1. APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ingeniería.
M.I. Luis Cesar Vázquez Segovia
Grupo:
Semestre: 2010-2
2. TEMA 1.- ESPACIOS VECTORIALES.
Definición.
Sea V un conjunto no vacío y sea (k, +, *) un campo. Se dice que V es un espacio vectorial
sobre k si están definidas dos leyes de composición, llamadas adición y multiplicación por
un escalar, tales que:
I)
II)
III)
IV)
V)
VI)
VII)
VIII)
IX)
X)
La adición asigna a cada pareja ordenada (ū, ) de elementos de V un único
elemento ū +
V, llamado la suma de ū y .
ū, ,
V: ū+( + ) = (ū+ )+ .
ō V tal que ō + = ,
V.
V – V tal que – + = ō
ū, α: u+ = + ū
La multiplicación por un escalar asigna a cada pareja ordenada (α,v) de
elementos de α k y
V un único elemento α k llado el producto de α por
.
α k; ū,
V: α(ū+ ) = αū+ α
α,β k;
V: (α+β) = α + β
α,β k;
V: α(β ) = (αβ)
Si 1 es la unidad de k 1 = ,
V
A los elementos de V se llama vectores y a los de k se les llama escalares.
Ejemplo.
R3;
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
F,f: R→R
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Pn M2x2
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
Ejemplo.
Sea el conjunto S = {ax2 + ax + b )│a,b R} en R y las leyes de adición y multiplicación por
un escalar usuales. Determinar si S es un espacio vectorial.
3. i) CERRADURA
P1 = a1x2 + a1x + b1
; P2 = a2x2 + a2x + b2
P1 + P2 = (a1 +a2)x2 + (a1 +a2)x + (b1 +b2)
se cumple
S R
ii) ASOCIATIVIDAD
P1 + (P2 + P3) = (P1 + P2) + P3
P1 + [(a2 + a3)x2 + (a2 + a3)x + (b2 + b3)] = [(a1 + a2)x2 + (a1 + a2)x + (b1 + b2)] + P3
(a1+a2+a3)x2 + (a1+a2+a3)x + (b1+b2+ b3) = (a1+a2+a3)x2 + (a1+a2+a3)x + (b1+b2+ b3)
Se cumple
iii) E ELEMENTO IDENTICO
ō + P1 = P1
(ex2 + e1x + ei1) + (ax2 + ax + b) = ax2 + ax + b
(e + a)x2 + (e + a)x + (ei + b) = ax2 + ax + b
e+a=a
e+a=a
ei + b = b
e=0
e=0
ei = 0
(0)x = (0)x2 +(0)x +0
iv) E ELEMENTO INVERSO
- + =0
+p=0
(Ix2 + Ix + d) + (ax2 + ax + b) = (0)x2 +(0)x +0
(I + a)x2 + (I + a)x + (d + b) = (0)x2 +(0)x +0
I+a=0
I+a=0
d+ b = 0
I = -a
I = -a
d = -b
- =
= ax2 + ax + b
v) CONMUTATIVIDAD
P1 + P2 = P2 + P 1
(a1+a2)x2 + (a1+a2)x + (b1+b2) = (a2+a1)x2 + (a2+a1)x + (b2+b1)
vi) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
αp = S
αp = αax2 + αax + αb
S
Se cumple
vii) SUMA DE VECTORES POR UN ESCALAR
α(P1 + P2) = αP1 + αP2
4. α*(a1+a2)x2 + (a1+a2)x + (b1+b2)+ = (αa1x2 + αa1x + αb1) + (αa2x2 + αa2x + αb2)
(αa1+ αa2)x2 + (αa1+ αa2)x + (αb1+ αb2) = (αa1+ αa2)x2 + (αa1+ αa2)x + (αb1+ αb2)
Se cumple
viii) SUMA DE ESCALARES POR UN VECTOR
(α + β)p = αp + βp
(α + β)a1x2 + (α + β)a1x + (α + β)b1 = (αa1x2 + αa1x + αb1) + (βa1x2 + βa1x + βb1)
(αa1+ βa1)x2 + (αa1+ βa1)x + (αb1+ βb1) = (αa1+ βa1)x2 + (αa1+ βa1)x + (αb1+ βb1)
Se cumple.
ix) α(βp) = (αβ)p
α (βax2 + βax + βb) = αβax2 + αβax + αβb
αβax2 + αβax + αβb = αβax2 + αβax + αβb
Se cumple
X) UNIDAD DEL CAMPO
1p = p
1ax2 + 1ax + 1b = ax2 + ax + b
Se cumple
S es un campo vectorial
-DEFINICIÓN DE SUBESPACIO.
Sea V un espacio vectorial en K y sea S un subconjunto de V.
S es un subespacio de V si es un espacio vectorial en K respecto a la adición y
multiplicación por un escalar definidas en V.
Teorema
Sea V un espacio vectorial en K y sea S un subconjunto de V.
S es un subespacio de V si y solo si .
