Statique, résistance des matériaux, 
structures
Contrôle des connaissances 
• Contrôle continu : 50% 
– Exercice filé, 4 rendus 
– Contrôles rapides en début de CM 
• Ret...
Fonctionnement 
• Il est interdit de ne pas comprendre : posez 
des questions! 
• 1h de cours, 1h à la maison : 
– Relisez...
Plan du cours 
• Introduction 
• Échelle globale : force et équilibre 
• Échelle de la section : forces internes 
• Échell...
Stabilité 
Force de volume 
Force de contact 
Equilibre 
Frottement 
Déplacement 
Vitesse 
Accélération 
Flexion 
Inertie ...
Calatrava
Keneth Snelson
Antony Gormley
Michael Calnan 
[re]design
Quartier général de Renault à Swindon (UK) 
Norman Foster
Forum International de Tokyo 
Rafael Vinoly
Hongkong and Shaghai Bank , Norman Foster
Parthénon, Athènes
Panthéon de Rome
Notre Dame de Paris
Frank Ghery
Succursale de Selfridges, Bermingham (arch. Future Systems).
Food Theater Cafe, by Daniel Libeskind, at London, England, 2001.
Calatrava
Marc Mimram
Objectif : compréhension des principes 
fondamentaux du comportement des structures 
Prendre de la hauteur et de l'autono...
Structure
Définitions 
• Définition 
– Une structure a pour fonction de maintenir la 
géométrie de la construction, en dépit des for...
Poutre 
Poutre courbe, de section variable 
Fibre moyenne 
Section droite 
Centre géométrique de la section
Sections bois carrées 20x20 
Sections acier rondes F 2cm
Nature des 
liaisons 
http://thehelpfulengineer.com 
http://www.trada.co.uk/news
Appui simple 
x 
y 
z 
z 
x 
x 
y 
z
Articulation (rotule) 
x 
y 
z 
z 
x 
y 
Exemple de cardan
Articulations
Articulations
Encastrements
Pour un problème plan 
Représentation Réactions potentielles Dépls autorisés
•Une structure endostatique n'est pas stable. Il lui manque des 
liaisons. 
•Une structure isostatique est juste stable : ...
Degré d’hyperstaticité externe
Degré d’hyperstaticité interne
Juste stable 
Règle n°2 
Juste stable 
Règle n°3 
Instable 
Règle n°1 
Juste stable 
Règle n°3 
Juste stable 
Règle n°4 
J...
Exemples de structures stables malgré une instabilité interne 
Arc à trois articulations 
Hyperstaticité totale : 0 : just...
FORCES
• Échelle globale : force et équilibre 
– Classification des agressions 
• Permanentes/variables 
• Normales/accidentelles...
• Permanentes 
– Poids propre 
– Poussée des terres 
– précontrainte 
• Variables 
– Charges d’utilisation 
– Charges clim...
Charges permanentes 
Matériau Poids volumique en kg/m3 
(masse volumique * accélération de la pesanteur) 
Bois De 600 à 80...
Charges de service normalisées 
Type d'usage Charge d'exploitation en kN/m² 
Logement 1,5 
Balcon d'habitaiton 3,5 
Salle ...
Neige Vent
• Normales 
– Fréquentes, d’intensité 
raisonnable. 
– Qui permettent à 
l’installation de fonctionner 
normalement. 
– Gé...
Zonage 
sismique de la 
France
• Statiques 
– Charges permanentes 
– Vent 
– Neige 
– … 
• Dynamiques 
– Energie cinétique 
• Avalanche 
• Séisme 
• Tsun...
Vent : le pont de Tacoma
• Volumiques (poids) 
• Surfaciques (vent, poussée des 
terres) 
• Linéiques (sur une poutre) 
• Ponctuelles (appui isolé)
• Force 
• Déplacements différentiels 
– Dilatation 
Poutre encastrée 
Poutre simplement posée 
– Tassements 
100 m à 2°C ...
Poids porté : 11 250 kg 
Poids propre : 2 273 kg 
Poutre pleine en acier de section carrée uniforme 
Poutre treillis en ac...
Centre culturel Jean-Marie Tjibaou, Nouvelle Calédonie, Renzo Piano
Volume fermé Volume ouvert
Définition de la force
Le concept de force 
• Une force produit des déformations, des déplacements. Une force est toute 
cause susceptible de mod...
Définition mathématique 
• Une force est définie par : 
• Son vecteur : 
– Sa direction 
– Son sens 
– Son intensité (en N...
Notion de moment 
• Le moment d ’une force par rapport à un axe est sa tendance à faire 
tourner autour de cet axe 
• On d...
d1 
F 
F 
M1 d2 < d1 
M2 < M1 
d = 0 
F 
M3 = 0
Notations, conventions de signe 
• Force, intensité, valeur algébrique : F ; vecteur : F 
• Valeur algébrique : le signe d...
Convention classique pour le signe du moment dans 
un repère 
x 
y 
z 
+ 
x 
y 
z 
+
x 
y 
F1 
F2 
F1 
F2 
F1 
F2
Somme vectorielle 
x 
y 
a 
F 
F Fy 
Fx 
F = 
4 daN 
-3 daN 
intensité 
F1 
F2 
Ftot 
Fy1 
Fy2 
Fytot 
Fxtot 
Fx1 
Fx2 
x ...
 La ligne d'action de la somme de 2 forces concourantes passe 
par le pt d'intersection des deux lignes d'action. 
F1 
F2...
Forces équivalentes 
Du point de vue de l'équilibre: 
a) On ne change pas l'effet d'une force en la 
translatant le long d...
P = q.L 
L 
q 
L/2 
qmax 
P = qmax.L/2 
L 
L/3 
Forces équivalentes 
G 
L/3
Forces équivalentes 
Nature de la force répartie Grandeur caractéristique Force équivalente (N) 
Sur un volume V (m3) Forc...
CONDITIONS DE 
L’EQUILIBRE
Réalisation de l’équilibre grâce aux réactions 
Poids propre 
(ponctuelle équivalente) 
Réaction 
Réaction 
Poids gymnaste
Equations d’équilibre 
• Si le problème est plan, on peut écrire trois équations : 
– 1. Somme des composantes dans la dir...
d=0.6m 
h=2m 
F
x 
y 
F 
RAx 
RBy 
RBx 
F 
d=0.6m 
h=2m
VERT JAUNE 
Quel est le moment total des forces extérieures autour de l’encastrement A (intensité et sens) ? 
