Este documento discute a divisão harmônica em geometria. Ele define divisão harmônica, apresenta suas propriedades e valores para k, e discute a distância entre divisores harmônicos. Exemplos resolvidos e exercícios propostos são fornecidos para ilustrar o conceito.

1. DIVISÃO HARMÔNICA
Gabriel Doria

2. DEFINIÇÃO
 Dado um segmento AB e outro CD, ocorre uma
divisão harmônica em AB por CD, quando a razão
dos segmentos determinados por C (CA e CB) for
igual à razão dos segmentos determinados por D
(DA e DB):

3. PROPRIEDADES
1)Em uma divisão harmônica, existe a relação:
2)Sendo O o ponto médio de AB, temos:
(OA)²=(OB)²=(OM).(ON)

4. VALORES PARA K
 Se k=1, D estará no infinito e C será o ponto médio
de AB (O)
 Se k>1, os segmentos que C e D determinam com
A são maiores que os segmentos que C e D
determinam com B
 Caso 0<k<1, o contrário da preposição anterior
ocorre.

5. DISTÂNCIA ENTRE DIVISORES HARMÔNICOS
a b
x
Sejam C e D conjugados harmônicos de AB(=l). Assim,
Se tivéssemos k<1, e
fossemos pelo mesmo
raciocínio chegaríamos
Ao resultado:

6.  Sejam A,B,C e D: se C e D são divisores
harmônicos de A e B, então o contrário será válido
também e teremos:
 Pelo slide anterior (supondo k>1 e 0<k’<1):

7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 1) Sejam A,B e C nesta ordem sobre uma reta tais
que AB = 12 e BC = 3. Seja D conjugado
harmônico de B em relação ao segmento AO.
Então, BD mede quanto? Conjugado harmônico:
AB/BC=AD/CD
Seja CD=x
12/3=(15 + x)x
4x = 15 + x
3x=15
x=5
BD = BC + CD
BD = 5 + 3 =8

8.  2)Os pontos A,M,B,N de uma reta formam uma divisão harmônica de
razão MA/MB=NA/NB=k. Se J é ponto médio de MN a razão JA/JB
vale:
Representam
a)2K
as abscissas.
b)K/2
c)K²
d)3K
e)K/3
substituindo
 Solução:
Na última expressão fazemos as substituições

9. 3)Sejam C e D conjugados harmônicos em relação a A e B, e O o ponto médio de AB.
a) Prove que (OA)² = (OC)(OD)
b) Prove que 2/AB = 1/AC + 1/AD (relação que se usa em física no estudo dos espelhos)
Essa relação mostra que AB é média harmônica entre AC e AD.
b) Esse eu deixo pra você!

10.  4)(IME-RJ): Considere as equações do 2° grau ax² + bx + c = 0 e a'x² + b'x + c' = 0. Suas
raízes reais são respectivamente iguais a x1;x2 e x3;x4. Determine a condição entre os
coeficientes das equações para que o segmento de extremidades com abscissas x1 e x2
seja dividido harmonicamente pelos pontos de abscissas x3 e x4.

12. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

13.  1)Dada uma reta, com os pontos A,B,C e D
dispostos nessa ordem, e com os seguintes
comprimentos: AB=x; BC=6; CD=x+1, determine x
para que os pontos abaixo formem uma divisão
harmônica.

14. 2)Determinar a coordenada x do ponto M que divide
o segmento M1M2, limitado pelas abscissas x1 e x2,
numa razão λ, tal que

15. 3) Tomam-se sucessivamente sobre uma reta os
pontos A,B,C e D sendo, AB=5, BC=1 e CD=3.
Considera-se o ponto M exterior ao segmento AC
de modo que MA/MC=5/3, e o ponto M’ interior ao
segmento BC de modo que M’B/M’C=5/3. Sendo O
e O’ os pontos médio de AB e CD, calcule as
razões: MO/MO’ e M’O/M’O’.

16. 4) Generalize o Teorema de Chasles para n pontos
distintos numa reta orientada, ou seja.

17. GABARITOS
1)14
2)
3)5/3
4)Demonstração

18. FONTES BIBLIOGRÁFICAS
 Questões do fórum PIR2, das apostilas da turma
IME-ITA do colégio Poliedro e espalhadas na
Internet.
 Livro: Morgados A.C.
Geometria II: métrica plana /A.C. Morgado, E.
Wagner, M. Jorge – Rio de Janeiro: F.C. Araújo da
Silva, 2002
Resolução da questão proposta 2 por “Euclides”,
mantenedor do fórum PIR2 que se encontra no
livro do Morgado.
Resolução da questão do IME que se encontra no
livro de Sergio Lima Netto
Wikipedia