1. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DO ENSINO SECUNDÁRIO
MATEMÁTICA A
12º ANO
Cursos Científico-Humanísticos de
Ciências e Tecnologias e de Ciências Socioeconómicas
Autores
Jaime Carvalho e Silva (Coordenador)
Maria Graziela Fonseca
Arsélio Almeida Martins
Cristina Maria Cruchinho da Fonseca
Ilda Maria Couto Lopes
Homologação
17/05/2002

2. Departamento do Ensino Secund´rio
a
1
Matem´tica A—12o Ano
a
¯
Matem´tica A
a o
Programa do 12¯ Ano
Tema I – Probabilidades e Combinat´ria
o
30 aulas de 90 minutos
As probabilidades fornecem conceitos e m´todos para estudar casos de incerteza e para interpree
tar previs˜es baseadas na incerteza. Este estudo, que pode ser em grande parte experimental,
o
fornece uma base conceptual que capacita para interpretar, de forma cr´
ıtica, toda a comunica¸˜o
ca
que utiliza a linguagem das probabilidades, bem como a linguagem estat´
ıstica. As t´cnicas de
e
contagem que aqui aparecem como auxiliar do c´lculo de probabilidades constituem uma aprena
dizagem significativa por si s´, especialmente se desenvolverem mais as capacidades do racioc´
o
ınio
combinat´rio e as conex˜es matem´ticas e menos a aplica¸˜o das f´rmulas. Considera-se ainda
o
o
a
ca
o
que o tema das Probabilidades constitui uma boa oportunidade para a introdu¸˜o de uma axioca
m´tica, uma das formas de organizar uma teoria matem´tica, permitindo que os estudantes
a
a
tenham uma melhor compreens˜o do que ´ a actividade demonstrativa em Matem´tica. Finala
e
a
mente, qualquer destes assuntos ´ bom para prosseguir objectivos de trabalho em aspectos da
e
Hist´ria da Matem´tica. Saliente-se que h´ muitos exemplos hist´ricos interessantes no c´lculo
o
a
a
o
a
´
de probabilidades. E aconselh´vel a leitura da brochura de apoio a este tema.
a
Pr´-requisitos:
e
No¸˜es elementares sobre conjuntos,
co
a
Probabilidades do 3o Ciclo do Ensino B´sico.
¯

3. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A—12o Ano
a
¯
Desenvolvimento
Indica¸˜es metodol´gicas
co
o
Introdu¸˜o ao c´lculo de
ca
a
Probabilidades:
Experiˆncia aleat´ria; cone
o
junto de resultados; acontecimentos.
Opera¸˜es sobre acontecico
mentos.
Aproxima¸˜es conceptuais
co
para Probabilidade:
Experiˆncias que permitam tirar partido de materiais l´dicos e
e
u
de simula¸˜es com a calculadora contribuir˜o para esclarecer conco
a
ceitos atrav´s da experimenta¸˜o e para dinamizar discuss˜es de
e
ca
o
tipo cient´
ıfico, bem como para incentivar o trabalho cooperativo. A simula¸˜o e o jogo ajudam a construir adequadamente
ca
o espa¸o dos resultados e a encontrar valores experimentais para
c
´
a probabilidade de acontecimentos que est˜o a ser estudados. E
a
importante incentivar o estudante, sempre que poss´
ıvel, a resolver
os problemas por v´rios processos, discutindo cada um deles com o
a
professor e com os restantes colegas de modo a poder apreciar cada
uma das formas de abordar o problema. O professor deve solicitar, frequentemente, que descrevam com pormenor, oralmente e
´
por escrito, os racioc´
ınios efectuados. E aconselh´vel elaborar
a
boas formas de registo para os resultados das suas experiˆncias
e
de modo a poderem ser partilhadas em grupo. A axiom´tica
a
das Probabilidades, por ser curta, permite alguns exerc´
ıcios de
verifica¸˜o simples, capazes de motivar a apropria¸˜o da utilica
ca
dade deste tipo de abordagem matem´tica. O facto de tanto as
a
defini¸˜es frequencista e cl´ssica de probabilidade como a probaco
a
bilidade condicionada satisfazerem a axiom´tica das Probabilia
dades permite compreender melhor o papel de uma axiom´tica
a
em Matem´tica.
