CINEMÁTICA: BACHILLERATO Y Nivel Cero B (ESPOL)

CINEMATICA
Entender el movimiento es entender la
naturaleza - Leonardo da Vinci

FLORENCIO PINELA - ESPOL 1 06/02/2010 9:34

EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
(VELOCIDAD CONSTANTE)

t = t – t0

v v
x
ORIGEN: Posición Posición
X=0 Inicial Final
X= X0 X= Xf =X
t0 = 0 x=v t tf = t

x – x0 = v t
x = x0 + vt
FLORENCIO PINELA - ESPOL 2 06/02/2010 9:38:45

EL GRÁFICO POSICIÓN TIEMPO: X vs T (VELOCIDAD
t CONSTANTE)
2t 3t
v v v
X
x
2
x 3
x x

t 2t 3t t

EL GRÁFICO POSICIÓN TIEMPO: X vs T (VELOCIDAD
t CONSTANTE)
v v 2t v 3t
X
x
2
x 3
x x

t 2t 3t t

EL GRÁFICO VELOCIDAD TIEMPO: V vs T (VELOCIDAD
t CONSTANTE)
2t 3t
v v v
X
x
2
x 3
v x

t 2t 3t t


EL GRÁFICO POSICIÓN TIEMPO: X vs T (ACELERACIÓN
t CONSTANTE) v
2t 3t

x1 X
x2
x3
x

Aceleración Positiva

t 2t 3t t

EL GRÁFICO POSICIÓN TIEMPO: X vs T (ACELERACIÓN
t CONSTANTE) v
2t 3t

x1 X
x2
x3
x

Aceleración Negativa

t 2t 3t t

EL GRÁFICO VELOCIDAD TIEMPO: V vs T (ACELERACIÓN
CONSTANTE)
t 2t 3t v

x1 X
x2
x3
V

Aceleración Positiva

t 2t 3t t

CONSTANTE)
t 2t 3t

x1 X
x2
x3
V

Aceleración Negativa

t 2t 3t t

CONSTANTE)
t 2t 3t v

x1 X
x2
x3
V
Desplazamiento
Positivo
x = x3 – x2

t 2t 3t t

CONSTANTE)
t 2t 3t v

x1 X
x2
x3
V
Desplazamiento
Aceleración Positiva Negativo
x = x3 – x2
2t 3t t
t


Aceleración
Existe diferencia entre aceleración negativa y desaceleración:
Aceleración Negativa es una aceleración en dirección negativa
definida por el sistema de coordenadas.
Desaceleración ocurre cuando la aceleración es opuesta a la
dirección de la velocidad.

¿Cuál es la aceleración de este vehículo, si el cambio de
velocidad ocurrió en 3 s?

A) 20/3 m/s2 B) – 10/3 m/s2 C) 10/3 m/s2


IMPORTANTE RECORDAR

Si la velocidad y la Su movimiento es
aceleración tienen el ACELERADO;
aumenta su rapidez
mismo sigo

Si la velocidad y la
aceleración tienen Su movimiento es
signo contrario RETARDADO;
disminuye su rapidez


EL CONCEPTO DE
ACELERACIÓN
Siempre que una partícula al cambiar de posición
experimente cambios o variaciones en el vector
velocidad, se dice que la partícula se encuentra
acelerada.

¡Esto significa que si una
partícula realiza una
trayectoria NO
rectilínea, ésta se
encuentra acelerada!


INDICAR CUÁL DE LOS SIGUIENTES OBJETOS
EXPERIMENTA LA MAYOR ACELERACIÓN


Los gráficos representan el movimiento de una partícula en
línea recta en los planos posición-tiempo y velocidad-tiempo.
Para cada uno de los gráficos, ¿cuántas veces la partícula
cambió la dirección de su movimiento?

x v

t t

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5


El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea
recta en el plano posición-tiempo. ¿En qué punto la partícula
experimentó la máxima rapidez?

