Rama Ch6

Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng
Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 6: Löïa choïn daïng haøm soá vaø kieåm
ñònh ñaëc tröng moâ hình

CHÖÔNG 6

Löïa Choïn Daïng Haøm Soá vaø
Kieåm Ñònh Ñaëc Tröng Moâ Hình
Trong Chöông 4 vaø 5 chuùng ta ñaõ nghieân cöùu söï hoài qui boäi trong ñoù bieán phuï thuoäc ñang quan
taâm (Y) quan heä vôùi nhieàu bieán ñoäc laäp (Xs). Söï löïa choïn caùc bieán ñoäc laäp seõ döïa theo lyù thuyeát
kinh teá, tröïc giaùc, kinh nghieäm quaù khöù, vaø nhöõng nghieân cöùu khaùc. Ñeå traùnh söï thieân leäch cuûa
bieán bò loaïi boû nhö ñaõ thaûo luaän tröôùc ñaây; nhaø nghieân cöùu thöôøng theâm vaøi bieán giaûi thích maø
ngôø raèng coù aûnh höôûng ñeán bieán phuï thuoäc. Tuy nhieân; moái quan heä giöõa Y vaø caùc bieán X
nghieân cöùu cho ñeán giôø vaãn giaû söû laø tuyeán tính. Ñaây hieån nhieân laø raøng buoäc nghieâm ngaët vaø
khoâng thöïc teá treân moät moâ hình. Trong öùng duïng Phaàn 3.11, chuùng ta löu yù raèng bieåu ñoà phaân
taùn quan saùt ñöôïc giöõa soá löôïng baûn quyeàn phaùt haønh vaø chi phí nghieân cöùu phaùt trieån (Hình
3.11) cho thaáy moái quan heä theo ñöôøng cong. Ta thaáy raèng giaû thieát tuyeán tính ñaõ cho döï ñoaùn
xaáu trong vaøi naêm. Beân caïnh caùc söï vieäc quan saùt thöïc nghieäm cuûa daïng naøy, thöôøng coøn coù
nhöõng lyù leõ lyù thuyeát toát cho vieäc xem xeùt caùc daïng haøm toång quaùt cuûa moái quan heä giöõa caùc
bieán phuï thuoäc vaø ñoäc laäp. Ví duï, lyù thuyeát kinh teá cho chuùng ta bieát raèng ñöôøng cong chi phí
trung bình coù daïng chöõ U, vaø do vaäy giaû thieát tuyeán tính laø ñaùng ngôø neáu ta muoán öôùc löôïng
ñöôøng cong chi phí trung bình.
Trong chöông naøy, chuùng ta khaûo saùt moät caùch chi tieát ñaùng keå caùc caùch thaønh laäp vaø öôùc
löôïng caùc quan heä phi tuyeán. Ñeå coù theå veõ caùc ñoà thò, nhieàu caùch trình baøy chæ giaûi quyeát duy
nhaát moät bieán giaûi thích. Ñaây chæ ñôn thuaàn laø moät phöông caùch mang tính sö phaïm. Trong caùc
ví duï vaø öùng duïng chuùng ta seõ giaûm nheï raøng buoäc naøy.
Chöông naøy cuõng thaûo luaän vaøi phöông phaùp tieán haønh caùc kieåm ñònh ñaëc tröng moâ hình
chính thöùc. Ñaëc bieät, caùc phöông phaùp “toång quaùt ñeán ñôn giaûn” vaø “ñôn giaûn ñeán toång quaùt”
ñöôïc ñeà caäp trong Chöông 1 seõ ñöôïc thaûo luaän, vaø goïi laø thuû tuïc Ramsey’s RESET (1969).

6.1 OÂn Laïi Caùc Haøm Logarit vaø Haøm Muõ

Caùc haøm muõ vaø logarit laø hai trong soá caùc haøm ñöôïc duøng phoå bieán nhaát trong laäp moâ hình. Vì
lyù do naøy, seõ höõu ích khi oân laïi nhöõng tính chaát cô baûn cuûa caùc haøm naøy tröôùc khi söû duïng
chuùng.
Haøm Y = aX (a > 0) laø moät ví duï cuûa moät haøm muõ. Trong haøm naøy, a laø cô soá cuûa haøm vaø
X laø soá muõ. Trong toaùn hoïc, cô soá thoâng thöôøng nhaát duøng trong moät haøm muõ laø haèng soá toaùn
hoïc e ñöôïc xaùc ñònh bôûi

