3. Algebra lineal
Semestre 3
Tabla de contenido Página
Presentación general de la asignatura 1
Mapa conceptual 1
Competencias generales de la asignatura 2
Contenido mínimo de la asignatura 3
Introducción 7
Conceptos previos 7
Mapa conceptual Fascículo 1 8
Logros 8
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices. 8
Sistemas de m ecuaciones con n incógnitas 9
Transformaciones elementales 9
Método de eliminación de Gauss-Jordan. 10
Matrices 12
Utilización de las matrices en la aplicación del método de
eliminación. 12
Forma escalonada reducida por filas y pivote. 13
Matriz en la forma escalonada por filas. 14
Sistemas de ecuaciones homogéneas 16
Resumen 17
Bibliografía recomendada 18
Nexo 18
Seguimiento al autoaprendizaje 21
Créditos: 3
Tipo de asignatura: Teórica – Práctico
5. 1
Fascículo No. 1
Semestre 3
Algebra lineal
Algebra lineal
Transformaciones
ALGEBRA LINEAL
objetos de estudio
Matrices Vectores
Sistemas de
Ecuaciones Operaciones
Determinantes
Bases y
DimensiónLinealidad
definen y reconstruyen
Modelos
Lienales
Presentación general de la asignatura
Bienvenido al curso de Algebra Lineal. Asignatura que tiene por objetivo
preparar al estudiante en lo relacionado con el trabajo con vectores, de
manera generalizada, esto es, desde el punto de vista de los espacios
vectoriales.
Muchos de los conceptos que aquí se presentan serán utilizados en otras
materias, como Cálculo Vectorial y Ecuaciones Diferenciales. Trabajaremos
también con matrices, sus operaciones y su relación con los sistemas de
ecuaciones.
Mapa conceptual de la asignatura
modelan
6. 2
Algebra lineal
Algebra lineal
Fascículo No. 1
Semestre 3
Competencias Generales de la Asignatura
Competencia Cognitiva
Interpreta y comprende situaciones de variación dentro y fuera de la
matemática haciendo uso del Algebra Lineal y reconstruye modelos
lineales en el análisis de los mismos.
Competencia Comunicativa
Establece argumentos desde la matemática para interpretar los modelos
lineales prácticos y teóricos asociados a diferentes áreas de la Ingeniería
de Sistemas.
Competencia Valorativa
Interpreta y valora el uso de los conceptos y el Lenguaje Matemático en el
tratamiento de situaciones relacionadas con su desarrollo profesional.
Competencia Contextual
Hace uso de elementos externos a la clase (Tecnológicos y Bibliográficos)
para el tratamiento de los problemas que requieran la matemática en su
contexto profesional.
7. 3
Algebra lineal
Algebra lineal
Fascículo No. 1
Semestre 3
Contenidos Mínimos de la Asignatura
Fascículo 1
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Sistemas de m incógnitas con n ecuaciones.
Método de eliminación de Gauss-Jordan.
Sistemas de m ecuaciones con n incógnitas.
Transformaciones elementales.
Método de eliminación.
Matrices
Utilización de las matrices en la aplicación del método de eliminación.
Forma escalonada reducida por filas y pivote.
Matriz en la forma escalonada por filas.
Sistemas de ecuaciones homogéneas.
Fascículo 2
Matrices
Operaciones con Matrices
Igualdad de Matrices
Suma y Multiplicación por escalar
Algunos tipos de Matrices
Producto entre matrices
Propiedades de la suma y multipliacción por un escalar
Aplicación Tecnológica
Matrices en Matlab
Fascículo 3
Inversa de una matriz. Método de la inversa.
