3. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
PRESENTACIÓN
Dentro del marco de la Reforma Educativa en la Educación Básica y En el Bloque V y VI verás el tópico referente a la circunferencia
Media Superior, La Dirección General del Bachillerato incorporó en aprendiendo sus propiedades, el uso y aplicación de diferentes
su plan de estudios los principios básicos de la Reforma Integral de la ecuaciones, mientras que el Bloque VII y VIII identificarás las
Educación Media Superior (RIEMS), cuyos propósitos son consolidar características y aplicarás ecuaciones referentes a la parábola, por
la identidad de este nivel educativo en todas sus modalidades y último en los Bloques IX y X tratarás lo relacionado a características
subsistemas que permitan, además, una educación pertinente para y ecuaciones de la elipse.
el alumnado que posibiliten que establezcan una relación entre la
escuela y su entorno, acorde con los contextos social, histórico, ¿Pero lo anterior, para que podría servirte?
cultural y globalizado que actualmente vivimos.
Bueno la idea es que pongas a trabajar tu mente, que puedas descubrir
¿Para qué sirven las matemáticas?, pues bien, aplicaciones hay y ver lo que oculta la naturaleza y que sólo las mentes privilegiadas
muchas, solamente depende del interés, la curiosidad y de la -como la tuya- pueden verlo, si lo miramos de otra manera. La
inteligencia del que la utiliza. idea general es que tú aprendas a utilizar las cosas, de acuerdo
con René Descartes padre de la Geometría Analítica, todo
Tomemos por ejemplo el caso del fútbol en donde mientras lo que nos rodea está compuesto de puntos, rectas y
todo el mundo observa si los jugadores logran hacer curvas, por lo tanto la naturaleza y sus procesos pueden
entrar una pelota en la portería del equipo contrario ser interpretados matemáticamente por medio de
para lograr el tan ansiado ¡Gol! hay unos que ven ecuaciones y gráficos que las contengan… ¿Qué tal?
además una parábola, o bien algo más complejo,
si estudias el movimiento de los planetas Para facilitar su manejo, todos los Cuadernillos
alrededor del Sol puedes ver que se forman de Actividades de Aprendizaje están
elipses, si se requiere calentar agua en un estructurados a partir de cuatro secciones
lugar en donde se le dificulta a la gente en cada bloque de aprendizaje: ¿Qué voy
conseguir leña, para hacerlo, se puede a aprender? Se describe el nombre y
formar una cavidad de frente al Sol, número de bloque, las unidades de
la cubres con un material reflejante competencia a desarrollar, así como
y colocas el recipiente en ella, una breve explicación acerca
lo ves, se trata de no son sólo de lo que aprenderás en cada
aprender números o fórmulas bloque.
por aprenderlos todos ellos tienen una aplicación que utilizaras en
un momento u otro de tu vida cotidiana. Desarrollando competencias. En esta sección se presentan
las actividades de aprendizaje para desarrollar las competencias
Estudiar Geometría Analítica, a lo largo de los diferentes bloques de señaladas en el programa de estudios, para lo cual es necesario
esta guía, te permitirá entender las matemáticas de otros modos, tu compromiso y esfuerzo constantes por aprender, ya que se
podrás convertir lo que estás aprendiendo, en una situación real y implementan actividades que tendrás que ir realizando a lo largo del
conocer más sobre el lenguaje matemático al hacer ecuaciones, las curso: en forma individual, en binas o parejas, en equipos o en forma
cuales se requieren por ejemplo para calcular la trayectoria rectilínea grupal. Dichas actividades van enfocadas a despertar en ti el interés
de un avión, o la trayectoria de una bala, o hacer ecuaciones de la por investigar en diferentes fuentes, para que desarrolles habilidades
recta que forma el pasamanos de una escalera, etc. y destrezas que propicien tu aprendizaje.
A lo largo de esta asignatura verás en el Bloque I lo referente a los ¿Qué he aprendido? En esta sección te presentamos actividades de
lugares geométricos, a través de tablas, gráficas y diagramas, en consolidación o integración del bloque que te permitirán verificar
el Bloque II identificarás las características y propiedades de los cuál es el nivel de desarrollo de las competencias que posees en cada
segmentos rectilíneos y polígonos, el Bloque III y IV complementa tu bloque de aprendizaje.
aprendizaje de los lugares geométricas integrando los elementos de
la recta, conociendo y aprendiendo a utilizar la ecuación de la recta.
4. A lo largo del Cuadernillo podrás encontrar señaladas, a través de viñetas, estrategias de organización del trabajo o de evaluación
como los siguientes:
Trabajo en pareja
Coevaluación
Trabajo en equipo
Autoevaluación
Trabajo en grupo
Potafolios de evidencia
Ideas 0 sugerencias
Quiero aprender más. En esta sección la consulta de diversas fuentes de información actualizadas, que son importantes para
complementar y consolidar lo aprendido. Es por ello que encontrarás varias sugerencias de estos materiales, los cuales serán el
medio a través del cual podrás investigar y descubrir otros asuntos y tópicos por aprender.
Como podrás darte cuenta, acabamos de presentarte un panorama general de la asignatura y las características de los
Cuadernillos de Actividades de Aprendizaje. Ahora sólo falta que tú inicies el estudio formal de Matemáticas III, para lo cual
te deseamos:
¡ MUCHO ÉXITO !
5. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
ÍNDICE
Bloque I 6
Reconoce lugares geométricos.
Bloque II 17
Aplica las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos.
Bloque III 25
Integra los elementos de una recta como lugar geométrico.
Bloque IV 35
Utiliza distintas formas de la ecuación de una recta.
Bloque V 47
Emplea la ecuación de la circunferencia con centro en el origen.
Bloque VI 54
Utiliza distintas ecuaciones de la circunferencia.
Bloque VII 62
Emplea la ecuación de la parábola con vértice en el origen.
Bloque VIII 71
Utiliza distintas ecuaciones de la parábola.
Bloque IX 82
Emplea la ecuación de la elipse con centro en el origen
Bloque X 93
Utiliza distintas ecuaciones de la elipse.
6. ¿Qué voy a aprender?
BLOQUE I
RECONOCE LUGARES GEOMÉTRICOS
UNIDADES DE COMPETENCIA
Analiza las relaciones entre las variables que conforman las parejas ordenadas
que determinan un lugar geométrico.
Interpreta la información contenida en tablas, gráficas, mapas, diagramas etc.;
a partir de noción de parejas ordenadas.
Argumenta la relación inferida entre los elementos de conjuntos de parejas ordenadas
para establecer que define un lugar geométrico.
La Geometría Analítica es una rama de las matemáticas que tuvo sus inicios en los trabajos del filósofo y matemático francés
René Descartes. Esencialmente, el objetivo de esta disciplina es conectar la geometría con el álgebra, por lo que las figuras se
representan mediante expresiones algebraicas y a la inversa, dada una expresión algebraica puede obtenerse su representación
gráfica.
A lo largo de este bloque de aprendizaje plantearás problemas teóricos o prácticos relacionados con las coordenadas cartesianas
de un punto, mediante la ubicación de objetos en un sistema de ejes coordenados, así como la investigación de lugares
geométricos y del comportamiento de las gráficas, ejercitando tus habilidades comunicativas en la traducción del lenguaje
gráfico al lenguaje coloquial.
Desarrollando competencias
EJES COORDENADOS
La Geometría de la Edad Moderna nace por las aportaciones de René Descartes que propone un nuevo método de resolver
problemas geométricos. Para tal método resulta esencial una construcción en el plano que se conoce como “Ejes coordenados”
y que sirven para ubicar la posición de cualquier punto o lugar geométrico.
Busca información sobre ejes coordenados, abscisa, ordenada, punto de referencia y elabora un resumen en tu cuaderno
anotando por lo menos dos ejemplos.
En parejas y con ayuda de materiales como papel bond, cartulinas y marcadores traza en un plano cartesiano la localización
de los siguientes puntos.
a) A (-3,2) b) B (-3,0) c) C (-3,-1) d) D (-3,-2) e) E (-2,1) f) F (-4,5)
g) G (1,2) h) H (0,3) i) I (-2,0) j) J (5,0)
Al terminar compara la gráfica que obtuviste con la de tus compañeros. Comenta el uso de los diversos cuadrantes y su relación
con los signos de las coordenadas.
6
7. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
También es posible identificar las coordenadas de puntos ya representados. Elijan a un representante del grupo para que
frente al grupo ubique las coordenadas de los puntos que se muestran y asignen a cada punto una letra mayúscula para su
identificación.
Observa la siguiente representación gráfica:
Forma equipos de 3 personas e indica las coordenadas de los puntos marcados. Cambia el orden de los números en cada par
ordenado y represéntalos de nuevo gráficamente, después comenta con tus compañeros las siguientes preguntas.
¿Obtuviste la misma representación gráfica de las coordenadas?
¿Por qué cambia la nueva posición de las coordenadas?
7
8. Bloque uno
Al finalizar comenten en grupo el tópico con respecto a la igualdad de pares ordenados y su representación gráfica.
Pero los ejes coordenados no sólo se usan en planos hipotéticos, también los puedes encontrar en tu entorno, por eso te
invitamos a que realices la siguiente actividad.
Reúnete en equipos de cinco compañeros y supongan que se encuentran en la capital de Estado, nos encontramos en la
esquina del parque x, y queremos hacer una visita al Palacio de Gobierno, al Mercado y a la Papelería.
• Al Palacio de Gobierno: dos manzanas a la derecha, giramos a la izquierda, pasamos ocho manzanas y enfrente se
encuentra nuestro objetivo, anotamos (2 derecha , 8 cuesta arriba)
• Mercado: dos a la izquierda, giramos a la izquierda y recorremos una manzana, anotamos (2 izquierda, 1 abajo)
• Papelería: anotamos (2 izquierda, 7 abajo) y sólo tendremos que cruzar la acera.