4
x

3

2 5
t

1

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5


Una partícula parte de la posición indicada a t=0 y se mueve
en trayectoria rectilínea, con velocidad inicial Vo y
aceleración constante a. ¿cómo sería el gráfico de este
movimiento en el plano posición-tiempo y velocidad-tiempo?

a Vo

X=0
x v

t t


LAS ECUACIONES DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON
  ACELERACIÓN CONSTANTE
 v2 v1
a Si, v2 v, v1 vo , y t1 0 v at
t2 t1 v
v vo at
v
El área bajo la curva
representa el at 2 v v vo at
desplazamiento 2
vo
 
 
Desplazamiento vo t
1 2 t
x vot at t
2
v vo
O el área del trapecio. x t
2

LAS ECUACIONES DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON
ACELERACIÓN CONSTANTE. Cont.

Despejando t de esta ecuación y
v vo at remplazándolo en la del desplazamiento

2
at v vo
x vot t
2 a

2 2
v v
o 2a x

CAIDA LIBRE
•En ausencia de la resistencia
producida por el arrastre del aire,
un objeto cerca de la superficie de
la Tierra caerá con la aceleración
constante de la gravedad: g.

¿Qué errores hay en esta
animación?
EL MOVIMIENTO DE ESTE
PARACAIDISTA NO ES
CONSIDERADO COMO
CAÍDA LIBRE

CAIDA LIBRE

En el movimiento de caída
libre se consideran:

Despreciable la
resistencia del aire.

Constante el valor de la
gravedad.


LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO
y
EN CAIDA LIBRE
2
gt
y voy t
2
vy voy
y t
-g 2
+g
y
vy voy gt
2 2
v y v
oy 2g y

Tenga cuidado, y
representa el desplazamiento
de la partícula, NO es la
distancia recorrida.
Si tomamos el origen del
sistema de coordenadas como
nuestro punto de referencia
del movimiento, el
desplazamiento corresponde
a la posición del objeto.

1 2
y voy t gt
2
y y yo , si yo 0
1 2
y voy t gt 1 2
2 y voy t gt
2

Con respecto al punto de referencia (la mano de la persona)
¿Cuál es la posición de la pelota al pasar por el punto P?

A) 2 ymax + h
B) 2 ymax - h
C) h
D) - h


¿Cuál de estos gráficos x Vs t describe mejor
el movimiento de la pelota?

(A)
(B)
(C)

¿Cuál de estos gráficos V vs t describe mejor
el movimiento de la pelota?


Velocidad vs tiempo: Caida libre
v
t2 La pendiente de ésta
Y+ recta representa la
aceleración de la
gravedad: g=-9,8 m/s2
-g vo
t1 t3

v1

t
to t4
t1 t2 t3 t4

v3

-vo
t5
Se ha graficado el viaje
28 de ida y regreso.
FLORENCIO PINELA - ESPOL 06/02/2010 9:34

Pregunta de Concepto

 Alicia y Pedro se encuentran en la parte superior de
un edificio de altura H. Los dos lanzan una bola con
rapidez inicial v0, Alicia hacia abajo y Pedro
verticalmente hacia arriba. La rapidez de las bolas
cuando ellas golpean el suelo son vA y vB
respectivamente. ¿Cuál de las alternativas es
verdad?:

(a) vA < vB (b) vA = vB (c) vA > vB

Alicia v0 Pedro
v0
H
vA vB

¿CUÁL DE ESTOS COHETES ALCANZARÁN LA MÁXIMA ALTURA SI
TODOS SON LANZADOS DESDE LA MISMA POSICIÓN?


PREGUNTA DE ACTIVIDAD

Un cohete parte desde el reposo y se acelera verticalmente
con aceleración constante, luego de cierto tiempo se apagan
repentinamente sus motores y el cohete vuelve al suelo.
¿Cuál de los siguiente gráficos representaría mejor su
movimiento en el plano v-t, desde el instante que parte hasta
que llega al suelo..


Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el nivel de la calle
con una rapidez de 20 m/s y es atrapada por una persona desde una
ventana que se encuentra a 12 m de altura. Si la pelota es atrapada cuando
va de bajada, el tiempo que la pelota estuvo en el aire fue

1 2
y voy t gt
2

12 20 t 4,9 t 2 4,9 t 2 20 t 12 0

( 20) 202 4(4,9)(12)
t
2(4,9)

t1 3,35 s
t2 0, 73 s


Ejemplo: un objeto se lanza verticalmente desde la parte superior de un
acantilado de 50 m de altura como se indica en la figura. Se determina que
el objeto tarda 5,07 s en llegar al suelo. Determinemos la velocidad con la
que fue lanzado el objeto, el valor de33 altura máxima y el tiempo que
la
tarda en llegar a la altura máxima, y hagamos un esbozo del gráfico del
movimiento en un plano Posición Vs Tiempo.