1) ū + = S; Para todo ū,
S
2) αū = S; Para todo α K, ū S
Demostración
V = E3
S = Plano XY
S = {(x, y, 0)│x, y R}
Determine si S es un subespacio.
Solución:
1) ū + = S; Para todo ū,
S
(x1, y1, 0) + (x2, y2, 0) = (x1 + x2, y1 + y2,0)
S
Se cumple
5. 2) αū = S; Para todo α K, ū S
α(x1, y1, 0) = (αx1, αy1, 0)
S
Se cumple
S es un subespacio vectorial de V
Ejemplo
Sea п = ,(x, y, z)│ x + y -z = 2; x, y, z R}
Determinar si п es un espacio vectorial en R con las operaciones de adición de vectores y
multiplicación por un escalar usuales.
Solución:
x + y -z = 2 ; z = x + y –2
п = , (x, y, x + y -2)│x, y
I)
1
1+
= (x1, y1, x1 + y1 -2) ;
R}
2
= (x2,y2, x2 + y2 -2)
= [x1 + x2, y1 + y2, (x1 + x2) + (y1 + y2) –4]
п no es un espacio vectorial.
2
Ejemplo.
│a, b
Sea el conjunto D = {
R} determine si D es un espacio vectorial con las
leyes de composición de adición de vectores y multiplicación por un escalar usuales.
Solución:
i)
1+
ii)
1
=
2=
α
α
1
a1
0
0
b1
2=
a1 a 2
0
0
b1 b 2
D
a2
0
0
b2
Se cumple
D
D
Se cumple
6. D es un subespacio vectorial.
Espacios Rn
R2 = [(a, b)│a, b R]
R3 = [(a, b, c)│ a, b, c R]
R4 = [(a1, a2, a3, a4)│ a1, a2, a3, a4 R]
Rn = [(a1, a2, a3, ..., an)│ a1, a2, a3, ..., an
R´= [a│a R]
R]
COMBINACIÓN LINEAL.
α
1+
β
2
=
Definición.
Un vector w es una combinación lineal de los vectores 1+ 2 + 3,..., n si puede ser
expresado en la forma = α1 1+ α2 2,..., +αn n donde α1,α2,..., αn son escalares.
Ejemplo
Sea = (3, 4, -2)
= α 1+ β 2
= 1(1,2,0) + 1(2,2,1)
[(1,2,0), (2,2,-2)]
[(1,1,-1), (1,2,0)]
(3,4,-2) = α (1,1,-1) + β(1,2,0)
(3,4,-2) = (α,α,-α) + (β,2β,0)
(3,4,-2) = (α + β, α + 2β,-α)
α + β =3
α + 2β = 4
-α = -2
α = 2; β=1
Ejemplo.
Sea = (6,7,5)
Forma trinómica → = 6i + 7j +5k
= 6(1, 0, 0) + 7(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1)
Ejemplo
7. Sea D = {
│a, b
{
}
,
R}
a
+ b
=
Ejemplo
R2 = [(a, b)│a, b
R]
{(1,0), (1,1), (0,1)}
α(1,0), β(1,1), γ(0,1) = (a, b)
(α,0), (β, β), (0, γ) = (a, b)
(α + β, β + γ) = (a, b)
α+β=a
β+γ=b
Del 2° renglón
β+γ=b ; γ=b-β
Del 1° renglón
α+β=a ; α=a–β
Solución
α=a-k
β=k
γ=b–k
β=β
k R
Definición.
Sea S = { 1,
2,...,
n}
un conjunto de vectores
1) S es linealmente dependiente si existen escalares α1,α2,..., αn, no todos son iguales a
cero, tales que α1 1+ α2 2 +... + αn n = ō
2) S es linealmente independiente si la igualdad α1 1+ α2 2 +... + αn n = ō, solo se
satisface con α1 = α2 =,..., = αn = 0
Ecuación de dependencia lineal
α1 1+ α2 2 +... + αn n = ō
B={
1 0
0 0
Para B
,
0 0
0 1
}
8. 1 0
α1
0 0
1
0
+ α2
0
0
+
0
0
1
0
0
2
=
0 0
0 0
0 1
0 0
0
0 0
=
α1 = 0; α2 = 0
0 0
2
0 0
B es linealmente independiente
0 0
Bп2 = {(1, 0, 1), (0, 1, 1)}
Teorema
Sea S = { 1, 2,..., n } un conjunto no vacío de vectores de un espacio vectorial V.
El conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de S, denotado con L(S), es un
subespacio de S.
S = {(1, 2)}
F = L(S)
a(1, 2) = (a, 2a)
F = {(a, 2a) │a R }
Teorema
Todo conjunto que contiene al vector ō es linealmente dependiente.
Demostración
De la ecuación de dependencia lineal α1 1, α2 2,..., αi i,..., αn
El conjunto es linealmente dependiente.
Definición.
Sea V un espacio vectorial en R, y sea G = { 1,
dice que G es un generador de V si para todo
= α1 1+ α2 2 +... + αn n.
n
= ō ; αi =
R
2,...,
n } un conjunto de vectores de V. Se
R existen escalares α1,α2,..., αn, tales que,
Definición.
