Cap231. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17
`
Exerc´cios Resolvidos de Teoria Eletromagn´ tica
ı e
Jason Alfredo Carlson Gallas
Professor Titular de F´sica Te´ rica
ı o
Doutor em F´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
ı
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de F´sica
ı
Mat´ ria para a PRIMEIRA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livro
e ¸˜ ¸˜
“Fundamentos de F´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
ı
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas clicando-se em ‘ENSINO’
Conte´
udo 23.2.1 Lei de Coulomb . . . . . . . . 3
23.2.2 A Carga e Quantizada . .
´ . . . 8
23 Carga El´ trica
e 2 23.2.3 A Carga e Conservada . .
´ . . . 10
23.1 Quest˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 2 23.2.4 As Constantes da F´sica:
ı Um
23.2 Problemas e Exerc´cios . . . . . . . . .
ı 3 Aparte . . . . . . . . . . . . . . 10
Coment´ rios/Sugest˜ es e Erros: favor enviar para
a o jgallas @ if.ufrgs.br
(lista1.tex)
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 1 de 11
a
2. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17
`
23 Carga El´ trica
e
Q 23-3
Uma barra carregada atrai fragmentos de cortica que, as-
¸
sim que a tocam, s˜ o violentamente repelidos. Explique
a
23.1 Quest˜ es
o a causa disto.
¡
Como os dois corpos atraem-se inicialmente, deduzi-
Q 23-1 mos que eles possuem quantidades de cargas com sinais
Sendo dadas duas esferas de metal montadas em supor- diferentes. Ao tocarem-se a quantidade de cargas menor
te port´ til de material isolante, invente um modo de car-
a e equilibrada pelas cargas de sinal oposto. Como a carga
´
reg´ -las com quantidades de cargas iguais e de sinais
a que sobra reparte-se entre os dois corpos, estes passam a
opostos. Vocˆ pode usar uma barra de vidro ativada com
e repelir-se por possuirem, ent˜ o, cargas de mesmo sinal.
a
´
seda, mas ela n˜ o pode tocar as esferas. E necess´ rio
a a ¢ Note que afirmar existir repuls˜ o ap´ s os corpos
a o
que as esferas sejam do mesmo tamanho, para o m´ todo tocarem-se equivale a afirmar ser diferente a quantida-
e
funcionar? de de cargas existente inicialmente em cada corpo.
¡ Um m´ todo simples e usar inducao el´ trost´ tica: ao
e ´ ¸˜ e a
aproximarmos a barra de vidro de qualquer uma das es- Q 23-4
feras quando ambas estiverem em contato iremos indu-
zir (i) na esfera mais pr´ xima, uma mesma carga igual As experiˆ ncias descritas na Seccao 23-2 poderiam ser
o e ¸˜
e oposta a carga da barra e, (ii) na esfera mais afastada,
` explicadas postulando-se quatro tipos de carga, a saber,
uma carga igual e de mesmo sinal que a da barra. Se a do vidro, a da seda, a do pl´ stico e a da pele do animal.
a
separarmos ent˜ o as duas esferas, cada uma delas ir´ fi-
a a Qual e o argumento contra isto?
´
car com cargas de mesma magnitude por´ m com sinais
e ¡
´ a
E f´ cil verificar experimentalmente que os quatro ti-
opostos. Este processo n˜ o depende do raio das esfe- pos ‘novos’ de carga n˜ o poderiam ser diferentes umas
a a
ras. Note, entretanto, que a densidade de cargas sobre das outras. Isto porque e poss´vel separar-se os quatro
´ ı
a superf´cie de cada esfera ap´ s a separacao obviamente tipos de carga em dois pares de duas cargas que s˜ o in-
ı o ¸˜ a
depende do raio das esferas. distingu´veis um do outro, experimentalmente.
ı
Q 23-2
Na quest˜ o anterior, descubra um modo de carregar as Q 23-6
a
esferas com quantidades de carga iguais e de mesmo si- Um isolante carregado pode ser descarregado passando-
nal. Novamente, e necess´ rio que as esferas tenham o o logo acima de uma chama. Explique por quˆ ?
´ a e
mesmo tamanho para o m´ todo a ser usado?
e
¡ ´¡
E que a alta temperatura acima da chama ioniza o ar,
O enunciado do problema anterior n˜ o permite que tornando-o condutor, permitindo o fluxo de cargas.
a
toquemos com o bast˜ o nas esferas. Portanto, repeti-
a
mos a inducao eletrost´ tica descrita no exerc´cio ante-
¸˜ a ı
rior. Por´ m, mantendo sempre a barra pr´ xima de uma Q 23-9
e o
das esferas, removemos a outra, tratando de neutralizar Por que as experiˆ ncias em eletrost´ tica n˜ o funcionam
e a a
a carga sobre ela (por exemplo, aterrando-a). Se afas- bem em dias umidos?
