Bioestadísticas

TM. Pedro Cortes Alfaro
Magister en Administración en Salud

Bioestadística

 Tema 1: Introducción a la estadística
Tema 1: Introdución 1

¿Para qué sirve la estadística?
 La Ciencia se ocupa en general de fenómenos observables

 La Ciencia se desarrolla observando hechos, formulando leyes que los
explican y realizando experimentos para validar o rechazar dichas leyes

 Los modelos que crea la ciencia son de tipo determinista o aleatorio
(estocástico)

 La Estadística se utiliza como tecnología al servicio de las ciencias
donde la variabilidad y la incertidumbre forman parte de su naturaleza

 “La Bioestadística [...] enseña y ayuda a investigar en todas las áreas de
las Ciencias de la Vida donde la variablidad no es la excepción sino la
regla”
Carrasco de la Peña (1982)


Definición
La Estadística es la Ciencia de la

• Sistematización, recogida, ordenación y
presentación de los datos referentes a un fenómeno
que presenta variabilidad o incertidumbre para su
estudio metódico, con objeto de

• deducir las leyes que rigen esos fenómenos,

• y poder de esa forma hacer previsiones sobre los
mismos, tomar decisiones u obtener conclusiones.


Pasos en un estudio estadístico
 Plantear hipótesis sobre una población
 Los fumadores tienen “más bajas” laborales que los no fumadores
 ¿En qué sentido? ¿Mayor número? ¿Tiempo medio?

 Decidir qué datos recoger (diseño de experimentos)
 Qué individuos pertenecerán al estudio (muestras)
 Fumadores y no fumadores en edad laboral.
 Criterios de exclusión ¿Cómo se eligen? ¿Descartamos los que padecen enfermedades
crónicas?
 Qué datos recoger de los mismos (variables)
 Número de bajas
 Tiempo de duración de cada baja
 ¿Sexo? ¿Sector laboral? ¿Otros factores?

 Recoger los datos (muestreo)
 ¿Estratificado? ¿Sistemáticamente?

 Describir (resumir) los datos obtenidos
 tiempo medio de baja en fumadores y no (estadísticos)
 % de bajas por fumadores y sexo (frecuencias), gráficos,...

 Realizar una inferencia sobre la población
 Los fumadores están de baja al menos 10 días/año más de media que los no fumadores.

 Cuantificar la confianza en la inferencia
 Nivel de confianza del 95%
 Significación del contraste: p=2%


Método científico y estadística

Plantear Diseñar
hipótesis experimento

Obtener Recoger datos
conclusiones y analizarlos


Población y muestra
 Población (‘population’) es el conjunto sobre el que estamos
interesados en obtener conclusiones (hacer inferencia).
 Normalmente es demasiado grande para poder abarcarlo.

 Muestra („sample’) es un subconjunto suyo al que tenemos
acceso y sobre el que realmente hacemos las observaciones
(mediciones)
 Debería ser “representativo”
 Esta formado por miembros “seleccionados” de la población
(individuos, unidades experimentales).


Variables
 Una variable es una característica observable que varía entre los
diferentes individuos de una población. La información que disponemos
de cada individuo es resumida en variables.

 En los individuos de la población Chilena, de uno a
otro es variable:

 El grupo sanguíneo
 {A, B, AB, O}  Var. Cualitativa
 Su nivel de felicidad “declarado”
 {Deprimido, Ni fu ni fa, Muy Feliz}  Var. Ordinal
 El número de hijos
 {0,1,2,3,...}  Var. Numérica discreta
 La altura
 {1‟62 ; 1‟74; ...}  Var. Numérica continua


Tipos de variables
 Cualitativas
Si sus valores (modalidades) no se pueden asociar naturalmente a un
número (no se pueden hacer operaciones algebraicas con ellos)

 Nominales: Si sus valores no se pueden ordenar
 Sexo, Grupo Sanguíneo, Religión, Nacionalidad, Fumar (Sí/No)

 Ordinales: Si sus valores se pueden ordenar
 Mejoría a un tratamiento, Grado de satisfacción, Intensidad del dolor

 Cuantitativas o Numéricas
Si sus valores son numéricos (tiene sentido hacer operaciones
algebraicas con ellos)

 Discretas: Si toma valores enteros
 Número de hijos, Número de cigarrillos, Num. de “cumpleaños”

 Continuas: Si entre dos valores, son posibles infinitos valores intermedios.
 Altura, Presión intraocular, Dosis de medicamento administrado, edad


 Es buena idea codificar las variables
como números para poder procesarlas
con facilidad en un ordenador.
 Es conveniente asignar “etiquetas” a
los valores de las variables para
recordar qué significan los códigos
numéricos.
 Sexo (Cualit: Códigos arbitrarios)
 1 = Hombre
 2 = Mujer
 Raza (Cualit: Códigos arbitrarios)
 1 = Blanca
 2 = Negra,...
 Felicidad Ordinal: Respetar un orden al
codificar.
 1 = Muy feliz
 2 = Bastante feliz
 3 = No demasiado feliz
 Se pueden asignar códigos a
respuestas especiales como
 0 = No sabe
 99 = No contesta...
 Estas situaciones deberán ser tenidas
en cuentas en el análisis. Datos
perdidos („missing data‟)


 Aunque se codifiquen como números, debemos recordar siempre el
verdadero tipo de las variables y su significado cuando vayamos a
usar programas de cálculo estadístico.
 No todo está permitido con cualquier tipo de variable.