Determinemos la velocidad con que fue
lanzado el objeto
1 2
y voy t gt
2
Para el sistema de coordenadas y el punto de
referencia del diagrama

50 voy (5,07) 4,9(5,07)2

voy 14,98 m / s

Ejemplo: un objeto se lanza verticalmente desde la parte superior de un
acantilado de 50 m de altura como se indica en la figura. Se determina que el
objeto tarda 5,07 s en llegar al suelo. Determinemos la velocidad con la que
fue lanzado el objeto, el valor de la altura máxima y el tiempo que tarda en
34
llegar a la altura máxima, y hagamos un esbozo del gráfico del movimiento en
un plano Posición Vs Tiempo.
Determinemos la altura máxima
2 2
vy voy 2g y
2
2
voy
0 voy 2g y y ymax ima 11,44 m
2g
vy voy gt

Determinemos el tiempo de
altura máxima

0 14,98 9,8 t t 1,52 s


Movimiento en 2-D bajo la aceleración
constante de la gravedad

En esta sección, se estudia un caso
particular de movimiento curvilíneo, el
tiro parabólico. Se tratará de mostrar que
el tiro parabólico es la composición de
dos movimientos:
• Uno uniforme a lo largo del eje X.
• Otro uniformemente acelerado a lo largo
del eje vertical Y.

Movimiento en 2-D bajo la
aceleración constante de la
gravedad
Al NO haber componente horizontal
de la gravedad, la componente
horizontal del movimiento corresponde
a un MRU.

Como la aceleración de la gravedad
apunta verticalmente, la componente
vertical del movimiento corresponde a
uno de caída libre.
El movimiento parabólico se lo puede
descomponer en dos movimientos
rectilíneos completamente
independientes.

• Uniformemente acelerado a lo largo del eje Y y

x

• Movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo del eje X
06/02/2010 9:34 FLORENCIO PINELA - ESPOL 37

• Uniformemente acelerado a lo largo del eje Y y La componente horizontal de la velocidad
inicial siempre se mantiene constante

vo
voy
x
vox

• Movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo del eje X
06/02/2010 9:34 FLORENCIO PINELA - ESPOL 38

Las ecuaciones del movimiento se obtienen fácilmente
teniendo en cuenta que el movimiento resultante es la
composición de dos movimientos:

• Movimiento rectilíneo y •Uniformemente
uniforme a lo largo del acelerado a lo largo del
eje X eje Y
ay g
ax 0
Vy Voy ( g )t
vx vox
1 2
x vox t y yo Voy t ( g )t
2

Caídas de agua—Tiempo de llegada al suelo
¿Cuál(es) de las caídas
de agua tarda el
mayor tiempo en
llegar al suelo?

A) A
B) A, B y C
C) C
¡Cuando el lanzamiento es D) D
horizontal, el tiempo de vuelo
E) E
depende únicamente del valor de la
altura! F) F


Proyectil lanzado Horizontalmente

1 2
y yo Voy t gt No hay componente
2 vertical de la x vox t
velocidad inicial
1 2 2h
y gt t
2 g Alcance horizontal!
Al no existir componente horizontal de la aceleración, la componente
horizontal de la velocidad se debe mantener constante.
Si el proyectil es lanzado horizontalmente, el tiempo de vuelo es
idéntico al de un objeto dejado caer desde el reposo.

Alcance Horizontal máximo
¿Cuál de los carritos experimenta el mayor alcance horizontal al
llegar al suelo?

y
1 2
2
gt t
2h
g x vox t

Determine el valor de la velocidad con la que fue
lanzado el proyectil.
1 2
y Voy t gt
2

2h 2( 50)
t 3,19 s
g 9,8

x voxt
90
vox 28, 2 m / s
3,19

Un jugador de fútbol efectúa un saque de arco, la pelota
pica en la cancha 60 m más adelante y 4 s después de
haber partido. Encuentre la velocidad de la pelota en el
punto más alto de su trayectoria.

A) 0 m/s.
B) 24.0 m/s.
C) 21.0 m/s.
D) 18.0 m/s.
E) 15.0 m/s


Un jugador de fútbol efectúa un saque de arco, la pelota
pica en la cancha 60 m más adelante y 4 s después de
haber partido. Determine el valor de la velocidad de la
pelota en el instante en que llega a tierra.

