coordenadas polares

1. Coordenadas polares
Localización de un punto
en coordenadas polares.
El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada
punto del plano se determina por un ángulo y una distancia.
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una
recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x
del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una
unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano),
todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al
origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El
valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se
conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada
angular» o «ángulo polar».
En el caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se
adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

2. Historia
Sistema de coordenadas
polares con varios ángulos
medidos en grados.
Si bien existen ejemplos de que los conceptos de ángulo y radio se conocen y manejan desde la
antigüedad, no es sino hasta el siglo XVII, posterior a la invención de la geometría analítica, en
que se puede hablar del concepto formal de sistema coordenadas polares.
Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias se relacionan con
aplicaciones a la navegación y el estudio de la bóveda celeste. El astrónomo Hiparco (190 a. C.-
120 a. C.) creó una tabla trigonométrica que daba la longitud de una cuerda en función del
ángulo y existen referencias del uso de coordenadas polares para establecer la posición de las
estrellas.1 En Sobre las espirales, Arquímedes describe la espiral de Arquímedes, una función
cuyo radio depende del ángulo. Sin embargo, estas aplicaciones no hacían uso de un sistema de
coordenadas como medio de localizar puntos en el plano, situación análoga al estado de la
geometría antes de la invención de la geometría analítica.
En tiempos modernos, Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron de
forma independiente el concepto a mediados del siglo XVII en la solución de problemas
geométricos. Saint-Vincent escribió sobre este tema en 1625 y publicó sus trabajos en 1647,
mientras que Cavalieri publicó sus escritos en 1635 y una versión corregida en 1653. Cavalieri
utilizó en primer lugar las coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el
área dentro de una espiral de Arquímedes. Blaise Pascal utilizó posteriormente las coordenadas
polares para calcular la longitud de arcos parabólicos.
Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de coordenada polar se debe a Sir Isaac
Newton, quien en su Método de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduce
ocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las cartesianas) para resolver problemas
relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de coordenadas polares. 2 En
el periódico Acta Eruditorum Jacob Bernoulli utilizó en 1691 un sistema con un punto en una
línea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediante
la distancia al polo y el ángulo respecto al eje polar. El trabajo de Bernoulli sirvió de base para
encontrar el radio de curvatura de ciertas curvas expresadas en este sistema de coordenadas.

3. El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por
los escritores italianos del siglo XVIII. El término aparece por primera vez en inglés en la
traducción de 1816 efectuada por George Peacock del Tratado del cálculo diferencial y del
cálculo integral de Sylvestre François Lacroix,3 mientras que Alexis Clairault fue el primero
que pensó en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.
Representación de puntos con coordenadas polares
Los puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas polares.
En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de
referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto
se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.
El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo
de 60º sobre OL.
El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º
sobre OL.
Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares es que un único punto del plano
puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede en el
sistema de coordenadas cartesianas. O sea que en el sistema de coordenadas polares no hay
una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de las coordenadas
polares. Esto ocurre por dos motivos:
Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese
mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el
punto ( , θ) se puede representar como ( , θ ± ×360°) o (− , θ ± (2 + 1)180°), donde es
un número entero cualquiera.4
El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los
ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para
representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con
radio 0 se encuentra siempre en el polo.5 Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para
evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de
un punto, se suele limitar a números no negativos ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o
(−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).6

4. Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo
del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en
grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la
mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.7
Conversión de coordenadas
Diagrama ilustrativo de la
relación entre las coordenadas
polares y las coordenadas
cartesianas.
En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de
coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de
coordenadas, y el ángulo del vector de posición sobre el eje x.
Conversión de coordenadas polares a rectangulares
Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo sobre el eje x, y su distancia r al
centro de coordenadas, se tiene:
Conversión de coordenadas rectangulares a polares
Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la
coordenada polar r es:
(aplicando el Teorema de Pitágoras)
Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
Para = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.
Para ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por
convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].
Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas ( denota
la inversa de la función tangente):

5. Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:
Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del
numerador y del denominador gracias a la implementación de la función atan2, que tiene
argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten
argumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la coordenada x (como
ocurre en Lisp).
Ecuaciones polares
Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas
polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo como una función de θ.
La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ( (θ), θ) y se puede
representar como la gráfica de una función .
Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar . Si
(−θ) = (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si (180°−θ) = (θ)
será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si (θ−α°) = (θ) será simétrico
rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.
Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden
describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más
intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la
lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.
Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen
restricciones en el dominio y rango de la curva.