 Los posibles valores de una variable suelen denominarse modalidades.

 Las modalidades pueden agruparse en clases (intervalos)
 Edades:
 Menos de 20 años, de 20 a 50 años, más de 50 años
 Hijos:
 Menos de 3 hijos, De 3 a 5, 6 o más hijos

 Las modalidades/clases deben forman un sistema exhaustivo y
excluyente
 Exhaustivo: No podemos olvidar ningún posible valor de la variable
 Mal: ¿Cuál es su color del pelo: (Rubio, Moreno)?
 Bien: ¿Cuál es su grupo sanguíneo?
 Excluyente: Nadie puede presentar dos valores
simultáneos de la variable
 Estudio sobre el ocio
 Mal: De los siguientes, qué le gusta: (deporte, cine)
 Bien: Le gusta el deporte: (Sí, No)
 Bien: Le gusta el cine: (Sí, No)
 Mal: Cuántos hijos tiene: (Ninguno, Menos de 5, Más de 2)


Presentación ordenada de datos
7
6
Género Frec.
5

Hombre 4 4
3
2
Mujer 6 1
0
Hombre Mujer

 Las tablas de frecuencias y las representaciones
gráficas son dos maneras equivalentes de presentar la
información. Las dos exponen ordenadamente la
información recogida en una muestra.


Tablas de frecuencia
 Exponen la información recogida en la muestra, de forma que no se pierda nada de
información (o poca).

 Frecuencias absolutas: Contabilizan el número de individuos de cada modalidad

 Frecuencias relativas (porcentajes): Idem, pero dividido por el total

 Frecuencias acumuladas: Sólo tienen sentido para variables ordinales y numéricas
 Muy útiles para calcular cuantiles (ver más adelante)
 ¿Qué porcentaje de individuos tiene menos de 3 hijos? Sol: 83,8
 ¿Entre 4 y 6 hijos? Soluc 1ª: 8,4%+3,6%+1,6%= 13,6%. Soluc 2ª: 97,3% - 83,8% = 13,5%

Sexo del encuestado
Número de hij os
Porcentaje
Porcentaje Porcentaje
Frecuencia Porcentaje válido
Frecuencia Porcentaje válido acumulado
Válidos Hombre 636 41,9 41,9
Válidos 0 419 27,6 27,8 27,8
Mujer 881 58,1 58,1
1 255 16,8 16,9 44,7
Total 1517 100,0 100,0
2 375 24,7 24,9 69,5
3 215 14,2 14,2 83,8
Nivel de felicidad
4 127 8,4 8,4 92,2
Porcentaje Porcentaje 5 54 3,6 3,6 95,8
Frecuencia Porcentaje válido acumulado 6 24 1,6 1,6 97,3
Válidos Muy feliz 467 30,8 31,1 31,1
7 23 1,5 1,5 98,9
Bastante feliz 872 57,5 58,0 89,0
Ocho o más 17 1,1 1,1 100,0
No demasiado feliz 165 10,9 11,0 100,0
Total 1509 99,5 100,0
Total 1504 99,1 100,0
Perdidos No contesta
Perdidos No contesta 8 ,5
13 ,9
Total 1517 100,0 Total 1517 100,0


Datos desordenados y ordenados en tablas
 Variable: Género Género Frec. Frec. relat.
 Modalidades: porcentaje
 H = Hombre Hombre 4 4/10=0,4=40%
 M = Mujer Mujer 6 6/10=0,6=60%

10=tamaño
muestral
 Muestra:

MHHMMHMMMH

 equivale a
HHHH MMMMMM


Ejemplo
 ¿Cuántos individuos tienen Número de hij os
menos de 2 hijos?
 frec. indiv. sin hijos Porcent. Porcent.
+ Frec. (válido) acum.
frec. indiv. con 1 hijo 0 419 27,8 27,8
= 419 + 255 1 255 16,9 44,7
= 674 individuos 2 375 24,9 69,5 ≥50%
3 215 14,2 83,8
 ¿Qué porcentaje de individuos 4 127 8,4 92,2
tiene 6 hijos o menos?
5 54 3,6 95,8
 97,3%
6 24 1,6 97,3
7 23 1,5 98,9
 ¿Qué cantidad de hijos es tal
que al menos el 50% de la Ocho+ 17 1,1 100,0
población tiene una cantidad Total 1509 100,0
inferior o igual?
 2 hijos


 Gráficos para v. cualitativas
Diagramas de barras
 Alturas proporcionales a las frecuencias (abs. o
rel.)
 Se pueden aplicar también a variables discretas

 Diagramas de sectores (tartas, polares)
 No usarlo con variables ordinales.
 El área de cada sector es proporcional a su
frecuencia (abs. o rel.)