2 kN 
5m 
1 ...
EFFORTS INTERNES
Colonne sur statue 
Statue sur colonne 
Partie basse sur 
partie haute 
Partie haute sur 
partie basse 
Section fictive 
S...
Principe de l’obtention des efforts internes 
Coupe Forces exercées par 
la partie gauche sur 
la partie droite
On appèle efforts internes les forces exercées par la partie gauche de la 
structure sur la partie droite, ces deux partie...
Repère global : réactions d ’appui X 
Repères locaux : 
efforts internes 
Y 
+ 
x 
y + 
x 
y + 
+ x 
x 
y 
+ 
y
x 
y 
z 
Nx 
Ty 
Tz 
Mt 
Mz 
My 
G 
Les efforts de la RDM sont les composantes de force et de 
moment dans le repère local...
N 
Ty 
Mz 
Mt
x 
y + 
L 
q 
A B
Diagramme des efforts 
• Un diagramme d'effort est la courbe qui représente 
l'évolution de l'effort en fonction de la pos...
Zone 1 Zone 2 
Zone 3 
Zone 1 
Zone 2 Zone 3 
Zone 4 
Zone 1 
Zone 3 
Zone 4 
Zone 2
T 
M 
M(6m) 
6 m 
8 m
Configuration Effort tranchant Moment fléchissant 
q 
|T|max = qL/2 
+ 
- 
+ 
|M|max = qL²/8 
FF == qq..LL 
+ 
- 
|T|max =...
A 
B 
Dq 
Dq 
rA = 1/CA 
rB = 1/CB
M = -E.I.C 
- - 
+ 
+
UNE SCULPTURE FLECHIE 
• A rendre pour le 18/11/07 
• L'idée est de créer une structure plane qui interroge sur l'idée de ...
Vert Jaune 
Soient les schémas des structures déformées ci-dessous. Pour chaque zone, 
dites s’il est le siège d’un effort...
CONTRAINTES
100 tonnes réparties 
sur 50 briques 
2 tonnes sur une brique 
s=F/S 
s1 < s2 
Une contrainte est une 
force par unité de ...
Résistance uniaxiale 
Résistance Matériau uniaxiale (en Mpa) Traction Compression 
Béton standard 3,5 40 
Granit 15 180 
S...
NB : dans cette figure, la contrainte (en Pa) est 
représentée par une flèche, symbole 
traditionnellement réservé à la fo...
a b
N.B. : Sur cette figure, les flèches représentent 
bien des forces, qui résultent des contraintes : 
fi 
x = si 
x*si , fi...
Nx 
Mz 
C 
C : Compression T : Traction 
C 
T T 
T 
C 
C 
T 
C
DEFORMATIONS
La déformation 
Soit un segment de longueur infinitésimal centré sur un point 
P. On définit la déformation longitudinale ...
x 
P 
dx 
du 
Longueur initiale 
Longueur finale
A 
uA = DL 
A 
L 
DL/2 
L/2 
La déformation longitudinale 
moyenne est la variation de 
longueur divisée par la longueur 
...
La distorsion g mesure la variation d'angle de l'angle droit. 
Distorsion 
Déformation longitudinale
ELASTICITE
ex 
Comportement élastique 
sx 
E 
traction 
compression
Matériau Module d'Young (MPa) 
Sapin 10 500 
Chêne 12 500 
Béton 25 000 - 40 000 
Pierre (calcaire compact) 70 000 
Brique...
Sollicitation 
Etude des contraintes 
Forces connues 
Réactions 
Efforts de la RDM 
Hypothèse de distribution des contrain...
EFFORT NORMAL 
Sous un effort normal seul, 
la déformation longitudinale 
( ex = du/dx ) 
est uniforme sur toute la sectio...
Exemples de structures soumises essentiellement à l’effort normal
VERT JAUNE 
Une tige de 2m réalisée dans un matériau dont le module d’élasticité 
vaut 10000 MPa subit une déformation de ...
MOMENT FLECHISSANT
G1 
G2 
M 
M’ 
r 
y
G 
sx : traction 
sx : compression 
x 
y 
Fibre supérieure ( y = -h/2 ) 
Fibre inférieure ( y = +h/2 ) 
h
G 
sx : traction 
sx : compression 
G
Une section soumise à un moment fléchissant seul est le siège 
d'une distribution linéaire de contrainte, qui passe par la...
sx : traction 
G 
sx : compression 
P 
G
- - - - - - - - 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ + + + + + + + 
sx : traction 
G 
sx : compression 
P/2 
P 
G 
P/2 
+ 
- 
- 
- 
- 
...
Inertie 
* L'inertie est une caractéristique de la géométrie de la section. 
* Son unité est le m4 
* Elle représente la d...
z 
y 
z 
y
Acier
FLEXION COMPOSEE 
G 
sx : traction 
s sx : compression x : compression 
sx : compression 
G 
sx : traction 
+ = 
G 
sx : t...
Poutre non précontraine 
Mise en traction du câble 
Mise en précontrainte du béton 
Chargement équivalent de la poutre pré...
EFFORT TRANCHANT
x 
y 
txy 
txy sur une 
seule face 
txy txy 
txy sur deux 
faces opposées 
tyx 
txy et tyx réalisant 
l’équilibre 
txy 
tx...
Compression 
Traction 
Compression 
Traction 
Distribution de contrainte normale sx 
Sur chaque couche, le moment est troi...
txymax 
txymax 
txymax
txymax 
txymax
EFFORT TRANCHANT 
tmax = Ty/Sc 
Avec : tmax : contrainte de cisaillement maximale 
Ty : effort tranchant 
Sc : surface cor...
Le flambement
L 
Lfl 
Lfl Lfl 
Ncrit = p²E.I./L²fl 
Avec : E : Module d'Young 
I : Moment d'Inertie minimale de la section 
Lfl : Longue...
On peut donc retenir de l'expression de la charge critique de 
flambement que la résistance au flambement : 
•Croît avec l...
Flambement d’ensemble
Complément sur les structures 
soumises essentiellement à 
l’effort normal
dA dB 
A B 
C 
P 
A 
dA 
Repère local 
RA 
B 
dB 
Repère local 
RB 
Câbles
dA dB 
A B 
C1 
P 
C2 
dA dB 
A B 
a b 
C 
P 
h
On constate que: 
•Contrairement aux composantes horizontales, les composantes 
verticales des réactions ne dépendent que ...
