Mekanika 2

KINEMATIKA E PIKES
I
• POZITA E PIKES LEVIZESE NE HAPESIR
• SISTEMET KOORDINATIVE
• Sistemi kendedrejt i Dekartit
• Sistemi cilindrik-polar
• Sistemi i koordinatave sferike
• Sistemi i koordinatave naturore

• SHPEJTESIA E PIKES
• SHPEJTIMI I PIKES
• RASTE SPESIALE TE LEVIZJES SE PIKES

• Mekanika merret me studjimin e ekuilibrit dhe levizjes
se trupit.
• Statika eshte pjes e mekanikes e cila merret me studjimin e
ekuilibrit te trupit

• Kinematika eshte pjes e mekanikes e cila studijon
vetit e pergjithshme gjeometrike te levizjes se trupave.
• Dinamika eshte pjes e mekanikes e cila studijon
levizjen e trupave nen ndikimin e forces.

Kuptimi i ekuilibrit dhe levizjes mekanike

Te gjith trupat ne natyre levizin(rrotullohen):
y

Njerezit levizin ne reaport me token, Toka leviz ne raport me diellin,
sistemi diellor leviz ne hapesir ...

Ne natyr nuk egziston qetesi dhe levizje apsolute!

Ne kete kurs do te konsiderojm se Toka eshte e pa levizeshme
dhe te gjithe trupat te cilet jan fort te lidhur ne siperfaqen e
Tokes jan te pa levizshem.

Kinematika eshte dege e mekanikes e cila merret
me studjimin e vetive gjeometrike te levizjes se trupave
duke mos marr parasysh inercionin (masen) dhe forcat
qe veprojn ne ta.

Trupi referent
Ndryshimi i pozites se trupit ne hapesir mund te percaktohet
vetem ne raport me trupat tjere.

Trup referent eshte trupi ne raport me te cilin
percaketohet qetesia apo levizja e trupave tjer

Levizja

Me levizje ne mekanike nenkuptohet
nderrimi i pozites se nje trupi, e cila
realizohet gjate kohes, ne raport me
trupat tjer ne hapesir.

NJESIT DHE SHENJA

•GJATESIA metri

•KOHA, t sekonda
,

•Casti fillestar : t0

•Casti i caktuar : tn

•Intervali kohor : ∆t = t2 - t1

KINEMATIKA E PIKES

MENYRAT E DHENJES SE LEVIZJES

•MENYRA PARAMETRIKE

•MENYRA VEKTORIALE

•MENYRA NATYRALE

MENYRA PARAMETRIKE E
DHENJES SE LEVIZJES
KOORDINATAT NE FUNKSION TE KOHES

SISTEMI KARTEZIAN

SISTEMI CILINDRIK

SISTEMI SFERIK

SISTEMI KARTEZIAN SISTEMI CILINDRIK

x = r cos j,
y = r sin j,
z = z.

SISTEMI SFERIK

x = r cos y cos j,
y = r cos y sin j,
z = r sin y.

TRAJEKTORJA

x=x(t), y=y(t), z=z(t) •SIPERFAQET PRERESE
Q

KALIMI NGA MENYRA VEKTORIALE
NE ATE NATYRALE TE DHENJES SE
LEVIZJES

SHPEJTESIA E PIKES NE
FORMEN VEKTORIALE
APLIKIMI I RREZEVEKTORIT NE KOHË

Menyra vektoriale e levizjes

SHPEJTESIA MESATARE
Per

SHPEJTESIA E QASTIT
Per ndonje t
j

SHPEJTIMI I PIKES
NDRYSHIMI I SHPEJTESIS ES QASTIT SIPAS
KOHES

SHPEJTIMI MESATAR
Per

SHPEJTIMI I QASTIT
Per qastin e caktuar t

SHPEJTESIA E PIKES NE
KOORDINATA NATYRORE
TRAJEKTORJA
FORMA SKALARE E LEVIZJES

SHPEJTESIA NEPER TRAJEKTORE

SHPEJTIMI NEPER
TRAJEKTORE
Tangjencial

TRAJEKTORJA ESHTE LAKORE E LEMUAR

RRITJA E VEKTORIT TE
TANGJENTES
TREKENDESHAT
E NGJAJSHEM

VEKTORI I SHPEJTIMIT
TE PERGJITHSHEM

RREZJA E LAKESES SE TRAJEKTORES

Vektoret jan
V kt t j
kolinear

LIDHJA DIFERENCIALE DHE
INTEGRALE
1. Eshte dhen vektori i shpejtesis

Duhet te jet e
j
caktuar pozita ne
ndonje qast

POZITA E PIKES PER t2

Per kufirin e siperm te ndryshueshem

2. Eshte dhen vektori i shpejtimit
p j

FORMAT E VEQANTA TE LEVIZJES SE
PIKES
LEVIZJA SIPAS DREJTIMIT

•LIGJI I PERGJITHSHEM I LEVIZJES
•LEVIZJA E NJETRAJTSHME
LEVIZJA
•LEVIZJA E NJETRAJTSHME E SHPEJTUAR
•LEVIZJA HARMONIKE
LEVIZJA

HEDHJA E PJERRTE

LEVIZJA HARKORE

LEVIZJA SIPAS DREJTIMIT
LIGJI I PERGJITHSHEM I
LEVIZJES

LEVIZJA E NJETRAJTSHME

•SHPEJTESIA E PIKES ESHTE KONSTANTE

C1=0
0

LEVIZJA E NJETRAJTSHME E
SHPEJTUAR
•SHPEJTIMI I PIKES ESHTE KONSTANTE

per

LEVIZJA HARMONIKE
•Shpejtimi eshte proporcional me rrugen e kaluar

I fusim konstantet e reja D dhe α

Interpretimi gjeometrik i varesive
I t ti i j t ik i
diferenciale dhe integrale
g
•Varesit
Funksioni S(t)
diferenciale

Hudhja e pjerrte •Levizja ne fushen
gravitacionale

•Shpejtesia fillestare V0

•Trajektorja nga:

•Lartesia maksimale nga:
L i ki l

Rrotullimi i drejtimit rreth pikes se pa
levizshme

•Kendi i drejtimit

•Shpejtesia kendore
oMesatare
oE qastit

•Shpejtimi kendor

Levizja ik
L i j e pikes ne
drejtimin rrotullues
j
•Levizja rrethore

•Shpejtesia e pikes gjat l i j rrethore
Sh jt i ik j t levizjes th

Vktori i shpejtesise

Pjestojm me dt

•Shpejtimi i pikes gjate
Shpejtimi
levizjes rrethore

DINAMIKA E PIKES

DETYRAT DHE ZHVILLIMI HISTORIK I MEKANIKES

LIGJET THEMELORE TE DINAMIKES

EKUACIONET DIFERENCIALE TE LEVIZJES SE PIKES MATERIALE
• Sistemi koordinativ i dekartit
• Sistemi koordinativ Polaro-Cilindrik
• Sistemi koordinativ natyror

LEVIZJA DREJTEVIZORE E PIKES
• Forca esahte konstante. Hedhja vertikale dhe renja e lire
• Forca varet vetem nga koha
• Forca varet nga distanca
• Forca varet vetem nga shpejtesia

LEVIZJA VIJPERKULUR E PIKES

• Hgudhja e pjerret ne hapesiren pa ajr

DETYRAT DHE ZHVILLIMI HISTORIK I MEKANIKES

Dinamika eshte dege e mekanikes teorike ecila studijon ligjet e levizjes se
trupave material nen ndikimin e forces.

Ne dinamik merret parasysh materializmi i trupave si
dhe forca e cila vepron ne trupat qe levizin.

Hipotezat:

Trupat e ngurt- nen ndikimin e forcave te jashtme nuk deformohen
Hapesira ne te cilen levizin trupat eshte hapesira gjeometrike karakteristikat
e te ciles nuk varen nga levizja e materjes ne te - hapesira apsolute.
Koha ne mekaniken klasike (rrjedh) ne te gjith sistemet refernte dhe nuk varet
nga ndikimi i faktoreve te jashtem.

Detyra e pare e dinamikes – nese eshte i njohur ligji i levizjes se pikes apo
trupit duhet te caktohen forcat te cilat e shkaktojn at levizje.

D
Detyra e dyte e dinamikes -nese jane te njohura forcat qe e shkaktojn
levizjen e pikes apo trupit duhet te caktohet ligji i levizjes.

Dinamika ndahet ne:
n
• dinamiken e pikes materiale
ina
• dinamiken e sistemit te pikave materiale
in
• dinamiken e trupit te ngurt
ina

Ligjet themelore te dinamikes i kan vendosur:

Galileo Galilei (1564-1642)
• ka dhene kuptimin mbi shpejtesin dhe shpejtimin
• i pari ka formuluar ligjin e inercionit
• ligjin e renjes se lire te trupit

Sir Isaac Newton (1643-1727)
• plotesisht ka formuar ligjet themelore
te dinamikes

Nicolaus Copernicus
(1473-1543)

Jonhannes Kepler
(1571-1630)

Daniel Bernoulli
(1700-1782)

Leonhard Euler Karl Friedrich Gauss
(1707-1783) (1777-1855)
Joseph Louis Lagrange
(1736-1813)


Ligji i pare - ligji i inercionit
Trupi e ruan gjendjen e me parshme deri sa ne trup
te mos veproj ndonje forc e jashtme per tia nderruar poziten.