 Pictogramas
 Fáciles de entender.
 El área de cada modalidad debe ser proporcional a
la frecuencia. ¿De los dos, cuál es incorrecto?.


Gráficos diferenciales para variables numéricas 419
400 375

Son diferentes en función de que las
300

 255

Recuento
215

variables sean discretas o continuas. 200

127

Valen con frec. absolutas o relativas. 100

54
24 23 17
 Diagramas barras para v. discretas 0 1 2 3 4 5 6 7 O cho o más

 Se deja un hueco entre barras para indicar Número de hij os

los valores que no son posibles
250

 Histogramas para v. continuas 200

Recuento
 El área que hay bajo el histograma entre 150

dos puntos cualesquiera indica la cantidad 100

(porcentaje o frecuencia) de individuos en 50

el intervalo.
20 40 60 80

Edad del encuestado


Diagramas integrales
 Cada uno de los anteriores diagramas tiene su correspondiente diagrama integral. Se realizan
a partir de las frecuencias acumuladas. Indican, para cada valor de la variable, la cantidad
(frecuencia) de individuos que poseen un valor inferior o igual al mismo. No los construiremos
en clase. Se pasan de los diferenciales a los integrales por integración y a la inversa por
derivación (en un sentido más general del que visteis en bachillerato.)


¿Qué hemos visto?
 Definición de estadística
 Población
 Muestra
 Variables
 Cualitativas
 Numéricas
 Presentación ordenada de datos
 Tablas de frecuencias
 absolutas
 relativas
 acumuladas
 Representaciones gráficas
 Cualitativas
 Numéricas
 Diferenciales
 Integrales


Bioestadística

 Tema 2: Modelos probabilísticos

Tema 2: Modelos probabilísticos
20

Variable aleatoria
 El resultado de un experimento aleatorio puede ser
descrito en ocasiones como una cantidad numérica.

 En estos casos aparece la noción de variable aleatoria
 Función que asigna a cada suceso un número.

 Las variables aleatorias pueden ser discretas o
continuas (como en el primer tema del curso).

 En las siguientes transparencias vamos a recordar
conceptos de temas anteriores, junto con su nueva
designación. Los nombres son nuevos. Los conceptos
no.
Tema 2: Modelos probabilísticos 21

Función de probabilidad (V. Discretas)

 Asigna a cada posible valor 40%

de una variable discreta su 35%

30%
probabilidad.
25%
 Recuerda los conceptos de
20%
frecuencia relativa y diagrama de
barras. 15%

10%
 Ejemplo
5%
 Númerode caras al lanzar 3 0%
monedas. 0 1 2 3


Función de densidad (V. Continuas)
 Definición
 Es una función no negativa de integral 1.
 Piénsalo como la generalización del
histograma con frecuencias relativas para
variables continuas.

 ¿Para qué lo voy a usar?
 Nunca lo vas a usar directamente.
 Sus valores no representan probabilidades.


¿Para qué sirve la f. densidad?
 Muchos procesos aleatorios vienen descritos por variables de forma
que son conocidas las probabilidades en intervalos.

 La integral definida de la función de densidad en dichos intervalos
coincide con la probabilidad de los mismos.

 Es decir, identificamos la probabilidad de un intervalo con el área bajo
la función de densidad.


Función de distribución
 Es la función que asocia a cada valor de una
variable, la probabilidad acumulada
de los valores inferiores o iguales.

 Piénsalo como la generalización de las
frecuencias acumuladas. Diagrama integral.

 A los valores extremadamente bajos les corresponden
valores de la función de distribución cercanos a cero.

 A los valores extremadamente altos les corresponden
valores de la función de distribución cercanos a uno.

 Lo encontraremos en los artículos y aplicaciones en forma
de “p-valor”, significación,…
 No le des más importancia a este comentario ahora. Ya
os irá sonando conforme avancemos.


¿Para qué sirve la f. distribución?
 Contrastar lo anómalo de una observación concreta.

 Sé que una persona de altura 210cm es “anómala” porque la función de
distribución en 210 es muy alta.
 Sé que una persona adulta que mida menos de 140cm es “anómala” porque
la función de distribución es muy baja para 140cm.

 Sé que una persona que mida 170cm no posee una altura nada extraña pues
su función de distribución es aproximadamente 0,5.

 Relaciónalo con la idea de cuantil.

 En otro contexto (contrastes de hipótesis) podremos observar unos
resultados experimentales y contrastar lo “anómalos” que son en
conjunto con respecto a una hipótesis de terminada.

 Intenta comprender la explicación de clase si puedes. Si no, ignora esto
de momento. Revisita este punto cuando hayamos visto el tema de
contrastes de hipótesis.

