1. C´lculo para la ingenier´
a ıa
Salvador Vera
28 de marzo de 2004

2. ii
Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.

3. ´
Indice general
1. Conceptos b´sicos
a 1
1.1. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Orden, desigualdades e intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Valor absoluto y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. El plano y el espacio cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1. Sistema rectangular de coordenadas cartesianas . . . . . . . . 10
1.2.2. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3. El c´ ırculo y la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2. Representaci´n de funciones . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 21
1.3.3. Dominio impl´ ıcito de una funci´n . . . . . . . . . . . .
o . . . . 25
1.3.4. Restricciones y extensiones de funciones . . . . . . . . . . . . 27
1.3.5. Composici´n de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 27
1.3.6. Funciones inyectivas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.7. Funciones suprayectivas y biyectivas . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.8. Im´genes directa e inversa de un conjunto . . . . . . .
a . . . . 37
1.3.9. Funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3.10. La funci´n valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 38
1.4. L´
ımite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5. L´
ımite y continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.5.1. Definici´n de l´
o ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.5.2. L´ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.5.3. Propiedades de los l´ ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.5.4. Continuidad de una funci´n en un punto . . . . . . . .
o . . . . 58
1.5.5. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . 60
1.5.6. L´ımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.5.7. L´ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.5.8. T´cnicas elementales para el c´lculo de l´
e a ımites . . . . . . . . 70
1.5.9. Infinit´simos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . 74
1.5.10. Infinit´simos m´s frecuentes en z → 0 . . . . . . . . .
e a . . . . 75
1.6. Funciones hiperb´licas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 77
1.6.1. Coseno y seno hiperb´lico . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 77
1.6.2. F´rmula fundamental de la Trigonometr´ hiperb´lica
o ıa o . . . . 78
1.6.3. Significado del t´rmino “hiperb´licas”. . . . . . . . . .
e o . . . . 78
1.6.4. Otras razones hiperb´licas . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 79
1.6.5. F´rmulas del ´ngulo doble . . . . . . . . . . . . . . . .
o a . . . . 79
iii

4. iv ´
INDICE GENERAL
1.6.6. El cuadrado del senh y del cosh . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.6.7. Gr´fica de las funciones hiperb´licas
a o . . . . . . . . . . . . . . 80
1.6.8. Funciones hiperb´licas inversas . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 81
1.6.9. Identidad hiperb´lica . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 82
1.6.10. F´rmula logar´
o ıtmica de las funciones hiperb´licas
o inversas . . 82
1.7. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2. Funciones de varias variables: L´ ımites 85
2.1. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.1.2. Dominio de una funci´n de varias variables . . . . . . . .
o . . 89
2.1.3. Operaciones con funciones de varias variables. . . . . . . . . . 94
2.1.4. Composici´n de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . 96
2.1.5. Gr´fica de una funci´n de dos variables . . . . . . . . . .
a o . . 102
2.1.6. Otras representaciones de las funciones de varias variables . . 110
2.2. L´
ımite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.2.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . 111
2.2.2. Entorno de un punto en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.2.3. L´ımite y continuidad en dos variables . . . . . . . . . . . . . 113
2.2.4. L´ımite de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.2.5. Comprobando l´ ımites aplicando la definici´n . . . . . . .
o . . 118
2.2.6. C´lculo de l´
a ımites mediante operaciones algebraicas . . . . . 122
2.2.7. Teorema del encaje y de la acotaci´n . . . . . . . . . . . .
o . . 124
2.2.8. Infinit´simos equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . 125
2.2.9. Inexistencia de l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.2.10. L´
ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.3. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3. Derivada de Funciones de una variable 141
3.1. Derivada y continuidad. Tangente y normal . . . . . . . . . . . . . . 141
3.1.1. Idea intuitiva de recta tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.1.2. Rectas tangentes no intuitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.1.3. La pendiente de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.1.4. Definici´n de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 144
3.1.5. Otra forma de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.1.6. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.1.7. Derivada y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.1.8. Significado gr´fico de la derivada: Suavidad. . . . . . . . . .
a . 148
3.1.9. La ecuaci´n de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . .
o . 148
3.1.10. La ecuaci´n de la recta normal . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 150
3.1.11. Curvas de tangente horizontal y curvas de tangente vertical . 150
3.2. Funci´n derivada. reglas de derivaci´n. . . . . . . . . . . . . . . . .
o o . 151
3.2.1. Funci´n derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 151
3.2.2. Reglas de derivaci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 152
3.2.3. Derivadas de funciones con un punto aparte . . . . . . . . . . 154
3.2.4. Derivada de funciones definidas a trozos . . . . . . . . . . . . 156
3.2.5. Derivaci´n de funciones impl´
o ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.2.6. Derivaci´n logar´
o ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.2.7. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.2.8. Aproximaci´n lineal y notaci´n diferencial . . . . . . . . . .
o o . 162

5. ´
INDICE GENERAL v
3.3. L´
ımite de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.3.1. Infinit´simos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 164
3.3.2. Infinit´simos m´s frecuentes en z → 0 . . . . . . . . . . . . .
e a 164
3.3.3. Formas indeterminadas. Reglas de L’Hˆpital. . . . . . . . . .
o 165
3.4. L´
ımite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.5. Estudio local de funciones. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . 175
3.5.1. Introducci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 175
3.5.2. Algunas propiedades de los polinomios . . . . . . . . . . . . . 176
3.5.3. Polinomio de Taylor de una funci´n no polin´mica . . . . . .
o o 179
3.5.4. Polinomio de Taylor de las funciones elementales . . . . . . . 181
3.5.5. Resto de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.5.6. Aplicaciones de la f´rmula de Taylor a c´lculos aproximados .
o a 185
3.5.7. Aplicaciones de la F´rmula de Taylor al c´lculo de l´
o a ımites . . 187
3.6. Extremos de funciones de una sola variable . . . . . . . . . . . . . . 188
3.6.1. M´ximos y m´
a ınimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.6.2. M´ximos y m´
a ınimos relativos o locales . . . . . . . . . . . . . 192
3.6.3. Determinaci´n de funciones conocidos sus puntos cr´
o ıticos . . 196
3.6.4. Problemas de aplicaci´n de m´ximos y m´
o a ınimos . . . . . . . . 196
3.7. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4. Derivaci´n de funciones multivariables
o 203
4.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 203
4.1.2. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 204
4.1.3. La funci´n derivada parcial . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 206
4.1.4. Funciones de m´s de dos variables . . . . . . . . . .
a . . . . . 208
4.1.5. Raz´n de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 210
4.1.6. Interpretaci´n geom´trica de las derivadas parciales
o e . . . . . 211
4.1.7. Continuidad y derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.2. Derivadas parciales de ´rdenes superiores . . . . . . . . . .
o . . . . . 214
4.3. Derivadas direccionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.3.1. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.3.2. Derivada direccional y derivadas parciales . . . . . . . . . . . 223
4.4. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
4.4.1. Generalizaci´n del concepto de diferenciabilidad . .
o . . . . . 226
4.4.2. Diferenciabilidad y derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . 229
4.4.3. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.4.4. Diferenciabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.4.5. Diferenciabilidad de funciones de n variables . . . . . . . . . 235
4.4.6. Condici´n suficiente para la diferenciabilidad . . . .
o . . . . . 236
4.4.7. Caracterizaci´n de las funciones diferenciables . . . .
o . . . . . 238
4.4.8. Diferenciabilidad y derivadas direccionales . . . . . . . . . . . 240
4.4.9. La derivada seg´n una direcci´n curva . . . . . . . .
u o . . . . . 241
4.5. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
4.5.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 241
4.5.2. Vector gradiente y derivada direccional . . . . . . . . . . . . . 243
4.5.3. Gradiente y curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.6. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.6.1. Vectores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

