Este documento presenta información general sobre el concepto de derivada de una función. Explica que la derivada representa la pendiente de la recta tangente a una función en un punto, y cómo este concepto surgió históricamente para resolver problemas de optimización. También muestra gráficamente cómo la derivada se define como el límite de la pendiente de secantes que se aproximan a la tangente, llevando a la famosa fórmula de derivación.

1. INFORMACION GENERAL DE OBJETO DE APRENDIZAJE
3.1 Concepto de derivada de una función
Tema “La recta tangente y su relación con la derivada
de una función”
Comprender la derivada de una función mediante su interpretación
Competencia geométrica para resolver mediante derivación problemas de
optimización relacionados al área de Ingeniería
Autor Ing. Fernando Félix Solís Cortés
Bibliografía El Cálculo, Louis Leithold
7ma Edición, Editorial Harla México
Facultad de Ingeniería Mexicali – Agosto 2009
Optimizado para Microsoft PowerPoint 2007 INICIO

2. Introducción a la Derivada
Antes de iniciar, es importante reflexionar…
Dónde estoy, y a dónde voy?
Fuerzas externas
que atacan
Posición actual
Dónde estoy?
Ej. Apatía, irresponsabilidad
distracciones, etc.

3. Introducción a la Derivada
Recordemos el camino trazado…
Unidad 1. Funciones de una variable
Unidad 2. Limites y continuidad
Unidad 3. La derivada
Y el tema
También que
Ya analizamos
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
funciones…
iniciamos
limites de hoy
es….
funciones…
Pero, antes de iniciar veamos una
simple pregunta…

4. Introducción a la Derivada
“La pregunta del millón…”
( un minuto de silencio…)

5. Introducción a la Derivada
“La pregunta del millón…”
2
Si tenemos una función definida por y x
La mayoría contestaría: “su derivada es: y 2x ”
MUY BIEN!! ….. Pero……..
“memorizar términos matemáticos y no tener la mínima
idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”
“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”

6. Introducción a la Derivada
Algunos conceptos básicos. La recta secante
y la recta tangente
en términos
geométricos
Recta tangente
Recta secante
“es una recta que “es una recta que
intersecta un círculo tiene un punto en
en dos puntos” común con un circulo”

7. Introducción a la Derivada
Algunos conceptos básicos. La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original

8. Introducción a la Derivada
Algunos conceptos básicos. La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta secante

9. Introducción a la Derivada
Algunos conceptos básicos. La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta tangente

10. Introducción a la Derivada
Algunos conceptos básicos.
Sabemos que una de las características
principales de una recta es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta es
un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
( x2 , y2 ) y2 y1
m
y2 y1 x2 x1
( x1 , y1 )
Muy sencillo de obtener si
x2 x1 tienes dos puntos sobre una recta!

11. Introducción a la Derivada
Algunos conceptos básicos.
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta
secante en la curva de una función es:
Función original
( x2 , y2 )
Recta secante
( x1 , y1 ) y2 y1
m
x2 x1

12. Introducción a la Derivada
Algunos conceptos básicos.
Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta
tangente si solo conoce un punto?
Recta tangente
y2 y1
m ?
( x1 , y1 ) x2 x1

13. Introducción a la Derivada
Algo de historia.
Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años,
y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres,
entre los que se encuentran :
Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo
Moderno, en 1684 propuso un método
general para encontrar las tangentes a una
curva a través de lo que el llamo símbolos.

14. Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
Observe que si hacemos
mtan Supongamos que deseamos
diversas aproximaciones de rectas
conocer la pendiente de la
secantes, podemos hacer una
muy buena estimación X=1
recta tangente en de la
Pendiente de la recta tangente

15. Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

16. Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

17. Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

18. Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

19. Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

20. Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

21. Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

22. Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

23. Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

24. Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

25. Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan Observa que el punto
( x2 , y2 )
Cada vez se acerca
más al punto
( x1 , y1 ) Continuar
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
Volver a
mostrar
Atajo

26. Introducción a la Derivada
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
Ahora, como expresar el
comportamiento anterior
en términos matemáticos?