Ligji i dyte - ekuacioni themelor i dinamikes

r r r
r v - v0 r r
F = mlim = ma F = ma
t - t0

Ligji i trete - ligji i aksionit dhe reaksionit

r r
F12 = -F21


Ligji i pare - ligji i inercionit
Trupi e ruan gjendjen e me parshme deri sa ne trup
te mos veproj ndonje forc e jashtme per tia nderruar poziten.


r r
F = ma


Pik materiale quhet trupi material dimensionet e te cilit nuk merren parasysh
(gjate studjimit te levizjes se tije).

Inercioni eshte karakteristika e materialit qe shpejt ose ngadal te nderroj shpejtesin e
n
levizjes se tij nga veprimi i forces.

Madhesia e cila varet nga sasia e materijes se nje trupi dhe e cila percakton inercionin e
tije quhet mase.

forca e jashtme

Masa eshte madhesi skalare pozitive e cila eshte karakteristik e trupit
Masa dhe pesha jane dy kuptime te ndryshme.
a
Pesha eshte forca me te cilen toka e terhjek trupin, ndersa masa eshte karakteristika
konstante e trupit e cila egziston edhe ne gjendjen pa pesh te trupit
(kur pesha eshte e barabart me zerro).


Ne baze te ketije ligji mund te caktohet masa e trupit nese eshte i njohur nxitimi
(shpejtimi) i tije gjate leviyjes translatore, dhe gjithashtu edhe forca e cila vepron ne trup.

k
Eksperimentalisht eshte vertetuar qe trupat nen ndikimin e force peshojn para renjes ne tok,
duke mos marr parasyshe pengesat, kan te njejtin nxitim g,
dhe se ai nderron vetem ne varesi te gjeresise gjeografike dhe lartesise mbidetare, por gjate
kesaj nderron edhe pesha G, keshtu qe eshte nje maredhenje konstante per trupat qe levizin.
Per renjen e lire, ne baze te ligjit te dyte te njutnit do te jete:
mg = G
G
Þ m=
g

renja e lire


r r
F = ma

Nxitimi i pikes materiale eshte:
a) drejteperdrejte proporcional rezultantes te forcave te cilat veprojn ne pike.
b) ne drejtim te njejte si rezultanta e forcave qe veprojn ne pike,
c) proporcionalisht ne te kunderten e mases se pikes.

Ligji i trete - ligji i aksionit dhe reaksionit

Dy pika(trupa) materiale veprojn njeri ne tjterin me forca te intenzitetit dhe drejtimit
v
te njejte por me kahje te kunderta.
r r
F12 = - F21

Ligji i pare verteton kushtet per egzistimin e forces, ligji i dyte tregon se si matet intenziteti
i forces, ndersa ligji i trete verteton qe per egzistimin e forces nevojiten sepaku dy trupa.

Forca eshte madhesi vektoriale , e percaktuar me intenzitetin, drejtimin dhe kahjen.
Per dallim nga statika ku forcat jan me intenzitet konstant ne mekanik ne pergjithesi
Forca eshte madhesi e ndryshueshme vektoriale dhe ajo mund te varet nga koha,
pozita e trupit dhe shpejtesise se levizjes se trupit apo pikes.

SI (Systeme Internationale d'Unites)

masa m – (kg) kilogram,
gjatesia L – (m) metri,
koha t – (s) sekond
e 1N = 1kg m / s 2
forca F – ( N) Njutn

EKUACIONET DIFERENCIALE TE PIKES MATERIALE TE LIRE

Pika eshte e lire ne qofte se nga veprimi i forcave mund te leviz ne menyr
te zgjedhur ne hapesir ne pajtim me ligjin e dyte te njutnit.

ekuacioni diferencial i levizjes
te pikes materiale te lire ne formen vektoriale

r 2r
r n d r r r r
m a = å Fi , m 2 = F ( r, v, t ).
i =1 dt


Sistemi koordinativ i Dekartit

r
r n r d2 r r r r
m a = å Fi , m 2 = F ( r, v, t ).
i =1 dt
m && = X ( x, y, z, x, y, z, t ) ,
x & & &
m && = Y ( x, y,z, x, y,z, t ) ,
y & & &
m && = Z ( x, y, z, x, y, z, t ) .
z & & &
ekuacinet diferenciale te levizjes se pikes
ne sistemin koordinativ te Dekartit

Ne qofte se levizja realizohet ne rrafsh ekuacionet diferenciale jane: m && = X ( x, y, x, y, t ) ,
x & &
m && = Y ( x, y, x, y, t ) .
y & &
Ne levizjen drejtevizore ekuacionet diferenciale te levizjes jane:
r
m && = X ( x, x, t ) .
x &


Sistemi polar i koordinatave

Komponentet e nxitimit jane: ar = && - r j,
r &
ap = r j + 2 r j
&& &&
m ar = Fr
m ap = Fp

( ) = åF
n
2
m && - r j
r & ir
i =1 ekuacionet difernciale te levizjes se pikes
n ne sistemin polar te koordinatave
m ( r j + 2r j ) = å Fip
&& &&
i =1


Sistemi natyror i koordinatave

m aT = FT Ne varesi te rrezes se lakeses s:
m a N = FN s = s(t),
m aB = FB v=s &

dvT d s 2 d 2s
aT = = 2 = &&
s m 2 = FT ,
dt dt dt
2
vT s 2
2
& vT ekuacionet difernciale te levizjes se pikes
aN = = m = FN , ne sistemin natyrore te koordinatave
Rk Rk Rk
aB = 0 FB = 0

Aplikimi i ekuacioneve diferenciale te levizjes se pikes materiale
ne zgjidhjen e detyres se pare dhe te dyte te dinamikes se pikes

Detyra e pare e dinamikes – eshte i njohur ligji i levizjes se pikes materiale,
r
duhet te caktohet forca e cila vepron ne pike.
r

Levizja e pikes eshte dhene me sistemin e koordinatave te Dekartit:

x = f1 ( t ) , y = f2 ( t ) , z = f3 ( t )
Qe te caktojm forcen duhet te caktohet derivati i dyte i ekuacineve te levizjes dhe ta shumezojm me masen:

&& = && ( t ) ,
x f1 && = &&2 ( t ) ,
y f && = &&3 ( t ) ,
z f
X = m && ( t ) ,
f1 Y = m &&2 ( t ) ,
f Z = m &&3 ( t ) .
f

Intenziteti i Forces: F = X 2 + Y 2 + Z2

X Y Z
Drejtimi i forces: cos a = , cos b = , cos g = .
F F F

Detyra e dyte e dinamikes – jane te njohura forcat qe veprojn ne trup, duhet caktohen
ekuacionet e levizjes se trupit apo pikes.
r r r r
F = F ( t, r, v )
d2x
m 2 = X ( t, x, y,z, x, y, z ) ,
& & &
dt
d2y
m 2 = Y ( t, x, y, z, x, y,z ) ,
& & &
dt
d 2z
m 2 = Z ( t, x, y,z, x, y,z ) .
& & &
dt

Pas integrimit te sistemit te ekuacioneve diferenciale fitohen zgkidhjet ne formen e pergjithshme

x = x ( t,C1,C2 ,C3 ,C 4 ,C5 ,C6 )
y = y ( t,C1,C2 ,C3 ,C4 ,C5 ,C6 )
z = z ( t,C1,C2 ,C3 ,C4 ,C5 ,C6 )

ku C1,C2,C3,C4,C5,C6 jan konstantet e integrimit, te cilat caktohen nga kushtet fillestare te levizjes

LEVIZJA DREJTEVIZORE E PIKES

Levizja drejtevizore nen ndikimin e forcave me intenzitet konstant

m && = X = F
x F = const Þ a = const
Y = 0, Z = 0
F dx
& F
&& = ,
x && = , Þ dx = && dt = dt = a dt.
x & x
m dt m
ò dx = ò adt,
& x = at + C1.
&

konstanta C1 caktohet nga kushti fillestar per shpejtesine: t = 0, x = v0 .
&

v 0 = a × 0 + C1 Þ C1 = v 0 Þ x = a t + v0
&
F
Ligji i ndryshimit te
shpejtesise se pikes
x = t + v0
&
m

Percaktimi i ligjit te levizjes se pikes materiale:
e

dx
= at + v0 ,
dt
dx = ( at + v0 ) dt, ò dx = ò ( at + v0 ) dt,
x = ò a t dt + ò v0dt + C2
t2
x = a + v0 t + C2 .
2
Kushti fillestar: t=0 x = x0 x 0 = a × 0 + v0 × 0 + C2 Þ C2 = x 0 ,

t2 F t2
Ligji i levizjes: x = a + v0 t + x 0 , ili x= + v0 t + x 0 .
2 m 2

Ky ekuacion paraqet ligjin e levizjes se njetrajteshme te shpejtuar

Nga veprimi i forces konstante shkaktohet levizja njetrajtesisht e ndryshuare.