6. vi ´
INDICE GENERAL
4.6.2. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.6.3. Recta tangente y plano normal a una curva en el espacio . . . 252
4.6.4. La diferencial como aproximaci´n del incremento . . . . . .
o . 254
4.7. Funciones vectoriales y matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . 259
4.7.1. Funciones vectoriales de variable vectorial . . . . . . . . . . . 259
4.7.2. Continuidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . 260
4.7.3. Derivadas parciales de funciones vectoriales . . . . . . . . . . 262
4.7.4. Funciones vectoriales diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . 263
4.8. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
4.8.1. Funciones compuestas, inversas e impl´ ıcitas de una variable . 267
4.8.2. Composici´n de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . .
o . 268
4.8.3. Regla de la cadena. Perspectiva te´rica: Diferencial . . . . .
o . 271
4.8.4. Regla de la cadena. Perspectiva pr´ctica: Parciales . . . . .
a . 273
4.8.5. Regla de la cadena. Perspectiva general: Matriz jacobiana . . 281
4.9. Funciones impl´ ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
4.9.1. Funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
4.9.2. Funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
4.10. Extremos de las funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . 296
4.10.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 296
4.10.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
4.10.3. Estudio de la naturaleza de los puntos cr´ ıticos . . . . . . . . 298
4.10.4. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange . 305
4.10.5. M´ximos y m´
a ınimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
4.11. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
5. Integral definida. C´lculo de primitivas
a 319
5.1. La estimaci´n de un ´rea. Sumas de Riemann. . . . . . . . .
o a . . . . 319
5.1.1. Significado geom´trico de la integral . . . . . . . . . .
e . . . . 319
5.1.2. C´lculo de l´
a ımites utilizando el concepto de integral . . . . . 324
5.1.3. Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . 330
5.2. El teorema fundamental del C´lculo . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . 333
5.2.1. Regla de Barrow: La integral como una primitiva . . . . . . . 337
5.3. Integraci´n inmediata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 341
5.3.1. Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . 341
5.3.2. Tabla de integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
5.4. Integraci´n mediante cambio de variable . . . . . . . . . . . .
o . . . . 343
5.5. Integraci´n por partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 346
5.6. Integraci´n de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 350
5.6.1. Integraci´n de fracciones elementales . . . . . . . . . .
o . . . . 350
5.6.2. Integraci´n mediante desarrollo en fracciones simples .
o . . . . 351
5.7. Integraci´n de expresiones trigonom´tricas . . . . . . . . . . .
o e . . . . 358
5.7.1. Integraci´n de potencias de funciones trigonom´tricas
o e . . . . 358
5.7.2. Integraci´n de funciones racionales del sen y del cos .
o . . . . 360
5.8. Integraci´n de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 362
5.8.1. Radicales semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
5.8.2. La sustituci´n trigonom´trica . . . . . . . . . . . . . .
o e . . . . 363
5.9. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

7. ´
INDICE GENERAL vii
6. Aplicaciones de la integral. 367
6.1. C´lculo del ´rea de una figura plana. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a a . 367
6.2. C´lculo del volumen de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . 370
6.2.1. Volumen de un cuerpo cualquiera: M´todo de secciones . .
e . 370
6.2.2. Volumen de un s´lido de revoluci´n: M´todo de discos . . .
o o e . 371
6.2.3. Volumen de un s´lido de revoluci´n: M´todo de los cilindros
o o e . 371
6.3. L´
ımite de sumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
6.4. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
Soluciones a los ejercicios y problemas propuestos 379
Bibliograf´
ıa 383
´
Indice alfab´tico
e 384
Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.

8. viii ´
INDICE GENERAL

9. Cap´
ıtulo 1
Conceptos b´sicos
a
1.1. La recta real
Suponemos conocidos los n´meros reales, as´ como su representaci´n en la
u ı o
recta real.
Los n´meros reales se pueden representar mediante expresiones deci-
u
males finitas o infinitas. Si la expresi´n decimal es finita o peri´dica infinita,
o o
entonces el n´mero real se puede expresar como el cociente de dos n´meros
u u
enteros y se dice que el n´mero real es racional. Rec´
u ıprocamente cualquier
n´mero racional (cociente de dos enteros) se puede expresar mediante una
u
expresi´n decimal finita o infinita peri´dica. Cuando la expresi´n decimal
o o o
tiene infinitas cifras que no se repiten de manera peri´dica se dice que el
o
n´mero real es irracional.
u
Los n´meros reales admiten una representaci´n geom´trica en una recta.
u o e
En dicha representaci´n cada n´mero real se representa por un solo punto
o u
de la recta y cada punto de la recta representa un solo n´mero real. En con-
u
secuencia, hablaremos indistintamente de n´mero o de punto. Por convenio,
u
los n´meros positivos se representan a la derecha del cero y los negativos a
u
la izquierda. Se llama recta real a una recta en la que se han representado
los n´meros reales.
u
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1
√ π
2 2
Figura 1.1: La recta real
1.1.1. Orden, desigualdades e intervalos
Definici´n 1.1 (N´ meros positivos y n´ meros negativos). 1) Para
o u u
cada n´mero real a est´ definida una y s´lo una de las siguientes relaciones:
u a o
1

10. 2 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
a) a es mayor que cero (es positivo), a > 0;
b) a es igual a cero, a = 0;
c) a es menor que cero (es negativo), a < 0.
2) Si a y b son n´meros positivos, entonces
u
a) Su suma es positiva, a + b > 0.
b) Su producto es tambi´n positivo, ab > 0.
e
Definici´n 1.2 (Orden en la recta real). Dados dos n´meros reales a y
o u
b. Se dice que a es menor que b y se denota a < b, si b − a es positivo.
a<b ⇔ b−a>0
Si a es menor que b, tambi´n se dice que b es mayor que a y se escribe b > a
e
ımbolo a ≤ b significa que a es menor o igual que b.
El s´
Si a < b, entonces a se representa en la recta a la izquierda de b.
Proposici´n 1.1 (Propiedades de las desigualdades). Si a, b, c y d
o
son n´meros reales, se tiene:
u
1. Transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c
2. Aditiva: Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d
a+c<b+c
3. Si a < b, entonces, para cualquier n´mero real c
u
a−c<b−c
4. Si a < b y p > 0, entonces ap < bp
5. Si a < b y n < 0, entonces an > bn
Nota: En consecuencia, podemos decir que con las desigualdades se pueden realizar las
mismas transformaciones que con las igualdades, salvo que al multiplicar o dividir, ambos
miembros, por un n´mero negativo hay que invertir el sentido de la desigualdad. As´
u ı,
−2x < 6 ↔ x > −3
Una desigualdad en la que aparecen una o varias variables tambi´n se llama inecuaci´n.
e o
Definici´n 1.3 (Intervalos). Sean a y b dos n´meros reales tales que
o u
a ≤ b. Se llama intervalo abierto de extremos a y b, al conjunto de puntos
comprendidos entre a y b, excluidos dichos puntos
(a, b) = {x ∈ R/ a < x < b}
Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, al conjunto de puntos com-
prendidos entre a y b, incluidos dichos puntos
[a, b] = {x ∈ R/ a ≤ x ≤ b}
Nota: Usamos par´ntesis (a, b), tanto para representar el intervalo abierto (a, b), como
e
para indicar el punto del plano de coordenadas (a, b). No obstante, el contexto determi-
nar´ en cada caso a qu´ nos estamos refiriendo.
a e