Valor esperado y varianza de una v.a. X
 Valor esperado
 Se representa mediante E[X] ó μ
 Es el equivalente a la media

 Varianza
 Se representa mediante VAR[X] o σ2
 Es el equivalente a la varianza
 Se llama desviación típica a σ


Coeficiente de variación S
CV
Es la razón entre la desviación típica y la media.
 Mide la desviación típica en forma de
x
“qué tamaño tiene con respecto a la media”
 También se la denomina variabilidad relativa.
 Es frecuente mostrarla en porcentajes
 Si la media es 80 y la desviación típica 20 entonces CV=20/80=0,25=25% (variabilidad relativa)

 Es una cantidad adimensional. Interesante para comparar la variabilidad de
diferentes variables.
 Si el peso tiene CV=30% y la altura tiene CV=10%, los individuos presentan más
dispersión en peso que en altura.

 No debe usarse cuando la variable presenta valores negativos o donde el valor 0
sea una cantidad fijada arbitrariamente
 Por ejemplo 0ºC ≠ 0ºF
 Los ingenieros electrónicos hablan de la razón „señal/ruido‟ (su inverso).

29

Algunos modelos de v.a.

 Hay v.a. que aparecen con frecuencia en las Ciencias
de la Salud.
 Experimentos dicotómicos.
 Bernoulli

 Contar éxitos en experimentos dicotómicos repetidos:
 Binomial
 Poisson (sucesos raros)

 Y en otras muchas ocasiones…
 Distribución normal (gaussiana, campana,…)

 El resto del tema está dedicado a estudiar estas
distribuciones especiales.


Distribución binomial
 Función de probabilidad
n k nk
P[ X k] p q , 0 k n
k
 Problemas de cálculo si n es grande y/o p cercano a 0 o 1.

 Media: μ =n p

 Varianza: σ2 = n p q


Distribución Binomial
 Si se repite un número fijo de veces, n, un experimento de
Bernoulli con parámetro p, el número de éxitos sigue una
distribución binomial de parámetros (n,p).

 Lanzar una moneda 10 veces y contar las caras.
 Bin(n=10,p=1/2)

 Lanzar una moneda 100 veces y contar las caras.
 Bin(n=100,p=1/2)
 Difícil hacer cálculos con esas cantidades. El modelo normal será más adecuado.

 El número de personas que enfermará (en una población de 500.000
personas) de una enfermedad que desarrolla una de cada 2000
personas.
 Bin(n=500.000, p=1/2000)
 Difícil hacer cálculos con esas cantidades. El modelo de Poisson será más
adecuado.


“Parecidos razonables”
 Aún no conoces la
distribución normal, ni de
Poisson.

 De cualquier forma ahí tienes
la comparación entre valores
de p no muy extremos y una
normal de misma media y
desviación típica, para
tamaños de n grandes (n>30).

 Cuando p es muy pequeño es
mejor usar la aproximación
del modelo de Poisson.


Distribución de Poisson
 También se denomina de sucesos raros.
 Se obtiene como aproximación de una
distribución binomial con la misma media, para
„n grande‟ (n>30) y „p pequeño‟ (p<0,1).
 Queda caracterizada por un único parámetro μ
(que es a su vez su media y varianza.)
 Función de probabilidad:
k
P[ X k] e , k 0,1,2,...
k!

Ejemplos de variables de Poisson
 El número de individuos que será atendido un día cualquiera en el
servicio de urgencias del hospital clínico universitario.
 En Málaga hay 500.000 habitantes (n grande)
 La probabilidad de que cualquier persona tenga un accidente es
pequeña, pero no nula. Supongamos que es 1/10.000
 Bin(n=500.000,p=1/10.000) ≈ Poisson(μ=np=50)

 Sospechamos que diferentes hospitales pueden tener servicios de
traumatología de diferente “calidad” (algunos presentan pocos, pero
creemos que aún demasiados, enfermos con secuelas tras la
intervención). Es dificil compararlos pues cada hospital atiende
poblaciones de tamaños diferentes (ciudades, pueblos,…)
 Tenemos en cada hospital n, nº de pacientes atendidos o nº individuos de la
población que cubre el hospital.
 Tenemos p pequeño calculado como frecuencia relativa de secuelas con
respecto al total de pacientes que trata el hospital, o el tamaño de la
población,…
 Se puede modelar mediante Poisson(μ=np)


Distribución normal o de Gauss
 Aparece de manera natural:
 Errores de medida.
 Distancia de frenado.
 Altura, peso, propensión al crimen…
 Distribuciones binomiales con n grande (n>30) y „p ni
pequeño‟ (np>5) „ni grande‟ (nq>5).

 Está caracterizada por dos parámetros: La
media, μ, y la desviación típica, σ. 2
1 x
1 2
 Su función de densidad es: f ( x) e
2

N(μ, σ): Interpretación
geométrica

 Pudes interpretar la
media como un factor
de traslación.