A) 21.3 m/s.
B) 24.7 m/s.
C) 26.2 m/s.
D) 29.8 m/s.
E) 33.5 m/s


LANZAMIENTO No-Horizontal DE PROYECTILES
voy

Al no existir componente horizontal de la gravedad, la
componente horizontal de la velocidad inicial vox se mantiene
constante.

La componente vertical de la velocidad corresponde a la de
un movimiento de caída libre con velocidad inicial voy

¿Cuál de las flechas indicadas alcanza la máxima
altura si todas son lanzadas desde la misma
posición inicial?

1 2
y Voy t gt
2

Proyectiles—Tiempo de Vuelo

¿Cuál (s) de los siguientes proyectiles permanece el
mayor tiempo en el aire?

G. Todos permanecen el mismo tiempo

Proyectiles—Distancia Horizontal
¿Cuál (s) de los siguientes proyectiles experimenta el mayor
alcance horizontal?

x vox t

Todos
experimentan
el mismo
alcance
horizontal.


La figura muestra dos lanzamientos consecutivos de un
golfista. En los dos golpes las bolas alcanzan la misma altura
sobre el suelo, pero la bola Q viaja el doble de distancia que
la bola P. ¿Cuál de lo siguiente es DIFERENTE para las bolas
P y Q?

A. El tiempo de vuelo.
B. La rapidez inicial.
C. La fuerza
gravitacional.
D. El tiempo de vuelo y
la rapidez inicial


Varios cañones son disparados desde el punto O. las
trayectorias de los proyectiles se muestran abajo.
despreciando la resistencia del aire, ¿Qué cañón tiene la
mayor rapidez de salida del proyectil?

A) A
B) B
C) C
D) D
E) no hay suficiente información para dar
una respuesta.

Con la información dada
en la animación,
determine:
la velocidad inicial del
proyectil.
La altura del
acantilado.
El alcance horizontal al
llegar al suelo.


Con la información dada en la
figura, determine:
El tiempo que tarda el
proyectil en llegar al suelo.
La altura máxima medida
desde el suelo.
El alcance horizontal al llegar
al suelo.
La velocidad del proyectil al
impactar el suelo.


Alcance Máximo
Como se puede observar en las
animaciones, cada bola de cañón
sigue una trayectoria
parabólica. Las tres son
lanzadas con la misma rapidez

La bola lanzada a 45 grados
tiene el máximo alcance.

tiene la mayor “altura máxima”,
mayor tiempo en el aire.

llega primero al suelo.


Un atleta olímpico lanza una jabalina con cuatro ángulos
diferentes respecto a la horizontal, cada lanzamiento con la
misma rapidez y a: 30 , 40 , 60 , y 80 . ¿Qué par de
lanzamientos de la jabalina darán lugar al mismo alcance
horizontal?
x voxt vo cos t ;
voy vo sen
vy voy gt , t,
g g
2
2vo sen 2vo sen cos
x voxt vo cos
g g
A) 30 y 80
B) 40 y 60
C) 40 y 80
D) 30 y 60
E) Imposible, con cada ángulo se logra alcance diferente


Un proyectil es lanzado desde la parte superior de un
acantilado de altura H. Al instante de llegar al suelo se
determina que lo impacta con una velocidad cuya componente
horizontal es de 30 m/s y la componente vertical 60 m/s, si
el proyectil tardó 10 segundos en llegar al suelo, determine:

El valor de la
velocidad inicial con la
que fue lanzado el
proyectil.

A) 37,5 m/s
B) 48,4 m/s
C) 67,0 m/s
D) 102,2 m/s
E) 162,0 m/s



El valor de la altura
H del acantilado.

A) 6 m
B) 48 m
C) 98 m
D) 110 m.
E) 870 m



El valor del ángulo θ
con que fue lanzado
el proyectil.

A) 45,0 °
B) 51,7 °
C) 58 ,2°
D) 63,4°
E) 66,5°


VELOCIDAD RELATIVA
Observadores en diferentes marcos de referencia pueden
medir DIFERENTES desplazamientos, velocidades y
aceleraciones para un objeto dado.