Podemos simplificar nuestra notación asignando signo + para ir a la derecha (Este), y signo - para ir a la izquierda (Oeste),
también asignamos el + para ir arriba (Norte) y el - para ir cuesta abajo (Sur), (esta asignación es sólo para tomar notas
rápidas). Veamos cómo nos queda:
1. Palacio de Gobierno (+2,+8)
2. Mercado (-2, -1)
3. Papelería (-2,-7)
A las rectas las llamaremos ejes de coordenadas.
• ¿Qué coordenadas tendremos nosotros?
Es importante que aprendas a ubicar de manera correcta las coordenadas de diferentes sistemas coordenados, realiza la
siguiente actividad para que practiques nuevamente la ubicación de puntos.
8
9. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
Observa la siguiente sopa de letras la cual puedes visualizar como un sistema de ejes coordenados y determina cuáles serían
las coordenadas donde se encuentran los espacios en blanco de manera individual.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1.- ( , ) 9.- ( , )
2.- ( , ) 10.- ( , )
3.- ( , ) 11.- ( , )
4.- ( , ) 12.- ( , )
5.- ( , ) 13.- ( , )
6.- ( , ) 14.- ( , )
7.- ( , ) 15.- ( , )
8.- ( , ) 16.- ( , )
Los sistemas de coordenadas no sólo los puedes usar para ubicar lugares o puntos, sino también para analizar información que
está contenida en gráficas.
9
10. Bloque uno
Para la siguiente actividad reúnete en parejas para analizar la siguiente gráfica y elabora un breve reporte en el cual
contestes las preguntas que aparecen al final, tomando en cuenta su comportamiento con respecto a los ejes coordenados.
GASTO MENSUAL DE LA SECRETARIA DE TURISMO
2.300.000
2.250.000
2.2O0.000
2.150.000
2.100.000
2.050.000
2.000.000
1.950.000
1.900.000
FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC
2004 2005 2006 2007 2008
1.- ¿Cuál fue el gasto que se tuvo en el mes de julio del año 2006?
2.- ¿En qué mes y año se alcanzo el máximo gasto?
3.- ¿En qué mes y año se tuvo el gasto más bajo?
Una vez que hayas finalizado comenta con tus compañeros el “Por qué” esta gráfica se comporta como un sistema de ejes
coordenados, así como cuál sería su interpretación.
LUGAR GEOMÉTRICO
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura
geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de
dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
10
11. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
Elijan a un representante del grupo para que escriba los registros tabulares y grafique el lugar geométrico de la expresión
y = x 2 − 4 , además de identificar cómo se llama el lugar geométrico.
Recordemos
Los registros tabulares son aquellos obtenidos mediante la sustitución de los valores de la variable
independiente x en la función a utilizar.
La representación algebraica se refiere al uso del lenguaje matemático con números y letras que
hacen referencia al comportamiento de una condición en particular
La representación verbal nos explica con lenguaje común como se comporta cierta función o
condición.
Durante la actividad comenten conceptos importantes como la representación tabular, verbal y algebraica de los lugares
geométricos.
x y
-3
x y
-3 -2
-2 -1
-1 0
0
1 1
2 2
3 3
11
12. Bloque uno
Los sistemas de coordenadas no sólo los puedes usar para ubicar lugares o puntos, sino también para analizar información que
está contenida en gráficas.
Ahora analizarás el siguiente caso, describe la representación verbal y algebraica del lugar geométrico que se encuentra
dibujado en la siguiente gráfica:
¿Cómo se llama este lugar geométrico?
¿Cuál es la expresión matemática que la representa?
BIBLIOGRAFIA: Fuentes de información
• Mata Holguín, Patricia. Matemáticas III, Bachillerato. 2a ed., México, ST Editorial, 2007.
• Guerra, Manuel y Silvia Figueroa. Geometría Analítica (Edición revisada). México, McGraw Hill, 2004.
• Caballero, Arquímedes. Geometría Analítica, México, Editorial Esfinge, 2004.
SITIOS EN INTERNET
• DESCARTES.CNICE.MECD.ES (Web en línea)
http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/intro_geom_analitica_jasg/index.htm
[Consulta: 05/06/2010]
• GEOCITIES.COM (Web en línea)
http://www.geocities.com/geometriaanalitica/
[Consulta: 05/06/2010]
• ELOSIODELOSANTOS.COM (Web en línea)
http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/div/geometan.html
[Consulta: 05/06/2010]
• PERSONAL.REDESTB.ES (Web en línea)
http://personal.redestb.es/javfuetub/geometria/geoanali.htm
[Consulta: 05/06/2010]
• OMERIQUE.NET (Web en línea)
http://www.omerique.net/calcumat/analitica1.htm
[Consulta: 05/06/2010]
12
13. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
¿Qué he aprendido?
Has finalizado el Bloque I ahora es tiempo de evaluar lo que has aprendido, con respecto a los tópicos de Lugar Geométrico,
ubicación de puntos y representación de gráficas, por eso realiza los siguientes ejercicios, en todas y cada una de las
actividades después de realizarlas deberás integrarlas a tu portafolios de evidencias.
Los siguientes tres ejercicios debes realizarlos de manera individual, una vez que hayas terminado intercambia tus
respuestas con alguno de tus compañero para que cada uno revise ejercicios distintos a los que elaboró.
1.-Indica las coordenadas de los puntos marcados en negro en el siguiente dibujo.
2.- Observa los puntos representados en las siguientes gráficas, escribe las coordenadas y menciona que tienen de particular.
13
14. Bloque uno
3.-Observa el siguiente mapa.
Fuente:redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/proyectos/reinos_oto2006/actt1_parte2.htm
¿Podrías tomar los ángulos mostrados como parte de un sistema de ejes coordenados?
¿Qué punto tomarías como referencia central?
Da las coordenadas de los puntos blancos ubicados en
a) América del Norte
b) América del Sur
c) África
d) Europa
e) Asia
4.-Forma equipos de cinco personas y bosqueja la gráfica de las siguientes ecuaciones, puedes ayudarte de Papel Bond,
cartulinas, marcadores, colores, etc. Al finalizar, de manera aleatoria, selecciona a algunos de tus sus compañeros para que
vayan anotando las respuestas en el pizarrón, recuerden que pueden participar activamente, complementando en caso de
ser necesarias las respuestas que se van anotando.
a) y = 3x -1
b) 4x + 5y =10 (Sugerencia: Es más fácil construir una tabla de pares ordenados si despejas “y” en la ecuación antes de llenar
la tabla.)
c) y = x
d) y = 2 x − 3 x + 1
2
e) y = − x + 2 x − 1
2
14
15. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
Quiero aprender más
Una forma divertida de practicar el manejo de ejes coordenados es la batalla naval el cual es un juego de estrategia en el que
participan dos jugadores.
Se juega con lápiz y papel, y no interviene el azar.
Preparación:
Antes de comenzar el juego, cada participante dibuja en un papel cuadriculado dos tableros cuadrados de 10 × 10 casillas. Las
filas horizontales se numeran de la A hasta la J, y las columnas verticales del 1 al 10. Basta con indicar las coordenadas de un
disparo con un par letra/número (por ejemplo, A6 o J9).
En el cuadrado de la izquierda se coloca la flota propia (se muestra un ejemplo). En el cuadrado de la derecha se irán marcando
los disparos que el jugador efectúa en el mar del contrincante: barcos tocados, hundidos y disparos al agua.
La flota:
Cada jugador dispone en su tablero izquierdo una flota completa, sin que el contrincante vea su posición. Los barcos no pueden
tocarse entre sí, es decir, que todo barco debe estar rodeado de agua o tocar un borde del tablero. La flota está formada por:
1. Portaaviones (de cuatro cuadraditos)
2. Acorazados (de tres cuadraditos)
3. Buques (de dos cuadraditos)
4. Submarinos (de un cuadradito)
15
16. Bloque uno
Mecánica del juego:
El turno pasa alternativamente de un jugador a otro.
En su turno, el jugador hace un disparo a una posición del mar enemigo, indicando la coordenada correspondiente (letra y
cifra). Si no hay barcos en ese cuadradito, el otro jugador dice: « ¡agua!»; si el disparo ha dado en algún barco dice: « ¡tocado!»;
si con dicho disparo el rival logra completar todas las posiciones del barco, debe decir « ¡hundido!»
En el ejemplo, un primer disparo sobre H9 sería «agua»; sobre G5, «tocado», y sobre D7, «hundido». Gana el jugador que consigue
hundir todos los barcos del rival. Practícalo con alguno de tus compañeros.
Además te ofrecemos una serie de textos los cuales complementaran tus conocimientos de este capítulo.
• Hernández Velasco Fernando Fabián. Geometría Analítica para principiantes. CCH Oriente. 1997.
• Aleksandrov A. D., et al. La matemática: su contenido, métodos y significado I. Alianza Editorial. Madrid 1973.
• Fuller Gordon, et al. Geometría Analítica. Addison Wesley. México 1999.
• Santalo Marcelo, et al. Geometría Analítica. Textos Universitarios, S.A. México, 1976.
• Smith, Stanley, et al. Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Addison-Wesley Longman, México, 1998.
16
17. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
¿Qué voy a aprender?
BLOQUE II
APLICA LAS PROPIEDADES DE SEGMENTOS
RECTILÍNEOS Y POLÍGONOS
UNIDADES DE COMPETENCIA
Construye e interpreta modelos relacionados con segmentos y polígonos, al resolver
problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.
Cuantifica y representa magnitudes en segmentos y polígonos identificados en
situaciones reales, hipotéticas o teóricas.
Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de segmentos y polígonos.
Estás por empezar el Bloque II en el cual resolverás problemas aplicando los conceptos, técnicas y procedimientos relativos a
propiedades geométricas y analíticas de segmentos; rectas y polígonos, así como la división de un segmento dada una razón,
distancia entre dos puntos y el cálculo de perímetros y áreas de figuras planas, ejercitando tus habilidades comunicativas a
nivel oral y escrito.
Desarrollando competencias
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La longitud de un objeto se determina generalmente comparándolo con una unidad de medida, como puede ser: el metro, el
centímetro, el milímetro, etc. Para efectuar la comparación se han fabricado instrumentos que contienen impresa una escala
y mediante su uso se determina la longitud de un segmento, la arista de un polígono, etc.
En el ámbito de la Geometría Analítica a veces no se tiene un instrumento con una escala tan precisa para medir la
longitud de un segmento, por lo que se han creado técnicas específicas que toman como base las coordenadas de los puntos
extremos del segmento.
17
18. Bloque dos
La fórmula para obtener la distancia entre dos puntos es:
d= ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
2 2
Te sugerimos que realices la siguiente actividad con otro compañero donde deben analizar la manera adecuada de utilizar
la fórmula correspondiente a la distancia entre dos puntos.
Una empresa debe pavimentar un camino recto que une a dos calles (A= Tomas Moro y B =Apoquindo).
Observa que se puede representar en un plano cartesiano en el que se muestra la posición de estas calles y la distancia entre
ellas.
Entonces ¿Podemos calcular esta distancia?, ¿Qué relación hay entre el Teorema de Pitágoras y la fórmula anteriormente dada?
Coméntalo con tus compañeros.
18
19. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
Ahora aplicarás la formula de distancia entre dos Puntos, de forma individual representa gráficamente en el plano los
siguientes pares de puntos y luego cálcula la distancia entre ellos:
a) A (4; -1) y B (3; - 2)
b) C (-4; 0) y D (-1; -3)
c) E (-2; 2) y F (0; 0)
¿Obtuviste el mismo resultado de tus compañeros?, ¿La representación gráfica también coincide? Prepara una exposición de
este tópico para presentarla ante el resto del grupo, recuerda que tanto el informe que presentes como la exposición misma
deberán contener el procedimiento y el razonamiento que usaste.
Si tienes alguna duda con respecto a algún concepto o en la aplicación correcta de la fórmula puedes apoyarte en la bibliografía
que te presentaremos al final del Bloque II.
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA.
El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. Las
razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas.
La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidades homogéneas con el objeto de saber
cuántas veces la una contiene a la otra.
Observación: En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos
de recta dirigidos.
19
20. Bloque dos
Realiza una breve investigación de las fórmulas que dividen un segmento y la forma en cómo son obtenidas analíticamente,
elabora un informe y ve si coinciden con las que te presentamos.
x1 + rx2 y + ry2
x= ,y= 1
1+ r 1+ r
Existe un caso particular en donde si el punto de división P(X, Y) está a la mitad del segmento AB como se indica en la figura
tendremos lo que llamaremos Punto Medio.
El punto medio es el punto que divide a un segmento en dos partes iguales. El punto medio de un segmento, es único y
equidista de los extremos del segmento.
La fórmula para determinar el punto medio de un segmento en el plano, con coordenadas (x, y) es:
x +x y +y
Pm = 1 2 , 1 2
2 2
Realiza la siguiente actividad en equipos de 4 alumnos, para que puedas comprender mejor la aplicación de las formulas
anteriores.
Consigue una cuerda de 1 metro, 3 ó 4 hojas de Papel Bond, regla y marcadores ó colores.
Divide la cuerda en 4 partes iguales y marca las divisiones con un marcador.
Marca también la mitad de la cuerda con un marcador de color diferente.
¿Cuánto mide cada parte?
¿Cuánto mide la mitad de la cuerda?
Ahora aplica las fórmulas, con las coordenadas (-2, -3), (4, 5) calcula las coordenadas para dividir este segmento en 4 partes
iguales y la distancia de cada uno de los segmentos.
¿Cuáles son las coordenadas de los puntos que dividen en cuatro partes iguales?
¿Cuánto mide cada segmento?
¿Cuáles serían las coordenadas del punto medio?
Bien ahora comprobemos lo hecho experimentalmente y lo obtenido matemáticamente. Con las hojas de papel bond dibuja
un sistema de ejes coordenados, donde abscisas y ordenadas vayan de -7 a 7 como puntos extremos, y cada unidad equivalga
a 10 cm.
Coloca la cuerda sobre tu sistema de ejes coordenados y has que coincidan sus extremos con los puntos (-2, -3) y (4, 5).
¿Coinciden las coordenadas y las marcas de la cuerda?
¿La distancia de los segmentos son las mismas?
20
21. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
Una vez elaborado el ejercicio, elijan a uno de los equipos para que expongan su proceso ante el resto del grupo, al finalizar
la presentación los alumnos que hablaron sobre su proceso podrán hacer preguntas al resto del grupo con la finalidad de
conocer que tan comprensible quedo el tópico que expusieron.
La aplicación de las fórmulas debe servirte para comprobar mediciones hechas experimentalmente. Comprueba una vez más
esto realizando la siguiente actividad.
En compañía de otro alumno, elabora un modelo, maqueta o estructura de la siguiente figura.
Utiliza materiales como cuerdas, palillos u otros materiales para representarla, de manera que la distancia de dos de los lados
sea de 73 cm y los otros dos lados sean de 80cm, ten en cuenta que los lados iguales deben ser opuestos.
Dado el cuadrilátero con puntos A ( −3, 4 ) , B ( 5,3) , C ( 3, −4 ) , D ( −5, −3) demuestra que la recta que une los puntos
,
medios de AD y BC pasa por el punto medio del segmento que une los puntos medio AB y CD como se muestra en la figura.
Comprueba los resultados que obtuviste matemáticamente, comparándolas con las medidas de la maqueta que hiciste
anteriormente.
Una vez que terminen, en plenaria comenten sus opiniones acerca del trabajo que realizaron sus compañeros, recuerden que
no es una crítica, es un ejercicio de retroalimentación a fin de mejorar el desempeño académico de cada uno.
ÁREAS Y PERÍMETROS DE POLÍGONOS REPRESENTADOS EN EL PLANO
La Geometría Analítica nos da herramientas para poder calcular el perímetro o el área de cualquier polígono si conocemos
las coordenadas de los vértices. Por lo que respecta a las áreas, existen varios métodos como la formula de Herón o por
determinantes.
Realiza una búsqueda de información sobre las formas y fórmulas para obtener el perímetro y área de polígonos representados
mediante coordenadas en el plano cartesiano e inclúyela en tu portafolio de evidencias, posteriormente comenta con el
grupo cuáles son y cómo sería su aplicación.
21
22. Bloque dos
Ahora en parejas realiza los siguientes ejercicios y al terminar compara tus respuestas con el resto del grupo.
Determina el perímetro y el área del triángulo cuyos vértices tienen las siguientes coordenadas
A (1, 2), B (3, 6) y C (7, 1).
Determina el área y perímetro del polígono cuyos vértices tienen las coordenadas:
A (-2, 1), B (-2, 4), C (1, 1) y D (-2, -2)
BIBLIOGRAFÍA
• Mata Olguin, Patricia. Matemáticas 3, Bachillerato. México ST editorial, 2005, pp.68-127.
• Caballero, Martínez, Bernárdez. Geometría analitica.15a Ed., México, Esfinge, 2003. pp. 80-116.
• Silva, Lazo. Fundamentos de Matematicas.6a Ed., México, Limusa 2005, pp. 667-697.
SITIOS EN INTERNET
• COMENIUS.USACH.CL (Web en línea)
http://www.comenius.usach.cl/pcmat/Productos/Tabla-Objetivo-Recursos/segundo/tabla25.htm
[Consulta: 05/06/2010]
• DESCARTES.CNICE.MECD.ES (Web en línea)
http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_0.htm
[Consulta: 05/06/2010]
• ESCOLAR.COM (Web en línea)
http://www.escolar.com/avanzado/geometria009.htm
[Consulta: 05/06/2010]
22
23. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
• GALEON.COM (Web en línea)
http://galeon.com/profedemateyfisica/GEOMETRIA/LARECTA.doc.
[Consulta: 05/06/2010]
• ACADEMICA.UES.EDU.SV (Web en línea)
http://www.academica.ues.edu.sv/.../Jesus%20Infante%20Murillo%20-%20Geometria%20Analitica/2.%20Linea%20Recta.pdf
[Consulta: 05/06/2010]
• VALLE.FCIENCIAS.UNAM.MX (Web en línea)
http://valle.fciencias.unam.mx/~lugo/bach1/Lugares/index.html
[Consulta: 05/06/2010]
¿Qué he aprendido?
Realiza la siguiente autoevaluación.
Realiza los siguientes ejercicios
a) Demuestra que los puntos A ( 3,8 ) , B ( −11,3) , C ( −8, −2 ) son los vértices de un triángulo isósceles (recuerda que
un triángulo isósceles es aquel que tiene dos lados iguales y otro diferente).
b) Demuestra que los puntos A ( 7,5 ) , B ( 2,3) , C ( 6, −7 ) son los vértices de un triángulo rectángulo.
c) Demuestra que los tres puntos siguientes son co lineales A ( −3, −2 ) , B ( 5, 2 ) , C ( 9, 4 ) .
c) Un albañil se dispone a trazar y construir una escalera, la cual debe tener seis escalones en un espacio definido como el que
se muestra en la figura, cómo ayudarías al albañil a determinar las dimensiones de la plantilla y altura de la misma.
