Para los estudiantes de VI Semestre Ingenierias

1. UNIDAD CENTRAL DEL VALLE DEL CAUCA
FACULTAD DE INGENIERÍA
PROGRAMA: INGENIERIA DE SISTEMAS
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS
Profesor: Efraín Vásquez Millán.
TALLER No 1. Preliminares: Repaso de Cálculo
1. Halle en cada caso l´ n→∞ xn . Después determine εn = L − xn y calcule l´ n→∞ εn , si se sabe
ım ım
que:
4n+1
a. {xn } = { 2n+1 }.
2
2n +6n−1
b. {xn } = { 4n2 +2n+1 }.
∞
2. Sea xn una sucesión tal que l´ n→∞ xn = 2
ım
n=1
a. Halle l´ n→∞ sin xn
ım
b. Halle l´ n→∞ ln x2
ım n
3. Halle los números c cuya existencia garantiza el teorema del valor intermedio para cada una de las
siguientes funciones, en el intervalo que se indica y para el valor de L dado.
a. f (x) = −x2 + 2x + 3 en [−1, 0], para L = 2
√
b. f (x) = x2 − 5x + 2 en [6, 8],para L = 3
4. Halle las cotas superior e inferior cuya existencia garantiza el teorema de los valores extremos para
cada una de las siguientes funciones en el intervalo que se indica.
a. f (x) = x2 − 3x + 1 en [−1, 2],
b. f (x) = cos2 x − sin x en [0, 2π]
5. Halle los números c cuya existencia garantiza el teorema del valor medio para cada una de las
siguientes funciones, en el intervalo que se indica.
√
a. f (x) = x en [0, 4],
x2
b. f (x) = en [0, 1]
x+1
6. Aplique el primer teorema fundamental del cálculo a cada una de las siguientes funciones en el
intervalo que se indica.
a. f (x) = xex en [0, 2],
1

2. 3x
b. f (x) = en [−1, 1]
2
x +1
7. Aplique el segundo teorema fundamental del cálculo a cada una de las siguientes funciones:
x2
d
a. 0 t cos tdt
dx
x3 t2
d
b. 1 e dt
dx
8. Halle los números c cuya existencia garantiza el teorema del valor medio para integrales para cada
una de las siguientes funciones en el intervalo que se indica.
a. f (x) = 6x2 en [−3, 4],
b. f (x) = x cos x en [0, 3π/2]
9. Halle la suma de cada una de las siguientes sucesiones o series.
1∞
a. 2n n=0
2∞
b. 3n n=1
∞ 3
c. n=1 n2 +n
∞ 3
d. n=1 n2 +n
10. Halle el polinomio de Taylor de grado n = 4 para cada una de las siguientes funciones alrededor del
punto dado.
√
a. f (x) = x, x0 = 1
x5 + 4x2 + 3x + 1,
b. f (x) = x0 = 0
c. f (x) = cos x, x0 = 0
11. Halle el área promedio de todos los círculos centrados en el origen cuyo radio está comprendido
entre 1 y 3.
12. Sea f (x) = 1 − ex + (e − 1)sin( πx ). Demuestre que f (x) es cero cuando menos una vez en [0, 1].
2
13. Demuestre que la ecuación x3 = ex sin x debe tener por lo menos una solución en [1, 4].
14. Demuestre que la ecuación x = 3−x tiene una solución en [0, 1].
15. Sea f (x) = x sin πx − (x − 2) ln x. Demuestre que f (x) = 0 para alguna x en [1, 2] .
16. Encuentre el polinomio de Taylor de cuarto grado para f alrededor de x0 = 0 si f (x) = x cos x. Use
este polinomio para aproximar f ( π ), y encuentre una cota para el error en esta aproximación.
6
π
para aproximar cos 42◦ con una precisión de 10−6 .
17. Use un polinomio de Taylor alrededor de 4,
18. Use un polinomio para la función ln x alrededor de e , para encontrar una aproximación de ln 3 que
sea exacta a 10−4 .
19. Determine si el teorema del Valor Medio se puede aplicar en las siguientes situaciones. Si es así,
encuentre un número c que satisfaga la conclusión de este teorema; si no, demuestre que no existe
tal número.
3
a. f (x) = x 2 y [a, b] = [−1, 8]
2

3. b. f (x) = |x| y [a, b] = [−1, 1]
20. Se dice que la función f : [a, b] → R satisface una condición de Lipschitz con constante de Lipschitz
L en [a, b] si, para todas las x, y ∈ [a, b] ,
|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|
a. Demuestre que si f satisface la condición de Lipschitz con constante L en un intervalo [a, b],
entonces f (x) ∈ [a, b]
b. Demuestre que si f tiene una derivada acotada por en [a, b], entonces f satisface la condición
de Lipschitz con constante L en [a, b].
c. Dé un ejemplo de una función que sea continua en un intervalo cerrado pero que no satisfaga
una condición de Lipschitz en ese intervalo.
3