Se llama base de un espacio vectorial V a un conjunto generador de V que es linealmente
independiente.
Teorema
Sea V un espacio vectorial en K. Si B = { 1, 2,...,
otra base de dicho está formada por n vectores.
n
} es una base de V, entonces cualquier
9. Definición
Sea V un espacio vectorial en K. Si B = { 1, 2,...,
dimensión n, lo cual denotamos con dimV = n
n
} es una base de V se dice que V es de
En particular, si V = { }; dimV = 0.
Ejemplo
R2 = [(a, b)│a, b
R]
B = {(0, 1), (1, 0)}
= (-3, 2)
α(0, 1) + β(1, 0) = (-3, 2)
(0, α) + (β, 0) = (-3, 2)
(β, α) = (-3, 2) → por igualdad de vectores β = -3 y α = 2
Vector de coordenadas ( )B = (α, β) = (2, -3)
Definición
Sea B = { 1, 2,..., n } una base de un espacio vectorial V en K, y sea
V.
Si = α1 1+ α2 2 +... + αn n, los escalares α1,α2,..., αn se llaman coordenadas de en la
base B, y el vector Kn
( )B = ( α1,α2,..., αn)T se llama vector de coordenadas de en la
base B.
ESPACIOS ASOCIADOS A UNA MATRIZ.
A=
Espacio renglón asociado a A
G = {(1, 0),(4, 2),(-1, 7)}
L(G) = {a(1, 0), b(4, 2), c(-1, 7)│a, b, c
4 R1 R 2
R1 R 3
B = {(1,0), (0,1) }
L(B) = {a(1,0) + b(0,1) }
AR =L(B) = {(a, b)│a, b R }
Espacio columna
R}
R 2 (1 / 2 )
7 R 2 R3
dim AR = 2
10. A=
AT=
B1 = G1 = {(1, 4, -1), (0, 2, 7)}
Ac =L(G1) = {a(1, 4, -1) + b(0, 2, 7)│a, b
→ elemento genérico
R}
a(1, 4, -1) + b(0, 2, 7) = (a, 4a + 2b, -a + 7b)
Ac = {(a, 4a + 2b, -a + 7b)│a, b
Dim Ac = 1
Corolario
dim AR = dim Ac
Ejemplo
R2 = [(a, b)│a, b R]
B1 = {(1, 0), (0, 1)}; B2 = {(0, 2), (2, 0)}
Obtener los valores de coordenadas del vector = (-2, 3)
G ={
,
,
}
Para G
β1
+ β2
2
0
1
0
0
0
+
0
1
+ β3
2
0
2
0
2
+
=
3
=
0
0
0
3
=
0 0
0 0
0 0
0 0
1
2
=0
1
2
2
3
=0
3
2
2
= k;
1
G es linealmente dependiente.
B y G son conjuntos generadores
V; B genera V; linealmente independiente → Base
3
k
R}
11. V; G genera V; linealmente dependiente → Generador
Algoritmo de obtención de bases
P2 = {ax2 + bx + c)│a, b, c
R}
B = {x2, x, 1}
R2 = [(a, b)│a, b R]
B = {(1, 0), (0, 1)}
1
0
,
}
0
1
Sea el espacio п = {(x, y, z)│x + y -z = 2; x, y, z R}
M2x1= {
│a, b
R}
x + y -z = 0
z=x+y
B={
п2 = {(x, y, x + y)│ x, y, z R}
Matriz de transición
M B1
B2
1=
α 1 1+ α 2
2= β1 1+ β2
2
2
(1,0) = α1(0,2)+ α2(2,0)
(1,0) = (2α2, 2α1 α2(2,0)
2α2 = 1 → α2= ½
1
2α1 = 0 → α1= 0
= (1,0) = 0(0,2) + ½(2,0)
( 1)B2 = (0, ½)T
2
= (0,1) = β1(0,2) + β2(2,0)
2 β2 = 0 → β2= 0
2
= (0,1) = ½(0,2) + 0(2,0)
( 2)B2 = (½, 0)T
= 0 1+ ½
2 = ½ 1+ 0
1
2
2
(0,1) = (2β2, 2β1)
2β1 = 0 → β1= ½
12. A
( )A = (M B )-1( )B
A
M B = ( )A = ( )B
A
A
(M B ) = (M B )-1
( )A = M B ( )B
A
AT =
3. A =
BAC = {(1, 0, 0), (0 ,1 ,0), (0, 0, 1)}
a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (a, b, c) → elemento genérico
AC = {(a, b, c)│a, b, c R}
Solución: los 3 R
Teorema
Los espacios que tienen la misma dimensión se llaman isomorfos.
