Resistencia estabilidade

1Módulo de Resistência e Estabilidade
Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco
SUMÁRIO
Capítulo 1 – Introdução e Definições de Resistência dos Materiais 4
1.1. Definição de Resistência dos Materiais 4
1.2. Evolução Histórica 4
1.3. Princípio da Estática e do Equilíbrio das Forças 5
1.3.1. Forças Externas 5
1.3.1.1. Forças de Superfície 6
1.3.1.1.1. Cargas Concentradas ou Pontuais 6
1.3.1.1.2. Cargas Distribuídas Linearmente 7
1.3.1.1.3. Cargas Distribuídas por Área 10
1.3.1.2. Força de Corpo 10
1.3.2. Forças Internas ou Esforços Solicitantes 11
1.3.2.1. Esforços Normais 11
1.3.2.2. Esforços de flexão 12
1.3.2.3. Esforços de Cisalhamento 13
1.3.2.4. Esforços de Torção 14
1.3.3. Cargas Internas Resultantes 14
1.3.4. Equilíbrio das Forças 15
Capítulo 2 – Momento Fletor e Força Cortante 17
2.1. Análise de Momento Fletor e Força Cortante em Vigas 17
2.2. Representação Gráfica 17
2.3. Vínculos das Estruturas 18
2.3.1. Vínculo Simples ou Móvel 18
2.3.2. Vínculo Duplo ou Fixo 18
2.3.3. Engastamento 18
2.4. Estruturas 19
2.4.1. Estruturas Hipoestáticas 19
2.4.2. Estruturas Isoestáticas 19
2.4.3. Estruturas Hiperestáticas 20
2.5. Tipos de Vigas 20
2.6. Momento Fletor 21
2.6.1. Exercícios Resolvidos 22
2.7. Diagrama de Momento Fletor (DMF) 25
2.8. Esforço Cortante 30
2.8.1. Exercícios Resolvidos 31
2.9. Diagrama de Esforço Cortante (DEC) 32
2.10. Cálculo do Momento Máximo e do Ponto de Aplicação 33
2.11. Exercícios Propostos 35
Capítulo 3 – Características Geométricas das Superfícies Planas 36
3.1. Centroides de Superfícies Planas 36
3.1.1. Tabela de Centro de Gravidade de Superfícies Planas 37
3.1.2. Exercícios Propostos 42
3.2. Momento de Inércia ou Momento de 2ª Ordem 43
3.2.1. Tabela de Momento de Inércia, Raio de Giração e Módulo de
Resistência
43
3.2.2. Teorema dos Eixos Paralelos ou Teorema de Steiner 46
3.3. Raio de Giração 49
3.4. Módulo de Resistência 50
Capítulo 4 – Tensões Normais (tração e compressão) 52
4.1. Força Normal ou Axial 52

4.2. Tensão Normal 54
4.3. Lei de Hooke 56
4.4. Coeficiente de Segurança 57
4.4.1. Carga Estática ou Permanente 57
4.4.2. Carga Intermitente 57
4.4.3. Carga Alternada 58
4.5. Tensão Admissível 59
Capítulo 5 – Tensões de Flexão 63
5.1. Introdução 63
5.2. Flexão Pura 63
5.3. Flexão Simples 64
5.4. Tensões Normais na Flexão 64
5.5. Dimensionamento na Flexão 66
Capítulo 6 – Tensões de Cisalhamento Puro 69
6.1. Introdução 69
6.2. Força Cortante 69
6.3. Tensão de Cisalhamento 70
Referências 72

Introdução e Definições de Resistência
dos Materiais
1.1. DEFINIÇÃO DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
“Resistência dos Materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas
externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro
do corpo. Esse assunto abrange também o cálculo da deformação do corpo e o estudo da sua
estabilidade, quando ele está submetido a forças externas.” (HIBBELER, 2010)
No projeto de qualquer estrutura ou máquina é fundamental que sejam estudadas não
somente as forças atuantes, mas também o comportamento do material diante das situações de
carregamento. Essa conjuntura é essencial para a escolha do material mais adequado para uma
determinada situação de projeto. As dimensões dos elementos, sua deflexão e sua estabilidade
dependem não só das cargas internas como também do tipo de material do qual esses elementos
são feitos.
1.2. EVOLUÇÃO HISTÓRICA
A origem dos estudos em resistência dos materiais vem do
século XVII, quando Galileu realizou as primeiras experiências em
hastes e vigas de diferentes matérias, avaliando o efeito das cargas
sobre os elementos e os seus respectivos comportamentos.
Entretanto, para a compreensão adequada, foi necessário
estabelecer descrições experimentais mais precisas das
propriedades mecânicas de um material. Os métodos para tais
descrições foram consideravelmente melhorados no início do século

XVIII. Naquela época, estudos sobre o assunto, tanto experimentais quanto teóricos, foram
realizados principalmente na França por estudiosos renomados como Saint-Venant, Poisson,
Lamer e Navier.
Com o passar do tempo, a medida que problemas mais complexos foram surgindo e
precisavam ser resolvidos, tornou-se necessário usar técnicas de matemática avançada e de
computador. Hoje, os profissionais envolvidos no estudo das estruturas têm à sua disposição
softwares capazes de simular inúmeras situações de projeto e fornecer dados precisos sobre o
comportamento dos elementos estruturais.
1.3. PRINCÍPIO DA ESTÁTICA E DO EQUILÍBRIO DAS FORÇAS
Como já foi dito, o estudo da resistência dos materiais envolve a determinação das forças
atuantes sobre o corpo e o comportamento do material sobre o efeito do carregamento. O
princípio da estática desempenha um papel relevante tanto no desenvolvimento como na
aplicação da resistência dos materiais, logo é muito importante ter uma boa compreensão dos
seus fundamentos.
1.3.1. FORÇAS EXTERNAS
Um corpo qualquer pode ser submetido a várias
forças externas, ou seja, sofrer ação de inúmeros
agentes externos. Estas forças podem assumir
características distintas, conforme a natureza de sua
aplicação.
Quanto aos tipos de forças externas, podemos classificá-
las como:
1) Forças de superfície: ocorrem quando há o contato
direto de um corpo com a superfície do outro. Em
todos os casos essas forças são distribuídas pela
área de contato entre os dois corpos.
2) Força de corpo: ocorre quando um corpo exerce uma força sobre o outro sem contato físico
direto entre eles. Um exemplo desta força é a gravidade, representada como uma única força
concentrada chamada de peso do corpo, cuja resultante atua no centro de gravidade do corpo.

1.3.1.1. Forças de superfície
As forças geradas pelo contato entre dois corpos são chamadas de forças de superfície. Logo,
podemos avaliar o carregamento gerado por essa interação como sendo distribuído em toda a
área de contato. Entretanto, em alguns casos esta área de interação ou contato é pequena em
relação ao tamanho dos corpos e, por isso, podem ser consideradas pontuais ou lineares.
Analisemos a seguinte situação: ao espetarmos um palito num pedaço de carne, todas as forças
estão sendo distribuídas ao longo da área da ponta do palito, que é muito pequena em relação ao
tamanho da carne. Logo, neste caso podemos considerar esta carga como sendo pontual. Em
seguida vamos ver os tipos de carregamento gerados pelas forças de superfície.
1.3.1.1.1. Cargas concentradas ou pontuais
As cargas pontuais, como o próprio nome sugere, exerce contato sobre uma área muito
pequena e, por isso, pode ser considerada como pontual. Como exemplo, podemos destacar uma
pessoa ou um móvel em cima de uma laje. A carga concentrada é representada por uma única
seta ou vetor, que pode admitir sentidos e direções diferentes, conforme a orientação do
carregamento. O vetor deve ser aplicado em cima do ponto onde ocorre o carregamento
concentrado.
Na figura abaixo temos o esquema de uma viga biapoiada sendo submetida a uma força
concentrada “F”, localizada no meio do vão:
O carregamento é expresso em unidades de força, conforme a interação massa e
aceleração da gravidade:

As unidades mais comuns de representação destas forças são:
N – Newton
KN – Quilonewton
Kgf – Quilograma força
1.3.1.1.2. Cargas distribuídas linearmente
A carga pode se considerada linearmente distribuída quando a área de atuação sobre a
superfície é estreita, formando uma espécie de “corredor”. A palavra “linear” significa relativo a
linha ou algo que segue a direção de uma linha.
Partindo desta definição, podemos dar como exemplo de carregamento linear o peso de
uma parede sobre a laje ou sobre a viga:
O carregamento linearmente distribuído é representado pela sequência linear de setas ou
vetores de força distribuídos ao longo da região de atuação. A unidade desta grandeza é dada em
força por metro, conforme é mostrado na figura abaixo:

Na figura, a viga com apoios
A e B está sofrendo um
carregamento linearmente
distribuído de 10 KN/m, o que
significa que em cada metro da viga
atua um carregamento de 10 KN.
Pode ser comumente expresso,
ainda, em N/m e kgf/m.
Na análise de todo carregamento distribuído é necessário que seja encontrada uma força
resultante equivalente. No caso do carregamento linear, esta força é calculada multiplicando a
carga pelo comprimento linear de atuação. O ponto de aplicação da força resultante está
localizado na metade do comprimento de atuação. Abaixo, dois exemplos de cálculo da resultante:
Cálculo da força resultante:
Região da aplicação da força:
Cálculo das forças resultantes:
Região de aplicação das forças:
As cargas distribuídas linearmente nem sempre são uniformes. Em alguns casos podem
variar de intensidade ao longo da distribuição, apresentando um carregamento com formas
geométricas triangulares ou trapezoidais.
Nos carregamentos que variam de forma triangular, a força resultante equivale à área do
triângulo e está posicionada a 1/3 da base, partindo do ângulo reto.

Nos carregamentos trapezoidais, a melhor força de encontrar as forças resultantes é
dividindo a figura em duas outras formas geométricas conhecidas, como o triângulo e o retângulo.
Desta forma, obteremos duas resultantes concentradas: uma equivalente à porção retangular e a
outra à porção triangular.

1.3.1.1.3. Carga distribuída por área
Foi visto anteriormente que toda força de superfície é distribuída por área, mas que em
alguns casos estas áreas são muito pequenas ou estreitas, dando origem aos carregamentos
lineares e pontuais.
No carregamento distribuído por área, a região de contato é consideravelmente grande e,
portanto, a área deve ser considerada na distribuição das forças. Esse tipo de carga é bastante
encontrado nas situações que envolvem a engenharia e a mecânica, principalmente no
carregamento sobre as lajes de uma construção.
Assim como no linear, o carregamento distribuído por área também exige o cálculo de uma
resultante que atua no centro da área de contato. Esta resultante é calculada quando
multiplicamos o carregamento pela área:
1.3.1.2. Força de corpo
A força de corpo, como foi visto anteriormente, não depende do contato entre duas
superfícies. O exemplo mais evidente desta força é o peso de um corpo. Todo corpo possui uma
massa e, portanto, sofrendo ação da gravidade, possui um peso que atua no seu centro de
gravidade ou centroide.
A força que atua no centroide do corpo é também chamada de resultante do peso e ela
atua no centro do corpo, conforme a figura:

Portanto, um corpo com massa igual a 80 kg, sofrendo a ação da gravidade g = 9,81 m/s²,
exerce uma força de 785 N (Newton), cuja resultante se encontra no seu centro de gravidade ou
centro de massa.
1.3.2. FORÇAS INTERNAS OU ESFORÇOS SOLICITANTES
A atuação de forças externas sobre um corpo gera em toda a sua estrutura ou secção
forças internas. Portanto, solicitação é todo esforço ou conjunto de esforços que, devido às ações
externas, atuam sobre uma ou mais secções de um elemento da estrutura. A seguir serão
apresentados os tipos de esforços solicitantes e mais adiante cada um será estudado de forma
detalhada.
1.3.2.1. Esforços normais
Os esforços normais são assim chamados, pois atuam perpendicular à superfície da
secção da peça. Em outras palavras, a resultante desta força forma um ângulo de 90º com a
superfície.
Existem dois tipos de esforços normais e estes são muito importantes no estudo da
resistência dos materiais. São eles os esforços de compressão e tração. Ambos atuam
perpendiculares à superfície da secção, porém se diferenciam pelo sentido da força.

Os esforços de compressão ocorrem quando há duas forças na mesma direção
empurrando ou comprimindo em sentidos opostos.
Os esforços de tração ocorrem quando há duas forças na mesma direção puxando em
sentidos opostos.
1.3.2.2. Esforços de flexão
A flexão é um esforço onde a deformação ocorre perpendicularmente ao eixo do corpo.
Observe as duas figuras a seguir: a da esquerda mostra um corpo apoiado em suas duas
extremidades e da direta mostra um corpo preso de um lado, com a extremidade oposta livre. Os
dois corpos estão sofrendo a ação de uma força F, que age na direção perpendicular ao eixo dos
corpos.
A força F leva uma região dos corpos a se contrair, devido à compressão, enquanto que a
outra região se alonga, devido à tração. Entre a região que se contrai e a que se alonga fica uma
linha que mantém sua dimensão inalterada - a chamada linha neutra. Em materiais homogêneos,
costuma-se considerar que a linha neutra fica a igual distância das superfícies externas inferiores
e superiores do corpo.

Quando esta força provoca somente uma deformação elástica no material, ou seja, quando
interrompido o carregamento retorna ao seu estado original, dizemos que se trata de um esforço
de flexão. Quando produz uma deformação plástica, temos um esforço de dobramento, isso por
que o material não retorna ao estado original e permanece deformado mesmo que o
carregamento não exista mais.
1.3.2.3 Esforço de cisalhamento
No esforço de cisalhamento as forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, ou
seja, um deslocamento linear entre seções transversais. Também conhecido como esforço
cortante, o cisalhamento acontece quando temos um carregamento agindo em um sentido em
uma face do elemento, e outro carregamento agindo em sentido contrário na face oposta. Para
que o esforço tenha efeito de corte, as forças devem agir perpendicularmente ao eixo do
elemento.
Podemos concluir, então, que uma mesma força agindo perpendicularmente ao eixo
transversal do corpo pode gerar cisalhamento e flexão, cisalhamento puro ou flexão pura.

1.3.2.4. Esforço de torção
A torção é diferente da compressão, da tração e
do cisalhamento porque nestes casos o esforço é
aplicado no sentido longitudinal ou transversal do
elemento e na torção o esforço é aplicado no sentido de
rotação.
Para melhor exemplificar este esforço, pense
num corpo cilíndrico, preso por uma de suas
extremidades. Imagine que este corpo passe a sofrer a ação de uma força no sentido de rotação,
aplicada na extremidade solta do corpo, conforme a ilustração ao lado.
O corpo tenderá a girar no sentido da força e, como a outra extremidade está engastada,
ele sofrerá uma torção sobre seu próprio eixo. Se certo limite de torção for ultrapassado, o corpo
se romperá.
Obviamente, a torção não é gerada apenas na situação descrita acima. Basta que haja dos
movimentos de rotação sobre o eixo da peça em sentidos opostos.
1.3.3. CARGAS INTERNAS RESULTANTES
As cargas internas representadas pelos esforços solicitantes
apresentados anteriormente atuam de forma desordenada, em
diferentes direções e sentidos numa seção do elemento.
A figura (a) mostra um elemento qualquer sofrendo ação de
forças externas representadas por quatro vetores. Se fizermos um
corte no elemento, revelando a sua seção, teremos uma série de
forças internas atuando desordenadamente, em direção e sentido
distintos, conforme a figura (b).
O estudo das cargas internas só é possível a partir da
determinação de suas resultantes, que possuem direção e sentido
vetoriais conhecidos. Cada esforço solicitante tem a sua carga
interna resultante definida e é conhecendo o valor desta grandeza
e de que forma a mesma atua no elemento que torna possível
estudar a sua resistência.