a
Os estudantes j´ sabem como descrever os acontecimentos asa
sociados a uma experiˆncia aleat´ria usando o espa¸o ou cone
o
c
junto de resultados e sabem, ainda, como determinar a probabilidade de acontecimentos. Ora ´ muitas vezes necess´rio associar
e
a
a uma experiˆncia aleat´ria (associada a um modelo de probae
o
bilidade) valores num´ricos pelo que ´ importante introduzir o
e
e
conceito de vari´vel aleat´ria bem como o de fun¸˜o massa de
a
o
ca
probablidade. Os estudantes poder˜o utilizar simula¸˜es para
a
co
´
construir distribui¸˜es emp´
co
ıricas de probabilidades. E importante
que compreendam a rela¸˜o entre as estat´
ca
ısticas e os parˆmetros
a
populacionais. N˜o ´ objectivo do programa entrar no estudo
a e
das vari´veis cont´
a
ınuas mas o estudante poder´ investigar se n˜o
a
a
haver´ nenhuma representa¸˜o que seja para a popula¸˜o o equivaa
ca
ca
lente ao histograma na amostra. Das distribui¸˜es cont´
co
ınuas a
mais conhecida foi obtida pelo matem´tico Gauss e tem hoje um
a
papel importante j´ que muitos processos de inferˆncia estat´
a
e
ıstica
a tˆm por base.
e
– aproxima¸˜o frequencista de
ca
probabilidade;
– defini¸˜o cl´ssica de probabilica
a
dade ou de Laplace.
– defini¸˜o axiom´tica de proca
a
babilidade (caso finito); propriedades da probabilidade.
Probabilidade condicionada
e independˆncia; probabilie
dade da intersec¸˜o de aconca
tecimentos. Acontecimentos
independentes.
Distribui¸˜o de frequˆnca
e
cias relativas e distribuica
¸˜o de probabilidades.
Vari´vel aleat´ria; fun¸˜o
a
o
ca
massa de probabilidade:
– distribui¸˜o de probabilidades
ca
de uma vari´vel aleat´ria discrea
o
ta; distribui¸˜o de frequˆncias
ca
e
versus distribui¸˜o de probabilica
dades;
– m´dia versus valor m´dio;
e
e
– desvio padr˜o amostral versus
a
desvio padr˜o populacional.
a
Modelo Binomial.
Modelo Normal; histograma
versus fun¸˜o densidade.
ca
2

4. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A—12o Ano
a
¯
Desenvolvimento
Indica¸˜es metodol´gicas
co
o
An´lise Combinat´ria
a
o
Arranjos completos, arranjos simples, permuta¸˜es e
co
combina¸˜es.
co
Triˆngulo de Pascal.
a
Bin´mio de Newton.
o
Aplica¸˜o ao c´lculo de proca
a
babilidades.
No caso das contagens que sejam facilitadas por racioc´
ınios combinat´rios, ´ aconselh´vel que os estudantes comecem por contar
o
e
a
os elementos um a um, utilizando exemplos (desde os mais simples at´ aos mais complicados), at´ que reconhe¸am a utilidade dos
e
e
c
diagramas e depois das organiza¸˜es simplificadoras. Os exemplos
co
de conjuntos para a contagem podem surgir de situa¸˜es probleco
m´ticas que lhes forem sendo propostas. Mesmo o triˆngulo de
a
a
Pascal pode ser introduzido a partir de problemas. Muitos problemas postos podem e devem resultar da an´lise de jogos conhecia
dos. Os racioc´
ınios combinat´rios facilitam a abordagem de proo
priedades envolvendo combina¸˜es, mas n˜o deve ser desprezada a
co
a
ideia de, caso seja poss´
ıvel, introduzir conex˜es matem´ticas - com
o
a
m´todos recursivos e fazendo alguma demonstra¸˜o por indu¸˜o
e
ca
ca
matem´tica.
