2014.2 - Faculdade Evolução - Processos Gerenciais Disciplina: Gestão Financeira Assuntos: Juros Compostos

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Juros Compostos
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2. Juros Compostos
• Considera que os juros formados em cada período
• São acrescidos ao Capital formando o Montante
do período
• Montante = Capital + Juros
• Este Montante passará a render juros no período
seguinte formando um novo Montante, e assim por
diante.
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3. Juros Compostos
• Tecnicamente, o regime de Juros Compostos é
superior ao de Juros Simples,
• principalmente pela possibilidade de fracionamento
dos prazos.
• No critério composto, a equivalência entre capitais
pode ser apurada em qualquer data,
• retratando, melhor que o regime linear, a realidade
das operações.
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4. Juros Compostos - Fórmulas
• No regime de Juros Compostos, os Juros são
capitalizados,
• Produzindo "Juros sobre Juros” periodicamente.
• Consideremos uma aplicação de $ 1.000,00 a taxa
composta de 10% ao mês.
• Identificando-se por PV o valor presente (capital) e
FV o valor futuro (montante).
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5. Juros Compostos - Fórmulas
• Consideremos uma aplicação de $ 1.000,00 a taxa
composta de 10% ao mês.
• Identificando-se por PV o valor presente (capital) e FV o
valor futuro (montante).
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n Capital (PV) Juros (J)
Montante
(FV)
final do 1º
mês
1.000,00 100,00 1.100,00 FV = 1000 * (1 + 0,10)
final do 2º
mês
1.100,00 110,00 1.210,00 FV = 1000*(1+0,10) * (1 + 0,10)
final do 3º
mês
1.210,00 121,00 1.331,00 FV = 1000*(1+0,10)
final do
enésimo mês
FV = 1000 * (1+0,10) * (1+0,10)…(1+0,10) FV = 1000 * (1 + 0,10)

6. Juros Compostos - Fórmulas
• Portanto:
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6
0
n
PV
FV

7. Juros Compostos - Fórmulas
• Fator de Capitalização (ou de Valor Futuro)
• Fator de Atualização (ou de Valor Presente)
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8. Juros Compostos - Fórmulas
• A movimentação do Capital ao longo de uma escala
de tempo em juros compostos se processa mediante
a aplicação destes fatores,
• Como pode ser observado abaixo:
PV FV
PV FV
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9. Juros Compostos - Fórmulas
• O Valor Monetário dos Juros (J) é apurado pela diferença
entre o Montante (FV) e o Capital (PV)
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• Portanto:

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Exemplos
1. Se uma pessoa deseja obter $27.500,00 dentro de um
ano, quanto deverá ela depositar hoje numa
alternativa de poupança que rende 1,7% de juros
compostos ao mês?
2. Qual o valor de resgate de uma aplicação de
$12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à
taxa de juros composta de 3,5% a.m.?
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1º Exemplo
• Se uma pessoa deseja obter $27.500,00 dentro de um
ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de
poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês?
11
FV 27.500,00
n 1 ano 12 meses
i 1,7% a.m ao mês
PV ?
Portanto:

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1º Exemplo
• Considerando-se uma taxa composta de 1,7% a.m.,
pelo conceito do valor presente (PV) é indiferente a
essa pessoa
• Receber $ 22.463,70 (PV) hoje; ou
• Esse valor capitalizado ao final de 12 meses
($27.500,00).
• Efetivamente, esses valores, mesmo distribuídos em
diferentes datas, são equivalentes para uma mesma
taxa de juros de 1,7% a.m.
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2º Exemplo
• Qual o valor de resgate de uma aplicação de $12.000,00
em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros
composta de 3,5% a.m.?
13
PV 12.000,00
n 8 meses meses
i 3,5% a.m ao mês
FV ?

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Exemplos
3. Determinar a taxa mensal composta de juros de uma
aplicação de $ 40.000,00 que produz um montante de
$ 43.894,63 ao final de um quadrimestre.
4. Uma aplicação de $ 22.000,00 efetuada em certa data
produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um
montante de $ 26.596,40 em certa data futura.
Calcular o prazo da operação.
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3º Exemplo
• Determinar a taxa mensal composta de juros de uma
aplicação de $ 40.000,00 que produz um montante de $
43.894,63 ao final de um quadrimestre.
15
PV 40.000,00
FV 43.894,63
n 4 meses
i ? ao mês
i = 0,0235 ou 2,35% a.m.
Portanto:

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4º Exemplo
• Uma aplicação de $ 22.000,00 efetuada em certa data produz,
à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de $
26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação.
16
PV 22.000,00
FV 26.596,40
i 2,4% a.m. ao mês
n ? meses
n = 8 meses

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Exemplos
5. Determinar o juro pago de um empréstimo de
$88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta
de 4,5% ao mês.
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5º Exemplo
• Determinar o juro pago de um empréstimo de
$88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de
4,5% ao mês.
18
J ?
PV 88.000,00
n 5 meses
i 4,5% ao mês

