Anr Algo Ak Lille

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Atelier ALGO : présentation de la séance du 22/10/2009.

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Anr Algo Ak Lille

  1. 1. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Raisonnements et algorithmes: Exemples tirés des procédures pour extraire la racine carrée dans la littérature mathématique en Sanskrit Agathe Keller (SPHère, CNRS-Université Denis Diderot ) ANR Algo Lille 22 octobre 2009 Keller Raisonnements et algorithmes
  2. 2. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Un algorithme qui utilise les ressources de la numération positonelle décimale 105 104 103 102 101 100 1 8 6 6 2 4 186624 = 1 × 105 + 8 × 104 + 6 × 103 + 6 × 102 + 2 × 101 + 4 × 100 L’objectif de l’algorithme d’extraction de racine carrée, nous pouvons le comprendre comme une tentative pour retrouver dans ce dévelopement, le dévelopement d’un carré du type: a2 + 2ab + b2 Par conséquent, l’algorithme comportera de nombreuses soustraction de carré et de division par 2. Keller Raisonnements et algorithmes
  3. 3. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Sources utilisées Keller Raisonnements et algorithmes
  4. 4. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Sources utilisées Keller Raisonnements et algorithmes
  5. 5. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle ¯ La règle compacte d’Aryabhata . ¯ . ¯ . . ¯ ¯ bhagam hared avargan nityam dvigunena vargamulena| vargad varge ´ ¯ ¯ ¯ suddhe labdham sthanantare mulam . One doit diviser, sans cesse, la place non-carré par deux fois la racine-carré| Lorque le carré à été soustrait de la place carré, le résultat est une racine dans une autre place ¯ ¯ Shukla, K. S. (1976) Aryabhat¯ya of Aryabhata, with the commentary of .ı . ¯ Bhaskara I and Some´ vara. Delhi: Indian National Science Academy. s Keller Raisonnements et algorithmes
  6. 6. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle ´ ı La règle “pratique” de Sr¯dhara ¯ ¯ ¯ ¯ visamat padas tyaktyva vargam sthanacyutena mulena| dvigunena . . . . . . ˙ bhajec chesam labdham vinive´ ayet panktau tadvargam s . . ´ ¯ samsodhya dvigunam kurv¯t purvaval labdham| utsarya tato vibhajec . . ı ´ . . sesam dvigun¯krtam dalayet .ı . . PG.24. Ayant retiré le carré du terme impair, on doit diviser le reste par deux fois la racine qui a goutté à sa place| On dispose le reste sur la ligne PG.25. Ayant soustrait le carré de celà, on doit diviser le résultat précédent| Qui à été doublé au préalable . Ainsi, encore et encore. Finalement on doit diviser la moitié du reste. ´ ı Shukla, K. S. (1959) The Patiganita of Sr¯dhara with an anonymous . . commentary, edited, translanted with notes. Lucknow, University of Lucknow Publications. Keller Raisonnements et algorithmes
  7. 7. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Utiliser différentes ressources de la notation positionelle avarga varga avarga varga avarga varga sa vi sa vi sa vi 105 104 103 102 101 100 1 8 6 6 2 4 186624 = 1 × 105 + 8 × 104 + 6 × 103 + 6 × 102 + 2 × 101 + 4 × 100 ˇ Figure: La disposition telle qu’elle apparaTt dans l’édition d’ APG Keller Raisonnements et algorithmes
  8. 8. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle ¯ Soustraire le carré du carré: le point de vue d’ Aryabhata et . ¯ Bhaskara ∗105 104 103 102 101 100 4/2 6 6 2 4 186624 = 42 × (102 )2 + 2 × 104 + 6 × 103 + 6 × 102 + 2 × 101 + 4 × 100 Keller Raisonnements et algorithmes
  9. 9. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Soustraire le carré du carré: le point de vue d’APG 2 6 6 2 4 8 186624 = 42 × (102 )2 + 2 × 104 + 6 × 103 + 6 × 102 + 2 × 101 + 4 × 100 Keller Raisonnements et algorithmes
  10. 10. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle On doit diviser par deux fois la racine carrée ¯ Suryadeva . ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . tena dvigunenanantarad avargasthanad bhagam haret On doit diviser la prochaine position/place non-carée par deux fois cette racine . ¯ Bhaskara ∗ 103 102 101 100 4 3/2 6 2 4 186624 = 42 ×(102 )2 +2×(4×102 )(3×101 )+2×103 +6×102 +2×101 +4×100 Keller Raisonnements et algorithmes
  11. 11. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Quand doit on doubler la racine (en suivant APG)? . t¯ ¯ ˙ ca tena tatraiva sthitena uparis. at bhagam apaharet labdham panktau . vinive´ ayet s Et l’on doit diviser ce qui se tient au dessus par deux fois cela, à cet endroit. Le quotient doit être inséré sur une ligne. ¯ ¯ ˙ ¯. s ¯. adho bhagalabdhakas trayaste panktyam nive´ yah En dessous le quotient est trois. Ayant entré ces trois unités sur une ligne- il doivent être placés sous la place fait de six unités . ∗2 6 6 2 4 8 3 186624 = 42 ×(102 )2 +2×(4×102 )(3×101 )+2×102 +2×101 +4×100 Keller Raisonnements et algorithmes
