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LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS                                                 30 de Junho de 2004, as 4:17
                                                                                                            `




                    Exerc´cios Resolvidos de Teoria Eletromagn´ tica
                         ı                                    e
                                       Jason Alfredo Carlson Gallas
                                        Professor Titular de F´sica Te´ rica
                                                              ı       o
                  Doutor em F´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
                             ı
                                 Universidade Federal do Rio Grande do Sul
                                             Instituto de F´sica
                                                           ı

                    Mat´ ria para a PRIMEIRA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livro
                       e                                     ¸˜                        ¸˜
                                  “Fundamentos de F´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
                                                   ı
                                                                       
         Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas clicando-se em ‘ENSINO’




Conte´
     udo                                                            23.2.1     Lei de Coulomb . . . . .       . . .    3
                                                                    23.2.2     A Carga e Quantizada . .
                                                                                        ´                     . . .    8
23 Carga El´ trica
           e                                           2            23.2.3     A Carga e Conservada . .
                                                                                        ´                     . . .   10
   23.1 Quest˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . .
              o                                        2            23.2.4     As Constantes da F´sica:
                                                                                                    ı         Um
   23.2 Problemas e Exerc´cios . . . . . . . . .
                            ı                          3                       Aparte . . . . . . . . . . .   . . .   10




                             Coment´ rios/Sugest˜ es e Erros: favor enviar para
                                   a            o                                    jgallas @ if.ufrgs.br
                                                                                               (lista1.tex)


http://www.if.ufrgs.br/ jgallas                                                                       P´ gina 1 de 11
                                                                                                       a
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS                                              30 de Junho de 2004, as 4:17
                                                                                                         `



23 Carga El´ trica
           e
                                                                  Q 23-3
                                                          Uma barra carregada atrai fragmentos de cortica que, as-
                                                                                                       ¸
                                                          sim que a tocam, s˜ o violentamente repelidos. Explique
                                                                            a
23.1 Quest˜ es
          o                                               a causa disto.
                                                              ¡
                                                             Como os dois corpos atraem-se inicialmente, deduzi-
    Q 23-1                                                mos que eles possuem quantidades de cargas com sinais
Sendo dadas duas esferas de metal montadas em supor-      diferentes. Ao tocarem-se a quantidade de cargas menor
te port´ til de material isolante, invente um modo de car-
        a                                                 e equilibrada pelas cargas de sinal oposto. Como a carga
                                                          ´
reg´ -las com quantidades de cargas iguais e de sinais
    a                                                     que sobra reparte-se entre os dois corpos, estes passam a
opostos. Vocˆ pode usar uma barra de vidro ativada com
               e                                          repelir-se por possuirem, ent˜ o, cargas de mesmo sinal.
                                                                                        a
                                               ´
seda, mas ela n˜ o pode tocar as esferas. E necess´ rio
                  a                                   a   ¢   Note que afirmar existir repuls˜ o ap´ s os corpos
                                                                                                a    o
que as esferas sejam do mesmo tamanho, para o m´ todo tocarem-se equivale a afirmar ser diferente a quantida-
                                                    e
funcionar?                                                 de de cargas existente inicialmente em cada corpo.
¡  Um m´ todo simples e usar inducao el´ trost´ tica: ao
            e              ´           ¸˜    e   a
aproximarmos a barra de vidro de qualquer uma das es- Q 23-4
feras quando ambas estiverem em contato iremos indu-
zir (i) na esfera mais pr´ xima, uma mesma carga igual As experiˆ ncias descritas na Seccao 23-2 poderiam ser
                           o                                           e                    ¸˜
e oposta a carga da barra e, (ii) na esfera mais afastada,
            `                                              explicadas postulando-se quatro tipos de carga, a saber,
uma carga igual e de mesmo sinal que a da barra. Se a do vidro, a da seda, a do pl´ stico e a da pele do animal.
                                                                                        a
separarmos ent˜ o as duas esferas, cada uma delas ir´ fi-
                 a                                    a    Qual e o argumento contra isto?
                                                                 ´
car com cargas de mesma magnitude por´ m com sinais
                                             e                ¡
                                                              ´ a
                                                              E f´ cil verificar experimentalmente que os quatro ti-
opostos. Este processo n˜ o depende do raio das esfe- pos ‘novos’ de carga n˜ o poderiam ser diferentes umas
                             a                                                     a
ras. Note, entretanto, que a densidade de cargas sobre das outras. Isto porque e poss´vel separar-se os quatro
                                                                                     ´    ı
a superf´cie de cada esfera ap´ s a separacao obviamente tipos de carga em dois pares de duas cargas que s˜ o in-
          ı                     o           ¸˜                                                               a
depende do raio das esferas.                               distingu´veis um do outro, experimentalmente.
                                                                    ı

    Q 23-2
Na quest˜ o anterior, descubra um modo de carregar as Q 23-6
          a
esferas com quantidades de carga iguais e de mesmo si- Um isolante carregado pode ser descarregado passando-
nal. Novamente, e necess´ rio que as esferas tenham o o logo acima de uma chama. Explique por quˆ ?
                   ´         a                                                                           e
mesmo tamanho para o m´ todo a ser usado?
                            e
¡                                                            ´¡
                                                            E que a alta temperatura acima da chama ioniza o ar,
   O enunciado do problema anterior n˜ o permite que tornando-o condutor, permitindo o fluxo de cargas.
                                         a
toquemos com o bast˜ o nas esferas. Portanto, repeti-
                       a
mos a inducao eletrost´ tica descrita no exerc´cio ante-
             ¸˜         a                      ı
rior. Por´ m, mantendo sempre a barra pr´ xima de uma Q 23-9
         e                                  o
das esferas, removemos a outra, tratando de neutralizar Por que as experiˆ ncias em eletrost´ tica n˜ o funcionam
                                                                            e                 a     a
a carga sobre ela (por exemplo, aterrando-a). Se afas- bem em dias umidos?
                                                                        ´
tarmos o bast˜ o da esfera e a colocarmos novamente em
               a
contato com a esfera cuja carga foi neutralizada, iremos
                                                              ¡
                                                             Em dias umidos existe um excesso de vapor de
                                                                        ´
permitir que a carga possa redistribuir-se homogenea- agua no ar. Conforme ser´ estudado no Cap´tulo 24, a
                                                         ´                          a                   ı
mente sobre ambas as esferas. Deste modo garantimos mol´ cula de agua,
                                                               e       ´     §¥£
                                                                             ¦¤  , pertence a classe de mol´ culas
                                                                                            `               e
que o sinal das cargas em ambas esferas e o mesmo. Pa- que possui o que se chama de ‘momento de dipolo
                                          ´
ra que a magnitude das cargas seja tamb´ m idˆ ntica e el´ trico’, isto e, nestas mol´ culas o centro das cargas
                                            e    e     ´   e              ´           e
       a                                          ´
necess´ rio que as esferas tenham o mesmo raio. E que a positivas n˜ o coincide com o centro das cargas nega-
                                                                     a
densidade superficial comum as duas esferas quando em tivas. Este desequil´brio faz com que tais mol´ culas
                                `                                             ı                             e
contato ir´ sofrer alteracoes diferentes em cada esfera, sejam el´ tricamente ativas, podendo ser atraidas por
           a             ¸˜                                        e
ap´ s elas serem separadas, caso os raios sejam diferen- superf´cies carregadas, tanto positiva quanto negativa-
   o                                                             ı
tes.                                                     mente. Ao colidirem com superf´cies carregadas, as
                                                                                              ı

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas                                                                    P´ gina 2 de 11
                                                                                                    a
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS                                                   30 de Junho de 2004, as 4:17
                                                                                                              `



mol´ culas agem no sentido de neutralizar parte da car- das duas cargas. Como vocˆ poderia testar este fato no
     e                                                                                   e
ga na superf´cie, provocando deste modo efeitos inde- laborat´ rio?
              ı                                                    o
sej´ veis para os experimentos de eletrost´ tica. Isto por-
   a                                      a                  ¡
que n˜ o se tem mais certeza sobre qual a quantidade de
       a                                                       Estudando de que modo varia a forca necess´ ria para
                                                                                                   ¸        a
carga que realmente se encontra sobre a superf´cie.
                                                  ı         levar-se cargas de distintos valores at´ uma distˆ ncia ,
                                                                                                   e         a       ¨
                                                            constante, de uma outra carga fixa no espaco.
                                                                                                       ¸
        Q 23-13
                                                          Q 23-18
Uma pessoa em p´ sobre um banco isolado toca um con-
                  e
dutor tamb´ m isolado, mas carregado. Haver´ descarga Um el´ tron (carga
           e                                 a                   e                 ) gira ao redor de um n´ cleo
                                                                                   ©
                                                                                                         u
completa do condutor?                                    (carga          ) de um atomo de h´ lio. Qual das
                                                                           ©
                                                                                  ´           e
    ¡                                                    part´culas exerce maior forca sobre a outra?
                                                              ı                      ¸
   N˜ o. Haver´ apenas uma redistribuicao da carga entre
    a         a                       ¸˜
o condutor e a pessoa.                                       ¡
                                                             Se realmente vocˆ n˜ o souber a resposta correta, ou
                                                                             e a
                                                         faz e entende o Exerc´cio E 23-2 ou tranca o curso bem
                                                                              ı
 Q 23-14                                                 r´ pido!
                                                          a
(a) Uma barra de vidro positivamente carregada atrai um
objeto suspenso. Podemos concluir que o objeto est´ Q 23-15 extra A forca el´ trica que uma carga exerce
                                                       a                         ¸    e
carregado negativamente? (b) A mesma barra carregada sobre outra se altera ao aproximarmos delas outras car-
positivamente repele o objeto suspenso. Podemos con- gas?
cluir que o objeto est´ positivamente carregado?
                      a                                      ¡
                                                            A forca entre duas cargas quaisquer depende unica
                                                                  ¸                                           ´
    ¡
   (a) N˜ o. Poder´amos estar lidando com um objeto
         a          ı                                    e exclusivamente das grandezas que aparecem na ex-
neutro por´ m met´ lico, sobre o qual seria poss´vel in- press˜ o matem´ tica da lei de Coulomb. Portanto, e f´ cil
           e       a                             ı            a         a                                    ´ a
duzir uma carga, que passaria ent˜ o a ser atraido pela
                                   a                     concluir-se que a forca pre-existente entre um par de car-
                                                                              ¸
barra. (b) Sim, pois n˜ o se pode induzir carga de mes- gas jamais poder´ depender da aproximacao de uma ou
                        a                                                  a                        ¸˜
mo sinal.                                                mais cargas. Observe, entretanto, que a ‘novidade’ que
                                                         resulta da aproximacao de cargas extras e que a forca
                                                                              ¸˜                     ´           ¸
 Q 23-16                                                 resultante sobre cada carga pre-existente poder´ alterar-
                                                                                                         a
Teria feito alguma diferenca significativa se Benjamin se, podendo tal resultante ser facilmente determinada
                            ¸
Franklin tivesse chamado os el´ trons de positivos e os com o princ´pio de superposicao.
                                 e                                   ı                  ¸˜
pr´ tons de negativos?
  o
    ¡
    N˜ o. Tais nomes s˜ o apenas uma quest˜ o de
      a                    a                        a
convencao.
        ¸˜
¢  Na terceira edicao do livro, afirmava-se que Fran-
                    ¸˜                                       23.2 Problemas e Exerc´cios
                                                                                   ı
klin, al´ m de ‘positivo’ e ‘negativo’, haveria introdu-
        e
zido tamb´ m as denominacoes ‘bateria’ e ‘carga’. Na
           e                ¸˜                               23.2.1 Lei de Coulomb
quarta edicao a coisa j´ mudou de figura... Eu tenho a
           ¸˜           a
impress˜ o que ‘positivo’ e ‘negativo’ devem ser ante-
         a
                                                              E 23-1
riores a Franklin mas n˜ o consegui localizar referˆ ncias
                        a                           e
                                                             Qual seria a forca eletrost´ tica entre duas cargas de
                                                                              ¸         a                                
adequadas. O qu´mico francˆ s Charles Francois de Cis-
                  ı           e               ¸
                                                             Coulomb separadas por uma distˆ ncia de (a)
                                                                                               a              m e (b)
                                                                                                              ! 
ternay Du Fay (1698-1739), descobriu a existˆ ncia de
                                                  e
                                                             ! 
                                                                km se tal configuracao pudesse ser estabelecida?
                                                                                    ¸˜
dois “tipos de eletricidade”: vitrea (do vidro) e resinosa
(da resina).                                                  (A3864 321) ('$$# ¡
                                                                    (a)
                                                             7 @ 97 7 5 !  0 )  % ©          EDC) (B©
                                                                                               4! 0 )     N.
Por´ m, a quem ser´ que devemos os nomes de cargas
    e                a                                       (b)            P                                N.
“positivas” e “negativas”? Ofereco uma garrafa de boa
                                   ¸                           @ VITERH64 32¥) ('GF#
                                                                 U7 S 9 Q 77 5 !  0 )  % ©   ED¥) ) WB©
                                                                                               X! 0 
champanha a quem por primeiro me mostrar a solucao     ¸˜
deste puzzle!                                                    E 23-2
                                                       Uma carga puntiforme de                C dista
                                                                                              3          cm
                                                                                                     eWEba! W`
                                                                                                     dc! 0 Y
        Q 23-17
                                                       de uma segunda carga puntiforme de  rqEpihg f
                                                                                          d c! 0         C.
A Lei de Coulomb prevˆ que a forca exercida por uma Calcular o m´ dulo da forca eletrost´ tica que atua sobre
                       e          ¸                                o          ¸         a
carga puntiforme sobre outra e proporcional ao produto cada carga.
                             ´