 Y la desviación típica
como un factor de
escala, grado de
dispersión,…


N(μ, σ): Interpretación probabilista

 Entre la media y una
desviación típica
tenemos siempre la
misma probabilidad:
aprox. 68%

 Entre la media y dos
desviaciones típicas
aprox. 95%


Algunas características
 La función de densidad es simétrica, mesocúrtica y unimodal.
 Media, mediana y moda coinciden.

 Los puntos de inflexión de la fun. de densidad están a distancia σ de μ.

 Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos están…
 a distancia σ,  tenemos probabilidad 68%
 a distancia 2 σ,  tenemos probabilidad 95%
 a distancia 2’5 σ  tenemos probabilidad 99%

 No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando
la primitiva de la función de densidad, ya que no tiene primitiva
expresable en términos de funciones „comunes‟.

 Todas las distribuciones normales N(μ, σ), pueden ponerse mediante una
traslación μ, y un cambio de escala σ, como N(0,1). Esta distribución
especial se llama normal tipificada.
 Justifica la técnica de tipificación, cuando intentamos comparar individuos
diferentes obtenidos de sendas poblaciones normales.


Tipificación
 Dada una variable de media μ y desviación típica σ, se denomina
valor tipificado,z, de una observación x, a la distancia (con signo) con
respecto a la media, medido en desviaciones típicas, es decir

x
z

 En el caso de variable X normal, la interpretación es clara: Asigna a
todo valor de N(μ, σ), un valor de N(0,1) que deja exáctamente la
misma probabilidad por debajo.

 Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones
normales diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo.


Tabla N(0,1) Z es normal tipificada.

Calcular P[Z<1,85]

Solución: 0,968 = 96,8%

Bioestadística. U. Málaga. Tema 2: Modelos probabilísticos 41


Calcular P[Z<-0,54]

Solución: 1-0,705 = 0,295


Calcular P[-0,54<Z<1,85]

Solución: 0,968-0,295= 0,673


Ejemplo: Cálculo con probabilidades normales

 El colesterol en la población tiene distribución
normal, con media 200 y desviación 10.

 ¿Qué porcentaje de indivíduos tiene
colesterol inferior a 210?

 Qué valor del colesterol sólo es superado por
el 10% de los individuos.


 Todas las distribuciones normales son similares salvo traslación y cambio de
escala: Tipifiquemos.
x 210 200
z 1
10

P[Z 1,00] (ver tabla 0,841
)

 El valor del colesterol que sólo supera el 10% de los individuos es el percentil 90.
Calculemos el percentil 90 de la N(0,1) y deshacemos la tipificación.

x
z

x 200
1,28
10
x 200 10 1,28 212,8


Ejemplo: Tipificación
 Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de
sistemas educativos diferentes. Se asignará al que
tenga mejor expediente académico.
 El estudiante A tiene una calificación de 8 en un sistema
donde la calificación de los alumnos se comporta como
N(6,1).
 El estudiante B tiene una calificación de 80 en un sistema
donde la calificación de los alumnos se comporta como
N(70,10).
 Solución
 No podemos comparar directamente 8 puntos de A frente a
los 80 de B, pero como ambas poblaciones se comportan
de modo normal, podemos tipificar y observar las
puntuaciones sobre una distribución de referencia N(0,1)

xA A 8 6
zA 2
A 1
xB B 80 70
zB 1
B 10

Como ZA>ZB, podemos decir que el
porcentaje de compañeros del mismo
sistema de estudios que ha superado en
calificación el estudiante A es mayor que
el que ha superado B.
Podríamos pensar en principio que A es
mejor candidato para la beca.

¿Por qué es importante la distribución normal?
 Las propiedades que tiene la distribución normal son
interesantes, pero todavía no hemos hablado de por qué
es una distribución especialmente importante.

 La razón es que aunque una v.a. no posea distribución
normal, ciertos estadísticos/estimadores calculados
sobre muestras elegidas al azar sí que poseen una
distribución normal.

 Es decir, tengan las distribución que tengan nuestros
datos, los „objetos‟ que resumen la información de una
muestra, posiblemente tengan distribución normal (o
asociada).


Aplic. de la normal: Estimación en muestras
 Como ilustración
mostramos una variable
que presenta valores
distribuidos de forma muy
asimétrica. Claramente
no normal.

 Saquemos muestras de
diferentes tamaños, y
usemos la media de cada
muestra para estimar la
media de la población.


 Cada muestra ofrece un
resultado diferente: La media
muestral es variable aleatoria.

 Su distribución es más parecida
a la normal que la original.

 También está menos dispersa.
A su dispersión („desv. típica del
estimador media muestral‟…
¿os gusta el nombre largo?) se
le suele denominar error típico.



 Al aumentar el
tamaño, n, de la
muestra:

 La normalidad de las
estimaciones mejora

 El error típico
disminuye.


 Puedo „garantizar‟
medias muestrales tan
cercanas como quiera a
la verdadera media, sin
más que tomar „n
bastante grande‟

 Se utiliza esta propiedad
para dimensionar el
tamaño de una muestra
antes de empezar una
investigación.

