ECUACIONES CUADRÁTICAS REY DE REYES TERCERO DE SECUNDARIA

1. Ecuaciones
Cuadráticas
Prof. Fidel Gilberto Maima Lazo
cel.: 973697116
email: fmaima@gmail.com
pág. web: www.fmaima.orgfree.com

2. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado
Una ecuación es de segundo grado, si el mayor exponente
de la incógnita es 2.
Forma general:
Donde:
a, b, c : son coeficientes reales
x : incógnita o variable
002
 acbxax
Una ecuación cuadrática
tiene dos raíces.

3. Métodos de resolución de ecuaciones
cuadráticas
I. Ecuación de la forma:
𝑎𝑥2+c=0
Tiene dos raíces reales, si
−𝑐
𝑎
es un número real positivo.
Ejemplo:
2𝑥2-8=0 → 2𝑥2 =8
𝑥2=4 → 𝑥 = 4
𝑥 = ±2
Luego, C.S.={-2; 2}
II. Ecuación de la forma:
𝑎𝑥2+bx=0
Factorizamos y se aplica el
criterio del producto cero, es
decir, igualamos al factor a
cero y despejamos.
Ejemplo:
4𝑥2 + 12x=0
4𝑥(𝑥 + 3)=0
4𝑥 =0 v x+3=0
x=0 v x=-3
Luego, C.S.={-3; 0}

4. La ecuación de la forma:
Factorizamos por el método del aspa simple, luego igualamos
cada factor a cero.
Ejemplo: Resuelve la ecuación: 5𝑥2
+ 13𝑥 − 6 = 0
Factorizamos por aspa simple:
(x+3)(5x-2) = 0
x+3 = 0 v 5x-2=0
x = -3 v x = 2/5
Luego, C.S. = {-3; 2/5}
Método del aspa simple
002
 acbxax

5. Método de la F.G. o fórmula de Carnot
Dada la siguiente ecuación:
Aplicamos la fórmula general.
002
 acbxax
a
cabb
x
2
42


Ejemplo:
Resuelve la siguiente ecuación:
Tenemos que:
a=2 , b=5 , c=3
Aplicamos la fórmula general:
0352 2
 xx
 
 22
)3(2.455 2

x
4
15
x
4
15
x
1x
2
3
x

6. Discriminante de una ecuación
cuadrática
Está dado por:
𝜟 = 𝒃 𝟐
− 𝟒𝒂𝒄
El Nº de soluciones de una
ecuación de segundo grado
dependerá del SIGNO
delDiscriminante:
Δ> 0 → tiene dos soluciones
reales diferentes.
Δ = 0 → tiene dos soluciones
reales iguales.
Δ< 0 → no tiene soluciones
reales.
Propiedades:
1. Suma de raíces:
2. Producto de raíces:
a
b
xx

 21
a
c
xx  21

7. Reconstrucción de Ecuaciones Cuadráticas
1 si se conocen las raíces:
Si conocemos las raíces
X1 y X2 entonces la
ecuación será:
(X-X1)(X-X2)
2 si se conocen la suma y
producto de raíces :
La ecuación cudratica
sera:
𝒙 𝟐
− 𝑺𝒙 + 𝑷 = 𝟎

8. RAICES PARTICULARES
1 Raíces Simétricas:
Si X1 y X2 son raíces
simétricas se establece
que
X1=m y X2=-m entonces
X1 + X2 = 0
3 Raíz Nula:
Dada la ecuación 𝐚𝒙 𝟐
+
𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 / 𝒂 ≠ 𝟎 si esta
presenta una raíz nula
(x=0) se cumple que C=0
2 Raíces Reciprocas:
Si X1 y X2 son raíces
reciprocas se establece
que
X1=m y X2=1/m entonces
X1 . X2 = 1
4 Raíz Unidad:
Dada la ecuación 𝐚𝒙 𝟐
+
𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 / 𝒂 ≠ 𝟎 si esta
presenta una raíz unidad
(x=1) se cumplirá que
a+b+c=0

9. Ejercicios
1. Resuelve la ecuación por el
método del aspa simple:
x + 3x – 28 = 0
Solución:
Factorizamos por el método
del aspa simple:
x + 3x – 28 = 0
x +7 +7x
x -4 -4x
+3x
(x+7)(x-4)=0
x+7=0 → x=-7
x-4=0 → x=4
C.S. = {-7; 4}
2
2
2. Resuelve la ecuación por el
método de la fórmula general:
2x + 5x – 3 = 0
Solución:
Tenemos que: a=2; b=5; c=-3
Reemplazando en la fórmula
general:
𝒙 =
−𝟓 ± 𝟓 𝟐 − 𝟒(𝟐)(−𝟑)
𝟐(𝟐)
𝒙 =
−𝟓 ± 𝟐𝟓 + 𝟐𝟒
𝟒
→ 𝒙
=
−𝟓 ± 𝟕
𝟒
𝒙 𝟏 =
−𝟓+𝟕
𝟒
=
𝟏
𝟐
; 𝒙 𝟐 =
−𝟓−𝟕
𝟒
= −𝟑
2

10. 3. Si la siguiente ecuación
tiene raíces iguales, calcula el
valor de «m».
x + 10x + (2m+1) = 0
Solución:
Tenemos que: a=1; b=10;
c=2m+1
Si tiene raíces iguales, se
cumple que ∆ = 0.
∆ = 𝟏𝟎 𝟐
− 𝟒 𝟏 𝟐𝒎 + 𝟏 = 𝟎
𝟏𝟎𝟎 = 𝟒 𝟐𝒎 + 𝟏
𝟏𝟎𝟎 = 𝟖𝐦 + 𝟒→ m = 12
Rpta.: el valor de «m» es 12.
2
4. La suma de los cuadrados de
dos números consecutivos es
265. calcula el triple del
número mayor.
Solución:
Sean los números
consecutivos: x; x+1.
Por datos del problema:
x + (x+1) = 265
𝐱 𝟐 + 𝐱 𝟐 + 𝟐𝐱 + 𝟏 = 𝟐𝟔𝟓
𝐱 𝟐
+ 𝐱 − 𝟏𝟑𝟐 = 𝟎
𝒙 − 𝟏𝟏 𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎
𝒙 − 𝟏𝟏 = 𝟎 → x = 11 (si)
𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎 → x = -12 (no)
Luego: 3(11+1) = 36
Rpta.: 36.
22

11. Ahora a resolver los ejercicios
Nunca consideres el estudio
como una obligación, sino
como una oportunidad para
penetrar en el bello y
maravilloso mundo del saber