11. 1.1. LA RECTA REAL 3
Tambi´n se definen los siguientes tipos de intervalos:
e
Intervalos semiabiertos
[a, b) = {x ∈ R/ a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ R/ a < x ≤ b}
Intervalos infinitos
(−∞, b] = {x ∈ R/ x ≤ b}
(−∞, b) = {x ∈ R/ x < b}
(a, +∞) = {x ∈ R/ a < x}
[a, +∞) = {x ∈ R/ a ≤ x}
(−∞, +∞) = R
Ejemplo 1.1 (Resolviendo inecuaciones). Hallar el conjunto soluci´n de las
o
siguientes desigualdades
a) 2x − 3 < 5 b) 3 − 2x < 5
Soluci´n. a) Operando, como si se tratara de una ecuaci´n, resulta:
o o
8
2x − 3 < 5 → 2x < 5 + 3 → x< → x<2
2
Por tanto, el conjunto soluci´n es el intervalo (−∞, 2).
o
b) En este caso operamos de la misma manera, pero al dividir por -2 inver-
timos el sentido de la desigualdad. As´ı,
2
3 − 2x < 5 → −2x < 5 − 3 → x> → x > −1
−2
Luego el conjunto soluci´n es el intervalo (−1, +∞).
o
Ejemplo 1.2 (Resolviendo sistemas de inecuaciones). Hallar el conjunto
soluci´n del siguiente sistema de desigualdades
o
2x + 1 ≥ −1
3x − 7 ≤ 2
Soluci´n. Se trata de hallar la intersecci´n de los conjuntos soluci´n de
o o o
cada una de las desigualdades. Para ello, resolvemos ambas inecuaciones
por separado y luego hallamos la intersecci´n
o
2x + 1 ≥ −1 2x ≥ −1 − 1 2x ≥ −2 x ≥ −1
3x − 7 ≤ 2 3x ≤ 2 + 7 3x ≤ 9 x≤3
Luego el intervalo soluci´n es [−1, 3]
o

12. 4 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Ejemplo 1.3 (Resolviendo inecuaciones dobles). Hallar el conjunto soluci´n
o
del siguiente sistema de desigualdades
2 − 3x ≥ −1
2 − 3x ≤ 11
Soluci´n. Podemos resolver cada inecuaci´n por separado, o bien, utilizar el
o o
hecho de que la expresi´n 2 − 3x aparece en ambas inecuaciones y trabajar
o
conjuntamente. As´ı,
2 − 3x ≥ −1
− 1 ≤ 2 − 3x ≤ 11
2 − 3x ≤ 11
restando 2 en los tres miembros, resulta
−3 ≤ −3x ≤ 9
y dividiendo por -3
1 ≥ x ≥ −3
Luego el conjunto soluci´n es el intervalo [−3, 1].
o
Ejemplo 1.4 (Resolviendo inecuaciones cuadr´ticas). Hallar el conjunto
a
soluci´n de la inecuaci´n x
o o 2 < 6x − 8
Soluci´n. El camino m´s f´cil para resolver estas inecuaciones es dejar sola-
o a a
mente cero en el segundo miembro. As´ ı,
x2 − 6x + 8 < 0
ıces del polinomio p(x) = x2 − 6x + 8,
hallamos las ra´
√
2 6 ± 36 − 32 6±2 4
x − 6x + 8 = 0 → x = = =
2 2 2
Teniendo en cuenta que un polinomio cambia de signo s´lo en sus ceros1 ,
o
podemos resolver la desigualdad probando el signo del polinomio en cada
uno de los intervalos
x < 2, 2 < x < 4, x>4
que puede hacerse eligiendo un punto cualquiera en cada uno de los intervalos
y viendo el valor del polinomio en ese punto (puesto que en todo el intervalo
el polinomio conserva el signo). As´ı,
p(0) = +8 > 0, p(3) = 9 − 18 + 8 = −1 < 0, p(5) = 25 − 30 + 8 = +3 > 0
Como la desigualdad se cumple s´lo en el intervalo central, se concluye que
o
el conjunto soluci´n es
o
2 < x < 4 es decir, el intervalo (2, 4)
1
ver Corolario 1.3 en la p´gina 61
a

13. 1.1. LA RECTA REAL 5
Ejemplo 1.5 (Resolviendo inecuaciones racionales). Hallar el conjunto solu-
ci´n de la desigualdad
o
x−2
<2
x−4
Soluci´n. Dejamos cero en el segundo miembro, y operamos
o
x−2 x−2 x − 2 − 2x + 8 6−x
<2 → −2<0 → <0 → <0
x−4 x−4 x−4 x−4
Consideramos la funci´n racional
o
6−x
r(x) =
x−4
Y teniendo en cuenta que una funci´n racional puede cambiar de signo tanto
o
en los ceros del numerador como en los ceros del denominador, resulta que la
funci´n puede cambiar de signo en los puntos: x = 4 y x = 6. Luego podemos
o
resolver la desigualdad comprobando el signo de la funci´n racional en cada
o
uno de los intervalos
x<4 4<x<6 x>6
que puede hacerse eligiendo un punto cualquiera en cada uno de los intervalos
y viendo el valor de la funci´n en ese punto. As´
o ı,
6 1 −1
r(0) = < 0, r(5) = > 0, r(7) = <0
−4 1 3
Como la desigualdad se cumple s´lo en los dos intervalos de los extremos,
o
se concluye que el conjunto soluci´n es
o
x < 4 ´ x > 6, es decir, la uni´n de los intervalos (−∞, 4) ∪ (6, +∞)
o o
1.1.2. Valor absoluto y distancia
Definici´n 1.4 (Valor absoluto). Se llama valor absoluto de un n´mero
o u
ımbolo |x|, a dicho n´mero si es positivo, y a su
real x, y se denota por el s´ u
opuesto si es negativo.
x si x ≥ 0
| x |=
−x si x < 0
Es decir, |x| representa la distancia desde el origen al punto x.
Ejemplo, |3| = 3, |0| = 0, | − 3| = 3.
Nota: El valor absoluto de un n´mero nunca es negativo. Puede sorprender que −x sea
u
positivo, sin embargo, esto no es nada sorprendente, ya que podemos pensar en −(−3) =
+3 que tambi´n es positivo, a pesar del signo menos inicial, ya que los dos signos menos
e
se compensan. Igual ocurre con −x donde el signo menos que aparece de manera expl´
ıcita
se compensa con el signo menos que x tiene impl´
ıcitamente, ya que hemos supuesto, en el
segundo apartado, que x es negativo.

14. 6 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Ejemplo 1.6. Eliminar el valor absoluto en las siguientes expresiones:
√ √ √ √
(a) |1 + 2 − 3| (b) |1 + 2 − 10|
Soluci´n. Tenemos que comprobar si la expresi´n que hay dentro del valor
o o
absoluto da como resultado un n´mero positivo o negativo, si es positivo la
u
dejamos igual, y si es negativo la cambiamos de signo para convertirlo en
positivo. En consecuencia:
√ √ √ √
(a) |1 + √2 − √3| = 1 + 2 − 3 √
√ √ √
(b) |1 + 2 − 10| = −(1 + 2 − 10) = −1 − 2 + 10
Propiedades del valor absoluto
1. |x| ≥ 0 El valor absoluto nunca es negativo.
2. |x| = 0 ⇔ x = 0 El valor absoluto igualado a cero se puede suprimir.
3. |x|2 = |x2 | = x2 El valor absoluto elevado al cuadrado se puede suprimir.
4. |x| = | − x| Dentro del valor absoluto se puede cambiar de signo.
√
5. x2 = |x|
6. −|x| ≤ x ≤ |x|
7. |x + y| ≤ |x| + |y|
8. |xy| = |x| · |y|
Si p es positivo, se tiene: |x| < p
9. |x| ≤ p ⇔ −p ≤ x ≤ p −p 0 p
 k
 Q
 x≥p ' |x| = p E
10. |x| ≥ p ⇔ o k
 Q

x ≤ −p  |x| p
Aunque formalmente no es correcto, esta propiedad puede expresarse
de la forma:
|x| ≥ p ⇔ −p ≥ x ≥ p
Habr´ que tener en cuenta que cada desigualdad va por separado.
a
Nota: Tenemos que tanto x como −x son ra´ ıces cuadradas de x2 , ya que (+x)2 = x2 y
√
(−x)2 = x2 . Sin embargo, en C´lculo, para evitar la ambivalencia, el s´
a ımbolo x denota
exclusivamente la ra´ no-negativa de x.
ız
√
As´ por ejemplo, aunque 4 tenga dos ra´
ı, ıces cuadradas, 2 y -2, con el s´ımbolo 4
√
solamente nos referimos a la ra´ cuadrada positiva 4 = +2. Para indicar la ra´ cuadrada
ız ız
√
negativa tendremos que explicitarlo con un signo menos − 4 = −2.