Renja e lire ne hapesiren pa ajr

Pika e mases m bjen nga pozita M0 pa shpejtesi fillestare , ne fushen e gravitetit te tokes, nga
lartesia h e cila eshte e vogel krahasuar me rrezen e tokes, prandaj mund te konsiderohet se
forca eshte konstante.Nese nuk merret parasysh rezistenca e ajrit, ateher forca e peshes G
eshte forca e vetme qe vepron ne pik.

Kushtet fillestare

t = 0, y = 0, y = v0 = 0
&
Ekuacionet diferenciale te levizjes:
r
ma = G my = mg, && = g
&& y

Ligji i levizjes:
Ligji i ndryshimit te shpejtesise: y = gt + C1 ,
& gt 2
y= + C1t + C2
2
t = 0, y = v0 = 0 Þ C1 = 0
&
t = 0, y = 0, Þ C2 = 0
y = gt
& gt 2
y=
2

Koha e renjes (T) se pikes nga lartesia (h):

Le te jete t=T, y=h, ateher kemi:

gT 2 2h
h= Þ T=
2 g

Shpejtesia me te cilen pika bie pa shpejtesi fillestare ne toke:

2h y = 2gh
&
t=T y = gT = g
& = 2gh
g
Nese pika ne poziten M 0 ka pas shpejtesi fillestare v0 vertikalisht teposhte, atehere eshte:

y = g t + v0
&
gt 2
y= + v0t
2

Hedhja vertikale ne hapesiren pa ajr

Ne qofte se pikes ne poziten fillestare i jepet shpejtesi vertikale telarte ateher ajo levizje q
quhet hedhje vertikale.

Nuk merret parasysh ndikimi i ajrit.

Kushtet fillestare jane: t=0 y = v0 ,
& y = 0,
Ekuacioni diferencial ka formen:
r r
m a = G, m && = - m g,
y && = -g
y

y = -g t + C1
&
t = 0, y = v0 Þ v0 = -g × 0 + C1 Þ C1 = v0
&
y = -g t + v 0 ,
& gt 2
y=- + v0 t + C2
2
g
t = 0, y = 0 Þ 0 = - × 0 + v 0 × 0 + C2 Þ C2 = v 0
2
gt 2 Levizja eshte njetrajtesishte e ngadalesuar
y=- + v0 t dhe nuk varet nga masa e pikes.
2

LEVIZJA VIJE-LAKUAR E PIKES

Hedhja e pjerrte ne hapesiren pa ajr(vakum)

Hedhja e pjerrte quhet levizja e cila ndodh kur pika materiale hedhet nen nje kend
ne raport me horizontalen me shpejtesi fillestare v0

Ne piken materiale gjate kohes vepron vetem forca e rendimit te tokes.

Ekuacioni diferencial i levizjes
ne formen vektoriale:
r r
ma = G
Ekuacioni diferencial i levizjes
ne formen skalare:
mx = 0,
&&
my = - mg.
&&
Me integrimin e shprehjes fitohet:
e: Kushtet fillestare:
x = C1,
& t = 0, x = v0 cos a,
& y = v0 sin a,
&

y = -gt + C 2
& x = 0, y=0

Konstantet e integrimit:
v 0 cos a = C1 ,
v 0 sin a = -g × 0 + C 2 Þ C 2 = v 0 sin a

Projeksionet e shpejtesise: x = v0 cos a
&
y = -gt + v0 sin a
&

Me integrimin e shprehjeve x = v0 cos a
&
y = -gt + v0 sin a
&
fitohen ligjet e levizjes: Kushtet fillestare:
x = v0 t cos a + C3 ,
t=0 x = 0, y=0
gt 2
y=- + v0 t sin a + C4 0 = v 0 cos a × 0 + C3 Þ C3 = 0
2
0 = 0 + v 0 sin a × 0 + C4 Þ C 4 = 0
Ligjet e levizjes se pikes:

x = v0 t cos a, Me eliminimin e kohes t
x
gt 2 t=
y=- + v0 t sin a. v0 cos a
2 fitohet ekuacioni i lakores:
g x2
y = x tga - 2
2v 0 cos a
Pika levize neper lakore parabolike.

Caktimi i kohes t1 nga fillimi i
levizjes deri te pozita me e larte
M1 ne lakore.

Ne poziten M1 shpejtesia eshte
horizontale y = 0
&

v0 sin a
0 = -gt1 + v0 sin a Þ t1 =
g

Lartesia ma e madhe deri teke e cila arrin pika:
gt 2
Me zavendesimin e kohes t1 ne ekuacionet e levizjes x = v0 t cos a, y=- + v0 t sin a
2
fitohen koordinatat e pikes M1:

v0 sin a v0 sin 2 a
2
x1 = v0 t1 cos a = v0 cos a = ,
g 2g
2
gt1 v0 sin a g v0 sin 2 a v0 sin 2 a
2 2
y 1 = H = v0 t1 sin a - = v0 sin a - 2
= .
2 g 2 g 2g

Koha e fluturimit T mes pikave O dhe B.

Nga kushti yB=0:

gT 2 2v sin a
0=- + v0Tsin a Þ T = 0, T= 0
2 g

Domeni D
Me zavendesimin e kohes T ne ekuacionin: x = v0 t cos a
2 2
2v0 sin a v0 sin 2a v0 sin 2a
D = v0T cos a = v0 cos a = . D=
g g g
Kendet pran te cileve jane Hmax dhe Dmax:
2
v0
(
H max = , per a = 90° sin 2 90° = 1 ,
2g
)
2 2
v0 sin 2a v0
D= , Dmax = , sin 2a = 1 per2a = 90° Þ a = 45°.
g g

Hedhja horizontale

Ne qofte se trupi gjendet mbi horizont i hedhur me shpejtesi horizontale dhe pastaj
levizja qe zhvillohet quhet hedhje horizontale.
Nuk merret parasysh ndikimi i ajrit.
Ekuacionet diferenciale te levizjes:

mx = 0,
&& my = - mg,
&&
&& = 0,
x && = -g.
y
Pas integrimit fitojm:
x = C1,
& y = -gt + C2 ,
&
gt 2
x = C1 t + C3 , y=- + C2 t + C4 .
2
Kushtet fillestare:
Projeksionet e shpejtesise:
t = 0, x = v0 , y = 0, ü
& &
ý C1 = v 0 , C 2 = 0, C3 = 0, C4 = H. x = v0 ,
&
x = 0, y = H þ
y = -gt.
&

Ligjet e levizjes: Ekuacionet e lakores se levizjes:

x = v0 t,
x g x2
gt 2 t= , y=- 2
+ H.
y=- + H. v0 2 v0
2

gt 2
Koha e fluturimit T nga kushti y=0 ne ekuacionin: y=- +H
2
gT 2 2H
0=- +H Þ T= .
2 g

Domeni D:

Me zavendesimin e kohes T ne ekuacionin x = v0 t

2H
D = v0 T = v 0
g

LIGJET E PERGJITHSHME TE DINAMIKES SE PIKES MATERIALE

LIGJI MBI NDRYSHIMIN E SASISE SE LEVIZJES
• Sasia e levizjes
• Impulsi i forces
• ligji mbi ndryshimin e sasisae se levizjes ne formen diferenciale
• ligji mbi ndryshimin e sasisae se levizjes ne formen integrale
• ligji mbi ruajtjen e sasisae se levizjes se pikes materiale

LIGJI MBI NDRYSHIMIN E MOMENTIT TE SASISE SE LEVIZJES SE PIKES
• Momenti i sasise se levizjes
• Ligji mbi ruajtjen e momentit te sasise se levizjes

LIGJI MBI NDRYSHIMIN E ENERGJISE KINETIKE
• Puna e forces. Forcat konzervative
• Analitički izraz za rad
• Energjia kinetike e pikes materiale. Ligji mbi ndryshimin e energjise kinetike
• Ligji mbi ndryshimin e energjise kinetike

LIGJET E PERGJITHSHME TE DINAMIKES SE PIKES MATERIALE

Ne ligje e pergjitheshme te dinamikes hyjne:
• ligji mbi ndryshimin e sasise se levizjes,
• ligji mbi ndryshimin momentit te sasise se levizjes,
• ligji mbi ndryshimin e energjise kinetike te pikes materiale.