a
Pascal, Tartaglia e Laplace s˜o exemplos ”interessantes” para reaa
lizar incurs˜es na hist´ria dos conceitos matem´ticos, na vida dos
o
o
a
matem´ticos, nas liga¸˜es da Matem´tica com outros ramos de
a
co
a
´
saber e actividade. E importante referir que muitos resultados de
contagens j´ eram conhecidos anteriormente noutras civiliza¸˜es
a
co
(por exemplo, o triˆngulo de Pascal era conhecido na China v´rios
a
a
s´culos antes de Pascal)
e
3

5. Departamento do Ensino Secund´rio
a
4
Matem´tica A—12o Ano
a
¯
Tema II – Introdu¸˜o ao C´lculo Diferencial II
ca
a
30 aulas de 90 minutos
Aqui s˜o estudados de forma mais rigorosa conceitos j´ utilizados antes de forma intuitiva:
a
a
limite, continuidade e derivada. O estudo das fun¸˜es ´ ampliado com as fun¸˜es exponencial e
co e
co
logar´
ıtmica.
V´rios conceitos deste tema s˜o importantes noutras disciplinas como “F´
a
a
ısica”, “Qu´
ımica”,
“Economia” e “‘Geografia”. Por isso ´ bastante importante haver uma colabora¸˜o estreita entre
e
ca
os professores de Matem´tica e os das outras disciplinas. A utiliza¸˜o de exemplos concretos
a
ca
dessas disciplinas, a realiza¸˜o das actividades comuns ou a lecciona¸˜o de algum aspecto numa
ca
ca
dessas disciplinas para posterior aprofundamento na disciplina de Matem´tica s˜o algumas das
a
a
possibilidades que se oferecem aos professores.
Pr´-requisitos:
e
Fun¸˜es e Gr´ficos do 10o ano.
co
a
¯
Introdu¸˜o ao C´lculo Diferencial I do 11o ano.
ca
a
¯
Desenvolvimento
Indica¸˜es metodol´gicas
co
o
Fun¸˜es exponenciais e
co
logar´
ıtmicas
Fun¸˜o exponencial de base
ca
superior a um; crescimento
exponencial; estudo das propriedades anal´
ıticas e gr´ficas
a
da fam´ de fun¸˜es definida
ılia
co
por f (x) = ax com a > 1
Fun¸˜o logar´
ca
ıtmica de base
superior a um; estudo das propriedades anal´
ıticas e gr´ficas
a
da fam´ de fun¸˜es definida
ılia
co
por f (x) = loga x com a > 1.
Regras operat´rias de expoo
nenciais e logaritmos.
Utiliza¸˜o de fun¸˜es exca
co
ponenciais e logar´
ıtmicas na
modela¸˜o de situa¸˜es reais.
ca
co
Com as novas fam´
ılias de fun¸˜es surgem, tamb´m, novas oporco
e
tunidades para cada estudante obter uma maior compreens˜o da
a
matem´tica e suas aplica¸˜es, bem como para conectar e relaa
co
cionar os novos conhecimentos com os j´ adquiridos em anos ana
teriores (quer dentro do mesmo tema quer com temas diferentes).
´
E fundamental apresentar aos estudantes actividades diversificadas (ver, por exemplo, brochura de apoio ao programa sobre
este tema) tendo-se em conta que a explora¸˜o com a utiliza¸˜o
ca
ca
das v´rias tecnologias pode permitir discuss˜es ricas, quer sobre o
a
o
processo de modela¸˜o, quer sobre os conceitos matem´ticos funca
a
damentais, para al´m de facilitarem propostas aconselh´veis de
e
a
investiga¸˜es.
co
Os estudantes precisam de desenvolver a compreens˜o de procedia
mentos alg´bricos e utiliz´-los (a par da utiliza¸˜o da calculadora)
e
a
ca
sem que para isso tenham que fazer exerc´
ıcios repetitivos.
A modela¸˜o com fun¸˜es exponenciais e logar´
ca
co
ıtmicas pode ser
feita tanto usando capacidades espec´
ıficas da calculadora gr´fica
a
(por exemplo, usando a regress˜o estat´
a
ıstica a partir de dados
recolhidos experimentalmente ou numa base de dados), como por
an´lise alg´brica da adequa¸˜o de um modelo fornecido pelo proa
e
ca
fessor.