´
tarmos o bast˜ o da esfera e a colocarmos novamente em
a
contato com a esfera cuja carga foi neutralizada, iremos
¡
Em dias umidos existe um excesso de vapor de
´
permitir que a carga possa redistribuir-se homogenea- agua no ar. Conforme ser´ estudado no Cap´tulo 24, a
´ a ı
mente sobre ambas as esferas. Deste modo garantimos mol´ cula de agua,
e ´ §¥£
¦¤ , pertence a classe de mol´ culas
` e
que o sinal das cargas em ambas esferas e o mesmo. Pa- que possui o que se chama de ‘momento de dipolo
´
ra que a magnitude das cargas seja tamb´ m idˆ ntica e el´ trico’, isto e, nestas mol´ culas o centro das cargas
e e ´ e ´ e
a ´
necess´ rio que as esferas tenham o mesmo raio. E que a positivas n˜ o coincide com o centro das cargas nega-
a
densidade superficial comum as duas esferas quando em tivas. Este desequil´brio faz com que tais mol´ culas
` ı e
contato ir´ sofrer alteracoes diferentes em cada esfera, sejam el´ tricamente ativas, podendo ser atraidas por
a ¸˜ e
ap´ s elas serem separadas, caso os raios sejam diferen- superf´cies carregadas, tanto positiva quanto negativa-
o ı
tes. mente. Ao colidirem com superf´cies carregadas, as
ı
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 2 de 11
a
3. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17
`
mol´ culas agem no sentido de neutralizar parte da car- das duas cargas. Como vocˆ poderia testar este fato no
e e
ga na superf´cie, provocando deste modo efeitos inde- laborat´ rio?
ı o
sej´ veis para os experimentos de eletrost´ tica. Isto por-
a a ¡
que n˜ o se tem mais certeza sobre qual a quantidade de
a Estudando de que modo varia a forca necess´ ria para
¸ a
carga que realmente se encontra sobre a superf´cie.
ı levar-se cargas de distintos valores at´ uma distˆ ncia ,
e a ¨
constante, de uma outra carga fixa no espaco.
¸
Q 23-13
Q 23-18
Uma pessoa em p´ sobre um banco isolado toca um con-
e
dutor tamb´ m isolado, mas carregado. Haver´ descarga Um el´ tron (carga
e a e ) gira ao redor de um n´ cleo
©
u
completa do condutor? (carga ) de um atomo de h´ lio. Qual das
©
´ e
¡ part´culas exerce maior forca sobre a outra?
ı ¸
N˜ o. Haver´ apenas uma redistribuicao da carga entre
a a ¸˜
o condutor e a pessoa. ¡
Se realmente vocˆ n˜ o souber a resposta correta, ou
e a
faz e entende o Exerc´cio E 23-2 ou tranca o curso bem
ı
Q 23-14 r´ pido!
a
(a) Uma barra de vidro positivamente carregada atrai um
objeto suspenso. Podemos concluir que o objeto est´ Q 23-15 extra A forca el´ trica que uma carga exerce
a ¸ e
carregado negativamente? (b) A mesma barra carregada sobre outra se altera ao aproximarmos delas outras car-
positivamente repele o objeto suspenso. Podemos con- gas?
cluir que o objeto est´ positivamente carregado?
a ¡
A forca entre duas cargas quaisquer depende unica
¸ ´
¡
(a) N˜ o. Poder´amos estar lidando com um objeto
a ı e exclusivamente das grandezas que aparecem na ex-
neutro por´ m met´ lico, sobre o qual seria poss´vel in- press˜ o matem´ tica da lei de Coulomb. Portanto, e f´ cil
e a ı a a ´ a
duzir uma carga, que passaria ent˜ o a ser atraido pela
a concluir-se que a forca pre-existente entre um par de car-
¸
barra. (b) Sim, pois n˜ o se pode induzir carga de mes- gas jamais poder´ depender da aproximacao de uma ou
a a ¸˜
mo sinal. mais cargas. Observe, entretanto, que a ‘novidade’ que
resulta da aproximacao de cargas extras e que a forca
¸˜ ´ ¸
Q 23-16 resultante sobre cada carga pre-existente poder´ alterar-
a
Teria feito alguma diferenca significativa se Benjamin se, podendo tal resultante ser facilmente determinada
¸
Franklin tivesse chamado os el´ trons de positivos e os com o princ´pio de superposicao.
e ı ¸˜
pr´ tons de negativos?
o
¡
N˜ o. Tais nomes s˜ o apenas uma quest˜ o de
a a a
convencao.