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas                                                                         P´ gina 3 de 11
                                                                                                         a
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS                                                                                                     30 de Junho de 2004, as 4:17
                                                                                                                                                                `


    ¡
   De acordo com a terceira Lei de Newton, a forca que
                                                ¸                                                                                         rc ED¥ ) t ©
                                                                                                                                         f ! 0                     kg   
uma carga      exerce sobre outra carga    e igual em
                                            ´
                          7s                                      ¤ 6s
m´ dulo e de sentido contr´ rio a forca que a carga
  o                        a     `   ¸                 (b) Como temos              ¤ 6s                                                     g © ¤ x ru t 3¤ s ©
                                                                                                                                   7 h 7 pk5 Q % ™$#
                                                                                                                                                       j i                   segue que
exerce sobre a carga . O valor desta forca e dado pela
                                         ¸ ´
                                      7s
Eq. 23-4. Conforme a convencao do livro, usamos aqui
                              ¸˜                                                                          © ls                                                 rt fx
                                                                                                                                                               ju m
os m´ dulos das cargas. Portanto
     o
                                                                                                                                                        7h7 gQ
                                                                                                                                                     ‡
                                                            ¤ s 7 s w t                                     ©          5 … %ˆ5 frc ED1Y W'% 0 ec 32ChWY
                                                                                                                                        ! 0              X ! 0 
          #          ©                                         ¤x vu                                                              4 ED1)
                                                                                                                                     ! 0
                                                                    Q
                     ©      6drcqED0¥hg A66deWED01'Y% 5 4 ED¥) ) Wy%
                           5 !              %5 c !
                                   ¤ 5 ¤ c ED¥3V%          ! 0                                               ©                           C      o7 c 32n …
                                                                                                                                                          7 ! 0
                                           ! 0 
                 ©                N                                ( W
                                                                                                E 23-7
                                                           Duas esferas condutoras idˆ nticas e isoladas, e , pos-
                                                                                           e                                                                                  
        E 23-3
                                                           suem quantidades iguais de carga e est˜ o separadas por
                                                                                                      a
Qual deve ser a distˆ ncia entre duas cargas puntiformes uma distˆ ncia grande comparada com seus diˆ metros
                      a                                                 a                                     a
 ۩ 7 s
‚          Ce                ‚ †t „ƒ6s
                                 …  © ¤
                             C para que o m´ dulo da forca (Fig. 23-13a). A forca eletrost´ tica que atua sobre a es-
                                             o
                                                  … qg  ¸                         ¸          a
eletrost´ tica entre elas seja de
        a                             N?                  fera devida a esfera e . Suponha agora que uma
                                                                                         ´                                             p 
        ¡                                                  terceira esfera idˆ ntica , dotada de um suporte isolan-
                                                                             e                                                            Y
                                                                     ‡
                                                           te e inicialmente descarregada, toque primeiro a esfera
         © ¨              5 rc 320 qt ˆ5 ec ED1y65 4 32¥) ('%
                            d !  … % d ! … 0   % !  0 ) (Fig. 23-13b), depois a esfera (Fig.. 23-13c) e, em
                                                                                                                                                     
                                              qg          seguida, seja afastada (Fig. 23-13d). Em termos de ,                                                                               p
          ‰      metros                                         t 
                                                           qual e a forca
                                                                  ´
                                                                         ¸   que atua agora sobre a esfera ?          q rp                                                   
                                                                                              ¡
                                                               Chamemos de a carga inicial sobre as esferas e                 s                                                           
                                                             . Ap´ s ser tocada pela esfera , a esfera ret´ m uma
                                                                    o                                        e                                                           Y
 E 23-4
Na descarga de um relˆ mpago t´pico, uma corrente de
                          a         ı
                                                           carga igual a     . Ap´ s ser tocada pela esfera , a esfera
                                                                                    o                                 is                                      Yi i
                                                                                                                                                     t i s Y$©1 5  sƒ's%
                                                              ir´ ficar com uma carga igual a
                                                                a                                                   .                                               s 
31hgq
‘! 0       Amp` res flui durante
                  e                      s. Que quantidade
                                                         ‚ `! 
                                                           Portanto, teremos em m´ duloo
de carga e transferida pelo relˆ mpago? [Note: Amp` re e
           ´                    a                     e ´
a unidade de corrente no SI; est´ definida na Seccao 28-
                                  a                ¸˜
2 do livro; mas o cap´tulo 23 fornece meios de resolver
                        ı
                                                                                                           y v# Y © ¤ xt Y © w s t Y u ws v™© q #
                                                                                                                           s              w u t
o problema proposto.]
    ¡                                                      onde e uma constante (que envolve
                                                                      ´                                   bem como a
                                                                                                                    j ru t                           t
   Usamos a Eq. (23-3):                                                                                           Q
                                                           distˆ ncia fixa entre as esferas e , mas que n˜ o vem ao
                                                                a                                           a                 
               hgW™˜5 ec ED1—ˆ5 ‘ ED¥g Wy„–”€’¨ C
                   ! © d !  0 ! % !  0  % © • ¨ “ © scaso aqui) e               representa o m´ dulo de .
                                                                                                    o    p                              ¤ 1{F#
                                                                                                                                           s t z
¢  Tal carga e grande ou pequena? Compare com as car- P 23-8
              ´
gas dadas nos Exemplos resolvidos do livro.             Trˆ s part´culas carregadas, localizadas sobre uma linha
                                                          e       ı
 E 23-5                                                 reta, est˜ o separadas pela distˆ ncia (como mostra a
                                                                 a                      a                                                                    ¨
                                                        Fig. 23-14). As cargas       e     s˜ o mantidas fixas. A
                                                                                            a                                             ¤ 6s 7 s
Duas part´culas igualmente carregadas, mantidas a uma carga , que est´ livre para mover-se, encontra-se em
            ı                                                              a
distˆ ncia
    a                    eq3€d (Y
                         Xc! 0                              ı                   ¸          a      ı
                                                                                                         Xs
                        m uma da outra, s˜ o largadas a equil´brio (nenhuma forca eletrost´ tica l´quida atua so-
                                           a
partir do repouso. O m´ dulo da aceleracao inicial da bre ela). Determine em termos de .
                         o                 ¸˜
primeira part´cula e de
               ı   ´                       ! …   ¤
                            m/s e o da segunda e de
                                                 ´                                ¡ ! W)
                                                                                                                                  7s                        ¤s
                     ¤
m/s . Sabendo-se que a massa da primeira part´cula va-
                                               ı           Chame de       a forca sobre devida a carga . Ob-
                                                                               ¸                                      | }#              Xs                                         | 6s
le               Kg, quais s˜ o: (a) a massa da segunda servando a figura, podemos ver que como
         fecWEB0eY W
             !              a                                                                             est´ em
                                                                                                              a
                                                                                                                                                 Xs#
part´cula? (b) o m´ dulo da carga comum?
    ı              o                                    equil´brio devemos ter
                                                              ı                          . As forcas
                                                                                                  ¸      e      tˆ m
                                                                                                                 e                       ¤ ™© 7 #
                                                                                                                                           #                                      ¤#
                                                        m´ dulos iguais mas sentidos opostos, logo, e tem
                                                          o
                                                                                                                                                   7
    ¡
   (a) Usando a terceira lei de Newton temos                                 © W67 g
                                                        sinais opostos. Abreviando-se
                                                                               7h                          , temos                            5Q 7 wsv u t % i €~
                                                                                                                                                                ©
                                                                                                                                                                                  ¤s
¤h¤ g  , de modo que                                    ent˜ o
                                                           a
                                                                         …                                                                                            s s
                         © qh 7 €ƒeg
                           7¤ g © ¤               ) 0 rc 321Y W
                                                      f ! 0                                                                     © 7 #                          ¤ X †7¨ y% ~
                                                                                                                                                                     5 
                             h
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas                                                                                                                                   P´ gina 4 de 11
                                                                                                                                                                   a
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS                                                                                                    30 de Junho de 2004, as 4:17
                                                                                                                                                               `



