Sessão(ppt) 3

Curso de Formação

Capacidades Transversais no
Ensino da Matemática
Sessão III

Formador: Vasco Coelho (EB 2,3 Dr. José de Jesus Neves Júnior)

1

Mestrado em Didáctica e Inovação no Ensino das Ciências
Área de Especialização de Matemática

Comunicação Matemática

A Matemática constitui um património cultural
da humanidade e um modo de pensar
A sua apropriação é um direito de todos.

(Abrantes, Serrazina e Oliveira, 1999)

Fundamentação Teórica

Comunicação (sentido lato)

Comunicar é um processo interactivo, que se desenvolve em contexto
social, requerendo um emissor (finte de informação que codifica e emite
uma mensagem e um receptor que a descodifica . (Nunes, 2001)

Forma de um emissor fazer chegar aos receptores um conjunto de
conhecimentos, que simples, quer complexo, usando um determinado
código linguístico. (Antão, 1997)

CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA

Comunicação (sentido Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano
Comunicação
lato)

Comunicação: comum + comunidade
(Menezes, Santos, Silva e Trindade, 2003)

Comunicação: communicatio : co + munis + tio
(Freixo, 2006)

co: reunião Comunicação, refere-se a uma acção em
munis: estar encarregado de comum, desde que a acção em comum se
tio: actividade refira a um mesmo objecto


Comunicação (sentido lato)

A comunicação é um processo social onde os intervenientes interagem e se
influenciam reciprocamente na construção de significados. (Belchior, 2003)

PARTILHA NEGOCIAÇÃO

SIGNIFICADOS


Comunicação (sentido lato) Fundamentação Teórica
Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano

PARTILHA
COMUNICAÇÃO
SIGNIFICADOS
INTERPESSOAL
NEGOCIAÇÃO
(Vieira, 2000)

Não é só através de palavras que comunicamos. As posições corporais, os
gestos, a expressão facial, o olhar, o riso, a respiração, os silêncios são alguns
dos sinais emitidos que enriquecem a comunicação interpessoal. Tanto o
feedback verbal como o não verbal são elementos fundamentais em
comunicação, que reforçam a ligação entre os diferentes interlocutores. (Vieira,
2000)

Comunicação (sentido Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano
Comunicação lato)

COMUNICAÇÃO INTERPESSOAL (Freixo, 2006)
Princípios fundamentais Axiomas
•Existência de duas ou mais pessoas •Não se pode não comunicar

•O comportamento comunicativo de •A natureza de uma relação está na
um individuo é consequência directa contingência das sequencias
da postura e personalidade da outra comunicativas entre os intervenientes
ou outras pessoas
•Os seres humanos comunicam digital
•Envolvimento e troca de mensagens e analogicamente

•Mensagens codificadas de forma •Todas as permutas comunicacionais
verbal e não verbal são simetrias ou complementares

•Ausência deTRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
CAPACIDADES estrutura (informalidade
e flexibilidade)

Comunicação Matemática - Diferentes perspectivas
PARTILHA A comunicação matemática constitui um
processo social onde os participantes
NEGOCIAÇÃO interagem trocando informações e
COMUNICAÇÂO

influenciando-se mutuamente. (Martinho e
MATEMÁTICA

JUSTIFICAÇÃO DE Ponte, 2005)
SIGNIFICADOS
A comunicação matemática funciona

EXTERIORIZAÇÃO DO como um catalisador de reflexão. (Santos,
PENSAMENTO 2005)
A comunicação matemática permite aos
APROPRIAÇÃO DE alunos explicar o porquê de determinadas
OUTRAS DIMENSÕES opções em detrimento de outras.
DA MATEMÁTICA
(Llinares, 2008)


COMUNICAÇÃO MATEMÁTICA

Segundo Llinares (2008) a comunicação matemática é necessária para que os
alunos desenvolvam competência matemática.