¸˜
¢ Na terceira edicao do livro, afirmava-se que Fran-
¸˜ 23.2 Problemas e Exerc´cios
ı
klin, al´ m de ‘positivo’ e ‘negativo’, haveria introdu-
e
zido tamb´ m as denominacoes ‘bateria’ e ‘carga’. Na
e ¸˜ 23.2.1 Lei de Coulomb
quarta edicao a coisa j´ mudou de figura... Eu tenho a
¸˜ a
impress˜ o que ‘positivo’ e ‘negativo’ devem ser ante-
a
E 23-1
riores a Franklin mas n˜ o consegui localizar referˆ ncias
a e
Qual seria a forca eletrost´ tica entre duas cargas de
¸ a
adequadas. O qu´mico francˆ s Charles Francois de Cis-
ı e ¸
Coulomb separadas por uma distˆ ncia de (a)
a m e (b)
!
ternay Du Fay (1698-1739), descobriu a existˆ ncia de
e
!
km se tal configuracao pudesse ser estabelecida?
¸˜
dois “tipos de eletricidade”: vitrea (do vidro) e resinosa
(da resina). (A3864 321) ('$$# ¡
(a)
7 @ 97 7 5 ! 0 ) % © EDC) (B©
4! 0 ) N.
Por´ m, a quem ser´ que devemos os nomes de cargas
e a (b) P N.
“positivas” e “negativas”? Ofereco uma garrafa de boa
¸ @ VITERH64 32¥) ('GF#
U7 S 9 Q 77 5 ! 0 ) % © ED¥) ) WB©
X! 0
champanha a quem por primeiro me mostrar a solucao ¸˜
deste puzzle! E 23-2
Uma carga puntiforme de C dista
3 cm
eWEba! W`
dc! 0 Y
Q 23-17
de uma segunda carga puntiforme de rqEpihg f
d c! 0 C.
A Lei de Coulomb prevˆ que a forca exercida por uma Calcular o m´ dulo da forca eletrost´ tica que atua sobre
e ¸ o ¸ a
carga puntiforme sobre outra e proporcional ao produto cada carga.
´
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 3 de 11
a
4. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17
`
¡
De acordo com a terceira Lei de Newton, a forca que
¸ rc ED¥ ) t ©
f ! 0 kg
uma carga exerce sobre outra carga e igual em
´
7s ¤ 6s
m´ dulo e de sentido contr´ rio a forca que a carga
o a ` ¸ (b) Como temos ¤ 6s g © ¤ x ru t 3¤ s ©
7 h 7 pk5 Q % ™$#
j i segue que
exerce sobre a carga . O valor desta forca e dado pela
¸ ´
7s
Eq. 23-4. Conforme a convencao do livro, usamos aqui
¸˜ © ls rt fx
ju m
os m´ dulos das cargas. Portanto
o
7h7 gQ
‡
¤ s 7 s w t © 5 … %ˆ5 frc ED1Y W'% 0 ec 32ChWY
! 0 X ! 0
# © ¤x vu 4 ED1)
! 0
Q
© 6drcqED0¥hg A66deWED01'Y% 5 4 ED¥) ) Wy%
5 ! %5 c !
¤ 5 ¤ c ED¥3V% ! 0 © C o7 c 32n …
7 ! 0
! 0
© N ( W
E 23-7
Duas esferas condutoras idˆ nticas e isoladas, e , pos-
e
E 23-3
suem quantidades iguais de carga e est˜ o separadas por
a
Qual deve ser a distˆ ncia entre duas cargas puntiformes uma distˆ ncia grande comparada com seus diˆ metros
a a a
۩ 7 s
‚ Ce ‚ †t „ƒ6s
… © ¤
C para que o m´ dulo da forca (Fig. 23-13a). A forca eletrost´ tica que atua sobre a es-
o
… qg ¸ ¸ a
eletrost´ tica entre elas seja de
a N? fera devida a esfera e . Suponha agora que uma
´ p
¡ terceira esfera idˆ ntica , dotada de um suporte isolan-
e Y
‡
te e inicialmente descarregada, toque primeiro a esfera
© ¨ 5 rc 320 qt ˆ5 ec ED1y65 4 32¥) ('%
d ! … % d ! … 0 % ! 0 ) (Fig. 23-13b), depois a esfera (Fig.. 23-13c) e, em
qg seguida, seja afastada (Fig. 23-13d). Em termos de , p
‰ metros t
qual e a forca
´
¸ que atua agora sobre a esfera ? q rp
¡
Chamemos de a carga inicial sobre as esferas e s
. Ap´ s ser tocada pela esfera , a esfera ret´ m uma
o e Y
E 23-4
Na descarga de um relˆ mpago t´pico, uma corrente de
a ı
carga igual a . Ap´ s ser tocada pela esfera , a esfera
o is Yi i
t i s Y$©1 5 sƒ's%
ir´ ficar com uma carga igual a
a . s
31hgq
‘! 0 Amp` res flui durante
e s. Que quantidade
‚ `!