As cargas internas resultantes são assim representadas:
a) Força normal (N): essa força é perpendicular à seção. É criada sempre que as forças
externas tendem a comprimir ou tracionar as duas partes do corpo.
b) Força cortante (V ou Q): localiza-se no plano da seção e é criada quando as cargas externas
tendem a provocar o deslizamento ou corte das duas partes do corpo, uma sobre a outra.
c) Momento de torção ou torque (T): essa força é criada quando as forças externas provocam
um giro em relação ao eixo do elemento, tendendo a torcer o mesmo.
d) Momento fletor (M): é provocada pelas cargas externas que tendem a fletir ou flexionar o
corpo em relação ao eixo localizado no plano da seção.
A figura abaixo mostra, de forma geral, o comportamento dessas resultantes em relação ao plano
da seção do elemento:
1.3.4. EQUILÍBRIO DAS FORÇAS
Um corpo está em equilíbrio quando o somatório de todas as forças atuantes sobre ele é
zero, evitando que o mesmo desenvolva movimento acelerado. Além do equilíbrio das forças, é
necessário também o equilíbrio dos momentos. Isto significa que em qualquer ponto do corpo o
somatório dos momentos é zero, impedindo neste caso a rotação.
Tanto os vetores força quanto os momentos podem apresentar diferentes direções e
sentidos de atuação numa estrutura. Sendo assim, no plano cartesiano podemos ter forças na
direção do eixo x e forças na direção y, assim como momentos em ambas as direções também.
Para os casos de figuras tridimensionais, tem-se o acréscimo de mais um plano, o “z”. Entretanto,
para o estudo dessa disciplina só iremos considerar os corpos no plano xy.
Têm-se, então, como equações de equilíbrio no plano os seguintes somatórios:

Os somatórios de e são, respectivamente, a soma de todas as forças horizontais e
verticais atuantes no corpo. O somatório de é a soma dos momentos em um ponto qualquer
“o” onde o valor é zero. É importante frisar que o somatório de momento deve ser aplicado num
ponto onde este valor é zero, uma vez que ao longo do corpo o valor do momento varia em
valores diferentes de zero.

Momento Fletor e Força Cortante
2.1. ANÁLISE DE MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE EM VIGAS
O momento fletor e a força cortante são esforços presentes em diversos tipos de estrutura,
seja ele uma viga, um pilar, uma laje ou até mesmo um reservatório. Para estudarmos os
conceitos do comportamento dessas forças numa estrutura, iremos considerar a atuação destas
em vigas.
As vigas são estruturas importantes para a análise do momento e do cortante, pois boa
parte do carregamento atua sobre a porção longitudinal da peça ou transversal a seção.
2.2. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Para facilitar o estudo do comportamento da estrutura e das forças atuantes sobre ela, as
situações são representadas graficamente através de símbolos. No caso das vigas, os elementos
a serem considerados são o carregamento, os apoios e a própria viga. Obviamente, estes
elementos não são representados na forma real, como na figura a cima. É necessária uma forma
mais simples e prática de reproduzir todos os elementos do problema.
A ilustração abaixo descreve os elementos gráficos que devem ser observados:

2.3. VÍNCULOS DAS ESTRUTURAS
Denominamos vínculos ou apoios os elementos de construção que impedem os
movimentos de uma estrutura. Nas estruturas planas, podemos classificá-los em três tipos:
vínculo simples ou móvel; vínculo duplo ou fixo; engastamento.
2.3.1. VÍNCULO SIMPLES OU MÓVEL
Esse tipo de vínculo impede o movimento no sentido normal ao plano de apoio, fornecendo
apenas uma única reação na vertical.
2.3.2. VÍNCULO DUPLO OU FIXO
Esse tipo de vínculo ou apoio impede o movimento em duas direções, na direção normal e
na direção paralela ao plano de apoio. Portanto fornece duas reações: uma na horizontal e a outra
na vertical.
2.3.3. ENGASTAMENTO
Esse tipo de vínculo impede o movimento em qualquer direção, impedindo também a
rotação.

2.4. ESTRUTURAS
Denomina-se estrutura o conjunto de elementos de construção, composto com a finalidade
de receber e transmitir os esforços solicitantes. As estruturas planas são classificadas de acordo
coma sua estaticidade ou situação de estática em três tipos: hipoestáticas, isoestáticas e
hiperestáticas.
2.4.1. ESTRUTURAS HIPOESTÁTICAS
As estruturas chamadas de hipoestáticas são instáveis estaticamente e são pouco
utilizadas na prática. A classificação de hipoestática é devido ao fato de o número de equações de
estática ser superior ao número de incógnitas.
2.4.2. ESTRUTURAS ISOESTÁTICAS
A estrutura é considerada isoestática quando o número de reações ou incógnitas a serem
determinadas coincide com o número de equações de estática.

2.4.3. ESTRUTRAS HIPERESTÁTICAS
A estrutura é considerada hiperestática quando as equações são insuficientes para
calcular as reações ou incógnitas.
2.5. TIPOS DE VIGAS
As vigas podem assumir diversas configurações, a depender disposição ou
posicionamento de seus apoios. Sendo assim, podemos destacar alguns tipos de viga mais
comuns em estruturas de edificações.

2.6. MOMENTO FLETOR
O momento de uma força em relação ao ponto é o produto da força com a distância desta
para o ponto. Consideremos, agora, uma força F que atua em um determinado ponto da viga. Este
ponto é denominado de “C”, localizado no vão da viga a uma distância “x” da força, conforme a
figura:
Logo, o momento neste ponto “c” qualquer provocado por uma força qualquer “F” é
calculado multiplicando a força pela distância que a separa do ponto. Esta distância é também
conhecida como “braço de alavanca”.
Podemos, então, definir o momento de uma força em relação a um ponto qualquer a
seguinte expressão:
A unidade de medida do momento, no sistema internacional de medidas, pode ser
expressa em:
F – força: [KN]; [N]; [kgf]...
X – distância: [mm]; [cm]; [m]...
M – momento: [KN.m]; [KN.cm]; [N.m]...
Para que haja momento num ponto qualquer é necessário que a força esteja deslocada em
relação ao ponto. Logo, as forças que estão atuando exatamente sobre o ponto não geram
momento, pois o “braço de alavanca” é zero.
No exemplo abaixo, a força F1 não provoca momento no ponto “c”, pois está sendo
aplicada exatamente sobre o ponto e, portanto, não tem “braço de alavanca”. Se não existe
distância entre o ponto e a força, x = 0.

Além do conceito de momento apresentado, é importante observar também o sinal do
momento, ou seja, se ele é positivo ou negativo.
O momento é considerado negativo quando a flexão traciona a face superior da viga e
comprime a face inferior, conforme a figura:
O momento é considerado positivo quando a flexão traciona a face inferior da viga e
comprime a superior, conforme a figura:
2.6.1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Exercício (1): A viga está sofrendo
um carregamento uniformemente distribuído
de 25 KN/m. Calcular o momento fletor na
seção “c” indicada na viga.

A primeira etapa para resolver o problema é descobrir as reações que estão atuando nos
apoios A e B. Analisando o tipo de apoio ou vínculo, temos que A e B são do tipo fixo ou duplo,
gerando reação na horizontal e na vertical.
Reações na horizontal:
Reações na vertical:
Resultante do carregamento distribuído:
Depois de definir as reações de apoio que estão atuando, podemos encontrar os valores
dessas reações através do equilíbrio ou somatório das forças.
Somatório de forças horizontais: Somatório de forças verticais:
Somatório de momentos no apoio A
Sabendo que:
Depois que todas as reações de apoio são encontradas, é possível calcular o momento em
qualquer ponto da nossa viga, utilizando o método das secções. Este método consiste em fazer
o somatório de momentos gerados pela (s) força (s) atuante (s) à esquerda e à direita da secção
ou ponto desejado.
Numa estrutura em equilíbrio, o somatório de momentos gerados pelas forças à esquerda
tem que se igualar ao somatório de momentos gerados pelas forças à direita da secção estudada.

Vamos utilizar o método das secções para determinar o momento no ponto c. Momento em
c vindo pela esquerda tem que ser igual ao momento vindo pela direita.
Note que no momento em “c” pela esquerda foram consideradas apenas as forças que
estavam gerando momento à esquerda do ponto, idem para o momento em “c” pela direita. O
valor de momento em ambos os casos deu igual a 37,5 KN.m, o que significa que a estrutura está
em equilíbrio.
Exercício (2): calcular as
reações de apoio e o momento fletor
no ponto “c” indicado na viga metálica
ao lado, sujeita a dois carregamentos
distribuídos de diferentes intensidades.
Resposta
Reações na horizontal:
Não existem reações na horizontal
Reações na vertical:

Cálculo das reações:
Sabendo que:
Cálculo do momento no ponto “c”, utilizando o método das secções:
2.7. DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR (DMF)
Vimos anteriormente que, para definir as reações de apoio da estrutura, é necessário
aplicar o princípio do equilíbrio das forças. Uma vez definidas todas as reações, podemos
encontrar o momento em qualquer ponto ou secção da nossa estrutura. O momento fletor tem
intensidades distintas ao longo do vão e o melhor mecanismo para visualizar o seu
comportamento é traçar o diagrama de momento fletor (para o caso de flexão).

