1. Luoghi geometrici
F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr`
ı
Liceo Scientifico Isacco Newton - Roma
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2. Indice
1 Luogo geometrico:definizione
2 Asse del segmento
3 Circonferenza
4 Parabola
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ı Luoghi geometrici
3. Luogo Geometrico definizione
Si dice luogo geometrico, dal latino locus, la figura formata
dall’insieme di tutti i punti del piano o dello spazio che godono di una
medesima propriet` . a
Nel piano Cartesiano dicesi luogo geometrico l’insieme dei punti del
piano le cui coordinate (x, y) soddisfano la medesima equazione
f (x, y) = 0, detta equazione del luogo.
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4. Nota Storica
Euclide nel I libro dei suoi Elementi impieg` il termine luogo (in
o
greco t´ pos) per indicare tutti e solo i punti che godono di una
o
determinata propriet` .
a
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6. Asse del segmento: definizione
Dicesi asse di un segmento AB quella retta r perpendicolare al
segmento medesimo nel suo punto medio M. I punti appartenenti ad r
godono della propriet` di essere equidistanti dagli estremi A e B.
a
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7. Asse del segmento: costruzione
Tracciare un segmento AB.
Puntare il compasso in A con
raggio r AB tracciare un
arco di circonferenza.
Puntare il compasso in B con
raggio r AB tracciare un
arco di circonferenza.
Le intersezioni P e P1 degli
assi saranno i punti per i quali
passer` l’asse del segmento
a
AB.
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8. Asse del segmento: equazione
Dalla condizione
(x − xA )2 + (y − yA )2
= (x − xB )2 + (y − yB )2 (1)
si ha l’equazione Cartesiana
dell’asse
ax + by + c = 0 (2)
con
a = 2 (xB − xA )
b = 2 (yB − yA )
c = xA + y2 + xB + y2
2
A
2
B
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9. Circonferenza: definizione
Dicesi circonferenza il luogo dei punti di un piano equidistanti da un
`
punto fisso C detto centro. La distanza r costante e detta raggio.
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10. Circonferenza per tre punti: costruzione
Siano dati tre punti M, N e P, non
allineati e distinti.
Congiungere M con N e N con P.
Tracciare gli assi a e b dei segmenti
MN e NP, rispettivamente.
Sia il punto C l’intersezione di a e b.
Tracciare la circonferenza puntando
il compasso in C (centro) ed apertura
di raggio r CM CN CP
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11. Circonferenza: equazione
Dalla condizione
r2 = (x − xC )2 + (y − yC )2 (3)
si ha l’equazione Cartesiana della
circonferenza
x2 +y2 −2xC x−2yC y+xC +y2 −r2 = 0
2
C
(4)
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12. Parabola: definizione
Dicesi parabola il luogo geometrico dei punti da un punto F, detto
fuoco, e da una retta d, detta direttrice.
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13. Parabola: costruzione
Tracciare una retta d (direttrice) e un
punto F(fuoco) non appartenente a d.
Si scelga un punto H sulla direttrice d.
Unire i punti F e H.
Tracciare l’asse k del segmento FH.
Tracciare la retta h ⊥ d.
`
P, intersezione tra h e k e il generico
punto della parabola.
I rimanenti punti della parabola si
ottengono variando la posizione di H su
d.
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14. Parabola: equazione
Senza perdita di generalit` scegliamo la
a
direttrice d ⊥ asse ascisse e ad una distanza
p
da quello delle ordinate. Al fuoco F
2
p
vengono assegnate le coordinate , 0 .
2
Imponendo la condizione FP2 = HP2 si ha
p 2 p 2
x+ = x− + y2 (5)
2 2
da cui discende l’equazione della parabola:
y2 = 2px (6)
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