6. Circunferencia
Un círculo con ecuación (θ) = 1.
La ecuación general para una circunferencia con centro en ( 0, φ) y radio es
En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una
circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:8
Línea
Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación
donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan donde es la pendiente
de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial
θ = φ perpendicularmente al punto ( 0, φ) tiene la ecuación

7. Rosa polar
Una rosa polar con ecuación (θ) = 2 sin 4θ.
La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede
expresarse como una ecuación polar simple,
para cualquier constante (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones
representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional
pero no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que
estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa
la longitud de los pétalos de la rosa.
Si tomamos sólo valores positivos para r y valores en el intervalo para , la gráfica de
la ecuación:
es una rosa de k pétalos, para cualquier número natural . Y si , la gráfica es una
circunferencia de radio

8. Espiral de Arquímedes
Un brazo de la espiral de Arquímedes con ecuación r(θ) = θ para 0 < θ < 6π.
La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual puede
expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación
Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b controla la
distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes
tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo.
La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva fue
una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados
matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más
fácil con una ecuación polar.
Otros ejemplos de espirales son la espiral logarítmica y la espiral de Fermat.
Secciones cónicas
Elipse, indicándose su semilado recto.

9. Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de
modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:
donde e es la excentricidad y es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde
el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1, define una
parábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo
de radio .
Números complejos
Ilustración de un número complejo z en el plano complejo.
Ilustración de un número complejo en el plano complejo usando la fórmula de Euler.
Cada número complejo se puede representar como un punto en el plano complejo, y se puede
expresar, por tanto, como un punto en coordenadas cartesianas o en coordenadas polares. El
número complejo z se puede representar en forma rectangular como

10. donde i es la unidad imaginaria. De forma alternativa, se puede escribir en forma polar
(mediante las fórmulas de conversión dadas arriba) como
por lo que se deduce que
donde e es la constante de Neper.9 Esta expresión es equivalente a la mostrada en la fórmula
de Euler. (Nótese que en esta fórmula, al igual que en todas aquellas en las que intervienen
exponenciales de ángulos, se asume que el ángulo θ está expresado en radianes.) Para pasar de
la forma polar a la forma rectangular de un número complejo dado se pueden usar las fórmulas
de conversión vistas anteriormente.
Para las operaciones de multiplicación, división y exponenciación de números complejos, es
normalmente mucho más simple trabajar con números complejos expresados en forma polar
que con su equivalente en forma rectangular:
Multiplicación:
Cálculo infinitesimal
El cálculo infinitesimal puede ser aplicado a las ecuaciones expresadas en coordenadas polares.
A lo largo de esta sección se expresa la coordenada angular θ en radianes, al ser la opción
convencional en el análisis matemático.10 11
Cálculo diferencial
Partiendo de las ecuaciones de conversión entre coordenadas rectangulares y polares, y
tomando derivadas parciales se obtiene
Para encontrar la pendiente en cartesianas de la recta tangente a una curva polar r(θ) en un
punto dado, la curva debe expresarse primero como un sistema de ecuaciones paramétricas
Diferenciando ambas ecuaciones respecto a θ resulta