                                  }#
                                 © ¤             X ¤s ¤ s ~                                                                            r u ¤ s w u t
                                                       ¨                                                                    ©       w  m   ¤ h Qv
Substituindo estes valores na equacao ¸˜             , obte-              }H© 7 #
                                                                          ¤#                N                               ©                  t ! W
                                                                                                                                                     !
mos   6 ‚s t ƒ‚ 7 ‚s
      ‚¤      ©      . Como as cargas devem ter sinais
opostos, podemos escrever                        6s t $© 7 s
                                         , que e a resposta
                                               ´¤ 
procurada.                                                    P 23-12
Observe que o sinal da carga        permanece totalmente
                                                       ¤ Es
arbitr´ rio.
      a                                                      Duas esferas condutoras idˆ nticas, mantidas fixas,
                                                                                            e
                                                             atraem-se com uma forca eletrost´ tica de m´ dulo igual
                                                                                       ¸        a         o
 P 23-10                                                     a        N quando separadas por uma distˆ ncia de
                                                                                                        a
                                                                                                      EnW!
                                                                                                       !                                                                          ! W! g
                                                                                                                                                                                     
                                                             cm. As esferas s˜ o ent˜ o ligadas por um fio condutor
                                                                                a      a
Na Fig. 23-15, quais s˜ o as componentes horizontal e
                        a
                                                             fino. Quando o fio e removido, as esferas se repelem
                                                                                   ´
vertical da forca eletrost´ tica resultante que atua sobre
                ¸         a
                                                             com uma forca eletrost´ tica de m´ dulo igual a
                                                                           ¸          a         o                N.                                                          Y ! W!
                                                                                                                                                                             
a carga do v´ rtice esquerdo inferior do quadrado, sendo
             e
                                                             Quais eram as cargas iniciais das esferas?
eWED1! $fs
fc! 0  ©         Ce          cm?  ! q{© h
                                       g
            ¡                                                                                   ¡
                                                                Sejam e as cargas originais que desejamos cal-  ¤s 7s
   Primeiro, escolhemos um sistema de coordenadas                                                                                                    x
                                                             cular, separadas duma distˆ ncia . Escolhamos um sis-
                                                                                         a
com a origem coincidente com a carga no canto esquer-
                                                             tema de coordenadas de modo que a forca sobre
                                                                                                        ¸          e
                                                                                                                   ´                                                                ¤s
do, com o eixo horizontal e eixo vertical, como de
                         „                                      …
                                                             positiva se ela for repelida por . Neste caso a magni-
costume. A forca exercida pela carga
                  ¸                          na carga                   s¸
                                                                          `             s 
                                                                                           
                                                             tude da forca ‘inicial’ sobre e  ´
                                                                                                                                           7 s 6s¤
e
´

                     © 7 p                 ˆ§‡A% —¤ 6`—% w t
                                           5†  5s %5s  v u                                                                  y ¤ s¤ 7 x s w u t F© | #
                                                                                                                                                   v 
                                                                   h        Q                                                                  Q
A forca exercida por
     ¸                                      sobre           
                                                            s  e
                                                                ´             s               onde o sinal negativo indica que as esferas se atraem.
                                                                                                Em outras palavras, o sinal negativo indica que o pro-
         ‰rp
        © ¤                           †Œ ‹ u —6A% w t
                                                           5 s  %5 s  v u                    duto| # ¤ x Q wu t •”Es 7 s
                                                                                                              v  © ¤         e negativo, pois a forca ,
                                                                                                                              ´                      ¸                                   |#
                                    w      mŠ                 ¤5  m%                                   , e forca de atracao.
                                                                                                           ´    ¸          ¸˜
                                                                                                                       ’! ˜| y%
                                                                                                                      5 – #
                     ©                               †  h Š u ¤ s Q w t
                                                w m  m ¤ vu                                  Como as esferas s˜ o idˆ nticas, ap´ s o fio haver sido co-
                                                                                                                    a   e           o
                                                                                                nectado ambas ter˜ o uma mesma carga sobre elas, de
                                                                                                                     a
                                                                           h Q                  valor       i 362 7 's%
                                                                                                               5¤s . Neste caso a forca de repuls˜ o ‘final’
                                                                                                                                      ¸          a
Finalmente, a forca exercida por
                 ¸               s                ƒ
                                                      s                sobre        e
                                                                                     ´          e dada por
                                                                                                ´
                                                                                                                          ¤5¤s
                © X p                   5 Š A% ˆƒV% w u t
                                                5 s   %¤ 5 s   v                                                    E6b t 7 's% w u t C˜#
                                                                                                                               ¤x        v © —
                                                                h ¤ t Q                                                                Q
                                                                                                Das duas express˜ es acima tiramos a soma e o produto
                                                                                                                o
                             ©                          ˆ5 Š % 5 ¤ s % w u t
                                                                         v                      de e , ou seja                 ¤ 6s 7 s
                                                                     h Q
Portanto, a magnitude da componente horizontal da
                                                                                                       © | # ¤ x Q vwu t $©™¤6s 7 s                     EnW'!% ¤ g ('!% 
                                                                                                                                                         5!  5 
forca resultante e dada por
   ¸             ´                                                                                                                                          4 321)
                                                                                                                                                              ! 0
     © }#
       Ž                                 Ž X `}ƒŽ 7 #
                                             #  Ž¤ #                                                  ©                                                ¤ ¤ 7 c ED1
                                                                                                                                                                   ! 0 Y  C

                                    t   ƒ! u ¤ s w t                                        e
                ©                 w  m  ¤ h Qv u                                                                                                                       ‡
                          t   u rqEDf 5 4 ED¥) ) Wy%
                                   f c! 0                                                           © — V5 Q wu t % t qx © ¤ b 7 s
                                                                                                         # v           š      s                            5’ Y ! Wy% t g ('!¥›
                                                                                                                                                                   ! 5  %
                ©        w    m ¤ c ED¥g !  0  
                                      ! 0                                                                                                                   4 32¥)
                                                                                                                                                               ! 0
            ©                       N               y … ‘(!
                                                                                                                                                ©                rc ED¥› C
                                                                                                                                                                       d ! 0 
enquanto que a magnitude da componente vertical e da- Conhecendo-se a soma e o produto de dois n´ meros,
                                                ´                                                    u
da por                                                conhecemos na verdade os coeficientes da equacao do
                                                                                                       ¸˜
                                                      segundo grau que define estes n´ meros, ou seja,
                                                                                    u
                     “”#
                    © ’               ’ X b}br’ 7 #
                                          #  ’¤ # 
                                                                                                           Es 7 b¥A3E 7 'sp ¤ BkEEDiž„65 7 œ'„%
                                                                                                            ¤ s  „5¤s % „ © 5¤s  % s 
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas                                                                                                                                    P´ gina 5 de 11
                                                                                                                                                                    a
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS                                                                              30 de Junho de 2004, as 4:17
                                                                                                                                         `



Dito de outra forma, se substituirmos                                    carga seja positiva). Por outro lado, a terceira carga deve
                             i ¤ ! 0 %  © ¤                            ser negativa pois, se ela fosse positiva, as cargas                                    s `
                         7 s 5 7 c ED1'Y8F`6s                      —%
                                                                   5Ÿ    e    st 
                                                                                 n˜ o poderiam ficar em equil´brio, pois as forcas
                                                                                  a                              ı                ¸
                                                                         sobre elas seriam somente repulsivas. Vamos designar a
na equacao da soma acima temos duas possibilidades:
       ¸˜
                                                                         terceira carga por        , sendo maior que zero. Seja
                                                                                                           ¤ ƒ            ¤                                       „
                                         ¤ c! 0                        a distˆ ncia entre
                                                                               a                 e      . Para que a carga
                                                                                                        ƒ `
                                                                                                       ¤ s                     esteja      ¤ ƒ
                      y rc 32CD{© 7 WED1! (Y  7 s
                          d ! 0                                 ’y%
                                                                   5     em equil´brio, o m´ dulo da forca que
                                                                                   ı          o              ¸          exerce sobre              s `
                                               7s                        ¤ ƒ deve ser igual ao m´ dulo da forca que
                                                                                                      o            ¸          exerce         st 
ou                                      ¤ c! 0                         sobre       . Portanto,
                                                                                     ¤ ƒ
                      rc 32C¡$© 7 WED1! (Y  7 s
                         d ! 0                              ’’' %
                                                               5                                  Vs t % wv u t © s wv u t
                                                                                                  ¤5                   ¤
                                               7s                                             ¤ 5r2y%
                                                                                                  „  £ Q              ¤„
Considerando-se a Eq. , temos                                                                                             Q
                   yW€© ¤ 7 c 321 7 s rc ED¥ ¤7 s
                       !         ! 0 Y     d ! 0                      ou seja
                                                                                                       ¤ „ t © ¤ r2y%
                                                                                                                  5„  £
de onde tiramos as duas solucoes
                            ¸˜
                                                                         As solucoes da equacao do segundo grau s˜ o
                                                                                  ¸˜             ¸˜                      a         e                     £ 
                 ¤ ! 0 Y t ¤ d ! 0  ¢ › dc! 0                       Yi £, sendo que apenas esta ultima solucao e fisicamente
                                                                                                      ´           ¸˜ ´
     © 7s    5 7 c 32¥y%  5 ec 3 2¥—% ™˜eWED¥ƒ                       aceit´ vel.
                                                                              a
                                                                         Para determinar o m´ dulo de , use a condicao de
                                                                                                o                           ¸˜ ¤
O sinal            fornece-nos                                          equil´brio duas cargas do sistema. Por exemplo, para
                                                                              ı
                                                                         que a carga      esteja em equil´brio, o m´ dulo da forca
                                                                                            s `          ı         o            ¸
                y rc ED1F`6s   C
                     d ! 0 Y  © ¤      e     ec EDf$©
                                              d ! 0         C
       7s                                                                que    ¤  exerce sobre
                                                                                  ƒ                deve igualar a m´ dulo da forca
                                                                                                            s `    o            ¸
enquanto que o sinal                    fornece-nos
                                                                        de     st 
                                                                                  sobre :       s `
               y rc EDf„© ¤ s
                    d ! 0         C        e
                                            ec ED1$©
                                           d ! 0 Y          C                                      © ¤ „ s w u t
                                                                                                         ¤ v              s5 t v u
                                                                                                                         As £ % w t
       7s                                                                                                     Q
                                                                                                                            ¤
                                                                                                                                  Q
onde usamos a Eq. (*) acima para calcular a partir de
                         ¤s                            Dai tiramos que                      que, para
                                                                                                       t ¥¤
                                                                                                   „§s ©         ,                  ¤ £i¤           Y i €¦„
                                                                                                                                                        £ ©
  .
7s
Repetindo-se a an´ lise a partir da Eq.
                  a           ’             percebemos
                                                       fornece o valor procurado:
que existe outro par de solucoes poss´vel, uma vez que
                            ¸˜       ı
                                                                                                                                            t
revertendo-se os sinais das cargas, as forcas permane-
                                          ¸                                                                      © $¤                 †s )
cem as mesmas:
                                                       (b) O equil´brio e inst´ vel; esta conclus˜ o pode ser pro-
                                                                   ı     ´    a                  a
        ec EDff$© 7 s
       d ! 0      C      e                     C
                                                  y rc ED1™ƒ6s
                                                    d ! 0 Y © ¤
                                                       vada analiticamente ou, de modo mais simples, pode ser
                                                       verificada acompanhando-se o seguinte racioc´nio. Um
                                                                                                        ı
ou
                                                       pequeno deslocamento da carga           de sua posicao de
                                                                                                           ¸˜                      ¤ ƒ
                   C
        ec ED1۩ 7 s
       d ! 0 Y           e                       C    equil´brio (para a esquerda ou para a direita) produz uma
                                                             ı
                                                  rc EDffF© ¤ s
                                                   d ! 0  
                                                       forca resultante orientada para esquerda ou para a direi-
                                                           ¸
                                                       ta.
    P 23-15                                                                  P 23-16
Duas cargas puntiformes livres       e           s t  `
                                             est˜ o a uma
                                                a      s    (a) Que cargas positivas iguais teriam de ser colocadas
distˆ ncia uma da outra. Uma terceira carga e, ent˜ o,
    a          £                                 ´      a   na Terra e na Lua para neutralizar a atracao gravitacio-
                                                                                                      ¸˜
colocada de tal modo que todo o sistema fica em                              ´
                                                            nal entre elas? E necess´ rio conhecer a distˆ ncia entre a
                                                                                     a                   a
equil´brio. (a) Determine a posicao, o m´ dulo e o sinal
      ı                          ¸˜       o                 Terra e a Lua para resolver este problema? Explique. (b)
da terceira carga. (b) Mostre que o equil´brio e inst´ vel.
                                         ı     ´     a      Quantos quilogramas de hidrogˆ nio seriam necess´ rios
                                                                                              e                   a
¡  (a) A terceira carga deve estar situada sobre a linha    para fornecer a carga positiva calculada no item (a)?
que une a carga      com a carga
                         s `                     st 
                                        . Somente quan-                  ¡
                                                               (a) A igualdade das forcas envolvidas fornece a se-
                                                                                         ¸
do a terceira carga estiver situada nesta posicao, ser´ guinte express˜ o:
                                                 ¸˜       a                a                        }H§
                                                                                                   ª ¨© ¨
poss´vel obter uma resultante nula, pois, em qualquer
     ı
outra situacao, as forcas ser˜ o de atracao (caso a ter-
           ¸˜          ¸      a           ¸˜                                                                              ¤
ceira carga seja negativa) ou de repuls˜ o (caso a terceira
                                       a                                                                    ¤x          y ¤ sx w u t ©
                                                                                                                                 v
                                                                                                                               Q
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas                                                                                                                 P´ gina 6 de 11
                                                                                                                                                 a
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS                                                                                         30 de Junho de 2004, as 4:17
                                                                                                                                                    `

