производная

2. «Если продолжить одно
из маленьких звеньев
ломаной,
составляющей кривую
линию, то эта
продолженная таким
образом сторона будет
называться
касательной к кривой.»

3. Касательная к кривой.
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
I
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

4. - это угловой коэффициент касательной.
Р
Р1

5. Угловой коэффициент прямой.
Прямая проходит через начало
координат и точку Р(3; -1). Чему
равен ее угловой коэффициент?
k31=−
3
1
−=k

6. Найдите угловые коэффициенты
прямых:
2
1
3
4
1
2
3
4

7. х
y
0 0х
х∆ х
y∆
y∆
х∆
α
ktg
x
y
==
∆
∆
α
bkxy +=
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
)(xfy =
0→
Секущая стремится занять положение касательной.
То есть, касательная есть предельное положение
секущей.
Касательная
Секущая
.
0
йкасательнотукоэффициен
угловомуксекущейткоэффициенугловойхПри →→∆
Р
Р1

8. х
y
0 0х
х∆ х
y∆
α
)(xfy =
0→
Касательная
Угловой коэффициент касательной можно найти как
предел выражения:
0
0 )()(
lim)(
0 xx
xfxf
xk xx
−
−
= →

9. х
y
0 0х
х∆ х
y∆
y∆
α
ktg
x
y
==
∆
∆
α
bkxy +=
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
)(xfy =
0→
Касательная
Секущая
.0
)(
,
)( 0
→∆
∆
∆
хпри
x
xf
отношениестремитсякоторомукчисло
называетсяхточкевxfфункциийПроизводно
Обозначение:
)(xf ′

10. х
y
0 0х
х∆ х
y∆
α
ktgxf ==′ α)(
bkxy +=
k – угловой
коэффициент
прямой(касательной)
)(xfy =
0→
Касательная
Геометрический смысл производной
Производная от функции в данной точке равна
угловому коэффициенту касательной, проведенной к
графику функции в этой точке.

11. х
y
0 0х х
y∆
ktg
x
y
==
∆
∆
α
bkxy +=
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
)(xfy =
х∆ →
Касательная
А
В
1α
.
0
йкасательнотукоэффициен
угловомуксекущейткоэффициенугловойхПри →→∆
.0
)(
,
)( 0
→∆
∆
∆
хпри
x
xf
отношениестремитсякоторомукчисло
называетсяхточкевxfфункциийПроизводно
0
.)(()( 00
→∆
′→
∆
∆
==
хпри
хточкевxfотйпроизводноxf
x
y
ktgα
Геометрический смысл производной. Производная от
функции в данной точке равна угловому коэффициенту
касательной, проведенной к графику функции в этой
точке.
α 10 )( αtgxf =′

12. Исаак Ньютон
(1643 – 1727)
«Когда величина является максимальной
или минимальной, в этот момент она не
течет ни вперед, ни назад.»

13. t
t1
Свободное падение
2
2
gt
s =
?−ср
v
( ) ( )
tt
ttg
tt
tStS
vср
−
−
⋅=
−
−
=
1
2
2
2
1
1
1
2
( )tt
g
vср
+⋅= 1
2

14. t
t1
Свободное падение
2
2
gt
s =
?−ср
v ( )tt
g
vср
+⋅= 1
2
( ) ttt 21 ⇒+
( ) gttt
g
tt→+⋅ →11
2

15. Используя слово «предел», можно
сказать, что мгновенная скорость
в точке t – это предел средней
скорости при стягивании отрезка,
на котором она изменяется, в
точку t или в символической записи
tt
tStS
tv tt
−
−
= →
1
1
)()(
lim)(
1
- это скорость

16. t
х
vср
∆
∆
=.
.
).()(,
),(0 .
tStvьноследовател
tvскоростимгновеннойкvtПри cр
′=
→→∆
)()( tvtS =′ )()( tvtхили =′
)()( xvхf =′
Δх – перемещение тела
Δt – промежуток времени
в течение которого выполнялось
движение