Ligjet themelore te dinamikes se pikes veshtrohen si teoremat themelore te nxjerra
nga ligjet themelore te Hukut

Gjate hulumtimit te levizjes se pikes, duke shfrytezuar ligjet themelore te dinamikes,
i shmangemi procesit te integrimit te ekuacioneve te levizjes e me kete mjafte e
lehtesojm zgjidhjen e problemit.

LIGJI MBI NDRYSHIMIN E SASISE SE LEVIZJES

Sasia e levizjes
Sasia e levizjes se pikes materiale eshte madhesi vektoriale e cila prezenton prodhimin
e mases dhe te shpejtesise se pikess.
r r r r
r r v = x i + y j + zk
& & &
K = mv r r r r
K = Kx i + Ky j + Kz k
Ky eshte vektor kolinear me vektorin e shpejtesise,
ne drejtimin e njejte.
Projeksionet e vektorit te s
sasise se levizjes jane:
Kx = mvx = mx,
&
Ky = mvy = my,
&
Kz = mvz = mz.
&

Dimensinet e sasise se levizjes jan:
[K] = [MLT −1]= [FT ]
[M] – dimensini i forces,
Njesia per sasin e levizjes eshteNjutnsekund (Ns).
[L] – dimensini i gjatesise,
[T] – dimensini i kohes,

Impulsi forces

Impulsi elementar i forces eshte madhesia vektoriale e barabarte me prodhimin
e vektorit te forces dhe intervalit elementar kohor.

r r
dI = Fdt
Impulsi elementar eshte vektor
kolinear me vektorin e forces.
r r r r
F = X i + Y j + Zk
Projeksionet e vektorit te impulsit
elementar te forces jane:

dI x = X dt,
dI y = Y dt,
dIz = Zdt.

Impulsi i forces ne intervale te caktuara kohore prej t0 deri t:
mpu

r t r tr
I = ò dI = ò Fdt
t0 t0 Dimensioni i impulsit te forces:

Projeksioni ne boshtet koordinative: [ I ] = [ FT ]

t
I x = ò Xdt,
Nese F=const:
t0
t r tr rt r
I y = ò Ydt, I = ò Fdt = F ò dt = Ft t 0 = 0.
t0 t0 t0
t
Iz = ò Zdt.
t0

Impulsi i forces nuk eshte i lidhur me levizjen, pere qvendosjen e pikes sulmuese, por per intervalin kohor.

Ligji mbi ndryshimin e sasise se levizjes ne formen diferenciale

r
Nese ne piken me mase m vepron forca F ateher sipas ligjit te dyte te njutnit kemi:
r
dv r
m =F
dt
Nese m=const, mund te shkruajm: r
r
d ( mv ) r dK r
=F gjegjesishte: =F
dt dt

Nese ne pike vepron sistemi i forcave, ateher kemi:
r
dK r
= å Fi Ligji mbi ndryshimin e sasise se levizjes ne formen difernciale
dt
H
Heresi i sasise se levizjes se pikes materiale me kohen eshte i barabarte
me shumen vektoriale(rezultanten) e forcave te cilat veprojn ne piken materiale.

Ligji mbi ndryshimin e sasise se levizjes ne formen integrale

Ligji jep lidhjen ne mes te sasise se levizjes ne fund dhe ne fillim te intervalit
te caktuar dhe forcave ne ate interval te veprimit.
r
dK r r r r
= å F Þ dK = å Fi dt = å dI
dt

Me integrim fitohet:
t r tr r r r r tr
ò dK = å ò Fi dt Þ K - K 0 = å Ii Ii = ò Fi dt
0 0 0

Ligji mbi ndryshimin e sasise
se levizjes ne formen integrale

H
Ndryshimi i sasise se levizjes se pikes materiale ne ndonje interval kohor
eshte e barabarte me shumen vektoriale te impulseve te te githa forcave, te cilat
veprojne ne pike, te llogaritura ne intervalin e njejte kohore.

LIGJI MBI NDRYSHIMIN E MOMENTIT TE SASISE SE LEVIZJES

Momenti i sasise se levizjes

Ky eshte moment i vektorit te sasise se levizjes, analog me definicionin e momentit te forces,
egziston momenti i sasise se levizjes per piken dhe momenti i sasise se levizjes per aksin.

Momenti i sasise se levizjes per piken A eshte:
om
r r r
i j k
r r r r r
L A = r ´ K = r ´ mv = x y z
mx my mz
& & &

L Ax = m ( yz - zy ) = L x
& &
L Ay = m ( zx - xz ) = L y
& &
L Az = m ( xy - yx ) = L z
& &
Momenti i sasise se levizjes per piken me mase m per piken A, eshte vektor normal ne rrafshin
ne te cilin shtrihet shpejtesia dhe vektori i pozites se pikes, ndersa komponentet llogariten
me zhvillimin e determinantes sipas rendit te pare.

Per rastin e levizjes se pikes ne rrafshin xOy:

LA = mvh = Lz , Lx = Ly = 0

Ligji i ndryshimit te momentit te sasise se levizjes:
Duke u nisur nga ligji i dyte i njutnit:
r r
dv r dv r
m =F m = å Fi
dt dt
r
Shumezojm ekuacionin vektorialisht me vektorin e pozites r
r r
r ( Fi )
r dv r r
r ´ m = å r ´ Fi = å M A
dt
r
Realizimi sipas LA
r r =0 r r r
dLA d r r dr r r d r r dv dL A r ( Fi )
= ( r ´ mv ) = ´ mv + r ´ ( mv ) = r ´ m , = å MA
dt dt dt dt dt
r r dt
dLA r dv
= r´m
dt dt

r r
dL A r ( Fi )
= å MA
dt
Ligji mbi ndryshimin e momentit te sasise se levizjes per piken:
realizimi i momentit te sasise se levizjes per ndonje pike A eshte i barabarte me shumen e
momenteve te te gjitha forcave te cilat veprojn ne pike, te llogaritura per piken e njejte A.
r r r
i j k
r& = x y z = yZ - zY r + zX - xZ r + xY - yX k r
LA ( )i ( )j ( )
mx my mz
&& && &&
r& =L r+L r+L k
LA & Ax i & Ay j & Az
r

r r
dL Ax ( Fi ) ( F ) dL
= å M Ax = å M x i = x Ligji mbi ndryshimin e momentit te sasise se
dt dt levizjes per aksin.
r r
dL Ay
=å
(
M Ay
Fi )
=å
(
My
Fi )
=
dL y
dt dt
r r
dL Az ( Fi ) = M( Fi ) = dLz
= å M Az å z
dt dt


Puna e forces
r
Nese pika sulmuese e Forces F leviz pergjate rruges s, puna e forces ne
qendosjen elementare ds eshte:
r r
dA = F × ds

Puna elementare e forces eshte i barabarte me prodhimin
r
intenzitetit te forces F , qvendosjes elementare
r
ds dhe kosinusit te kendit mes drejtimit te
forces dhe drejtimit te qvendosjes.

dA = FT ds = Fcos a ds.

Puna ne qvendosjen elementare eshte:
• pozitive pere α < 90º
• negative pere
eg i α > 90º
• baras zerro pere α = 90º

Puna ne qvendosjen definitive te pikes sulmuese te forces mes pozitave M1 dhe M2
(shkurt te shenuara 1 dhe 2 ) eshte:

2 r r 2
A1,2 = ò ( F × ds ) = ò FT ds
1 1

Nese gjate levizjes FT=const, atehere kemi:

2 s2
A1,2 = ò FT ds = FT ò ds = FT ( s 2 - s1 ) = FT s
1 s1

Nese pika sulmuese e forces ben kevizje drejtevizore, forca eshte konstante dhe ka
drejtimin e rruges, ateher puna eshte e barabarte:

A = Fs

Shprehja analitike per punen

Nese projeksionet e forces dhe qvendosjes
elementare jane: r
r r r
ds = dx i + dy j + dz k
r r r r
F = X i + Y j + Zk
Ne baze te definicionit per punen , rrjedhe:
r r
dA = F × ds = X dx + Y dy + Zdz

Puna ne qvendosjen perfundimtare mes pozitave te pikeveprimit te forces 1 dhe 2
prezentohet me mbledhjen e integraleve:
2 2 2 2
A1,2 = ò X dx + Y dy + Zdz = ò X dx + ò Y dy + ò Zdz. [ Nm ]
1 1 1 1

Teorema:
Puna e rezultantes te sistemit te forcave te cilat veprojne ne piken materiale
eshte i barabarte me shumen algjebrike te punes se komponenteve
r r
dA ( FR ) = FR × ds

Pasi qe:
r r r r r
FR = F1 + F2 + F3 + ...... + Fn

r r r r r r r r r r r r r
( ) r
dA(FR ) = F1 + F2 + F3 + ...... + Fn × ds = F1 × ds + F2 × ds + F3 × ds + ........ + Fn × ds,
r
dA(FR ) = dA1 + dA 2 + dA 3 + ....... + dA n

r
dA(FR ) = å dA i

Ne formen integrale ky ekuacion ka formen:
r
(F ) () i
A R =
1,2 å A1,2

Forcat konzervative

Le te jete U funksion skalar i koordinatave te pikveprimit te forces F: U(x, y, z)
r r r r
F = X i + Y j + Zk
Forca F mund te zhvillohet ne formen e gradientit te funksionit skalar U
:
r
F = grad U
Ne sistemin koordinativ te Dekartit ekuacioni ka formen:
r ¶U r ¶U r ¶U r
F= i+ j+ k = gradU
¶x ¶y ¶z
Projeksionet ne drejtim te akseve koordinative:
¶U ¶U ¶U
X= , Y= , Z= .
¶x ¶y ¶z

Per forcen e cila mund te zhvillohet me ekuacionet e dhena themi se jane
forca konzervative.
Funksioni skalar U quhet funksioni i forces.