          © ¨                                              ª ¨
onde      e a massa da Terra e
          ´                       a massa da Lua. Por-
tanto, usando-se as constantes fornecidas no Apˆ ndice
                                               e                                                  P 23-19
C, temos
                              §                 ”¨
                                               ª ¨©
                                  v wu t                  Duas pequenas esferas condutoras de massa       est˜ o
                                                                                                             a                                                         g
                 ¢ 8s
                   ©                       Q                 X 7 ED0 … W™©
                                                                  ! g           C
                                                          suspensas por um fio de seda de comprimento e pos-                                                        £
                                                        x suem a mesma carga , conforme e mostrado na figura
                                                                                              ´                           s
Como foi poss´vel eliminar entre os dois membros da abaixo. Considerando que o angulo e t˜ o pequeno que
               ı                                                                       ˆ         ´ a                                       ´
equacao inicial, vemos claramente n˜ o ser necess´ rio
     ¸˜                               a
                                               x     a                                        ´ Tµ
                                                                                                ·¶
                                                                 possa ser substituida por sen : (a) mostre que                                 ´
conhecer-se o valor de .                                  para esta aproximacao no equil´brio teremos:
                                                                             ¸˜            ı
(b) Um atomo de hidrogˆ nio contribui com uma carga
         ´                e                                                                                                         ¤s
positiva de                C. Portanto, o n´ mero
                           4 7 WE€d 
                               c! 0       u          de                                 «                           y X 7 w ig £ wu  u a„
                                                                                                                          ¹
                                                                                                                               ¸ Qv        ©
atomos de hidrogˆ nio necess´ rios para se igualar a car-
´                 e           a
ga do item (a) e dado por
               ´                                          onde e a distˆ ncia entre as esferas. (b) Sendo
                                                                  ´     a                                   „                                                   ! 3Fb£
                                                                                                                                                                   ©
                                                          cm,          ge           cm, quanto vale ?
                               !  … ©
              ¤ X 32¥hgW€© X 7 ED0 Wg ¬«
             !  0  Y 4 7 c 32¥         C                                                ¡
                                                                                                       E$ºg
                                                                                                       ! ©          ! q{i„
                                                                                                                       g ©                              s
                                 ! 0                       (a) Chamando de a tens˜ o em cada um dos fios e
                                                                                         a                               »
                                            ¨           de o m´ dulo da forca eletrost´ tica que atua sobre cada
                                                                o           ¸         a            #
Portanto, a massa de hidrogˆ nio necess´ ria e simples- uma das bolas temos, para que haja equil´brio:
                            e           a ´                                                      ı
mente               , onde® eg e a massa de um atomo
                               ´       e­¦©
                                      ® g «       ´
de hidrogˆ nio (em kilogramas) [veja o valor da unidade
         e
de massa unificada no Apˆ ndice B, p´ g. 321]
      ¨                   e          a                                      sen                                         © ´    »            #
                 ©         5 f ¤ c ED0f’!  Aˆ5 … ! ! A65 ¤ X ED¥hgW'Y%
                                   ! g %  % ! 0                                                                   © Wˆº»
                                                                                                                          ´¾½¼          e¸ig
                 ©                             Kg             ¯ 321) qg
                                                                      ! 0                   Dividindo membro a membro as duas relacoes anterio-
                                                                                                                                    ¸˜
                                                                                              res, encontramos:

    P 23-18                                                                                                               i# g ƒ´ Tµ
                                                                                                                           ¸ ©
                                                                                                                                   ·¶
Uma carga e dividida em duas partes e
                 ´     ¤                              , que                   F¤ s
                                                                             s 
s˜ o, a seguir, afastadas por uma certa distˆ ncia entre si. Como
 a                                           a                          e um angulo pequeno, podemos usar a
                                                                        ´       ˆ                           ´
Qual deve ser o valor de em termos de , de mo- aproximacao
                                                    s                  ¸˜        ¤
do que a repuls˜ o eletrost´ tica entre as duas cargas seja
                   a        a                                                                                                               i
m´ xima?
  a                                                                                         sen                  ‰ ´ Tµ © #
                                                                                                                     ·¶                   £ „ ƒ´
                                                                                                                                                ©
¡  A magnitude da repuls˜ o entre e
                           a       D{¤ s
                                  s           e
                                               ´
                                                                                                                           ¸ Œg
                                                             Por outro lado, a forca eletrost´ tica de repuls˜ o entre as
                                                                                  ¸          a               a
                                                             cargas e dada por
                                                                    ´
                                       VD{y% wv t $#
                                        s5s  ¤ u ©
                                            ¤x
                                                Q                                                                           ¤
A condicao para que seja m´ xima em relacao a e que
        ¸˜                a             ¸˜     ´      #                               s                                   ¤ s„ w t $#
                                                                                                                                  vu ©
sejam satisfeitas simultaneamente as equacoes
                                            ¸˜                                                                                  Q
                                                                                              Igualando-se as duas express˜ es para
                                                                                                                          o                         #        e resolvendo
                               °                                                 ¤°           para , encontramos que
                                                                                                       „
                     (€© s # °
                     y!                             e                   (! {¤ # s °
                                                                        ±
                                                                                                                         ¹ £¤ v u ©
                                                                                                                      X 7 w ig s w u  ¿i„
A primeira condicao produz
                ¸˜                                                                                                            ¸ Q
                                 °                    °
 W€© ¤ x ™¤ t © ³ ¤ Dƒf¤ }s ° ¤  x wv u t © s # °
y ! s  w  vu        s  s ²                                                                (b) As duas cargas possuem o mesmo sinal. Portanto,
           Q                          Q                                                       da express˜ o acima para , obtemos
                                                                                                        a    „
                                i €8s                                                                                     ‡
cuja solucao e
          ¸˜ ´        .         ¤ ©
Como a segunda derivada e sempre menor que zero,
                           ´
                                                                                                           ¸Œg Q wu  X „ Àfs
                                                                                                                 v
                                                                                                                            › ©     ©    t q›
                                                                                                                                                       rc 320
                                                                                                                                                        Á !
       ¸˜         i l¬s
a solucao encontrada, ¤ ©         , produzir´ a forca
                                            a      ¸                                                               £
                                                                                                                                    ©       t ›          ec ED0
                                                                                                                                                         4 !              C
m´ xima.
  a
                                                        ¢                                                                                  t ›
    i ™fs
  Observe que a resposta do problema e
       ¤ ©                            ´         e n˜ o
                                                   a                                                                                ©                  nC    
        .                                       s ™$¤
                                                     ©
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas                                                                                                                         P´ gina 7 de 11
                                                                                                                                                         a
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS                                                                                                            30 de Junho de 2004, as 4:17
                                                                                                                                                                       `