  12. 12. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Itération ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Bhaskara etat eva sutram punar punar avartate yavat parisamaptam ganitakarma iti Précisemment cette règle est itérée encore et encore . jusqu’à ce que le processus mathématique parviennent à sa fin. ¯ . ¯ ¯ ¯ s´ . ¯ . ¯ ¯ ¯ Suryadeva evam tavad kuryad yavan ni´ sesani vargavargasthanani bhavanti De cette manière, on doit effectuer le processus jusqu’à ce qu’il n’y ait plus aucune place carrée ou non-carrée . ¯ ˙ APG tam utsarayet tato vibhajet labdham panktau vinive´ ayed ity adi . s ¯ ¯ ¯ purvavat yavat utsarpanasambhavah On doit répêter ce processus , . . ainsi on doit diviser, on doit insérer le quotient sur une ligne, etc. comme auparavant que cette progression serpentine est possible. Keller Raisonnements et algorithmes
  13. 13. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Soustraire le carré de nouveau ¯ Bhaskara ∗ 103 102 101 100 4 3/1 7 2 4 186624 = 42 × (102 )2 + 2 × (4 × 102 )(3 × 101 ) + 32 × (101 )2 + 1 × 103 + 7 × 102 + 2 × 101 + 4 × 100 Keller Raisonnements et algorithmes
  14. 14. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Quand doit-on doubler la racine (d’après APG)/2? tatas tad vargam uparis. ac chodhayet tac ca dvigun¯kuryat / . t¯ .ı ¯ Ensuite, on doit soustraire son carré de ce qui se tient au dessus, et ceci doit être doublé. (...) ¯ ¯ ¯. . t¯ . . . ´ satkasyadhah sthapyah etasya vargo nava tad uparis. at sadvimsateh . . . . ´ sodhaytiva te (1724) trayo dvigunitah sat kartvyah, adhah soda´ ¯tir jayate / ¯ . ¯. . . ¯. . . . sı ¯ . ¯s . ˙ ¯. esa ra´ ih sarpati panktyam dvayor adhah (satkam) bhavati, as. akam . . . . .t . ¯ ¯ . saptadhah / nyasah . Son carré est neuf. On doit le soustraire de vingt-six au-dessus, ceux-ci (1724) sont placés au-dessus , trois est multiplié par deux, six doit être fait. En-dessous, quatre vingt six est produit. Cette quantité glisse/serpente sur la ligne en-dessous (de?) deux, (il y à six), en-dessous de sept, huit . 1 7 2 4 Disposition: 8 6 186624 = 42 × (102 )2 + 2 × (4 × 102Raisonnements 1 ) + 32 × (101 )2 + 1 × Keller )(3 × 10 et algorithmes
  15. 15. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Division de la racine, soustraction du carré Considering the next place on the right, 172, divide it by twice the partial square root, 86: the quotient is 2 and there is no remainder. The square root is 432. ¯ Bhaskara style: APG style: 4 ∗ 100 8 6 2 4 3 2 4 186624 = 42 × (102 )2 + 2 × (4 × 102 )(3 × 101 ) + 32 × (101 )2 + 2 × (3 × 100 )(4 × 102 + 3 × 101 ) + 4 × 100 = (4 × 102 + 3 × 101 + 2 × 100 )2 Keller Raisonnements et algorithmes
  16. 16. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Extracting de la racine carré de 187724 (fin) ¯ ¯ le style d’ Aryabhata et Bhaskara : . le style d’APG: 8 6 4 4 3 2 186624 = (432)2 Keller Raisonnements et algorithmes
  17. 17. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Le processus tel que je le reconstruit Keller Raisonnements et algorithmes
  18. 18. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Les différents pas donnés par Ab Keller Raisonnements et algorithmes
  19. 19. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Les différents pas donnés par BAB Keller Raisonnements et algorithmes
  20. 20. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Comparaison d’Ab avec BAB Keller Raisonnements et algorithmes
  21. 21. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Les différents pas donnés par PG Keller Raisonnements et algorithmes
  22. 22. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Comparaison d’Ab avec PG Keller Raisonnements et algorithmes
  23. 23. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Les différents pas donnés par APG Keller Raisonnements et algorithmes
  24. 24. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Comparaison de PG avec APG Keller Raisonnements et algorithmes
  25. 25. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Les différents pas donnés par SYAB Keller Raisonnements et algorithmes
  26. 26. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Comparaison d’Ab avec SYAB Keller Raisonnements et algorithmes
  27. 27. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Comparaison de SYAB avec BAB Keller Raisonnements et algorithmes
  28. 28. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Comparaison de PG avec SYAB Keller Raisonnements et algorithmes
  29. 29. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Choisir des pas Keller Raisonnements et algorithmes
  30. 30. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Règles et algorithmes • sutra “règle” BAB, APG, SYAB ¯ • anayana “calcul” BAB, SYAB ¯ • ganitakarma “processus mathématique” BAB . • karanasutra “règle algorithmique” APG . ¯ Keller Raisonnements et algorithmes
  31. 31. ¯ Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle Elargir le corpus et explorer d’autres algorithmes Ab. Chapitre 2 Vème siècle BSS. Chapitre BAB 12/18 VIIème siècle VIIème siècle PBSS IXème siècle Keller Raisonnements et algorithmes

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