1. I. Municipalidad de Providencia
Liceo Tajamar
Prof: María Cecilia Palma Valenzuela
Profesora : María Cecilia Palma Valenzuela Fecha:
15/08/2011
Unidad Temática:
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Contenido: Diversos métodos de Resolución Analítica de
sistemas de ecuaciones lineales
Objetivos de Aprendizaje:
1) Conocen y aplican diversos métodos de resolución de sistemas
de ecuaciones
2) Plantean y resuelven sistemas de ecuaciones con dos
incógnitas
Observación: Estimadas alumnas las dudas en relación a los
contenidos y los ejercicios pueden hacerla en el correo
maricecpalv@gmail.com
Inicio revisión
desde el
22/08/2011

2. SISTEMAS DE ECUACIONES DE
DOS ECUACIONES CON DOS
INCÓGNITAS
Técnicas de resolución
MARÍA CECILIA PALMA
VALENZUELA

3. Objetivo nº1
Resuelven analíticamente sistemas
de ecuaciones lineales con dos
incógnitas.
Método de igualación

4. 1) Resolución por igualación
• Debemos que resolver el sistema:
•
• esto significa, encontrar el punto de
intersección entre las rectas dadas, de las
cuales se conoce su ecuación

5. Despejamos una de las dos variables
en las dos ecuaciones, con lo cual
tenemos un sistema
equivalente (en este caso elegimos y):

6. Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los
primeros miembros son iguales los segundos también
lo son, por lo tanto:

7. Reemplazar el valor de x obtenido en alguna
de las ecuaciones (elegimos la segunda):
Reemplazar el valor de x obtenido en alguna
de las ecuaciones (elegimos la segunda):
y=2y=2
•Verificar, en ambas ecuaciones, para saber si
•realmente (x ; y) = (4;2):
•Verificar, en ambas ecuaciones, para saber si
•realmente (x ; y) = (4;2):

8. • Ahora sí, podemos asegurar que
• x= 4 e y = 2

9. Actividad nº1 :
RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS:
• 1) 4x + 5y = 3
• 6x – 10y = 1
2) 4(x + 2) = -6y
• 3(y + 2x) = 0
3) y(x – 3) – x(y – 2) = 14
• x(y + 9) – y(x – 6) = -54
• 1) 4x + 5y = 3
• 6x – 10y = 1
2) 4(x + 2) = -6y
• 3(y + 2x) = 0
3) y(x – 3) – x(y – 2) = 14
• x(y + 9) – y(x – 6) = -54

10. Trabajen estos ejercicios con su
grupo de compañeras de estudios
• 1) Respuesta : x = ½ , y= 1 /5
• 2) Respuesta : x = 1 , y = - 2
• 3) Respuesta : x = - 2 , y = - 6
• ¿Tienen dudas de la materia revisada hasta
ahora?

11. ¿Qué hemos aprendido hasta ahora?
• ¿Podríamos usar este método en todas las
situaciones en que se nos presenten sistemas
de ecuaciones?
• Si, pero existen otros métodos de resolución
analítica de los sistemas de ecuaciones con
dos incógnitas, éstos los veremos en las clases
siguientes.

12. Objetivo nº2
Resuelven analíticamente sistemas
de ecuaciones lineales con dos
incógnitas.
Método de sustitución

13. Estrategias
• 1) Despejamos una de las variables en una de
las ecuaciones (en este caso elegimos y en la
primera ecuación):
• Ejemplo :
•
•

14. Y, la reemplazamos en la otra ecuación:
Operamos para despejar la única variable existente
ahora:
56

15. Reemplazando el valor de x obtenido en alguna
de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente la
primera):
Hallamos la respuesta x=4, y = 2, obviamente igual
que en el caso anterior. No verificaremos, dado
que ya sabemos que esta respuesta es correcta.

16. Resuelvan los siguientes sistemas:
Trabajen estos ejercicios con sus compañeras de grupo.
• 1) (x+3)(y+5)-(x+1)(y+8) = 0
(x-10)(y-1)+(x-9)(3-y) = 0
• 2)
• 3)
4
1
5
3
6
2
1
=
+
−
=
−
+
y
x
y
x

17. Trabajen estos ejercicios a nivel grupal, comparen sus
resultados y si se presentan diferencias, revisen
detalladamente paso a paso .
• 1) Respuesta : x = 27 , y = 37
• 2) Respuesta : x = 5 , y = 3
• 3) Respuesta : x = 5 , y = - 4
• ¿ha quedado alguna duda en lo estudiado?
• Consulten si hay dudas al correo enviado al
inicio
F I NF I N
MARÍA CECILIA PALMA VALENZUELA

18. Objetivo nº3
Resuelven analíticamente sistemas
de ecuaciones lineales con dos
incógnitas.
Método de reducción

19. Estrategias
• 1) El objetivo es eliminar una de las incógnitas,
dejándolas inversas aditivas, sabiendo que
una igualdad no cambia si se la multiplica por
un número.
• 2) También sabemos que una igualdad no se
cambia si se le suma otra igualdad.

