Produtos notaveis e_fatorao_novo

FatoraçãoFatoração
8ª Ano8ª Ano
Unidade Temática:Unidade Temática:
Produtos NotáveisProdutos Notáveis
Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos
http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com
matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com

Produtos Notáveis:Produtos Notáveis:
QuadradoQuadrado
da Soma deda Soma de
dois termos:dois termos: bb
aa
bbaa
2
)( ba +
2
b
2
a
ba.
ba.
22
..2 bbaa ++Soma das Áreas=Soma das Áreas=
)).(( baba ++=

Quadrado daQuadrado da
diferença de doisdiferença de dois
termos:termos:
bb
aa
bb
aa
2
)( ba −
2
)( ba −

Quadrado daQuadrado da
diferença de doisdiferença de dois
termos.termos.
a - ba - b
a - ba - b
2
)( ba −
2
)( ba −
22
..2 bbaa +−
Calculando a áreaCalculando a área
que sobrou teremos:que sobrou teremos:
)).(( baba −−=

Diferença deDiferença de
quadrados:quadrados:
22
ba −
bb
aa
aa
bb
2
a
2
b

Após a subtraçãoApós a subtração
da maior área pelada maior área pela
menor área,menor área,
marcamos com umamarcamos com uma
diagonal separandodiagonal separando
a área restantea área restante
dividindo-a em duasdividindo-a em duas
partes, que são doispartes, que são dois
trapézios.trapézios.

Após separarmosApós separarmos
as áreas,as áreas,
registramosregistramos
algebricamente asalgebricamente as
partes que sobrarampartes que sobraram
(lados do trapézio).(lados do trapézio). bb
aa
aa
bb
a - ba - b
a - ba - b
Diferença deDiferença de
quadrados:quadrados:

ba.+ba.−
Agora se juntarmosAgora se juntarmos
os trapéziosos trapézios
formaremos umformaremos um
retângulo de ladoretângulo de lado
(a + b) e (a - b) e se(a + b) e (a - b) e se
calcularmos a suacalcularmos a sua
área vamos encontrarárea vamos encontrar
(a(a22
- b- b22
).).
a + ba + b
a-ba-b
)).(( baba −+ 2
a= = 22
ba −
bb
2
b−
22
ba −

aa
bb
bbaa
aa
bb
Considere um cuboConsidere um cubo
de aresta “a + b”,de aresta “a + b”,
como o da figura aocomo o da figura ao
lado.lado.
O volume de um cuboO volume de um cubo
de arestas ℓ é ℓde arestas ℓ é ℓ33
,,
então o volume doentão o volume do
cubo representadocubo representado
pela figura é (a+b)pela figura é (a+b)33
..
O Cubo da soma deO Cubo da soma de
dois termos:dois termos:

Vamos separar as partes em que o cubo está dividido:Vamos separar as partes em que o cubo está dividido:
Um cubo de aresta “a”.Um cubo de aresta “a”.
Volume: aVolume: a33
..
aa
aa
aa33
aa

Três paralelepípedosTrês paralelepípedos
que têm arestasque têm arestas
a, a e b.a, a e b.
Cada paralelepípedoCada paralelepípedo
tem volume atem volume a22
b.b.
O volume dos trêsO volume dos três
paralelepípedos éparalelepípedos é
3a3a22
b.b.
bb
bb
aa22
bb
aa
aa22
bb
aa
22 bb
aa
aa
aa
bb
aa
aa

Três paralelepípedosTrês paralelepípedos
que têm arestasque têm arestas
a, b e b.a, b e b.
Cada paralelepípedoCada paralelepípedo
tem volume abtem volume ab22
..
O volume dos trêsO volume dos três
paralelepípedos éparalelepípedos é
3ab3ab22
..
abab22
abab22
bb
bb
aa
bb
aa
aa
bb
bb
abab22bb