Tema 2 Modelos probabilísticos 53

Resumen: Teorema del límite central
 Dada una v.a. cualquiera, si extraemos muestras de
tamaño n, y calculamos los promedios muestrales, entonces:

 dichos promedios tienen distribución
aproximadamente normal;

 La media de los promedios muestrales
es la misma que la de la variable original.

 La desviación típica de los promedios disminuye en un factor “raíz de n” (error
estándar).

 Las aproximaciones anteriores se hacen exactas cuando n tiende a infinito.

 Este teorema justifica la importancia de la distribución normal.

 Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie sobre una muestra
grande (n>30) nos va a aparecer de manera natural la distribución normal.

Distribuciones asociadas a la normal
 Cuando queramos hacer inferencia estadística hemos visto que la
distribución normal aparece de forma casi inevitable.

 Dependiendo del problema, podemos encontrar otras (asociadas):
 X2 (chi cuadrado)
 t- student
 F-Snedecor

 Estas distribuciones resultan directamente de operar con distribuciones
normales. Típicamente aparecen como distribuciones de ciertos
estadísticos.

 Veamos algunas propiedades que tienen (superficialmente). Para más
detalles consultad el manual.

 Sobre todo nos interesa saber qué valores de dichas distribuciones son
“atípicos”.
 Significación, p-valores,…


Chi cuadrado
 Tiene un sólo parámetro
denominado grados de libertad.

 La función de densidad es
asimétrica positiva. Sólo tienen
densidad los valores positivos.

 La función de densidad se hace
más simétrica incluso casi
gausiana cuando aumenta el
número de grados de libertad.

 Normalmente consideraremos
anómalos aquellos valores de la
variable de la “cola de la
derecha”.


T de student
 Tiene un parámetro denominado
grados de libertad.

 Cuando aumentan los grados de
libertad, más se acerca a N(0,1).

 Es simétrica con respecto al cero.

 Se consideran valores anómalos los
que se alejan de cero (positivos o
negativos).

Tema 2 : Modelos probabilísticos 57

F de Snedecor
 Tiene dos parámetros
denominados grados de
libertad.

 Sólo toma valores
positivos. Es asimétrica.

 Normalmente se consideran
valores anómalos los de la
cola de la derecha.


¿Qué hemos visto?
 En v.a. hay conceptos equivalentes a los de temas
anteriores
 Función de probabilidad  Frec. Relativa.
 Función de densidad  histograma
 Función de distribución  diagr. Integral.
 Valor esperado  media, …
 Hay modelos de v.a. de especial importancia:
 Bernoulli
 Binomial
 Poisson
 Normal
 Propiedades geométricas
 Tipificación
 Aparece tanto en problemas con variables cualitativas
(dicotómicas, Bernoulli) como numéricas
 Distribuciones asociadas
 T-student
 X2
 F de Snedecor

Bioestadística

 Tema 3: Muestreo

Tema 3: Muestreo 60

 Parte de los conceptos de la teoría del muestreo han sido discutidos con
anterioridad. Aquí los repasaremos y ampliaremos. Por ejemplo, hemos
mencionado que las poblaciones están formadas por individuos, pero
sería mejor denominarlas unidades de muestreo o unidades de estudio:
 Personas, células, familias, hospitales, países…

 La población ideal que se pretende estudiar se denomina población
objetivo.
 No es fácil estudiarla por completo. Aproximamos mediante muestras
que den idealmente la misma probabilidad a cada individuo de ser
elegido.
 Tampoco es fácil elegir muestras de la población objetivo:
 Si llamamos por teléfono excluimos a los que no tienen.
 Si elegimos indiv. en la calle, olvidamos los que están trabajando...

 El grupo que en realidad podemos estudiar (v.g. los que tienen teléfono)
se denomina población de estudio.

Tema 3: Muestreo 61

Fuentes de sesgo
 Las poblaciones objetivo y de estudio pueden diferir en
cuanto a las variables que estudiamos.
 El nivel económico en la población de estudio es mayor que en
la objetivo,...
 Los individuos que se eligen en la calle pueden ser de mayor
edad (mayor frecuencia de jubilados p.ej.)…
 En este caso, diremos que las muestras que se elijan estarán sesgadas.
Al tipo de sesgo debido a diferencias sistemáticas entre población
objetivo y población de estudio se denomina sesgo de selección.
 Hay otras fuentes de error/sesgo
 No respuesta a encuestas embarazosas
 Consumo de drogas, violencia doméstica, prácticas poco
éticas,…
 Mentir en las preguntas “delicadas”.

 Para evitar este tipo de sesgo se utilizan la técnica de
respuesta aleatorizada.
Tema 3: Muestreo 62

Técnicas de respuesta aleatorizada
 Reducen la motivación para mentir (o no responder) a las
encuestas.
 ¿Si digo la verdad, se me verá el plumero…?