        P 23-20                                                                                 sendo, por exemplo, positivo. O peso exerce uma forca¸
No problema anterior, cujas esferas s˜ o condutoras (a)
                                     a
                                                                                                para baixo de magnitude , a uma distˆ ncia
                                                                                                                                        a         Ë                                  i ”e„
                                                                                                                                                                                        £ 
                                                                                                a partir do mancal. Pela convencao acima, seu torque
                                                                                                                                ¸˜
O que acontecer´ ap´ s uma delas ser descarregada? Ex-
                 a o
                                                                                                tamb´ m e positivo. A carga
                                                                                                     e ´                         a direita exerce uma
                                                                                                                                 `                                                         ¤
plique sua resposta. (b) Calcule a nova separacao de
equil´brio das bolas.
     ı
                                                ¸˜
                                                                                                forca para cima de magnitude
                                                                                                   ¸                                               ,a        5 ¤ Ì i s yˆ5 Î Q ru t qi A%
                                                                                                                                                                     ¤ % j Í 
    ¡                                                                                           uma distˆ ncia
                                                                                                         a                   i £
                                                                                                                   do mancal. Seu torque e negativo.
                                                                                                                                          ´
    (a) Quando uma das bolas for descarregada n˜ o po-
                                                   a                                            Para que n˜ o haja rotacao, os torque sacima devem
                                                                                                            a          ¸˜
der´ mais haver repuls˜ o Coulombiana entre as bolas e,
     a                  a                                                                       anular-se, ou seja
consequentemente, as bolas cair˜ o sob acao do campo
                                 a        ¸˜
gravitacional at´ se tocarem. Ao entrarem em contato, a
                 e                                                                                               W™©  £  rj t  w  £ œEÏ”  £ ¤ Ì s rj u t
                                                                                                                 !      ¤s u
                                                                                                                         ¤Ì                  „u Ë      ¤
carga que estava originalmente numa das bolas ir´ se
             s                                       a                                                                          Q                            Q
repartir igualmente entre ambas bolas que, ent˜ o, por es- Portanto, resolvendo-se para , obtemos
                                               a                                                                                         „
tarem novamente ambas carregadas, passar˜ o a repelir-
                                             a
se at´ atingir uma nova separacao de equil´brio, digamos
       e                      ¸˜          ı
q .
  I„                                                                                                                         w ¤ $Ë rj t Ðu  £ i„
                                                                                                                                   ¤ s
                                                                                                                                  Ì Q u           ©
(b) A nova separacao de equil´brio pode ser calculada
                   ¸˜         ı                              q e„
usando-se             :    i BeÂs
                              s ©q                         (b) A forca l´quida na barra anula-se. Denotando-se por
                                                                    ¸ ı
                                                              a magnitude da forca para cima exercida pelo mancal,
                                                                                 ¸              «
                                                 cm        ent˜ o
                                                              a               ˆÈ E¤Æ Ž Ç
                                                                              ɯ            Ê
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                                                          ¹          X ¹7 £ wÅu u    vs                                 W€© s Ì  rj u t  ¤ Ì s rj u t ¥Ë
                                                                                                                          ! ¤¤                  ¤
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                                               ©     X V7  t u
                                                        ¹                           m ! We0
                                                                                     g !       Quando a barra n˜ o exerce nenhuma forca, temos
                                                                                                                   a       ¸              ¸                                               © Ñ«
                                                            w                                     . Neste caso, a express˜ o acima, fornece-nos facilmen-
                                                                                                    !                    a
                                               ©   !ED`nWY
                                                        0               m
                                                                                           ¤c   te que
                                               ©     nWY cm                                                                               ‡
¢                                                                                                                                   © ŒÌ               s Ë Y rj u t
                                                                                                                                                        ¤
   ´
  E poss´vel determinar o valor da tens˜ o no fio de se-
        ı                              a                                                                                                                       Q
da?                                                                                                     ¢
                                                                                                    Observe que e essencial usar sempre um valor po-
                                                                                                                 ´
                                                                                                sitivo para o braco de alavanca, para n˜ o se inverter o
                                                                                                                 ¸                     a
        P 23-21
                                                                                                sentido do torque. Neste problema, o braco de alavanca
                                                                                                                                         ¸
A Fig. 23-17 mostra uma longa barra n˜ o condutora, de
                                         a                                                      positivo e
                                                                                                         ´              a i œ„
                                                                                                                   , e n˜ o  £   !                    D™ i £
                                                                                                                                                      „ 
massa desprez´vel e comprimento , presa por um pi-
               ı                                                 £
no no seu centro e equilibrada com um peso         a uma                            Ë
    a                „                                                       ´
distˆ ncia de sua extremidade esquerda. Nas extremi- 23.2.2 A Carga e Quantizada
dades esquerda e direita da barra s˜ o colocadas peque-
                                     a
nas esferas condutoras com cargas positivas e , res- E 23-24                       s  s
pectivamente. A uma distˆ ncia diretamente abaixo de
                            a                          Ì
cada uma dessas cargas est´ fixada uma esfera com uma Qual e a carga total em Coulombs de
                             a                                  ´                                                                                              g…         kg de el´ trons?
                                                                                                                                                                                  e
carga positiva . (a) Determine a distˆ ncia quando a
                               ¤        a                                      „                            ¡                                                   ¨
                                                            A massa do el´ tron e
                                                                           e     ´                                                                                                kg de ma-
barra est´ horizontal e equilibrada. (b) Qual valor deve- neira que a quantidade de el´ trons em
          a                                                                           e                              ¨                           g … 7 Xe© cW!EC nWÒg
                                                                                                                                                                0 ) ©
                                                                                                                                                                                    kg e
                                                                                                                                                                                       ´
ria ter para que a barra n˜ o exercesse nenhuma forca
                 Ì            a                        ¸
sobre o mancal na situacao horizontal e equilibrada?
                         ¸˜                                                                                                              g…
                                                                                                                7 X 32¥Y  (€© 7 ec 32‘() © g Ï«
                                                                                                                    ! 0                              ©                           el´ trons
                                                                                                                                                                                   e           
    ¡
   (a) Como a barra esta em equil´brio, a forca l´quida
                                    ı           ¸ ı
                                                                                                                                    X ! 0  
sobre ela e zero e o torque em relacao a qualquer ponto Portanto, a carga total e
           ´                         ¸˜                                         ´
tamb´ m e zero. Para resolver o problema, vamos escre-
      e ´
ver a express˜ o para o torque l´quido no mancal, iguala-
              a                 ı                                                                                 ÓF$fs
                                                                                                                 ©  «  ©                 5 4 7 c 321 A65 7 X ED¥hW'8
                                                                                                                                                   ! 0 !  % ! 0 Y  %
la a zero e resolver para .                „
A carga       a esquerda exerce uma forca para cima
              `                             ¸           ¤                                                                      ©            X 7 32ƒ Y f
                                                                                                                                                 ! 0             C
de magnitude             5 ¤ Ì i 's65 ˆQ rt Wi V% i
                                 ¤ % Î ju Í 
                                      , localizada a uma
distˆ ncia
    a           do mancal. Considere seu torque como £
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas                                                                                                                                           P´ gina 8 de 11
                                                                                                                                                                           a
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Cap23

