Analiticidad de funciones armónicas

Resultados previos.
Analiticidad de armónicas.
Referencias

Un teorema de funciones armónicas.

Franco Milanese
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Concepción

Franco Milanese Analiticidad de funciones armónicas. . .

Resultados previos.
Referencias

Contenido

1 Resultados previos.
Desigualdad de aproximación de Stirling.
Teorema multinomial y un corolario.
Teorema de estimas de las derivadas.

2 Analiticidad de armónicas.

3 Referencias


Resultados previos. Desigualdad de aproximación de Stirling.
Analiticidad de armónicas. Teorema multinomial y un corolario.
Referencias Teorema de estimas de las derivadas.

Primera desigualdad.
∀n ∈ N : nn e−n < n! ⇔ ∀n ∈ N : nln(n) − n < ln(n!).. (1)




n
ln(n!) = ln(i)
i=1




n
ln(n!) = ln(i)
i=1

n n
ln(i) > ln(s)ds,
i=1 0




n
ln(n!) = ln(i)
i=1

n n
ln(i) > ln(s)ds,
i=1 0

n
ln(n!) > ln(s)ds = nln(n) − n,
0



Teorema multinomial:
Dados n, m ∈ N, {xi }m ⊂ R es válido que:
i=1

n
(x1 + · · · + xm )n = α xα1 · xαm ,
1 m
|α|=m

donde: α ∈ son multíndices y α = .
n
Nm
0
n!
α1 !···αm !

Corolario [3]:
Para todo multíndice α ∈ Nn se tiene que:
0

|α|! ≤ n|α| α!. (2)



Teorema multinomial:
Dados n, m ∈ N, {xi }m ⊂ R es válido que:
i=1

n
(x1 + · · · + xm )n = α xα1 · xαm ,
1 m
|α|=m

donde: α ∈ son multíndices y α = .
n
Nm
0
n!
α1 !···αm !

Corolario [3]:
Para todo multíndice α ∈ Nn se tiene que:
0

|α|! ≤ n|α| α!. (2)

Demostración: En efecto, tenemos que:
|α|! 1
n|α| = (1 + 1 + · · · + 1)|α| = (1, · · · , 1)β > |α|! .
β! α!
β=|α|



Teorema 7 [2]:
Estima de las derivadas. Si u es armónica en U entonces:
1
|Dα u(x0 )| ≤ Ck ||u||L1 (B(x0 ,r)) , (3)
rn+k
para cualquier bola B(x0 , r) ⊂ U y para cualquier multíndice de orden k.
Donde:
1 (2n+1 nk)k
C0 = , Ck = .
α(n) α(n)
Demostración: [2], [1].


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Enunciado.

Teorema 10 [2]:
Si u es armónica en U , entonces es análitica en U .


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Demostración.

Sea u : U ⊂ Rn → R armónica, dado x0 ∈ U , deno r := dist(x0 , ∂U) 0,
puesto U es abierto.


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Demostración.


Ahora, dado x ∈ B(x0 , r/4) ⊂ B(x0 , r) ⊂ U deno:

gx (t) : [0, 1] → R, por gx (t) = u(x0 + t(x − x0 )) = u(wx (t)).


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Demostración.


Ahora, dado x ∈ B(x0 , r/4) ⊂ B(x0 , r) ⊂ U deno:

gx (t) : [0, 1] → R, por gx (t) = u(x0 + t(x − x0 )) = u(wx (t)).

Evidentemente wx (t) := x0 + t(x − x0 ) ∈ B(x0 , r), de esta manera gx
está bien denida y además es suave.


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Considero la serie de Taylor de gx entorno a t = 0:

N (i)
gx (0) i
gx (t) = t + RN (gx , t)
i=0
i!
N
1 i di
= t gx (t)|t=0 + RN (gx , t)
i=0
i! dti


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N (i)
gx (0) i
gx (t) = t + RN (gx , t)
i=0
i!
N
1 i di
= t gx (t)|t=0 + RN (gx , t)
i=0
i! dti
N
1 i di
= t (u ◦ wx )(t)|t=0 + RN (gx , t)
i=0
i! dti


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N (i)
gx (0) i
gx (t) = t + RN (gx , t)
i=0
i!
N
1 i di
= t gx (t)|t=0 + RN (gx , t)
i=0
i! dti
N
1 i di
= t (u ◦ wx )(t)|t=0 + RN (gx , t)
i=0
i! dti

N
1 i
= t Dα u(wx (0))wx (0)α + RN (gx , t)
i=0
i!
|α|=i


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N (i)
gx (0) i
gx (t) = t + RN (gx , t)
i=0
i!
N
1 i di
= t gx (t)|t=0 + RN (gx , t)
i=0
i! dti
N
1 i di
= t (u ◦ wx )(t)|t=0 + RN (gx , t)
i=0
i! dti

N
1 i
= t Dα u(wx (0))wx (0)α + RN (gx , t)
i=0
i!
|α|=i

N
1 i
= t Dα u(x0 )(x − x0 )α + RN (gx , t).
i=0
i!
|α|=i


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Se observa que gx (1) = u(x), entonces:

N
1
u(x) − Dα u(x0 )(x − x0 )α = RN (gx , 1).
i=0
i!
|α|=k


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N
1
u(x) − Dα u(x0 )(x − x0 )α = RN (gx , 1).
i=0
i!
|α|=k