Portanto, teremos em m´ duloo
de carga e transferida pelo relˆ mpago? [Note: Amp` re e
´ a e ´
a unidade de corrente no SI; est´ definida na Seccao 28-
a ¸˜
2 do livro; mas o cap´tulo 23 fornece meios de resolver
ı
y v# Y © ¤ xt Y © w s t Y u ws v™© q #
s w u t
o problema proposto.]
¡ onde e uma constante (que envolve
´ bem como a
j ru t t
Usamos a Eq. (23-3): Q
distˆ ncia fixa entre as esferas e , mas que n˜ o vem ao
a a
hgW™˜5 ec ED1—ˆ5 ‘ ED¥g Wy„–”€’¨ C
! © d ! 0 ! % ! 0 % © • ¨ “ © scaso aqui) e representa o m´ dulo de .
o p ¤ 1{F#
s t z
¢ Tal carga e grande ou pequena? Compare com as car- P 23-8
´
gas dadas nos Exemplos resolvidos do livro. Trˆ s part´culas carregadas, localizadas sobre uma linha
e ı
E 23-5 reta, est˜ o separadas pela distˆ ncia (como mostra a
a a ¨
Fig. 23-14). As cargas e s˜ o mantidas fixas. A
a ¤ 6s 7 s
Duas part´culas igualmente carregadas, mantidas a uma carga , que est´ livre para mover-se, encontra-se em
ı a
distˆ ncia
a eq3€d (Y
Xc! 0 ı ¸ a ı
Xs
m uma da outra, s˜ o largadas a equil´brio (nenhuma forca eletrost´ tica l´quida atua so-
a
partir do repouso. O m´ dulo da aceleracao inicial da bre ela). Determine em termos de .
o ¸˜
primeira part´cula e de
ı ´ ! … ¤
m/s e o da segunda e de
´ ¡ ! W)
7s ¤s
¤
m/s . Sabendo-se que a massa da primeira part´cula va-
ı Chame de a forca sobre devida a carga . Ob-
¸ | }# Xs | 6s
le Kg, quais s˜ o: (a) a massa da segunda servando a figura, podemos ver que como
fecWEB0eY W
! a est´ em
a
Xs#
part´cula? (b) o m´ dulo da carga comum?
ı o equil´brio devemos ter
ı . As forcas
¸ e tˆ m
e ¤ ™© 7 #
# ¤#
m´ dulos iguais mas sentidos opostos, logo, e tem
o
7
¡
(a) Usando a terceira lei de Newton temos © W67 g
sinais opostos. Abreviando-se
7h , temos 5Q 7 wsv u t % i €~
©
¤s
¤h¤ g , de modo que ent˜ o
a
… s s
© qh 7 €ƒeg
7¤ g © ¤ ) 0 rc 321Y W
f ! 0 © 7 # ¤ X †7¨ y% ~
5
h
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 4 de 11
a
5. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17
`
}#
© ¤ X ¤s ¤ s ~ r u ¤ s w u t
¨ © w m ¤ h Qv
Substituindo estes valores na equacao ¸˜ , obte- }H© 7 #
¤# N © t ! W
!
mos 6 ‚s t ƒ‚ 7 ‚s
‚¤ © . Como as cargas devem ter sinais
opostos, podemos escrever 6s t $© 7 s
, que e a resposta
´¤
procurada. P 23-12
Observe que o sinal da carga permanece totalmente
¤ Es
arbitr´ rio.
a Duas esferas condutoras idˆ nticas, mantidas fixas,
e
atraem-se com uma forca eletrost´ tica de m´ dulo igual
¸ a o
P 23-10 a N quando separadas por uma distˆ ncia de
a
EnW!
! ! W! g
cm. As esferas s˜ o ent˜ o ligadas por um fio condutor
a a
Na Fig. 23-15, quais s˜ o as componentes horizontal e
a
fino. Quando o fio e removido, as esferas se repelem
´
vertical da forca eletrost´ tica resultante que atua sobre
¸ a
com uma forca eletrost´ tica de m´ dulo igual a
¸ a o N. Y ! W!
a carga do v´ rtice esquerdo inferior do quadrado, sendo
e
Quais eram as cargas iniciais das esferas?