Ramu Ramanathan 1 Thuïc Ñoan/Haøo Thi


n
 1
e = lim1 +  = 2,71828...
n →∞
 n
X
Vaäy haøm muõ chuaån coù daïng Y = e , vaø cuõng ñöôïc vieát döôùi daïng exp(X). Haøm nghòch cuûa
haøm muõ goïi laø haøm logarit. Logarit cô soá a cho tröôùc (phaûi laø soá döông) cuûa moät soá ñöôïc ñònh
nghóa laø khi luõy thöøa logarit cuûa cô soá seõ cho chính soá ñoù. Ta vieát X = logaY. Ví duï, vì 32 = 25,
logarit cô soá 2 cuûa 32 laø 5. Logarit cô soá e ñöôïc goïi logarit töï nhieân vaø kyù hieäu laø Y = lnX,
maø khoâng caàn ghi roõ cô soá. Löu yù raèng ln 1 = 0 bôûi vì e0 = 1. Moät soá tính chaát cuûa haøm muõ vaø
logarit ñöôïc lieät keâ döôùi ñaây.

Tính chaát 6.1
a. Haøm logarit vaø haøm muõ laø ñôn ñieäu taêng; nghóa laø, neáu a > b, thì f(a) > f(b), vaø ngöôïc laïi.
b. Logarit cuûa tích hai soá baèng toång logarit; nghóa laø, ln(XY) = lnX + lnY. Cuõng vaäy, logarit
cuûa tyû soá laø hieäu cuûa caùc logarit. Vaäy, ln(X/Y) = lnX – lnY. Theo ñoù ln(1/X) = – lnX.
c. ln(aX) = Xln a. Theo ñoù aX = eXln a.
d. aXaY = aX+Y vaø (aX)Y = aXY.

Khoâng nhö ñöôøng thaúng, coù ñoä doác khoâng ñoåi, haøm soá toång quaùt f(X), nhö haøm muõ vaø logarit,
coù ñoä doác thay ñoåi. Söï thay ñoåi cuûa Y theo thay ñoåi ñôn vò cuûa X laø taùc ñoäng caän bieân cuûa X
leân Y vaø thöôøng kyù hieäu bôûi ∆Y/∆X (xem Hình 2.A vaø phaàn thaûo luaän lieân quan). Neáu söï thay
ñoåi cuûa X voâ cuøng nhoû, ta coù ñoä doác cuûa tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong f(X) taïi ñieåm X. Ñoä doác
giôùi haïn naøy ñöôïc xem laø ñaïo haøm cuûa Y ñoái vôùi X vaø ñöôïc kyù hieäu bôûi dY/dX. Vaäy ñaïo haøm
laø taùc ñoäng caän bieân cuûa X leân Y vôùi söï thay ñoåi raát nhoû cuûa X. Ñoù laø moät khaùi nieäm voâ cuøng
quan troïng trong kinh teá löôïng, bôûi vì ta luoân hoûi söï thay ñoåi kyø voïng cuûa bieán phuï thuoäc laø gì
khi ta thay ñoåi giaù trò cuûa moät bieán ñoäc laäp vôùi moät löôïng raát nhoû. Caùc tính chaát cuûa caùc ñaïo
haøm ñöôïc toùm taét trong Tính chaát 2.A.5 vaø ñaùng ñeå nghieân cöùu. Tính chaát 6.2 lieät keâ moät ít
tính chaát cuûa haøm muõ vaø logarit maø raát höõu ích trong kinh teá löôïng. Hình 6.1 minh hoïa baèng ñoà
thò hai haøm soá naøy.

Tính chaát 6.2
a. Haøm muõ vôùi cô soá e coù tính chaát ñaëc bieät laø noù baèng vôùi ñaïo haøm cuûa chính noù. Vaäy, neáu Y
= eX, thì dY/dX = eX.
b. Ñaïo haøm cuûa eaX laø aeaX.
c. Ñaïo haøm cuûa ln X baèng 1/X.
d. Ñaïo haøm cuûa aX baèng aXln a. Keát quaû naøy coù ñöôïc töø cô sôû laø aX = eXlna vaø tính chaát ñaïo
haøm cuûa ebX = bebX.