15. 1.1. LA RECTA REAL 7
Ejemplo 1.7 (Ecuaciones con valor absoluto). Resolver las siguientes ecua-
ciones:
1. |x − 5| = 4, 2. |x − 5| = −4, 3. |x − 5| = 0, 4. |x + 1| = 3x − 9
Soluci´n.
o
 
 x−5=4  x=9
1. |x − 5| = 4 ⇒ o
´
 
x − 5 = −4 x=1
2. |x − 5| = −4 No tiene soluci´n.
o
3. |x − 5| = 0 ⇒ x−5=0 ⇒ x=5
 
 3x − 9 ≥ 0 ⇒ 3x ≥ 9 ⇒ x ≥ 3
 

 


 y 



 x+1≥0 
 x ≥ −1 

x=5
4. |x + 1| = 3x − 9 ⇒ x + 1 = 3x − 9 10 = 2x ⇒x=5
 


 o
´ 



 x+1≤0 
 x ≤ −1 


 No 

−x − 1 = 3x − 9 8 = 4x
En general, el m´todo m´s directo de atacar un problema referente a va-
e a
lores absolutos requiere la consideraci´n por separado de distintos casos. En
o
particular, siempre habr´ que considerar si lo que hay dentro del valor abso-
a
luto es positivo o es negativo. Sin embargo, en ocasiones pueden emplearse
otros m´todos m´s sencillo, por ejemplo, la ecuaci´n |x+1| = 3x−9 tambi´n
e a o e
puede resolverse gr´ficamente, estudiando los puntos de corte de las gr´ficas
a a
de las funciones f (x) = |x + 1| y g(x) = 3x − 9. Otra manera de abordar
esta ecuaci´n es resolviendo la ecuaci´n irracional: (x + 1)2 = 3x − 9
o o
Ejemplo 1.8 (Desigualdades con valor absoluto). Resolver las siguientes
desigualdades:
1. |x − 1| ≤ 3, 2. |2 − 4x| ≤ 6, 3. |x| ≥ 2
4. |x − 1| ≥ 2 5. |2x − 3| ≤ −2, 6. |2x − 3| ≥ −2
Soluci´n.
o
1. |x − 1| ≤ 3 ⇒ −3 ≤ x − 1 ≤ 3 ⇒ −2 ≤ x ≤ 4 ⇒ x ∈ − 2, 4
2. |2 − 4x| ≤ 6 ⇒ −6 ≤ 2 − 4x ≤ 6 ⇒ −8 ≤ −4x ≤ 4 ⇒ 2 ≥ x ≥ −1 ⇒
⇒ −1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x ∈ − 1, 2
x≥2
3. |x| ≥ 2 ⇒ ⇒ x ∈ − ∞, −2 ∪ 2, +∞
x ≤ −2

16. 8 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
x≥3
4. |x − 1| ≥ 2 ⇒ −2 ≥ x − 1 ≥ 2 ⇒ −1 ≥ x ≥ 3 ⇒ ⇒
x ≤ −1
⇒ x ∈ ∞, −1 ∪ 3, +∞
5. |2x − 3| ≤ −2 ⇒ No tiene soluci´n.
o
6. |2x − 3| ≥ −2 ⇒ Se cumple siempre, luego x ∈ (−∞, +∞)
Ejemplo 1.9 (Sistemas de desigualdades). Resolver el sistema de desigual-
dades:
|2x − 2| ≤ 4
|2x − 3| ≥ 1
Soluci´n. Resolvemos cada desigualdad por separado y luego hallamos la
o
intersecci´n de los conjuntos soluci´n.
o o

|2x − 2| ≤ 4 −4 ≤ 2x − 2 ≤ 4 ⇒ −2 ≤ 2x ≤ 6 ⇒ −1 ≤ x ≤ 3 
x≥2 ⇒
|2x − 3| ≥ 1 −1 ≥ 2x − 3 ≥ 1 ⇒ 2 ≥ 2x ≥ 4 ⇒ 1 ≥ x ≥ 2 ⇒ x ≤ 1 
⇒ x ∈ − 1, 1 ∪ 2, 3
Expresi´n de intervalos mediante valor absoluto
o
Cualquier intervalo se puede expresar en t´rminos de valor absoluto de la
e
siguiente forma:
a+b b−a
a, b = x ∈ R/ |x − |≤
2 2
Si m es el punto medio del intervalo [a, b], y r el radio, entonces:
|x − m| ≤ r
Para hallar el punto medio de un intervalo basta con hallar la media aritm´tica de sus
e
extremos. es decir, el punto medio del intervalo (a, b) es
a+b
m=
2
Ejemplo 1.10 (Expresi´n de intervalos mediante valor absoluto). Expresar
o
mediante valor absoluto los siguientes intervalos:
1. − 2, 2 , 2. − 1, 3 , 3. − ∞, −2 ∪ 2, +∞ , 4. − ∞, 1 ∪ 5, +∞ .
Soluci´n.
o
1. − 2, 2 = {x ∈ R/ |x| ≤ 2}

17. 1.1. LA RECTA REAL 9
2. − 1, 3 = {x ∈ R/ |x − 1| ≤ 2}
3. − ∞, −2 ∪ 2, +∞) = {x ∈ R/ |x| ≥ 2}
4. − ∞, 1 ∪ 5, +∞) = {x ∈ R/ |x − 3| ≥ 2}
Ejemplo 1.11. Expresi´n mediante valor absoluto de un entorno reducido,
o
es decir, de un entorno en el que se ha suprimido el centro. Por ejemplo,
un entorno reducido de 4 de radio 2.
Soluci´n.
o
(2, 4) ∪ (4, 6) = {x ∈ R/ 0 |x − 4| 2}
La manera de expresar que x = 4 es mediante la desigualdad 0 |x − 4|
Distancia entre dos puntos de la recta real
Definici´n 1.5 (Distancia entre dos puntos de la recta real). La
o
distancia entre dos puntos x1 y x2 de la recta real, viene definida por el
valor absoluto de su diferencia
d = |x2 − x1 | = (x2 − x1 )2
Nota: El orden en que se restan los puntos x1 y x2 no importa, ya que |x2 −x1 | = |x1 −x2 |
A la diferencia de los n´meros (sin el valor absoluto) se le llama distancia dirigida.
u
As´
ı,
a) la distancia dirigida de x1 a x2 es x2 − x1 ; y,
b) la distancia dirigida de x2 a x1 es x1 − x2 .
En consecuencia, la distancia dirigida es positiva cuando se mide hacia la derecha
(orden creciente de los n´meros) y negativa cuando se mide hacia la izquierda (orden
u
decreciente de los n´meros).
u
Ejemplo 1.12 (Distancia en la recta). Hallar la distancia entre -2 y 5
Soluci´n. a) La distancia entre -2 y 5 viene dada por:
o
d = |5 − (−2)| = |7| = 7
b) La distancia dirigida desde -2 a 5 es 5-(-2)=7
c) La distancia dirigida desde 5 a -2 es -2-5=-7
Distancia = 7
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
Figura 1.2: Distancia en la recta real