eWED1! $fs
fc! 0 © Ce cm? ! q{© h
g
¡ ¡
Sejam e as cargas originais que desejamos cal- ¤s 7s
Primeiro, escolhemos um sistema de coordenadas x
cular, separadas duma distˆ ncia . Escolhamos um sis-
a
com a origem coincidente com a carga no canto esquer-
tema de coordenadas de modo que a forca sobre
¸ e
´ ¤s
do, com o eixo horizontal e eixo vertical, como de
„ …
positiva se ela for repelida por . Neste caso a magni-
costume. A forca exercida pela carga
¸ na carga s¸
` s
tude da forca ‘inicial’ sobre e ´
7 s 6s¤
e
´
© 7 p ˆ§‡A% —¤ 6`—% w t
5† 5s %5s v u y ¤ s¤ 7 x s w u t F© | #
v
h Q Q
A forca exercida por
¸ sobre
s e
´ s onde o sinal negativo indica que as esferas se atraem.
Em outras palavras, o sinal negativo indica que o pro-
‰rp
© ¤ †Œ ‹ u —6A% w t
5 s %5 s v u duto| # ¤ x Q wu t •”Es 7 s
v © ¤ e negativo, pois a forca ,
´ ¸ |#
w mŠ ¤5 m% , e forca de atracao.
´ ¸ ¸˜
’! ˜| y%
5 – #
© † h Š u ¤ s Q w t
w m m ¤ vu Como as esferas s˜ o idˆ nticas, ap´ s o fio haver sido co-
a e o
nectado ambas ter˜ o uma mesma carga sobre elas, de
a
h Q valor i 362 7 's%
5¤s . Neste caso a forca de repuls˜ o ‘final’
¸ a
Finalmente, a forca exercida por
¸ s ƒ
s sobre e
´ e dada por
´
¤5¤s
© X p 5 Š A% ˆƒV% w u t
5 s %¤ 5 s v E6b t 7 's% w u t C˜#
¤x v © —
h ¤ t Q Q
Das duas express˜ es acima tiramos a soma e o produto
o
© ˆ5 Š % 5 ¤ s % w u t
v de e , ou seja ¤ 6s 7 s
h Q
Portanto, a magnitude da componente horizontal da
© | # ¤ x Q vwu t $©™¤6s 7 s EnW'!% ¤ g ('!%
5! 5
forca resultante e dada por
¸ ´ 4 321)
! 0
© }#
Ž Ž X `}ƒŽ 7 #
# Ž¤ # © ¤ ¤ 7 c ED1
! 0 Y C
t ƒ! u ¤ s w t e
© w m ¤ h Qv u ‡
t u rqEDf 5 4 ED¥) ) Wy%
f c! 0 © — V5 Q wu t % t qx © ¤ b 7 s
# v š s 5’ Y ! Wy% t g ('!¥›
! 5 %
© w m ¤ c ED¥g ! 0
! 0 4 32¥)
! 0
© N y … ‘(!
© rc ED¥› C
d ! 0
enquanto que a magnitude da componente vertical e da- Conhecendo-se a soma e o produto de dois n´ meros,
´ u
da por conhecemos na verdade os coeficientes da equacao do
¸˜
segundo grau que define estes n´ meros, ou seja,
u
“”#
© ’ ’ X b}br’ 7 #
# ’¤ #
Es 7 b¥A3E 7 'sp ¤ BkEEDiž„65 7 œ'„%
¤ s „5¤s % „ © 5¤s % s
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 5 de 11
a
6. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17
`
Dito de outra forma, se substituirmos carga seja positiva). Por outro lado, a terceira carga deve
i ¤ ! 0 % © ¤ ser negativa pois, se ela fosse positiva, as cargas s `
7 s 5 7 c ED1'Y8F`6s —%
5Ÿ e st
n˜ o poderiam ficar em equil´brio, pois as forcas
a ı ¸
sobre elas seriam somente repulsivas. Vamos designar a
na equacao da soma acima temos duas possibilidades:
¸˜
terceira carga por , sendo maior que zero. Seja
¤ ƒ ¤ „
¤ c! 0 a distˆ ncia entre
a e . Para que a carga
ƒ `
¤ s esteja ¤ ƒ
y rc 32CD{© 7 WED1! (Y 7 s
d ! 0 ’y%
5 em equil´brio, o m´ dulo da forca que
ı o ¸ exerce sobre s `
7s ¤ ƒ deve ser igual ao m´ dulo da forca que
o ¸ exerce st
ou ¤ c! 0 sobre . Portanto,
¤ ƒ
rc 32C¡$© 7 WED1! (Y 7 s
d ! 0 ’’' %
5 Vs t % wv u t © s wv u t
¤5 ¤
7s ¤ 5r2y%
„ £ Q ¤„
Considerando-se a Eq. , temos Q
yW€© ¤ 7 c 321 7 s rc ED¥ ¤7 s
! ! 0 Y d ! 0 ou seja
¤ „ t © ¤ r2y%
5„ £
de onde tiramos as duas solucoes
¸˜
As solucoes da equacao do segundo grau s˜ o
¸˜ ¸˜ a e £
¤ ! 0 Y t ¤ d ! 0 ¢ › dc! 0 Yi £, sendo que apenas esta ultima solucao e fisicamente
´ ¸˜ ´
© 7s 5 7 c 32¥y% 5 ec 3 2¥—% ™˜eWED¥ƒ aceit´ vel.