6. Departamento do Ensino Secund´rio
a
5
Matem´tica A—12o Ano
a
¯
Desenvolvimento
Teoria de limites
Limite de fun¸˜o segundo
ca
Heine.
Propriedades operat´rias sobre limites (ino
forma¸˜o); limites not´veis
ca
a
(informa¸˜o). Indeterminaca
co
¸˜es. Ass´
ımptotas. Continuidade.
Teorema de Bolzano–Cauchy (informa¸˜o) e aplica¸˜es
ca
co
num´ricas.
e
Indica¸˜es metodol´gicas
co
o
C´lculo Diferencial
a
Fun¸˜es deriv´veis.
co
a
Regras de deriva¸˜o (demonca
stra¸˜o da regra da soma e
ca
do produto; informa¸˜o das
ca
restantes regras). Derivadas
de fun¸˜es elementares (inco
forma¸˜o baseada em intui¸˜o
ca
ca
num´rica e gr´fica). Segunda
e
a
defini¸˜o do n´mero e. Teoca
u
rema da derivada da fun¸˜o
ca
composta (informa¸˜o).
ca
Segundas derivadas e concavidade (informa¸˜o baseada
ca
em intui¸˜o geom´trica).
ca
e
Estudo de fun¸˜es em casos
co
simples.
Derivada da fun¸˜o composta: grau de dificuldade a n˜o ultrapasca
a
sar f (ax), f (x + b), f (xk )
´
E importante analisar em todos os teoremas a necessidade das
condi¸˜es do enunciado atrav´s de contra-exemplos.
co
e
Deve ser adoptada a defini¸˜o: f ´ deriv´vel quando a derivada
ca
e
a
existe.
As indetermina¸˜es s˜o referidas apenas para mostrar as
co
a
limita¸˜es dos teoremas operat´rios. o programa apenas presco
o
sup˜e que se levantem as indetermina¸˜es em casos simples. Difio
co
culdade a n˜o exceder:
a
√
√
5x4 − 2x + 1
x3 − 1
; lim ( x + 1 − x) ; lim
2+3
x→+∞
x→+∞
x→1 x − 1
x
lim
´
E aconselh´vel que os estudantes experimentem num´rica e grafia
e
camente a rela¸˜o entre os limites no infinito da exponencial, da
ca
potˆncia e dos logaritmos.
e
e ´ o unico n´mero real tal que (ex ) = ex .
e ´
u
O estudo de fun¸˜es deve seguir o modelo que se encontra na
co
brochura de fun¸˜es pag 149 e que combina m´todos anal´
co
e
ıticos
com o uso da calculadora gr´fica.
a
Dificuldade a n˜o ultrapassar:
a
f (x) = 2−x + 2x , f (x) =
Integra¸˜o do estudo do
ca
C´lculo Diferencial num cona
texto hist´rico.
o
x
x2 + x + 1
, f (x) =
2x + 1
1 − log x
Os estudantes poder˜o realizar trabalhos individuais ou em grupo
a
de Hist´ria do C´lculo Diferencial referindo o trabalho de alguns
o
a
matem´ticos como Fermat, Newton, Leibniz, Berkeley, Anast´cio
a
a
´
da Cunha, Bolzano, Cauchy, etc. E obrigat´ria a referˆncia a
o
e
Jos´ Anast´cio da Cunha; com esse pretexto referir um pouco de
e
a
hist´ria da Matem´tica em Portugal desde o tempo dos descobrio
a
mentos at´ ` actualidade.
ea

7. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A—12o Ano
a
¯
Desenvolvimento
Indica¸˜es metodol´gicas
co
o
Problemas de optimiza¸˜o.
ca
Os problemas de optimiza¸˜o devem ser escolhidos de modo a que
ca
um estudante trabalhe de uma forma t˜o completa quanto poss´
a
ıvel
a modela¸˜o. E uma boa oportunidade para discutir com os estuca ´
dantes o processo de modela¸˜o matem´tica e a sua importˆncia
ca
a
a
no mundo actual.