18. 10 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Ejercicios propuestos de la secci´n 1.1. La recta real
o
Soluciones en la p´gina 379
a
1.1.1. Resolver las desigualdades:
1
a) x b) 3 ≤ x2 − 6x + 8 ≤ 8
x
1.1.2. Resolver las ecuaciones:
x−2
a) |3x − 6| = x + 2 b) =3
x−1
1.1.3. Resolver las desigualdades
x−2
a) |3x − 6| x + 2 b) 3
x−1
1.2. El plano y el espacio cartesiano
1.2.1. Sistema rectangular de coordenadas cartesianas
a) Plano cartesiano. Un sistema de coordenadas rectangulares o carte-
siano, en el plano, se construye mediante dos rectas perpendiculares, lla-
madas ejes de coordenadas. La recta real horizontal se llama tradicional-
mente eje x y la vertical eje y. Su punto de intersecci´n se llama origen de
o
coordenadas.
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes llamadas cua-
drantes.
Cada punto del plano se identifica por un par ordenado (x, y) de n´meros
u
reales, llamados coordenadas del punto. El n´mero x se llama coordenada x
u
o abscisa y representa la distancia dirigida desde el eje y al punto. El n´mero
u
y se llama coordenada y u ordenada y representa la distancia dirigida desde
el eje x al punto.
y
Cuadrante II 3 Cuadrante I
2 x (x, y)
y
1 y
x
−3 −2 −1 1 2x3
−1
−2 Origen
Cuadrante III −3 Cuadrante IV
Figura 1.3: El plano cartesiano

19. 1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 11
Nota: Usamos par´ntesis (a, b), tanto para representar el intervalo abierto (a, b), como
e
para indicar el punto del plano de coordenadas (a, b). No obstante, el contexto determi-
nar´ en cada caso a qu´ nos estamos refiriendo.
a e
b) Espacio cartesiano. Un sistema de coordenadas rectangulares o carte-
siano, en el espacio, se construye mediante tres rectas perpendiculares, lla-
madas ejes de coordenadas. El primer eje se llama tradicionalmente eje x,
el segundo eje y, y el tercero eje z. Su punto de intersecci´n se llama origen
o
de coordenadas.
Un sistema de referencia tridimensional puede tener orientaci´n positiva
o
u orientaci´n negativa. Tiene orientaci´n positiva si un “tornillo” situado
o o
en el eje z que gire desde el eje x hacia el eje y, avanza hacia la direcci´n
o
positiva del eje z; y orientaci´n negativa si avanza en direcci´n contraria
o o
z z
T T
y x
E E
x
©
y
©
Orientaci´n positiva
o Orientaci´n negativa
o
Figura 1.4: Las dos orientaciones del espacio.
Los ejes de coordenadas, tomados de dos en dos, determinan tres planos
coordenados, denominados por plano xy, plano xz y plano yz. Estos planos
coordenados dividen el espacio en ocho regiones llamadas octantes. El primer
octante es aquel en que las tres coordenadas son positivas.
Cada punto del espacio se identifica por una terna ordenada (x, y, z)
de n´meros reales, llamados coordenadas del punto. El n´mero x se llama
u u
coordenada x o abscisa y representa la distancia dirigida desde el plano yx
al punto. El n´mero y se llama coordenada y u ordenada y representa la
u
distancia dirigida desde el eje xz al punto. El n´mero z se llama coordenada
u
z o cota y representa la distancia dirigida desde el eje xy al punto.
P (x, y, z)
z
y x
y
z
x
Figura 1.5: El espacio cartesiano
1.2.2. Distancia entre dos puntos
a) En el plano. Para hallar la distancia entre dos puntos del plano (x1 , y1 )
y (x2 , y2 ). Formamos con ellos un tri´ngulo rect´ngulo, con lados paralelos
a a

20. 12 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
a los ejes de coordenadas, y aplicamos el teorema de Pit´goras.
a
y
y1 (x1 , y1 )
|y2 − y1 | d
y2 (x2 , y2 )
|x2 − x1 |
x1 x2 x
Figura 1.6: Distancia entre dos puntos
En su virtud, resulta
d2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
de donde, tomando la ra´ cuadrada positiva, ya que la distancia entre dos
ız
puntos es un n´mero positivo, resulta
u
d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Proposici´n 1.2 (Distancia entre dos puntos del plano). La distancia
o
d entre los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) viene dada por
d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
b) En el espacio. Para hallar la distancia entre dos puntos del espacio,
(x1 , y1 , z1 ) y (x2 , y2 , z2 ), se aplica el teorema de Pit´goras dos veces y se
a
obtiene la siguiente f´rmula o
d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
c) En el espacio n-dimensional. Se llama punto x de un espacio n-
dimensional al conjunto ordenado (n-upla) de n´meros reales (x1 , x2 , · · · , xn )
u
El n´mero xi se llama coordenada i-´sima del punto x; i = 1, 2, . . . , n.
u e
Definici´n 1.6 (Distancia entre dos puntos de Rn ). La distancia
o
entre dos puntos x = (x1 , · · · , xn ) e y = (y1 , · · · , yn ) se define por la
f´rmula
o
d(x, y) = (x1 − y1 )2 + · · · (xn − yn )2 (1.1)
Ejemplo 1.13 (Distancia entre dos puntos). Hallar la distancia:
a) Entre los puntos (−2, 4) y (2, 1).
b) Entre los puntos (2, 2, 3) y (3, 4, 5).
Soluci´n. Aplicando, en cada caso, la f´rmula (1.1), resulta
o o
√ √
a) d = [2 − (−2)]2 + (1 − 4)2 = 16 + 9 = 25 = 5
√ √
b) d = (3 − 2)2 + (4 − 2)2 + (5 − 3)2 = 1 + 4 + 4 = 9 = 3

21. 1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 13
1.2.3. El c´
ırculo y la esfera
a) La circunferencia en el plano. Teniendo en cuenta que la circunferen-
cia de centro (x0 , y0 ) y radio r est´ formada por los puntos del plano cuya
a
distancia al centro (x0 , y0 ) es el radio r, resulta
Proposici´n 1.3 (Ecuaci´n de la circunferencia). El punto (x, y)
o o
est´ en la circunferencia de centro (x0 , y0 ) y radio r si y s´lo si
a o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 (1.2)
Demostraci´n. En efecto, si (x, y) es un punto de la circunferencia, su dis-
o
tancia al centro (x0 , y0 ), ser´ r, en consecuencia
a
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r
y elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad se obtiene la ecuaci´n
o
de la circunferencia
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2
Si la circunferencia tiene su centro en el origen de coordenadas (0, 0) y
radio r, su ecuaci´n ser´
o a
x2 + y 2 = r2
Se llama c´
ırculo o disco al interior de una circunferencia. En consecuencia
Proposici´n 1.4 (Ecuaci´n de un c´
o o ırculo o disco). El punto (x, y)
ırculo de centro (x0 , y0 ) y radio r si y s´lo si
est´ en el c´
a o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 r2 (1.3)
Si consideramos que el c´
ırculo incluye la circunferencia, su ecuaci´n es
o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ r2
y y
(x0 , y0 ) (x0 , y0 )
r r
(x, y) (x, y)
x x
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 r2
Figura 1.7: Circunferencia y c´
ırculo
Ejemplo 1.14 (Hallando la ecuaci´n de una circunferencia). Una circunfe-
o
rencia tiene su centro en el punto (−2, 1) y contiene al punto (1, 3)
a) Halla la ecuaci´n de la circunferencia
o
b) Halla la ecuaci´n del c´
o ırculo delimitado por la circunferencia