 ¿Cómo se hace?
Pídele que lance una moneda antes de responder y…
 Si sale cara que diga la “opción compremetida”
 (no tiene por qué avergonzarse, la culpa es de la moneda)
 Si sale cruz que diga la verdad
 (no tiene por qué avergonzarse, el encuestador no sabe si ha
salido cara o cruz)

 Aunque no podamos saber cuál es la verdad en cada
individuo, podemos hacernos una idea porcentual sobre la
población, viendo en cuánto se alejan las respuestas del
50%.
Tema 3: Muestreo 63

Ejemplo: ¿Ha tomado drogas alguna vez?
Sin respuesta 100% No Insinseros!!
aleatorizada

Con respuesa
aleatorizada Diferencia entre los que han dicho sí y los que debían hacerlo
40% No por que así lo indicaba la moneda
60% Sí

¡No son mitad y mitad! * 0,6 0,5
p 0,2 20%
El porcentaje estimado de ind. que tomó drogas es: 1 0,5
Los que deben decir la verdad
Tema 3: Muestreo 64

Técnicas de muestreo
 Cuando elegimos individuo de una población de estudio
para formar muestras podemos encontrarnos en las
siguientes situaciones:
 Muestreos probabilistas
 Conocemos la probabilidad de que un individuo sea elegido para la
muestra.
 Interesantes para usar estadística matemática con ellos.
 Muestreos no probabilistas
 No se conoce la probabilidad.
 Son muestreos que seguramente esconden sesgos.
 En principio no se pueden extrapolar los resultados a la población.
 A pesar de ello una buena parte de los estudios que se publican usan
esta técnica. ¡Buff!
 En adelante vamos a tratar exclusivamente con muestreos
con la menor posibilidad de sesgo (probabilistas): aleatorio
simple, sistemático, estratificado y por grupos.

Tema 3: Muestreo 65

Muestreo aleatorio simple (m.a.s.)
 Se eligen individuos de la población de estudio, de
manera que todos tienen la misma probabilidad de
aparecer, hasta alcanzar el tamaño muestral deseado.

 Se puede realizar partiendo de listas de individuos de la
población, y eligiendo individuos aleatoriamente con un
ordenador.

 Normalmente tiene un coste bastante alto su aplicación.

 En general, las técnicas de inferencia estadística
suponen que la muestra ha sido elegida usando
m.a.s., aunque en realidad se use alguna de las que
veremos a continuación.
Tema 3: Muestreo 66

Muestreo sistemático
 Se tiene una lista de los individuos de la población de
estudio. Si queremos una muestra de un tamaño dado,
elegimos individuos igualmente espaciados de la lista,
donde el primero ha sido elegido al azar.

 CUIDADO: Si en la lista existen periodicidades,
obtendremos una muestra sesgada.

 Un caso real: Se eligió una de cada cinco casas para un estudio
de salud pública en una ciudad donde las casas se distribuyen en
manzanas de cinco casas. Salieron con mucha frecuencia las de
las esquinas, que reciben más sol, están mejor ventiladas,…

Tema 3: Muestreo 67

Muestreo estratificado
 Se aplica cuando sabemos que hay ciertos factores
(variables, subpoblaciones o estratos) que pueden influir
en el estudio y queremos asegurarnos de tener cierta
cantidad mínima de individuos de cada tipo:
 Hombres y mujeres,
 Jovenes, adultos y ancianos…

 Se realiza entonces una m.a.s. de los individuos de cada
uno de los estratos.

 Al extrapolar los resultados a la población hay que tener
en cuenta el tamaño relativo del estrato con respecto al
total de la población.
Tema 3: Muestreo 68

Muestreo por grupos o conglomerados
 Se aplica cuando es difícil tener una lista de todos los individuos
que forman parte de la población de estudio, pero sin embargo
sabemos que se encuentran agrupados naturalmente en grupos.

 Se realiza eligiendo varios de esos grupos al azar, y ya elegidos
algunos podemos estudiar a todos los individuos de los grupos
elegidos o bien seguir aplicando dentro de ellos más muestreos
por grupos, por estratos, aleatorios simples,…

 Para conocer la opinión de los médicos del sistema nacional de
salud, podemos elegir a varias regiones de España, dentro de ellas
varias comarcas, y dentro de ellas varios centros de salud, y…

 Al igual que en el muestreo estratificado, al extrapolar los
resultados a la población hay que tener en cuenta el tamaño
relativo de unos grupos con respecto a otros.
 Regiones con diferente población pueden tener probabilidades diferentes
de ser elegidas, comarcas, hospitales grandes frente a pequeños,…

Tema 3: Muestreo 69

Estimación
 Un estimador es una cantidad numérica calculada sobre una
muestra y que esperamos que sea una buena aproximación de
cierta cantidad con el mismo significado en la población
(parámetro).

 En realidad ya hemos trabajado con estimadores cada vez que
hacíamos una práctica con muestras extraídas de una población y
suponíamos que las medias, etc… eran próximas de las de la
población.

 Para la media de una población:
 “El mejor” es la media de la muestra.