 Si el bote se dirige directamente a la orilla opuesta
(vBW) y el río se mueve de manera transversal, velocidad
del río respecto a la orilla (vWS).
 El bote experimentará una velocidad resultante igual a
la suma de estas dos velocidades, velocidad del bote
respecto a la orilla (vBS).

Si el bote quisiera llegar a la
orilla opuesta, en la misma
dirección de partida. ¿En qué
dirección tendría que dirigirse?
VBW: velocidad del
bote respecto al agua.
VWS: velocidad del
agua respecto a la
orilla.
VBS: velocidad del bote
respecto a la orilla.
Si el bote quisiera llegar a la orilla
opuesta, tendrá que apuntar su
dirección de tal forma que la velocidad
resultante se dirija exactamente en
esa dirección (vBS).

Ejemplo 1: Composición de velocidades paralelas.
O P

Un río fluye hacia el este con velocidad de c = 3 m/s. Un bote se dirige
hacia el este (aguas abajo) con velocidad relativa al agua de v =4 m/s.
Calcular la velocidad del bote respecto de tierra cuando el bote se dirige
hacia el este (río abajo) y cuando se dirige hacia el oeste (río arriba).

 Cuando el bote navega aguas abajo la
V
velocidad del bote respecto de tierra es
C c+v, es decir de 7 m/s.
O P

•Cuando el bote navega en sentido
C
V contrario a la corriente la velocidad del
bote respecto de tierra es c-v, es decir
de -1 m/s.


Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el
punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.

C
•El tiempo que tarda el bote en V
O P
hacer el viaje de ida es
V
C
d
t
Vrelativa t1=d/(v+c)
=14,3 s
•El tiempo que tarda en hacer el
viaje de vuelta es
d t2=d/(v-c)
t
Vrelativa =100 s

Ejemplo 2: Ahora, vamos a hacer que el bote atraviese el río y
vuelva al punto de partida.

Un río fluye hacia el este con velocidad de c = 3 m/s. El bote
se mueve, con respecto al rio, con una velocidad de v = 4 m/s.
P

Vbote respecto a la c
orilla
Vbote resp. agua  ¿Cómo debe ser
d dirigido el bote para
v que llegue a un punto
V
C agua resp. orilla
P situado en la orilla
Viaje de ida Viaje de vuelta opuesta enfrente de O?
O


Ejemplo 2: Ahora, vamos a hacer que el bote atraviese el río y
vuelva al punto de partida.

Un río fluye hacia el este con velocidad de c = 3 m/s. El bote
se mueve, con respecto al rio, con una velocidad de v = 4 m/s.
P ¿Cuál es la velocidad del
bote respecto a la orilla?
V c
v

d V v2 c2 42 32 2,65 m / s
v
c V

Viaje de ida Viaje de vuelta
O


Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d =100 m
hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.

P
El viaje de vuelta es
similar al viaje de ida. V c

El tiempo total de viaje
v

será d
v
c V
d
t 2 O Viaje de vuelta
Vrelativa Viaje de ida

100
t 2 75, 6 s
2, 65

Un nadador puede nadar con una velocidad de 1.0 m/s en agua
en reposo. El nadador desea cruzar un rio de manera
perpendicular, de sur a norte. El rio tiene una velocidad de
0.50 m/s y corre de este a oeste. Si el nadador desea llegar
directamente al otro lado de la orilla debe nadar en una
dirección que forme un ángulo de:

A) tan-1(1/2) al este.
B) sen-1(1/2) al este.
C) directamente a través del rio, perpendicular a la velocidad
del rio.
D) sen-1(1/2) al oeste
E) tan-1(1/2) al oeste


Una lancha de motor cruza un río que corre a 5.6 km./h y se
dirige de tal modo que alcanza la orilla en un punto
exactamente al frente del punto de partida. Para hacer esto
el bote viaja aguas arriba (contra corriente) con un ángulo de
desviación de 30º con respecto a la línea recta de viaje.
Entonces la velocidad de la lancha respecto al agua es:

A) 11.2 km/h
B) 15.0 km/h
C) 20.2 km/h
D) 5.3 km/h
E) 9.6 km/h


El Movimiento Circular
Se define movimiento circular como aquél
cuya trayectoria es una circunferencia.

En esta sección vamos a definir las
magnitudes características de un
movimiento circular, análogas a las ya
definidas para el movimiento rectilíneo.