Perspectivas e opções metodológicas
do professor
Exploração e Repetição de
resolução de problemas procedimentos

Partilha, discussão, apresentação, reformulação, experimentação

Ao olhar para a forma como os professores e alunos interagem, permite
desenvolver perspectivas teóricas úteis para interpretar e analisar a
complexidade das aulas de Matemática .

Metáfora da aquisição Metáfora da participação
Lampert e Cobb (2003)

A Metáfora da Aquisição, remete A Metáfora da Participação, remete
para um conjunto de abordagens que para o processo de participação
caracterizam a aprendizagem do progressiva, onde o foco é o estudo
conhecimento, como a aquisição do do discurso e a emergência de
conhecimento, que esta significados partilhados
aprendizagem activa ou passiva.
Lampert e Cobb (2003) consideram ambas as metáforas como diferentes mas
não mutuamente exclusivas

Sierpinska (1998), apresenta três perspectivas teóricas sobre a aprendizagem
e suas influencias de conceptualizar a comunicação na sala de aula, onde
apresenta uma metáfora para cada uma delas.

PERSPECTIVA

Construtivista Sociocultural interaccionista

Os
Os alunos
professores Professores
falam, os
falam, os e alunos em
professores
alunos diálogo
ouvem
ouvem


Olhar para o ambiente comunicativo da aula de matemática leva Brendefur e
Frykholm (2000) a organizarem as diversas perspectivas sobre comunicação
matemática em quatro categorias.

Unidireccional
COMUNICAÇÃO

Contributiva

Reflexiva

Instrutiva


Unidireccional
pode ser encarada como um monólogo, onde o
professor tem a autoridade do conhecimento
matemático

Contributiva
prevê a participação dos alunos nos diálogos que
se estabelecem na sala de aula, embora a
conversação seja limitada e na maioria das vezes
ausente se pensamentos mais profundos.

Reflexiva
prevê a discussão entre professores e alunos em
torno do que é realizado na aula. É frequente a
análise dos porquês

Instrutiva
é aquela que acontece quando se altera a
finalidade da aula em consequência dos discursos
mantidos. O professor encoraja a reflexão

Comunicação Matemática na sala de aula Fundamentação Teórica

A discussão em pequeno grupo ou de toda a classe e as demonstrações
servem para habituar os alunos a construir argumentos conviventes e válidos
para aguçar o seu espírito critico em relação às argumentações alheias, e
nunca para lhes criar uma ideia da matemática como a ciência do certo e do
errado absolutos, perspectiva contraditória com o próprio desenvolvimento da
matemática contemporânea. (APM, 1988)

Discurso matemático Padrões de Interacção


Comunicação Matemática na sala de aula -Fundamentação Teórica
Discurso Matemático

De um modo geral, o O conhecimento Refere-se às formas de
termo discurso refere- partilhado está representar, pensar, falar,
se ao modo como os intimamente associado à concordar ou discordar que
significados são comunicação e quando professores e alunos usam
atribuídos e trocados se fala em comunicação para se envolverem em
pelos vários matemática, surge de actividades. (NCTM, 1994)
interlocutores em forma indissociável, o
contextos reais. conceito de discurso.
(Menezes, 1997) (Moreira, 2001)

Linguístico Não Linguístico


Sentido Linguístico do discurso Sentido Não Linguístico do discurso

Surge associado a um conjunto
coerente de frases e engloba Surge associado às emoções e
acções como: escrever, ler, expressões adjacentes ao discurso
explicar, resumir, discutir, contar, linguístico.
interrogar, responder, ouvir…. (Stubbs, 1987)
(Stubbs, 1987)

Tal significa que em qualquer sala de aula há diversos movimentos discursivos
sendo os papeis dos professores e dos alunos continuamente construídos no
decurso da interacção social (Yackel et al., 1991)