a
Para determinar o m´ dulo de , use a condicao de
o ¸˜ ¤
O sinal fornece-nos equil´brio duas cargas do sistema. Por exemplo, para
ı
que a carga esteja em equil´brio, o m´ dulo da forca
s ` ı o ¸
y rc ED1F`6s C
d ! 0 Y © ¤ e ec EDf$©
d ! 0 C
7s que ¤ exerce sobre
ƒ deve igualar a m´ dulo da forca
s ` o ¸
enquanto que o sinal fornece-nos
de st
sobre : s `
y rc EDf„© ¤ s
d ! 0 C e
ec ED1$©
d ! 0 Y C © ¤ „ s w u t
¤ v s5 t v u
As £ % w t
7s Q
¤
Q
onde usamos a Eq. (*) acima para calcular a partir de
¤s Dai tiramos que que, para
t ¥¤
„§s © , ¤ £i¤ Y i €¦„
£ ©
.
7s
Repetindo-se a an´ lise a partir da Eq.
a ’ percebemos
fornece o valor procurado:
que existe outro par de solucoes poss´vel, uma vez que
¸˜ ı
t
revertendo-se os sinais das cargas, as forcas permane-
¸ © $¤ †s )
cem as mesmas:
(b) O equil´brio e inst´ vel; esta conclus˜ o pode ser pro-
ı ´ a a
ec EDff$© 7 s
d ! 0 C e C
y rc ED1™ƒ6s
d ! 0 Y © ¤
vada analiticamente ou, de modo mais simples, pode ser
verificada acompanhando-se o seguinte racioc´nio. Um
ı
ou
pequeno deslocamento da carga de sua posicao de
¸˜ ¤ ƒ
C
ec ED1۩ 7 s
d ! 0 Y e C equil´brio (para a esquerda ou para a direita) produz uma
ı
rc EDffF© ¤ s
d ! 0
forca resultante orientada para esquerda ou para a direi-
¸
ta.
P 23-15 P 23-16
Duas cargas puntiformes livres e s t `
est˜ o a uma
a s (a) Que cargas positivas iguais teriam de ser colocadas
distˆ ncia uma da outra. Uma terceira carga e, ent˜ o,
a £ ´ a na Terra e na Lua para neutralizar a atracao gravitacio-
¸˜
colocada de tal modo que todo o sistema fica em ´
nal entre elas? E necess´ rio conhecer a distˆ ncia entre a
a a
equil´brio. (a) Determine a posicao, o m´ dulo e o sinal
ı ¸˜ o Terra e a Lua para resolver este problema? Explique. (b)
da terceira carga. (b) Mostre que o equil´brio e inst´ vel.
ı ´ a Quantos quilogramas de hidrogˆ nio seriam necess´ rios
e a
¡ (a) A terceira carga deve estar situada sobre a linha para fornecer a carga positiva calculada no item (a)?
que une a carga com a carga
s ` st
. Somente quan- ¡
(a) A igualdade das forcas envolvidas fornece a se-
¸
do a terceira carga estiver situada nesta posicao, ser´ guinte express˜ o:
¸˜ a a }H§
ª ¨© ¨
poss´vel obter uma resultante nula, pois, em qualquer
ı
outra situacao, as forcas ser˜ o de atracao (caso a ter-
¸˜ ¸ a ¸˜ ¤
ceira carga seja negativa) ou de repuls˜ o (caso a terceira
a ¤x y ¤ sx w u t ©
v
Q
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 6 de 11
a
7. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17
`
© ¨ ª ¨
onde e a massa da Terra e
´ a massa da Lua. Por-
tanto, usando-se as constantes fornecidas no Apˆ ndice
e P 23-19
C, temos
§ ”¨
ª ¨©
v wu t Duas pequenas esferas condutoras de massa est˜ o
a g
¢ 8s
© Q X 7 ED0 … W™©
! g C
suspensas por um fio de seda de comprimento e pos- £
x suem a mesma carga , conforme e mostrado na figura
´ s
Como foi poss´vel eliminar entre os dois membros da abaixo. Considerando que o angulo e t˜ o pequeno que
ı ˆ ´ a ´
equacao inicial, vemos claramente n˜ o ser necess´ rio
¸˜ a
x a ´ Tµ
·¶
possa ser substituida por sen : (a) mostre que ´
conhecer-se o valor de . para esta aproximacao no equil´brio teremos:
¸˜ ı
(b) Um atomo de hidrogˆ nio contribui com uma carga
´ e ¤s
positiva de C. Portanto, o n´ mero
4 7 WE€d
c! 0 u de « y X 7 w ig £ wu u a„
¹
¸ Qv ©
atomos de hidrogˆ nio necess´ rios para se igualar a car-
´ e a
ga do item (a) e dado por
´ onde e a distˆ ncia entre as esferas. (b) Sendo
´ a „ ! 3Fb£
©
cm, ge cm, quanto vale ?