Traspuesta e inversa de una matriz
La inversa de una matriz
Propiedades de las matrices inversas
8. 4
Algebra lineal
Algebra lineal
Fascículo No. 1
Semestre 3
Ecuaciones sencillas con productos de matrices:
Cálculo de la inversa por el método de eliminación
Traspuesta de una matriz A
Propiedades de la operación de trasposición
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Método de la inversa
Fascículo 4
Espacios vectoriales
Introducción
Espacio Vectorial
Combinación lineal
Dependencia e Independencia Lineal
Espacio Generado
Problemas de Aplicación
Fascículo 5
Función Determinante I
Propiedades de los determinantes
Operaciones elementales con determinantes
Cálculo del determinante.(Cofactores)
Fascículo 6
Función determinante (II)
Matriz transpuesta y Matriz Adjunta
Determinantes e inversas
Regla de Cramer
Problemas de Aplicación
Fascículo 7
Aplicaciones de los vectores
Definición de Vector
9. 5
Algebra lineal
Algebra lineal
Fascículo No. 1
Semestre 3
Operaciones con vectores
Producto Punto y Producto Cruz
La recta en
El plano en
Problemas de Aplicación
Fascículo 8
Bases y dimensión. Transformaciones lineales
Rango
Nulidad
Bases y Cambio de Base
Transformaciones Lineales
11. 7
Algebra lineal
Algebra lineal
Fascículo No. 1
Semestre 3
Introducción
Uno de los aspectos más frecuentes en el planteamiento de problemas
son los sistemas de ecuaciones lineales. En Precálculo se trabajaron los
sistemas de 2x2 y 3x3; ahora vamos a generalizar esta situación a
cualquier cantidad de ecuaciones e incógnitas (no necesaria-mente de
nxn). Los métodos de solución serán más generales y veremos la relación
de los sistemas con las llamadas matrices.
Conceptos Previos
Para comenzar el estudio y análisis de los diferentes conceptos y modelos
que sustentan el Algebra Lineal, es primordial reconocer e identificar las
nociones básicas para la comprensión de los modelos lineales que
caracterizan los sistemas de ecuaciones; para esto, invitamos al estudiante
a resolver la siguiente actividad como un elemento que le permita
reestructurar los conceptos ya analizados y así reconstruir una base más
sólida que le permita desarrolar el presente curso.
1.1
1. Encontrar la ecuación de la recta con las consiciones dadas.
a. Pasa por (0,4) y por (2,3)
b. Pasa por (-2,5) y corta al eje y en y=2
c. Pasa por (2,3) y tiene pendiente m=2.
2. Representar gráficamente las siguientes funciones
a. 92xy b. 42xy c. 3
3
2
xy
3. Resolver las siguientes ecuaciones
a. 342 xx
b. 7213 xx
4. Determinar la distancia entre cada par de puntos.
a. (0,4) y (3,6)
b. (-1,4) y (4,6)
c.
12. 8
Algebra lineal
Algebra lineal
Fascículo No. 1
Semestre 3
Mapa conceptual fascículo 1
Al finalizar el estudio del fascículo, el estudiante:
Comprende los métodos de eliminiación de Gauss-Jordan y la eliminación
Gaussiana en el análisis de situaciones modeladas por sistemas de
ecuaciones lineales.
Argumenta todos los procesos que utiliza en el tratamiento de sistemas de
ecuaciones homogeneos en situaciones especificas.
Interpreta y valora el uso de los sistemas e ecuaciones lineales en modelos
prácticos y teóricos asociados a diferentes áreas.
Involucra elementos tecnológicos en el tratamiento e interpretación de los
sistemas de ecuaciones lineales en diversas situaciones.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
La busqueda del significado del modelo lineal en matemáticas, se refiere a
la caracterización de una situación que se interpreta linealmente, es decir
con la linea recta; el estudio de situaciones lineales lleva a que se
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones
Unica
Infinitas
Inconsitencia
Algoritmos
Iniciales
Gauss-Jordan
Eliminación
Gaussiana
LogrosLogrosLogros
13. 9
Algebra lineal
Algebra lineal
Fascículo No. 1
Semestre 3
interpreten algoritmos y métodos matemáticos que permitan llegar a las
soluciones de estos. A continuación describiremos el tratamiento paso a
paso de este elementos matemáticos, los sistemas de ecuaciones
lineales.
Sistemas de m ecuaciones con n incógnitas.
Llamaremos sistema de ecuaciones lineales, a un conjunto de ecuaciones
de la forma siguiente:
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
..........................................
...
...
2211
22222121
11212111
(1)
donde las aij y los bi son en general, números reales.
Si m = n, se dice que es un sistema cuadrado. Por ejemplo,
Ejemplo 1
0
2
1
321
32
31
xxx
xx
xx
Solución del sistema (1). La n-pla (x10, x20, ... , xn0) será una solución del
sistema (1), si sustituida en cada una de las ecuaciones, se satisface la
igualdad en cada una de ellas.
Transformaciones elementales
Llamaremos transformaciones elementales sobre una ecuación, a aquellas
que dan como resultado otra ecuación, que tiene las mismas soluciones
que la anterior. Son transformaciones elementales las siguientes:
Intercambiar de posición dos ecuaciones.