FENÓMENO SOCIAL


Características do discurso

Produção do discurso na sala de aula

O papel do professor

O papel das perguntas do professor

Apropriação de linguagem especifica



Produção do discurso na sala de aula O papel do professor

A produção de discurso na sala de aula O professor deve colocar questões e
depende do que os interlocutores propor tarefas que facilitem promovam
levam para a aula (conhecimentos, desafiem o pensamento dos alunos.
competências, valores, normas, hábitos (NCTM, 1994)
e expectativas. (Martinho, 2007)


de focalização
O papel das perguntas do professor Perguntas de confirmação
de inquirição
As perguntas, formuladas pelos (Matos e Serrazina, 1996)
professores, estimulam a participação,
concretas
permitindo ter os alunos mais
Perguntas reguladoras
concentrados e orientar o decurso da pseudo perguntas
aula. (Pimm, 1987) (Stubbs, 1987)
de partida
Perguntas para incentivar
Categorização dos modos de para avaliação
questionar para a discussão final
(Boavida et al., 2008)

Comunicação Matemática na sala de aula - Discurso Matemático
Apropriação de linguagem especifica

Discurso individual Discurso reflexivo

Tem a ver com a Corresponde a uma atitude

interpretação pessoal critica do aluno face á sua

que cada aluno faz aprendizagem, que passa

daquilo que ouve. pela capacidade de reflexão
(Martinho, 2007) face às actividades
desenvolvidas
(Martinho, 2007)


Padrões de interacção
Os padrões deComunicação Matemática numconsideradas de problemas: Uma experiência com alunos doentre
interacção são contexto de resolução regularidades de acção 9.º ano
professores e alunos.

Vários são os autores (Voigt, 1985; Bauersfeld, 1988; Wood, 1994; Godinno e
Llinares, 2000; Menezes, 2005; Martinho, 2007) que referem os padrões de
interacção.

Padrão Extractivo
IRA ou IRF
Padrão da Discussão
Padrão de Funil
Padrão de Focalização

AULAS TRADICIONAIS E AULAS NÃO TRADICIONAIS

Comunicação Matemática na sala de aula - Padrões de interacção

Frequentemente presente nas aulas ditas de tradicionais, por
oposição às aulas não tradicionais. É possível identificar a
IRA ou IRF
sequência: I (Iniciação pelo professor), R (Reposta do aluno) A/F
(avaliação ou feedback pelo professor)

Extractivo: Os alunos são estimulados a fazer análises e
descobertas de acordo com a sua competência.
Discussão: O professor parte da resposta da solução
apresentada por um aluno e coloca questões de modo a clarificar
determinados aspectos.
Padrões Funil: O professor ajuda o aluno a chegar à resposta colocada,
através de questões mais simples.
Focalização: O professor toma como ponto de partida um
determinado conceito e orienta a discussão num caminho que
considera adequado para poder atingir o objectivo desejado.

Representações do conhecimento matemático SIGNIFICADO

Todas as ferramentas – signos e gráficos – que tornam presentes os conceitos e
procedimentos matemáticos, e com os quais os sujeitos particulares abordam e
interactuam com o conhecimento matemático, ou seja, registam e comunicam o
seu conhecimento matemático. (Rico, 2009)

Notações simbólicas ou gráficas, especificas para cada conceito ou procedimento
matemático. (Castro e Castro, 1997)

Constructo físico ou mental que descreve aspectos da estrutura inerente a um
conceito e as inter-relações entre o conceito e outras ideias. (Tripathi, 2008)
Ferramenta para aprender e comunicar matemática (Zaskis e Liljedahl, 2004)

Representações do conhecimento matemático
IMPORTÂNCIA
São elementos essenciais no apoio aos estudantes na medida em que ajudam à
compreensão de conceitos matemáticos e ao estabelecimento de conexões.
(Clement, 2004)

Núcleo central da aprendizagem matemática (Font, Godino e D`Amore, 2007)

Permitem apoiar a compreensão, pelos alunos, de conceitos e relações
matemáticas. (NCTM, 2007)

Permitem apoiar a compreensão, pelos alunos, de conceitos e relações
matemáticas. (NCTM, 2007)