  • 1. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` Exerc´cios Resolvidos de Teoria Eletromagn´ tica ı e Jason Alfredo Carlson Gallas Professor Titular de F´sica Te´ rica ı o Doutor em F´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha ı Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´sica ı Mat´ ria para a PRIMEIRA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livro e ¸˜ ¸˜ “Fundamentos de F´sica”, Halliday, Resnick e Walker. ı   Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas clicando-se em ‘ENSINO’ Conte´ udo 23.2.1 Lei de Coulomb . . . . . . . . 3 23.2.2 A Carga e Quantizada . . ´ . . . 8 23 Carga El´ trica e 2 23.2.3 A Carga e Conservada . . ´ . . . 10 23.1 Quest˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2 23.2.4 As Constantes da F´sica: ı Um 23.2 Problemas e Exerc´cios . . . . . . . . . ı 3 Aparte . . . . . . . . . . . . . . 10 Coment´ rios/Sugest˜ es e Erros: favor enviar para a o jgallas @ if.ufrgs.br (lista1.tex) http://www.if.ufrgs.br/ jgallas   P´ gina 1 de 11 a
  • 2. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` 23 Carga El´ trica e Q 23-3 Uma barra carregada atrai fragmentos de cortica que, as- ¸ sim que a tocam, s˜ o violentamente repelidos. Explique a 23.1 Quest˜ es o a causa disto. ¡ Como os dois corpos atraem-se inicialmente, deduzi- Q 23-1 mos que eles possuem quantidades de cargas com sinais Sendo dadas duas esferas de metal montadas em supor- diferentes. Ao tocarem-se a quantidade de cargas menor te port´ til de material isolante, invente um modo de car- a e equilibrada pelas cargas de sinal oposto. Como a carga ´ reg´ -las com quantidades de cargas iguais e de sinais a que sobra reparte-se entre os dois corpos, estes passam a opostos. Vocˆ pode usar uma barra de vidro ativada com e repelir-se por possuirem, ent˜ o, cargas de mesmo sinal. a ´ seda, mas ela n˜ o pode tocar as esferas. E necess´ rio a a ¢ Note que afirmar existir repuls˜ o ap´ s os corpos a o que as esferas sejam do mesmo tamanho, para o m´ todo tocarem-se equivale a afirmar ser diferente a quantida- e funcionar? de de cargas existente inicialmente em cada corpo. ¡ Um m´ todo simples e usar inducao el´ trost´ tica: ao e ´ ¸˜ e a aproximarmos a barra de vidro de qualquer uma das es- Q 23-4 feras quando ambas estiverem em contato iremos indu- zir (i) na esfera mais pr´ xima, uma mesma carga igual As experiˆ ncias descritas na Seccao 23-2 poderiam ser o e ¸˜ e oposta a carga da barra e, (ii) na esfera mais afastada, ` explicadas postulando-se quatro tipos de carga, a saber, uma carga igual e de mesmo sinal que a da barra. Se a do vidro, a da seda, a do pl´ stico e a da pele do animal. a separarmos ent˜ o as duas esferas, cada uma delas ir´ fi- a a Qual e o argumento contra isto? ´ car com cargas de mesma magnitude por´ m com sinais e ¡ ´ a E f´ cil verificar experimentalmente que os quatro ti- opostos. Este processo n˜ o depende do raio das esfe- pos ‘novos’ de carga n˜ o poderiam ser diferentes umas a a ras. Note, entretanto, que a densidade de cargas sobre das outras. Isto porque e poss´vel separar-se os quatro ´ ı a superf´cie de cada esfera ap´ s a separacao obviamente tipos de carga em dois pares de duas cargas que s˜ o in- ı o ¸˜ a depende do raio das esferas. distingu´veis um do outro, experimentalmente. ı Q 23-2 Na quest˜ o anterior, descubra um modo de carregar as Q 23-6 a esferas com quantidades de carga iguais e de mesmo si- Um isolante carregado pode ser descarregado passando- nal. Novamente, e necess´ rio que as esferas tenham o o logo acima de uma chama. Explique por quˆ ? ´ a e mesmo tamanho para o m´ todo a ser usado? e ¡ ´¡ E que a alta temperatura acima da chama ioniza o ar, O enunciado do problema anterior n˜ o permite que tornando-o condutor, permitindo o fluxo de cargas. a toquemos com o bast˜ o nas esferas. Portanto, repeti- a mos a inducao eletrost´ tica descrita no exerc´cio ante- ¸˜ a ı rior. Por´ m, mantendo sempre a barra pr´ xima de uma Q 23-9 e o das esferas, removemos a outra, tratando de neutralizar Por que as experiˆ ncias em eletrost´ tica n˜ o funcionam e a a a carga sobre ela (por exemplo, aterrando-a). Se afas- bem em dias umidos? ´ tarmos o bast˜ o da esfera e a colocarmos novamente em a contato com a esfera cuja carga foi neutralizada, iremos ¡ Em dias umidos existe um excesso de vapor de ´ permitir que a carga possa redistribuir-se homogenea- agua no ar. Conforme ser´ estudado no Cap´tulo 24, a ´ a ı mente sobre ambas as esferas. Deste modo garantimos mol´ cula de agua, e ´ §¥£ ¦¤ , pertence a classe de mol´ culas ` e que o sinal das cargas em ambas esferas e o mesmo. Pa- que possui o que se chama de ‘momento de dipolo ´ ra que a magnitude das cargas seja tamb´ m idˆ ntica e el´ trico’, isto e, nestas mol´ culas o centro das cargas e e ´ e ´ e a ´ necess´ rio que as esferas tenham o mesmo raio. E que a positivas n˜ o coincide com o centro das cargas nega- a densidade superficial comum as duas esferas quando em tivas. Este desequil´brio faz com que tais mol´ culas ` ı e contato ir´ sofrer alteracoes diferentes em cada esfera, sejam el´ tricamente ativas, podendo ser atraidas por a ¸˜ e ap´ s elas serem separadas, caso os raios sejam diferen- superf´cies carregadas, tanto positiva quanto negativa- o ı tes. mente. Ao colidirem com superf´cies carregadas, as ı http://www.if.ufrgs.br/ jgallas   P´ gina 2 de 11 a
  • 3. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` mol´ culas agem no sentido de neutralizar parte da car- das duas cargas. Como vocˆ poderia testar este fato no e e ga na superf´cie, provocando deste modo efeitos inde- laborat´ rio? ı o sej´ veis para os experimentos de eletrost´ tica. Isto por- a a ¡ que n˜ o se tem mais certeza sobre qual a quantidade de a Estudando de que modo varia a forca necess´ ria para ¸ a carga que realmente se encontra sobre a superf´cie. ı levar-se cargas de distintos valores at´ uma distˆ ncia , e a ¨ constante, de uma outra carga fixa no espaco. ¸ Q 23-13 Q 23-18 Uma pessoa em p´ sobre um banco isolado toca um con- e dutor tamb´ m isolado, mas carregado. Haver´ descarga Um el´ tron (carga e a e ) gira ao redor de um n´ cleo © u completa do condutor? (carga ) de um atomo de h´ lio. Qual das © ´ e ¡ part´culas exerce maior forca sobre a outra? ı ¸ N˜ o. Haver´ apenas uma redistribuicao da carga entre a a ¸˜ o condutor e a pessoa. ¡ Se realmente vocˆ n˜ o souber a resposta correta, ou e a faz e entende o Exerc´cio E 23-2 ou tranca o curso bem ı Q 23-14 r´ pido! a (a) Uma barra de vidro positivamente carregada atrai um objeto suspenso. Podemos concluir que o objeto est´ Q 23-15 extra A forca el´ trica que uma carga exerce a ¸ e carregado negativamente? (b) A mesma barra carregada sobre outra se altera ao aproximarmos delas outras car- positivamente repele o objeto suspenso. Podemos con- gas? cluir que o objeto est´ positivamente carregado? a ¡ A forca entre duas cargas quaisquer depende unica ¸ ´ ¡ (a) N˜ o. Poder´amos estar lidando com um objeto a ı e exclusivamente das grandezas que aparecem na ex- neutro por´ m met´ lico, sobre o qual seria poss´vel in- press˜ o matem´ tica da lei de Coulomb. Portanto, e f´ cil e a ı a a ´ a duzir uma carga, que passaria ent˜ o a ser atraido pela a concluir-se que a forca pre-existente entre um par de car- ¸ barra. (b) Sim, pois n˜ o se pode induzir carga de mes- gas jamais poder´ depender da aproximacao de uma ou a a ¸˜ mo sinal. mais cargas. Observe, entretanto, que a ‘novidade’ que resulta da aproximacao de cargas extras e que a forca ¸˜ ´ ¸ Q 23-16 resultante sobre cada carga pre-existente poder´ alterar- a Teria feito alguma diferenca significativa se Benjamin se, podendo tal resultante ser facilmente determinada ¸ Franklin tivesse chamado os el´ trons de positivos e os com o princ´pio de superposicao. e ı ¸˜ pr´ tons de negativos? o ¡ N˜ o. Tais nomes s˜ o apenas uma quest˜ o de a a a convencao. ¸˜ ¢ Na terceira edicao do livro, afirmava-se que Fran- ¸˜ 23.2 Problemas e Exerc´cios ı klin, al´ m de ‘positivo’ e ‘negativo’, haveria introdu- e zido tamb´ m as denominacoes ‘bateria’ e ‘carga’. Na e ¸˜ 23.2.1 Lei de Coulomb quarta edicao a coisa j´ mudou de figura... Eu tenho a ¸˜ a impress˜ o que ‘positivo’ e ‘negativo’ devem ser ante- a E 23-1 riores a Franklin mas n˜ o consegui localizar referˆ ncias a e Qual seria a forca eletrost´ tica entre duas cargas de ¸ a adequadas. O qu´mico francˆ s Charles Francois de Cis- ı e ¸ Coulomb separadas por uma distˆ ncia de (a) a m e (b) ! ternay Du Fay (1698-1739), descobriu a existˆ ncia de e ! km se tal configuracao pudesse ser estabelecida? ¸˜ dois “tipos de eletricidade”: vitrea (do vidro) e resinosa (da resina). (A3864 321) ('$$# ¡ (a) 7 @ 97 7 5 ! 0 ) % © EDC) (B© 4! 0 ) N. Por´ m, a quem ser´ que devemos os nomes de cargas e a (b) P N. “positivas” e “negativas”? Ofereco uma garrafa de boa ¸ @ VITERH64 32¥) ('GF# U7 S 9 Q 77 5 ! 0 ) % © ED¥) ) WB© X! 0 champanha a quem por primeiro me mostrar a solucao ¸˜ deste puzzle! E 23-2 Uma carga puntiforme de C dista 3 cm eWEba! W` dc! 0 Y Q 23-17 de uma segunda carga puntiforme de rqEpihg f d c! 0 C. A Lei de Coulomb prevˆ que a forca exercida por uma Calcular o m´ dulo da forca eletrost´ tica que atua sobre e ¸ o ¸ a carga puntiforme sobre outra e proporcional ao produto cada carga. ´ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas   P´ gina 3 de 11 a