23
24. Bloque dos
d) En una carta de navegación el origen se sitúa en un puerto. Un barco se encuentra en el punto (-5, 6) y otro en el (2, 3).
¿Qué distancia hay entre ellos, si las unidades de la carta corresponden a kilómetros?
e) Con lo que sabes hasta ahora, puedes ayudar al herrero Abundio a fabricar una escalera. Abundio quiere que la escalera mida
tres metros de largo, y desea colocarle nueve peldaños. ¿Cómo determinarías a qué distancia debe poner cada peldaño si el
tramo de material está en posición horizontal como se muestra en la figura?
Una vez que concluiste esta actividad, utiliza la siguiente lista para llevar a cabo tu autoevaluación.
AREAS DE MEJORA BUENO REGULAR MEJORABLE COMO PUEDO
MEJORAR
Uso de material didactico (gráficas,
maquetas, modelos).
Ubicación espacial de coordenadas y
datos.
Conocimiento de las expresiones
matematicas y su aplicación.
Colaboración de todo el equipo.
Quiero aprender más
Ofrecemos una serie de textos los cuales complementaran tus conocimientos de este capítulo.
• Hernández Velasco Fernando Fabián. Geometría Analítica para principiantes. CCH Oriente. 1997.
• Aleksandrov A. D., et al. La matemática: su contenido, métodos y significado I. Alianza Editorial. Madrid 1973.
• Fuller Gordon, et al. Geometría Analítica. Addison Wesley. México 1999.
• Santalo Marcelo, et al. Geometría Analítica. Textos Universitarios, S.A. México, 1976.
• Smith, Stanley, et al. Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Addison-Wesley Longman, México, 1998.
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25. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
¿Qué voy a aprender?
BLOQUE III
INTEGRA LOS ELEMENTOS DE UNA RECTA
COMO LUGAR GEOMÉTRICO
UNIDADES DE COMPETENCIA
Construye e interpreta modelos sobre la línea recta como lugar geométrico al
resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.
Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas en distintas representaciones
de la recta.
Bienvenido al Bloque III en el cual comprenderás los elementos de una recta empezando por la relación que existe entre su
ángulo de inclinación y la pendiente de la misma lo que posteriormente te dará las condiciones para reconocer cuando se
tienen rectas paralelas o perpendiculares. Identificarás y construirás modelos de fenómenos que involucran razones de cambio
constantes que se presentan en tu entorno. Comprenderás la existencia de una recta específica, identificando su forma y los
elementos requeridos para obtener su ecuación. Asimismo analizarás la influencia de los parámetros pendiente y ordenada en
la ecuación de una recta y su representación gráfica.
Sin duda alguna, la geometría analítica te proporcionará los elementos necesarios para crear posteriormente modelos
matemáticos que te permitan plantear soluciones a ciertas situaciones problemáticas de la vida cotidiana; basándonos en
datos numéricos que sean susceptibles de conocer y usar para plantear dicha situación.
Desarrollando competencias
Una línea recta, lo mismo que cualquier curva contenida totalmente en un plano está representada, en relación con un
sistema de ejes cartesianos, por una función de dos variables, siempre y cuando dicha función sea capaz de expresar la
condición común que satisfacen absolutamente todos y cada uno de los puntos que constituyen dicha línea.
PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN.
El ángulo de inclinación y la pendiente son conceptos que se asocian indisolublemente a las rectas y que aún cuando guardan
una intima relación son diferentes, por lo que deben distinguirse con claridad, por esa razón iniciaremos este apartado
precisando los aspectos esenciales de ambos conceptos para comprenderlos bien.
25
26. Bloque tres
El ángulo de inclinación de una recta es aquel que se forma entre ella y el eje de las abscisas (eje de las x), tomado en su sentido
positivo, es decir, en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.
En ocasiones, resulta conveniente tomar el ángulo en sentido negativo, es decir, siguiendo el giro de las manecillas del reloj,
principalmente cuando el ángulo de inclinación de la recta esta cercano a los 360° o a un múltiplo de él. Cuando se hace esto,
el ángulo de inclinación tiene signo negativo y se calcula restándolo a 90°. Veamos la figura A.
Se define como pendiente de una recta, al grado de inclinación que dicha recta posee con respecto a un sistema de referencia,
o coordenado.
Matemáticamente se dice que la pendiente de una recta es una diferencia de ordenadas entre una diferencia de abscisas, y se
denota convencionalmente con la literal m. Conociendo las coordenadas de los extremos de un segmento, se puede calcular la
pendiente y ángulo de inclinación del mismo.
Ya aprendimos a localizar un segmento en el plano cartesiano utilizando las coordenadas de sus extremos, aprendimos también
a calcular la medida de este segmento; es decir la distancia entre los dos puntos extremos. Otra característica importante de
este segmento es su inclinación con respecto al eje x que puede ser medida de diferentes formas.
La pendiente de un segmento AB es una medida de la inclinación de este segmento con respecto al eje x. La pendiente de
un segmento es el cociente de dos incrementos o cambios: el de las ordenadas de los dos extremos, entre el de las abscisas de
éstos. Si las coordenadas de los puntos extremos son A ( x1 , y1 ) y B ( x2 , y2 ) , lo que hemos dicho se puede expresar como
sigue:
incremento en y y2 − y1
pendiente = mAB = =
incrmento en x x2 − x1
Supongamos los extremos de un segmento son: A (1,0) B (4,3), por lo que su pendiente se calcula como:
3−0 3
m= = =1
4 −1 3
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27. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
Ubica los puntos y traza la gráfica correspondiente:
Ahora bien, este segmento de recta tiene un ángulo de inclinación medido desde el eje x positivo, en sentido contrario al
avance de las manecillas del reloj hasta el segmento dado. En el ejemplo anterior si trasladamos una recta horizontal, es decir
paralela al eje x hasta el punto extremo A, formamos un triángulo rectángulo y el ángulo α de inclinación puede expresarse
como:
cateto opuesto y −y
tan α = = 2 1
cateto adyacente x2 − x1
Y, este cociente, como se estableció anteriormente es el valor de la pendiente del segmento AB . Por lo que:
tan α = m
Para determinar el ángulo α de inclinación:
α = tan −1 m
En plenaria comenten la información anterior y discutan las siguientes preguntas: ¿Cuál es la pendiente y ángulo de
inclinación de los segmentos horizontales?, ¿Cuál es la pendiente y ángulo de inclinación de los segmentos verticales?
Forma parejas y determina la pendiente y el ángulo de inclinación de los segmentos:
1. A (1,3), B (5,9)
2. A (1,1), B (-4,-4)
3. A (2,6), B (-6,7)
Usa papel Bond o cartulinas para hacer su representación gráfica y que puedas presentarlas ante el grupo y expliques tu
procedimiento para obtener los resultados.
27
28. Bloque tres
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
La pendiente de una recta es un gran auxiliar para saber si dos rectas son paralelas o perpendiculares o si hay un punto en el
que se cruzan.
Las rectas paralelas son aquellas que no se intersecan en ningún punto y que se mantienen siempre a la misma distancia una
de otra. En el caso de las rectas paralelas, la pendiente tiene exactamente el mismo valor para cada una de ellas.
Para l1 � l2 se tiene m1 = m2
En tu entorno también puedes encontrarlas
28
29. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
Las rectas perpendiculares, por su parte, son aquellas que al cortarse forman un ángulo de exactamente 90°. Los ejes cartesianos
son ejemplo de rectas perpendiculares porque siempre generan al cruzarse ángulos de 90°. Para las rectas perpendiculares las
pendientes son recíprocas y de signo contrario, por lo que su producto siempre da como resultado -1, es decir:
Para l1 ⊥ l2 se tiene m1m2 = −1
Veamos ahora como lo puedes aplicar:
Los puntos A y B pertenecen a la recta 1 y los puntos P y Q a la recta 2. Con esta información determina si las rectas son
paralelas o perpendiculares.
A (2, 4), B (3, 8), P (2, 0), Q (6, 8)
Primero obtén las pendientes de cada recta
- -
m1 = = m2 = =
- -
Una vez obtenidas las pendientes ya puedes decir ¿son paralelas o perpendiculares?
29
30. Bloque tres
Comprueba tu resultado trazando las rectas.
Al finalizar, de manera aleatoria, selecciona a uno de tus compañeros para que vayan anotando las respuestas en el pizarrón,
recuerden que pueden participar activamente, complementando en caso de ser necesarias las respuestas que se van anotando.
ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN
En esta forma de la ecuación de la recta sólo es necesario conocer la pendiente y la intersección con el eje de ordenadas (y), la
forma punto-ordenada al origen, también llamada ecuación de la recta en forma reducida, está dada por: y = mx + b donde
como ya sabes m es la pendiente y b la ordenada al origen o la intersección con el eje de ordenadas (y).
30
31. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
Ahora obtengamos la gráfica de la recta basada en su pendiente y su ordenada. Ya sabemos que la ordenada al origen b nos
da el punto donde la recta corta al eje de las ordenadas, lo que equivale a conocer un punto por donde pasa la recta por
trazar. La pendiente m puede interpretarse, sin necesidad de recurrir a las tablas matemáticas, recordando que la tangente
trigonométrica de un ángulo es igual al cateto opuesto sobre el cateto adyacente. De acuerdo al significado de la constante m.
Trazar la línea recta cuya ecuación es: y = 2 x − 5
La ecuación común de la línea recta y la ecuación dada son:
y = mx + b
↑ ↑
y = 2x − 5
Igualando coeficientes, se tiene m=2 y b=-5, pero se sabe que:
4 y
m=2= =
2 x
Por lo tanto x=2, y=4 lo que nos indica que del punto de intersección recorreremos 2 unidades a la derecha y 4 unidades hacia
arriba para obtener otro punto de la recta, como se observa en la gráfica.