Hình 6.1 Ñoà Thò cuûa Haøm Muõ vaø Logarit

exp (X)
25

20

15

10

5

0
X
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

a. Ñoà thò cuûa Y = exp(X)

ln (X)
1.5

1

0.5

0 X
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

b. Ñoà thò cuûa Y = ln(X)



Khaùi Nieäm cuûa Ñoä Co Giaõn

Logarit coù töông quan raát gaàn vôùi khaùi nieäm cuûa ñoä co giaõn ñöôïc duøng trong kinh teá. Ta seõ
thaáy trong caùc phaàn sau raèng khaùi nieäm naøy cuõng ñöôïc söû duïng roäng raõi trong kinh teá löôïng
thöïc nghieäm. Theo thuaät ngöõ ñôn giaûn, ñoä co giaõn cuûa Y ñoái vôùi X ñöôïc ñònh nghóa laø phaàn
traêm thay ñoåi cuûa Y ñoái vôùi moät phaàn traêm thay ñoåi cuûa X cho moät thay ñoåi nhoû cuûa X. Vaäy neáu
∆Y laø söï thay ñoåi cuûa Y, phaàn traêm thay ñoåi laø 100∆Y/Y. Töông töï, 100∆X/X laø phaàn traêm
thay ñoåi cuûa X. Tyû soá cuûa soá ñaàu ñoái vôùi soá sau laø ñoä co giaõn. Ñieàu naøy ñöa ñeán ñònh nghóa
sau.

Baûng 6.1 Caùc Taùc Ñoäng Caän Bieân vaø Ñoä Co Giaõn cuûa caùc Daïng Haøm Khaùc Nhau

Teân Daïng Haøm Taùc Ñoäng Caän Bieân Ñoä Co Giaõn
(dY/dX) [(X/Y)(dY/dX)]
Tuyeán tính Y = β1 + β2X β2 β2X/Y
Logarit – tuyeán tính Y = β1 + β2 lnX β2/X β2/Y
Nghòch ñaûo Y = β1 + β2 (1/X) – β2/X2 – β2/(XY)
Baäc hai Y = β1 + β2X + β3X2 β2 + 2β3X (β2 + 2β3X)X/Y
Töông taùc Y = β1 + β2X + β3XZ β2 + β3Z (β2 + β3Z)X/Y
Tuyeán tính-logarit lnY = β1 + β2X β2Y β2X
Nghòch ñaûo – logarit lnY = β1 + β2 (1/X) – β2 Y/X2 – β2/X
Baäc hai – logarit lnY = β1 + β2X + β3X2 Y(β2 + 2β3X) X(β2 + 2β3X)
Log-hai laàn lnY = β1 + β2 lnX β2Y/X β2
(log-log)
Logistic  Y  β2Y(1-Y) β2(1-Y)X
ln   = β1 + β 2 X
1 − Y 

ÑÒNH NGHÓA 6.1

Ñoä co giaõn cuûa Y ñoái vôùi X (kyù hieäu laø η) laø

∆Y ∆X X ∆Y X dY
η= ÷ = → khi ∆X tieán veà 0. (6.1)
Y X Y ∆X Y dX

Baûng 6.1 coù caùc taùc ñoäng öùng caän bieân (dY/dX) vaø ñoä co giaõn [(X/Y)(dY/dX)] cuûa moät soá
daïng haøm coù theå choïn löïa trong chöông naøy. Löu yù raèng ñoâi khi caùc keát quaû naøy phuï thuoäc vaøo
X vaø/hoaëc Y. Ñeå tính toaùn chuùng, ngöôøi ta thöôøng thay theá giaù trò trung bình X vaø giaù trò döï
ˆ
ñoaùn töông öùng Y .

6.2 Quan Heä Logarit-Tuyeán Tính



Trong moät moâ hình logarit-tuyeán tính, bieán phuï thuoäc khoâng ñoåi nhöng bieán ñoäc laäp theå hieän
döôùi daïng logarit. Nhö vaäy,

Y = β1 + β2lnX + u (6.2)

Vôùi soá döông β1 vaø β2, Hình 6.2 minh hoïa ñoà thò quan heä nhö laø moät haøm phi tuyeán. Quan heä
naøy cho ∆Y/∆X = β2/X. Neáu β2 > 0, söï taêng caän bieân cuûa Y töông öùng vôùi söï taêng cuûa X laø moät
haøm giaûm cuûa X. Ta löu yù raèng

∆X β 2  ∆X  β 2
∆Y = β 2 = 100 = × thay ñoåi phaàn traêm cuûa X
X 100   X  100

Töø ñaây seõ cho moät ñieàu laø thay ñoåi moät phaàn traêm giaù trò bieán X seõ laøm thay ñoåi Y, trung bình,
β2/100 ñôn vò (khoâng phaûi phaàn traêm).