19. Observação - Valor Presente
• O Valor Presente (capital) não se refere
necessariamente a um valor expresso no momento
zero.
• O Valor Presente pode ser apurado em qualquer
data focal anterior à do Valor Futuro (montante).
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20. Observação - PV - Exemplo
• Deseja-se calcular quanto será pago por um
empréstimo de $ 20.000,00 vencível de hoje a 14
meses ao se antecipar por 5 meses a data de seu
pagamento. Sabe-se que o credor está disposto a
atualizar a dívida à taxa composta de 2,5% ao mês.
• O problema envolve o cálculo do Valor Presente,
ou seja, um valor atualizado a uma data anterior à
do montante (mês 9)
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21. Observação - PV - Exemplo
• Deseja-se calcular quanto será pago por um empréstimo de $
20.000,00 vencível de hoje a 14 meses ao se antecipar por 5
meses a data de seu pagamento. Sabe-se que o credor está
disposto a atualizar a dívida à taxa composta de 2,5% ao mês.
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PV = $17.677,10 FV = $20.000,00
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• Graficamente:
0 9 Antecipação 14

22. Observação - PV e FV c/diversos valores
• As expressões de cálculos de PV e FV permitem
capitalizações e atualizações envolvendo diversos
valores e não somente um único capital ou
montante.
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23. Observação - PV e FV c/diversos valores - Exemplo
• Peguemos um empréstimo que envolve os seguintes
pagamentos:
• $15mil de hoje a 2 meses;
• $40mil de hoje a 5 meses;
• $50mil de hoje a 6 meses; e
• $70mil de hoje a 8 meses.
• O devedor deseja apurar o Valor Presente (na data zero)
destes fluxos de pagamento,
• pois está negociando com o banco a liquidação
imediata de toda a sua dívida.
• A Taxa de Juros considerada nesta antecipação é de 3% ao
mês.
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24. Observação - PV e FV c/diversos valores - Exemplo
• Solução:
15mil 40mil 50mil 70mil
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PV
0 2 5 6 8
PV = $ 145.776,15

25. Prazos não Inteiros
• E caso o prazo não seja inteiro? Existem 2
convenções:
• Convenção Linear
• Convenção Exponencial
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26. • Convenção Linear
• Menos adotada que a Convenção Exponencial.
• Consiste na formação:
• de Juros Compostos para a parte inteira do prazo; e
• de Juros Simples para a parte fracionária.
• Convenção Exponencial
• Adota o mesmo regime de capitalização para todo o
período.
• Mais generalizadamente usada na prática, sendo
considerada tecnicamente mais correta
• por empregar somente juros compostos e taxas
equivalentes para os período não inteiros.
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Prazos não Inteiros
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27. Prazos não Inteiros - Fórmulas
• Convenção Linear
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• Convenção Exponencial
m/k = parte fracionária do prazo

28. Prazos não Inteiros - Exemplo
• Seja o capital de $ 100mil emprestado à taxa de 18% ao
ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante
deste empréstimo utilizando-se de cada convenção.
• Uma pessoa aplicou um capital pelo prazo de 1 anos e 5
meses à taxa de 18% ao ano. Determinar o valor da
aplicação sabendo-se que o montante produzido ao final
do período atinge $ 24.800,00. Resolver o problema
utilizando as convenções linear e exponencial.
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29. Gestão Financeira
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Para Estudar
• Mathias e Gomes (2010)
• Capítulo 3 - Juro e Montante.
• Fazer Exercícios propostos (página 121).
!
• MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria.
Matemática financeira. 6a ed., São Paulo: Atlas, 2010.
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30. Gestão Financeira
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Bibliografia
• Bibliografia Básica
• ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 12a ed., São
Paulo: Atlas, 2012.
• ASSAF NETO, Alexandre; LIMA, Fabiano Guasti. Curso de Administração
Financeira. 3a ed., São Paulo: Atlas, 2014.
• MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6a
ed., São Paulo: Atlas, 2010.
• Hoji, Masakazu. Administração Financeira na prática: guia para para educação
financeira corporativa e gestão financeira pessoal. 4a ed., São Paulo: Atlas, 2012.
• Bibliografia Complementar
• KUHNEN, Osmar Leonardo. Finanças Empresariais. 2a ed., São Paulo: Atlas,
2008.
• VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Manual de aplicações financeiras HP-12C:
tradicional, platinum, prestige. 3a ed., São Paulo: Atlas, 2008. BRUNI, Adriano leal.
Matemática financeira com hp12c e excel. São Paulo: Atlas, 2010.
• CRESPO, Antonio Arnot. Matemática Financeira Fácil. São Paulo: Saraiva, 2009.
• BOGGIS, George Josep. Matemática Financeira. São Paulo, 2009.
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