22. 14 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Soluci´n. El radio es la distancia entre el centro (−2, 1) y el punto (1, 3). En
o
consecuencia,
√ √
r = [1 − (−2)]2 + (3 − 1)2 = 9 + 4 = 13
Por lo tanto, se tiene: a) Ecuaci´n de la circunferencia.
o
√
[x − (−2)]2 + (y − 1)2 = ( 13)2
de donde,
(x + 2)2 + (y − 1)2 = 13
b) Ecuaci´n del c´
o ırculo.
(x + 2)2 + (y − 1)2 13
y
(1, 3)
(−2, 1)r
x
Figura 1.8: (x + 2)2 + (y − 1)2 ≤ 13
Ecuaci´n general de la circunferencia. Si en la ecuaci´n can´nica de la
o o o
circunferencia
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2
eliminamos los par´ntesis y simplificamos, resulta una ecuaci´n del tipo
e o
Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0, A=0 (1.4)
que es la forma general de la ecuaci´n de la circunferencia.
o
Nota: Observese que los coeficientes de x2 y de y 2 han de ser iguales para que se trate
de una circunferencia.
Ejemplo 1.15 (Completando cuadrados). Hallar el centro y el radio de la
circunferencia cuya ecuaci´n en forma general es
o
4x2 + 4y 2 + 4x − 16y + 13 = 0
Soluci´n. Pasamos de la forma general a la forma can´nica completando
o o
cuadrados. Para ello, en primer lugar dividimos por 4 para que los coefi-
cientes de x2 e y 2 sean 1.
13
4x2 + 4y 2 + 4x − 16y + 13 = 0 → x2 + y 2 + x − 4y + =0
4

23. 1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 15
en segundo lugar agrupamos los t´rminos semejantes.
e
13
(x2 + x+ ) + (y 2 − 4y+ )=−
4
Completamos los cuadrados
1 13 1
x2 + 1x + + (y 2 − 4y + 4) = − + +4
4 4 4
(mitad)2
(mitad)2
de donde resulta
2
1
x+ + (y − 2)2 = 1
2
y por tanto, la circunferencia tiene centro en el punto ( −1 , 2) y radio 1.
2
Ejemplo 1.16 (Conjunto soluci´n con un unico punto). Discutir la gr´fica
o ´ a
de la ecuaci´n
o
3x2 + 3y 2 − 18x − 12y + 39 = 0
Soluci´n. Pasamos de la forma general a la forma can´nica completando
o o
cuadrados. Para ello, en primer lugar dividimos por 3 para que los coefi-
cientes de x2 e y 2 sean 1.
3x2 + 3y 2 − 18x − 12y + 39 = 0 → x2 + y 2 − 6x − 4y + 13 = 0
en segundo lugar agrupamos los t´rminos semejantes
e
(x2 − 6x+ ) + (y 2 − 4y+ ) = −13
completamos los cuadrados, con lo que resulta
(x2 − 6x + 9) + (y 2 − 4y + 4) = −13 + 9 + 4
de donde
(x − 3)2 + (y − 2)2 = 0
y esta ecuaci´n s´lo se cumple cuando x = 3 e y = 2. Es decir, la gr´fica de
o o a
la ecuaci´n se reduce al punto (3, 2)
o
Ejemplo 1.17 (Ecuaci´n sin conjunto soluci´n). Discutir la gr´fica de la
o o a
ecuaci´n
o
x2 + y 2 + 2x − 4y + 9 = 0

24. 16 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Soluci´n. Pasamos de la forma general a la forma can´nica completando
o o
cuadrados. Agrupamos los t´rminos semejantes, tenemos
e
(x2 + 2x+ ) + (y 2 − 4y+ )+9=0
completando cuadrados
(x + 1)2 − 1 + (y − 2)2 − 4 + 9 = 0
de donde resulta
(x + 1)2 + (y − 2)2 = −4
que no tiene soluci´n ya que la suma de dos cuadrados no puede dar un
o
resultado negativo.
Nota: La ecuaci´n general Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 no siempre representa una
o
circunferencia, sino que, en algunas ocasiones se reduce a un punto, y en otras no tiene
soluci´n
o
b) La esfera en el espacio. Teniendo en cuenta que la superficie esf´rica e
de centro (x0 , y0 , z0 ) y radio r est´ formada por los puntos del espacio cuya
a
distancia al centro (x0 , y0 , z0 ) es el radio r, resulta la siguiente
Proposici´n 1.5 (Ecuaci´n de la superficie esf´rica). El punto
o o e
(x, y, z) est´ en la superficie esf´rica de centro (x0 , y0 , x0 ) y radio r si
a e
y s´lo si
o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2 (1.5)
Demostraci´n. En efecto, si (x, y, z) es un punto de la superficie esf´rica, su
o e
distancia al centro (x0 , y0 , z0 ), ser´ r. En consecuencia
a
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r
y elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad se obtiene la ecuaci´n
o
de la superficie esf´rica
e
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2
Si la esfera tiene su centro en el origen de coordenadas (0, 0, 0) y radio
r, la ecuaci´n de la superficie esf´rica ser´
o e a
x2 + y 2 + z 2 = r2
Se llama esfera o bola al interior de una superficie esf´rica. En conse-
e
cuencia
Proposici´n 1.6 (Ecuaci´n de una esfera o bola). El punto (x, y, z)
o o
est´ en la esfera de centro (x0 , y0 , z0 ) y radio r si y s´lo si
a o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 r2 (1.6)
Si consideramos que la esfera incluye la superficie esf´rica, su ecuaci´n es
e o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 ≤ r2

25. 1.3. FUNCIONES 17
Ejemplo 1.18 (Hallando la ecuaci´n de una esfera). Una superficie esf´rica
o e
tiene su centro en el punto (−2, 1, 3) y contiene al punto (1, 3, 2)
a) Halla la ecuaci´n de la superficie esf´rica
o e
b) Halla la ecuaci´n de la esfera delimitada por la superficie esf´rica
o e
Soluci´n. El radio es la distancia entre el centro (−2, 1, 3) y el punto (1, 3, 2).
o
En consecuencia,
√ √
r = [1 − (−2)]2 + (3 − 1)2 + (2 − 3)2 = 9 + 4 + 1 = 14
Por lo tanto, se tiene: a) Ecuaci´n de la superficie esf´rica.
o e
√
[x − (−2)]2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = ( 14)2
de donde,
(x + 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 14
b) Ecuaci´n de la esfera.
o
(x + 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 ≤ 14
Ejercicios propuestos de la secci´n 1.2. El plano y el espacio
o
cartesiano
Soluciones en la p´gina 379
a
1.2.1. Hallar x tal que la distancia del origen al punto (x, 4) sea 5.
1.2.2. Hallar y de modo que la distancia de (−1, 2) a (2, y) sea 5.
1.2.3. Discutir las gr´ficas de las ecuaciones:
a
a) x2 + y 2 + 6x − 4y + 12 b) x2 + y 2 − 2x + 4y + 5 = 0 c) x2 + y 2 − 4x − 6y + 14 = 0
1.2.4. Hallar, en cada caso, el conjunto de todos los puntos que verifican la desigualdad
a) x2 +y 2 −6x−4y +9 ≤ 0 b) x2 +y 2 −4x−2y +1 0 c) x2 +y 2 +2x−4y +6 0
1.3. Funciones
1.3.1. Definiciones
En la vida real nos encontramos con magnitudes que est´n relacionadas entre
a
s´ bien, porque existe una relaci´n num´rica entre ella, de manera que el
ı, o e
valor de una de ellas depende del valor de la otra. Por ejemplo la distancia
recorrida por un autom´vil depende del tiempo que lleva circulando. La
o
demanda de un determinado producto depende de su precio; o bien, porque
existe entre ellas una relaci´n no num´rica, de cualquier naturaleza. Por
o e