Shpesh ne vend te funksionit te forces U shfrytezohet energjia potenciale Ep(x,y,z):

Ep = –U
Puna e forces konzervative
Teorema:
Puna e forces konzervative nuk varet nga forma e rrugetimit te
pikeveprimit te forces.

Puna elementare e foforces konzervative
dA = Xdx + Ydy + Zdz
¶U ¶U ¶U
dA = dx + dy + dz = dU = -dE p
¶x ¶y ¶z
¶U ¶U ¶U
Puna e forces prej 1 deri 2 X= , Y= , Z= .
¶x ¶y ¶z
2
Ep = –U
A1,2 = ò dU = U 2 - U1 = E p1 - E p 2
1

2
A1,2 = ò dU = U 2 - U1 = E p1 - E p 2
1

Puna varet vetem nga funksioni i forces(gjegjesisht energjia potenciale) u
ne poziten perfundimtare dhe fillestare dhe nuk varet nga forma e rrugetimit permes te cilit
pikveprimi i forces ka kaluar nga njera pozit ne tjetren. Me kete vertetohet teorema.

Energjia kinetike e pikes materiale

Energjia kinetike e pikes materiale apo forca e gjalle E k prezentojne gjysmen e
prodhimit te mases dhe katrorit te shpejtesise.
1 2
E k = mv
2
Ne sistemin e koordinatave te dekartit:
1
2
& (
E k = m x 2 + y2 + z2 .
& & )
r r
v = v × v ose v 2 = x 2 + y 2 + z 2
2
& & &

1 r r
Ek = m v × v
2

Njesia: gjul [ J=Nm ].

Ligji mbi ndryshimin e energjise kinetike apo ligji i forces se gjalle

Verejme levizjen e pikes me mase m ne te cilin vepron sistemi i forcave:
r r
ma = å Fi
Me shumezimin e ekuacionit skalarishte me shpejtesine fitojme:
r
r r r d ( mv ) r ds r
r r
v × ma = F × v Þ v × = F×
dt dt
r r r r
v × d ( mv ) = F × ds
r r
Pasi qe m=const
s v × v = v2
æ mv 2 ö r r ligji i forces se gjalle
dç ÷ = F × ds dE k = dA ne formen diferenciale
è 2 ø
dA
1 2
E k = mv
2

Ndryshimi i energjise kinetike varet nga puna e forces e cila vepron ne pike.

dE k = å dA i

Rritja e energjise kinetike ne qvendosjen elementare te pikes materiale
eshte i barabarte me shumen algjebrike te punes te te gjitha forcave
te cilat veprojn ne pike ne ate qvendosje.

dE k = å dA i

Me integrimin e ekuacionit te fundit ne mes dy pozitave te ndryshme 1 dhe 2 fitojme:
2 2n 2 2 2
æ1 2ö
ò d ç 2 mv ÷ = ò å dAi = ò F1ds + ò F2ds + ...... + ò Fn ds
1 è ø 1 i =1 1 1 1
æ1 ö æ1 ö
d ç mv2 ÷ - d ç mv 2 ÷ = A1 + A 2 + .... + A n
è2 ø2 è2 ø1
n
å
E k 2 - E k1 = A i,1,2 qe paraqet ligjin mbi ndryshimin e energjise kinetike
i =1
Ndryshimi i energjise kinetike te pikes materiale ne mes dy pozitave eshte
i barabarte me shumen e puneve te te gjitha forcave te cilat veprojn ne pike,
ne ate qvendosje.

Levizja e detyruar e pikes materiale
Lidhjet mekanike
Trupat qe kufizojn levizjen e lire te pikes materiale ne hapesire quhen lidhje mekanike
shiquar gjeometrikishte, munde te jene ne forme vijore apo siperfaqesore.

Levizja ne vijen e dhene Þ Pika ka nje shkalle lirie.
Levizja ne siperfaqen e dhene Þ Pika ka dy shkalle lirie.

Ne varesi te kahjes se reaksionit lidhjet ndahen ne:

• lidhjet ideale(lidhjet pa ferkim),
• lidhjet me ferkim.
Teke lidhja e vrazhde(me ferkim) paraqitet forca e ferkimit e cila eshte:
r r r
T = mN = Fm

Fμ - forca e ferkimit
μ - koeficienti i ferkimit
N - forca normale

Levizja e pikes neper lakore te vrazhde

Ekuacionet diferenciale te levizjes se pikes neper lakore te vrazhde

Per piken materiale ekuacioni i njutnit do te jete:
r r r r
ma = F + FW + Fm

dv
m = FT - Fm
dt
v2
m = FN + N N ,
R
0 = FB + N B

Ekuacionet diferenciale te levizjes se pikes neper lakore te vrazhde

Principi i Dalamberit per piken materiale

Ekuacioni diferencial i levizjes se pikes nga veprimi i forcave aktive:
r r r
m a = F + FW
apo

r r r
F + FW - ma = 0

r in r Forca inerciale(forca e dalamberit) kolineare
F = -m a me shpejtimin(nxitimin) e pikes.

r r r in Ne vend te ekuacioneve diferenciale te levizjes fitohet
F + FW + F = 0 ekuacioni statik i cila paraqet principin e Dalamberit

Ne qofte se ne qfaredo qasti gjate levizjes se pikes, forcave te cilat
veprojne ne pike u shtohet forca e inercise, fitohet sistemi i forcave ne ekuiliber.

Komponentet dhe projeksionet e forces se inercise

Komponenta tangjenciale dhe normale
r in dv r d 2s r
FT = - m T = - m 2 T,
a = aT + aN / ( - m ) dt dt
r r r
-ma = -maT - maN , r in v2 r
r in r FN = - m N,
FT = -maT , R
r in
r in r FB = 0.
FN = -maN ,
r in
FB = 0, Komponentet e forces se inercise ne
r in r in r in
F = FT + FN . sistemin koodinativ te dekartit
dv d 2s v2 in
aT = = , aN = , Fx = mx,
&&
dt dt 2 R
in
Fy = my,
&&
in
Fz = mz.
&&

Shembull: Levizja e pikes ne rreth

LEKUNDJET E PIKES MATERIALE

• Lekundjet e lira harmonike
• Lekundjet e amortizuara
• Lekundjet e detyruara

LEKUNDJET (VETIAKE) E LIRA HARMONIKE

shtangesia k

k
k

r r
Fk = -kx i
Ekuacioni diferencial i lekundjeve te lira eshte:

mx = -kx
&& /m

k k k
&& +
x x = 0, w2 = , w= , frekuenca rrethore
m m m

&& + w2 x = 0
x Ekuacioni diferencial i lekundjeve te lira

Zgjidhja e pergjithshme e ketij ekuacioni eshte:

d
x = C1 cos wt + C2 sin wt /
dt
x = -C1w sin wt + C2w cos wt
&
t = 0, x = x 0, x = v0 = x 0 kushtet fillestare
& &
x0
&
x 0 = C1, x 0 = C2 w Þ C2 =
&
w
x0
&
x = x 0 cos wt + sin wt Ligji i lekundjeve per keto kushte fillestare
w

x0
&
x = x 0 cos wt + sin wt
w
x 0 = C1 = R sin α
Me futjen e konstanteve te reja R , a: C12 + C22 = R 2
x0
&
= C2 = R cosα
w
2
2 x0 C1 x 0 w
R = x0 + 2 tgα = =
w C2 x0
&

Ligji i lekundjeve mund te transformohet ne formen:

x = R sin α cos wt + R cosαsin wt = R sin ( wt + α )

x = R sin ( wt + α )

lekundja eshte periodike

Intervali kohor (T), gjate se cilit pika kryen nje lekundje(oscilim) te plote quhet: perioda e lekundjeve

sin éw ( t + T ) + α ù = sin ( wt + α )
ë û 2p 2p m
w T = 2p Þ T = = = 2p
cos éw ( t + T ) + α ù = cos ( wt + α ) w k k
ë û
m
Per kohen T pika pershkruan nje lekundje te plote

x = R sin ( wt + α )