20. Resolver el sistema:
• Si se quiere eliminar la x, ¿por qué número
debo multiplicar a la segunda ecuación, para
que al sumarla a la primera se obtenga cero?
• La respuesta es -2. Veamos:
• Con lo que obtenemos:

21. sumando ambas ecuaciones se obtiene
-7y = -14 / ·(- 1) entonces y = 2
• Luego al reemplazar el valor obtenido de y en
la primera ecuación
tenemos :
• Finalmente para hallar el valor de x, se
despeja en la ecuación y se tiene que :

22. Ejercicios: Resuelve por este método:
1
3
2
4
3
7
5
3
3
2
)3
−=−
=+
yx
yx
2) 2x – 3y = -7
x : y = 4 : 5

23. Trabajen estos ejercicios con sus compañeras
integrantes del grupo y comparen sus resultados
• 1) Respuesta : x = 2 , y = 4
• 2) Respuesta : x = 4, y = 5
• 3) Respuesta : x = , y =
• ¿Hay dudas de la materia?
• Pueden consultar al correo donde debes enviar
tus respuestas
F I NF I N
MARÍA CECILIA PALMA VALENZUELA

24. Objetivo nº4
• Resuelven problemas de aplicación de
sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
usando cualquier método o técnica de
resolución vistas anteriormente

25. Ejemplo nº1
• Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es de 90 .
Los ángulos x e y son complementarios y el ángulo x mide 24 más que el
ángulo y. Determine los ángulos x e y.
• Solución: Una ecuación la podemos plantear considerando el hecho de
que x e y son complementarios : x + y = 90. La segunda la obtenemos del
hecho de que el ángulo x mide 24 más que el ángulo y : x = y + 24
• Tenemos entonces el siguiente sistema: x + y = 90 (1)
• x = y + 24 (2)
• Restando y en ambos miembros de la ecuación (2) y sumando las
ecuaciones resultantes, para resolver mediante reducción.
• (+) x + y = 90
• x – y = 24
• 2 x = 11 x = 57
• Si ahora sustituimos x = 57 en la ecuación (1), tendremos:
• 57 + y = 90 y = 90 – 57 y = 33
• Los ángulos son : x = 57 e y = 33 .

26. Observación: En ciencias y en otras áreas se utilizan con frecuencia ecuaciones, para
resolver problemas, los cuales nos llevan a plantearnos sistemas, como en el
siguiente ejemplo
• Ejemplo 2:Un vitivinicultor desea fortalecer un vino que contiene 10% de alcohol
agregándole algo de solución acuosa con 70% de alcohol, la mezcla obtenida de esta
forma, debe tener una concentración alcohólica de 16%, y se deben llenar 1.000
botellas de 1 litro .¿Cuántos litros de vino y de solución de alcohol debe usar?
• Solución :
• Designamos X = nº de litros de vino ; Y = nº de litros de solución de alcohol
• En la siguiente tabla, organizamos la información
• El volumen de la mezcla debe ser igual a la suma de los volúmenes que se usarán,
entonces : x + y = 1000
Vino Solución de
alcohol
Mezcla
resultante
Volumen X Y 1000
Porcentaje de alcohol 10% 70% 16%
Cantidad de alcohol 0,1 x 0,7y 0,16 · 1000

27. Análogamente, la cantidad de alcohol en la mezcla debe ser igual a la suma del alcohol
que aportan el vino y la solución de alcohol, luego:
0,1 x + 07 y = 0,16 · 1000
0,1 x + 0,7y = 160 / · 10
x + 7 y = 1600
• Por lo tanto, tenemos el sistema: x + y = 1000 (1)
• x + 7y = 1600 (2)
• Restando : (2) – (1) se tiene 6y = 600
• y = 100
• Reemplazando y = 100 en (1) , tenemos x = 900.
• Por lo tanto:
• El vitivinicultor debe usar 900L de vino y 100L de alcohol.
• ¿Ha quedado alguna duda?
• Si hay dudas consultar al correo de envío de respuestas

28. Ejercicios
• 1) La suma de dos números es 34 y su diferencia es 10. Encuentre
los números.
• Respuesta: 22 y 12
• 2) Repartir $1080 entre dos personas P y Q, de modo que P reciba
1008 más que Q.
• Respuesta : P = 1044 y Q = 36
• 3) En un corral hay conejos y gallinas. Si entre ellos hay 121 cabezas
y 338 patas, encuentre el nº de conejos y de gallinas que hay en el
corral
• Respuesta : 48 = conejos y 73 = gallinas
F I NF I N
MARÍA CECILIA PALMA VALENZUELA