26. 18 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
ejemplo los ciudadanos y los pa´ ıses del mundo est´n relacionados por la
a
nacionalidad.
De las causas de estas relaciones se ocupan las distintas ramas del saber
(F´ısica, Econom´ Derecho, etc.). En C´lculo nos ocupamos del estudio de
ıa, a
estas relaciones vistas en s´ mismas, desposey´ndolas del significado material
ı e
de las magnitudes que intervienen. Adem´s, nos limitamos, en gran medida,
a
a un tipo particular de relaciones denominadas funciones.
Una funci´n es una correspondencia entre dos magnitudes (num´ricas
o e
o no num´ricas). Ahora bien, cuando nos referimos a funciones, la corres-
e
pondencia siempre hay que entenderla en una direcci´n determinada, por
o
ejemplo, el espacio funci´n del tiempo (el espacio ser´ la imagen y el tiem-
o ıa
po el origen). No obstante, hay que advertir que no se considera funci´n a o
cualquier correspondencia, sino que para que una correspondencia sea fun-
ci´n, la imagen de cada elemento tiene que ser unica y estar bien determi-
o ´
nada. Por ejemplo, la relaci´n entre los ciudadanos y los pa´ del mundo
o ıses
mediante la nacionalidad no es una funci´n, porque existen ciudadanos con
o
doble nacionalidad. Es decir, para que una correspondencia sea funci´n, los
o
originales no pueden tener m´s de una imagen, si bien, varios originales
a
distintos s´ que pueden tener la misma imagen. En consecuencia una corres-
ı
pondencia puede ser funci´n en un sentido y no serlo en el sentido contrario.
o
Nota: Aunque el concepto de funci´n nace del estudio de la relaci´n existente entre
o o
dos magnitudes que est´n vinculadas por una relaci´n de causalidad (causa-efecto), y se
a o
establece la causa como variable independiente y el efecto como variable dependiente. Sin
embargo, en Matem´ticas se pueden establecer funciones entre dos magnitudes, aunque
a
no exista ning´n tipo de causalidad entre ellas. Es decir, se pueden establecer relaciones
u
de manera artificial.
La idea de ((funci´n)) que se adquiere en los primeros contactos con el
o
C´lculo, tanto en la Ense˜anza Secundaria como en el Bachillerato, por
a n
lo com´n, suele identificar el concepto de funci´n con una ((f´rmula)), por
u o o
ejemplo
f (x) = x2 − 5x + 6,
y se entiende que esta f´rmula asocia a cada n´mero real x otro n´mero real
o u u
f (x). Basta sustituir x por un n´mero concreto y hacer las operaciones indi-
u
cadas, para obtener su imagen. Tambi´n se comprende que ciertas f´rmulas,
e o
tales como √
g(x) = x − 4,
no est´n definidas para todos los n´meros reales, y por tanto, que haya
e u
n´meros reales que no tengan imagen mediante dichas funciones, de ah´ el
u ı
estudio de los dominios. Sin embargo, el alumno de Secundaria, e incluso el
de Bachillerato, se suele resistir a comprender que haya funciones definidas
((a trozos)), ((en partes)), o ((seg´n los casos)). Es decir, funciones en las que
u
no todos los n´meros tienen el mismo tratamiento, sino que seg´n sea el
u u
n´mero se le aplica una f´rmula u otra para calcular su imagen. El ejemplo
u o

27. 1.3. FUNCIONES 19
m´s caracter´
a ıstico de este tipo de funciones es la funci´n valor absoluto
o
h(x) = |x|
que se define ((a trozos)) de la siguiente forma
x si x ≥ 0
h(x) =
−x si x 0
M´s incomprensible suelen se las funciones que se definen ((con un punto
a
aparte)) como la funci´n
o
sen x
x si x = 0
k(x) =
1 si x = 0
o las funciones definidas ((seg´n la naturaleza)) del punto, como por ejemplo
u
x si x ∈ Q
l(x) =
−x si x ∈ R − Q
en donde a los n´meros racionales se les aplica una f´rmula y a los irra-
u o
cionales otra.
Dentro de esta asociaci´n de ideas, funci´n versus f´rmula, todav´ es
o o o ıa
mucho m´s incomprensible el hecho de que haya funciones para las que no
a
exista una ((f´rmula)) que las represente.
o
Otra asociaci´n de ideas que tambi´n suele resultar perniciosa a la ho-
o e
ra de generalizar el concepto de funci´n es el identificar la funci´n con su
o o
((gr´fica)). Tanto la ((f´rmula)) como la ((gr´fica)) son dos instrumentos que
a o a
nos ayudan, enormemente, a comprender el concepto de ((funci´n)), pero no
o
debemos identificar los instrumentos con el concepto mismo, ni sentirnos
“atrapados” por los instrumentos a la hora de generalizar los conceptos.
Estas identificaciones de ideas que realizan los alumnos de Secundaria y
Bachillerato no nos deben de preocupar en demas´ ya que responden a las
ıa
mismas identificaciones de ideas que han realizado los matem´ticos a lo largo
a
de la historia de las Matem´ticas, pero es bueno explicitarlas y ponerlas de
a
manifiesto con objeto de superarlas.
Estas observaciones ponen de manifiesto que el requisito de que una fun-
ci´n sea una f´rmula es indebidamente restrictivo, y m´s a´n, el identificar
o o a u
las funciones con sus gr´ficas. Por otro lado, tambi´n resulta importante
a e
hacer una clara distinci´n entre la funci´n misma y los valores de la funci´n.
o o o
Es decir, una cosa es la funci´n f y otra el valor f (x).
o
Una primera aproximaci´n al concepto de funci´n podr´ ser la siguiente
o o ıa
definici´n:
o
Una funci´n f de un conjunto A a un conjunto B (A y B no necesaria-
o
mente distintos) es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento
x de un cierto subconjunto D de A, un elemento (y s´lo uno) bien determi-
o
nado y de B (adem´s, ni A ni B pueden ser el conjunto vac´
a ıo).

28. 20 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Esto lo indicaremos de la siguiente forma,
f
D ⊆ A − B o bien f : D ⊆ A → B
→
f : x → y, o bien y = f (x)
Esta definici´n admite la posibilidad de que la funci´n pueda no estar
o o
definida para ciertos elementos de A, as´ como que haya elementos de B que
ı
no sean im´genes de elementos de A. Es decir, que tanto en A como en B
a
puede haber elementos no relacionados mediante la funci´n f . Y adem´s,
o a
admite la consideraci´n de funciones para las cuales los conjuntos A y B no
o
son necesariamente de n´meros reales. Sin embargo, la definici´n presenta
u o
un inconveniente y es que no es totalmente clara, ya que no se define lo que
deba interpretarse por ((regla de correspondencia)).
Una forma m´s precisa de definir el concepto de funci´n consiste en
a o
imaginarla como el conjunto formado por las parejas de elementos que est´n
a
relacionados entre s´ La funci´n as´ concebida ser´ un conjunto de pares
ı. o ı ıa
ordenados f ⊆ A×B. Evidentemente cualquier conjunto de pares ordenados
no define una funci´n, ya que el primer elemento de las parejas no se puede
o
repetir dentro del conjunto. La funci´n, as´ concebida, ser´ un conjunto, y
o ı ıa
la podemos pensar como el conjunto de puntos que integran la gr´fica de la
a
funci´n. La definici´n, en estos t´rminos, es la siguiente:
o o e
Definici´n 1.7 (Funci´n). Sean A y B conjuntos (no vac´ y no nece-
o o ıos
sariamente distintos). Una funci´n de A a B es un conjunto f de pares
o
ordenados de A × B con la propiedad de que si (a, b) y (a, b′ ) son elementos
de f , entonces b = b′ .
f = {(a, b) ∈ A × B / (a, b) ∈ f y (a, b′ ) ∈ f ⇒ b = b′ }
Resulta conveniente tener siempre presente esta doble concepci´n de las
o
funciones: una est´tica, como un conjunto de pares ordenados (a, b); y otra
a
din´mica, como una transformaci´n del primer elemento de cada par en el
a o
segundo b = f (a).
Si (a, b) es un elemento de una funci´n f , entonces, en vez de escribir
o
(a, b) ∈ f , se escribe:
b = f (a) o
´ f : a→b
es decir, por lo general, se hace referencia al elemento b como el valor de f
en el punto a, o la imagen de a bajo f .
Al exigir que la imagen ha de estar bien determinada lo que estamos
haciendo es eliminar la posibilidad de definir una funci´n mediante la que
o
se estableciera, por ejemplo, que la imagen de 4 ser´ 2 o −2, seg´n nos
a u
convenga en cada caso.
Dominio y recorrido de una funci´n
o