11. Dividiendo la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la recta
tangente a la curva en el punto (r, r(θ)):
Cálculo integral
La región R está delimitada por la curva r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b.
Sea R una región del plano delimitada por la curva continua r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b,
donde 0 < b − a < 2π. Entonces, el área de R viene dado por
La región R se aproxima por n sectores (aquí, n = 5).
Este resultado puede obtenerse de la siguiente manera. En primer lugar, el intervalo [ a, b] se
divide en n subintervalos, donde n es un entero positivo cualquiera. Por lo tanto Δθ, la longitud
de cada subintervalo, es igual a b − a (la longitud total del intervalo) dividido por n (el número
de subintervalos). Para cada subintervalo i = 1, 2, …, n, sea θi su punto medio. Se puede
construir un sector circular con centro en el polo, radio r(θi), ángulo central Δθ y longitud de
arco . El área de cada sector es entonces igual a
.
Por lo tanto, el área total de todos los sectores es

12. Cuanto mayor sea n, mejor es la aproximación al área. En el límite, cuando n → ∞, la suma pasa
a ser una suma de Riemann, y por tanto converge en la integral
Generalización
Usando las coordenadas cartesianas, un elemento de área infinitesimal puede ser calculado
como dA = dx dy. El método de integración por sustitución para las integrales múltiples
establece que, cuando se utiliza otro sistema de coordenadas, debe tenerse en cuenta la
matriz de conversión Jacobiana:
Por lo tanto, un elemento de área en coordenadas polares puede escribirse como:
Una función en coordenadas polares puede ser integrada como sigue:
donde R es la región comprendida por una curva r(θ) y las rectas θ = a y θ = b.
La fórmula para el área de R mencionada arriba se obtiene tomando f como una función
constante igual a 1. Una de las aplicaciones de estas fórmulas es el cálculo de la Integral de
Gauss :
Cálculo vectorial
El cálculo vectorial puede aplicarse también a las coordenadas polares. Sea el vector de
posición , con r y dependientes del tiempo t.
Sea
un vector unitario en la dirección de y
un vector unitario ortogonal a . Las derivadas primera y segunda del vector de posición son:

13. División:
Exponenciación (Fórmula de De Moivre):
Extensión a más de dos dimensiones
Tres dimensiones
El sistema de coordenadas polares puede extenderse a tres dimensiones con dos sistemas de
coordenadas diferentes: el sistema de coordenadas cilíndricas y el sistema de coordenadas
esféricas. El sistema de coordenadas cilíndricas añade una coordenada de distancia, mientras
que el sistema de coordenadas esféricas añade una coordenada angular.
Coordenadas cilíndricas
Un punto representado en coordenadas cilíndricas.
Artículo principal: Coordenadas cilíndricas.
El sistema de coordenadas cilíndricas es un sistema de coordenadas que extiende al sistema de
coordenadas polares añadiendo una tercera coordenada que mide la altura de un punto sobre el
plano, de la misma forma que el sistema de coordenadas cartesianas se extiende a tres
dimensiones. La tercera coordenada se suele representar por h, haciendo que la notación de
dichas coordenadas sea (r, θ, h).

14. Las coordenadas cilíndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente
manera:
Coordenadas esféricas
Un punto representado en coordenadas esféricas.
Artículo principal: Coordenadas esféricas.
Las coordenadas polares también pueden extenderse a tres dimensiones usando las
coordenadas (ρ, φ, θ), donde ρ es la distancia al origen, φ es el ángulo con respecto al eje z
(medido de 0º a 180º), y θ es el ángulo con respecto al eje x (igual que en las coordenadas
polares, entre 0º y 360º) Este sistema de coordenadas es similar al sistema utilizado para
denotar la altitud y la latitud de un punto en la superficie de la Tierra, donde se sitúa el origen
en el centro de la Tierra, la latitud δ es el ángulo complementario de φ (es decir, δ = 90° − φ), y
la longitud l viene dada por θ − 180°.12
Las coordenadas esféricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente
manera:
Las coordenadas polares en el espacio tienen especial interés cuando los ángulos determinan la
función, como en el caso de la hélice.