R3 = [(a, b, c)│a, b, c R];
P2 = {ax2 + ax + b)│a, b R}
dim R3 = 3; BR3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
dim R2 = 2; BR2 = {(x2 + x + 1)
F1 (ax2 + bx + c) = (a, b, c)
1.M={
│a, b, c R};
F2
= (a, b, c)
dim M =3;
BM ={
2.│a, b R}
V={
Solución:
BV ={
,
A no es base;
3.-
}
dim V = 2
B no es base;
C si es base
,
,
}
13. f
= (0, 1, -1, 3)
f
= (1, 0, 1, 0)
Es linealmente independiente
ESPACIOS DE FUNCIONES F
Sea el conjunto H = {ex, e-x, e2x}
L(H) = {aex + be-x + ce2x a, b, c R}
Determine si H es linealmente independiente
Wronskiano
ex
W = ex
ex
1)4
ex
e x
e x
x
e
e
e2x
e x
2e 2 x = e x (-1)2
e x
4e 2 x
2e 2 x
4e 2 x
+ e x (-1)3
ex
2e 2 x
ex
4e 2 x
+ e 2 x (-
x
ex e x
W = ex(-4ex -2ex) –e-x(4e3x -2e3x) + e2x(e0+ e0)
W = -6e2x –2e2x +2e2x
W = -6e2x
W≠0
H es linealmente independiente
Sea el conjunto de funciones reales de variable real {f1, f2, ..., fn}
De la ecuación de dependencia lineal α1f1+ α2f2 +... + αnfn = 0
Para x = x1 α1f(x1) + α2f(x1) +... + αnf(x1) = 0
Para x = x2 β1f(x2) + β2f(x2) +... + βnf(x2) = 0
Para x = xn λ1f(xn) + λ2f(xn) +... + λnf(xn) = 0
Teorema
Sea {f1, f2, ..., fn} un conjunto de n funciones de variable real, derivables al menos n-1
veces en el intervalo (a, b); y sea
14. f1 (x)
f1´ (x)
W=
f 2 (x)
´
f 2 (x)
f
(n-1)
1
(n-1)
2
(x) f
f n (x)
´
f n (x)
(n-1)
(x) f n (x)
Si W(x0) ≠ 0 para algún x0 (a, b), entonces el conjunto de funciones es linealmente
independiente de dicho intervalo.
Si W(x) = 0 no decide.
Ejemplo
Investigar la dependencia lineal del siguiente conjunto.
F = {2sen2x, -cos2x, 3}
W(x) =
2 sen 2 x
4 senx cos x
cos 2 x
2 cos xsenx
3
0 =
2
2
2
2
4 sen x 4 cos x 2 cos x sen x 0
4senx cos x
2
2 cos xsenx
2
4sen x 4 cos x 2 cos2 x sen 2 x
W(x) = 3[4senxcosx (2cos2x -2sen2x) – (-4sen2x + 4cos2x)( 2cosxsenx)]
W(x) = 3(0) = 0 → no decide.
F = {2sen2x, sen2x -1, 3}
α(2sen2x) + β(sen2x –1) + γ(3) = (0) 2sen2x + 0
(2α+ β)sen2x + (3γ –β) = (0) 2sen2x + 0
(2α+ β) = 0
(3γ –β) = 0
α = -k/2
β=k
γ = k/3
→ α = -β/2
→ γ = β/3
β=k
Es linealmente dependiente.
Nota: 1 regla de correspondencia y W = 0 es linealmente dependiente.
Ejemplo
Sea el conjunto de funciones, determine si es linealmente dependiente o independiente
en el intervalo indicado.
D = {h, f, g}
15. f(x) =
x 2 ; si x < 1
1; si x 1
x2
w = 2x
2
x
1
0
g(x) =
x; si x 2
2
sen x; si x 2
h(x) =
x2
x
2; si x
cos2 x; si x
4
4
x2 x 2
2x 1
= 2(-1)4[x(2x + 1) - (x2 + x + 2)] + 2(-1)6[x2 - 2x2]
2
w = 2(2x2 + x - x2 - x -2) + 2(-x2) = 2(x2 - 2) - 2x2 = -4
TEMA II
ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Definición
Sea V un espacio vectorial en C. Un producto interno en V es una función VXV en C, que
asigna a cada pareja ordenada (ū, ) de vectores de V un escalar (ū│ ) C, llamado el
producto interno de ū por que satisface las siguientes propiedades:
1) (ū│ ) =
(conjugado)
2) (ū│ + ) = (ū│ ) + (ū│ )
3) (αū│ ) = α(ū│ )
4) (ū│ ) > 0; ū≠
Ejemplo
Sea R2 = [(a, b)│a, b R] y
a) f(ū│ ) = [(a1, b1)│(a2, b2)] = a1a2 + b1b2
b) h(ū│ ) = [(a1, b1)│(a2, b2)] = 2a1a2 + b1b2
Determine si f, h son productos internos.
3) (αū│ ) = α(ū│ )
*(αa1, αb1)│(a2, b2)+ = α(2a1a2 + b1b2)
2αa1a2 + αb1b2
se cumple
4) (ū│ ) > 0
[(a1, b1)│(a1, b1)] = 2a12 + b12 > 0
h es producto interno
se cumple
16. Propiedades del producto interno.
Sea V un espacio vectorial en C y sea ( │ ) un producto interno en V, entonces
α C.