29. 1.3. FUNCIONES 21
Dominio. Al conjunto de todos los elementos de A que pueden aparecer
como primeros miembros de elementos de f se le llama dominio de f , y
se denota por Df , o simplemente D. Es decir, el dominio est´ formado
a
por todos los elementos de A que tienen imagen.
Recorrido. Al conjunto de todos los elementos de B que puedan aparecer
como segundos miembros de elementos de f se le llama rango, recor-
rido, imagen o conjunto de valores de f y se denota por Rf , o simple-
mente R. Es decir, el recorrido est´ formado por todos los elementos
a
de B que son imagen.
En el caso de que Df = A, la funci´n se llama ((aplicaci´n)), y se dice que
o o
f mapea o proyecta A en B (o que es un mapeo o proyecci´n de A en B) y
o
se escribe f : A → B.
Nota: No obstante, hay que advertir que algunos autores exigen en la definici´n de funci´n
o o
que el dominio coincida con el conjunto inicial, Df = A, e identifican ((funci´n)) con
o
((aplicaci´n)).
o
Sin embargo, nosotros entendemos que no es necesario incluir dicha restricci´n en la
o
definici´n de funci´n, y preferimos considerar las ((aplicaciones)) como un caso particular
o o
de las ((funciones)).
Nosotros hablaremos indistintamente de la funci´n f : A → B con dominio D ⊆ A, y
o
de la aplicaci´n f : D → B, salvo que, por cualquier motivo, tengamos que diferenciarlas.
o
Y, en general, escribiremos f : D ⊆ A → B para hacer referencia a cualquiera de las dos
funciones.
En las funciones que se estudian en C´lculo los conjuntos A y B son
a
subconjuntos de R o de Rn , y escribiremos:
f : D ⊆ R −→ R
f : x −→ y o bien, y = f (x)
En esta notaci´n se enfatiza el dominio D de la funci´n, sin embargo, el
o o
rango no queda expl´ ıcito. En C´lculo nos ocupamos mucho m´s del dominio
a a
que del rango. Las funciones de este tipo se llaman funciones reales de una
variable real (funciones reales porque las im´genes, f (x), son n´meros reales;
a u
de una variable real porque x ∈ R).
1.3.2. Representaci´n de funciones
o
Existen diversas maneras de visualizar una funci´n, las m´s usuales son
o a
mediante las cuatro representaciones siguientes:
1. Verbal – mediante una descripci´n con palabras.
o
2. Num´rica – mediante una tabla de valores.
e
3. Algebraica – mediante una ecuaci´n.
o
4. Visual – mediante – una gr´fica,
a
– un diagrama de flechas,
– una m´quina.
a

30. 22 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Unas representaciones responden mejor a la concepci´n est´tica de la
o a
funci´n, como conjunto de pares ordenados; y otras a la concepci´n din´mi-
o o a
ca, como proyecci´n o transformaci´n.
o o
Nota: Si bien, una misma funci´n puede representarse mediante todas las maneras posi-
o
bles, incluso, a veces, es conveniente utilizar varias representaciones de una misma funci´n
o
para tener un conocimiento m´s completo de la misma. Hay que tener en cuenta que
a
ciertas funciones se describen de manera m´s natural con uno de los m´todos que con
a e
otro.
a) Descripci´n verbal. Una funci´n puede venir definida mediante una
o o
descripci´n verbal. Por ejemplo, la funci´n que indica la relaci´n existente
o o o
entre el peso de las manzanas y el precio que hay que pagar por ellas,
suponiendo que el kilo de manzanas cuesta 1.5 euros.
b) Representaci´n tabular. Una manera importante de representar una
o
funci´n es mediante una tabla. Es lo que hacemos, normalmente, cuando
o
vamos a representar gr´ficamente una funci´n: darle valores y formar una
a o
tabla con ellos. La tabla puede construirse de manera horizontal o vertical.
x y
x0 y0 x x0 x1 · · ·
x1 y1 y y 0 y1 · · ·
.
. .
.
. .
Este procedimiento es especialmente util cuando se trata de representar
´
funciones no num´ricas. Por ejemplo, si queremos asociar una serie de pa´
e ıses
con sus capitales, podemos tener la siguiente funci´n:
o
Pa´ıs Capital
Argentina Buenos Aires
Chile Santiago
Espa˜a
n Madrid
M´xico
e M´xico
e
Per´u Lima
c) Expresi´n algebraica. En C´lculo la principal manera de representar
o a
una funci´n es mediante una ecuaci´n que liga a las variables (dependiente e
o o
independiente). Para evaluar la funci´n se a´ la variable dependiente en la
o ısla
parte izquierda de la ecuaci´n, con objeto de obtener la relaci´n funcional.
o o
As´ si escribimos la ecuaci´n 3x + 2y = 1 de la forma
ı, o
1 − 3x
y=
2
tenemos descrita y como funci´n de x y podemos denotar la relaci´n fun-
o o
cional mediante la expresi´n
o
1 − 3x
f (x) =
2

31. 1.3. FUNCIONES 23
Lo que nos permite evaluar la funci´n f en cualquier punto de su dominio,
o
sin m´s que sustituir x por el valor concreto. As´
a ı,
1 − 3(5) −14
f (5) = = = −7
2 2
Esta manera de expresar las funciones permite definir funciones por sec-
ciones, es decir, mediante varias f´rmulas, de tal manera que seg´n los casos
o u
se aplica una u otra.
Ejemplo 1.19 (Evaluando una funci´n definida por varias f´rmulas). Dada
o o
la funci´n definida por
o
x2 + 3 si x ≥ 1
f (x) =
2x + 5 si x 1
Evaluar f (0), f (1) y f (2).
Soluci´n. Lo que significa la expresi´n de f (x) es que antes de decidirnos por
o o
la f´rmula a aplicar hay que ver de qu´ n´mero se trata. As´ para evaluar los
o e u ı,
n´meros mayores o iguales que 1 se aplica la expresi´n x2 + 3, y para evaluar
u o
los n´meros menores que 1 se aplica la expresi´n 2x + 5. En consecuencia,
u o
f (0) = 2 · 0 + 5 = 0 + 5 = 5
f (1) = 12 + 3 = 1 + 3 = 4
f (2) = 22 + 3 = 4 + 3 = 7
d) Gr´fica. Una manera de visualizar una funci´n es por medio de una
a o
gr´fica. La gr´fica de una funci´n de una variable, por lo general, es una
a a o
curva en el plano. Sin embargo, no toda curva del plano es la representaci´n
o
de una funci´n. Para que una curva represente una funci´n no puede tener
o o
dos puntos en la misma vertical, ya que para que una correspondencia entre
dos magnitudes sea funci´n, la imagen tiene que ser unica. Por lo tanto, una
o ´
recta vertical puede cortar a la gr´fica de una funci´n a los sumo una vez
a o
(test de la recta vertical ).
y
T y
T • y2
y = f (x)
•y
x
E • y1
x x
E
x
Figura 1.9: Gr´fica de una funci´n de una variable. La circunferencia no es la gr´fica de
a o a
una funci´n (test de la recta vertical).
o