Portanto, “o diagrama de momento fletor fornece informações detalhadas sobre a variação
do momento fletor ao longo do eixo da estrutura e são usados frequentemente pelos engenheiros
e projetistas para decidir onde colocar materiais de reforço na peça ou como definir as dimensões
desta ao longo do seu comprimento.” (HIBBELER, 2008).
Como já foi dito, o diagrama de momento fletor fornece uma série de informações quanto
ao comportamento da estrutura em relação aos esforços de flexão. As duas primeiras informações
que podemos destacar do diagrama é a ideia de comportamento do gráfico e o ponto onde o
momento fletor é máximo. O valor máximo de momento e a secção onde este ocorre é
extremamente importante para o projetista dimensionar a armadura da estrutura, principalmente
quanto ao diâmetro da barra a ser utilizada. Na maioria dos casos, em que vigas biapoiadas
sofrem carregamento distribuído uniformemente variado, o ponto de momento máximo ocorre
exatamente no meio do vão (distância entre os apoios) e o valor é facilmente encontrado pela
expressão: , onde “q” é o carregamento distribuído e “l” é a distância do vão.
As estruturas podem sofrer carregamentos variados, tanto em local de aplicação quanto
intensidade, e por isso, nem sempre o momento máximo estará atuando no meio do vão. Nestes
casos, o momento máximo pode se encontrar em qualquer outra secção e a forma de calcular
este valor demanda um pouco mais de trabalho. É possível encontrar este valor e a secção exata
de aplicação com o auxílio do Diagrama de Esforço Cortante (DEC), que iremos abordar logo
em seguida.
O diagrama abaixo mostra um exemplo onde o momento máximo não está localizado na
metade do vão da viga, devido à variação de carregamento:

Outra informação muito importante que se pode tirar do diagrama de momento fletor é a de
conhecer os trechos de momento positivo e momento negativo. Nos trechos onde o momento
for positivo, ou seja, que provoca tração na parte inferior da estrutura, a armadura principal será
posicionada na parte de baixo e nos trechos onde o momento for negativo, provocando tração na
parte superior, será o inverso (isso para o caso de vigas).
A depender da forma como carregamento esteja atuando e, é claro, da configuração da
viga e dos seus apoios, podemos ter em uma única viga, trechos de momento positivo e outros de
momento negativo.
Do mesmo modo, podemos ter vigas com predominância de momento positivo, quando
biapoiadas, por exemplo.
E podemos ter, também, vigas com predominância de momento negativo, como, por
exemplo, as vigas em balanço, onde toda a tração está na parte superior.

Para desenhar o diagrama de momento fletor, iremos, primeiramente, definir os pontos
onde serão calculados os momentos. Podemos chamar estes pontos ou secções de notáveis, e
eles ocorrem onde há mudança, início e fim de carregamento e os apoios.
Para exemplificar as etapas de construção do diagrama, utilizaremos a viga abaixo, que
sofre dois tipos de carregamento distintos: um carregamento distribuído e outro pontual. Utilizando
o conceito de pontos notáveis, destacamos os pontos 1 e 2 ao longo do vão e os apoios A e B.
Definidos os pontos notáveis, deve-se conhecer o momento fletor em cada um desses
pontos. No nosso exemplo, sabemos que o . Entretanto, ainda não se conhece
os momentos nos pontos (1) e (2). Para encontrá-los, basta desenvolver todos os cálculos vistos
anteriormente, definido as reações de apoio e o momento nos pontos através do método das
secções. Fazendo isto, encontraremos que .
Uma vez conhecidos os valores de momento fletor nos ponto notáveis, podemos desenhar
o diagrama marcando estes valores, em escala, nos seus respectivos pontos.
No nosso gráfico, a linha azul tracejada representa a projeção de cada um dos pontos
notáveis e onde os valores serão marcados. A linha contínua preta simboliza o vão da nossa viga
e onde valor de momento é zero; os valores são marcados, em escala, a partir desta linha.

É importante entender, também, se o ponto referente ao valor do momento será marcado
acima ou abaixo da reta que simboliza o vão da viga. Se o momento é positivo, ele está
tracionando a parte inferior da viga, logo o ponto será marcado abaixo da viga. Em contra partida,
se o momento é negativo, está tracionando as parte superior e o ponto deve ser marcado acima
da reta. De maneira convencional, quando o momento for positivo, marca-se abaixo da linha;
quando o momento for negativo, marca-se acima.
Depois de marcados os pontos, os mesmos devem ser ligados por uma reta. Reparem que
no trecho entre o apoio A e a secção (1) a linha que liga os dois pontos está tracejada. Isso por
que nos trechos onde o carregamento é distribuído o diagrama assume o formato de uma
parábola. Nos demais trechos, onde não se tem carregamento distribuído o diagrama é formado
pelas retas que ligam os pontos, isto é, no trecho entre os pontos (1) e (2) e entre (2) e o apoio B.
No desenho da parábola é necessário que seja calculado o valor da flecha. A flecha
representa o afastamento perpendicular da parábola em relação à linha tracejada que liga os
pontos e pode ser calculada com a expressão abaixo.
Deste modo, no nosso exemplo, a flecha da parábola desenhada no trecho entre o apoio A
e a secção (1) pode ser calculada assim:

O diagrama de momento fletor final do nosso exemplo pode ser expresso conforme
ilustrado na figura abaixo. Podemos, então, concluir que em toda a nossa viga o momento fletor é
positivo, ou seja, traciono as fibras inferiores da peça, e que o momento máximo está situado em
algum ponto entre o apoio A e a secção (1). O momento máximo e a secção exata onde ocorre
este valor serão encontrados a partir do cálculo do diagrama de esforço cortante. Este artifício de
cálculo é bastante eficiente quando não há um mecanismo gráfico preciso, como um programa de
computador.
2.8. ESFORÇO CORTANTE
Um elemento de construção submete-se a esforço cortante ou de cisalhamento, quando
sofre a ação de uma força cortante, que tende a provocar o “corte” da peça.
Denomina-se força cortante, a carga que atua tangencialmente sobre a área de secção
transversal da peça. Quanto à simbologia, a força cortante pode ser representada pelas letras “Q”
ou “V”.

A convenção de sinais é diferente para o cortante e não tem relação com a tração de fibras
inferiores ou superiores, mas sim com a direção do vetor de força cortante. Logo, pode-se
convencionar da seguinte maneira:
Diferente do diagrama de momento fletor, o somatório de forças cortantes à esquerda pode
não ser igual ao somatório de forças cortantes à direita.
2.8.1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Exercício: para a mesma a mesma
viga utilizada no exemplo de momento
fletor, calcular o esforço corante no ponto c.
Como em todos os exemplos, o
primeiro passo é calcular as reações nos
apoios A e B, através do princípio de
equilíbrio das forças visto anteriormente. Conhecidos estes valores, podemos calcular o cortante
em qualquer ponto da viga.
Como queremos o cortante apenas na secção C da viga, calcularemos o somatório de
forças cortantes à esquerda e à direita da secção.

Assim, no ponto C o cortante tanto pela esquerda quanto pela direita foi igual a 25 kN.
Dado esse conceito, podemos agora traçar o diagrama de esforço cortante.
2.9. DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE (DEC)
Assim como no momento fletor, o diagrama de esforço cortante fornece informações
importantes e detalhadas sobre a variação do cisalhamento ou esforço cortante ao longo do eixo
da peça.
Nas vigas, o esforço cortante tem uma influência significativa sobre o cálculo das
armaduras. O dimensionamento dos estribos é feito a partir dos valores de cortante encontrados,
principalmente os valores máximos.
Para desenhar o diagrama de esforço cortante, iremos utilizar a mesma viga do exemplo
de momento fletor. Como agora estamos trabalhando com cortante, consideram-se apenas as
forças que provocam cisalhamento ou corte na viga, que são as reações de apoio e as cargas
solicitantes.
Lembre-se que agora estamos trabalhando com forças cortantes e não com momento.
Logo, não são necessárias as distâncias ou “braços de alavanca”, somente as forças resultantes.
Os pontos notáveis selecionados para desenhar o diagrama de momento fletor serão os mesmo
para o esforço cortante.