F1 F2 
dA dB 
A B 
C 
P 
D 
A B 
F1 F2
x/2 x/2 
q 
q.x 
A B 
RAx 
RAy 
x 
y 
C
En résumé, le câble (non pesant) supportant une charge 
uniformément répartie : 
• Prend la forme d'une parabole 
• Exerce...
Arcs
arcs câbles 
En compression En traction 
Sujet au flambement Pas de risque de flambement 
Il faut les rigidifier à la flex...
Treillis 
On peut énoncer les propriétés suivantes des treillis : 
•Chaque barre n’est soumise qu’à un effort normal. 
•L’...
- - - - - - - - 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ + + + + + + + 
P/2 
P/2 
+ 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
P 
P 
- 
- 
Moment Mz 
Effort ...
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
Support du cours
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  • On ne peut pas se soustraire à notre expérience de la gravité, du mouvement, de la stabilité, de la solidité, c’est-à-dire généralement de notre expérience de la mécanique. Cette découverte fait partie des premiers chocs de notre naissance : la vie intra-utérine ne connaît qu’une mécanique quasiment isotrope : nous expérimentons une contrainte isostatique dans le liquide amniotique, le bas et le haut ne sont pas défini,
  • , et brutalement, on se retrouve en contact avec des solides, soumis à la gravité, orientés dans l’espace.
    Parmi les premiers apprentissages du début de vie, figure en tout premier plan celui de la manipulation des corps : saisie et manipulation d’un hochet, déplacement de son propre corps, lorsqu’on se dresse sur ses bras, que l’on roule, que l’on rampe, que l’on marche.
    On mesure le poids, ce sera notre étalon de force, d’accélération, d’inertie…
    On intègre de façon intime le concept d’équilibre : on apprend à le réaliser, on le connaît.
    Il s’agit à chaque fois d’expériences de mécanique, dont les acquis sont ancrés, chevillés au corps.
    Sans le savoir, on développe toutes les connaissances liées à la mécanique :
    La force de volume, la force de contact, le déplacement, la vitesse, l’accélération, l’inertie, la contrainte, la déformation, la raideur, le moment, l’effort, le travail, l’équilibre, la traction et la compression, la flexion, …
    L’approche de l’enseignement de structure tente d’exploiter au maximum ces compétences que chacun possède, qu’il soit artiste, scientifique, praticien ou théoricien.
    Il faut donc avoir confiance dans votre capacité à vous appuyer sur ce bagage, à l’expliciter, le développer, le rendre opérationnel dans une situation de conception.
  • Nous avons tous cette référence commune.
    Quand Calatrava imagine et réalise cette sculpture, c’est à cette expérience partagée qu’il s’adresse. Il exploite notre capacité à interpréter cet objet sur le plan de la mécanique, il compte sur des associations symboliques fondées sur des connaissances archaïques.
    Une masse, un poids,
    Un cube, symbole de stabilité, d’immobilité.
    En l’air, suspendu?
    Ca va tomber, c’est limite… Non, ça tient
    immobile? Posé sur des pointes, Retenu.
    Retenu par de si frêles éléments? Non verticaux?
    Des lignes qui s’opposent à un volume,
    la légèreté qui s’oppose à une masse.
    La transparence contre l’opacité.
    Une énergie qui s’oppose à une masse inerte.
    Un système isostatique ou chaque élément est nécessaire.
    Un système juste, ou chaque élément est proportionné à son rôle.
    Une maîtrise de la mécanique.
    Il s’agit d’une sculpture.
    Il pourrait s’agir d’une réponse au problème de porter un cube.
    Existe-t-il une (seule) bonne réponse à cette question?
  • Existe-t-il une (seule) bonne réponse à cette question?
    Voici une autre réponse. On peut en imaginer un nombre quasiment infini.
    Avec quel critère peut-on juger de la qualité de la réponse?
    Quels sont les liens particuliers qui se tissent entre structure et architecture?
  • La création de tout espace réel à abriter nécessite la matérialisation de frontières, dont le maintien de la géométrie réclame une structure porteuse. Cette structure étant indissociable de l&amp;apos;architecture, c&amp;apos;est un élément fondamental de son expression.
    Mais structure et architecture peuvent tisser des liens extrêmement variés. Souvent, les critiques d’architecture continuent d’exploiter la rivalité entre ingénieurs et architectes pour faire porter l’enjeu de structure sur sa domination ou subordination à l’architecture. Cette vision est trop pauvre. Les relations sont beaucoup plus complexes, plus subtiles.
    Si ce qui ravi le publique en architecture, c’est le geste, l’extravagance, l’excès, un tel critère appliqué à la structure est en opposition avec les objectifs des ingénieurs structure : développement durable, économie de moyens. A l’opposé, une structure qui rempli parfaitement les critères strictement techniques n’est pas une condition nécessaire pour faire une bonne architecture.
    On peut analyser la production de certains architectes en leur attribuant un intérêt ou non pour la question de la structure, et ce n’est pas en soi un jugement de valeur. Par contre, la maîtrise de ses logiques est nécessaire.
    Dans l’architecture monumentale grecque, romaine, gothique, ainsi que dans beaucoup d’exemples du XIXème ou contemporains, la logique formelle d’un concept structurel influence fortement les formes architecturales, et constitue une base de créativité. Dans le parthenon d’Athènes, les impératifs de structure et de construction dictent la forme. La structure n’est pas particulièrement célébrée, mais sa logique formelle est acceptée et exploitée.
  • La création de tout espace réel à abriter nécessite la matérialisation de frontières, dont le maintien de la géométrie réclame une structure porteuse. Cette structure étant indissociable de l&amp;apos;architecture, c&amp;apos;est un élément fondamental de son expression.
    Mais structure et architecture peuvent tisser des liens extrêmement variés. Souvent, les critiques d’architecture continuent d’exploiter la rivalité entre ingénieurs et architectes pour faire porter l’enjeu de structure sur sa domination ou subordination à l’architecture. Cette vision est trop pauvre. Les relations sont beaucoup plus complexes, plus subtiles.
    Si ce qui ravi le publique en architecture, c’est le geste, l’extravagance, l’excès, un tel critère appliqué à la structure est en opposition avec les objectifs des ingénieurs structure : développement durable, économie de moyens. A l’opposé, une structure qui rempli parfaitement les critères strictement techniques n’est pas une condition nécessaire pour faire une bonne architecture.