Note que nos dará el mismo sistema de ecuaciones.
14. 10
Algebra lineal
Algebra lineal
Fascículo No. 1
Semestre 3
La multiplicación de una ecuación por una constante diferente de cero.
Note que si la ecuación ai1x10 + ai2x20 +...+ ainxn0 = bi, se satisface al
evaluarla para la n-pla (x10, x20, ... , xn0), entonces también se satisface
al ser multiplicada por una constante cualquiera (no nula): k(ai1x10 +
ai2x20 + ... + ainxn0 )=kbi .
La adición de una ecuación a otra.
jinjninjiji
jnjnjj
ininii
bbxaaxaaxaa
bxaxaxa
bxaxaxa
020220111
0202101
02012101
)(...)()(
...
...
Note que la ecuación resultante se satisface para la misma n-pla.
Método de eliminación de Gauss-Jordán.
El método de eliminación consiste en sustituir el sistema dado en otro
equivalente, mediante el empleo de las transformaciones elementales.
Ilustremos el método con el ejemplo 1.
0
2
3
321
32
31
xxx
xx
xx
,
Hagamos la fila 3 igual al resultado de restar la fila 1 a la fila 3: f3=f3-f1 ;
Note que al efectuar f3=f3-f1, estamos realizando dos transformaciones
elementales al mismo tiempo: multiplicar por -1 y la suma de ecuaciones.
32
2
1
32
32
31
xx
xx
xx
, hagamos f3=f3-f2 ; entonces
1
2
1
3
32
31
x
xx
xx
(2)
De modo que x3 = -1 y sustituyendo este resultado en la ecuación (2)
tenemos:
15. 11
Algebra lineal
Algebra lineal
Fascículo No. 1
Semestre 3
x2 - (-1) = 2 , entonces x2 = 1. Y sustituyendo x3 (no depende de
x2 ) en la ecuación 1 tenemos que: x1 = 2. Por tanto la solución es: x1 =
2 , x2 =1 y x3 = -1 .
Continuemos con el método de eliminación en el sistema (2):
1
2
1
3
32
31
x
xx
xx
, hagamos f1=f1-f3 y f2=f2+f3; tendremos
1
1
2
3
2
1
x
x
x
;
Con lo que obtenemos la solución: x1 = 2 , x2 =1 y x3 = -1 . A este
método se le denomina: Método de eliminación de Gauss-Jordán.
Ejemplo 2. Resolver el sistema:
1
2
1
21
32
31
xx
xx
xx
, hagamos f3=f3 - f1; obtenemos
2
2
1
32
32
31
xx
xx
xx
,
2
2
1
32
32
31
xx
xx
xx
, hagamos f3=f3+f2; obtenemos
00
2
1
32
31
xx
xx
,
Por lo que nos queda, un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas.
Pasemos una variable, x3 , a la parte derecha de cada ecuación y
tenemos:
x1 = 1+ x3 , x2 = 2 + x3 , x3 = x3 ; lo cual significa que el sistema tiene
infinitas soluciones; cada una de ellas se obtiene al darle un valor real a la
variable x3. Por ejemplo, si x3 = 0, obtenemos x1 = 1 y x2 = 2 .
Ejemplo 3. Resolver el sistema:
16. 12
Algebra lineal
Algebra lineal
Fascículo No. 1
Semestre 3
Sistemas consistentes e in-
consistentes: Un sistema es
consistente si tiene al menos
una solución; mientras que
se dice es inconsistente si no
tiene solución.
123
2
12
321
32
321
xxx
xx
xxx
, hagamos f3=f3-f1 y obtenemos
2
2
12
32
32
321
xx
xx
xxx
;
Ahora hagamos f3=f3-f2 y obtenemos
40
2
12
32
321
xx
xxx
; lo cual
representa una contradicción y obviamente, este sistema no tendrá
solución.
Matrices
Llamaremos matriz al ordenamiento en filas y columnas de elementos de
cualquier naturaleza (nosotros trabajaremos por ahora, sólo con números
reales); se escriben entre paréntesis circulares o rectangulares.
mnmm
n
n
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
ó
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
...
............
...
...
21
22221
11211
21
22221
11211
Siendo ésta, una matriz de m filas (renglones) y n colmunas, lo cual
también se denota, abreviadamente, en la forma:
njmiparaaij 1,1
;
note que el primer subíndice (i) denota las filas, mientras que el segundo
subíndice (j) representa las columnas.