Conhecendo o cortante em todos os pontos notáveis, podemos marcá-los no diagrama do
mesmo modo que é feito para o diagrama de momento fletor. Deve-se ficar atento ao sinal do
cortante. Se ele for positivo, o valor deve ser marcado acima da linha preta que representa a viga,
e se for negativo deve ser marcado abaixo.
Note que na secção (2) da viga, o cortante foi de -11,3 kN para as forças à esquerda e de -
16,3 kN para as forças à direita, comprovando que nem sempre estes cortantes serão iguais vindo
das duas direções. Em casos como este, onde o cortante é diferente, marcam-se os dois pontos
na mesma secção.
2.10. CÁLCULO DO MOMENTO MÁXIMO E DO PONTO DE APLICAÇÃO
Conhecer o valor do momento máximo e a secção exata onde o mesmo ocorre é uma
tarefa difícil, quando não se utiliza recursos gráficos precisos. Traçar os diagramas à mão,
sobretudo o DMF, não nos dar condições de conhecer os valores a partir da escala adotada.
Entretanto, se utilizarmos um conceito importante, relacionando o diagrama de momento fletor
com o esforço cortante, é possível encontrar o valor de momento máximo e a sua secção de
ocorrência.
Nos pontos ou secções onde o momento é máximo temos o cortante nulo ou zero.
Logo, identificando os pontos no diagrama de esforço cortante onde o cortante é zero, podemos
descobrir a localização da secção e a partir daí calcular o momento fletor máximo.
Para exemplificar esse artifício, utilizaremos o mesmo exemplo que foi desenvolvido para o
DMF e DEC. Assim, temos:
Note que na secção (3) o
cortante é zero (V=0) e o momento é
máximo. Entretanto, não se conhece
a distância “x” que determina a
localização da secção (3).
Como sabemos que na
secção (3) o cortante é zero, temos:
Descobriu-se, então, que a
secção (3) está localizada a uma

distância de, aproximadamente, 1,55 m do apoio A. Tendo esse dado, podemos utilizar o método
das secções para calcular o momento na secção (3), que corresponde ao momento máximo.
Calculando momento em (3) pela esquerda, ou seja,
seccionando a viga no ponto (3) e considerando somente
as forças que existem à esquerda, temos:
Foi definido, então, que o momento máximo da viga
é de 30 kN.m e ocorre a 1,55 m do apoio A. Deste modo,
todas as informações relevantes ao comportamento do momento fletor e do esforço cortante ao
longo do eixo da viga foram definidas. Podemos, então, assim representar os diagramas finais:

2.11. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Utilizando o método do equilíbrio das forças,
faça o que se pede:
a) Calcular as reações nos apoios A e B.
b) Desenhar os DMF e DEC.
c) Determinar o momento máximo e a secção.
2) Identifique, para a figura da viga, a posição
das secções de momentos extremos e calcule
os seus valores.
3) Apresente os diagramas DMF e DEC para a
viga descontínua, sujeita ao carregamento
dados:
4) Apresente os diagramas DMF e DEC para a
viga em balanço, sujeita ao carregamento
dado:
5) Desenhar os diagramas de momento fletor e
esforço cortante para a viga abaixo:
6) Desenhar os diagramas de momento fletor e
esforço cortante para a viga abaixo:

Características Geométricas das
Superfícies Planas
3.1. CENTRÓIDES DE SUPERFÍCIES PLANAS
É um ponto localizado na própria figura, ou fora desta, no qual se concentra o centro de
massa ou centro de gravidade. A localização do ponto dar-se-á através das coordenadas .
Para simplificar a determinação do centro de gravidade, divide-se a superfície plana em
superfícies geométricas cujo centro de gravidade é conhecido, tais como triângulos, retângulos,
quadrados e círculos. Através da relação de somatório dos momentos estáticos dessa superfície e
área total das mesmas, determinam-se coordenadas do centro de gravidade.

3.1.1. TABELA DE CENTRO DE GRAVIDADE DE SUPERFÍCIES PLANAS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Ex.1.
Determinar as coordenadas do centro de gravidade do perfil “U” representado na figura a
seguir.
Solução:
O 1º passo para encontrar o centro de gravidade de uma figura composta e dividi-la em
superfícies planas conhecidas. No nosso exemplo, o perfil será divido em três (3) retângulos de
áreas .
Divididas as superfícies, podemos calcular para cada uma delas a área e as coordenadas
x e y.

Aplica-se, então, a relação do somatório dos momentos estáticos das superfícies com a
área total.
Ex.2.
Determinar as coordenadas do centro de gravidade da área hachurada da figura a seguir,
utilizando a subtração das áreas.
Para resolver este problema, dividiremos a figura em um triângulo retângulo ABC e um ¼
de círculo.

Do mesmo modo que foi feito para o exemplo anterior, iremos encontrar a área e as
coordenadas x e y de cada uma das figuras.
Como estamos subtraindo duas áreas, os somatórios dos momentos estáticos e das
áreas, na relação, devem estar subtraindo os valores.

3.1.2. EXERÍCIOS PROPOSTOS
Determine as coordenadas do centro de gravidade ou centro de massa das superfícies
geométricas destacadas abaixo:
a) b)
c) d)
e) f)

3.2. MOMENTO DE INÉRCIA OU MOMENTO DE 2ª ORDEM
O momento de inércia é uma característica das superfícies que está associada à inércia de
rotação. Em outras palavras, “mede” a dificuldade em se alterar o estado de movimento de um
corpo em rotação.
No dimensionamento dos elementos de construção, o momento de inércia é uma
característica geométrica importantíssima, pois fornece valores numéricos, uma noção de
resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da secção transversal de uma peça,
maior será a resistência da peça ao giro ou à rotação.
Em termos práticos, podemos explicar o posicionamento de secções transversais de
elementos estruturais conhecidos através do momento de inércia. Por exemplo, as vigas
(elementos estruturais responsáveis por transmitir o carregamento das lajes) têm a secção
posicionada em “pé” e não “deitadas”. O momento de inércia da secção retangular (comum em
vigas) disposta em “pé” é muito maior, o que diminui as tensões na flexão e a deformação. Para
melhor entender este conceito, tente flexionar uma régua comum com a secção deitada e depois
em pé. Percebe-se que é muito mais fácil dobrar ou flexionar a régua quando e mesma está
deitada, isso por que o momento de inércia é menor.
Os momentos de inércia de superfícies planas conhecidas, como retângulos, triângulos e
círculos são conhecidos e expressos através de fórmulas que dependem apenas das dimensões
da peça.
3.2.1. TABELA DE MOMENTO DE INÉRCIA, RAIO DE GIRAÇÃO DE MÓDULO DE
RESISTÊNCIA

Os momentos de inércia representados na tabela são em torno dos eixos baricêntricos ou
eixos que passam pelo centro de gravidade da peça. É comum encontrar em bibliografias o
momento de inércia representado pelas letras “I” ou “J” (em maiúsculo). Logo, significa

momento de inércia em torno do eixo x e significa momento de inércia em torno do eixo y.
O valor final encontrado deve ser expresso em , etc.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
a) Determinar o momento de inércia relativo aos eixos
baricêntricos x e y da secção retangular com as medidas
representadas na figura ao lado.
Solução
Sabemos que o centroide de uma secção retangular se
encontra na metade da sua base e da sua altura. Desta forma,
temos:
Para encontrar o valor de momento de inércia de uma secção conhecida, basta consultar a
tabela de momento de inércia. Para superfícies retangulares, temos:
Portanto, conhecendo a base e a altura ,
temos como calcular, por substituição direta de fórmula, o momento de inércia em ambas as
direções.
b) Determinar o momento de inércia relativo aos eixos
baricêntricos x e y da secção triangular com as medidas
representadas na figura ao lado.
Solução

Sabendo que a base do triângulo é e a altura é
, podemos utilizar a fórmula tabelada para momento de inércia em triângulos:
3.2.2. TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS OU TEOREMA DE STEINER
Vimos, anteriormente, que o calculo do momento de inércia em superfícies conhecidas, a
partir do plano baricêntrico, é muito simples. Conhecendo as medidas da secção, calcula-se
facilmente por aplicação direta de fórmula o momento de inércia. Isso acontece por que o eixo de
giração coincide com o eixo do centro de gravidade peça.
Quando os eixos de giração e centro de gravidade não coincidem, aplica-se o teorema dos
eixos paralelos ou a translação dos eixos. Este artifício é utilizado, por exemplo, quando
precisamos calcular o momento de inércia de superfícies compostas – aquelas em que se divide
em figuras geometricamente conhecidas para encontrar o centro de gravidade. Neste caso o
centro de gravidade de cada superfície dividida pode não coincidir com o centro de gravidade da
peça inteira.
No teorema dos eixos paralelos, sejam x e y os eixos baricêntricos (que passam pelo CG)
da superfície A. Para determinar o momento de inércia da superfície, em relação aos eixos u e v,
paralelos a x e y, utilizam-se as seguintes expressões:
Onde e são os momentos de inércia da superfície, “A” é área da superfície, “a” é a
distância entre os eixos horizontais e “b” é a distância entre os eixos verticais.
Para entendermos melhor o conceito de translação dos eixos, no exercício resolvido a
seguir determinaremos o momento de inércia de uma secção composta.