    On peut analyser la production de certains architectes en leur attribuant un intérêt ou non pour la question de la structure, et ce n’est pas en soi un jugement de valeur. Par contre, la maîtrise de ses logiques est nécessaire.
    Dans l’architecture monumentale grecque, romaine, gothique, ainsi que dans beaucoup d’exemples du XIXème ou contemporains, la logique formelle d’un concept structurel influence fortement les formes architecturales, et constitue une base de créativité. Dans le parthenon d’Athènes, les impératifs de structure et de construction dictent la forme. La structure n’est pas particulièrement célébrée, mais sa logique formelle est acceptée et exploitée.
  • La création de tout espace réel à abriter nécessite la matérialisation de frontières, dont le maintien de la géométrie réclame une structure porteuse. Cette structure étant indissociable de l&amp;apos;architecture, c&amp;apos;est un élément fondamental de son expression.
    Mais structure et architecture peuvent tisser des liens extrêmement variés. Souvent, les critiques d’architecture continuent d’exploiter la rivalité entre ingénieurs et architectes pour faire porter l’enjeu de structure sur sa domination ou subordination à l’architecture. Cette vision est trop pauvre. Les relations sont beaucoup plus complexes, plus subtiles.
    Si ce qui ravi le publique en architecture, c’est le geste, l’extravagance, l’excès, un tel critère appliqué à la structure est en opposition avec les objectifs des ingénieurs structure : développement durable, économie de moyens. A l’opposé, une structure qui rempli parfaitement les critères strictement techniques n’est pas une condition nécessaire pour faire une bonne architecture.
    On peut analyser la production de certains architectes en leur attribuant un intérêt ou non pour la question de la structure, et ce n’est pas en soi un jugement de valeur. Par contre, la maîtrise de ses logiques est nécessaire.
    Dans l’architecture monumentale grecque, romaine, gothique, ainsi que dans beaucoup d’exemples du XIXème ou contemporains, la logique formelle d’un concept structurel influence fortement les formes architecturales, et constitue une base de créativité. Dans le parthenon d’Athènes, les impératifs de structure et de construction dictent la forme. La structure n’est pas particulièrement célébrée, mais sa logique formelle est acceptée et exploitée.
  • La création de tout espace réel à abriter nécessite la matérialisation de frontières, dont le maintien de la géométrie réclame une structure porteuse. Cette structure étant indissociable de l&amp;apos;architecture, c&amp;apos;est un élément fondamental de son expression.
    Mais structure et architecture peuvent tisser des liens extrêmement variés. Souvent, les critiques d’architecture continuent d’exploiter la rivalité entre ingénieurs et architectes pour faire porter l’enjeu de structure sur sa domination ou subordination à l’architecture. Cette vision est trop pauvre. Les relations sont beaucoup plus complexes, plus subtiles.
    Si ce qui ravi le publique en architecture, c’est le geste, l’extravagance, l’excès, un tel critère appliqué à la structure est en opposition avec les objectifs des ingénieurs structure : développement durable, économie de moyens. A l’opposé, une structure qui rempli parfaitement les critères strictement techniques n’est pas une condition nécessaire pour faire une bonne architecture.
    On peut analyser la production de certains architectes en leur attribuant un intérêt ou non pour la question de la structure, et ce n’est pas en soi un jugement de valeur. Par contre, la maîtrise de ses logiques est nécessaire.
    Dans l’architecture monumentale grecque, romaine, gothique, ainsi que dans beaucoup d’exemples du XIXème ou contemporains, la logique formelle d’un concept structurel influence fortement les formes architecturales, et constitue une base de créativité. Dans le parthenon d’Athènes, les impératifs de structure et de construction dictent la forme. La structure n’est pas particulièrement célébrée, mais sa logique formelle est acceptée et exploitée.
  • On peut dire la même chose de ces vastes intérieurs romains, rendus possibles grâce à un principe de structure en cohérence avec les matériaux utilisés et l’organisation du travail romain. La voûte et le dôme sont les nouvelles logiques structurelles. L’association d’une logique d’optimisation de structure à des considérations esthétiques est aussi illustré par l’invention du caisson.
  • C&amp;apos;est ainsi que Schopenhauer écrivait : &amp;quot;La lutte entre le poids et la rigidité constitue en soi le seul thème esthétique de l&amp;apos;art en architecture, et d&amp;apos;exprimer ce conflit de la façon la plus variée et la plus claire est sa fonction. (…) La manifestation immédiate de la tendance naturelle [des corps soumis à la gravité à tomber, à s&amp;apos;écrouler] est contrariée par l&amp;apos;architecture, qui ne permet qu&amp;apos;une manifestation maîtrisée, par des voies tortueuses. (…) Par la grâce de ces voies obligées et tortueuses, par la grâce des obstacles, les forces résidentes dans ces masses vulgaires de pierre ont l&amp;apos;opportunité de se révéler dans des formes les plus claires et les plus variées.&amp;quot;
  • Arc
  • En fin de compte, si la structure possède ce statut particulier c’est bien à cause de sa fonction rationnelle incontournable, qui est de maintenir la géométrie des systèmes abrités (enveloppes, équipements, outils de production, etc.) malgré l’ensemble des agressions, internes ou externes, qui s’expriment comme des forces.
  • Support pour le calcul en un point, mais aussi pour le diagramme des moments.
  • Inclure dans l’exposé l’image de expIII de l’année deenière
  • Pont de Normandie, Estuaire de la seine, entre Le Havre et Honfleur, 1995
    856m de portée = record mondial.
    Sur la travée centrale (856m), on a 116 m en béton près des appuis, et 624m en acier (meilleur rapport résistance/poids).