ū,
Vy
1) (ū│α ) = (ū│ )
2) (ū│ū) = R+
3) ( │ū) = 0 = (ū│ )
4) (ū│ū) = 0 ↔ ū =
NORMA DE UN VECTOR
= ( │ )1/2; La norma es un número real.
Propiedades de una norma.
Sí V es un espacio vectorial con producto interno, entonces
1.
2.
3.
4.
>0
=0 ↔
=
=
;
+
=
ū,
V y α C.
=
Ejemplo
Sea un generador de R3,el conjunto G = {(2, 0, 0), (0, 0, 4), (0, 1, 0), (1, 2, 3)}. Determine un
conjunto ortogonal a partir de G utilizando el producto escalar ordinario.
Gran Shmidt.
1
=
2=
2=
3=
3=
1
= (2, 0, 0)
2-
v2 w1
w1 w1
(0, 0, 4) 3-
(0,0,4) (2,0,0)
(2,0,0) (2,0,0)
v3 w1
w1 w1
(0, 1, 0) -
= (0, 0, 4) - (
0
)(2, 0, 0) = (0, 0, 4)
4
v3 w 2
1-
w2 w2
(0,1,0) (2,0,0)
4
2
(2, 0, 0) -
(0,1,0) (0,0,4)
(0,0,4) (0,0,4)
(0, 0, 4)
17. 3=
(0, 1, 0) - (0, 0, 0) - (
4=
4-
v4 w1
w1 w1
1-
0
)(0, 0, 4) = (0, 1, 0)
16
v4 w 2
2-
w2 w2
(1,2,3) (2,0,0)
3
w3 w3
(1,2,3) (0,0,4)
4=
(1, 2, 3)
4=
16
(0, 0, 4) -
(1,2,3) (0,1,0)
(1, 2, 3) - (1, 0, 0) - (0, 0, 3) - (0, 2, 0) = (0, 0, 0)
4
(2, 0, 0) -
v4 w 3
(0,1,0) (0,1,0)
(0, 1, 0)
G0 = {(2, 0, 0), (0, 0, 4), (0, 1, 0), (0, 0, 0)}
BORT = {(2, 0, 0), (0, 0, 4), (0, 1, 0)}
BORTN = {(1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0)}
Ejemplo
En el espacio vectorial de matrices simétricas de orden 2 se define el siguiente producto
a1
b1
a2
b2
b1
interno
c1
b2
c2
,
BORT = {
= a1a2 + 2b1b2 + c1c2 y el conjunto G = {
,
. Determine un conjunto ortogonal a partir de G
,
,
,
.
Ejemplo.
Para el espacio vectorial C2 se define el producto interno (ū│ ) =
2
xi yi
= (x1, x2)
= (3-2i, -2i),
= (-2-2i, i)
i 1
= (y1, y2)
C2 donde i es el conjugado de yi.
a) Determinar las normas de los vectores = (4+2i, 5 – 6i),
=
=
1/2
=
=
=9
,
18. 1/2
=
=
=
1/2
=
=
=3
b) Obtener el ángulo entre
= angcos
y
R( 4 10i)
4
= angcos
3 17
3 17
= 108.86°
Propiedades de la distancia entre dos vectores.
Si V es un espacio vectorial con producto interno, entonces
1. d(ū,
2. d(ū,
3. d(ū,
4. d(ū,
ū,
V.
) 0
) = 0 y solo si ū =
) = d( , ū)
) d(ū, ) + d( , )
1/2
=
1/2
=
=
1/2
=
=8
Teorema de Pitágoras.
Sea V un espacio con producto interno y sean ū,
2
=
2
+
V. Si ū y son ortogonales, entonces:
2
Teorema
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Sea V un espacio vectorial en C y sea ( │ ) un producto interno en V, entonces ū,
V:
2
≤
donde
es el módulo de
. Además, la igualdad se
cumple si y solo si
son linealmente independientes.
Ejemplo
1.- Sea B = { 1,
2}
una base de un espacio vectorial.
20. 4
( 1,1,1)
3
7 1 4
=( , , )
3 3 3
2.- Para el producto interno usual en R3, obtener el cumplimiento ortogonal S1 de cada uno
de los subespacios siguientes de R3 y dar una interpretación geométrica de dichos
complementos.
= (1, 1,0) -
a) S1 = {(0,0,z)│z R}
= (a, b, c)
R3
{(0, 0, z)│(a, b, c)} = 0
zc = 0
c=0
a=k
b=t
´
S 1 = {(k, t, 0)│k, t
R}
b) S2 = {(x, x,0)│x
R}
= (a, b, c)
R3
{(x, x, 0)│(a, b, c)} = 0
ax + bx = 0
x(a +b) = 0
a = -b ; a = -t
c=k
b=t
S ´2 = {(-t, t, k)│t, k
R}
21. │a, b R} un subespacio de las matrices cuadradas de orden dos en
3.- Sea w =
R con producto interno definido por (A│ B) = tr(ABT).