Konstanta a quhet faza fillestare

k
w= Frekuenca rrethore
m
R - amplituda

frekuenca e lekundjeve f - numri i lekundjeve te plota ne njesi te kohes

1 w 2p 2 p m
f = = T= = = 2p
T 2p w k k
m

LEKUNDJET E SHUARA

Ne qofte se ne pike gjate lekundjes perveq forces elastike(forca e shtangesise)
vepron edhe forca e rezistences, ateher lekundjet jane te shuara apo te amortizuara

r r
Forca e shuarjes Fk = -kx i Forca elastike

r r
FW = -c x i
& ekuacioni diferencial ne formen vektoriale
r r r r r
b - koeficienti i shuarjes ma = Fk + FW + G + N

m && = - Fk - FW
x
ekuacioni diferencial ne formen skalare

m && = - Fk - FW
x Fk = kx FW = cx
&
mx + cx + kx = 0 / : m
&& &
c c c k
&& + x + x = 0
x & = 2d i = w2
m m m m

&& + 2 d x + w2 x = 0
x & Ekuacioni diferencial i lekundjeve te shuara

Qe te fitojm zgjidhjen e pergjithshme te ekuacionit diferencial,
duhet te shkruajm formen karakteristike te tije:
r
2
l + 2 dl + w = 0 2 Rrenjet e ekuacionit jane: l1 2 = -d ± d2 - w2

Zgjidhja e pergjithshme e ekuacionit diferencial:

x = C1el1t + C2el2 t
ku C1 , C2 jane konstantet e integrimit.

2
l + 2 dl + w = 0 2 l1 2 = -d ± d2 - w2

x = C1el1t + C2el2 t

• d<w - shuarje e dobet
• d>w - shuarje e madhe(rasti i rezistences se madhe)
• d=w - rast kufitar i lekundjeve aperiodike.

d <w
2 2
Rrenjet e ekuacionit karakteristik l1 2 = -d ± d - w jane rrenje komplekse

Me zavendesimin: p2 =w2 -d2
l1 2 = -d ± pi i = -1

x = C1el1t + C2el2 t x = e-dt ( C1 cos pt + C2 sin pt )
C1 , C2 jane konstantet e integritetit te cilat fitohen nga kushtet fillestare
Zgjidhje me e pershtateshme fitohet me futjen e konstanteve te reja:
C1 =R sin α, C 2 =R cos α

x = e-dt ( R sin αcos pt + R cos αsin pt )

x = Re-dt sin ( pt + α )

Caktimi i konstanteve te integrimit

x = Re -dt
sin ( pt + α )
x = -R d e-dt sin ( pt + α ) + R e -dt pcos ( pt + α )
&

Kushtet fillestare t = 0, x = x 0 , x = v 0
&

x 0 = R sin α / 2 ü
ï 2 æ v + x 0d ö
2

ý+ Þ R = x0 + ç 0 ÷
2
v0 = - Rd sin α + Rpcosα / ïþ è p ø
x0 p x0 p
tgα = , α = arc tg
v0 + x 0 d v0 + x 0 d

x = Re-dt sin ( pt + α )

Lekundja e pikes eshte e karakterit oscilues, sepse sinusi eshte funksion periodik,

Keto lekundje quhen lekundje te shuara.

Per t ® ¥, e -dt ® 0 i x®0

Perioda e oscilimit te lekundjeve te shuara eshte:

2p
Tp =
p

LEKUNDJET APERIODIKE d>w

Nese, d>w l1 2 = -d ± d2 - w2

Fusim zavendesimin: q 2 = d 2 - w2 l1 2 = -d ± q

Zgjidja e ekuacionit diferencial:

x = C1ec1t + C2el 2 t = C1e(
-d+ q ) t
+ C 2 e(
-d- q ) t
(
= e -dt C1eqt + C2e - qt )
eqt = chqt + shqt, e- qt = shqt - shqt
x = e -dt éC1 ( ch qt + sh qt ) + C2 ( ch qt - sh qt ) ù
ë û
x = e -dt ( A ch qt + Bsh qt )

Ku A, B jane konstante te reja te integrimit te cilat caktohen nga kushtet fillestare te lekundjeve

x = C1ec1t + C2el 2 t = C1e(
-d+ q ) t
+ C 2 e(
-d- q ) t
(
= e -dt C1eqt + C2e - qt )
x = e-dt ( A ch qt + Bsh qt )

Lekundjet nuk jan oscilatore- ato quhen aperiodike.

RASTI KUFITAR d=w

Ne kete rast rrenjet e ekuacionit karakteristik jane: l1 2 = -d ± d2 - w2
l1 = l 2 = -d
prandaj zgjidhja e ekuacionit diferencial eshte:

x = e-dt ( C1 + C2 t ) lekundjet jane aperiodike

t ® ¥, t e -dt ® 0

Diagrami ka formen sikur tek lekundjet aperiodike.

LEKUNDJET E DETYRUARA

Ne qoftse se ne piken materiale perpos forces elastike vepron edhe
ndonje force e jashtme ne funksion te kohes ateher keto lekundje
quhen lekundje te detyruara.
Me se shpeshti merret qe forca detyruese merret ne forme te f
funksionit harmonik ne varesi te kohes:

FΩ = F0 sin ( Ωt ) ose FΩ = F0 cos ( Ωt )

F0 amplituda e forces
W frekuenca e forces se detyruar.
re

LEKUNDJET E DETYRUARA PA FORCE REZISTUESE

r r
FK = -kx i Forca elastike
r r
k FΩ = F0 sin ( Ωt ) i Forca detyruese

r r r r r
ma = Fk + FW + G + N

mx = -kx + F0 sin Ωt. / : m
&&

k F
k = w2 , 0 = h konstante
m m
ku:
w - Frekuenca rrethore e lekundjeve te lira,
-

h - ka dimensionin e shpejtimit dhe varet
-

nga forca maksimale detyruese F0.
-

2 Ekuacioni diferencial johomogjen i rendit te dyte
&& + w x = h sin Ωt
x me koeficient konstant.

Zgjidhja e ketije ekuacioni eshte:

x = xh + xp ku jane:
- xh zgjidhja e ekuacionit homogjen,
- xp Integrali partikulare.
&& + w2 x = 0
x
x h = C1 cos wt + C2 sin wt ü
ý zgjidhja e ekuacionit homogjen,
x h = R sin ( wt + α ) þ

Si ne rastin e lekundjeve te lira harmonike , ku C1 , C2,
gjegjesishte R , a, konstantet e integrimit.

Integrali partikular paraqitet ne formen:

x p = A sin Ωt ku A konstante e pa njohure.

x p = AΩ cos Ωt
& && + w2 x = h sin Ωt
x
&& p = - AΩ 2 sin Ωt
x

-AΩ 2 sin Ωt + w2Asin Ωt = h sin Ωt,

( 2 2
)
A w - Ω sin Ωt = h sin Ωt Þ A= 2
h
w - Ω2
amplituda A nuk varet
nga kushtet fillestare

Zgjidhja e pergjithshme e ekuacionit diferencial te lekundjeve te detyruara pa shuarje eshte:

h
x = R sin ( wt + α ) + 2 2
sin Ωt
w -Ω

Lekundjet jane periodike dhe paraqesin
shumen e dy funksioneve harmonike

h
x = R sin ( wt + α ) + 2 2
sin Ωt
w -Ω

lekundjet e lira apo vetiake me amplitude R
dhe frkuence rrethore w

Lekundjet e detyruara me amplitude A, Te cilat
nuk varen nga kushtet fillestare dhe frekuenca W
e cila eshte e barabarte me frekuencen e forces detyruese.

AMPLITUDA E LEKUNDJEVE TE DETYRUARA

Varesia e amplitudes se lekundjeve te detyruara A ne raport
me frekuencen e lekundjeve vetiake dhe te detyruara:

h w2
A= 2 2
/× 2
w -Ω w
h
w2 h 1
A= 2
= 2 2
æΩö w æΩö
1- ç ÷ 1- ç ÷
èwø èwø
F0
1 F 1
A= m = 0
k æ Ωö
2
k æ Ωö
2

m 1- ç ÷ 1- ç ÷
è wø èwø
Ω
® 1, ( Ω ® w) amplituda e lekundjeve te detyruara tenton ne pakufi (A ®µ).
w

F0 1
A= 2
k æΩö
1- ç ÷
èw ø
Lajmerimi i paraqitjes se amplitudave shum te medhaja te lekundjeve te detyruara
si pasoj e vlerave te peraferta te W , w quhet rezonance.

A®µ Pavaresishte nga madhesia e forces detyruese F0, qe do te thote ne zonen e rezonances,
W»w, mund te fitohen amplituda te medhaja te lekundjeve te detyruara nga veprimi i forces se vogel.

