Este documento explica los momentos polares de inercia. Define el momento polar de inercia como una cantidad utilizada para predecir la habilidad de un objeto para resistir la torsión. Explica que es análogo al área de momento de inercia que caracteriza la capacidad de resistir la flexión. Presenta fórmulas para calcular el estrés de torsión y desplazamiento angular usando el momento polar de inercia. También muestra la relación entre el momento polar de inercia y los momentos rectangulares de inercia de un área.

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E
INDUSTRIAL
CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y PROCESOS
TEMA:
MOMENTOS POLARES DE INERCIA
CONSULTA
RESISTENCIA DEMATERIALES
Nombre:Efrén Luisa Mashabanda
Nivel:Quinto Industrial“A”.
Docente: Ing. M.Sc. Fernando Urrutia
Fecha:Jueves, 30 de Mayo del 2013.
Ambato – Ecuador
2013

2. 1.- TEMA:
MOMENTOS POLARES DE INERCIA
2.- OBJETIVOS:
2.1.- General:
Investigar sobre los momentos polares de inercia para saber la función que
cumplen.
2.2- Específicos:
 Explicar las características que tiene el momento polar de inercia.
 Investigar para que se utiliza el momento polar de inercia.
 Consultar el formulario de los momentos polares de inercia.
3.- MARCO TEORICO
MOMENTO POLAR DE INERCIA DEL AREA
Es una cantidad utilizada para predecir habilidad para resistir la torsión del objeto, en
los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de sección
transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones.
 Se utiliza para calcular el desplazamiento angular de un objeto sometido a un
par.
 Es análogo a la zona de momento de inercia que caracteriza la capacidad de un
objeto para resistir la flexión.
 Momento polar de inercia no debe confundirse con el momento de inercia, que
caracteriza a un objeto de la aceleración angular debido a la torsión.
Formulario
El momento polar de inercia aparece en las fórmulas que describen torsión a la tensión y
el desplazamiento angular.
El estrés de torsión:
𝝉 =
𝜯 𝐫
𝑱 𝒛
Donde 𝛵 es el par, 𝑟 es la distancia desde el centro y 𝐽𝑧 es el momento polar de inercia.
En un eje circular, el esfuerzo cortante es máximo en la superficie del eje (Ya que es
donde el par es máximo):
𝜯 𝒎𝒂𝒙 =
𝝉 𝒎𝒂𝒙 𝑱 𝒛
𝒓

3. SEGUNDO MOMENTO O MOMENTO DE INERCIA DE UN AREA
Considere de nuevo un área en el plano 𝑥𝑦 (figura 1) y el elemento de área 𝑑𝐴 de
coordenadas 𝑥 y 𝑦. El segundo momento o momento de inercia del área 𝐴 con respecto
al eje 𝑥, y el segundo momento, o momento de inercia de 𝐴 con respecto al eje 𝑦 se
define como:
𝑰 𝒙 = ∫ 𝒚 𝟐
𝒅𝑨
𝑨
𝑰 𝒚 = ∫ 𝒙 𝟐
𝒅𝑨
𝑨
Figura1
Estas integrales son los momentos rectangulares de inercia, ya que se calculan de las
coordenadas rectangulares del elemento 𝑑𝐴. Mientras cada integral es realmente una
integral doble, es posible en muchos casos elegir elementos de área 𝑑𝐴 en la forma de
delgadas tiras horizontales o verticales de tal manera que se reduzca a una integral
simple.
Se define ahora el momento polar de inercia del área A con respecto al punto 𝑂 (Figura
2) como la integral.
𝑱 𝒐 = ∫ 𝝆 𝟐
𝒅𝑨
𝑨
Figura 2

4. En donde 𝜌 es la distancia de 𝑂 al elemento 𝑑𝐴. Mientras esta integral es nuevamente
una integral doble, es posible en el caso de un área circular elegir elementos del área 𝑑𝐴
en la forma de anillos circulares y reducir el cálculo de 𝐽𝑜 a una integración única.
Se nota, de las ecuaciones anteriores que los momentos de inercia de un área son
cantidades positivas.
En el sistema SI, los momentos de inercia se expresan en 𝑚4
𝑜 𝑚𝑚4
; en el sistema de
unidades utilizado en EE.UU. se expresan en 𝑓𝑡4
𝑜 𝑖𝑛4
.
Se puede establecer una importante relación entre momento polar de inercia 𝐽𝑜 de un
área dada y los momentos de inercia 𝐼𝑥 e 𝐼 𝑦 de la misma área. Como 𝜌2
= 𝑥2
+ 𝑦2
, se
escribe:
𝑱 𝒐 = ∫ 𝝆 𝟐
𝒅𝑨
𝑨
= ∫(𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
)𝒅𝑨
𝑨
= ∫ 𝒚 𝟐
𝒅𝑨
𝑨
+ ∫ 𝒙 𝟐
𝒅𝑨
𝑨
𝑱 𝒐 = 𝑰 𝒙 + 𝑰 𝒚
Ejemplo:
Para la sección circular de la figura, determínese:
a) El momento polar de inercia 𝑱 𝒐
Se elige como el elemento de area un anillo de radio 𝜌 y espesor 𝑑𝜌.
Como todos los puntos del anillo tienen la misma distancia 𝜌 al origen, el momento
polar de inercia del anillo será:
𝑑𝐽0 = 𝜌2
𝑑𝐴 = 𝜌2
(2𝜋𝜌𝑑𝜌)
Integrando en 𝜌 de 0 a 𝑐 tenemos:
𝐽0 = ∫ 𝜌2
𝑑𝐴
𝐴
= ∫ 𝜌2(2𝜋𝜌𝑑𝜌) =
𝑐
𝐴
2𝜋 ∫ 𝜌3
𝑑𝜌
𝑐
𝐴
𝐽0 =
1
2
𝜋𝑐4

5. b) Los momentos rectangulares de inercia 𝑰 𝒙 e 𝑰 𝒚.
Por simetría tenemos 𝐼𝑥 = 𝐼 𝑦
Recordando la ecuación:
𝐽𝑜 = 𝐼𝑥 + 𝐼 𝑦 se escribe:
𝐽𝑜 = 𝐼𝑥 + 𝐼 𝑦 = 2𝐼𝑥
1
2
𝜋𝑐4
= 2𝐼𝑥
Y entonces:
𝐼𝑥 = 𝐼 𝑦 =
1
4
𝜋𝑐4
4.- CONCLUSIONES
 El momento polar de inercia del área es una cantidad utilizada para predecir
habilidad para resistir la torsión del objeto.
 El momento polar de inercia es parecido a la zona de momento de inercia que
caracteriza la capacidad de un objeto para resistir la flexión.
 Momento polar de inercia no debe mezclarse con el momento de inercia, que el
mismo se determina a un objeto de la aceleración angular debido a la torsión.
 El momento polar de inercia del área se utiliza para calcular el desplazamiento
angular de un objeto sometido a un par.
5.- BIBLIOGRAFIA
 Mecánica de materiales - Beer, Ferdinand P Johnston
 https://sites.google.com/site/inescedenofisica/momento-de-inercia/momento-
polar-de-inercia