! … ©
¤ X 32¥hgW€© X 7 ED0 Wg ¬«
! 0 Y 4 7 c 32¥ C ¡
E$ºg
! © ! q{i„
g © s
! 0 (a) Chamando de a tens˜ o em cada um dos fios e
a »
¨ de o m´ dulo da forca eletrost´ tica que atua sobre cada
o ¸ a #
Portanto, a massa de hidrogˆ nio necess´ ria e simples- uma das bolas temos, para que haja equil´brio:
e a ´ ı
mente , onde® eg e a massa de um atomo
´ e¦©
® g « ´
de hidrogˆ nio (em kilogramas) [veja o valor da unidade
e
de massa unificada no Apˆ ndice B, p´ g. 321]
¨ e a sen © ´ » #
© 5 f ¤ c ED0f’! Aˆ5 … ! ! A65 ¤ X ED¥hgW'Y%
! g % % ! 0 © Wˆº»
´¾½¼ e¸ig
© Kg ¯ 321) qg
! 0 Dividindo membro a membro as duas relacoes anterio-
¸˜
res, encontramos:
P 23-18 i# g ƒ´ Tµ
¸ ©
·¶
Uma carga e dividida em duas partes e
´ ¤ , que F¤ s
s
s˜ o, a seguir, afastadas por uma certa distˆ ncia entre si. Como
a a e um angulo pequeno, podemos usar a
´ ˆ ´
Qual deve ser o valor de em termos de , de mo- aproximacao
s ¸˜ ¤
do que a repuls˜ o eletrost´ tica entre as duas cargas seja
a a i
m´ xima?
a sen ‰ ´ Tµ © #
·¶ £ „ ƒ´
©
¡ A magnitude da repuls˜ o entre e
a D{¤ s
s e
´
¸ Œg
Por outro lado, a forca eletrost´ tica de repuls˜ o entre as
¸ a a
cargas e dada por
´
VD{y% wv t $#
s5s ¤ u ©
¤x
Q ¤
A condicao para que seja m´ xima em relacao a e que
¸˜ a ¸˜ ´ # s ¤ s„ w t $#
vu ©
sejam satisfeitas simultaneamente as equacoes
¸˜ Q
Igualando-se as duas express˜ es para
o # e resolvendo
° ¤° para , encontramos que
„
(€© s # °
y! e (! {¤ # s °
±
¹ £¤ v u ©
X 7 w ig s w u ¿i„
A primeira condicao produz
¸˜ ¸ Q
° °
W€© ¤ x ™¤ t © ³ ¤ Dƒf¤ }s ° ¤ x wv u t © s # °
y ! s w vu s s ² (b) As duas cargas possuem o mesmo sinal. Portanto,
Q Q da express˜ o acima para , obtemos
a „
i €8s ‡
cuja solucao e
¸˜ ´ . ¤ ©
Como a segunda derivada e sempre menor que zero,
´
¸Œg Q wu X „ Àfs
v
› © © t q›
rc 320
Á !
¸˜ i l¬s
a solucao encontrada, ¤ © , produzir´ a forca
a ¸ £
© t › ec ED0
4 ! C
m´ xima.
a
¢ t ›
i ™fs
Observe que a resposta do problema e
¤ © ´ e n˜ o
a © nC
. s ™$¤
©
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 7 de 11
a
8. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17
`
P 23-20 sendo, por exemplo, positivo. O peso exerce uma forca¸
No problema anterior, cujas esferas s˜ o condutoras (a)
a
para baixo de magnitude , a uma distˆ ncia
a Ë i ”e„
£
a partir do mancal. Pela convencao acima, seu torque
¸˜
O que acontecer´ ap´ s uma delas ser descarregada? Ex-
a o
tamb´ m e positivo. A carga
e ´ a direita exerce uma
` ¤
plique sua resposta. (b) Calcule a nova separacao de
equil´brio das bolas.
ı
¸˜
forca para cima de magnitude
¸ ,a 5 ¤ Ì i s yˆ5 Î Q ru t qi A%
¤ % j Í
¡ uma distˆ ncia
a i £
do mancal. Seu torque e negativo.