Posición angular,
• En el instante t el móvil se encuentra en
P2 el punto P1. Su posición angular viene
s dada por el ángulo , que hace el punto
P1
P, el centro de la circunferencia C y el
C O origen de ángulos O.

• El ángulo (en radianes), es el
cociente entre la longitud del arco s y el
radio de la circunferencia r,
= s/r
• La posición angular es el cociente entre
Radianes! dos longitudes y por tanto, no tiene
06/02/2010 9:34
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dimensiones.

Velocidad angular, (rad./s)
P2
• En el instante t1 el móvil se encontrará en
P1
la posición P1 dada por el ángulo 1. El
C O móvil se habrá desplazado = 2- 1
en el intervalo de tiempo t = t2 – t1.

• Se denomina velocidad angular media al
cociente entre el desplazamiento angular
y el tiempo.
t
(Radianes/segundo) 71

Dirección del vector velocidad angular


Movimientos circulares. Magnitudes angulares

v Movimientos circulares
P2
s
r 2
P1 Su trayectoria es una
r 1
circunferencia de radio R


El vector de posición r cambia de
ri

dirección. Cumple que
v r =R
 es siempre tangente a la
El vector velocidad v
trayectoria y normal al vector

r

Movimientos circulares. Magnitudes angulares

R Magnitudes angulares

R
Si s = R, se dice que el ángulo
mide un radián.
Una circunferencia completa 360° 2 rad

Por definición s Se mide en rad
R
(rad/s) ó bien 1 rpm = 2 rad/s
t 60


El movimiento circular uniforme
Es aquel movimiento que describe una
trayectoria circular con velocidad
t=1s constante en módulo

s R
t=2s t=0s v R cte
t t
t=4s
= cte (por ser R cte)
La velocidad angular de este MCU es:
t=3s
/2 rad/s
Periodo T del movimiento, es el tiempo que tarda el móvil en dar
una vuelta completa y se mide en segundos

Frecuencia f del movimiento, es el número de vueltas que tarda
el móvil por unidad de tiempo. Es la inversa del período
IMAGEN FINAL


FRECUENCIA Y PERIODO
 Periodo (T) es el tiempo en que un objeto
tarda en dar una vuelta o revolución.
 Frecuencia (f) es el número de vueltas o
revoluciones que un objeto da en un
determinado intervalo de tiempo
1
f
T •La frecuencia se expresa es Hertz (Hz)
•El periodo en segundos
2 f •La velocidad angular en rad/s


FRECUENCIA ( f ) Y
VELOCIDAD ANGULAR ( )
Angulo 1Re volucion 2
2 f
Tiempo 1Periodo T

radianes
2 f
segundo


La misma velocidad angular pero
diferente velocidad tangencial
La dirección de la
velocidad es tangente a
la trayectoria circular,
es decir, perpendicular a
la dirección radial

V= r
V= (rad/s) r (m) = m/s

Relación entre las magnitudes
angulares y lineales
 De la definición de radián
(unidad natural de medida
de ángulos) obtenemos la
relación entre el arco y el
radio.
 Como sabemos, el ángulo
se obtiene dividiendo la
longitud del arco entre su
l R radio
v R l Arco
t t R radio
V= r Arco = Ángulo x Radio

Comparada con la rueda
dentada de menor radio
de una bicicleta, la rueda
dentada frontal de
mayor radio tiene

1. Mayor velocidad lineal y mayor velocidad angular
2. La misma velocidad lineal y mayor velocidad angular
3. Menor velocidad lineal y la misma velocidad angular
4. la misma velocidad lineal y menor velocidad angular
5. Ninguna es correcta

La aceleración en los movimientos
Z P
curvilíneos
a
v

r
a
a

X
a
Y
Un móvil tiene aceleración a si varía al menos algún factor (módulo o
dirección) del vector velocidad
Sus componentes tangencial y normal se llaman intrínsecas, a = a + a
v
a = cuando t 0 está relacionada con la variación
t del módulo
está relacionada con la variación de la dirección de la
a = v 2

R velocidad


La aceleración normal y
Tangencial
La aceleración normal está
relacionada con el cambio de la
dirección de la velocidad con el
tiempo. En un movimiento
circular uniforme no existe
aceleración tangencial ya que el
módulo de la velocidad no
cambia con el tiempo, solamente Movimiento circular
uniformemente acelerado
cambia su dirección.
82

Independiente de la dirección de movimiento
del objeto en Movimiento Circular Uniforme,
la aceleración estará dirigida siempre hacia el
centro de la trayectoria.