Utilización de las matrices en la aplicación del método de
eliminación
Note que al aplicar el método de eliminación, el trabajo se realiza
solamente con los coeficientes de las incógnitas, por lo que podemos
17. 13
Algebra lineal
Algebra lineal
Fascículo No. 1
Semestre 3
abreviar la escritura empleando solamente los coeficientes ordenados en
matrices de la siguiente forma.
Dado el sistema (1), tendremos las siguientes matrices:
Matriz de coeficientes:
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
Matriz aumentada o ampliada:
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
...
...............
...
...
21
222221
111211
Así, en el ejemplo 1, tenemos:
3210
2110
3101
0111
2110
3101
133 fff
; y se sigue en forma análoga.
Las matrices que se obtienen, por la realización de transformaciones
elementales entre renglones, se dice que son matrices equivalentes puesto
que representan sistemas de ecuaciones equivalentes al original.
Forma escalonada reducida por filas y pivote
Una matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por filas si se
cumplen las siguientes condiciones:
1. Todas las filas (si las hay), cuyos elementos son todos ceros, aparecen
en la parte inferior de la matriz.
2. El primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en
cualquier fila cuyos elementos no son todos cero es 1.
3. Si dos filas sucesivas tienen elementos distintos de cero, entonces el
primer 1 en la fila de abajo está más a la derecha que el primer 1 en la
fila de arriba.
18. 14
Algebra lineal
Algebra lineal
Fascículo No. 1
Semestre 3
4. Cualquier columna que contiene el primer 1 en una fila tiene ceros en el
resto de sus elementos. El primer número diferente de cero en una fila
(si la hay) se llama pivote para esa fila.
Matriz en la forma escalonada por filas
Una matriz está en la forma escalonada por filas si se cumplen las
condiciones (1), (2) y (3) dadas anteriormente.
Un ejemplo de matriz en la forma escalonada por fila es el siguiente:
00000
01000
21100
21201
En el sistema de ecuaciones (2), que obtuvimos al resolver el sistema del
ejemplo 1, y expresado en la forma de la matriz aumentada, ésta resulta
ser una matriz en forma escalonada por filas:
1100
2110
1101
Ejemplo 4: Un sistema inconsistente: resuelva el sistema
Para obtener 1 en el elemento de la matriz del sistema podemos
realizar la transformación elemental de intercambiar las filas 1 y 3.
19. 15
Algebra lineal
Algebra lineal
Fascículo No. 1
Semestre 3
Cuando se resuelva un siste-
ma de ecuaciones lineales,
usando alguno de los méto-
dos estudiados, si llega a ob-
tenerse al final
, donde
el sistema será incon-
sistente.
Ahora, en la última ecuación se tiene:
Lo que es imposible. Así, el sistema inicialmente planteado no tiene
solución.En este caso se dice que el sistema es incosistente.
Note el surgimiento del concepto de matriz en relación con los
sistemas de ecuaciones.
Ejemplo 5: Solución de un sistema con infinitas soluciones:
Esto es equivalente al sistema de ecuaciones:
20. 16
Algebra lineal
Algebra lineal
Fascículo No. 1
Semestre 3
Hasta aquí se puede llegar. Se tienen solo dos ecuaciones para las tres
incógnitas x, y, z, y existe un número infinito de soluciones. Para ver esto
se elige un valor de z, entonces y . Ésta será una
solución para cualquier número z, se escribe esta solución en la forma
, por ejemplo , si z=0, se obtiene la solución (1,4,0).
Ejercicio: Situación tipo ECAES
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre el esistema dado?
a. Tiene solución única x=1, y=1, z=1
b. Es Inconsistente.
c. Tiene un número infinito de soluciones.
Sistemas de ecuaciones homogéneas
Llamaremos sistema de ecuaciones lineales homogéneas, a un conjunto
de ecuaciones de la forma siguiente:
0...
..........................................
0...
0...
2211
2222121
11212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
Donde las aij son en general, números reales.
Note que un sistema homogéneo siempre tiene solución, pues x1
= 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 siempre satisface el sistema de
ecuación; a esta solución se le llama solución trivial o nula.
21. 17
Algebra lineal
Algebra lineal
Fascículo No. 1
Semestre 3
La solución de un sistema homogéneo se realiza de igual forma que en un
sistema no homogéneo, con la diferencia de que no es necesario construir
la matriz aumentada, pues como los términos independientes son todos
cero, cualquier operación elemental sobre una fila no cambia el valor de la
última columna por ser ceros.