(*) Demonstra¸˜o de alguns
ca
teoremas elementares do
c´lculo diferencial.
a
(*) Os teoremas a demonstrar devem incluir:
– continuidade implica limita¸˜o numa vizinhan¸a;
ca
c
– continuidade e f (x) > 0 ou f (x) < 0 implicam permanˆncia de sinal numa vizinhan¸a de x;
e
c
– derivabilidade implica continuidade;
– derivada da potˆncia inteira e racional e do quociente.
e
6

8. Departamento do Ensino Secund´rio
a
7
Matem´tica A—12o Ano
a
¯
Tema III –Trigonometria e N´meros Complexos
u
24 aulas de 90 minutos
Completa-se, agora, o estudo da trigonometria que se estuda no ensino secund´rio. Pretende-se
a
que os estudantes resolvam problemas que apelem simultaneamente ao estudo intuitivo apoiado
na calculadora gr´fica como ao c´lculo de derivadas, em casos simples. Com pretexto de resa
a
ponder a problemas de resolubilidade alg´brica amplia-se o conceito de n´mero. As opera¸˜es
e
u
co
com n´meros complexos, nas formas alg´brica e trigonom´trica s˜o aproveitadas para que o
u
e
e
a
estudante compreenda melhor as diferentes representa¸˜es anal´
co
ıticas para dom´
ınios definidos geometricamente, bem como para dominar as rela¸˜es entre opera¸˜es alg´bricas e transforma¸˜es
co
co
e
co
geom´tricas. O estudante precisa dos conhecimentos de Geometria Anal´
e
ıtica, em geral, e da
Trigonometria e IR, e precisa de saber resolver equa¸˜es e inequa¸˜es dos 1o e 2o graus.
co
co
¯
¯
As fun¸˜es trigonom´tricas s˜o importantes noutras disciplinas como “F´
co
e
a
ısica” e “Qu´
ımica”, pelo
que o estudo das fun¸˜es trigonom´tricas para os alunos dos respectivos cursos gerais dever´
co
e
a
levar em conta este facto. Por isso, ´ bastante importante haver uma colabora¸˜o estreita entre
e
ca
os professores de Matem´tica e os das outras disciplinas. A utiliza¸˜o de exemplos concretos
a
ca
dessas disciplinas, a realiza¸˜o de actividades comuns ou a lecciona¸˜o de algum aspecto numa
ca
ca
dessas disciplinas para posterior aprofundamento na disciplina de Matem´tica s˜o algumas das
a
a
possibilidades que se oferecem aos professores.
Pr´-Requisitos:
e
Trigonometria do Tema ”Geometria no Plano e no Espa¸o” do 11o ano.
c
¯
Desenvolvimento
Indica¸˜es metodol´gicas
co
o
Fun¸˜es seno, co-seno,
co
tangente.
Estudo intuitivo com base
no c´
ırculo trigonom´trico,
e
tanto a partir de um gr´fico
a
particular,
como usando
calculadora gr´fica ou coma
putador.
Estudo intuitivo de
As propriedades a serem investigadas, recorrendo a calculadora
`
gr´fica, s˜o: dom´
a
a
ınio, contradom´
ınio, per´
ıodo, pontos not´veis,
a
monotonia, continuidade, extremos (relativos e absolutos), simetrias em rela¸˜o ao eixo dos YY e ` origem, ass´
ca
a
ımptotas, limites
nos ramos infinitos. Os estudantes podem investigar, tal como o
fizeram nas fam´
ılias de fun¸˜es anteriores, qual a influˆncia da muco
e
dan¸a de parˆmetros na escrita da express˜o que define a fun¸˜o
c
a
a
ca
(em casos simples e se poss´ ligados a problemas de modela¸˜o).
ıvel
ca
As derivadas do seno e do co-seno podem ser obtidas a partir das
f´rmulas do seno e do co-seno da soma e de que
o
senx
x→0 x
lim
.
Derivadas do seno, co-seno
e tangente.
Utiliza¸˜o de fun¸˜es trigoca
co
nom´tricas na modela¸˜o de
e
ca
situa¸˜es reais.
co
lim
x→0
senx
=1
x
.