Obtener la matriz perteneciente a W más próximo a M =
Bw = {
1
2
=
=
,
1
2
}
=
v2 w1
=
w1 w1
│
-
0
5
1 0
0 2
1 0
0 2
=0
=5
=
,
BwORT = {
1 0 1 0
0 2 0 2
= tr
=
=
={
-
= tr
│
2
w1 =
0 1 1 0
1 0 0 2
}
,
}
21α + 11β + 5γ = 0
α=-
11
5
kt;
21
21
w = {(b)
β = k;
γ=t
11
5
kt )x2 +kx + t | k, t R }
21
21
= - ´
4.- Dado el producto interno en R2 definido por
= (u1, u2, u3) y = (v1, v2).
= u1v1 - u1v2 - u2v1 + 3u2v2 donde
22. a)
Obtener el valor de K R tal que
la distancia entre los vectores = (1, 3) y = (k, 4) sea igual a .
b)
Con el vector de k obtenido,
verificar que los vectores y del inciso anterior cumplan la desigualdad de CauchySchwarz.
a)
d(ū, ) =
= (k-1, 1)
1/2
1/2
=
= k 2 2k 1 k+1-k 1 3
1/2
= k 2 4k 6
1/2
2 = k 2 4k 6 ; k 2 4k 4 = 0; ( k-2 )( k-2 ) = 0;
k=2
2
b)
≤
(28) 2 ≤ (22)(36)
784 ≤ 792
= 28
= 22
= 36
Es linealmente independiente.
5.- Obtener una base ortogonal del espacio vectorial F de los polinomios de grado menor
o igual a dos con coeficientes reales a partir de la base B = {1, 2t, 2 - 12t + 12t2}
considerando el producto interno
=
p, q F
1
=1
2=
2t -
(2t |1) =
(1 |1) =
2t 1
11
(1) = 2t -
1
(1) = 2t – 1
1
= t2 1 = 1
0
=t 1 =1
0
2
2
12t
12t 2 1
3=
2 - 12t + 12t -
3=
12t
12t 2 2t 1
2 - 12t + 12t2 -0 -0 = 2 - 12t + 12t2
11
(1) -
2
2t 1 2t 1
1
(2 - 12t + 12t2 |1) = (2
0
12t
12t 2 )dt = 2t - 6t2 + 4t3 1 = 2- 6 + 4 = 0
0
(2t – 1)
23. 1
(2t -1|2t -1) = (4t 2
4t 1)dt =
0
4 3
t - 2t2 + t
3
1
0
4
1
-2+1=
3
3
=
1
1
2
(2 - 12t + 12t |2t -1) = (4t 2 24t
2
12t+24t
3
2
12t )dt = (24t 3 36t 2 16t 2)dt
0
= 6t
4
12t
3
8t
2
1
0
2t
0
= 6 -12 + 8 -2 = 0
6.- Sea el sistema de ecuaciones lineales homogéneo y sea W el espacio solución de dicho
sistema para el producto interno usual en R3, determinar el complemento ortogonal w ,
de W y escribir el vector (9, 1, 4) como la suma de un vector de W mas otro de w .
-x + 3y -2z = 0
x= 3y – 2z
y=y
W = {(3k -2t, k, t) │k, t b R}
1
5
0
BwORT =
0
2
5
z = z;
z=t
1
2
0
,
x = 3k -2t
y=k
1
2
0
2
=
M ei ei
i 1
= M ei ei + M e 2 e 2
=
=
2
1
1
2
1
5
1
tr
5
+
=
1 2
tr
5
4
1 1 0
5 0 2
2
2
1 1 0
2 0 2
2
1
2
1 0
1
1
1
1 1 0
+
5 0 2
0 2
1
5
1 0
0 2
1
tr
5
+
1
tr
2
2
1
1
0
2
1
1 0
1
1
0 1
1 0
0 1
1 0
0
1
1 0
1 0 1
2 1 0
24. =
2
5
1
4
5
1
+
0
1
2
(p│ ) =
1
0
=
2
5
1
1
4
5
p(x), q(x) P2
p (i )q (i )
i 0
2
W = {ax + bx + c)│a, b, c
R}
a) Obtener w
W = {ax2 + ax + -a)│a
x2
x
R}
P2 = {αx2 + βx + γ)│α, β, γ
R}
ax 2 ax -a = 0
= γ(-a) + (α + β + γ)(a) + (4α + 2β + γ)(5a)
= -γa + αa + βa + γa + 20αa + 10βa + 5γa
= a(4α + 2β + γ) = 0
R3 = [(a, b, c)│ a, b, c R]
[(3k -2t, k, t) │(a, b, c)] = 0
3ak -2at + kbt + c = 0
k(3a +b) + t(-2a + c) = 0
3a +b = 0 ↔ b = -3a
-2a + c = 0 ↔ c = 2a
w = {a, -3a, 2a)│a
R}
TRANSFORMACIONES LINEALES
T: R3→R2
T(x, y, z) = (x, y)
Definición
Si V y W son espacios vectoriales, una función T: V→W recibe el nombre de
transformación, los espacios V y W se llaman, respectivamente dominio y codominio de la
transformación.