Representações do conhecimento matemático Tipos de representações
Representações
(Externas)

ACTIVAS

Manipuláveis

ICÓNICAS
(Analógicas)

Contextualizadas Numéricas/
Pictóricas Semi-concretas / Situações Gráficas Esquemáticas
Relevantes Tabelares

SIMBÓLICAS
(Digitais)
Símbolos de Símbolos Símbolos
Lologramas Algébricas
Pontuação Alfabéticos Escritos

Representações do conhecimento matemático Conexões entre
representações

Uma representação matemática frequentemente ilumina apenas um aspecto de
um conceito matemático (…) Um quadro holístico do conceito começa a
emergir apenas quando (…) observamos a ideia a partir de diferentes
perspectivas. (Tripathi, 2008)

Dar possibilidade aos alunos de contactarem e usarem diversas formas de
representar, incentiva-os a ciciarem as suas próprias representações para
resolver problemas. (Loureiro, 2009)
É importante proporcionar aos alunos experiencias que permitam a utilização
de uma vasta gama de representações. (NCTM, 2007)


Conexões entre
Representações do conhecimento matemático
representações

Os autores Lesh, Post e Behr. (1987), Arcavi (2003) e Clement (2004)
sublinham a importância de se estabelecerem conexões entre os vários tipos
de representações, pelo que apresentam o modelo:

As conexões entre as várias
formas de representar são úteis
para incentivar a comunicação na
sala de aula e o aprofundamento
da compreensão de ideias
matemáticas e das suas relações
pelos alunos.
Conexões entre representações (Clement, 2004)

Da Terra à Lua

A distância da Terra à Lua é de aproximadamente 380 000 km.
Quanta vez será necessário dobrar ao meio uma folha de papel
(Tamanho A4, e 0,05mm de espessura) para obtermos a distancia da
Terra à Lua?

Distancia da terra à Lua = 380000Km=380000000000mm

Folha de papel = 0,05mm=0,00000005Km

Dobra espessura Dobra espessura
1 0,0000001 23 0,41943
2 0,0000002 24 0,838861
3 0,0000004 25 1,677722
4 0,0000008 26 3,355443
5 0,0000016 27 6,710886
6 0,0000032 28 13,42177
7 0,0000064 29 26,84355
8 0,0000128 30 53,68709
9 0,0000256 31 107,3742
10 0,0000512 32 214,7484
11 0,0001024 33 429,4967
12 0,0002048 34 858,9935
13 0,0004096 35 1717,987
14 0,0008192 36 3435,974
15 0,0016384 37 6871,948
16 0,0032768 38 13743,9
17 0,0065536 39 27487,79
18 0,0131072 40 54975,58
19 0,0262144 41 109951,2
20 0,0524288 42 219902,3
21 0,1048576 43 439804,7
22 0,2097152 44 879609,3

Estudo Implícito da Função Exponencial

Carlos Jeremias
Poup.
Dia Poup. Diária Poup. Acumul. Poup. Diária Acumul.
1 1 1 0,1 0,1
2 1 2 0,2 0,3
3 1 3 0,4 0,7
4 1 4 0,8 1,5
5 1 5 1,6 3,1
6 1 6 3,2 6,3
7 1 7 6,4 12,7
8 1 8 12,8 25,5
9 1 9 25,6 51,1
10 1 10 51,2 102,3
11 1 11 102,4 204,7
12 1 12 204,8 409,5
13 1 13 409,6 819,1
14 1 14 819,2 1638,3
15 1 15 1638,4 3276,7

Número Quadrado Cubo 4ª Potência 5ª Potência 6ª Potência 7ª Potência

1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 6 2 4 8
3 9 7 1 3 9 7
4 6 4 6 4 6 4
5 5 5 5 5 5 5
6 6 6 6 6 6 6
7 9 3 1 7 9 3
8 4 2 6 8 4 2
9 1 9 1 9 1 9

Aprender a comunicar, resolvendo problemas
Pintando Sólidos
O Marco foi encarregado de pintar contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano
Comunicação Matemática num
sólidos para uma exposição.
As instruções que lhe deram foram de que ele deveria utilizar o menor número
de cores possível, mas de modo a que duas faces adjacentes não tivessem a
mesma cor. Entregaram ao Marco os seguintes sólidos: Cubo; Prisma
Triangular; Prisma Hexagonal; Prisma Pentagonal; Pirâmide Quadrangular e
Pirâmide Pentagonal.