LEKUNDJET E DETYRUARA ME SHUARJE

Ekuacioni diferencial i ketyre lekundjeve eshte:

r r r r
ma = Fk + FW + FΩ

k
Fk = kx, FW = bx,
& FW = F0 sin Ωt.

mx = -kx - cx + F0 sin ( Ωt ) / : m
&& &

&& + 2dx + w2 x = h sin Ωt
x &
k
k c F0
= w2 , = 2d, =h
m m m

&& + 2dx + w2 x = h sin Ωt
x &
Zgjidja e ketije ekuacioni eshte:

x = xh + xp ku:
- xh zgjidhja e ekuacionit homogjen,
- xp integrali partikular.
Zgjidhja homogjene e ekuacionit eshte e njejte sikur tek lekundjet e shuara:

x h = Re-dt sin ( pt + α ) d<w

Zgjidhja partikulare paraqitet ne formen:

x p = Bsin Ωt + D cos Ωt, ili x p = Csin ( Ωt - β )
ku B , D, dhe C , b konstante qe caktohen me zavendesimin
. x p , x p , && p
& x

2d Ω h
tgβ = 2 2
, C=
w -Ω
(w 2
-Ω )
2 2
+ 4d 2Ω 2

Zgjidja e ekuacionit diferencial eshte:

x = Re-dt sin ( pt + α ) + Csin ( Ωt - β )

lekundja rezultuese eshte shuma e lekundjeve me
shuarje xh dhe atyre detyruese xp.

Lekundjet me shuarje te cilat humbin me kohen,
ndersa mbeten lekundjet e detyruara me amplitud C dhe
frekuence W.

DINAMIKA E SISTEMIT MATERIAL
INAM

SISTEMI MATERIAL ESHTE BASHKESIA E
PIKAVE MATERIALE LEVIZJA DHE POZITA
E TE CILAVE JANE TE LIDHURA NE MES VETI

Sistemi material i lire -sistemi i pikave materiale te cilat nuk jane te lidhura mes veti.

Sistemi material i lidhure -sistemi i pikave materiale
levizja e te cilave eshte i kufizuare me lidhje.

Sistemi diskret -sistemi i pikave materiale te cilat
jane me numer te caktuar dhe distanca
te caktuara ne mes veti.

Trupi material – masat ne ndonje pjese te hapesires jane te renditura ne menyre te pa nderprere.

Trupi i ngurte -Nga veprimi forcave nuk e nderron formen dhe dimensionin.

Forcat qe veprojne ne pike apo ne trup ndahen ne forca te jashtme dhe te brendeshme.

rj
F Forcat e jashtme -te cilat veprojne ne trup
apo pike nga jashte.

rm
F Forcat e brendeshme- jane forca me te cilat
pikat apo trupat e sistemit te caktuar veprojne
njeri ne tjtrin.

Karakteristikat e forcave te brendeshme te cilat
veprojne ne sistem

Vektori kryesore i forcave te brendeshme eshte i barabarte me zerro

rm n r m
FR = å Fi = 0
i =1

Duke u bazuare ne ligjin e trete te Newton-it kemi:

ru ru ru ru nr
Fik = -Fki , Fik + Fki = 0 å Fi = 0
i =1

Momenti kryesore i forcave te brendeshme ne raporte me
piken O te caktuar per pol te pa levizshem eshte i barabarte me zerro.

r r
r Fm n r F n n r r m
M 0R = å M 0i = å ri ´ Fi = 0
i =1 i =1

r r
r Fm r F m r r m r r m r r r rm r r rm
M 0 + M0 = ri ´ Fik + rk ´ Fki = ri ´ Fik - rk ´ Fik = ( ri - rk ) ´ Fik
ik ki

rm
Fik forca qe vepron ne piken Mi nga ana e pikes Mk
rm
Fki forca qe vepron ne piken Mk nga ana e pikes Mi
r uuuuuur r r r uuuuuur uuuuuur
ri + M i M k = rr ® ri - rk = - M i M k = M k M i

r Fm r F m uuuuuur r m
r r
M 0ik + M 0ki = M k M i ´ Fik = 0,

MASA E SISTEMIT MATERIAL
A

Masa e sistemit material eshte e barabarte me shumen algjebrike
te masave te te gjitha pikave apo trupave te cilet e formojne sistemin.

n
M = m = å mi
i =1

QENDRA E RENDESES SE MASES SE SISTEMIT MATERIAL

n r
å mi ri r
r i =1
rC = = å mi ri
m m

EKUACIONET DFERENCIALE TE LEVIZJES SE SISTEMIT MATERIAL

Ekuacioni diferencial i levizjes se pikes i:
r r j rm
mi ai = Fi + Fi
r m rj
Fi Fi -Rezultantat e forcave te jashtme
dhe te brendeshme ne piken i.

mi &&i = Xij + Xm
x i Ekuacionet diferenciale te levizjes te sistemit material
mi &&i = Yij + Yim
y ku i=1,2,3,.....n.
mi &&i = Zji + Zm
z i

LIGJET E PERGJITHSHME TE SISTEMIT MATERIAL

Ligji mbi levizjen e qendres se mases se sistemit material

r r j rm
m ai = Fi + Fi

n r n r n r
å mi ai = å Fi + å Fiu .
s

i =1 i =1 i =1

r n r n
r å mi ri d 2 r r
&& = å m && = å m a .
m rC
rC = / 2 i ri i i
m dt i =1 i =1

r r rm =0 r rj
&& = å Fj +
mi rC i å Fi m aC = å Fi
r rj Ligji mbi levizjen e qendres
maC = FR se mases se sistemit material

r rs
maC = FR

Qendra e mases (qendra e inercionit) e sistemit aterial levize si pika materiale
me mase te barabarte me shumen e masave te te gjitha pikave te sistemit
ne te cilen vepron vektori kryesor i te gjitha forcave te jashtme te sistemit.

n
m &&C = X jR
x = å Xji
i =1
n
m &&C = YR = å Yij
y j Ekuacionet diferenciale te
i =1 levizjes se qendres se mases
n
mi &&C = ZjR = å Zji
z
i =1

Forcat e brendeshme nuk ndikojne ne levizjen
e qendres se mases se sistemit material.

LIGJI MBI RUAJTJEN E SASISE SE LEVIZJES SE QENDRES SE MASES
TE SISTEMIT MATERIAL

Ne qofte se vektori i i te gjitha forcave te jashtme te cilat veprojn ne sistemin material
gjate gjthe kohes se levizjes eshte i barabarte me zerro, ateher qendra e sistemit
ben levizje drejtevizore.

r j rj r rj r
(å Fi = FR = 0) m aC = å FR = 0 Þ aC = 0

Ne qofte se ne sistem veprojn forcat e jashtme vektori kryesor i i te cilave eshte i
rj rj
ndryshem nga zerro (FR = å Fi ¹ 0)
por shuma e projeksioneve te tyre ne aks eshte e barabarte me zerro (psh X), atehere
projeksioni i shpejtesise se qendres se mases ne aks eshte konstante:

m &&C = X jR = 0 Þ && C = 0,
x x x C = vCx = const
&

LIGJI MBI NDRYSHIMIN E SASISE SE LEVIZJES SE QENDRES SE MASES

SASIA E LEVIZJES SE SISTEMIT MATERIAL

r n r n r
K = å K i = å mi v i
i =1 i =1
r r
r dri r n dri d n r
vi = K = å mi = å mi ri
dt i =1 dt dt i =1
r n r
m rC = å mi ri
i =1 r
ku: r d n r d r dr
m – masa e tere sistemit K = å mi ri = ( mrC ) = m C
r dt i =1 dt dt
rC –vektori i qendres se mases
r r
K = mvC

r r
K = mvC

n ü
K x = å mi vix = m vCx = mx C , ï
&
i =1 ï
n ï Projeksionet e vektorit te sasise se levizjes
K y = å mi viy = m vCy = m yC , ý
& ne sistemin koordinativ te dekartit
i =1 ï
n ï
K z = å mi viz = m vCz = m z C ï
&
i =1 þ