A modela¸˜o com fun¸˜es trigonom´tricas pode ser feita tanto
ca
co
e
usando as capacidades espec´
ıficas da calculadora gr´fica (por
a
exemplo, usando a regress˜o estat´
a
ıstica a partir de dados recolhidos experimentalmente ou numa base de dados) como por an´lise
a
alg´brica da adequa¸˜o de um modelo fornecido pelo professor.
e
ca

9. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A—12o Ano
a
¯
Desenvolvimento
Complexos
Introdu¸˜o elementar de
ca
problemas de resolubilidade
alg´brica e do modo como se
e
foram considerando novos n´u
meros. Apropria¸˜o de um
ca
modo de desenvolvimento da
Matem´tica, atrav´s da evolua
e
ca
¸˜o do conceito fundamental
de n´mero. Experimenta¸˜o
u
ca
da necessidade de i, a seme`
lhan¸a da aceita¸˜o da necesc
ca
sidade dos n´meros negativos
u
e fraccion´rios.
a
N´meros complexos. O n´u
u
mero i. O conjunto C dos n´u
meros complexos
Indica¸˜es metodol´gicas
co
o
A forma alg´brica dos come
plexos. Opera¸˜es com comco
plexos na forma alg´brica.
e
Representa¸˜o de complexos
ca
na forma trigonom´trica.
e
Escrita de complexos nas duas
formas, passando de uma para
outra.
Opera¸˜es com complexos na
co
forma trigonom´trica.
e
Interpreta¸˜es
co
geom´tricas
e
das opera¸˜es.
co
Dom´
ınios planos e condi¸˜es
co
em vari´vel complexa.
a
As opera¸˜es com complexos podem ser definidas na base da
co
manuten¸˜o das propriedades das opera¸˜es e do quadrado de i
ca
co
´
ser −1. E aconselh´vel que |z| seja introduzido de modo intuitivo,
a
estendendo a no¸˜o de valor absoluto de um real (distˆncia de
ca
a
dois pontos no eixo, distˆncia de dois pontos no plano cartesiano)
a
A passagem ` forma trigonom´trica pode ser feita com referˆncia
a
e
e
´
a outros sistemas de coordenadas. E importante explorar a multiplica¸˜o por i e as diversas opera¸˜es ligadas a outras realidades
ca
co
matem´ticas - vectores, opera¸˜es com vectores, transforma¸˜es
a
co
co
geom´tricas.
e
A resolu¸˜o e a interpreta¸˜o das solu¸˜es de condi¸˜es em z,
ca
ca
co
co
devem ajudar a compreender a utilidade dos diversos sistemas
de representa¸˜o anal´
ca
ıtica. O recurso a programas de geometria
dinˆmica pode ser motivadora para a realiza¸ao de demonstra¸˜es.
a
c
co
Assim o professor deve propor que depois de investigadas sejam
demonstradas propriedades de pol´
ıgonos.
(*) Demonstra¸˜o de proca
priedades de Geometria usando n´meros complexos
u
O estudante precisa de explorar sempre que poss´
ıvel a liga¸˜o
ca
dos n´meros complexos ` geometria. Ela fornece uma perspecu
a
tiva mais rica dos m´todos geom´tricos com que se trabalha habie
e
tualmente – m´todo das coordenadas, dos vectores e das transe
forma¸˜es geom´tricas, bem como uma nova compreens˜o da
co
e
a
demonstra¸˜o, tornado poss´ ligar as caracter´
ca
ıvel
ısticas num´ricas,
e
alg´bricas e geom´tricas (ler a brochura referente a este tema).
e
e
A introdu¸˜o dos complexos deve ser ancorada numa peca
quena abordagem hist´rica, do ponto de vista dos probleo
mas/escolhos que foram aparecendo no desenvolvimento dos estudos matem´ticos. Os estudantes podem realizar trabalhos sobre a
a
extens˜o do conceito de n´mero e sobre problemas de resolubilia
u
dade alg´brica, quer do ponto de vista hist´rico, quer do ponto
e
o
de vista da sua experiˆncia com anteriores desenvolvimentos. Ser´
e
a
interessante a referˆncia ` impossibilidade da extens˜o a C de uma
e
a
a
ordena¸˜o compat´ com a adi¸˜o e a multiplica¸˜o.
ca
ıvel
ca
ca
8