4
Tomando en cuenta lo anterior realiza la gráfica de la ecuación y = x + 3 en hojas de papel Bond,
5
determina quién es la pendiente y la ordenada, elijan un representante de grupo para que muestre su gráfica ante todos y
comenten cómo se comporta con respecto de los parámetros m y b.
31
32. Bloque tres
RAZÓN DE CAMBIO
Reúnete en equipos de cinco personas y desarrollen la siguiente actividad
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto. Haz una tabla que relacione el tiempo transcurrido (en minutos)
y el volumen (en litros) de estanque que se llena. Escribe la fórmula que relaciona el volumen y el tiempo. Representa
gráficamente los resultados.
Repite el apartado anterior suponiendo que el estanque tiene un volumen inicial de 20 litros.
¿Y si partiésemos de un volumen inicial de 10 litros, cuáles serían los resultados?
Compara las gráficas obtenidas e indica que tienen en común y en qué se diferencian.
¿Qué fórmula correspondería a esta situación gráfica?
BIBLIOGRAFIA
• Mata Holguín, Patricia. Matemáticas 3 bachillerato, ST Editorial, México, 2005.
• Ruiz Basto, Joaquín. Geometría Analítica. México, Publicaciones Cultural, 2004, 371 pp.
• Salazar Vásquez P. y L. Magaña Cuellar Matemáticas III. México Nueva Imagen, (Colección Científica), 2003, 293 pp.
• Torres Alcaraz Carlos. Geometría Analítica. México, Santillana, México, 1998, 320 pp.
¿Qué he aprendido?
El Bloque III a finalizado y es tiempo de realizar las siguientes actividades y valorar lo que has aprendido.
1.- La gráfica mostrada pertenece a las ventas (en miles de pesos) de cierto producto (en centenas) en los siete meses que
se indican desde el día de su lanzamiento. A partir del concepto de pendiente di cuántas veces las ventas han sido positivas,
cuántas negativas o no han sufrido cambios.
32
33. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
2.- Los puntos A y B pertenecen a la recta 1 y los puntos P y Q a la recta 2. Con esta información determina si las rectas son
paralelas o perpendiculares usando la definición de pendiente y comprobándolo gráficamente.
A (-4, 6), B (4, 2), P (-1, 0), Q (3, 8)
3.- En parejas realiza la gráfica de las siguientes ecuaciones en papel milimétrico e indica quien es la pendiente y la
ordenada al origen.
a) y = 2 x − 1
1
b) y = x+3
3
5
c) y = x−4
3
4.- En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente
proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establece una función a fin que dé la altura
de la planta en función del tiempo y represéntala gráficamente.
5.- Por el alquiler de un coche cobran $100 diarios más $ 0.30 por kilómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona
el coste diario con el número de kilómetros y represéntala. Si en un día se ha hecho un total de 300 km, ¿qué importe debemos
abonar?
6.- En una fábrica el costo total de la producción de cierto producto es de 700, 000 pesos en un trimestre si se han producido
35,000 unidades, y de 1, 400,000 pesos en otro trimestre cuando la producción es de 70,000
unidades. Suponiendo que la relación tiene un comportamiento lineal, ¿Cuál es la ecuación de dicha relación?
7.- Un joven, desea calcular la altura de un cerro que se encuentra pegado a un pueblo llamado Héroes de Chapultepec. Un
punto en el suelo se encuentra a 98 m de la base del cerro que se sitúa en el origen del sistema coordenado (ver la figura), el
punto de la cúspide de la torre es B (0,1141); determina:
a) la altura de la torre,
33
34. Bloque tres
b) el ángulo de elevación del punto A hacia la cúspide de la estructura y,
c) Valor del ángulo B
Realiza el siguiente ejercicio de autoevaluación.
AREAS DE MEJORA BUENO REGULAR MEJORABLE COMO PUEDO
MEJORAR
Conocimiento de los elementos de una
recta y sus fórmulas.
Representación gráfica de los elementos
de una gráfica.
Elaboración de modelos matemáticos a
partir de problemas de aplicación.
Aplicación y uso de las expresiones
matemáticas de la recta.
Quiero aprender más
Fuentes de información
Te ofrecemos una serie de textos los cuales complementaran tus conocimientos de este capítulo.
• Hernández Velasco Fernando Fabián. Geometría Analítica para principiantes. CCH Oriente. 1997.
• Aleksandrov A. D., et al. La matemática: su contenido, métodos y significado I. Alianza Editorial. Madrid 1973.
• Fuller Gordon, et al. Geometría Analítica. Addison Wesley. México 1999.
• Santalo Marcelo, et al. Geometría Analítica. Textos Universitarios, S.A. México, 1976.
• Smith, Stanley, et al. Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Addison-Wesley Longman, México, 1998.
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35. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
¿Qué voy a aprender?
BLOQUE IV
UTILIZA DISTINTAS FORMAS DE LA
ECUACIÓN DE UNA RECTA
UNIDADES DE COMPETENCIA
Construye e interpreta modelos auxiliándose de distintas formas de la ecuación de la
recta al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.
Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con diferentes formas
de la ecuación de la recta.
Argumenta la pertenencia de utilizar una forma específica de la ecuación de la recta,
dependiendo de la naturaleza de la situación bajo estudio.
En este Bloque asociaras las intersecciones de una recta con los ejes cartesianos y la ecuación de la recta en su forma simétrica.
Relacionaras las formas de la ecuación pendiente-ordenada al origen, simétrica y general entre sí y transitaras de una forma
a otra para determinar la forma más adecuada de representación de la recta dependiendo de la situación. Finalizando con el
cálculo de distancias entre puntos y rectas.
Desarrollando competencias
Son muchos los tópicos que abarca la geometría analítica, pero en esta unidad nos enfocaremos al tópico de “la línea recta”,
la cual es un instrumento útil que te servirá para estudiar diversas situaciones o fenómenos que tienen un comportamiento
lineal, es decir, que su gráfica en el plano cartesiano de acuerdo con sus datos describen una línea recta y su ecuación o modelo
matemático es un polinomio de grado CERO o UNO.
Los tópicos vistos en los Bloques anteriores de este cuadernillo como ejes coordenados, lugares geométricos, segmentos
rectilíneos y polígonos basados en coordenadas cartesianas, te servirán como herramientas básicas que facilitarán el aprendizaje
de los tópicos de este bloque.
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36. Bloque cuatro
ECUACIONES DE LA RECTA
La recta puede representarse de varias formas dependiendo de los elementos que te hayan proporcionado, investiga cuáles son
las formas de la recta y completa el siguiente cuadro.
FORMA CARACTERÍSTICAS ECUACIÓN
Pendiente-Ordenada
Punto-Punto
Punto-Pendiente
Simétrica
General
En parejas realicen los siguientes ejercicios los cuales te ayudaran a entender mejor las ecuaciones de la recta.
1.-Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene un ángulo de inclinación de 135º.
Un primer paso sería graficar
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37. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
¿Cuáles son los elementos que te están proporcionando?
¿Te sirven todos o tendrías que modificar alguno? ¿Cuál?
Como conocemos el punto P (4,-1) podemos calcular dicha recta, pero también es necesario determinar el valor de la pendiente m.
¿Cuál es el valor de la pendiente?
No olvides que si bien es cierto que pendiente y ángulo de inclinación están relacionados no son lo mismo.
Ahora que ya tienes los elementos correctos. ¿Qué ecuación de la recta sería la más conveniente para usar?
Sustituye los valores en la expresión.
y−( )=______ ( x − )
y + _____ = __ x + ____
y = __ x − _____
De la ecuación anterior ¿Cuáles son los valores de m y b?
2.-Halla la ecuación de la recta que pasa por el siguiente par de puntos (–7, 11), (1, 7)
Por medio de los puntos dados puedes buscar el valor de la pendiente aplicando la formula correspondiente
-
m= =
−
Luego sustituye los datos en la fórmula de la ecuación de la recta dado dos puntos, tomamos el punto (1,7) y obtenemos:
y −( )= (x − )
Nota: Puedes tomar cualquiera de los dos puntos eso no afectara el resultado.
y − 7 = ____ x + ____
y = _____ x + ______
37
38. Bloque cuatro
FORMA SIMÉTRICA DE LA RECTA
Para determinar la ecuación de la recta en su forma simétrica es necesario conocer los puntos de intersección con los dos ejes
coordenados, te darás cuenta que no todas las rectas se pueden representar de esta manera.
Ya que la recta que pasa por el origen de coordenadas no tiene forma simétrica pues dicha forma está dada por
x y
+ = 1 donde a y b son la intersección con los ejes y como podrás darte cuenta a y b deben ser diferentes a cero, ya que
a b
de lo contrario de acuerdo con las propiedades de los números reales una división entre cero no está determinada.
Determina la ecuación de la recta en su forma simétrica de acuerdo a la
siguiente gráfica.
Observando la gráfica y sus intersecciones con los ejes coordenados
puedes decir que:
La abscisa es
La ordenada es
Por lo que la forma simétrica de la ecuación de esta recta se representaría
x y
+ =1
Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y
cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta interseca a los ejes.
FORMA GENERAL DE LA RECTA
La ecuación de la recta también la podemos expresar con todos los términos en lado izquierdo de la ecuación, igualados a
cero. Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implícita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la
respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.
Debes tener en consideración tres aspectos para su obtención correcta:
La ecuación debe estar igualada a cero.
No debe haber coeficientes fraccionarios.
La variable independiente x debe tener signo positivo.
38
39. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
De manera individual practica el cambiar la ecuación de una recta dada en cualquier otra forma (Pendiente-Ordenada, Punto-
Pendiente, Simétrica) a su forma general.
