Université Louis Pasteur                                             Année Universitaire 2007/2008
    Faculté des Science...
(3) 	 J' (4) si J (x) = IOn..).
 (4) 	 k'(4) si k(x)::::::/2(x) xg(x).
 (5) 	 En supposant que      1 est bijective, calcu...
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(b) Application:
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          (i) Calculer de l'élasticité Er (x) :



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(3) Calcul de j' (4) :




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  1. 1. Université Louis Pasteur Année Universitaire 2007/2008 Faculté des Sciences Economiques Licence 1ère année Economie-Gestion Et de Gestion de Strasbourg j Contrôle Terminal du jeudi 17 janvier 2008 UE MATHEMATIQUES Matière: « Mathématiques 1 » Sujet de: André RUBIO Durée: 2 heures Exercice 1. - Le tableau incomplet de valeurs qui suit est relatif à la fonction f (x) = Ax" x image de x 20 120 22 156 24,2 Y (1) Trouver la valeur de Y. Vous devez utiliser exclusivement un argument portant sur les accroissements. (2) Déterminer A et a : en donner les valeurs arrondies à 10- 3 près. Exercice 2. Les deux questions suivantes sont indépendantes. (1) Déterminer la fonction f de la variable t = le temps mesuré en année, qui a un taux de croissance instantané constant, qui triple tout les quatre ans et telle que 1 (0) 100. (2) (a) Exprimer l'élasticité Ef/g (x) de la fonction t au point x en fonction des élasticités Ef (x) et 9 Eg (x). Il est demandé de démontrer cette relation (b) Application: (i) Calculer l'élasticité de la fonction l définie par l (x) ;;: x. f (x) (ii) En déduire une expression de l'élasticité au point x de la fonction h définie par h (x) x en fonction de Ef (x). Exercice 3. - Soit.f la fonction suivante, définie sur l'intervalle 1= [-1/3, +oo[ 1 (x) = (3x + 1)5/4 (1) Déterminer 1 (1). (2) Montrer que la fonction réciproque 1- 1 existe et déterminer 1- 1 (x) pour x E 1 (1). Exercice 4. - En vous référant aux données du tableau ci-dessous à propos des fonctions 1 et 9 et de leurs dérivées x 1 2 3 4 1 (x) 3 2 1 3 f' (x) 1 4 2 3 g(x) 2 1 4 2 gl (x) 4 2 3 1 trouver les valeurs suivantes : (1) m' (4) si m (x) ;;: ln [~ i:?] . (2) hl (4)sih(x) exp[/(x)-2g(x)].
  2. 2. (3) J' (4) si J (x) = IOn..). (4) k'(4) si k(x)::::::/2(x) xg(x). (5) En supposant que 1 est bijective, calculer (1-1)' (1) . Exercice 5. - Soit 1 (x) ln (1- x). (1) Ecrire la formule de Taylor-Young à l'ordre 1 au voisinage de 0 pour la fonction 1 (x). En déduire une approximation de 1 (0,01) = ln (0, 99) . Il s'agit de l'approximation linéaire. (2) Ecrire la formule de Taylor-Young à l'ordre 2 au voisinage de 0 pour la fonction 1 (x). En déduire une approximation de 1 (0,01) = ln (0,99) . Exercice 6. - Si a '" 0 et b sont deux paramètres, on définit la fonction 1 pour x E lR par I(x) = (ax+b)e X (1) Calculer la dérivée première f' (x). Ecrire cette dérivée sous la forme f' (x) = e"'h (x) où h est une fonction à préciser. (2) Calculer la dérivée seconde f" (x). Ecrire cette dérivée sous la forme f" (x) = eXg (x) où 9 est une fonction à préciser. (3) En appliquant les conditions nécessaires du premier et second ordre, donner les relations que doivent vérifier les paramètres a et b si l'on veut que cette fonction 1 présente au point x = 0 un maximum local. Indication: écrire b en fonction de a. Dans la suite de l'exercice a et b vérifient les conditions trouvées dans la question (3). (4) Dans ces conditions, montrer qu'au point x 0 on a en fait un maximum global. Pour cela, dresser le tableau de variation. (5) Montrer que cette fonction admet un point d'inflexion. (6) Calculer la limite en +00. On admettra que x----oo 1 (x) = O. lim (7) Représenter graphiquement cette fonction dans le cas où a = -1. 1 Fin du sujet 1 l ' 1
  3. 3. · Université Louis Pasteur Année Universitaire 2007/2008 Faculté des Sciences Economiques Licence 1ère année Economie-Gestion Et de Gestion de Strasbourg Contrôle Terminal du jeudi 17 janvier 2008 UE MATHEMATIQUES Matière: « Mathématiques 1 » Sujet de : André RUBIQ Durée: i heures IDENTIFICATION DE L'ETUDIANT AMPHI: PLACE: ! '--~--'---' CODEANONYMAT:~I~~__~~~__~~_ ATTENTION: Si vous faites une erreur dans votre code vous ne pourrez plus être identifié! Exercice 1. ­ (1) Calcul de Y : (2) Calcul de A et a à 10-3 près : Exercice 2. (1) Détermination de la fonction f (2) (a) Expression de l'élasticité Ef/g (x) en fonction des élasticités (x) et Eg (x) 1
  4. 4. (b) Application: • (i) Calculer de l'élasticité Er (x) : (ii) Expression de l'élasticité Eh (x) en fonction de El (x) : Exercice 3. ­ (1) Détermination de 1(/) : (2) Preuve que la fonction réciproque 1- 1 existe et calcul de r l (x) pour x E 1 (1) : Exercice 4. ­ (1) Calcul de m' (4) : (2) Calcul de h' (4) :
  5. 5. (3) Calcul de j' (4) : (4) Calcul de k' (4) : (5) Calcul de (1-1)' (1) : Exercice 5. ­ (1) Formule de Taylor-Young à l'ordre 1 au voisinage de ° puis approximation de f (0,01) ln (0,99) : (2) Formule de Taylor-Young à l'ordre 2 au voisinage de ° puis approximation de f (0,01) = ln (0,99) : Exercice 6. ­ (1) Calcul de la dérivée première f' (x) sous la forme f' (x) e"'h (x) : 3 1... l
  6. 6. • fil (2) Calculer de la dérivée seconde f" (x) sous la forme f" (x) ;; e"'g (x) : (3) Relations que doivent vérifier les paramètres a. et b si l'on veut que cette fonction f présente au point x = 0 un maximum local : (4) Preuve que dans ces conditions, la fonction admet au point x 0 un maximum global: (5) Preuve que cette fonction admet un point d'inflexion: (6) Calcul de lim x-++oo f (x) : (7) Représentation graphique dans le cas où a. = -1 :

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