Será verdade que, quanto maior for o número de faces do sólido, mais cores
serão necessárias?

Pintando Sólidos
Episódio: Isto não faz sentido nenhum…
Mónica: Oh! Professor, isto não faz sentido nenhum, então vê-se logo, que
quanto maior for o número de faces mais cores serão necessárias, acho eu.
Pedro: Oh! Professor, aqui diz, as faces adjacentes têm que ter cor diferente, por
isso se tiver poucas faces vamos ter que utilizar poucas cores, mas se tivermos
mais faces vamos usar mais cores…

Episódio: Faces seguidas, estás a ver?
Ruben: Oh professor, o que são faces adjacentes?
Mónica: Faces adjacentes, são faces seguidas, estás a ver? Coladas…
Ruben: Coladas?
Mónica: Sim, assim e assim. [explicando com as mãos, posicionando-os como se
fossem faces de sólidos]
Ruben: Ah! É isso?
Mónica: É, não é, professor?
Professor: Sim. É isso. São faces que têm uma aresta em comum.

Pintando Sólidos

Existência de não Pouca convicção Silêncio dos
reflexão após a leitura nas afirmações restantes colegas
ALUNOS

Auto e hetero Discurso oral e Conexão de formas de
esclarecimento comunicação gestual representar (oral e
(representação activa) gestual)
PROFESSOR

Legitimar intervenções Levar ao auto- Levar ao confronto
dos alunos questionamento de posições

O discurso oral Aprender
que a comunicar, resolvendo problemas
se ia mantendo entre

os alunos mostrou-
se importante no
prosseguimento da
tarefa e as
representações que
iam elaborando eram
decisivas para as
hipóteses que iam
surgindo.
Registo de Catarina

Diferentes tipos de registo

• Sequência de letras para referir cores
ABC ABCD

• Contraste de texturas

• Registo do número de cores
• Número de faces do sólido

Simbólicos (números ou letras) e pictóricos

Os registos foram adequados na comunicar, resolvendo problemas
Aprender a medida em que permitiram o surgimento de
regularidades. Contudo os alunos tiveram dificuldade em as relacionar com as
características dos sólidos, o que não lhes permitia encontrar um argumento
válido para responder à questão que lhes era colocada.

Embora não consigam no imediato estabelecer relações, iniciam um processo
válido e poderoso para o encontrar dessas mesmas relações.

Oh professor: aqui diz, as faces adjacentes têm que ter cor diferente. Por isso se tiver
poucas faces vamos ter que utilizar mais cores. Por exemplo se tivermos uma pirâmide de
base triangular, teremos que utilizar uma cor aqui, outra cor aqui, outra cor aqui, outra
cor ali, [apontando para uma pirâmide triangular que desenhou na sua ficha], porque são
tudo faces adjacentes, se tivermos mais faces vamos usar menos cores, porque podemos
repetir as cores. Porque se for uma coisa assim, [apontando para a pirâmide de base
quadrangular], posso repetir as cores nas faces que não estão juntas.

Em função dosAprender aalunos e das suas alegações aconselhei-os a
registos dos comunicar, resolvendo problemas
organizar a informação que tinha obtido, por exemplo um tabela (representação
esquemática) e em seguida que a observarem.

Registo de Catarina
Registo da Olga

Aprender a comunicar, resolvendo
Os diferentes registos dos alunos (representações) problemas

Simbólicos Pictóricos Esquemáticos Discurso

Permitiram encontrar a resposta a tarefa que refutava a ideia inicial

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