RECTA FORMA ORIGINAL PROCEDIMIENTO FORMA GENERAL
1
y= x −8
2
y + 3 = 4( x − 6)
x y
+ =1
5 3
Una recta también queda determinada si se conocen la longitud de la perpendicular a ella trazada desde el origen (0, 0) y el
ángulo que dicha perpendicular forma con el eje x, esta forma es la conocida como Ecuación Normal.
La ecuación normal de una recta es x cos ω + ysenω − p = 0 pero hay que saberla relacionar con la forma general, por
esto busca en la bibliografía que esté a tu disposición o en internet cómo puedes relacionarlas, una vez que tengas esa
información en plenaria expongan los principales aspectos a considerar.
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40. Bloque cuatro
DISTANCIA ENTRE PUNTOS Y RECTAS
En este apartado vamos a revisar tres casos de distancias importantes. Te recomendamos que antes de empezar realices una
breve investigación acerca de la distancia entre puntos y rectas.
a) De un punto cualquiera a una recta
b) Del origen a una recta
c) Entre rectas paralelas
La distancia mínima de un punto ( x1 , y1 ) a una recta con ecuación en forma general Ax + By + C = 0 está dada por:
Ax1 + By1 + C
d=
A2 + B 2
3 1
Por ejemplo encuentra la distancia del punto (1, 2) a la recta y = − x−
4 2
Lo primero que tienes que hacer es escribir la ecuación en la forma general
3 1
y =− x−
FORMA GENERAL
→ __________________________
4 2
De donde observamos que A= 3, B=4 y C=______
Para poder sustituir nuestros valores en la formula
Ax1 + By1 + C 3( ) + 4( )+
d= =
A2 + B 2 ______ + ______
d=
¿Has visto que para resolver este ejercicio has empleado competencias que has desarrollado ya?
Para poder obtener la distancia de una recta al origen sólo debes considerar que el origen tiene coordenadas (0, 0).
Ax1 + By1 + C
De esta forma la ecuación d = se reduce porque x1 = 0, y1 = 0 y quedaría.
A2 + B 2
C
d=
A2 + B 2
40
41. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
2
Calcula la distancia del origen a la recta y = x+3
5
Pero, ¿qué sucede si queremos obtener la distancia entre dos rectas paralelas?, bueno recuerda que una de las características
de estas es precisamente que en cualquier punto tienen la misma distancia.
Por lo que de nuevo nuestra fórmula original de distancia puede ser modificada
Ax1 + By1 + C C1 − C2
d= =
A2 + B 2 A2 + B 2
Donde C1 y C2 son los términos independientes de las rectas.
Calcula la distancia entre las rectas paralelas y compara tus resultados con tus compañeros.
A : 3 x − 4 y + 4 y B : 9 x − 12 y − 4 = 0
41
42. Bloque cuatro
Fuentes de información
BIBLIOGRAFIA
• Caballero, Martínez, Bernárdez. Geometría analítica. México 15a Ed. Esfinge. 2003, pp.143-167.
• Silva, Lazo. Fundamentos de Matemáticas. 6a. ed., México Limusa.2005, pp. 721- 753.
SITIOS EN INTERNET
• ESCOLAR.COM (Web en línea)
http://www.escolar.com/avanzado/geometria009.htm
[Consulta: 05/06/2010]
• GALEON.COM (Web en línea)
http://galeon.com/profedemateyfisica/
[Consulta: 05/06/2010]
¿Qué he aprendido?
Resuelve los siguientes ejercicios de opción múltiple y marca con una cruz la respuesta correcta.Organízate en equipos de
tres personas y elijan a un representante del equipo para que muestre ante el resto del grupo cuales fueron sus resultados
y procedimientos, utiliza apoyos visuales como rotafolios, gráficas o el pizarrón.
1.- La ecuación de la recta representada en el gráfico corresponde:
a) y = 4x - 1
b) y = x - 4
c) y - x - 4= 0
d) y = 4 - x
e) Ninguna de las anteriores
2.- La ecuación de la recta representada en el gráfico corresponde:
a) y = x - 1
b) y = 1 - x
c) y - x = 1
d) y = 1 - 2x
e) Ninguna de las anteriores
42
43. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
3.- La ecuación de la recta representada en el gráfico corresponde:
a) y = x - 3
b) y = 3x - 1
c) y + x - 3= 0
d) y = 1 - 2x
e) Ninguna de las anteriores
4.- La ecuación de la recta representada en el gráfico corresponde:
a) y = 2x - 1
b) y = x - 1
c) y - 2x - 1= 0
d) y = 1 - 2x
e) Ninguna de las anteriores
5.- La ecuación de la recta representada en el gráfico corresponde:
a) y = x - 2
b) y = x
c) y + 2 = 0
d) y = 2 - x
e) Ninguna de las anteriores
6.- La ecuación de la recta representada en el gráfico corresponde:
a) y + 5 = x
b) y = x + 5
c) x + 5 = 0
d) y = 5 - x
e) Ninguna de las anteriores
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44. Bloque cuatro
Forma parejas para resolver el siguiente problema, al terminar intercambia tus respuestas con otra pareja y realicen el
ejercicio de co evaluación presentado al final.
Un ingeniero civil desea saber el material gastado en cierto puente, para ello necesita de tu ayuda. Determina la pendiente
y ecuación de cada una de las 8 vigas que sostienen la estructura del puente y la longitud total de las vigas verticales
Para evaluar la actividad asigna los siguientes puntos.
Un punto por la ecuación de cada una de las 8 vigas.(8 puntos en total)
Un punto por las pendientes de las vigas 1 y 2. ( 2 puntos en total)
Un punto por encontrar la longitud de cada una de las vigas. (8 puntos en total)
2 puntos por obtener la longitud total de las vigas.
Puntos totales obtenidos:
Si obtuviste de 16 a 20 puntos ¡Excelente! Has conseguido comprender y aplicar el concepto de la ecuación de una recta.
Si obtuviste de 11 a 15 puntos ¡Bien! Tienes la idea principal de cómo se relacionan los elementos de la recta, continua
esforzándote para desarrollar las unidades de competencia.
Si obtuviste 10 o menos puntos ¡A mejorar! Repasa de nueva cuenta el tópico de las ecuaciones de la recta y sus elementos,
recuerda que el error forma parte del aprendizaje y el comienzo es identificarlos para trabajar sobre ellos.
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45. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
Quiero aprender más
ECUACIONES DE RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO
Existen problemas teóricos o de aplicación práctica a partir de la determinación de la ecuaciones de las rectas notables de un
triángulo, así como sus puntos de intersección, en particular el centro y el circuncentro, utilizando los conceptos básicos y el
conocimiento sobre rectas.
Medianas
La mediana de un triángulo es un segmento de recta que se traza de un vértice al punto medio del lado opuesto.
G es el punto donde se cruzan las medianas y es llamado baricentro, centro de gravedad o gravicentro.
Alturas
Analicemos la siguiente gráfica para establecer la manera de determinar la ecuación de las alturas de un triángulo. Sean los
vértices de un triángulo A(X1, Y1), B(X2, Y2), C(X3, Y3), donde h1, h2, h3, son las alturas del triángulo que parten de cada uno de
los vértices al lado opuesto en forma perpendicular.
Finalmente, las coordenadas del ortocentro se obtienen calculando el punto de intersección de dos de las alturas del triángulo
de las cuales ya conocemos sus ecuaciones.
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46. Bloque cuatro
Mediatrices
La mediatriz es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de los puntos de los extremos de un determinado
segmento de recta; en otras palabras, es la recta que pasa por el punto medio del segmento y además es perpendicular a dicho
segmento.
Una vez que conocemos las ecuaciones de las mediatrices del triángulo, podemos determinar el circuncentro, que es el punto
donde se cruzan las mediatrices y por lo tanto lo podemos calcular de la misma manera que el baricentro y el ortocentro.
Te recomendamos también que visites los siguientes sitios en Internet, te pueden ayudar a entender un poco más de la recta.
• GEOAN (Web en línea)
http://www.geoan.com/
[Consulta: 05/06/2010]
• ELOSIO DE LO SANTOS (Web en línea)
http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/div/geometan.html
[Consulta: 05/06/2010]
46
47. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
¿Qué voy a aprender?
BLOQUE V
EMPLEA LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
CON CENTRO EN EL ORIGEN
UNIDADES DE COMPETENCIA
Construye e interpreta modelos sobre la circunferencia como lugar geométrico al
resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.
Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con distintas
representaciones de la circunferencia.
Ejecutarás los cortes convenientes para obtener las cónicas y resolverás problemas teóricos o prácticos relativos a la
circunferencia, a partir de su caracterización como lugar geométrico, aplicando e integrando sus propiedades y ecuaciones
ordinaria y general, recuperando conceptos, técnicas y procedimientos, geométricos y analíticos, sobre puntos, rectas y
segmentos.
En las unidades pasadas tuviste la oportunidad de iniciar el estudio de una relación algebraica-geométrica al identificar
segmentos y rectas como el lugar geométrico, determinado por conjuntos de puntos cuyas coordenadas en el plano cartesiano
se relacionan de manera especial.
Desarrollando competencias
El cono es una superficie geométrica tridimensional generada por una familia de segmentos de líneas, cada segmento contiene
como un punto extremo a punto de una curva plana cerrada y un punto fijo que no se encuentra en el plano de la curva. Al
punto fijo le llamamos vértice, la curva cerrada es la directriz, el área limitada por la directriz es la base y los segmentos de línea
son elementos o generadores del cono. Los conos se diferencian de acuerdo a la forma de la directriz, un cono circular tiene una
circunferencia como directriz, mientras que en un cono elíptico su directriz es elíptica. Si la directriz es una curva que tiene
centro, entonces los segmentos de línea entre el centro y el vértice se le llaman eje del cono. Un cono circular recto (o cono
de una revolución) es un cono circular cuyo eje es perpendicular a su base. La distancia del vértice a la base se llama altura.