    Le câble est bien le système le plus efficace (rapport résistance poids)
  • Treillis en double couche du réfectoire du centre de formation BASF, Ludwigshafen
  • Support du cours

    1. 1. Statique, résistance des matériaux, structures
    2. 2. Contrôle des connaissances • Contrôle continu : 50% – Exercice filé, 4 rendus – Contrôles rapides en début de CM • Retard = Absence = 0 si non justifié près admin. • Contrôle final : 50% – En 2 heures – Document autorisé : une feuille A4 r/v de notes personnelles
    3. 3. Fonctionnement • Il est interdit de ne pas comprendre : posez des questions! • 1h de cours, 1h à la maison : – Relisez et apprenez le cours – Faites des exercices y afférant, préparez les TD • Ne prenez pas de retard! • Sollicitez le prof autant que de besoin • Soyez actifs en TD
    4. 4. Plan du cours • Introduction • Échelle globale : force et équilibre • Échelle de la section : forces internes • Échelle du matériau : contraintes et déformations • Les critères de dimensionnement
    5. 5. Stabilité Force de volume Force de contact Equilibre Frottement Déplacement Vitesse Accélération Flexion Inertie Pression Déformation Raideur Moment Force interne Travail Traction, compression
    6. 6. Calatrava
    7. 7. Keneth Snelson
    8. 8. Antony Gormley
    9. 9. Michael Calnan [re]design
    10. 10. Quartier général de Renault à Swindon (UK) Norman Foster
    11. 11. Forum International de Tokyo Rafael Vinoly
    12. 12. Hongkong and Shaghai Bank , Norman Foster
    13. 13. Parthénon, Athènes
    14. 14. Panthéon de Rome
    15. 15. Notre Dame de Paris
    16. 16. Frank Ghery
    17. 17. Succursale de Selfridges, Bermingham (arch. Future Systems).
    18. 18. Food Theater Cafe, by Daniel Libeskind, at London, England, 2001.
    19. 19. Calatrava
    20. 20. Marc Mimram
    21. 21. Objectif : compréhension des principes fondamentaux du comportement des structures Prendre de la hauteur et de l'autonomie par rapport aux archétypes, aux recettes et réglementations Développer un dialogue réellement riche avec son partenaire ingénieur. La connaissance des principes plutôt que des recettes est la clé d'une pratique innovante. Acquisition d'un nouveau langage, celui de la structure, dont la maîtrise ajoutera une dimension fondamentale à la lecture et à l'expression architecturales.
    22. 22. Structure
    23. 23. Définitions • Définition – Une structure a pour fonction de maintenir la géométrie de la construction, en dépit des forces qui la sollicitent. • Définition complète du problème de structure – Géométrie globale – Géométrie des sections – Nature des liaisons – Charges – Matériaux
    24. 24. Poutre Poutre courbe, de section variable Fibre moyenne Section droite Centre géométrique de la section
    25. 25. Sections bois carrées 20x20 Sections acier rondes F 2cm
    26. 26. Nature des liaisons http://thehelpfulengineer.com http://www.trada.co.uk/news
    27. 27. Appui simple x y z z x x y z
    28. 28. Articulation (rotule) x y z z x y Exemple de cardan
    29. 29. Articulations
    30. 30. Articulations
    31. 31. Encastrements
    32. 32. Pour un problème plan Représentation Réactions potentielles Dépls autorisés
    33. 33. •Une structure endostatique n'est pas stable. Il lui manque des liaisons. •Une structure isostatique est juste stable : la suppression d'une seule liaison la rendrait instable. •Une structure hyperstatique comporte des liaisons sur-abondantes A par rapport à la stabilité. B C Stabilité
    34. 34. Degré d’hyperstaticité externe
    35. 35. Degré d’hyperstaticité interne
    36. 36. Juste stable Règle n°2 Juste stable Règle n°3 Instable Règle n°1 Juste stable Règle n°3 Juste stable Règle n°4 Juste stable Règle n°5 Instable Règle n°5 Juste stable Règle n°5
    37. 37. Exemples de structures stables malgré une instabilité interne Arc à trois articulations Hyperstaticité totale : 0 : juste stable Hypersaticité interne : -1 Hypersaticité externe : +1 Portique encastré en pied articulé en tête Hyperstaticité totale : 1 Hypersaticité interne : -2 Hypersaticité externe : +3
    38. 38. FORCES
    39. 39. • Échelle globale : force et équilibre – Classification des agressions • Permanentes/variables • Normales/accidentelles • Statiques ou dynamiques • Directions • Volumiques/surfaciques/linéiques/ponctuelles • Forces/déplacements
    40. 40. • Permanentes – Poids propre – Poussée des terres – précontrainte • Variables – Charges d’utilisation – Charges climatiques – Autres : séisme, construction, … Poussée des terres Pression d’eau Pression combinée
    41. 41. Charges permanentes Matériau Poids volumique en kg/m3 (masse volumique * accélération de la pesanteur) Bois De 600 à 800 Blocs de béton creux 1 350 Brique pleine 1 900 Béton armé 2 500 Pierre de taille 2 700 Acier 78 500 Matériau Poids surfacique en kg/m² Plancher bacs acier 10 - 50 Dalle béton armé pleine 15 cm 375 Plancher Préfabriqué alvéolé 16 cm 240 à 290 Carrelage et son mortier de pose : Grès cérame 4,5 mm 50 Céramique, pierre dure (15 à 30 mm) 70 à 100 Parquet de 23 mm 25 Sol mince textile ou plastique 8 Partition en carreau de plâtre 10 cm 60 Plafond suspendu 5
    42. 42. Charges de service normalisées Type d'usage Charge d'exploitation en kN/m² Logement 1,5 Balcon d'habitaiton 3,5 Salle de classe 2,5 Bibliothèque 4 Couloirs, escaliers, halls 4 Salle de réunion avec tables 2,5 Salles, tribunes, gradins avec places debout 6
    43. 43. Neige Vent
    44. 44. • Normales – Fréquentes, d’intensité raisonnable. – Qui permettent à l’installation de fonctionner normalement. – Génèrent peu de déformations, fissures ou déplacements. • Accidentelles – Inhabituelles, de forte intensité. – Peuvent conduire à des désordres importants. – Risques majeurs. 10 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Magnitude 2,5 3,5 4,5 5,5 fréquence annuelle
    45. 45. Zonage sismique de la France
    46. 46. • Statiques – Charges permanentes – Vent – Neige – … • Dynamiques – Energie cinétique • Avalanche • Séisme • Tsunami – Vibrations • Séisme • Vent • Trafic • Machines tournantes
    47. 47. Vent : le pont de Tacoma