´
(a) Quando uma das bolas for descarregada n˜ o po-
a Para que n˜ o haja rotacao, os torque sacima devem
a ¸˜
der´ mais haver repuls˜ o Coulombiana entre as bolas e,
a a anular-se, ou seja
consequentemente, as bolas cair˜ o sob acao do campo
a ¸˜
gravitacional at´ se tocarem. Ao entrarem em contato, a
e W™© £ rj t w £ œEÏ” £ ¤ Ì s rj u t
! ¤s u
¤Ì „u Ë ¤
carga que estava originalmente numa das bolas ir´ se
s a Q Q
repartir igualmente entre ambas bolas que, ent˜ o, por es- Portanto, resolvendo-se para , obtemos
a „
tarem novamente ambas carregadas, passar˜ o a repelir-
a
se at´ atingir uma nova separacao de equil´brio, digamos
e ¸˜ ı
q .
I„ w ¤ $Ë rj t Ðu £ i„
¤ s
Ì Q u ©
(b) A nova separacao de equil´brio pode ser calculada
¸˜ ı q e„
usando-se : i BeÂs
s ©q (b) A forca l´quida na barra anula-se. Denotando-se por
¸ ı
a magnitude da forca para cima exercida pelo mancal,
¸ «
cm ent˜ o
a ˆÈ E¤Æ Ž Ç
ɯ Ê
¹ £ ¤ qw u
© X V7 w Œg Ä5Â'su % é q „ X V7 t u
¹ X ¹7 £ wÅu u vs W€© s Ì rj u t ¤ Ì s rj u t ¥Ë
! ¤¤ ¤
¸ Qv w w ¸ig Q Q Q
© X V7 t u
¹ m ! We0
g ! Quando a barra n˜ o exerce nenhuma forca, temos
a ¸ ¸ © Ñ«
w . Neste caso, a express˜ o acima, fornece-nos facilmen-
! a
© !ED`nWY
0 m
¤c te que
© nWY cm ‡
¢ © ŒÌ s Ë Y rj u t
¤
´
E poss´vel determinar o valor da tens˜ o no fio de se-
ı a Q
da? ¢
Observe que e essencial usar sempre um valor po-
´
sitivo para o braco de alavanca, para n˜ o se inverter o
¸ a
P 23-21
sentido do torque. Neste problema, o braco de alavanca
¸
A Fig. 23-17 mostra uma longa barra n˜ o condutora, de
a positivo e
´ a i œ„
, e n˜ o £ ! D™ i £
„
massa desprez´vel e comprimento , presa por um pi-
ı £
no no seu centro e equilibrada com um peso a uma Ë
a „ ´
distˆ ncia de sua extremidade esquerda. Nas extremi- 23.2.2 A Carga e Quantizada
dades esquerda e direita da barra s˜ o colocadas peque-
a
nas esferas condutoras com cargas positivas e , res- E 23-24 s s
pectivamente. A uma distˆ ncia diretamente abaixo de
a Ì
cada uma dessas cargas est´ fixada uma esfera com uma Qual e a carga total em Coulombs de
a ´ g… kg de el´ trons?
e
carga positiva . (a) Determine a distˆ ncia quando a
¤ a „ ¡ ¨
A massa do el´ tron e
e ´ kg de ma-
barra est´ horizontal e equilibrada. (b) Qual valor deve- neira que a quantidade de el´ trons em
a e ¨ g … 7 Xe© cW!EC nWÒg
0 ) ©
kg e
´
ria ter para que a barra n˜ o exercesse nenhuma forca
Ì a ¸
sobre o mancal na situacao horizontal e equilibrada?
¸˜ g…
7 X 32¥Y (€© 7 ec 32‘() © g Ï«
! 0 © el´ trons
e
¡
(a) Como a barra esta em equil´brio, a forca l´quida
ı ¸ ı
X ! 0
sobre ela e zero e o torque em relacao a qualquer ponto Portanto, a carga total e
´ ¸˜ ´
tamb´ m e zero. Para resolver o problema, vamos escre-
e ´
ver a express˜ o para o torque l´quido no mancal, iguala-
a ı ÓF$fs
© « © 5 4 7 c 321 A65 7 X ED¥hW'8
! 0 ! % ! 0 Y %
la a zero e resolver para . „
A carga a esquerda exerce uma forca para cima
` ¸ ¤ © X 7 32ƒ Y f
! 0 C
de magnitude 5 ¤ Ì i 's65 ˆQ rt Wi V% i
¤ % Î ju Í
, localizada a uma
distˆ ncia
a do mancal. Considere seu torque como £
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 8 de 11
a