15. n dimensiones
Es posible generalizar estas ampliaciones de forma que se obtenga un sistema de
representación para 4 o más dimensiones. Por ejemplo, para 4 dimensiones se obtiene
Aplicaciones
Las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las
posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las más adecuadas en
cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente ligado con la dirección y
longitud de un punto central, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios,
en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad
con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arquímedes, cuya
ecuación en coordenadas cartesianas sería mucho más intrincada. Además muchos sistemas
físicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o
los fenómenos originados desde un punto central, son más simples y más intuitivos de modelar
usando coordenadas polares. La motivación inicial de la introducción del sistema polar fue el
estudio del movimiento circular y el movimiento orbital.
Posición y navegación
Las coordenadas polares se usan a menudo en navegación, ya que el destino o la dirección del
trayecto pueden venir dados por un ángulo y una distancia al objeto considerado. Las
aeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares ligeramente modificado
para la navegación.
Modelado
Los Sistemas son Busterniano simetría radial poseen unas características adecuadas para el
sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Un primer ejemplo
de este uso es la ecuación del flujo de las aguas subterráneas cuando se aplica a pozos
radialmente simétricos. De la misma manera, los sistemas influenciados por una fuerza central
son también buenos candidatos para el uso de las coordenadas polares. Algunos ejemplos son
las antenas radioeléctricas, o los campos gravitatorios, que obedecen a la ley de la inversa del
cuadrado (véase el problema de los dos cuerpos).
Los sistemas radialmente asimétricos también pueden modelarse con coordenadas polares. Por
ejemplo la directividad de un micrófono, que caracteriza la sensibilidad del micrófono en
función de la dirección del sonido recibido, puede representarse por curvas polares. La curva
de un micrófono cardioide estándar, el más común de los micrófonos, tiene por ecuación r = 0,5
+ 0,5 sen θ.13

16. Campos escalares
Un problema en el análisis matemático de funciones de varias variables es la dificultad para
probar la existencia de un límite, ya que pueden obtenerse diferentes resultados según la
trayectoria de aproximación al punto. En el origen de coordenadas, uno de los puntos que
tienen más interés para el análisis (por anular habitualmente funciones racionales o
logarítmicas), este problema puede solventarse aplicando coordenadas polares. En otros puntos
es posible realizar un cambio de sistema de referencia y así aplicar el truco.
Al sustituir las coordenadas cartesianas x, y, z... por sus correspondientes equivalencias en
coordenadas polares, el límite al aproximarse al origen se reduce a un límite de una única
variable, lo que resulta fácil de calcular por ser el seno y el coseno funciones acotadas y r un
infinitésimo. Si el resultado no muestra dependencia angular, es posible aseverar que el límite
es indistinto del punto y trayectoria desde el que se ha aproximado.
Rosa polar
En matemáticas, rosa polar es el nombre que recibe cualquier miembro de una familia de
curvas de ecuación por asemejarse a una flor de pétalos.
Esta familia, también conocida como rhodoneas (del griego rhodon, rosa), fue estudiada por el
matemático Luigi Guido Grandi, en torno al 1725, en su libro Flores Geometrici.1
Como casos particulares, la rosa de tres pétalos recibe también el nombre de trifolium regular
y la de cuatro, el de quadrifolium. Para k=1/2 se obtiene la curva conocida como folium de
Durero.
Ecuación
Rosas definidas por , para
valores racionales de k=n/d. La última
fila corresponde a valores enteros de k.
Su expresión general en coordenadas polares es:

17. Donde a representa la longitud de los pétalos y sólo tiene un efecto de realizar una rotación
global sobre la figura. Salvo similaridad, todas estas curvas pueden reducirse a la familia:
2
Aquí la forma queda determinada por el valor del parámetro k:
Si k es un número entero, estas ecuaciones producirán k pétalos si k es impar, o 2k pétalos si k
es par.
Si k es racional, entonces la curva es cerrada y de longitud finita.
Si k es irracional, su imagen formará un conjunto denso en el disco de radio a.
La expresión en coordenadas cartesianas de la rosa de cuatro pétalos es
y para la rosa de tres pétalos .
Área
Rosa polar de ecuación (θ) = 2 sin 4θ.
Su área es, sorprendentemente, la mitad
de la del círculo en que está inscrita.
El área de una rosa de ecuación con k natural es igual a:
si k es par, y
si k es impar.
http://es.wikipedia.org/wiki/Rosa_polar