    48. 48. • Volumiques (poids) • Surfaciques (vent, poussée des terres) • Linéiques (sur une poutre) • Ponctuelles (appui isolé)
    49. 49. • Force • Déplacements différentiels – Dilatation Poutre encastrée Poutre simplement posée – Tassements 100 m à 2°C 100 m + 3 cm à 32°C Force de compression
    50. 50. Poids porté : 11 250 kg Poids propre : 2 273 kg Poutre pleine en acier de section carrée uniforme Poutre treillis en acier de hauteur variable Poids porté : 11 250 kg Poids propre : 278 kg
    51. 51. Centre culturel Jean-Marie Tjibaou, Nouvelle Calédonie, Renzo Piano
    52. 52. Volume fermé Volume ouvert
    53. 53. Définition de la force
    54. 54. Le concept de force • Une force produit des déformations, des déplacements. Une force est toute cause susceptible de modifier l'état de repos ou de mouvement d'un corps. • Son unité est le Newton (N) • Le poids P, exprimé en Newton, d’un objet est le produit de sa masse M, exprimée en kg par une constante g, l’accélération de la pesanteur, valant environ 10 m/s² : P = M x g Objet Masse Poids approché Une petite pomme 0,1 kg = 100 g 1 N Un litre d’eau 1 kg 10 N = 1 daN Un parpaing de béton perforé de 5 x 20 x 20 (cm3), un pack de 6 bouteilles de 1,5 litre 9 kg 90 N Un parpaing de béton creux de 20 x 20 x 50 (cm3) 20 kg 200 N Un sac de ciment 50 kg 500 N Un basketteur de 2,10 m 100 kg 100 daN = 1 kN Une poutre en chêne de 25 x 20 cm de 6 m de long 200 kg 2 kN Voiture (citadine) 1 000 kg = 1 t 10 kN Dalle de béton armé de 5 x 5 m, de 16 cm d’épaisseur 10 t 100 kN Camion semi-remorque chargé 35 t 350 kN Locomotive 100 t 1 000 kN = 1 MN Petit immeuble d’habitation R+3 de 200 m2 au sol en béton armé 1 000 t 10 MN Tour Eiffel 10 000 t 100 MN
    55. 55. Définition mathématique • Une force est définie par : • Son vecteur : – Sa direction – Son sens – Son intensité (en N) • Sa ligne d'action x y a : direction intensité sens ligne d ’action d
    56. 56. Notion de moment • Le moment d ’une force par rapport à un axe est sa tendance à faire tourner autour de cet axe • On définit le moment d'une force 'F' autour d'un point 'O' comme le produit de l'intensité de la force par la distance du point à la ligne d'action de la force : M = F x d . • Son unité est le N.m (Newton - mètre). • La distance 'd' (ou bras de levier) est mesurée sur la perpendiculaire à la ligne d'action, passant par 'O'. d F d d d1 d2 F1 F2
    57. 57. d1 F F M1 d2 < d1 M2 < M1 d = 0 F M3 = 0
    58. 58. Notations, conventions de signe • Force, intensité, valeur algébrique : F ; vecteur : F • Valeur algébrique : le signe donne le sens par rapport à un sens conventionnel : représentation graphique ou repère explicité x y F = 500 N F = -500 N
    59. 59. Convention classique pour le signe du moment dans un repère x y z + x y z +
    60. 60. x y F1 F2 F1 F2 F1 F2
    61. 61. Somme vectorielle x y a F F Fy Fx F = 4 daN -3 daN intensité F1 F2 Ftot Fy1 Fy2 Fytot Fxtot Fx1 Fx2 x y Le vecteur de la somme des forces est la somme des vecteurs des forces individuelles.
    62. 62.  La ligne d'action de la somme de 2 forces concourantes passe par le pt d'intersection des deux lignes d'action. F1 F2 F1+F2 F2 F1  La ligne d'action de la somme de deux forces parallèles passe par un point autour duquel la somme des moments des forces prises individuellement est nul.
    63. 63. Forces équivalentes Du point de vue de l'équilibre: a) On ne change pas l'effet d'une force en la translatant le long de sa ligne d'action b) On peut remplacer un ensemble de forces ponctuelles par leur somme c) On peut toujours définir une force ponctuelle équivalente à une force répartie. F F P
    64. 64. P = q.L L q L/2 qmax P = qmax.L/2 L L/3 Forces équivalentes G L/3
    65. 65. Forces équivalentes Nature de la force répartie Grandeur caractéristique Force équivalente (N) Sur un volume V (m3) Force volumique : f (N/m3) F = V ´ f Sur une surface S (m2) Force surfacique : p (N/m2) F = S ´ p Sur un segment L (m) Force linéique : q (N/m) F = L ´ q
    66. 66. CONDITIONS DE L’EQUILIBRE
    67. 67. Réalisation de l’équilibre grâce aux réactions Poids propre (ponctuelle équivalente) Réaction Réaction Poids gymnaste
    68. 68. Equations d’équilibre • Si le problème est plan, on peut écrire trois équations : – 1. Somme des composantes dans la direction 'X' est nulle – 2. Somme des composantes dans la direction 'Y' est nulle – 3. Somme des moments autour d'un point quelconque est nul
    69. 69. d=0.6m h=2m F
    70. 70. x y F RAx RBy RBx F d=0.6m h=2m
    71. 71. VERT JAUNE Quel est le moment total des forces extérieures autour de l’encastrement A (intensité et sens) ? 2 kN 5m 1 kN 1 kN 10m 1,5 kN 0,5 kN 10 daN/m A 2 kN 2m 2m 20 daN 1 kN 1 kN 1 kN 1 kN 5m 10m 2m 1m 20 daN 10 daN/m A Le système de forces appliquées sur la structure ci-dessous est-il en équilibre?
    72. 72. EFFORTS INTERNES
    73. 73. Colonne sur statue Statue sur colonne Partie basse sur partie haute Partie haute sur partie basse Section fictive Sol sur colonne Colonne sur sol Ps Pch Pcb
    74. 74. Principe de l’obtention des efforts internes Coupe Forces exercées par la partie gauche sur la partie droite
    75. 75. On appèle efforts internes les forces exercées par la partie gauche de la structure sur la partie droite, ces deux parties étant situées de part et d'autre d'une section fictive. La gauche et la droite étant définies grâce au choix explicité d'un axe orienté. Coupe Forces exercées par la partie gauche sur la partie droite Les efforts internes sont donc: •la somme des forces et moments extérieurs appliqués sur la partie gauche, (c'est-à-dire transmis par la partie gauche à la partie droite). •Les forces appliqués par la partie gauche sur la partie droite, qui permettent d’équilibrer les forces extérieures qui agissent sur cette dernière.
    76. 76. Repère global : réactions d ’appui X Repères locaux : efforts internes Y + x y + x y + + x x y + y
    77. 77. x y z Nx Ty Tz Mt Mz My G Les efforts de la RDM sont les composantes de force et de moment dans le repère local défini ci-dessus de la force résultante du système de forces et de moments appliqués sur la partie gauche.