Ejemplo
T(x, y, z) = (x, y)
S(ax2 + bx + c) =
T: R3→R2
S: P2→D
25. Definición.
Sea T: V→W una transformación
1)
Se llama recorrido de T al
conjunto
T(v) = { T( )│
V}
2)
Se llama núcleo de T al conjunto
N(T) = { │T( ) = w}
Ejemplo
T: R3→R2 definida por T(x, y, z) = (x, y)
Dominio: R3
Recorrido: R2
Núcleo: w
T(x, y, z) = (0, 0)
x = 0; y =0
(x, y) = (0, 0)
T(0, 0, z) = (0, 0)
N(T) = {(0, 0, z)│z R }
Definición.
Sean V y W dos espacios vectoriales en K, una transformación T: V→W es lineal si
Vy α K
Superposición 1) T( 1 +
Homogeneidad 2) T(
2)
1)
= T( 1) + T( 2)
= αT( 1)
Ejemplo
Para las siguientes transformaciones determinar si son lineales o no.
1.- T: R3→R2 definida por T(x, y, z) = (x, y)
Solución:
1)
T( 1 +
T( 1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ( 1, y1) + (x2, y2)
( 1 + x2, y1 + y2) = ( 1 + x2, y1 + y2)
Cumple
2)
T(
1)
2)
= T( 1) + T( 2)
= αT( 1)
1,
2
27. Si T: V→W es una transformación lineal entonces T( v) = w
Teorema.
Si T: V→W es una transformación lineal entonces
1) T(v) es un subespacio de W
2) N(T) es un subespacio de T
Ejemplo
T: R3→M definida por T(a, b, c) =
a 1 b
b
c
Teorema.
Si T: V→W una transformación lineal. Si B = , 1, 2,..., n} es una base de V, entonces el
conjunto T = {T( 1), T( 2),...,T( n)} es un generador de T(v)
Teorema.
Si V es un espacio de dimensión finita y T: V→W es una transformación lineal, entonces
dim V = dim T(v) + dimT(N)
Ejemplo
Sea la transformación lineal T: R3→R3 definida por T(x, y, z) = (x + 2y -z, x + y, x + y -2z)
a) Obtener una base, la dimensión y el recorrido de T(v)
Solución:
a) Dominio R3
B R 3 = {(1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1)}
T(1, 0, 0) = (1, 0, 1)
T(0, 1, 0) = (2, 1, 1)
T(0, 0, 1) = (-1, 1, -2)
G T(v) = {(1, 0, 1), (2, 1, 1), (-1, 1, -2)}
Generador de T(v)
Espacio Renglón
1
0
1
2
1
1
1 1
2
2 R1 R2
1R1 R3
1 0
1
0 1
1
0 1
1
B T(v) = {(1, 0, 1), (0, 1, -1)}
28. Elemento genérico de T(v)
a(1, 0, 1) + b(0, 1, -1) = (a, b, a-b)
T(v) = {(a, b, a-b)│a, b V }
dim T(v) = 2
b)
Determinar la base y la
dimensión de N(T)
(x + 2y -z, x + y, x + y -2z) = (0, 0, 0)
x + 2y –z = 0
x+y=0
x + y -2z = 0
1 2
1
0 1 1
1 1
2
1
R1 R3
0
2
1
1
0
1 2
R2 R3
1
1
1
0 0
1
0 1
0
→ x + 2y –z = 0 ….I
x + y = 0….II
De II y = -z; De I x +2(-z) –z = 0; x = 3z
Solución general
x = 3t;
y = -t;
z=t
N(T) = {(3t, -t, t)│t R};
B N(T) = {(3, -1, 1)}
dim N(T) = 1
dim R3 = dim T(v) + dimN(T)
3 = 2 +1
AH 2 = {
,
,
,
1
}
AP 2 = {x2, x, 1}
T
= x2 + 1;
[x2 + 1]B = (1, 0, 1)T
T
= - x2 + x;
[- x2 + x]B = (-1, 1, 0)T
29. T
= x2- x + 1;
[x2- x + 1]B = (1, -1, 1)T
T
= x -1;
[x -1]B = (0, 1, -1)T
M(H) =
ÁLGEBRA DE FUNCIONES
Así como existen operadores con funciones, también se tienen operadores con
transformaciones. Por ejemplo se tienen entre otras las siguientes:
1.- Adición. Dada las transformaciones cuyo dominio es el mismo.
T: U→V y R : U→V Se define como resultado esta operación.
(T + R)( ) = T( ) +R( )
M(T + R) = M(T) +M(R)
2.- Multiplicación por un escalar. Dada la transformación T: U→V y α K, se define la
operación por medio de:
(αT)( ) = αT( )
M(αT) = αM(T)
3.- Composición. Dada las transformaciones T: U→V y R: V→W, se define la
transformación S: V→W como resultado de la composición entre las transformaciones de
T y R si y sólo si:
S( ) =(RoT)
S( ) = R[T( )]
En terminus de matrices
B R 3 = {(1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1)}
M(T) =
S*T(x, y, z) = M(S*T)(x, y, z)
M(S)M(T) = M(S*T)
M(S) =
30. =
M(S*T)(x, y, z) =
=
= (x +z, -y + z)
Propiedades de las operaciones con transformaciones.