EXERCÍCIO RESOLVIDO
Determinar o momento de inércia da secção “T” representada na figura, utilizando o
teorema dos eixos paralelos.
Solução
O 1º passo é determinar o ponto do centro de gravidade (CG). Iremos, então, dividir a
figura em dois retângulos de áreas e .
Retângulo (1): Retângulo (2):
O 2º passo a traçar todos os eixos que são conhecidos: 1) o eixo que passa pelo centro de
gravidade da peça inteira; 2) o eixo que passa pelo centro de gravidade do retângulo um; 3) o eixo
que passa pelo centro de gravidade do retângulo dois.

Note que os eixos , e não coincidem, ou seja, estão distantes paralelamente um
do outro. Já o eixo y passa igualmente por todos os pontos. Isso significa que o teorema dos eixos
paralelos servirá apenas para calcular o momento de inércia em torno do eixo x, o .
Para calcular o momento de inércia, é necessário conhecer a distância entre os eixos, ou
seja, a distância entre e e a distância entre e , representadas, respectivamente, pelas
letras “a” e “b”.
Momento de Inércia em x: Momento de Inércia em y:

No calculo do momento de inércia em torno de y, uma vez que os eixos se coincidem, não
existe distância entre eles, anulando a parcela da equação ou , já que a e b é zero.
Logo, basta somar o momento de inércia dos dois retângulos.
3.3. RAIO DE GIRAÇÃO
O raio de giração de uma superfície plana em relação a um eixo de referência xy constitui-
se numa distância particular entre a superfície e o eixo de referência.
Para determinar o raio de giração da superfície, quando conhecido o seu momento de
inércia, utilizam-se as seguintes expressões:
Onde e são, respectivamente, o raio de giração em torno do eixo x e em torno do eixo
y; e são os momentos de inércia e A é a área total da superfície.
Como exemplo de aplicação do raio de giração, utilizaremos o mesmo exemplo do exercício
resolvido anteriormente. Sendo assim, temos:
Para calcular o raio de giração de uma superfície composta é necessário conhecer o
momento de inércia. Em superfícies geométricas simples ou conhecidas o raio de giração pode
ser encontrado na mesma tabela fornecida para o momento de inércia.

3.4. MÓDULO DE RESISTÊNCIA
Defini-se como módulo de resistência de uma superfície plana em relação aos eixos
baricêntricos x e y a relação entre o momento de inércia e a distância máxima entre o eixo
baricêntrico e a extremidade da superfície.
Assim sendo, calcula-se o módulo de resistência, conhecendo o momento de inércia da
peça, através das seguintes expressões:
Onde e são, respectivamente, os módulos de resistência em torno de x e de y; e
os momentos de inércia; e as distâncias máximas.
No exemplo de cálculo do módulo de resistência também utilizaremos o a perfil “T” trabalho
anteriormente. Primeiro, vamos definir o conceito das distâncias máximas e . Por
definição, são as maiores distâncias entre os eixos que passam pelo centro de gravidade (eixos
baricêntricos) e as extremidades da seção, conforme demonstrado na figura abaixo:

Note que no nosso exemplo o eixo y está exatamente na metade da seção, o que significa
que a distância do eixo y para a extremidade da direita e para a da esquerda serão iguais. Logo:
Já em relação ao eixo x não há simetria, ou seja, a distância entre o eixo x do centro de
gravidade e a face inferior da peça é menor do que a distancia entre o mesmo eixo e a face
superior. Logo, neste caso, o é a maior distância:
Conhecendo os valore de e , pode-se, então, calcular o módulo de resistência da
peça aplicando os valores à expressão.
Determinar o momento de inércia, raio de giração, módulo de resistência relativos aos
eixos baricêntricos (x; y) nos perfis dados:
Unidade: mm
a) b)

Tensões Normais (tração e compressão)
4.1. FORÇA NORMAL OU AXIAL
Nas construções, as peças ou componentes da estrutura estão sujeitas a diversas formas
de ações (forças existentes, como peso próprio, ação do vento, etc.). Duas das principais formas
de carregamento são conhecidas como cargas axiais ou normas, e são representadas pela
compressão e pela tração.
Defini-se como força normal ou axial aquela que atua perpendicular a área da secção
transversal da peça. Em outras palavras, o vetor força atua normal a superfície, ou seja, forma um
ângulo de 90º.
As forças normais podem tender a “puxar” a peça ou “comprimir”, gerando esforços de
tração ou compressão, respectivamente. O conceito sobre estas formas de carregamento já foi
visto no capítulo 01 deste módulo.
4.2. TENSÃO NORMAL ( )
No estudo da resistência dos materiais, é importante entender a diferença entre tensão e
força. Força é uma grandeza vetorial que determina intensidade, direção e sentido. Tensão é a
atuação desta força sobre uma superfície. Portanto, a força normal ou axial F que atua na peça
gera uma tensão normal que é determinada através da relação entre a intensidade da força
aplicada e a área da secção transversal da peça.

Podemos, então, escrever como tensão normal:
Onde é a tensão normal, F é a força normal ou axial aplicada e A é área da
aplicação.
A unidade de tensão no sistema internacional (SI) é o pascal. Uma força de 1 N
(Newton) aplicada sobre uma área de 1 m² gera uma tensão normal de 1 Pa (Pascal).
O Pascal ainda tem algumas variantes comumente encontradas nas tensões. É comum
encontrarmos informações como “a resistência do concreto é de 30 MPa” ou então “o módulo de
elasticidade do aço é de 210 GPa”. Os prefixos “Kilo”, “Mega” e “Giga” são muito importantes para
entender a intensidade da tensão aplicada. Assim, temos:
 Kilo pascal (KPa) =
 Mega pascal (MPa) =
 Giga pascal (GPa) =
Logo, se a resistência à compressão de um concreto qualquer é de 30 MPa, significa que
ele irá resistir a uma tensão de compressão de ou .
Uma força axial de 40 kN é aplicada a um bloco de
madeira de pequena altura, que se apoia em uma base de
concreto que repousa sobre o solo. Determine:
a) A máxima tensão de esmagamento na base de
concreto
b) As dimensões da base de concreto para que a tensão
no solo seja de 145 kPa

Solução:
a) Sabemos que tensão é a relação entre a força e a área da aplicação. Logo:
Note que a unidade de força foi transformada de kN para N e a área de mm² para m².
Desta maneira, o resultado da nossa tensão será dado sempre em pascal (Pa).
b) Para calcular as dimensões da base de concreto, precisamos conhecer a área. Logo,
Como a base de concreto é quadrada, temos:
4.3. LEI DE HOOKE
Após uma série de experiências, o cientista inglês, Robert Hooke, no ano de 1678,
constatou que uma série de materiais, quando submetidos à ação de carga normal, sofre variação
na sua dimensão linear inicial, bem como na área da secção transversal inicial. Em outras
palavras, um material submetido a cargas axiais tendem a sofrer deformações de alongamento
(tração) ou achatamento (compressão).
Hooke descobriu, ainda, que essas deformações podem ser mais ou menos acentuadas
quando é levado em consideração o material. Isso significa que um material pode sofrer
deformações com mais facilidade do que outros. Essa característica é dada pelo módulo de
elasticidade (E), que é definida como a rigidez ou a capacidade que o material tem de sofrer
deformações.