La aceleración siempre apunta en la dirección del
vector CAMBIO de velocidad

Si el intervalo de tiempo tiende a cero, la
aceleración apunta hacia el centro de la
trayectoria, de ahí el término aceleración
CENTRIPETA.


El vector vvtiene dirección radial y se dirige hacia el
centro de la circunferencia. Los triángulos de color rojo

y de color azul de la figurav isósceles y semejantes
son
por lo que se puede establecer una relación entre ellos.

v

r 
s
v
  
r v v v


 
v v v v
  s r
r v v
s
v
v s
r
 r
v • Dividiendo ambos miembros
entre el intervalo de tiempo
t = t'-t

v v s
t r t

Cuando el intervalo de tiempo t tiende a cero, la cuerda
s se aproxima al arco, y el cociente s/ t nos da la
velocidad v del móvil,
2
v v s v
aN aC
t r t r
La aceleración normal an tiene dirección radial y dirigida
hacia el centro de la circunferencia que describe el móvil y
su módulo viene dado por una u otra de las expresiones
siguientes:
2
v 2
aN aC r
r

2
v 2
aN aC r
r


Un DVD rota con velocidad angular de
10000 RPM. Si rQ = 4rP .Compare la
velocidad angular, la velocidad
tangencial, y la aceleración centrípeta
de P y Q sobre la superficie

a) P > Q b) P < Q c) P = Q

a) vP > vQ b) vP < vQ c) vP = vQ

a) aP > aQ b) aP < aQ c) aP = aQ


Ejemplo

Un DVD rota con velocidad
angular constante de 10000 RPM.
rP = 3 cm y rQ = 5 cm. Si el disco
parte de la posición indicada en la
figura, determine;

1. La posición angular del punto P al cabo de 4 s.
2. La distancia lineal recorrida por el punto Q
3. La aceleración centrípeta del punto Q
4. La velocidad tangencial del punto P


Un DVD rota con velocidad angular constante de 10000
RPM. rP = 3 cm y rQ = 5 cm. Si el disco parte de la posición
indicada en la figura, determine;
1. La posición angular del punto P al cabo de 4 s.

o t
t
Re v 2 rad min
0 10000 4 4188,8rad
min Re v 60 s
2. La distancia lineal recorrida por el punto Q
s
s R s 4188,8 rad 5 cm 20944 cm
R
3. La aceleración centrípeta del punto Q
2 2
1047 rad / s ac R ac 1047 (0,05) 54810 m / s 2

4. La velocidad tangencial del punto P
rad
v R v 1047 (0, 03)m 31, 41 m / s
s

Ejemplo
Un conductor ajusta el control de crucero de
su automóvil y amarra el volante para que
el vehículo viaje con rapidez uniforme de
15 m/s en un círculo con diámetro de 120 m
a) ¿Qué distancia angular recorre el coche en
4 minutos.
b) ¿qué distancia lineal recorre en ese tiempo.


Un conductor ajusta el control de crucero de su automóvil y
amarra el volante para que el vehículo viaje con rapidez
uniforme de 15 m/s en un círculo con diámetro de 120 m
a) ¿Qué distancia angular recorre el coche en 4 minutos.

s 3600 m
60 rad
R 60 m

b) ¿qué distancia lineal recorre en ese tiempo.

s s v t 15x4 x60 3600 m
v
t


Si el ciclista pedalea a razón
de 40 rpm. Y si r1=15 cm y
r2=5 cm. determine:

1. La velocidad lineal de la cadena
2. La relación entre la aceleración
centrípeta de las “ruedas dentadas” para
puntos ubicados en el perímetro exterior
La velocidad lineal de la cadena
corresponde a la velocidad
tangencial de la polea.
2
v r v1

40
rev 2 rad min
x x 4,18
rad ac1 r1 r2
min rev 60 s s 2
3
ac 2 v2 r1
rad
v 4,18 x15 cm 62,7 cm / s r2
s