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48. Bloque cinco
CÓNICAS
Una sección cónica es una curva formada por la intersección de un plano con un cono circular recto o superficie cónica.
Cuando la intersección del plano es perpendicular al eje de la superficie cónica, o sea paralelo a la base del cono, la cónica
formada es la circunferencia.
Cuando el plano es paralelo a un elemento del cono o al generador de la superficie, la cónica es una parábola.
Si los planos no son paralelos al generador de la superficie, ni perpendiculares al eje sino que son oblicuos a los mismos,
entonces se describen dos tipos de curvas la elipse y la hipérbola. La hipérbola es una curva con dos ramas. Está formada por
el plano que corta dos conos rectos y es paralelo al eje común de los conos. Una elipse es una curva formada por un plano que
intercepta el eje de un cono circular y no es paralelo a un elemento del cono.
Una sección cónica se mueve para que la razón de la distancia de un punto fijo (llamado Foco) a su distancia de una línea fija
llamada Directriz, sea constante. A esta razón se le llama Excentricidad de la curva (y que identificamos por la letra e). El valor
de la excentricidad determina el tipo y forma de la sección cónica.
Fuente: http://azul.bnct.ipn.mx/Libros/polilibros/poli11/capitulo4/4.1.htm
Las secciones cónicas las puedes encontrar representadas en cualquier parte.
Parábola Parábola
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49. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
Parábola, Elipse, Circunferencia, Hipérbola Hipérbola
Parábola, Elipse, Circunferencia,
Elipse Elipse
Ahora que ya sabes cuales son las cónicas y como se representan, escribe 5 ejemplos de cónicas que puedas encontrar en tu
entorno.
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
CIRCUNFERENCIA
Una cónica que no es muy complicada es la circunferencia pues como los coeficientes de los términos cuadráticos son iguales
entonces las factorizaciones que se hacen en una variable se tienen que hacer en la otra. Para este Bloque V y los sucesivos te
recomendamos que repases como factorizar un trinomio cuadrado perfecto pues para todas las cónicas es muy utilizada esta
técnica.
Circunferencia: es el lugar geométrico formado por todos aquellos puntos del plano cuya distancia a un punto fijo es constante.
De manera individual has una investigación acerca de la circunferencia y sus elementos para poder contestar las siguientes
preguntas.
En la circunferencia existe un punto fijo que equidista de los demás y se llama .
La distancia que es constante hacia un punto fijo de la circunferencia se llama .
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50. Bloque cinco
Ubícalos en la siguiente gráfica
P(x, y)
(a, b)
La ecuación ordinaria de la circunferencia es y su principal característica es que
tiene su centro en .
Supongamos que tienes un CD, al fin y al cabo tiene la forma de una circunferencia. Aplica los conceptos que investigaste y
encuentra la ecuación de la circunferencia del orificio central del CD cuyo radio es 3
Así como puedes encontrar la ecuación de la circunferencia si te dan los elementos, de la misma forma si te dan la ecuación
puedes encontrar los elementos y graficarlos. Recuerda que la circunferencia está en muchas de las cosas que usamos a diario.
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51. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
Dada la ecuación x 2 + y 2 = 4 determina su centro, radio y dibuja su gráfica.
Fuentes de información
BIBLIOGRAFÍA
• Mata Holguín, Patricia. Matemáticas 3 bachillerato, ST Editorial, México, 2005.
• Ruiz Basto, Joaquín. Geometría Analítica. Mexico, Publicaciones Cultural, 2004, 371 pp. Capitulo 8. La circunferencia.
• Salazar Vásquez P. y L. Magaña Cuellar Matemáticas III. México Nueva Imagen, (Colección Científica), 2003, 293 pp.
• Torres Alcaraz Carlos. Geometría Analítica. México, Santillana, México, 1998, 320 pp.
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52. Bloque cinco
¿Qué he aprendido?
1. Encuentra los elementos de cada una de las siguientes circunferencias y grafícalas todas en el mismo plano de ejes
coordenados.
a) x 2 + y 2 = 9
b) x 2 + y 2 = 36
c) x 2 + y 2 = 49
d) x 2 + y 2 = 64
¿Cómo se comportan?, ¿Qué característica tienen todas en común?
2.- Junto con un tres de tus compañeros utiliza materiales de apoyo como papel Bond, cartulinas, plastilina, unicel,
cartoncillo, marcadores, lápices de colores, etc. Y representa cada una de las secciones cónicas (circunferencia, parábola,
elipse e hipérbola), en tres dimensiones.
Elijan un representante por equipo que exponga las características de alguna de las cónicas.
Al finalizar el equipo que realizó la exposición deberá autoevaluarse, explicando sus motivos al resto del grupo, el cual
realizará observaciones con respecto a su desempeño en la presentación del tópico, el uso de material didáctico, el trabajo
en equipo y las áreas donde pueden mejorar.
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53. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
Quiero aprender más
Origen de las secciones cónicas: originadas en la geometría griega se describen en la actualidad mediante ecuaciones cuadráticas
como curvas en el plano coordenado. Los griegos de la época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección
de un cono por un plano (de ahí el nombre de “secciones cónicas”). Existen varios tipos posibles de intersecciones. Kepler, en
sus comentarios acerca de los movimientos de Marte (1609), trabajo en el que enunció sus dos primeras leyes (órbitas elípticas,
áreas iguales en tiempos iguales), hizo un minucioso análisis de estas secciones cónicas en busca de aquellas propiedades suyas
que pudieran ser útiles en astronomía. La óptica, tema de interés para los matemáticos desde la época de los griegos (Claudio
Tolomeo se interesó en la refracción, pero cuando la Ley de Snell lo eludió, ajustó sus datos con una parábola) recibió mucha
más atención tras la invención del telescopio y del microscopio, a principios del siglo XVII. La necesidad de diseñar lentes
y espejos supuso un interés por la forma de sus superficies, el interés se extendió a las formas de sus curvas generadoras.
En muchos de los espejos curvos usados en los telescopios de reflexión, estas curvas son secciones cónicas. La introducción
de la idea de una Tierra en movimiento requirió nuevos principios de la mecánica que diesen cuenta de las trayectorias
de los objetos en movimiento. Esto supuso, asimismo, el estudio de curvas. Entre los objetos móviles, los proyectiles se
hicieron muy importantes, ya que para entonces los cañones podían alcanzar blancos situados a miles de metros. En una
primera aproximación, los proyectiles se mueven a lo largo de parábolas. Cuando los matemáticos de los siglos XVI y XVII
estudiaron los trabajos de los griegos, empezaron a comprobar la falta de generalidad de aquellos métodos de demostración.
Era preciso desarrollar un método especial de las secciones cónicas. La visión puramente geométrica (secciones de un cono) de
las secciones cónicas fue finalmente sustituida por otra que incorporaba las nociones de coordenadas y distancia. Guiobaldo
del Monte, por ejemplo definió en 1579 la elipse como el conjunto de puntos de un plano cuya suma de distancias a los focos
es una constante. Desde el punto de vista de las aplicaciones, el estudio de las secciones cónicas en el siglo XVII proporcionó
la matemática necesaria para describir las trayectorias de cometas, planetas y asteroides que se mueven por el espacio bajo
la influencia de fuerzas gravitacionales. La misma matemática describe las órbitas de los satélites que lanzamos ahora. Sabido
que la trayectoria de un cuerpo en movimiento, sea un planeta o un electrón, es una sección cónica, conocemos también otras
muchas propiedades del movimiento del cuerpo.
Fuente: http://geometriaparatodos.blogspot.com/2009/06/blog-post.html
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54. ¿Qué voy a aprender?
BLOQUE VI
UTILIZA DISTINTAS ECUACIONES DE LA
CIRCUNFERENCIA.
UNIDAD DE COMPETENCIA
Construye e interpreta modelos auxiliándose de distintas formas de la ecuación de la
circunferencia al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.
Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con distintas formas de la
ecuación de la circunferencia.
Argumenta la pertinencia de utilizar una forma específica de la ecuación de la
circunferencia dependiendo de la naturaleza de la situación bajo estudio.
En este Bloque determinarás la ecuación ordinaria de una circunferencia a partir de las coordenadas de su centro y la medida
de su radio, las coordenadas de su centro y un punto de la misma circunferencia o las coordenadas de los extremos de uno de
sus diámetros. Obtendrás los elementos de una circunferencia con centro fuera del origen a partir de su ecuación. Trazarás la
gráfica de una circunferencia y a partir de su ecuación explicarás la influencia de los parámetros más importantes de la ecuación
de la circunferencia en el comportamiento gráfico de la misma. Realizarás la transformación de una forma de la ecuación de
la circunferencia a otra. Comprenderás las posibilidades analíticas y geométricas de determinar una circunferencia conocidos
tres de sus puntos. Aplicarás las formas de la ecuación de la circunferencia como un modelo simbólico en la realización de
ejercicios y resolución de problemas.
Desarrollando competencias
La circunferencia es uno de los elementos de la geometría más importantes que están normalmente en la vida, aunque no lo
parezca, está en todas partes. Para partir con este amplio e importante tema, primero aclararemos puntos importantes.
La circunferencia es la línea “imaginaria” que rodea un círculo, todos los puntos de la línea están a la misma distancia del
centro. Para lograr una perfecta precisión, se han fijado puntos claves en la circunferencia, como lo es el punto O (o centro) y
con eso, el llamado diámetro y el radio.