Ao fenômeno da deformação linear, Hooke denominou de alongamento ( , constatando
que quanto maior a carga normal aplicada, e o comprimento inicial da peça, maior o alongamento,
e que, quanto maior a área da secção transversal e a rigidez do material, medido através do seu
módulo de elasticidade, menor alongamento. Logo, o alongamento é definido pela seguinte
expressão:
Onde é o alongamento, é a tensão aplicada, é o comprimento inicial (antes
de iniciar o carregamento) e E é o módulo de elasticidade do material.
O módulo de elasticidade ou rigidez é uma característica conhecida para vários materiais.
A tabela abaixo indica valores de características elásticas para diversos materiais usados nas
mais diversas atividades:

A barra circular representada na figura é de aço e
possui diâmetro d = 20 mm e comprimento linear l = 0,8
m. Encontra-se submetida à ação de uma carga axial de
7,2 kN. Determine para a barra:
a) A tensão normal atuante
b) O alongamento
Solução
a) Área da secção transversal da peça Cálculo da tensão de tração
b) Lei de Hooke
4.4. COEFICIENTE DE SEGURANÇA (K)
O coeficiente ou fator de segurança é utilizado no dimensionamento dos elementos de
construção, visando assegurar o equilíbrio entre a qualidade da construção e seu custo.
O projetista poderá obter o coeficiente em normas ou determiná-los pode meio de
parâmetros. A escolha de um coeficiente de segurança baixo pode levar à estrutura a
possibilidade de ruptura e a escolha de um coeficiente de segurança alto pode levar a um projeto
antieconômico.
É necessário que cada situação de projeto seja analisada particularmente, de modo que
todos os aspectos ou parâmetros de utilização sejam levados em consideração. Isso significa que
o coeficiente de segurança adotado precisa está em conformidade com as condições em que a
peça ou a estrutura será imposta. Em alguns casos, como no dimensionamento de estruturas de

concreto, utiliza-se um fator de segurança de 1,4 para majorar os valores de carregamento,
também chamado de carregamento de projeto.
Consideração de alguns fatores que influenciam na escolha do coeficiente de segurança:
 Modificações que ocorrem nas propriedades dos materiais;
 O número de vezes em que a carga é aplicada durante a vida útil da estrutura ou máquina;
 O tipo de carregamento para o qual se projeta, ou que poderá atuar futuramente;
 O modo de ruptura que pode ocorrer;
 Deterioração que poderá ocorrer no futuro devido à falta de manutenção ou por causas
naturais imprevisíveis;
 Falhas de fabricação ou montagem da pela ou estrutura.
Nos tópicos a seguir iremos abordar os parâmetros considerados para calcular um
coeficiente de segurança, obedecendo a uma determinada situação.
4.4.1. CARGA ESTÁTICA OU PERMANENTE
A carga é aplicada na peça e permanece constante, ou seja, inalterada com o decorrer do
tempo. O gráfico abaixo mostra o comportamento da carga estática, que é crescente até atingir o
ponto máximo, e a partir de então segue constante. Ex.: um parafuso prendendo uma luminária;
uma corrente suportando um lustre.
4.1.2. CARGA INTERMITENTE
A carga é aplicada gradativamente na peça até que atinja o máximo, utilizando para isso
um determinado intervalo de tempo. Depois de atingir o ponto máximo, a carga é retirada
gradativamente no mesmo intervalo de tempo até atingir o zero. E assim sucessivamente. Ex.:
dente de uma engrenagem.

4.3.2. CARGA ALTERNADA
Neste tipo de solicitação, a carga aplicada na peça varia ao máximo positivo para o
máximo negativo ou vice-versa. Em outras palavras, ora a peça sofre compressão, ora sofre
tração, constituindo-se na pior situação para o material. Ex.: eixos, molas, amortecedores, etc.
Para calcular o coeficiente de segurança (k) em função dos parâmetros apresentados e
outros mais, deverá utilizada a expressão a seguir:
Onde:

Para entendermos o cálculo do coeficiente de segurança, imaginemos, então, uma
situação em que se pretende fabricar um tirante de aço que irá suportar uma carga constante de
tração, aplicada gradualmente quando ao final da montagem. Logo, utilizando os parâmetros,
temos:
É importante frisar que o fator de segurança, como o próprio nome indica, é um coeficiente
e, portanto, não possui unidade de medida. É um valor adimensional.
4.5. TENSÃO ADMISSÍVEL (σadm)
A capacidade de segurança de uma estrutura está associada à capacidade de resistência
do material em todos os pontos da estrutura. Um dos critérios para verificação da segurança e
estabilidade de uma estrutura ou peça é a comparação da tensão solicitante (provocada pelo
esforço) em qualquer ponto com a tensão admissível do material, que representa a capacidade
que o material tem para resistir às tensões.
A tensão admissível é a ideal de trabalho para o material nas circunstâncias apresentadas.
O engenheiro responsável pelo projeto de elementos estruturais ou mecânicos deve restringir a
tensão do material a um nível seguro. Definindo de outra maneira, a tensão admissível é a tensão
máxima ou segura que a peça pode ser submetida sem acarretar em danos ou colapso.
O calculo da tensão admissível é muito simples, mas pode variar de acordo com o tipo de
material que compõe a peça. Os materiais são classificados em dois grupos: frágeis e dúcteis.
Material dúctil: o material é classificado como dúctil, quando submetido a ensaio de
tração, apresenta deformação plástica, precedida por uma deformação elástica, para atingir o
rompimento. No regime elástico, o material se deforma, mas retorna ao estado original quando
cessada a solicitação. No regime plástico a deformação é permanente, ou seja, o material não
retoma o tamanho original quando interrompido o carregamento.
A tensão que determina o limite entre o regime elástico e o regime plástico é conhecida
como tensão de escoamento ( ). Por exemplo, a tensão de escoamento de um determinado
aço é de 250 MPa, o que significa que nesta tensão o material atinge o regime plástico – situação

que não deve acontecer e irá prejudicar a estabilidade e a segurança da peça, devido às grandes
deformações.
Exemplos de materiais dúcteis são: o aço, o cobre, o alumínio, o cobre e a maioria das
ligas metálicas. A tensão admissível é determinada através da relação entre a (tensão de
escoamento) e o coeficiente de segurança (k) para os materiais dúcteis.
Material frágil: o material é classificado como frágil, quando submetido a ensaio de tração
não apresenta deformação plástica, passando do regime elástico para o rompimento. A tensão
que determina o limite entre a deformação elástica e o rompimento é conhecida como tensão de
ruptura à tração ( ). Por exemplo, a tensão de ruptura a tração de um determinado concreto é
de 3 MPa, o que significa que nesta tensão de tração ocorre o rompimento da peça.
Exemplos de materiais frágeis são: o concreto, o vidro, a cerâmica, o gesso, etc. A tensão
admissível é determinada através da relação entre a (tensão de ruptura à tração ou à
compressão) e o coeficiente de segurança (k) para os materiais frágeis.
Encontre as dimensões da secção
transversal do perfil metálico representada na
figura, sabendo que a relação entre as medidas é
l = 3h, de modo que ela suporte com segurança k
≥ 2 uma carga axial de tração de 20 kN.
Considere uma tensão de escoamento 280
MPa.
Solução
O dimensionamento da secção é feito com base na tensão admissível estabelecida para a
peça. Logo, temos:

Podemos, então, relacionar a força de tração que atua na peça e área da secção à tensão
admissível calculada:
Sabendo que a área da secção transversal da peça é retangular e que a relação entre a
largura e altura é de l = 3.h, temos:
Logo, concluímos que, para suportar uma tensão de tração de 20 kN, obedecendo uma
tensão máxima ou segura de 140 MPa, o perfil precisa ter uma largura mínima de 21 cm e altura
mínima de 7 cm. Já que foram encontradas dimensões mínimas, podem-se utilizar valores que
facilitem a fabricação da peça, como múltiplos de cinco. Deste modo, podemos estabelecer
redimensionar a secção para 25 x 10 [cm].
1) A barra rígida de aço mostrada na figura terá
que suportar uma carga de tração “P”. Sabendo
que a barra tem secção transversal quadrada e
de área igual a 4 cm² e que a tensão de
escoamento do aço , determine
a maior carga “P” que pode ser aplicada à
barra. Aplicar k = 2,0. Para a carga máxima
encontrada, qual é o alongamento esperado
para a peça, sabendo que o comprimento
inicial da peça é de 2 m? Aplica Eaço = 210
GPa
2) Dimensionar o diâmetro da barra metálica de
secção circular, para que suporte com
segurança k ≥ 2 a carga axial de 17 kN. O
material da barra é o aço ABNT 1020L com
tensão de escoamento σesc = 280 MPa.

3) O tirante está apoiado em sua extremidade
por um disco circular fino como mostrado na
figura abaixo. Se a haste passa por um furo de
40 mm de diâmetro, determinar o diâmetro
mínimo requerido à haste para suportar a carga
de 20 kN. A tensão admissível da haste é σadm
= 60 MPa.
4) Uma barra de alumínio possui secção
transversal quadrada com 60 mm de lado e, o
seu comprimento é de 0,8 m. A carga axial
aplicada na barra é de 36 kN. Determinar a
tensão normal atuante na barra e o seu
alongamento.