1.2
Halle la solución, si existe, en los sistemas siguientes y verifique la
solución obtenida:
a)
132
43
022
321
321
321
xxx
xxx
xxx
b)
222
33
222
431
421
4321
xxx
xxx
xxxx
c) 04333
04322
0432
wzyx
wzyx
wzyx
d)
1
5
5
5
2
wy
vzy
vzy
vzy
vx
e)
03
023
zyx
zyx
f)
12863
232
wzyx
wzyx
Hemos tratado lo referente a los sistemas de ecuaciones lineales. Debe-
mos aclarar que los métodos de solución, que se trabajaron en Precálculo
(eliminación, sustitución), siguen siendo válidos, solo que ahora hemos
22. 18
Algebra lineal
Algebra lineal
Fascículo No. 1
Semestre 3
añadido otra variante de solución (que se empleará en diferentes
situaciones) con el Método de eliminación de Gauss-Jordan, el cual nos
permite determinar si un sistema es no consistente o consistente, y en este
último caso si tiene una única solución o infinitas soluciones.
Además vimos la necesidad de instaurar lo que llamamos matrices, para
abreviar la escritura de los sistemas de ecuaciones. Una vez definido este
concepto, se definiran también sus operaciones y se estableceran sus
propiedades. Igualmente, se analizaron los casos en que existe una
solución unica, infinitas soluciones o no existe solución para un sistema de
ecuaciones lineales, lo que permite distinguir y comprender los diferentes
casos que se pueden presentar en situaciones especificas del algebra
lineal.
COLMAN, Bernard. Algebra Lineal. Octava Edición. México: Prentice Hall
México, 2005, 760p.
GROSSMAN, Stanley. Algebra Lineal. Quinta Edición. México: Editorial
McGraw Hill, 1996, Capítulo 1: Secciones 1.1 – 1.6 ; páginas 1 – 90.(Texto
Guía)
NAKOS, G. y Joyner, D. Algebra Lineal con Aplicaciones. México:
International Thomson Editores, 1999, págs.: 2-30.
POOLE, David. Algebra Lineal. Una Introducción Moderna. Segunda
Edición. México: International Thompson Editores, 2007, 744p.
En el próximo fascículo trataremos explicitamente el concepto de Matriz.
Se expondrán las operaciones elementales entre matrices y se
23. 19
Algebra lineal
Algebra lineal
Fascículo No. 1
Semestre 3
desarrollarán varios ejercicios que promuevan una mejor comprensión de
estos procesos, igualmente trataremos situaciones específicas en las
cuales se pueden emplear las matrices en su resolución.
25. 21
Algebra lineal
Algebra lineal
Fascículo No. 1
Semestre 3
SeguimientoalautoaprendizajeSeguimientoalautoaprendizajeSeguimientoalautoaprendizaje
Algebra lineal - Fascículo No. 1
Nombre_______________________________________________________
Apellidos ________________________________ Fecha: _________________
Ciudad___________________________________Semestre: _______________
1) Reducir la matriz dada A a la forma escalonada por filas.
9551
3311
0211
3120
A
2) Resolver por el método de eliminación de Gauss-Jordan y comprobar la
solución obtenida.
a)
12342
1923
72
032
321
4321
4321
421
XXX
XXXX
XXXX
XXX
b)
0739
032
02
WZYX
WZYX
WZX
3) Situación tipo ECAES:
Del anterior sistema de ecuaciones se puede decir que:
a. Tiene infinitas soluciones.
b. Tiene una solución única.
c. No es un sistema de ecuaciones lineales.
d. Es inconsistente.
4) Situación tipo ECAES: De la afirmación “Si en un sistema de ecuaciones
26. 22
Algebra lineal
Algebra lineal
Fascículo No. 1
Semestre 3
homogéneo el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones,
entonces el sistema tiene infinitas soluciones” se puede decir:
a. Es Verdadera pues cualquier sistema tiene un número infinito de
soluciones.
b. Es Falsa pues un sistema homogéneo solo puede tener la solución trivial o
no tener soluciones.
c. Es Falsa pues para que tenga infinitas soluciones un sistema no
necesariamente debe tener el número de incógnitas mayor que el número
de ecuaciones.
d. Es Verdadera pues si el sistema homogéneo cumple las condiciones
dadas entonces el algoritmo de Gauss se detiene y deja variables
dependientes.