Un disco de 20 cm de radio gira a 33,33 rpm. Hallar la velocidad
; angular, la velocidad lineal y la aceleración centrípeta de:

a) Un punto de su periferia.
b) Un punto situado a 10 cm del centro.
c) ¿Cuánto tiempo tardará el disco en girar 780º?
d) ¿Y en efectuar 15 revoluciones?
La velocidad angular no depende de la distancia que separa al
punto considerado del centro del disco. Todos los puntos de un
mismo radio del disco describen el mismo ángulo en el mismo
tiempo.
Pasamos la longitud del radio y la velocidad angular a unidades
del sistema internacional:
R=0,2 m
revol 1 min 2 rad
33,3 3,5 rad/s
1 min 60 s 1 revol


Un disco de 20 cm de radio gira a 33,33 rpm. Hallar la velocidad angular, la velocidad
lineal y la aceleración centrípeta de:

c) ¿Cuánto tiempo tardará el disco en girar 780º?
d) ¿Y en efectuar 15 revoluciones?

v R 3,5 rad/s 0,2 s = 0,7 m/s
2 2
V 0, 7
aC 2,5 m/s 2
R 0, 2
v R 3,5 rad/s 0,1 m = 0,35 m/s
V2 0,352
aC 1, 23 m/s 2
R 0,1

c) Calculamos las vueltas que da el disco dividiendo los 780º
; entre 360º que describe en cada vuelta:

33,3 rpm 3,5 rad/s Ya lo conocemos!

780º
;
nº vueltas 2,17 vueltas
360º
También podemos pasar los 780ª a radianes:

2 rad
780º 4.33 rad
360º

4.33 rad
t
; 3.5rad / s
t
t 3.9 s


d) ¿Cuánto tiempo tardará el disco en girar 15
revoluciones?

; 33,3 rpm 3,5 rad/s
t

15 rev
t 27 s
33.3 rev / min


Las ruedas de un automóvil tienen 60 cm de
diámetro. Calcular con qué velocidad angular giran
cuando el automóvil se desplaza a 72 km/h.
r =60/2=30 cm = 0,3 m

km 1000 m 1 h
v = 72 20 m/s
h 1 km 3600 s

v 20 m/s
v= R ; = 66, 7 rad/s
R 0,3 m


Un automóvil que va a 20 m/s recorre el perímetro de una pista
circular en un minuto.

a) Determinar el radio de la misma.
b) ¿Tiene aceleración el automóvil? En caso afirmativo, determina
su módulo, su dirección y su sentido.

a) Calculamos la velocidad angular y hallamos el radio a partir de la
ecuación que relaciona la velocidad angular y la lineal:

2 2 rad
= 0,105 rad/s
T 60 s
v 20 m/s
v= R ; R= = 191 m
0,105 rad/s


b) Si, tiene aceleración centrípeta aunque el módulo de
su velocidad sea constante, ya que describe un
movimiento circular. Su dirección es la de la recta que
une al punto donde se encuentra el móvil con el centro
de la circunferencia; su sentido, hacia el centro de la
circunferencia y su módulo:

2 2
V (20 m/s) 2
aC 2,1 m/s
R 191 m


Un automóvil recorre con velocidad constante una
circunferencia de 50 cm de radio con una frecuencia de
10 Hz. Determina:
•El período.
•La velocidad angular y lineal.
•Su aceleración. T=
1 1
0,1 s
f 10 Hz
2 2
= 2 f 62,8 rad/s
T 0,1 s
v= .R 62,8 rad/s 0,5 m 31,4 m/s

V2 (31, 4 m/s) 2
aC 1971,9 m/s 2
R 0,5 m


La luna da una vuelta a la Tierra en 27.3 días en una órbita casi
circular de 3.8 x105 km de radio. Suponiendo que el
movimiento orbital de la Luna es circular uniforme. ¿Qué
aceleración, en m/s2 tiene la luna al “caer” hacia la Tierra?

Calculemos la velocidad lineal de la Luna
dis tan cia 2 R 2 x3,14 x3,8 x108 m
v 1011,7 m / s
tiempo T 27,3x24 x3600 s

v2
ac 2, 69 x10 3 m / s 2
R


Si el radio medio de la Tierra es de 6370 km. ¿Cuál sería el
valor de la aceleración de un sistema de referencia fijo a la
superficie?
2
v 2
ac R
R
2 2
7, 27 x10 5 rad / s
T 24 x3600

2
ac R 0, 034 m / s 2


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