1.- Conmutatividad para la adición.
T + S = S +T
M(T) + M(S) = M(T + S)
2.- Asociatividad para la adición.
(T + S) + R = T + (S + R)
[M(T) + M(S)] + M(R) = M(T) + [M(S) + M(R)]
3.- Homogeneidad para el producto por un escalar.
α(βT) = (αβ)T; α, β k
α*βM(T)+ = (αβ)M(T)
4.- Distributividad entre el producto por un escalar y la adición.
(α + β)T = αT + βT ; (α + β)MT = αMT + βMT
λ(T + S) = λT + λS ;
λ[M(T) + M(S)] = λM(T) + λM(S)
[(-8 + 4x)]B = [-8, 4]T
[(4 - 12x)]B = [4, -12]T
A
M B (T) =
-8
4
4
-12
( )A = [a + bx] A
a + bx = α(-1 + x) + β(2 + 2x)
a + bx = (-α + 2β, αx + 2βx)
-α + 2β = a
αx + 2βx = b
4β = a + b
β=
-α + 2(
)=a
α=
31. T
[a + bx] A =
A
M B (T)( )A = [T( )]B
-8
4
4
-12
=
T(a + bx) = (
B
) –(
)x
Ejemplo
3 1
1
1 , su polinomio característico – λ3 + 5λ2 - 8λ + 4
Sea A = 2 2
2 2
0
– A3 + 5A2 – 8A + 4I = 0
4I = A3 - 5A2 + 8A
4I = A(A2- 5A + 8I)
(A-1)4I = (A-1A)(A2- 5A + 8I)
4A-1= A2- 5A + 8I
A-1 = (A2- 5A + 8I)( )
det(A - λI) =
a-
b
0
a-
= (a -
)( a -
)=0
(A - λI)B( )B = [T( )]B
λ = a de multiplicidad 2
a-
b
0
a-
λ = a;
x
0
=
y
0
0 b
del R1 by = 0 → y = 0; x = k
0 0
propio = {(k, 0)│k R, k ≠ 0}
Eλ = {(k, 0)│k R}
B = {(1, 0)};
P=
1
0
A no es diagonizable
32. T(-1 + x) = -8 + 4x
T(2 + 2x) = 4 - 12x
0 b
0 b
2R1 R2
0 0
0 0
;
es base
Otra base de P1 B = {1, x}
Espacios característicos
BE 1 = {(1, 2)}
Eλ1 = {(k, 2k)│k R };
BE 2 = {(1, -3)}
Eλ1 = {(t, -3t)│t R };
Matriz diagonalizada
P=
1
1
2
3
D = P-1AP
;
D → Matriz diagonal.
A → Matriz Asociada a la T.
P → Matriz diagonalizadora.
P-1 = -
-3 -1
-2
A = M(T) =
D=-
1
2 -1
6
1
-3 -1
2 -1
1
-2
6
2
1
1
1
3
-3 -1
4 -1
-2
=-
8
1
3
=-
M(H) ?
BM ={
Vect. coord.
,
,
=α
,
}
+β
+γ
+δ
-20 0
0
5
=
4
0
0 -1
33. = (1, 0, 0, 0)T
H
=
H
=
B
= (0, 1, 0, 0)T
H
=
B
= (0, 0, 1, 0)T
H
=
B
B
= (0, 0, 0, 1)T
T( ) = λ( )
T(x, y)= λ(x, y)
(2x + y, 6x + y) = (λx, λy)
(2x + y - λx, 6x + y - λy) = (0, 0, 0)
Por igualdad de vectores
2x + y – λx = 0;
(2 - λ)x +y = 0
6x + y – λy = 0;
6x + (1 - λ) = 0
2
1
6
det
x
0
=
………. I Ecuación Cartesiana
y
0
1
2
1
6
=0
1
(2
)( 1
)–6=0
2
λ - 3λ - 4 = 0……… II Polinomio característico
(λ - 4)(λ - 1) = 0
λ1 = 4;
λ2 = -1 ………….III Valores característicos propios
Vectores propios.
Para λ1 = 4; sustitución en I
2 4 1
6
1 4
x
0
=
y
0
34. 2
1
6
x
0
=
y
0
3
Escalonando:
-2x + y = 0; y = 2x
Solución general: x = K; y = 2k;
λ1 = {(k, 2k)│k R, k ≠ 0}
Para λ2 = -1; sustitución en I
2 ( 1)
1
6
1 ( 1)
3 1
6 2
x
0
=
y
0
x
0
=
y
0
Escalonando:
3x + y = 0; y = -3x
Solución general: x = t;
M(H) =
A-1 =
H-1(A) = AT
= A;
y = -3t;
λ2
= -1 ≠ 0
det A = 1
R2
= {(t, -3t)│t R, t ≠ 0 }
R3
H no existe