LIGJI MBI NDRYSHIMIN E SASISE SE LEVIZJES TE SISTEMIT MATERIAL
NE FORMEN DIFERENCIALE

r r d
K = mv C /
dt
r r
dK d r dv C r ü r
= ( mv C ) = m = maC ï dK r j n r
dt dt dt ý Þ = FR = å Fij
r rj ï dt i =1
maC = FR þ

dK x ü
= XjR ï
dt
ï
dK y j ï
= YR ý
dt ï
dK y j ï
= ZR ï
dt þ

LIGJI MBI NDRYSHIMIN E SASISE SE LEVIZJES TE SISTEMIT MATERIAL
NE FORMEN INTEGRALE

r t
dK r j n r t r t rs
= FR = å Fij / × dt /ò ò dK = ò FR dt
dt i =1 t0 t0 t0

r r t r n t r r j n rj
K - K 0 = ò FR dt = å ò Fi dt = I = å Ii
j j

t0 i =1 t 0 i =1

LIGJI MBI RUAJTJEN E SASISE SE LEVIZJES TE SISTEMIT MATERIAL

Ne qofte se ne sistem vepron sistem i atille i forcave te jashtme ashtu qe vektori kryesor
i tyre gjate gjithe kohes se levizjes eshte i barabarte me zerro, ateher vektori i sasise se
levizjes eshte konstant.
r
dK r j r r
= FR = 0 Þ K = const Þ vc = const.
dt

r r t r n t r r j n rj
K - K 0 = ò FR dt = å ò Fi dt = I = å Ii
j j

t0 i =1 t 0 i =1

rj rj
Nese FR = 0 atehere edhe I = 0 impulsi i forces te vektorit kryesor eshte zerro, prandaj kemi:
mpu

r r
K = K 0 = const


MOMENTI I SASISE SE LEVIZJES TE SISTEMIT MATERIAL

r n r n r r n r
r
L0 = å Li0 = å ri ´ K i = å ri ´ mi vi
i =1 i =1 i =1


r r r
dLi0 r ( Fij ) r ( Fim )
= M0 + M0
dt
r
r Fj
M 0i –momenti i forcave te jashtme te cilat veprojn ne piken Mi ne raport me piken O
r
r Fu
M0i – momenti i forcave te brendeshme te cilat veprojn ne piken Mi ne raport me piken O

r r r =0 r r
n dLi0 n r ( Fij ) n
( ),
r Fim n dLi0 d r d r dL0
å dt = å M0 + å M0 å dt = dt å Li0 = dt L0 = dt ,
i =1 i =1 i =1 i =1

r r
dL0 ( )
n r Fj
= å M0 i Ligji mbi ndryshimin e momentit te sasise se
dt i =1 levizjes ne raport me polin e pa levizshem

dL0x n Fij r r
Fij ü
= å M 0x = å M x , ï
dt i =1 ï
dL0y n Fij r rj ï Ligji mbi ndryshimin e momentit te sasise se
ï
= å M 0y = å M Fi ,
y ý levizjes ne raport me polin e pa levizshem
dt i =1 ï
r rj ï
dL0z n Fij
= å M 0z = å M Fi . ï
z
dt i =1 ï
þ


ENERGJIA KINETIKE E SISTEMIT MATERIAL
n 1 n
E k = å E ki = å mi vi2
i =1 2 i =1

mi dhe vi – masa dhe shpejtesia e pikes i
Eki – energjia kinetike e pikes i

Ligji mbi ndryshimin e energjise kinetike pere qfaredo pike te sistemit material, psh per piken 1

dE k1 = dA1 + dAj2 + ... + dA1 + dA 2m+ ......,
j m
14 244 1442443
4 3

puna elementare e forcave te jashtme te cilat veprojn ne piken 1

puna elementare e forcave te brendeshme te cilat veprojn ne piken 1

TE SISTEMIT MATERIAL NE FORMEN DIFERENCIALE

dE k1 + dE k2 + ....... + dE kn = dA1 + dA S + ... + dA1 + dA 2 + .....
S
2
u u

dE k = dAj + dAm Ek – ukupna kinetička energija materijalnog sistema,
-

dAj = å dAji – puna elementare e forcave te jashtme
dA m = å dA im – puna elementare e forcave te jashtme

ligji mbi ndryshimin e energjise kinetike te sistemit ne formen diferenciale

TE SISTEMIT MATERIAL NE FORMEN INTEGRALE

dE k = dAj + dAm / ò

j m
E k1 - E k0 = A 0,1 + A 0,1

TE SISTEMIT MATERIAL TE PA NDRYSHUESHEM

j
dE k = dA

j
E k1 - E k0 = A 0,1

Nese trupi eshte i lidhur, lirohet nga lidhja dhe ndikimi i lidhjeve zavendesohet me reaksionet e tyre.
Trupi i atill konsiderohet i lire, e ne te veprojne sistemi i forcave te jashtme-forcave
aktive te reaksioneve te lidhjeve.

MOMENTET MATERIALE TE INERCIS

Qendra e inercisë së masës
Momentet e inercis
o
a) Definicioni i momentit te inercisë
e
b) Lidhjet ne mes te momenteve të inercis
c) Momentet e inercisë në raport me akset paralele

Qendra e inercisë së masës

Renditja e masave te sistemit karakterizohet me poziten e pikave te sistemit
e cila quhet qendra e masës e qe caktohet me shprehjen:

r 1 r
rC = å mi ri
m
1
x C = å mi x i
m
1
yC = å m i yi
m
1
zC = å mi zi
m

r 1 r g
rC = å mi i r / g=9.81m/s2
m g
G = mg
Gi = mig
r 1 r
rC =
mg
å mi ri g
qendra e mases se sistemit dhe qendra e sistemit
gjeometrikisht perputhen
r 1 r
rC = å G i ri
G 1
x C = å mi G i
G
1
y C = å miG i
G
1
z C = å mi G i .
G

Dendësia

Dendësia – është masa në njesi të vëllimit

Paramendojmë që në një pikë të hapësirës të vëllimit DV gjëndet masa Dm

Dm
rsr = dëndësia mesatare rrethë pikës M
DV

Dm dm
r = lim rsr = lim =
DV ®0 DV ®0 DV dV

r= const - trupi është homogjen,
r¹ const - trupi nuk është homogjen,

Trupi homogjen

m1
r1 = ,
n n V1
m = å mi V = å Vi
i =1 i =1 m2
r2 = ,
V2
M
mn
rn = .
Vn
Nese trupi është homogjen r1 = r2 =... =rn =const

m = å mi = r1V1 + r2 V2 + .... + rn Vn = r ( V 1 + V2 + ... + Vn ),
n m
m = rå Vi = rV, Þ r=
i =1 V

Momenti i inercisë

Madhësia e cila e karakterizon gjeometrinë dhe shperndarjen e masës, quhet:
momenti i inercisë

a) Definicioni i momentit te inercisë
e
Momentet e inercisë të sistemit material në raport me rrafshin (momentet planare të inercisë)

n ü
I yOz = å mi x i2 , ï
i =1 ï
2 ï
n
I zOx = å mi yi , ý momentet planare të inercisë
i =1 ï
n ï
I xOy = å mi zi . ï
2

i =1 þ

I yOz = ò r x 2dV
Tekë renditja kontinuale e masave: V

r=
dm
, dm = r dV, m = ò rdV I zOx = ò r y 2dV
dV V V

Masa elementare dm e zënë vellimin dV , koordinatat e të cilit janë: I xOy = ò r z 2dV
x, y, z, ndërsa distanca nga fillimi koordinativ është r
. V

Momentet e inercisë të sistemit material në raport me aksin
(momentet aksiale të inercisë)

ü
( )
n
Ix = å mi yi2 + zi2
,ï
i =1 ï
2 ï
( )
n
I y = å mi x i + z i , ý
2

i =1 ï
ï
( )
n
I z = å m i x i + yi . ï
2 2

i =1 þ

momentet aksiale të inercisë

ü
( 2 2
I x = ò r y + z dV, ï )
V ï
ï
në rastin e shpërndarjes konti nuale të masës kemi: ( )ï
I y = ò r x 2 + z 2 dV, ý
V ï
ï
(
Iz = ò r x + y dV. ï
2 2
)ï
V þ

Momentet e inercisë të sistemit material në raport me pikën
(momentet polare të inercisë)

(
IO = å mi x i2 + yi2 + zi2 )
momentet polare të inercisë

në rastin e shpërndarjes konti nuale të masës kemi:

(
IO = ò r x 2 + y 2 + z 2 dV )
V

b) Lidhjet në mes të momenteve të inercisë

( )
IO = å mi x i2 + yi2 + z i2 =å mi x i 2 + å mi yi 2 + å mi zi 2

IO = I yOz + IzOx + I xOy

Momenti polar i inercisë është i barabartë me shumën e momenteve të inercisë
në raport me tri rrafshet normale mes veti

( )
n n n
I x = å mi yi2 + zi2 Ix = å mi yi2 + å mi zi2
i =1 i =1 i =1

I x = I zOx + I xOy ,
I y = I yOz + I xOy ,
I z = I zOx + I yOz .

Momenti aksial i inercisë në raport me aksin është i barabartë me shumën
e momenteve polare të inercisë ne raport me rrafhin te cilat kur priten japin
momentin e aksit

Me mbledhjen e momenteve aksiale të inercisë për të tre akset ortogonal
fitohet lidhja në mes momenteve aksiale dhe atyre polare të inercisë.

( ) ( ) (
I x + I y + I z = å mi yi2 + zi2 + å mi x i2 + zi2 + å mi x i2 + yi2 )
( )
I x + I y + I z = 2å mi x i2 + yi2 + zi2 = 2IO

I x + I y + Iz = 2IO

c) Momentet e inercisë në raport me akset paralele

Teorema e Hajgers-Steinerit

I z ' = ICz + md 2

Mekanika 2

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à Mekanika 2

Similaire à Mekanika 2 (12)

Plus de Hasan Prishtina University

Plus de Hasan Prishtina University (13)

Mekanika 2