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55. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
El diámetro es un segmento que une 2 puntos de la circunferencia, pasando por el centro. Y el radio es un segmento que une un
sólo punto de la circunferencia con el punto O, por lo tanto un diámetro es igual a dos radios. Hay que aclarar que se pueden
hacer infinitos radios, como también infinitos diámetros.
Observa la siguiente gráfica y determina sus elementos.
Centro: ( , ) y radio = .
( x − h) + ( y − k ) = r 2 y encuentra la ecuación de la
2 2
Ahora que determinaste sus elementos utiliza la ecuación
circunferencia representada.
(x − ) +(y− ) =( )
2 2 2
Sustituye los valores
Desarrolla los cuadrados x 2 + ____ x + ____ + y 2 − ____ y + ____ = ____
Finalmente iguala a cero y reduce términos semejantes x 2 + y 2 ____ x − ____ y + ____ = 0
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56. Bloque seis
El ejemplo anterior fue el caso en el que tienes el centro y el radio, pero no es el único, ve el siguiente caso.
Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (5,-2) y que pasa por el punto (-1,5).
Primero necesitas determinar el radio ¿Cuál sería la fórmula adecuada para encontrarlo? Recuerda que puedes usar formulas y
ecuaciones vistas con anterioridad. .
Bien, si la usas para encontrar el radio su valor sería
r= .
Una vez que ya tienes los dos elementos principales encuentra la ecuación de la circunferencia.
¿Tus compañeros tienen la misma respuesta? ¿Siguieron el mismo procedimiento?
Traza su gráfica.
Para encontrar la ecuación de una circunferencia usaras las competencias que has desarrollado a lo largo del curso.
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57. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
Hallar la ecuación de la circunferencia de manera que uno de sus diámetros sea el segmento que une los puntos
(5, -1) y (-3, 7).
En este nuevo ejercicio te hacen falta los dos elementos importantes para encontrar la ecuación, el centro y el radio,
sin embargo es posible encontrarlos. Una vez más tendrás que usar conocimientos ya adquiridos.
Para encontrar el centro aplica Punto Medio
Y para el radio usa Distancia entre dos Puntos con las coordenadas del centro que ya obtuviste y alguno de los
extremos, el que decidas utilizar no afectara tu resultado.
Te darás cuenta que una vez que ya tienes el centro y el radio ya puedes aplicar tu ecuación de la circunferencia
con centro fuera del origen.
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58. Bloque seis
Veamos uno de los casos más extensos para encontrar la circunferencia donde además de usar conocimientos
adquiridos en este semestre sino también de semestres anteriores.
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (5, 3) (6, 2) y (3, -1).
Y
(5,3)
(6,2)
X
(3, -1)
La siguiente expresión es la ecuación general de la circunferencia
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
Contiene tres constantes indeterminadas con lo que serán necesarias tres condiciones para determinarlas. Como la
circunferencia debe pasar por los tres puntos dados, se pueden hallar los coeficientes sustituyendo las coordenadas
de los puntos en lugar de x e y resolviendo, a continuación, las tres ecuaciones lineales en D, E y F.
Encuentra los valores faltantes para tener el sistema de ecuaciones:
____ + 9 + ___ D + ____ E + F = 0
36 + ___ + ___ D + ____ E + F = 0
____ + ___ + 3D − ____ E + F = 0
Resolviendo este sistema de tres incógnitas obtienes:
D= . E= . F= .
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59. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
Sustituyendo estos valores de D, E y F, resulta la ecuación de la circunferencia
x 2 + y 2 − 8 x − 2 y + 12 = 0
En los casos anteriores obtuviste la ecuación de la circunferencia dados los elementos, ahora tendrás que conseguir
los elementos si te dan la ecuación.
Hallar el centro y el radio de la circunferencia siguiente.
x 2 + y 2 − 8 x + 10 y − 12 = 0
Te recomendamos que antes repases los siguientes tópicos para que te sea más fácil llegar a tu respuesta.
Completar cuadrados
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
Agrupa tus términos por factor común. x 2 − 8 x + y 2 − 2 y = −12
Completa los cuadrados de ambas literales x 2 − 8 x + ____ + y 2 − 2 y + ___ = −12 + _____ + ____
Factoriza ambos trinomios cuadrados perfectos y simplifica.
( x − ____ ) + ( y − _____ ) = ______
2 2
Ahora ya tienes la ecuación de la circunferencia con centro (h, k), ya puedes determinar sus elementos.
Centro ( , ) y radio= .
BIBLIOGRAFIA
• Mata Olguin, Patricia. Matemáticas 3, Bachillerato. México ST editorial, 2005, pp. 68-127.
• Caballero, Martínez, Bernárdez. Geometría analitica.15a Ed., México, Esfinge, 2003. pp. 80-116.
• Silva, Lazo. Fundamentos de Matematicas.6a Ed., México, Limusa 2005, pp. 667-697.
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60. Bloque seis
¿Qué he aprendido?
En los siguientes ejercicios reúnete con uno de tus compañeros, resuelvan los ejercicios en su cuaderno y grafiquen cada
uno.
1. Circunferencia de centro C (–3, 4) y radio 5. Comprueba que pasa por el origen de coordenadas.
2. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es: 9 x ² + 9 y ² − 12 x + 36 y − 104 = 0
Traza la circunferencia
3. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación:
4 x²+ 4 y² + 4 x + 4 y - 2 = 0.
4. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A (-8,-2) y B (4,6). Obtener la ecuación
de dicha circunferencia.
5. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia representada por la ecuación: x 2
+ y 2
− 16 x + 2 y + 65 = 0
6. Determinar la ecuación de una circunferencia que pasa por el punto P(1,0), sabiendo que es concéntrica a la representada
por la ecuación: x ² + y ² − 2 x − 8 y + 13 = 0
7. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A (-8,-2) y B (4,6). Obtener la ecuación
de dicha circunferencia.
8. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (–5, 12) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (0, 0).
Una vez finalizados los ejercicios presenten de manera aleatoria ante el grupo sus respuestas y coméntenlas. Completa el
siguiente cuadro donde autoevaluaras tu aprendizaje relacionado con los dos Bloques anteriores.
AREAS DE MEJORA BUENO REGULAR MEJORABLE COMO PUEDO
MEJORAR
Conocer e Identificar los conceptos de
radio y centro.
Reconocer las formas de la ecuación de
una circunferencia.
Uso de los elementos para obtener la
ecuaciones y viceversa
Realizacion de Gráficas de acuerdo al
problema planteado.
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61. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III
Quiero aprender más
La Circunferencia en la Música
Se utilizan técnicas circunferenciales para muchas cosas. Por ejemplo; los CD, piezas ordinarias en la música actual, son una
placa circular con un borde que termina siendo una circunferencia. Al centro se observa otro orificio redondo. Estas piezas
de la electrónica requieren de mucha precisión para su correcto funcionamiento. Por lo tanto para su fabricación se usan las
técnicas del radio y el diámetro.
La Circunferencia en las Armas
Como ya hemos dicho, el diámetro es un segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro, este
diámetro es lo que se usa para medir el tamaño de agujeros como lo es en las armas. Se habla normalmente de pistolas calibre
de 6.35 mm, 7.65 mm, 9 mm, etc. Esto no es sólo un “nombre”, sino que esto se refiere al tamaño del agujero (cañón) por donde
salen los proyectiles (balas) del arma, usando el tamaño del diámetro y usando una medida milimetrada para lograrlo.
Teniendo en cuenta que las armas son utilizadas muchas veces con motivos militares, es importante que las armas sean
probadas a la perfección respecto a sus diámetros, ya que el menor desperfecto puede ocasionar anomalías muy peligrosas.
La Circunferencia en el Transporte
En el transporte también podemos apreciar la presencia de la Circunferencia, de hecho, donde se puede notar y ejemplificar
mejor es en la Bicicleta, un conjunto de tubos metálicos con dos ruedas que aplican la geometría perfectamente: Las ruedas
están hechas de un “arco” . La mejor parte de esto es que la rueda se afirma desde el centro y desde éste salen un montón de
alambres delgados llamados “rayos” y estos son radios que mantienen la forma circunferencial de la rueda perfectamente. Otra
cosa es que el tamaño de la rueda es medido en Aro 24, 26, etc. Y esto se hace usando el diámetro.
La Circunferencia en los Deportes
Quizás parezca que en la única parte en donde podría aplicarse la Circunferencia en los deportes sería en los balones... Pero
no, si sólo nos detenemos a pensar un poco nos daremos cuenta que muchas de las canchas o lugares en donde se practican
deportes tienen marcas geométricas y Circunferencias que determinan situaciones reglamentarias, etc. Los campos de Fútbol,
las canchas de Básquetbol, los campos de Fútbol Americano y en muchas más.
La Circunferencia, también presente en la Naturaleza:
Los árboles, tipos de vida antiquísimos, crecen con el pasar de los años. Primero crecen pequeñas ramificaciones desde el suelo.
Luego crecen más y con esto va aumentando el grosor de su Tronco. La circunferencia se aplica entonces debido a que las
personas relacionadas con la Naturaleza como los Ingenieros Forestales, saben perfectamente que al cortar un árbol, se pueden
apreciar muchos “anillos” que están en el tronco. Y con el “tamaño” de cada anillo, se puede determinar la edad que tiene cierto
árbol. Lo que nuevamente se usa, entonces, es el diámetro de cada anillo.
• AZUL.BNCT.IPN.MX (Web en línea)
http://azul.bnct.ipn.mx/Libros/polilibros/poli11/capitulo3/3.4.htm
[Consulta: 05/06/2010]
• DCB.FIC.UNAM.MX (Web en línea)
http://dcb.fic.unam.mx/CoordinacionesAcademicas/Matematicas/CapsulasAntecedentes/circunferencia.html
[Consulta: 05/06/2010]
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