.

23. CIRCUITOS RCL SOBREAMOTIGUADOS, SUBAMORTIGUADOS Y
CRÍTICAMENTEAMORTIGUADOS.
Es posible partir de un circuito RCL conectado en paralelo o de un circuito RCL
conectado en serie. Si se toma el caso del circuito en paralelo, es preferente obtener
una ecuación para el voltaje y si es el caso de un circuito en serie, una ecuación
para la corriente en función del tiempo. Aquí, se tomará el caso de un circuito
conectado en serie:
Ahora hay que obtener una ecuación diferencial de segundo orden, debido a que se
tienen dos elementos que almacenan energía. De forma rápida, es posible conocer
la ecuación diferencial para la corriente del circuito (de antemano se sabe que la
corriente es la misma para todos los elementos conectados). Aplicando LVK
alrededor de la malla y sustituyendo las condiciones de corriente del capacitor y
voltaje del inductor:
Si se sabe que existe una entrada constante de E (t), entonces, diferenciando a (2)
con respecto del tiempo, se obtiene una ecuación de segundo orden homogéneo:

24. Como ya se tiene la ED para la corriente, el objetivo ahora es hallarle solución de
forma general para la corriente para cualquier valor dado de un inductor, resistencia
y capacitor. Con ayuda de una ecuación auxiliar y como constantes a R, C y L:
Del álgebra, es posible conocer de (4) las raíces que le dan solución, nombradas m1
y m2. Empleando la fórmula general:
Es posible representar de otra forma a la estructura de cada solución de la ecuación
diferencial. Ahora, se propone lo siguiente:
Donde α es llamado coeficiente de amortiguamiento y ω0
Es llamado frecuencia de resonancia. Reescribiéndola ecuación (5) se obtiene:
Ahora, la naturaleza de la corriente dependerá de los valores de la resistencia, el
capacitor y el inductor dentro del resultado de m1 y m2. Por ello, existen tres casos
en los que se involucra al coeficiente de amortiguamiento ya frecuencia de

25. resonancia. En cada uno de estos tres casos, el circuito recibe tres disti ntos
nombres: sobre-amortiguado, sub-amortiguado y críticamente amortiguado. El
coeficiente de amortiguamiento, que interviene en los tres casos posibles, es una
expresión que determina la medida de la rapidez con la decae o se amortigua la
respuesta natural (cuando la solución de la ED se obtuvo igualando está a cero)
hacia su estado final permanente.
1.- CIRCUITO SOBREAMORTIGUADO.
El caso de sobre amortiguamiento se da cuando la siguiente expresión se cumple
dentro de las raíces de la ecuación:
Con esta condición, las raíces m1 y m2 serán reales y distintas. Con ello, existirá
una solución general deforma:

26. Asimismo, es posible representar el comportamiento dela corriente en función del
tiempo a través de una gráfica:
figura2. Corriente en un circuito sobre-amortiguado
Como se puede observar en la gráfica anterior, la corriente no presenta un
comportamiento oscilatorio, tendiendo hacia el equilibrio al transcurso del tiempo
debido a su naturaleza exponencial decreciente.
2.- CIRCUITO CRITICAMENTE AMORTIGUADO
Un circuito RLC está críticamente amortiguado cuando la siguiente expresión se
cumple dentro de las raíces dela ecuación:
En la práctica, la expresión (8) no es posible, debido a que no se puede conseguir
valores para la constante de amortiguamiento y la frecuencia de resonancia iguales,
por lo tanto, siempre se tendrán como resultado circuitos sub-amortiguados o sobre-
amortiguados en la realidad. Volviendo a la teoría, con esta condición, las raíces m1
ym2 serán reales e iguales. Por lo tanto, existirá una solución para la corriente en
función del tiempo de la forma:
Representando el comportamiento general de la corriente a través del tiempo de un
circuito críticamente amortiguado:

27. En la gráfica anterior, se observa que la corriente comienza a aumentar en los
primeros instantes de tiempo y en cierto valor comienza a decrecer (un tiempo
mínimo) hasta alcanzar el punto de equilibrio. Por ello se le llama amortiguamiento
crítico, debido a que se deja pasar un cierto tiempo y de forma crítica se amortigua
para prevenir una oscilación de, en este caso, la corriente que existe en el circuito.
3.- CIRCUITO SUB-AMORTIGUADO
El caso de sub-amortiguamiento se da cuando la siguiente expresión se cumple
dentro de las raíces de la ecuación:
Esta condición se cumple en varias ocasiones al elegir, en el caso de los circuitos
RLC en serie, valores de resistencia y capacitancia muy pequeños. Con esta
condición, las raíces m1 y m2 serán números complejos. La solución de forma
general a la corriente es:

28. Por lo tanto, su representación gráfica de forma generales la siguiente:
Como se observa en la figura 3, la corriente, desde el inicio y en un intervalo de
tiempo, posee un comportamiento oscilatorio senoidal y cosenoidal, cuya amplitud va
decrementándose exponencialmente, hasta alcanzar el equilibrio, gracias a la
constante de amortiguamiento existente en el argumento exponencial. Así como se
presentaron los casos de amortiguamiento en un circuito RLC en serie, son los
mismos en un circuito RLC en paralelo, solamente que se involucra como incógnita
el voltaje en la ecuación diferencial, siendo las gráficas que representan el
comportamiento del voltaje a través del tiempo en un elemento de almacenamiento
de energía también de la misma forma.
El circuito RLC en paralelo sin fuente Sobre amortiguado ( > w)
La respuesta para un circuito RLC en paralelo sin fuente donde el valor de a es
mayor que w se conoce como respuesta RLC Sobre amortiguado.
Este tipo de circuito obedece a un comportamiento tal que:
Donde,
Y el valor de las condiciones iniciales se calcula
CIRCUITO RLC EN PARALELO SOBREAMORTIGUADO
1. Dos raíces reales y diferentes cuando:

29. 𝑎2
> ω0
2
2. Dos raíces reales iguales cuando:
𝑎2
= ω0
2
3. Dos raíces complejas conjugadas cuando:
𝑎2
< ω0
2
• Cuando las dos raíces son reales y distintas se dice que el circuito es sobre
amortiguado.
• Cuando son reales e iguales, se dice que el circuito es críticamente amortiguado
• Cuando las dos raíces son complejas conjugadas, se dice que el circuito es su
amortiguado.

30. RESPUESTAS COMPLETAS DE CIRCUITOS RLC
Considerar ahora los circuitos RLC en los que las fuentes de cd se conmutan en la
red y producen respuestas forzadas que no necesariamente se anulan cuando el
tiempo se vuelve infinito. La solución general se obtiene mediante el mismo
procedimiento que se siguió en los circuitos RL y RC la respuesta forzada se
determina por completo; la respuesta natural se obtiene como una forma funcional
adecuada que contiene el número apropiado de constantes arbitrarias; la respuesta
completa se escribe como la suma de las respuestas forzada y natural; además, las
condiciones iniciales se determinan y se aplican a la respuesta completa a fin de
calcular los valores de las constantes. Con frecuencia, este último paso resulta el
más complicado para los estudiantes. En consecuencia, aunque la determinación de
las condiciones iniciales no difiere en lo básico en el caso de un circuito que contiene
fuentes de cd, de la correspondiente a los circuitos sin fuente que ya se estudiaron
con cierto detalle, este tema recibirá un tratamiento destacado en los ejemplos que
siguen.
La mayor parte de la confusión al determinar y aplicar las condiciones iniciales surge
por la simple razón de que no se cuenta con un conjunto de reglas rigurosas
dispuestas, que sea viable seguir. En cierto punto de cada análisis suele surgir una
situación en la que se ve involucrada alguna idea que resulta más o menos única
para ese problema particular, lo cual es casi siempre la fuente de la dificultad.
La parte fácil
La respuesta completa (supuesta de manera arbitraria como la respuesta de tensión)
de un sistema de segundo orden consiste en una respuesta natural:
Vf (t) = Vf
Que es una constante de la excitación de cd, y una respuesta natural:
Vn (t) = Aes1t + Bes2t
En consecuencia se supone que s1, s2, y Vf ya se
determinaron en el circuito y en las funciones forzadas que se indican; queda por
conocer A y B, v y t, de modo que la sustitución del valor conocido de v en t=0+
nos
da entonces una sola ecuación relacionada A y B,
Esta es la parte fácil.
La otra parte
Desafortunadamente, se requiere otra relación entre A y B la cual se obtiene casi
siempre al tomar la derivada de la respuesta:
Y al sustituir el valor conocido de dv/dt en t = 0+. Así, se tienen dos ecuaciones que
relacionan a A y B y que se resolverían de manera simultánea para evaluar las dos
constantes.
El único problema que resta es determinar los valores de v y dv/dt en t = 0+.
Suponga que v es una tensión en el capacitor, vC. Puesto que iC = C dvC/dt, se
debe reconocer la relación entre el valor inicial de dv/dt y el valor inicial de alguna
corriente en el capacitor. Si se pudiera establecer un valor de dicha corriente inicial
en el capacitor, entonces se establecería de manera automática el valor de dv/dt.

31. Bibliografía
Fernández Moreno José, Teoría De Circuitos (1999), Editorial Paraninfo, Pág.
Consultadas 401-459.
R.E Thomas Y A.J Rosa, Circuitos Y Señales: Introducción A Los Circuitos Lineales
Y De Acoplamiento (2002) Pág. Consultadas 368-680
C.K . Alexander, Mno Sadiku”Fundamentos De Circuitos Eléctricos” 3ra Edición Mc
Graw Hill
R, C.Dorf J. A Svodoba “Introducción De Circuitos Eléctricos” 6ta Edición (2005)
Editorial Alfa omega
Nilson. James De W., Susana A. “Circuitos Electricos-2 6ta Edición, Pearson
Educación, México, 2001
William H Hyte Jr. (Análisis De Circuitos En Ingeniería) 7ma Edición Editorial Mc
Graw Hill