Considerando el resto de Lagrange para al expansión en serie de Taylor de
gx , tenemos que ∃ξ ∈ [0, 1] :


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N
1
u(x) − Dα u(x0 )(x − x0 )α = RN (gx , 1).
i=0
i!
|α|=k

Considerando el resto de Lagrange para al expansión en serie de Taylor de
gx , tenemos que ∃ξ ∈ [0, 1] :

(N )
gx (ξ) N dN 1
RN (gx , 1) = 1 = N gx (ξ) = Dα (x0 +ξ(x−x0 ))(x−x0 )α .
N! dt |α|!
|α|=N


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Veamos que este resto cae cuando N → ∞, en efecto considerando que
x ∈ B(x0 , 2n+2 n3 e ) tenemos que:
r

|Dβ u(x0 )|
|RN (gx , 1)| ≤ |x − x0 ||β| , des. triangular
|β|!
|β|=N


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r

|Dβ u(x0 )|
|β|!
|β|=N
1 (2n+1 n|β|)|β| ||u||L1 (B(x0 ,2r))
≤ |x − x0 ||β| , gracias a 3
β! α(n) rn+|β|
|β|=N


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r

|Dβ u(x0 )|
|β|!
|β|=N
1 (2n+1 n|β|)|β| ||u||L1 (B(x0 ,2r))
≤ |x − x0 ||β| , gracias a 3
β! α(n) rn+|β|
|β|=N

||u||L1 (B(x ,2r) 2(n+1)|β| n|β| |β||β|
= α(n)r n
0
|x − x0 ||β| , reordenando
r|β| β!
|β|=N


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r

|Dβ u(x0 )|
|β|!
|β|=N
1 (2n+1 n|β|)|β| ||u||L1 (B(x0 ,2r))
≤ |x − x0 ||β| , gracias a 3
β! α(n) rn+|β|
|β|=N

||u||L1 (B(x ,2r) 2(n+1)|β| n|β| |β||β|
= α(n)r n
0
r|β| β!
|β|=N

2(n+1)|β| n|β| |β||β|
=: M (u, r, n) |x − x0 ||β| , deno M
r|β| β!
|β|=N


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r

|Dβ u(x0 )|
|β|!
|β|=N
1 (2n+1 n|β|)|β| ||u||L1 (B(x0 ,2r))
≤ |x − x0 ||β| , gracias a 3
β! α(n) rn+|β|
|β|=N

||u||L1 (B(x ,2r) 2(n+1)|β| n|β| |β||β|
= α(n)r n
0
r|β| β!
|β|=N

2(n+1)|β| n|β| |β||β|
=: M (u, r, n) |x − x0 ||β| , deno M
r|β| β!
|β|=N

2(n+1)|β| n|β| e|β| |β|!
≤ M (u, r, n) |x − x0 ||β| , gracias a 1
r|β| β!
|β|=N


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2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!
r|β| β!
|β|=N


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2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!
r|β| β!
|β|=N

|β|
2(n+1) n2 e
= M (u, r, n) |x − x0 ||β| , simplicando
r
|β|=N


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2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!
r|β| β!
|β|=N

|β|
2(n+1) n2 e
r
|β|=N

|β|
2(n+1) n2 e r |β|
≤ M (u, r, n) , restricción sobre |x − x0 |
r 2n+2 n3 e
|β|=N


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2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!
r|β| β!
|β|=N

|β|
2(n+1) n2 e
r
|β|=N

|β|
2(n+1) n2 e r |β|
r 2n+2 n3 e
|β|=N

= M (u, r, n) |β|=N
1 |β|
2n
, simplicando


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2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!
r|β| β!
|β|=N

|β|
2(n+1) n2 e
r
|β|=N

|β|
2(n+1) n2 e r |β|
r 2n+2 n3 e
|β|=N

= M (u, r, n) |β|=N
1 |β|
2n
, simplicando

= M (u, r, n) 1 N
2n |β|=N 1, factorizando


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2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!
r|β| β!
|β|=N

|β|
2(n+1) n2 e
r
|β|=N

|β|
2(n+1) n2 e r |β|
r 2n+2 n3 e
|β|=N

= M (u, r, n) |β|=N
1 |β|
2n
, simplicando

= M (u, r, n) 1 N

≤ M (u, r, n) 1 N
2n
nN , cardinalidad del conjunto


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2(n+1)|β| n|β| e|β| n|β| β!
r|β| β!
|β|=N

|β|
2(n+1) n2 e
r
|β|=N

|β|
2(n+1) n2 e r |β|
r 2n+2 n3 e
|β|=N

= M (u, r, n) |β|=N
1 |β|
2n
, simplicando

= M (u, r, n) 1 N

≤ M (u, r, n) 1 N
2n
nN , cardinalidad del conjunto

= M (u, r, n) 21 −→ 0.
N


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Referencias

Equazioni a derivate parzialli. Metodi, modelli e applicazioni. Salsa S. .
Springer-Verlarg Italia 2010.
Partial Dierential Equations. Evan L.. Graduate studies in
mathemathics AMS 1997.
Partial Dierential Equations. Mikhailov V.P. MIR Publishers,
Moscow 1978.


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