  • 4. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` ¡ De acordo com a terceira Lei de Newton, a forca que ¸ rc ED¥ ) t © f ! 0 kg uma carga exerce sobre outra carga e igual em ´ 7s ¤ 6s m´ dulo e de sentido contr´ rio a forca que a carga o a ` ¸ (b) Como temos ¤ 6s g © ¤ x ru t 3¤ s © 7 h 7 pk5 Q % ™$# j i segue que exerce sobre a carga . O valor desta forca e dado pela ¸ ´ 7s Eq. 23-4. Conforme a convencao do livro, usamos aqui ¸˜ © ls rt fx ju m os m´ dulos das cargas. Portanto o 7h7 gQ ‡ ¤ s 7 s w t © 5 … %ˆ5 frc ED1Y W'% 0 ec 32ChWY ! 0 X ! 0 # © ¤x vu 4 ED1) ! 0 Q © 6drcqED0¥hg A66deWED01'Y% 5 4 ED¥) ) Wy% 5 ! %5 c ! ¤ 5 ¤ c ED¥3V% ! 0 © C o7 c 32n … 7 ! 0 ! 0 © N ( W E 23-7 Duas esferas condutoras idˆ nticas e isoladas, e , pos- e E 23-3 suem quantidades iguais de carga e est˜ o separadas por a Qual deve ser a distˆ ncia entre duas cargas puntiformes uma distˆ ncia grande comparada com seus diˆ metros a a a €© 7 s ‚  Ce ‚ †t „ƒ6s … © ¤ C para que o m´ dulo da forca (Fig. 23-13a). A forca eletrost´ tica que atua sobre a es- o … qg ¸ ¸ a eletrost´ tica entre elas seja de a N? fera devida a esfera e . Suponha agora que uma ´ p ¡ terceira esfera idˆ ntica , dotada de um suporte isolan- e Y ‡ te e inicialmente descarregada, toque primeiro a esfera © ¨ 5 rc 320 qt ˆ5 ec ED1y65 4 32¥) ('% d ! … % d ! … 0  % ! 0 ) (Fig. 23-13b), depois a esfera (Fig.. 23-13c) e, em qg seguida, seja afastada (Fig. 23-13d). Em termos de , p ‰ metros t qual e a forca ´ ¸ que atua agora sobre a esfera ? q rp ¡ Chamemos de a carga inicial sobre as esferas e s . Ap´ s ser tocada pela esfera , a esfera ret´ m uma o e Y E 23-4 Na descarga de um relˆ mpago t´pico, uma corrente de a ı carga igual a . Ap´ s ser tocada pela esfera , a esfera o is Yi i t i s Y$©1 5 sƒ's% ir´ ficar com uma carga igual a a . s 31hgq ‘! 0 Amp` res flui durante e s. Que quantidade ‚ `! Portanto, teremos em m´ duloo de carga e transferida pelo relˆ mpago? [Note: Amp` re e ´ a e ´ a unidade de corrente no SI; est´ definida na Seccao 28- a ¸˜ 2 do livro; mas o cap´tulo 23 fornece meios de resolver ı y v# Y © ¤ xt Y © w s t Y u ws v™© q # s w u t o problema proposto.] ¡ onde e uma constante (que envolve ´ bem como a j ru t t Usamos a Eq. (23-3): Q distˆ ncia fixa entre as esferas e , mas que n˜ o vem ao a a hgW™˜5 ec ED1—ˆ5 ‘ ED¥g Wy„–”€’¨ C ! © d ! 0 ! % ! 0 % © • ¨ “ © scaso aqui) e representa o m´ dulo de . o p ¤ 1{F# s t z ¢ Tal carga e grande ou pequena? Compare com as car- P 23-8 ´ gas dadas nos Exemplos resolvidos do livro. Trˆ s part´culas carregadas, localizadas sobre uma linha e ı E 23-5 reta, est˜ o separadas pela distˆ ncia (como mostra a a a ¨ Fig. 23-14). As cargas e s˜ o mantidas fixas. A a ¤ 6s 7 s Duas part´culas igualmente carregadas, mantidas a uma carga , que est´ livre para mover-se, encontra-se em ı a distˆ ncia a eq3€d (Y Xc! 0 ı ¸ a ı Xs m uma da outra, s˜ o largadas a equil´brio (nenhuma forca eletrost´ tica l´quida atua so- a partir do repouso. O m´ dulo da aceleracao inicial da bre ela). Determine em termos de . o ¸˜ primeira part´cula e de ı ´ ! … ¤ m/s e o da segunda e de ´ ¡ ! W) 7s ¤s ¤ m/s . Sabendo-se que a massa da primeira part´cula va- ı Chame de a forca sobre devida a carga . Ob- ¸ | }# Xs | 6s le Kg, quais s˜ o: (a) a massa da segunda servando a figura, podemos ver que como fecWEB0eY W ! a est´ em a Xs# part´cula? (b) o m´ dulo da carga comum? ı o equil´brio devemos ter ı . As forcas ¸ e tˆ m e ¤ ™© 7 # # ¤# m´ dulos iguais mas sentidos opostos, logo, e tem o 7 ¡ (a) Usando a terceira lei de Newton temos © W67 g sinais opostos. Abreviando-se 7h , temos 5Q 7 wsv u t % i €~ © ¤s ¤h¤ g , de modo que ent˜ o a … s s © qh 7 €ƒeg 7¤ g © ¤ ) 0 rc 321Y W f ! 0 © 7 # ¤ X †7¨ y% ~ 5 h http://www.if.ufrgs.br/ jgallas   P´ gina 4 de 11 a
  • 5. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` }# © ¤ X ¤s ¤ s ~ r u ¤ s w u t ¨ © w m ¤ h Qv Substituindo estes valores na equacao ¸˜ , obte- }H© 7 # ¤# N ©  t ! W ! mos 6 ‚s t ƒ‚ 7 ‚s ‚¤ © . Como as cargas devem ter sinais opostos, podemos escrever 6s t $© 7 s , que e a resposta ´¤ procurada. P 23-12 Observe que o sinal da carga permanece totalmente ¤ Es arbitr´ rio. a Duas esferas condutoras idˆ nticas, mantidas fixas, e atraem-se com uma forca eletrost´ tica de m´ dulo igual ¸ a o P 23-10 a N quando separadas por uma distˆ ncia de a EnW! ! ! W! g cm. As esferas s˜ o ent˜ o ligadas por um fio condutor a a Na Fig. 23-15, quais s˜ o as componentes horizontal e a fino. Quando o fio e removido, as esferas se repelem ´ vertical da forca eletrost´ tica resultante que atua sobre ¸ a com uma forca eletrost´ tica de m´ dulo igual a ¸ a o N. Y ! W!  a carga do v´ rtice esquerdo inferior do quadrado, sendo e Quais eram as cargas iniciais das esferas? eWED1! $fs fc! 0 © Ce cm? ! q{© h g ¡ ¡ Sejam e as cargas originais que desejamos cal- ¤s 7s Primeiro, escolhemos um sistema de coordenadas x cular, separadas duma distˆ ncia . Escolhamos um sis- a com a origem coincidente com a carga no canto esquer- tema de coordenadas de modo que a forca sobre ¸ e ´ ¤s do, com o eixo horizontal e eixo vertical, como de „ … positiva se ela for repelida por . Neste caso a magni- costume. A forca exercida pela carga ¸ na carga s¸ ` s tude da forca ‘inicial’ sobre e ´ 7 s 6s¤ e ´ © 7 p ˆ§‡A% —¤ 6`—% w t 5† 5s %5s v u y ¤ s¤ 7 x s w u t F© | # v h Q Q A forca exercida por ¸ sobre s e ´ s onde o sinal negativo indica que as esferas se atraem. Em outras palavras, o sinal negativo indica que o pro- ‰rp © ¤ †Œ ‹ u —6A% w t 5 s %5 s v u duto| # ¤ x Q wu t •”Es 7 s v © ¤ e negativo, pois a forca , ´ ¸ |# w mŠ ¤5 m% , e forca de atracao. ´ ¸ ¸˜ ’! ˜| y% 5 – # © † h Š u ¤ s Q w t w m m ¤ vu Como as esferas s˜ o idˆ nticas, ap´ s o fio haver sido co- a e o nectado ambas ter˜ o uma mesma carga sobre elas, de a h Q valor i 362 7 's% 5¤s . Neste caso a forca de repuls˜ o ‘final’ ¸ a Finalmente, a forca exercida por ¸ s ƒ s sobre e ´ e dada por ´ ¤5¤s © X p 5 Š A% ˆƒV% w u t 5 s %¤ 5 s v E6b t 7 's% w u t C˜# ¤x v © — h ¤ t Q Q Das duas express˜ es acima tiramos a soma e o produto o © ˆ5 Š % 5 ¤ s % w u t v de e , ou seja ¤ 6s 7 s h Q Portanto, a magnitude da componente horizontal da © | # ¤ x Q vwu t $©™¤6s 7 s EnW'!% ¤ g ('!% 5! 5 forca resultante e dada por ¸ ´ 4 321) ! 0 © }# Ž Ž X `}ƒŽ 7 # # Ž¤ # © ¤ ¤ 7 c ED1 ! 0 Y C t ƒ! u ¤ s w t e © w m ¤ h Qv u ‡ t u rqEDf 5 4 ED¥) ) Wy% f c! 0 © — V5 Q wu t % t qx © ¤ b 7 s # v š s 5’ Y ! Wy% t g ('!¥› ! 5 % © w m ¤ c ED¥g ! 0 ! 0 4 32¥) ! 0 © N y … ‘(! © rc ED¥› C d ! 0 enquanto que a magnitude da componente vertical e da- Conhecendo-se a soma e o produto de dois n´ meros, ´ u da por conhecemos na verdade os coeficientes da equacao do ¸˜ segundo grau que define estes n´ meros, ou seja, u “”# © ’ ’ X b}br’ 7 # # ’¤ # Es 7 b¥A3E 7 'sp ¤ BkEEDiž„65 7 œ'„% ¤ s „5¤s % „ © 5¤s % s http://www.if.ufrgs.br/ jgallas   P´ gina 5 de 11 a
  • 6. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` Dito de outra forma, se substituirmos carga seja positiva). Por outro lado, a terceira carga deve i ¤ ! 0 % © ¤ ser negativa pois, se ela fosse positiva, as cargas s ` 7 s 5 7 c ED1'Y8F`6s —% 5Ÿ e st n˜ o poderiam ficar em equil´brio, pois as forcas a ı ¸ sobre elas seriam somente repulsivas. Vamos designar a na equacao da soma acima temos duas possibilidades: ¸˜ terceira carga por , sendo maior que zero. Seja ¤ ƒ ¤ „ ¤ c! 0 a distˆ ncia entre a e . Para que a carga ƒ ` ¤ s esteja ¤ ƒ y rc 32CD{© 7 WED1! (Y 7 s d ! 0 ’y% 5  em equil´brio, o m´ dulo da forca que ı o ¸ exerce sobre s ` 7s ¤ ƒ deve ser igual ao m´ dulo da forca que o ¸ exerce st ou ¤ c! 0 sobre . Portanto, ¤ ƒ rc 32C¡$© 7 WED1! (Y 7 s d ! 0 ’’' % 5  Vs t % wv u t © s wv u t ¤5 ¤ 7s ¤ 5r2y% „ £ Q ¤„ Considerando-se a Eq. , temos   Q yW€© ¤ 7 c 321 7 s rc ED¥ ¤7 s ! ! 0 Y d ! 0 ou seja ¤ „ t © ¤ r2y% 5„ £ de onde tiramos as duas solucoes ¸˜ As solucoes da equacao do segundo grau s˜ o ¸˜ ¸˜ a e £ ¤ ! 0 Y t ¤ d ! 0 ¢ › dc! 0 Yi £, sendo que apenas esta ultima solucao e fisicamente ´ ¸˜ ´ © 7s 5 7 c 32¥y% 5 ec 3 2¥—% ™˜eWED¥ƒ aceit´ vel. a Para determinar o m´ dulo de , use a condicao de o ¸˜ ¤ O sinal fornece-nos equil´brio duas cargas do sistema. Por exemplo, para ı que a carga esteja em equil´brio, o m´ dulo da forca s ` ı o ¸ y rc ED1F`6s C d ! 0 Y © ¤ e ec EDf$© d ! 0 C 7s que ¤ exerce sobre ƒ deve igualar a m´ dulo da forca s ` o ¸ enquanto que o sinal fornece-nos de st sobre : s ` y rc EDf„© ¤ s d ! 