Da sempre la simmetria ha giocato un ruolo fondamentale nello svilppo dei fenomeni naturali e nel modo in cui l'uomo li descrive. Molti corpi che ci circondano sono simmetrici, cioè non cambiano sotto una certa trasformazione geometrica, come una traslazione, una riflessione, una rotazione. Ad esempio il corpo umano e molti degli organismi superiori possiedono una simmetria bilaterale mentre i fiocchi di neve ed le sostanze cristalline come il diamante possiedono simmetrie di rotazione. L'uomo ha da sempre percepito la bellezza della simmetria e ne ha ripetuto le forme nell'arte, nell'architettura, nella musica. Fin dai tempi antichi la filosofia e la scienza hanno riconosciuto nella simmetria un elemento essenziale per la descrizione dei fenomeni naturali, fino a diventare, con Galileo prima e Einstein successivamente, base fondante della nostra comprensione della realtà, principio fondamentale piuttosto che conseguenza accidentale. L'invarianza perde in questo caso la caratteristica meramente geometrica, e si estende a descrivere l'equivalenza di differenti sistemi di riferimento per quanto riguarda la descrizione dei fenomeni naturale. Galileo la usa per dedurre l'impossibilità di dimostrare che la terra è al centro dell'universo; Einstein, per rivoluzionare la nostra concezione del mondo con la sua teoria della relatività. Ma forse il significato più profondo dell'invarianza viene reso esplicito da Emmy Noether, che dimostra come ad ogni simmetria corrisponda direttamente una quantità conservata, cioè che non varia nel tempo. In fondo le leggi fisiche che conosciamo derivano in qualche modo da un principio di simmetria. In questa conferenza, destinata ad un pubblico di non specialisti curiosi di scienza, percorrerò a grandi passi la storia della simmetria, dalle sue realizzazioni nella natura, nell'architettura, e nella musica, al suo ruolo come principio ispiratore dello sviluppo scientifico, e come base fondante della nostra descrizione moderna del mondo fisico.

1. Le simmetrie,
dall’estetica alla scienza
Francesco Forti
INFN e Università di Pisa
Francesco.Forti@pi.infn.it

2. Tetraedro
Fuoco

3. Esaedro
Terra

4. Ottaedro
Aria

5. Icosaedro
Acqua

6. Dodecaedro
L universo

7. Johannes Keplero
(1571 – 1630)

8. Leonardo da Vinci
(1452 – 1519)

9. Scrittura allo specchio

14. Trasformazione
• Regola che associa in maniera univoca
uno stato finale del sistema ad uno stato
iniziale
• Da stati iniziali diversi si arriva a stati finali
diversi
• Rotazioni
• Traslazioni
• Permutazioni

15. Rotazioni

16. Traslazioni

17. Permutazioni
Lettere Palline
tre
ter
rte
ret
etr
ert

18. Gruppo
• Appicando due trasformazioni di
seguito si ottiene un altra
trasformazione (composizione)
• Esiste una trasformazione che
non cambia niente (elemento
neutro)
• Esiste una trasformazione che ci
riporta indietro da dove eravamo Evariste Galois
venuti (inverso) 1811 – 1832

19. Invarianza
• Un sistema è invariante (simmetrico) rispetto ad
un gruppo di trasformazioni se non cambia sotto
l azione di queste trasformazioni
• Esempi di gruppi di trasformazioni
– Riflessione (specchio)
– Traslazioni reticolari
– Traslazioni temporali
– Rotazioni
– Trasformazione di scala
– Permutazioni
– Scambio colore
– ...

20. Maurits Cornelis Escher
1898 – 1972

25. Johann Sebastian Bach
1685 – 1750

29. Amadeus Mozart
1756 – 1791

31. Uso delle simmetrie nella scienza
• Primo metodo:
– Studiare la simmetria delle leggi fisiche o del
sistema sotto esame per trovare la soluzione
del problema
• Principio di simmetria:
– la simmetria degli effetti è almeno
uguale a quella delle cause
Pierre Curie
1859 – 1906

32. Rottura spontanea della simmetria
Matita che cade Domìni magnetici
Meccanismo di Higgs

33. Meccanismo di Higgs
• Il “Vuoto” è in realtà pieno zeppo di campo
Particelle con massa = interazione con Particelle a massa 0 =
Bosone di Higgs à velocità ridotta no interazione con
Bosone di Higgs à
velocità della luce

34. Uso delle simmetrie nella scienza
• Secondo metodo:
– Postulare il significato fisico di certe simmetrie
e dedurre da queste le leggi fisiche
• Eleganza e semplicità
– Le simmetrie postulate rispondono a criteri di
eleganza e semplicità (ma servono a spiegare
gli esperimenti)

35. I giganti delle simmetrie
• Galileo – principio di relatività
– Le leggi fisiche sono invarianti sotto
trasformazioni tra sistemi di riferimento Galileo Galilei
in moto rettilineo uniforme 1564 – 1642
• Einstein – relatività ristretta
– Principio di relatività di Galileo
– La velocità della luce è la stessa in tutti
i sistemi di riferimento
Albert Einstein
1879 – 1955

36. Simmetria e leggi di conservazione
• Teorema di Noether
– Ad ogni simmetria del sistema
corrisponde una quantità
conservata, e viceversa.
• Le leggi di conservazione non
sono accidentali ma sono legate
alla struttura stessa dello spazio
e del tempo
Emmy Noether
Traslazione Traslazione Rotazione 1882 – 1935
temporale spaziale
Energia Quantità di Momento
moto angolare

37. Materia e antimateria
• Antimateria: il mondo a rovescio
– Ogni particella ha una corrispondente
antiparticella, con la stessa massa,
ma carica opposta
• Quale trasformazione trasforma la
materia nell antimateria ?
– Specchio (parità, P)
– Inversione della carica elettrica
(coniugazione di carica, C)
• Le leggi fisiche sono invarianti
sotto questa trasformazione (e
quindi si conserva la materia) ?
– No, l invarianza è solo approssimata

38. Dov è finita l antimateria ?
• Al momento del Big
Bang, materia ed
antimateria esistevano
in quantità uguali
• Oggi, il mondo che
conosciamo è fatto di
materia.
• … ma questa è
un altra storia…

39. Fonti
• H. Weyl, Symmetry , Princeton University
Press, 1983
• J. Rosen, Symmetry discovered , Courier
Dover Publications, 1998
• plato.stanford.edu/entries/symmetry-breaking
• L. Radicati di Brozolo, Simmetria e Invarianze ,
in Enciclopedia del Novecento, Istituto della
enciclopedia italiana, 1990
• D. Hofstädter, Gödel, Escher, Bach, un eterna
ghirlanda brillante , Adelphi, 1988