27. Introducción a la Derivada
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
y2 y1 y2 y1
mtan Aprox. msec Procedemos msec
x2 x1 a sustituir: x2 x1

28. Introducción a la Derivada
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
f ( x2 )
( x1 , y1 )
f ( x1 )
fy(2x2 ) y1 f ( x1 ) y2 y1
mtan x2 x2 x1 x1
Considerando:
Procedemos y mfsecx)
(
a sustituir: x2 x1

29. Introducción a la Derivada
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
f ((x22 ) f ( x( ) 1 )
f x) f 1x
mtan x2 x1x
Ahora
Consideremos:
x x2 x1

30. Introducción a la Derivada
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
Ahora recordemos el comportamiento
f ( x2 ) f ( x1 )
mtan x
de las rectas secantes y podemos ver
que x tiende a disminuir
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)

31. Introducción a la Derivada
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
Ahora recordemos el comportamiento
f ( x2 ) f ( x1 )
mtan x
de las rectas secantes y podemos ver
que x tiende a disminuir
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)

32. Introducción a la Derivada
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
Se puede observar
que el punto ( x2 , y2 )
( x1 , y1 ) cada vez se aproxima
más al punto ( x1 , y1 )
pero no llegará a tocarlo
x x2 x1
f ( xf2 ) x2 )f ( xf ) x1 )
( 1(
Podemos expresar lo anterior así:
mtan lim
x x x 0
Analizando dicho comportamiento,
x 0 procedemos a aplicar un límite así:

33. Introducción a la Derivada
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
f ((x1 2 ) x)f ( x1()x1 )
f x f Finalmente considerando lo siguiente:
mtan lim
xx x2 x1 x
x 0 La expresión nos queda así:

34. Introducción a la Derivada
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
f ( x1 x) f ( x1 ) Finalmente considerando lo siguiente:
mtan lim
x x2 x1 x
x 0 La expresión nos queda así:

35. Introducción a la Derivada
La derivada.
Este límite (el cual genera otra
función), representa la pendiente de
= las diversas rectas tangentes a la
gráfica de una función…..
Y se le conoce comúnmente como:
Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:
dy x)
f ( x1 Por(su )
f x1 origen basado en
mtan lim
dx x incrementos
x 0

36. Introducción a la Derivada
La derivada.
dy f ( x1 x) f ( x1 ) Y precisamente por esta
= lim fórmula es que lo siguiente,
dx x
x 0 ahora si, tiene sentido:
Si tenemos una función definida por y x2
dy
Entonces su derivada es: 2x
dx
Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener
las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original

37. Introducción a la Derivada
Aplicación del límite obtenido….
Procederemos a la aplicación
del límite deducido para y f ( x) x2
obtener la derivada de la función:
Recordemos que la dy f (x x) f ( x)
derivada esta definida lim
por el límite: dx x 0 x
Al evaluar el término
f (x x) y f (x x) (x x) 2
se puede observar que:
Al sustituirlo obtenemos:

38. Introducción a la Derivada
Aplicación del límite obtenido….
f (x x) f (x)
2 2
dy (x x) x Al desarrollar el binomio
lim al cuadrado obtenemos:
dx x 0 x
2 2 2
dy (x 2 x( x) ( x) ) x Reduciendo
lim términos:
dx x 0 x
2
dy 2 x( x) ( x) Aplicando los teoremas
lim sobre límites tenemos lo
dx x 0 x siguiente:

39. Introducción a la Derivada
Aplicación del límite obtenido….
2
dy 2 x( x) ( x)
lim lim 2 x lim x
dx x 0 x x 0 x 0
Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que:
2
Si tenemos una función definida por y x
dy
Entonces su derivada es: 2x
dx

40. Tomada de “El Cálculo”
por Louis Leithold

41. Representación
gráfica de:
2
y x
La función que
representa su
derivada es:
dy
2x
dx

42. Representación
gráfica de:
2
y x
La función que
representa su
derivada es:
mtan
mtan ?
2 dy
2x
dx
Observe que: Al sustituir dy
en la derivada mtan 2( 1) 2
x 1 el valor de X: dx

43. Representación
gráfica de:
2
y x
La función que
representa su
derivada es:
mtan 2 dy
2x
dx

44. Representación
gráfica de:
2
y x
La función que
representa su
derivada es:
dy
2x
dx

45. INFORMACION GENERAL DE OBJETO DE APRENDIZAJE
3.1 Concepto de derivada de una función
Tema “La recta tangente y su relación con la derivada
de una función”
Comprender la derivada de una función mediante su interpretación
Competencia geométrica para resolver mediante derivación problemas de
optimización relacionados al área de Ingeniería
Autor Ing. Fernando Félix Solís Cortés
Bibliografía El Cálculo, Louis Leithold
7ma Edición, Editorial Harla México
Facultad de Ingeniería Mexicali – Agosto 2009
Optimizado para Microsoft PowerPoint 2007