    78. 78. N Ty Mz Mt
    79. 79. x y + L q A B
    80. 80. Diagramme des efforts • Un diagramme d'effort est la courbe qui représente l'évolution de l'effort en fonction de la position de la section le long de la fibre moyenne de l'élément. • L'équation de cette courbe correspond à l'expression de l'effort en fonction de 'x' : la position de la section repérée le long de la fibre moyenne, et à partir d'une extrémité de l'élément : Nx = f(x) ; Ty = g(x) ; Mz = h(x) ; …
    81. 81. Zone 1 Zone 2 Zone 3 Zone 1 Zone 2 Zone 3 Zone 4 Zone 1 Zone 3 Zone 4 Zone 2
    82. 82. T M M(6m) 6 m 8 m
    83. 83. Configuration Effort tranchant Moment fléchissant q |T|max = qL/2 + - + |M|max = qL²/8 FF == qq..LL + - |T|max = qL/2 + |M|max = qL²/8 - FF == qq..LL + - |T|max = 11qL/16 + |M|max = 0,75qL²/4 FF == qq..LL + - |T|max = qL/2 + |M|max = qL²/4 FF == qq..LL - |T|max = qL - |M|max = qL²
    84. 84. A B Dq Dq rA = 1/CA rB = 1/CB
    85. 85. M = -E.I.C - - + +
    86. 86. UNE SCULPTURE FLECHIE • A rendre pour le 18/11/07 • L'idée est de créer une structure plane qui interroge sur l'idée de flexion. Bien que la morphologie de la structure, ses liaisons et son chargement doivent répondre à des critères stricts, la créativité est convoquée pour une proposition originale sur la forme d'une part, et qui révèle une déformée inattendue d'autre part, incitant à s'interroger. – A l'aide de 4 baguettes de balsa, 40 cm de longueur, réalisez une structure plane ouverte, dans laquelle toutes les liaisons internes sont des encastrements. N.B. Une structure ouverte est une structure dont on peut faire un croquis sans lever le crayon, et sans repasser sur un point déjà dessiné. – Stabilisez votre structure dans le plan en ajoutant trois liaisons externes de façon à rendre la structure isostatique. – Chargez la structure par une force ponctuelle. – Relevez la déformée. – Déterminez et tracez le diagramme des moments sur toute la structure. – Evaluez la cohérence entre les courbures de la déformée et le diagramme des moments. • Le relevé à l'échelle de la structure avant et après déformation, le diagramme des moments, ainsi que son interprétation en terme de courbure seront rendus sur une feuille A3. • Concrètement, les liaisons encastrement seront réalisées par des goussets rigides, et les liaisons avec l'extérieur par des épingles plantées dans un support.
    87. 87. Vert Jaune Soient les schémas des structures déformées ci-dessous. Pour chaque zone, dites s’il est le siège d’un effort normal et/ou d’un moment fléchissant. Donnez les valeurs de N, V et M au point P, compte tenu du repère local h P L/2 L/2 F h P L/2 L/2 F
    88. 88. CONTRAINTES
    89. 89. 100 tonnes réparties sur 50 briques 2 tonnes sur une brique s=F/S s1 < s2 Une contrainte est une force par unité de surface: s = F/S Son unité est le N/m² ou le Pa La contrainte
    90. 90. Résistance uniaxiale Résistance Matériau uniaxiale (en Mpa) Traction Compression Béton standard 3,5 40 Granit 15 180 Sapin (sans défauts) 80 40 Chêne (sans défauts) 90 50 Acier doux 400 400 Câbles en acier 1700 Composite fibre de verre 1400 Composite fibre de carbone 800 Alliages d'aluminium De 300 à 650 De 300 à 650 Boyau de chat 350 Fil d'araignée 240 Os 140
    91. 91. NB : dans cette figure, la contrainte (en Pa) est représentée par une flèche, symbole traditionnellement réservé à la force (N). sx txz txy On fait apparaître la composante normale, appelée 'sx', et les composantes qui sont tangentes à la section : 'txy' dans la direction de 'y' et 'txz' dans la direction de 'z'.
    92. 92. a b
    93. 93. N.B. : Sur cette figure, les flèches représentent bien des forces, qui résultent des contraintes : fi x = si x*si , fiy = ti xy*si fi x fi z si fi y z y yi
    94. 94. Nx Mz C C : Compression T : Traction C T T T C C T C
    95. 95. DEFORMATIONS
    96. 96. La déformation Soit un segment de longueur infinitésimal centré sur un point P. On définit la déformation longitudinale en ce point comme étant la variation de longueur du segment divisée par sa longueur initiale : ex = du/dx dx : longueur initiale du segment infinitésimal du : variation de longueur ex: déformation longitudinale dans la direction ‘x’ (celle du segment considéré).
    97. 97. x P dx du Longueur initiale Longueur finale
    98. 98. A uA = DL A L DL/2 L/2 La déformation longitudinale moyenne est la variation de longueur divisée par la longueur initiale. C'est encore l'allongement unitaire ou un pourcentage d'allongement. Une déformation de 100% correspond à un doublement de la longueur initiale. La déformation, comme la contrainte, décrit l'état local du matériau, et caractérise ici la variation de distance entre molécules.
    99. 99. La distorsion g mesure la variation d'angle de l'angle droit. Distorsion Déformation longitudinale
    100. 100. ELASTICITE
    101. 101. ex Comportement élastique sx E traction compression
    102. 102. Matériau Module d'Young (MPa) Sapin 10 500 Chêne 12 500 Béton 25 000 - 40 000 Pierre (calcaire compact) 70 000 Brique 10 000 Acier 205 000 Aluminium 70 000 Os 21 000 Verre courant 70 000 Diamant 1 200 000
    103. 103. Sollicitation Etude des contraintes Forces connues Réactions Efforts de la RDM Hypothèse de distribution des contraintes Observation des déformations Contrainte en tout point
    104. 104. EFFORT NORMAL Sous un effort normal seul, la déformation longitudinale ( ex = du/dx ) est uniforme sur toute la section. Sous un effort normal seul, seule une contrainte normale est engendrée, et sa distribution est uniforme dans la section : sx = -Nx/S du
    105. 105. Exemples de structures soumises essentiellement à l’effort normal
    106. 106. VERT JAUNE Une tige de 2m réalisée dans un matériau dont le module d’élasticité vaut 10000 MPa subit une déformation de 0,001. Quel est son niveau de contrainte? De combien s’est-elle allongée? Une tige de 2m se raccourci de 0,2mm sous une contrainte de 3 Mpa. Quelle est sa déformation? Une tige de 10m subit une déformation de 0,001 sous une contrainte de 30 Mpa. Quel est son module d’élasticité?