Um cubo de aresta “b”.Um cubo de aresta “b”.
Volume: bVolume: b33
..bb33
bb
bbbb

aa
22 bb
aa22
bb
aa33
Somando todos essesSomando todos esses
volumes temos:volumes temos:
abab22 3
a 3
b+ba2
3+ 2
3ab+
Como o volume do todo é igual àComo o volume do todo é igual à
soma dos volumes das partes,soma dos volumes das partes,
temos:temos:
32233
33)( babbaaba +++=+
aa22
bb
abab22
abab22
bb33

Esse mesmo resultado pode ser obtido através doEsse mesmo resultado pode ser obtido através do
seguinte cálculo:seguinte cálculo:
=++=+ 23
)(.)()( bababa
=+++= )2(.)( 22
bababa
Aplicando a propriedade distributiva:Aplicando a propriedade distributiva:
3
a 3
b+ba2
+ 2
2ab+ba2
2+ 2
ab+

Portanto:Portanto:
32233
33)( babbaaba +++=+  
1º1º
TermoTermo
2º Termo2º Termo
Cubo do 1º Termo.Cubo do 1º Termo.
Cubo 2º Termo.Cubo 2º Termo.
3 x ( o quadrado do 1º termo) x (23 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º termo).º termo).
3 x (1º termo) x (3 x (1º termo) x (o quadrado doo quadrado do 22º termo).º termo).

Esse mesmo resultado pode ser obtido através doEsse mesmo resultado pode ser obtido através do
seguinte cálculo:seguinte cálculo:
=−−=− 23
)(.)()( bababa
=+−−= )2(.)( 22
bababa
Aplicando a propriedade distributiva:Aplicando a propriedade distributiva:
3
a 3
b−ba2
− 2
2ab+ba2
2− 2
ab+
O Cubo da diferença de dois termos:O Cubo da diferença de dois termos:

Portanto:Portanto:
32233
33)( babbaaba −+−=−  
1º1º
TermoTermo
2º Termo2º Termo
Cubo do 1º Termo.Cubo do 1º Termo.
Cubo 2º Termo.Cubo 2º Termo.
3 x ( o quadrado do 1º termo) x (23 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º termo).º termo).
3 x (1º termo) x (3 x (1º termo) x (o quadrado doo quadrado do 22º termo).º termo).

Hora da revisão:Hora da revisão:
Diferença de quadrados:Diferença de quadrados:
Quadrado da soma de dois termos:Quadrado da soma de dois termos:
Quadrado da diferença de dois termos:Quadrado da diferença de dois termos:
2
)( ba + 22
..2 bbaa ++
2
)( ba − 22
..2 bbaa +−
)).(( baba −+
=
22
ba −
=
=
Cubo da soma de dois termos:Cubo da soma de dois termos:
Cubo da diferença de dois termos:Cubo da diferença de dois termos:
32233
33)( babbaaba −+−=−
32233
33)( babbaaba +++=+

=).( axx + 2
x
 Fator ComumFator Comum
Fatoração:Fatoração:
xx
aaxx
2
x xa.
+ xa.
Calculando-se aCalculando-se a
Área:Área:

 Fator ComumFator Comum
=)2.(2 +aa 2
.2 a
2a2a
44aa
2
2a
a.4
+ a.4
aa
Colocando o fatorColocando o fator
em evidênciaem evidência
teremos:teremos:
Fazendo o fatorFazendo o fator
comum entre ascomum entre as
áreasáreas
encontraremos :2aencontraremos :2a

 por agrupamento:por agrupamento:
amam
bb
aa
mm nn
)).(( nmba ++ ma.= na. nb.mb.+ + +
bmbm
anan
bnbn

Fazendo o fator comum entre osFazendo o fator comum entre os
termos apresentados, volta-se ao início.termos apresentados, volta-se ao início.
)).(( nmba ++
=ma. na.+ + nb.mb. + ).( nma + ).( nmb ++
=
Aplicando o fator comum duplamente:Aplicando o fator comum duplamente:

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