Pendiente

1. Estudio ab-initio de la estabilidad
del compuesto YInN
DFT método de primeros principios para determinar el estado
base de un sistema de muchos átomos

2. nuelnuel HHHH −
∧∧∧∧
++=
),(),( RrERrH

ψψ =
Inconvenientes :
1. Sistema multicompuesto de muchas partículas.
2. factores multiplicativos ya que existen correlaciones
coulombianas que mezclan las coordenadas.
Y la ecu. 1.1 no se puede desacoplar en un conjunto de
ecuaciones independientes en sí.
ψ
1.1
Según la teoría, todas las propiedades se pueden encontrar
solucionando la ecu de Schrödinger

3. 0)(
2
1
2 1
2
1 11,
2
2
2
=Ψ








−
−
+
−
+∇− ∑∑ ∑∑ == ==
i
M
I ij
i
N
i
N
j
N
ji ji
i rE
Rr
eZ
rr
e
m



1.1
Aproximación de Bohr-Oppenheimer
La dificultad para solucionar este problema está en la interacción
entre electrones.
Mas adelante, veremos como las posiciones atómicas se pueden
tomar como nuevos parámetros varacionales, al minimizar la
energía total del sistema con respecto al parámetro de red.

4. En los años 20 Hartree y Fock
La función de onda se toma como un determinante de Slater
de las distintas funciones de onda de un electrón.
Al calcular el valor esperado del Hamiltoniano con esta nueva
función de onda aparece un nuevo término, el de intercambio.
No considera efectos de correlación
Falla para representar la forma como N-1 electrones
afectan el electrón en cuestión.

5. Density Functional Theory (DFT)
La DFT se origina en 2 artículos en los años 60:
Hohenberg-Kohn (1964) – 4000 citas
Kohn-Sham (1965) – 9000 citas
A demostrado ser uno de los métodos más precisos para
describir el estado base de un sistema del estado sólido.

6. DFT
Soluciona el problema de un gas de electrones fuertemente
interactuante, en el problema de una partícula moviéndose
en un potencial efectivo no local, el cual no se conoce pero
se trabaja con aproximaciones locales.
local: el potencial solo depende de la densidad en un punto

7. Hohenber-Kohn
Probaron que , incluyendo intercambio y correlación,
de un gas de electrones es un funcional de la densidad electrónica.
El mínimo valor es la energía del estado base de la partícula
simple y la densidad que lleva este valor es la densidad del estado
base de la partícula simple. Phy.Rev.136(3B), 864(1964).
Kohm-Sham
Probaron que en un problema de muchos electrones se puede
representar exactamente mediante un conjunto de ecuaciones
autoconsistentes de un electrón. Phy,REV.140(4A),1133(1965).
)(ρE
)(ρE

8. ionionextHKXC EEEEEE −−−−−=
)()()()()()( ρρρρρρ ionionextXCHk EEEEEE −++++=
Ek de las partículas no interactuantes.
Eion-ion repulsión de Coulomb entre núcleos fijos

9. )()()()()(
21
2
2
rErrVrVrV
m
iii
N
i
xcHion

ϕϕ =





+++∇− ∑=
∑=
=
n
i
iir
1
*
)( ϕϕρ 
Vion (r ) potencial que experimenta un electrón en la posición r’
debido a una red rígida de iones.
Ei es la energía correspondiente a nivel de un solo electrón
Ecuaciones de Khon-Sham
sin aproximaciones

10. ( )
δρ
ρδ xc
xc
E
V =
Aproximación del Gradiente Generalizado (GGA)
Emplean la información de en un punto particular r,
del sistema de electrones interactuantes; y sus variaciones en
las cercanías de r,
[ ] ( )( ) ( ) ( )( )∫ ∇=∇ rrFrrdE xc
GGA
XC

ρρρρρ ,,
( )r

ρ
( )r

ρ∇

11. LAPW
Particionado la celda unitaria en esferas atómicas (I) y una región interdistal (II).
( )r

ϕ
lmlm BA , Son coeficientes de expansión
)(rYlm
 Función radial
( )[ ]∑ +=
lm
lmlllmlllmk rYErUBErUAr )(,),()( ,1,1

ϕ
rkGiC
V
r
G
Gk

•+= ∑ )(exp
1
)(ϕ

13. ( ) ∑=
k
kkCr ϕϕ 
La primera zona de Brillouin se divide en valores de k discretos, cada
uno de los cuales genera una base en la que se diagonaliza el
Hamiltoniano del sistema,obteniéndose los autovalores posibles de
energía, para un solo k, con una sola diagonalización.
WIEN 97
Ahora se puede resolver autoconsistentemente las ecuaciones de
KS.
La función de onda total será una combinación lineal de estas
funciones base.

14. Celdas unitarias usadas para el calculo de YInN

15. ( ) ( )xaaaÅxa InNYNInNYInN −+=+= 167.0308.3
Ley lineal de Vegard

16. Propiedades estructurales para YInN en la fase NaCl
Parámetro
s
InN Y0.25
In0.75
N Y0.5
In0.5
N Y0.75
In0.25
N YN
a( Å ) 3.31 3.37 3.42 3.44 3.49
V ( Å3
) 25.61 27.18 28.27 28.97 29.89
B0
( Gpa ) 160 145 148 152 157
E0
( eV ) -6.32 -7.42 -9.26 -11.15 -13.10

17. Radios covalentes
Y: 1.62 Å, N: 0.75Å, In: 1.44Å.
El compuesto es más estable en
YN

18. Y0.75
In0.25
N
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
5
10
15
Energy(eV)
Y0.75
In0.25
N
0
1
2
3
4
N2s
0
1
2
3
4
N2p
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
Ys
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Y4p
0
1
2
3
4
Y4d
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
In5s
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
In5p
0
10
20
30
40
50
In4d
Hay una fuerte hibridación entre los estados N, Y y el In

19. YN Y0.75
In0.25
N Y0.5
In0.5
N Y0.25
In0.75
N
Energías de los electrones en función del vector de onda k tomando a
lo largo de algunas direcciones de alta simetría en la zona de Brillouin
para un cristal fcc.

20. REFERENCIAS
[1] John P. Perdew, Kieron Burke, Matthias Ernzerhof, Phys. Rev.
Lett., 77, 3865-3868, (1996).
[2] V.A. Gubanov, A.L. Ivanovsky, V.P. Zhukov. Electronic Structure
of Refractory Carbides and Nitrides. Cambridge University Press, 1994.
[3] P.Holoway, G. Mc Guire. Handbook of compound semiconductors.
Noyes publ., 1995
[4] H. Pierson. Handbook of refractory carbides and nitrides.
Noyes publ. N. J. USA, 1996.
[5] L.A. Mancera, J.A. Rodriguez, N. Takeuchi, Estudio Mediante
FP-LAPW de las propiedades Estructurales y Electrónicas de los
compuestos YN, GaN e InN. Universidad Nacional de Colombia, Bogotá,(2003).
[6] P. Blaha, K. Schwarz, and J. Luitz, WIEN97,
A Full Potential Linearized Augmented PlaneWave Package for
Calculating Crystal Properties (Karlheinz Schwarz, Techn.
Universit¨at Wien, Austria), 1999. ISBN 3-9501031-0-4 P. Blaha, K. Schwarz,
P. Sorantin, and S. B. Trickey, in Comput. Phys. Commun. 59, 399 (1990).