TENSÕES DE FLEXÃO
5.1. INTRODUÇÃO
O esforço de flexão se configura na peça, quando esta sofre ação de cargas cortantes, ou
seja, cargas que atuam perpendiculares ao trecho longitudinal da peça, gerando momento fletor
significativo.
Perceba que a carga cortante Q provoca a flexão do corpo da viga mostrada na figura
acima. Isso ocorre porque no momento em que a carga Q é aplicada, os apoios reagem
“empurrando” as extremidades para cima, como podemos ver em R1 e R2. Como já foi abordada
anteriormente, a força interna que configura a intensidade da flexão é o momento fletor M.
A maioria das peças longitudinais, como vigas e eixos, pode sofrer ao mesmo tempo
cortante e momento ou apenas momento, a depender do trecho analisado. Logo, podemos
classificar a flexão como pura ou simples.
5.2. FLEXÃO PURA
A flexão pura ocorre na peça submetida à flexão quando apresenta um ou mais trechos em
que atua somente o momento fletor – sem esforço cortante. No exemplo abaixo, o intervalo
compreendido entre as secções C e D a força cortante é nula e o momento fletor é constante.
Neste trecho existe somente momento fletor, logo a flexão é pura.

5.3. FLEXÃO SIMPLES
A flexão é denominada de simples quando existirem trechos da peça submetidos à ação
da força cortante e momento fletor simultaneamente. No exemplo, os trechos de flexão simples
são AC e DB.
5.4. TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
Quando se fala em esforços de flexão, a primeira força que vem à tona é o momento fletor.
Entretanto, o movimento de flexão de uma peça pode provocar em sua estrutura esforços de
normais de compressão e tração.
Suponha-se que a figura abaixo seja uma viga com secção transversal retangular, que se
encontra submetida à flexão positiva pela ação de cargas cortantes. No momento da flexão, as
fibras superiores da viga se contraem, formando uma zona de compressão, e as fibras inferiores

se esticam, formando uma zona de tração. Estas zonas são delimitadas pela linha neutra, que
divide a secção ao meio.
Se analisarmos o comportamento da uma secção qualquer da viga, temos que quanto
mais afastada da linha neutra for a fibra, maiores serão as tensões de compressão e tração na
flexão. Isso significa que na linha neutra a tensão de compressão e a tensão de tração são
nulas, e à medida que for se afastando da linha neutra estas tensões vão aumentando até se
tornarem máximas nas extremidades da secção.
O cálculo das tensões máximas de compressão e tração na flexão é extremamente
importante para prever o comportamento da peça e melhor dimensioná-la. Podemos encontrar
estes valore através da seguinte expressão:
Nas expressões: M é o momento fletor na secção estudada; x e y são, respectivamente, as
distâncias entre a linha neutra e a face superior e entre a linha neutra e a face inferior (ver figura
acima); J é o momento de inércia da secção.
Determinar as tensões máximas de compressão
e tração na flexão das secções transversais indicadas na
figura ao lado, sabendo que o momento em x atuante é
de 20 kN.m.

Solução
Conhecendo as medidas da secção, podemos, inicialmente, calcular o momento de inércia
em x de cada uma.
No nosso exemplo, as tensões de compressão e tração serão iguais, uma vez que as
medidas de x e y também são iguais – metade da altura de cada uma das secções.
Note que as tensões são maiores na segunda secção 40x15 [cm], isso por que o momento
de inércia é menor e ambos são inversamente proporcionais – diminuindo o momento de inércia,
aumentam-se as tensões.
5.5. DIMENSIONAMENTO NA FLEXÃO
O dimensionamento de peças submetidas à flexão consiste em definir as dimensões de
secção transversal, utilizando o momento fletor máximo solicitante na peça. A tensão máxima ou
admissível será a tensão atuante máxima na fibra mais afastada ou externa, não importando se
está tracionando ou comprimindo.

A expressão utilizada para calcular as dimensões da peça é a mesma utilizada para
encontrar as tensões de compressão e tração na flexão. A mudança está no momento fletor M,
pois deve se adotado o momento máximo Mmáx.
Onde: é a tensão admissível; é o momento máximo solicitante na peça; é
a maior distância entre a linha neutra (passa pelo centroide da secção) e a fibra mais externa; é
momento de inércia, que pode ser em x ou em y.
Dimensionar a viga de madeira abaixo de modo que possa suportar o carregamento
representado na figura. Utilizar e (a altura é, aproximadamente, três
vezes a base).
Solução
O 1º passo para resolver o problema é encontrar o momento máximo atuante na viga. No
exemplo, este valor para um carregamento uniformemente distribuído de 25 kN/m é de Mmáx = 50
kN.m.
Definido o momento máximo, utilizamos a expressão de tensão admissível para encontrar
o momento de inércia da secção, fazendo apenas uma substituição de valores.

O momento de inércia de uma secção transversal retangular é calculado por .
Logo, podemos calcular as dimensões da peça igualando a expressão ao momento de inércia
encontrado anteriormente.
Podemos, então, concluir que as dimensões mínimas para a secção transversal da peça é
de 12x36 [cm]. Como estas medidas são mínimas, é permitido arredondar para valores mais
comuns, com a finalidade de facilitar a confecção da peça – 15x40 [cm], por exemplo.
1) Dimensionar a viga de madeira que deverá
suportar o carregamento representado na
figura. Utilizar e .
2) Dimensionar o eixo para que suporte com
segurança k = 2 o carregamento representado.
O material utilizado é o ABNT 1020 com
.
3) Determinar a tensão normal máxima que
atua na viga de secção transversal retangular
6x16 [cm] que suporta o carregamento da
figura.
4) Determinar a tensão normal máxima que
atua na viga de perfil “I”, com altura de 32 cm,
que suporta o carregamento da figura.

Tensões de Cisalhamento Puro
6.1. INTRODUÇÃO
Um elemento qualquer submete-se a esforço de cisalhamento quando sofre a ação de uma
força cortante. Como vimos no capítulo anterior, além de provocar o cisalhamento, a força
cortante dá origem também a um momento fletor, que por ser de baixíssima intensidade (quase
nulo), será desprezado neste capítulo.
6.2. FORÇA CORTANTE (Q)
A força cortante, como o próprio nome sugere, é a carga que atua tangencialmente sobre
área de secção transversal da peça.

6.3. TENSÃO CISALHAMENTO ( )
A tensão de cisalhamento é o resultado da ação de uma carga cortante sobre a área da
secção transversal da peça, que é definida através da relação entre a intensidade da carga
aplicada e a área da secção transversal da peça sujeita a cisalhamento.
Se houver uma situação em que mais de um elemento está submetido a cisalhamento,
utiliza-se o somatório das áreas das secções transversais para o dimensionamento. Se os
elementos possuírem a mesma área de secção transversal, basta multiplicar a área de secção
transversal pelo número de elementos (n). Temos, então:
Onde: Q é a força cortante; A é a área da secção transversal da peça; n é o número de
elementos submetidos a cisalhamento.
Exercício Resolvido
Determinar a tensão de cisalhamento que atua no plano A
da figura.
Solução
A tensão de cisalhamento atuante no plano A é definida
pela componente horizontal da força (Fx) de 300 kN.
Calculada a componente horizontal da carga cortante, podemos calcular a tensão de
cisalhamento.

1) O conjunto representado na figura é formado
por: (1) parafuso sextavado M12; (2) garfo com
haste de espessura 6 mm; (3) arruela de
pressão; (4) chapa de aço ABNT 1020
espessura 8 mm; (5) porca M12. A carga
cortante Q que atua no conjunto é de 6 kN.
Determine a tensão de cisalhamento atuante.
2) Duas chapas de aço são unidas por uma
junta de 5 rebites, com diâmetro d = 17,4 mm,
que suportam uma carga de cisalhamento de
125 kN. Determine a tensão de cisalhamento
atuante nos rebites.

REFERÊNCIAS
MELCONIAN, Sarkis. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. 11. ed. São Paulo: Érica,
2000. 360 p.
BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, E. Russell. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 5.
ed. São Paulo: Makron Books, 1994. 793 p.
HIBBELER, R. C.. Resistência dos Materiais. 5. ed. São Paulo: Pearson Education - Br, 2004.
688 p.
BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, E. Russell; DEWOLF, John T.. Resistência dos Materiais. 4.
ed. São Paulo: Mcgraw-hill Interamericana, 2006. 808 p.
ASSAN, Aloisio Ernesto. Resistência dos Materiais. São Paulo: Unicamp, 2010. 447 p.

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