    107. 107. MOMENT FLECHISSANT
    108. 108. G1 G2 M M’ r y
    109. 109. G sx : traction sx : compression x y Fibre supérieure ( y = -h/2 ) Fibre inférieure ( y = +h/2 ) h
    110. 110. G sx : traction sx : compression G
    111. 111. Une section soumise à un moment fléchissant seul est le siège d'une distribution linéaire de contrainte, qui passe par la valeur nulle au centre de gravité de la section: sx(y) = Mz.y / Iz Le moment génère donc de la compression sur certaines fibres, et de la traction sur les fibres opposées par rapport au centre de gravité. Les valeurs absolues maximales de traction et de compression sont obtenues sur les deux fibres extrêmes. Si le moment est positif, la fibre en traction (sx > 0) est du côté des y positifs. Les valeurs maximales de la contrainte font intervenir l'inertie de la section, notée Iz, qui est une grandeur fondamentale caractéristique de la géométrie de la section, et qui rend compte de l'excentrement de la matière autour de l'axe z.
    112. 112. sx : traction G sx : compression P G
    113. 113. - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + sx : traction G sx : compression P/2 P G P/2 + - - - - - - - -
    114. 114. Inertie * L'inertie est une caractéristique de la géométrie de la section. * Son unité est le m4 * Elle représente la dispersion de la matière autour d'un axe, ou son degré d'éloignement. * Plus l'inertie est élevée, plus la poutre est résistante et raide à la flexion. En effet : plus la matière est éloignée du centre de gravité, plus le bras de levier des forces intermoléculaires qu'elle développe est grand, et donc plus elle peut contribuer à l'équilibre du moment sollicitant.
    115. 115. z y z y
    116. 116. Acier
    117. 117. FLEXION COMPOSEE G sx : traction s sx : compression x : compression sx : compression G sx : traction + = G sx : traction sx s : compression x : traction sx : traction + = G sx : traction sx = -Nx/S + Mz.y/Iz
    118. 118. Poutre non précontraine Mise en traction du câble Mise en précontrainte du béton Chargement équivalent de la poutre précontrainte Distribution de contrainte dans le béton au centre de la poutre compression traction Contraintes ultimes compression traction compression traction
    119. 119. EFFORT TRANCHANT
    120. 120. x y txy txy sur une seule face txy txy txy sur deux faces opposées tyx txy et tyx réalisant l’équilibre txy txy txy tyx
    121. 121. Compression Traction Compression Traction Distribution de contrainte normale sx Sur chaque couche, le moment est trois fois plus faible, ainsi que le bras de levier des forces intermoléculaires. Les résultantes de compression et de traction (surface des triangles) doivent alors être identiques. La contrainte doit donc être trois fois plus forte. Résultante de compression Bras de levier
    122. 122. txymax txymax txymax
    123. 123. txymax txymax
    124. 124. EFFORT TRANCHANT tmax = Ty/Sc Avec : tmax : contrainte de cisaillement maximale Ty : effort tranchant Sc : surface corrigée, dépendant du type de profil : Section rect. massive : Sc = 2/3 S Section circ. massive : Sc = 3/4 S Section circ. mince : Sc = 1/2 S Profil en ‘I’ : Sc = Section de l’âme seule S étant la surface totale de la section
    125. 125. Le flambement
    126. 126. L Lfl Lfl Lfl Ncrit = p²E.I./L²fl Avec : E : Module d'Young I : Moment d'Inertie minimale de la section Lfl : Longueur de flambement
    127. 127. On peut donc retenir de l'expression de la charge critique de flambement que la résistance au flambement : •Croît avec la raideur en flexion de la poutre, et notamment avec l'inertie. •Dépend de la plus faible valeur de l'inertie : dans le plan de plus faible raideur de flexion. (I min = hb3/12 pour une section rectangulaire et b < h) •Est inversement proportionnel au carré de la longueur. •Dépend des conditions aux limites, qui déterminent le mode de flambement.
    128. 128. Flambement d’ensemble
    129. 129. Complément sur les structures soumises essentiellement à l’effort normal
    130. 130. dA dB A B C P A dA Repère local RA B dB Repère local RB Câbles
    131. 131. dA dB A B C1 P C2 dA dB A B a b C P h
    132. 132. On constate que: •Contrairement aux composantes horizontales, les composantes verticales des réactions ne dépendent que de la position sur l'horizontale de la ligne d'action, et non pas de la hauteur de C (ou de la longueur du câble, ou encore de l'angle). •Plus la hauteur est importante, et plus les composantes horizontales, et donc aussi l'effort normal sont faibles. •Le rapport des angles de départ du câble (ou plus exactement de leur tangente) ne dépend que de la position sur l'horizontale de la ligne d'action de la force.
    133. 133. F1 F2 dA dB A B C P D A B F1 F2
    134. 134. x/2 x/2 q q.x A B RAx RAy x y C
    135. 135. En résumé, le câble (non pesant) supportant une charge uniformément répartie : • Prend la forme d'une parabole • Exerce une composante horizontale de traction aux appuis qui varie comme L²/h • Exerce une composante verticale indépendante de la flèche • Subit un effort normal plus important près des ancrages.
    136. 136. Arcs
    137. 137. arcs câbles En compression En traction Sujet au flambement Pas de risque de flambement Il faut les rigidifier à la flexion Ils restent souples à la flexion Il faut leur donner une forme funiculaire Ils prennent automatiquement la forme funiculaire La géométrie est toujours maintenue La flexion apparaît si la force change La géométrie varie en fonction de la force Il n'y a jamais de flexion Accroître la résistance à la flexion et précontraindre pour limiter les efforts de traction Les charges constantes doivent être grandes devant les surcharges variables Il faut précontraindre pour limiter les déplacements
    138. 138. Treillis On peut énoncer les propriétés suivantes des treillis : •Chaque barre n’est soumise qu’à un effort normal. •L’effort normal est constant le long de la barre. •L’action de toute sous-structure ou d'un appui sur une barre est nécessairement orientée comme la barre.
    139. 139. - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + P/2 P/2 + - - - - - - - - P P - - Moment Mz Effort tranchant Ty

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