18. Espiral de Arquímedes
La espiral de Arquímedes (también espiral aritmética) obtuvo su nombre del matemático
griego Arquímedes, quien vivió en el siglo III antes de Cristo. Se define como el lugar
geométrico de un punto moviéndose a velocidad constante sobre una recta que gira sobre un
punto de origen fijo a Velocidad Angular constante.
En coordenadas polares (r, θ) la espiral de Arquímedes puede ser descrita por la ecuación
siguiente:
siendo a y b números reales. Cuando el parámetro a cambia, la espiral gira, mientras que b
controla la distancia en giros sucesivos.
Arquímedes describió esta espiral en su libro De las Espirales.
Esta curva se distingue de la espiral logarítmica por el hecho de que vueltas sucesivas de la
misma tienen distancias de separación constantes (iguales a 2πb si θ es medido en radianes),
mientras que en una espiral logarítmica la separación está dada por una progresión geométrica.
Hay que notar que la espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0.
Los dos brazos están discretamente conectados en el origen y sólo se muestra uno de ellos en
la gráfica. Tomando la imagen reflejada en el eje Y produciremos el otro brazo.
A veces, el término es usado para un grupo más general de espirales.
La espiral normal ocurre cuando x = 1. Otras espirales que caen dentro del grupo incluyen la
espiral hiperbólica, la espiral de Fermat, y el Lituus. Virtualmente todas las espirales estáticas
que aparecen en la naturaleza son espirales logarítmicas, no de Arquímedes. Muchas espirales

19. dinámicas (como la espiral de Parker del viento solar, o el patrón producido por una rueda de
Catherine) son del grupo de Arquímedes.
Aplicaciones
Mecanismo de una bomba de desplazamiento
La espiral de Arquímedes tiene una plétora de aplicaciones. Por ejemplo, se emplean muelles de
compresión, hechos de dos espirales de Arquímedes del mismo tamaño intercaladas, para
comprimir líquidos y gases.
Los surcos de las primeras grabaciones para gramófonos (Disco de vinilo) forman una espiral de
Arquímedes, haciendo los surcos igualmente espaciados y maximizando el tiempo de grabación
que podría acomodarse dentro de la grabación (aunque esto fue cambiado posteriormente para
incrementar la cantidad del sonido).
Pedirle a un paciente que dibuje una espiral de Arquímedes es una manera de cuantificar el
temblor humano; esta información ayuda en el diagnóstico de enfermedades neurológicas.
Estas espirales son también usadas en sistemas DLP de proyección para minimizar el efecto de
arcoiris, que simula un despliegue de varios colores al mismo tiempo, cuando en realidad se
proyectan ciclos de rojo, verde y azul rápidamente.
Un método para la cuadratura del círculo, relajando las limitaciones estrictas en el uso de una
regla y un compás en las pruebas geométricas de la Grecia antigua, hace uso de la Espiral de
Arquímedes. También existe un método para trisectar ángulos basado en el uso de esta espiral.
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un ejemplo de coordenadas
ortogonales usadas en espacios euclídeos caracterizadas por la existencia de dos ejes
perpendiculares entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se
definen como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre
cada uno de los ejes.

20. Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema
de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o
respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan
en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o
rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.
Historia
Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre
filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en el método
de tomar un «punto de partida» evidente sobre el que edificaría todo el conocimiento.
Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un «punto de
partida» en esta disciplina, el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la
geometría plana, que usa sólo dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto
denominado «origen de coordenadas».
Tres ejemplos de coordinadas asignadas a tres puntos diferentes (verde, rojo y azul), sus
proyecciones ortogonales sobre los ejes constituyen sus coordenadas cartesianas.
[editar] Recta euclídea
Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo
si está situado a la derecha de un punto O, y negativo si está a la izquierda. Dicho punto se
llama origen de coordenadas O (letra O) y se asocia al valor 0 (cero).
Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual se define un origen
de coordenadas, simbolizado con la letra O (O de origen) y un vector unitario en la dirección
positiva de las x: .

21. Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y se le pueden aplicar
todas las operaciones correspondientes a espacios vectoriales. También se le llama recta real.
Un punto:
también puede representarse:
La distancia entre dos puntos A y B es:
[editar] Plano euclídeo
Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el
origen, cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números: (x, y), que son las
coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, que son las distancias
ortogonales de dicho punto respecto a los ejes cartesianos.
Sistema de coordenadas cartesianas.

22. La ecuación del eje x es y = 0, y la del eje y es x = 0, rectas que se cortan en el origen O, cuyas
coordenadas son, obviamente, (0, 0).
Se denomina también eje de las abscisas al eje x, y eje de las ordenadas al eje y. Los ejes
dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de
positivo a negativo (por ejemplo, las dos coordenadas del punto A serán positivas, mientras que
las del punto B serán ambas negativas).
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento
entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.
Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los
ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define
respecto del origen con las componentes del vector OA.
La posición del punto A será:
Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las
componentes de un vector en notación matricial.
La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:
Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.
Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de
origen de las del punto de destino:
Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia d AB entre los puntos A y B antes
calculada.
Espacio euclídeo
Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre sí (X, Y,
Z), que se cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto del espacio puede nombrarse mediante tres
números: (x, y, z), denominados coordenadas del punto, que son las distancias ortogonales a los
tres planos principales: los que contienen las parejas de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente.

23. coordenadas cartesianas espaciales.
Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en ocho
cuadrantes en los que, como en el caso anterior, los signos de las coordenadas pueden ser
positivos o negativos.
La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que
ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto.
Las coordenadas del punto A serán:
y el B:
La distancia entre los puntos A y B será:
El segmento AB será:

24. [editar] Cambio del sistema de coordenadas
Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse tres transformaciones
elementales: traslación (del origen), rotación (alrededor de un eje) y escalado.
[editar] Traslación del origen
Traslación del origen en coordenadas cartesianas.
Suponiendo un sistema de coordenadas inicial S1 con origen en O y ejes x e y
y las coordenadas de un punto A dado, sean en el sistema S1:
dado un segundo sistema de referencia S2
Siendo los centros de coordenadas de los sistemas 0 y 0´, puntos distintos, y los ejes x, x´; e
y, y´ paralelos dos a dos, y las coordenadas de O´, respecto a S1:
Se dice traslación del origen, a calcular las coordenadas de A en S2, según los datos
anteriores, que llamaremos:

25. Dados los puntos O, O´ y A, tenemos la suma de vectores:
despejando
Lo que es lo mismo que:
Separando los vectores por coordenadas:
y ampliándolo a tres dimensiones:
Rotación alrededor del origen
Rotación alrededor del origen en coordenadas cartesianas.
Dado un sistema de coordenadas en el plano S1 con origen en O y ejes x e y:

26. y una base ortonormal de este sistema:
Un punto A del plano se representará en este sistema según sus coordenadas:
Para un segundo sistema S2 de referencia girado un ángulo , respecto al primero:
y con una base ortonormal:
Al cálculo de las coordenadas del punto A, respecto a este segundo sistema de referencia,
girado respecto al primero, se llama rotación alrededor del origen, siendo su representación:
Hay que tener en cuenta que el punto y son el mismo punto, ; se emplea una
denominación u otra para indicar el sistema de referencia empleado. El valor de las
coordenadas respecto a uno u otro sistema, sí son diferentes, y es lo que se pretende calcular.
La representación de B1 en B2 es:
Dado que el punto A en B1 es:
con la transformación anterior tenemos:
Y, deshaciendo los paréntesis:

27. reordenando:
Como:
;
Tenemos que:
Como sabíamos:
Por identificación de términos:
Que son las coordenadas de A en B2, en función de las coordenadas de A en B1 y de .
Escalado
Sea un punto con coordenadas (x,y) en el plano. Si se cambia la escala de ambos ejes en un
factor λ, las coordenadas de dicho punto en el nuevo sistema de coordenadas pasarán a ser:
El factor de escala λ no necesariamente debe ser el mismo para ambos ejes.
[editar] Cálculo matricial
Siendo [T] la matriz de transformación y cuyas filas son precisamente las componentes de los
vectores unitarios i ' y j ' respecto de los originales i y j, o si se prefiere, cuyas columnas son
las componentes de los vectores unitarios originales en el sistema de referencia rotado.

28. Nota: Las magnitudes vectoriales están en negrita.
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
Plano (geometría)
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Intersección de dos planos en un espacio tridimensional. Representación isométrica de dos
planos perpendiculares.
Representación gráfica informal de un plano.
En geometría, un plano es el ente ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos
puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta.

29. Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares.
Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones
entre los entes geométricos fundamentales. .-Cuando se habla de un plano, se está haciendo
referencia a la superficie geométrica que no posee volumen (es decir, que es solo
bidimensional) y que posee un número infinito de rectas y puntos que lo cruzan de un lado al
otro. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material
que es elaborado como una representación gráfica de superficies de diferente tipo. Los planos
son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven para diagramar
en una superficie plana otras superficies que son regularmente tridimensionales.
Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:
Tres puntos no alineados.
Una recta y un punto exterior a ella.
Dos rectas paralelas.
Dos rectas que se cortan.
Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.
Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por
bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).
Propiedades del plano ℝ3
En un espacio euclidiano tridimensional ℝ3, podemos hallar los siguientes hechos, (los cuales no
son necesariamente válidos para dimensiones mayores).
Dos planos o son paralelos o se intersecan en una línea.
Una línea es paralela a un plano o interseca al mismo en un punto o es contenida por el
plano mismo.
Dos líneas perpendiculares a un mismo plano son necesariamente paralelas entre sí.
Dos planos perpendiculares a una misma línea son necesariamente paralelos entre sí.
Entre un plano Π cualquiera y una línea no perpendicular al mismo existe solo un plano
tal que contiene a la línea y es perpendicular al plano Π.
Entre un plano Π cualquiera y una línea perpendicular al mismo existe un número
infinito de planos tal que contienen a la línea y son perpendiculares al plano Π.
[editar] Ecuación del plano
Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos vectores
Punto P = (x1, y1, z1)
Vector u = (a1, b1, c1)
Vector v = (a2, b2, c2)

30. Esta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma más utilizada es la reducida,
resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto genérico X
= (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es:
Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto vectorial de los
vectores u y v. La fórmula para hallar la ecuación cuando no está en el origen es:
Posición relativa entre dos planos
Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un
punto B y un vector normal 2.
Sus posiciones relativas pueden ser:
Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A
pertenece al plano 2.
Planos paralelos: si tienen la misma direción los vectores normales y el punto A no
pertenece al plano 2.
Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.
[editar] Distancia de un punto a un plano
Para un plano cualquiera y un punto cualquiera
no necesariamente contenido en dicho plano Π, la menor distancia entre
P1 y el plano Π es:
De lo anterior se deduce que el punto P1 pertenecerá al plano Π si y solo si D=0.
Si los coeficientes a, b y c de la ecuación canónica de un plano cualquiera están normalizados,
esto es cuando , entonces la fórmula anterior de la distancia D se
reduce a:

31. [editar] Semiplano
Se llama semiplano, en geometría, a cada una de las dos partes en que un plano queda dividido
por una recta.
[editar] Postulados de la división de un plano
En cada pareja de semiplanos que una recta r determina sobre un plano, existen infinitos
puntos tales que:
1. Todo punto del plano pertenece a uno de los dos semiplanos, o a la recta que los
determina.
2. Dos puntos del mismo semiplano, determinan un segmento que no corta a la recta r.
3. Dos puntos de semiplanos diferentes, determinan un segmento que corta a la recta r.
Ésta, la recta, es un conjunto de infinitos puntos alineados, sin principio ni fin.
http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_%28geometr%C3%ADa%29
Espacio euclídeo
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En matemáticas, el espacio euclídeo es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los
axiomas de Euclides de la geometría. La recta real, el plano euclídeo, al espacio tridimensional
de la geometría euclidiana son casos especiales de espacios euclídeos de dimensiones 1, 2 y 3
respectivamente. El concepto abstracto de espacio euclídeo generaliza esas construcciones a
más dimensiones.
El término euclídeo se utiliza para distinguir estos espacios de los espacios curvos de las
geometrías no euclidianas y del espacio de la teoría de la relatividad de Einstein. Para resaltar
el hecho de que un espacio euclídeo puede poseer n dimensiones, se suele hablar de "espacio
euclídeo n-dimensional" (denotado , o incluso )
Introducción
Un espacio euclídeo es un espacio vectorial normado sobre los números reales de dimensión
finita, en que la norma es la asociada al producto escalar ordinario. Para cada número entero no
negativo n, el espacio euclídeo n-dimensional es el conjunto:

32. junto con la función distancia obtenida mediante la siguiente definición de distancia entre dos
puntos (x1, ..., xn) e (y1, ..., yn):
Esta función distancia está basada en el teorema de Pitágoras y es llamada Distancia
euclidiana.
[editar] Estructuras sobre el espacio euclídeo
Los espacios euclidianos y sus propiedades han servido de base para generar gran cantidad de
conceptos matemáticos relacionados con la geometría, la topología, el álgebra y el cálculo.
Aunque el espacio euclídeo suele ser introducido, por razones didácticas, como espacio
vectorial, en realidad sobre él se pueden definir muchas más estructuras. El espacio euclídeo
es además de un espacio vectorial un caso de:
Un espacio de Hilbert de dimensión finita, con el producto escalar ordinario.
Un espacio de Banach de dimensión finita, con norma inducida por el producto escalar
interior.
Un espacio métrico completo, con distancia inducida por la norma anterior.
Un espacio topológico, inducido por la métrica euclídea.
Un grupo de Lie, con la operación de adición.
Un álgebra de Lie con el producto vectorial.
[editar] El espacio euclídeo como espacio métrico
Por definición, E n es un espacio métrico, y es por tanto también un espacio topológico; es el
ejemplo prototípico de una n-variedad, y es de hecho una n-variedad diferenciable. Para n ≠ 4,
cualquier n-variedad diferenciable que sea homeomorfa a E n es también difeomorfa a ella. El
hecho sorprendente es que esto no es cierto también para n = 4, lo que fue probado por Simon
Donaldson en el año 1982; los contraejemplos se llaman 4-espacios exóticos (o falsos).
[editar] El espacio euclídeo como espacio topológico
Se puede decir mucho sobre la topología de E n, Pero esperaremos a una próxima edición de
este artículo. Un resultado importante, el invariancia del dominio de Brouwer, es el de que
cualquier subconjunto de E n que sea homeomorfo a un subconjunto abierto de E n es en sí
mismo abierto. Como consecuencia inmediata de esto se tiene que E m no es homeomorfo a E n si
m ≠ n -- un resultado intuitivamente "obvio" que sin embargo no es fácil de demostrar.
[editar] El espacio euclídeo como espacio vectorial
Artículo principal: Vector (espacio euclídeo).

33. El n-espacio euclídeo se puede considerar también como un Espacio vectorial n-dimensional
real, de hecho un Espacio de Hilbert, de manera natural. El producto escalar, de x = (x1,...,xn) e
y = (y1,...,yn) está dado por:
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
Espacio vectorial
Este artículo está orientado a proporcionar un tratamiento riguroso y abstracto del
concepto de espacio vectorial. Para una introducción más accesible al concepto, véase
Vector
http://es.wikipedia.org/wiki/Vector
En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un
conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del
conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho
conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.

34. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo,
escalares.