0 C e ec ED1$© d ! 0 Y C © ¤ „ s w u t ¤ v s5 t v u As £ % w t 7s Q ¤ Q onde usamos a Eq. (*) acima para calcular a partir de ¤s Dai tiramos que que, para t ¥¤ „§s © , ¤ £i¤ Y i €¦„ £ © . 7s Repetindo-se a an´ lise a partir da Eq. a   ’  percebemos fornece o valor procurado: que existe outro par de solucoes poss´vel, uma vez que ¸˜ ı t revertendo-se os sinais das cargas, as forcas permane- ¸ © $¤ †s ) cem as mesmas: (b) O equil´brio e inst´ vel; esta conclus˜ o pode ser pro- ı ´ a a ec EDff$© 7 s d ! 0 C e C y rc ED1™ƒ6s d ! 0 Y © ¤ vada analiticamente ou, de modo mais simples, pode ser verificada acompanhando-se o seguinte racioc´nio. Um ı ou pequeno deslocamento da carga de sua posicao de ¸˜ ¤ ƒ C ec ED1€© 7 s d ! 0 Y e C equil´brio (para a esquerda ou para a direita) produz uma ı rc EDffF© ¤ s d ! 0 forca resultante orientada para esquerda ou para a direi- ¸ ta. P 23-15 P 23-16 Duas cargas puntiformes livres e s t ` est˜ o a uma a s (a) Que cargas positivas iguais teriam de ser colocadas distˆ ncia uma da outra. Uma terceira carga e, ent˜ o, a £ ´ a na Terra e na Lua para neutralizar a atracao gravitacio- ¸˜ colocada de tal modo que todo o sistema fica em ´ nal entre elas? E necess´ rio conhecer a distˆ ncia entre a a a equil´brio. (a) Determine a posicao, o m´ dulo e o sinal ı ¸˜ o Terra e a Lua para resolver este problema? Explique. (b) da terceira carga. (b) Mostre que o equil´brio e inst´ vel. ı ´ a Quantos quilogramas de hidrogˆ nio seriam necess´ rios e a ¡ (a) A terceira carga deve estar situada sobre a linha para fornecer a carga positiva calculada no item (a)? que une a carga com a carga s ` st . Somente quan- ¡ (a) A igualdade das forcas envolvidas fornece a se- ¸ do a terceira carga estiver situada nesta posicao, ser´ guinte express˜ o: ¸˜ a a }H§ ª ¨© ¨ poss´vel obter uma resultante nula, pois, em qualquer ı outra situacao, as forcas ser˜ o de atracao (caso a ter- ¸˜ ¸ a ¸˜ ¤ ceira carga seja negativa) ou de repuls˜ o (caso a terceira a ¤x y ¤ sx w u t © v Q http://www.if.ufrgs.br/ jgallas   P´ gina 6 de 11 a
  • 7. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` © ¨ ª ¨ onde e a massa da Terra e ´ a massa da Lua. Por- tanto, usando-se as constantes fornecidas no Apˆ ndice e P 23-19 C, temos § ”¨ ª ¨© v wu t Duas pequenas esferas condutoras de massa est˜ o a g ¢ 8s © Q X 7 ED0 … W™© ! g C suspensas por um fio de seda de comprimento e pos- £ x suem a mesma carga , conforme e mostrado na figura ´ s Como foi poss´vel eliminar entre os dois membros da abaixo. Considerando que o angulo e t˜ o pequeno que ı ˆ ´ a ´ equacao inicial, vemos claramente n˜ o ser necess´ rio ¸˜ a x a ´ Tµ ·¶ possa ser substituida por sen : (a) mostre que ´ conhecer-se o valor de . para esta aproximacao no equil´brio teremos: ¸˜ ı (b) Um atomo de hidrogˆ nio contribui com uma carga ´ e ¤s positiva de C. Portanto, o n´ mero 4 7 WE€d c! 0 u de « y X 7 w ig £ wu u a„ ¹ ¸ Qv © atomos de hidrogˆ nio necess´ rios para se igualar a car- ´ e a ga do item (a) e dado por ´ onde e a distˆ ncia entre as esferas. (b) Sendo ´ a „ ! 3Fb£ © cm, ge cm, quanto vale ? ! … © ¤ X 32¥hgW€© X 7 ED0 Wg ¬« ! 0 Y 4 7 c 32¥  C ¡ E$ºg ! © ! q{i„ g © s ! 0 (a) Chamando de a tens˜ o em cada um dos fios e a » ¨ de o m´ dulo da forca eletrost´ tica que atua sobre cada o ¸ a # Portanto, a massa de hidrogˆ nio necess´ ria e simples- uma das bolas temos, para que haja equil´brio: e a ´ ı mente , onde® eg e a massa de um atomo ´ e­¦© ® g « ´ de hidrogˆ nio (em kilogramas) [veja o valor da unidade e de massa unificada no Apˆ ndice B, p´ g. 321] ¨ e a sen © ´ » # © 5 f ¤ c ED0f’!  Aˆ5 … ! ! A65 ¤ X ED¥hgW'Y% ! g % % ! 0 © Wˆº» ´¾½¼ e¸ig © Kg ¯ 321) qg ! 0 Dividindo membro a membro as duas relacoes anterio- ¸˜ res, encontramos: P 23-18 i# g ƒ´ Tµ ¸ © ·¶ Uma carga e dividida em duas partes e ´ ¤ , que F¤ s s s˜ o, a seguir, afastadas por uma certa distˆ ncia entre si. Como a a e um angulo pequeno, podemos usar a ´ ˆ ´ Qual deve ser o valor de em termos de , de mo- aproximacao s ¸˜ ¤ do que a repuls˜ o eletrost´ tica entre as duas cargas seja a a i m´ xima? a sen ‰ ´ Tµ © # ·¶ £ „ ƒ´ © ¡ A magnitude da repuls˜ o entre e a D{¤ s s e ´ ¸ Œg Por outro lado, a forca eletrost´ tica de repuls˜ o entre as ¸ a a cargas e dada por ´ VD{y% wv t $# s5s ¤ u © ¤x Q ¤ A condicao para que seja m´ xima em relacao a e que ¸˜ a ¸˜ ´ # s ¤ s„ w t $# vu © sejam satisfeitas simultaneamente as equacoes ¸˜ Q Igualando-se as duas express˜ es para o # e resolvendo ° ¤° para , encontramos que „ (€© s # ° y! e (! {¤ # s ° ± ¹ £¤ v u © X 7 w ig s w u ¿i„ A primeira condicao produz ¸˜ ¸ Q ° ° W€© ¤ x ™¤ t © ³ ¤ Dƒf¤ }s ° ¤ x wv u t © s # ° y ! s w vu s s ² (b) As duas cargas possuem o mesmo sinal. Portanto, Q Q da express˜ o acima para , obtemos a „ i €8s ‡ cuja solucao e ¸˜ ´ . ¤ © Como a segunda derivada e sempre menor que zero, ´ ¸Œg Q wu X „ Àfs v › © © t q› rc 320 Á ! ¸˜ i l¬s a solucao encontrada, ¤ © , produzir´ a forca a ¸ £ © t › ec ED0 4 ! C m´ xima. a ¢ t › i ™fs Observe que a resposta do problema e ¤ © ´ e n˜ o a © nC . s ™$¤ © http://www.if.ufrgs.br/ jgallas   P´ gina 7 de 11 a
  • 8. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` P 23-20 sendo, por exemplo, positivo. O peso exerce uma forca¸ No problema anterior, cujas esferas s˜ o condutoras (a) a para baixo de magnitude , a uma distˆ ncia a Ë i ”e„ £ a partir do mancal. Pela convencao acima, seu torque ¸˜ O que acontecer´ ap´ s uma delas ser descarregada? Ex- a o tamb´ m e positivo. A carga e ´ a direita exerce uma ` ¤ plique sua resposta. (b) Calcule a nova separacao de equil´brio das bolas. ı ¸˜ forca para cima de magnitude ¸ ,a 5 ¤ Ì i s yˆ5 Î Q ru t qi A% ¤ % j Í ¡ uma distˆ ncia a i £ do mancal. Seu torque e negativo. ´ (a) Quando uma das bolas for descarregada n˜ o po- a Para que n˜ o haja rotacao, os torque sacima devem a ¸˜ der´ mais haver repuls˜ o Coulombiana entre as bolas e, a a anular-se, ou seja consequentemente, as bolas cair˜ o sob acao do campo a ¸˜ gravitacional at´ se tocarem. Ao entrarem em contato, a e W™© £ rj t w £ œEÏ” £ ¤ Ì s rj u t ! ¤s u ¤Ì „u Ë ¤ carga que estava originalmente numa das bolas ir´ se s a Q Q repartir igualmente entre ambas bolas que, ent˜ o, por es- Portanto, resolvendo-se para , obtemos a „ tarem novamente ambas carregadas, passar˜ o a repelir- a se at´ atingir uma nova separacao de equil´brio, digamos e ¸˜ ı q . I„ w ¤ $Ë rj t Ðu £ i„ ¤ s Ì Q u © (b) A nova separacao de equil´brio pode ser calculada ¸˜ ı q e„ usando-se : i BeÂs s ©q (b) A forca l´quida na barra anula-se. Denotando-se por ¸ ı a magnitude da forca para cima exercida pelo mancal, ¸ « cm ent˜ o a ˆÈ E¤Æ Ž Ç É¯ Ê ¹ £ ¤ qw u © X V7 w Œg Ä5Â'su % é q „ X V7 t u ¹ X ¹7 £ wÅu u vs W€© s Ì rj u t ¤ Ì s rj u t ¥Ë ! ¤¤ ¤ ¸ Qv w w ¸ig Q Q Q © X V7 t u ¹ m ! We0 g ! Quando a barra n˜ o exerce nenhuma forca, temos a ¸ ¸ © Ñ« w . Neste caso, a express˜ o acima, fornece-nos facilmen- ! a © !ED`nWY 0 m ¤c te que © nWY cm ‡ ¢ © ŒÌ s Ë Y rj u t ¤ ´ E poss´vel determinar o valor da tens˜ o no fio de se- ı a Q da? ¢ Observe que e essencial usar sempre um valor po- ´ sitivo para o braco de alavanca, para n˜ o se inverter o ¸ a P 23-21 sentido do torque. Neste problema, o braco de alavanca ¸ A Fig. 23-17 mostra uma longa barra n˜ o condutora, de a positivo e ´ a i œ„ , e n˜ o £ ! D™ i £ „ massa desprez´vel e comprimento , presa por um pi- ı £ no no seu centro e equilibrada com um peso a uma Ë a „ ´ distˆ ncia de sua extremidade esquerda. Nas extremi- 23.2.2 A Carga e Quantizada dades esquerda e direita da barra s˜ o colocadas peque- a nas esferas condutoras com cargas positivas e , res- E 23-24 s s pectivamente. A uma distˆ ncia diretamente abaixo de a Ì cada uma dessas cargas est´ fixada uma esfera com uma Qual e a carga total em Coulombs de a ´ g… kg de el´ trons? e carga positiva . (a) Determine a distˆ ncia quando a ¤ a „ ¡ ¨ A massa do el´ tron e e ´ kg de ma- barra est´ horizontal e equilibrada. (b) Qual valor deve- neira que a quantidade de el´ trons em a e ¨ g … 7 Xe© cW!EC nWÒg 0 ) © kg e ´ ria ter para que a barra n˜ o exercesse nenhuma forca Ì a ¸ sobre o mancal na situacao horizontal e equilibrada? ¸˜ g… 7 X 32¥Y (€© 7 ec 32‘() © g Ï« ! 0 © el´ trons e ¡ (a) Como a barra esta em equil´brio, a forca l´quida ı ¸ ı X ! 0 sobre ela e zero e o torque em relacao a qualquer ponto Portanto, a carga total e ´ ¸˜ ´ tamb´ m e zero. Para resolver o problema, vamos escre- e ´ ver a express˜ o para o torque l´quido no mancal, iguala- a ı ÓF$fs © « © 5 4 7 c 321 A65 7 X ED¥hW'8 ! 0 ! % ! 0 Y % la a zero e resolver para . „ A carga a esquerda exerce uma forca para cima ` ¸ ¤ © X 7 32ƒ Y f ! 0 C de magnitude 5 ¤ Ì i 's65 ˆQ rt Wi V% i ¤ % Î ju Í , localizada a uma distˆ ncia a do mancal. Considere seu torque como £ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas   P´ gina 8 de 11 a