 Para la frecuencia relativa de una modalidad de una variable:
 “El mejor” es la frecuencia relativa en la muestra.

Tema 3: Muestreo 70

¿Es útil conocer la distribución de un estimador?
 Es la clave para hacer inferencia. Ilustrémoslo con un ejemplo que ya
tratamos en el tema anterior (teorema del límite central).

 Si de una variable conocemos μ y σ, sabemos que para muestras
“grandes”, la media muestral es:
 aproximadamente normal,
 con la misma media y, EE
 desviación típica mucho menor (error típico/estándar) n

 Es decir si por ejemplo μ=60 y σ=5, y obtenemos muestras de tamaño
n=100,
 La desv. típica de la media muestral (error estándar) es EE=5/raiz(100)=0,5
 como la media muestral es aproximadamente normal, el 95% de los
estudios con muestras ofrecerían estimaciones entre 60±1
 Dicho de otra manera, al hacer un estudio tenemos una confianza del 95%
de que la verdadera media esté a una distancia de ±1.
Tema 3: Muestreo 71

 En el ejemplo anterior la situación no era muy
realista, pues como de todas maneras no
conozco σ desconoceré el intervalo exacto
para μ.

 Sin embargo también hay estimadores para σ y
puedo usarlo como aproximación.

 Para tener una idea intuitiva, analicemos el
siguiente ejemplo. Nos servirá como
introducción a la estimación puntual y por
intervalos de confianza.

Tema 3: Muestreo 72

 Ejemplo: Una muestra de n=100 individuos de una
población tiene media de peso 60 kg y desviación 5kg.
 Dichas cantidades pueden considerarse como aproximaciones
(estimaciones puntuales)
 60 kg estima a μ
 5 kg estima a σ
 5/raiz(n)= 0,5 estima el error estándar (típico) EE
 Estas son las llamadas estimaciones puntuales: un número concreto
calculado sobre una muestra es aproximación de un parámetro.

 Una estimación por intervalo de confianza es una que ofrece un
intervalo como respuesta. Además podemos asignarle una
probabilidad aproximada que mida nuestra confianza en la
respuesta:

 Hay una confianza del 68% de que μ esté en 60±0,5
 Hay una confianza del 95% de que μ esté en 60±1.

 Ojo: He hecho un poco de trampa. ¿La ves?
Tema 3: Muestreo 73

Estimación puntual y por intervalos
 Se denomina estimación puntual de un parámetro al ofrecido por el
estimador sobre una muestra.

 Se denomina estimación confidencial o intervalo de confianza para un
nivel de confianza 1-α dado, a un intervalo que ha sido construido de
tal manera que con frecuencia 1-α realmente contiene al parámetro.

 Obsérvese que la probabilidad de error (no contener al parámetro) es α.
 En el siguiente tema se llamará prob. de error de tipo I o nivel de significación.
 Valores típicos: α=0,10 ; 0,05 ; 0,01

 En general el tamaño del intervalo disminuye con el tamaño muestral y aumenta
con 1-α.

 En todo intervalo de confianza hay una noticia buena y otra mala:
 La buena: hemos usado una técnica que en % alto de casos acierta.
 La mala: no sabemos si ha acertado en nuestro caso.

Tema 3: Muestreo 74

Aplicación  Al final del tema 2 dejamos sin
Descriptivos para Número de hij os
interpretar parte de los
resultados.
Estadístico Error típ.
Media 1,90 ,045
Intervalo de Límite
1,81
 ¿Sabrías interpretar lo que
confianza para la inferior
media al 95%
falta por sombrear?
Límite
superior 1,99
 ¿Puedes dar un intervalo de
Media recortada al 5%
1,75
confianza para la media al
68% de confianza?
Mediana 2,00
Varianza 3,114
Desv. típ. 1,765  Observa la asimetría. ¿Crees
Mínimo 0 probable que la asimetría en la
Máximo 8 población pueda ser cero ya
Rango 8 que la obtenida en la muestra
Amplitud intercuartil es aprox. 1?
3,00

Asimetría 1,034 ,063
Curtosis 1,060 ,126
Tema 3: Muestreo 75

¿Qué hemos visto?
 Sesgo de selección
 Población objetivo
 Población de estudio
 Otros sesgos
 Técnica de respuesta aleatorizada
 Técnicas de muestreo
 No probabilistas
 Probabilistas
 m.a.s.
 Sistemático
 Estratificado
 Conglomerados
 Estimación
 Estimador
 Estimación puntual
 Error estándar
 Estimación confidencial
 Nivel de confianza 1-α

Tema 3: Muestreo 76

P(Z ≤ a) P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)

P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a) P(Z > −a) = P(Z ≤ a)

77

P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a) P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]

P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )

78

3 Si X es una variable aleatoria distribuida según una distribución
N(µ, σ), hallar:

p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)
p(µ−2σ ≤ X ≤ µ+2σ)
p(µ−σ ≤ X ≤ µ+σ)

79

p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)

80

p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)

81

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