Hình 6.2 Daïng Haøm Logarit-Tuyeán Tính
Y

β1 + β2 lnX

X

Ví duï, goïi Y laø saûn löôïng luùa mì vaø X laø soá maãu troàng troït. Vaäy ∆Y/∆X laø saûn löôïng caän
bieân cuûa moät maãu troàng troït theâm. Ta giaû thuyeát raèng saûn löôïng caän bieân seõ giaûm khi dieän tích
taêng. Khi dieän tích thaáp, ta kyø voïng raèng vuøng ñaát maøu môõ nhaát seõ ñöôïc troàng troït tröôùc tieân.
Khi dieän tích taêng, nhöõng vuøng ít maøu môõ hôn seõ ñöôïc ñem söû duïng; saûn löôïng coù theâm töø
nhöõng vuøng naøy coù theå khoâng cao nhö saûn löôïng töø nhöõng vuøng ñaát maøu môõ hôn. Ñieàu naøy ñöa
ra giaû thuyeát söï giaûm saûn löôïng caän bieân cuûa dieän tích luùa mì. Laäp coâng thöùc logarit-tuyeán tính
giuùp chuùng ta coù theå hieåu thaáu moái quan heä naøy.

Ví duï khaùc, Goïi Y laø giaù cuûa moät caên nhaø vaø X laø dieän tích sinh hoaït. Xem xeùt 2 caên nhaø,
moät caên vôùi dieän tích sinh hoaït laø 1.300 boä vuoâng (square feet) vaø moät caên khaùc vôùi dieän tích



sinh hoaït 3.200 boä vuoâng. Ta kyø voïng raèng phaàn giaù taêng theâm maø moät ngöôøi tieâu duøng seõ saün
saøng traû cho 100 boä vuoâng theâm vaøo dieän tích sinh hoaït seõ cao khi X = 1.300 hôn laø khi X =
3.200. Ñieàu naøy laø bôûi vì caên nhaø sau ñaõ roäng saün, vaø ngöôøi mua coù theå khoâng muoán traû theâm
nhieàu ñeå taêng theâm dieän tích. Ñieàu naøy coù nghóa raèng taùc ñoäng caän bieân cuûa SQFT (dieän tích)
leân PRICE (giaù) kyø voïng seõ giaûm khi SQFT taêng. Moät caùch ñeå kieåm ñònh ñieàu naøy laø ñieàu
chænh moät moâ hình logarit-tuyeán tính vaø kieåm ñònh giaû thuyeát H0: β2 = 0 ñoái laïi giaû thuyeát H1:
β2 > 0. Ñieàu naøy seõ ñöôïc nhìn nhaän nhö laø moät kieåm ñònh moät phía. Quy taéc ra quyeát ñònh laø
baùc boû H0 neáu tc > t* n-2 (0,05). Ta löu yù töø Baûng 6.1 raèng trong moâ hình naøy ñoä co giaõn cuûa Y
ñoái vôùi X laø β2/Y. Ta coù theå tính toaùn ñoä co giaõn taïi giaù trò trung bình laø β2/ Y . Neáu döõ lieäu laø
chuoãi thôøi gian, ñoä co giaõn ñaùng quan taâm hôn laø ñoä co giaõn töông öùng vôùi quan saùt gaàn ñaây
nhaát – vôùi t = n. Ñoä co giaõn naøy laø β2/Yn.

Maëc duø nhöõng ví duï minh hoïa naøy vaãn laø caùc daïng moâ hình hoài qui ñôn giaûn, phaàn môû
roäng theâm cho tröôøng hôïp ña bieán laø khoâng phöùc taïp. Ñôn giaûn laø phaùt ra caùc logarit cuûa caùc
bieán giaûi thích thích hôïp, goïi chuùng laø Z1, Z2 v.v… vaø hoài qui bieán Y theo moät haèng soá vaø caùc
bieán Z.

BAØI TOAÙN THÖÏC HAØNH 6.1
Tìm bieåu thöùc ñoä co giaõn cuûa Y ñoái vôùi X trong caùc moâ hình tuyeán tính vaø phi tuyeán vaø chöùng
minh caùc muïc trong Baûng 6.1.

Veõ ñoà thò Phöông trình (6.2) khi β2 < 0 (ñeå ñôn giaûn giaû söû raèng β1 = 0).

VÍ DUÏ 6.1
Ta ñaõ öôùc löôïng moâ hình logarit-tuyeán tính söû duïng döõ lieäu giaù nhaø trong Baûng 4.1 (xem Phaàn
Maùy Tính Thöïc Haønh 6.1 giôùi thieäu caùch chaïy laïi caùc keát quaû cuûa ví duï naøy vaø kieåm tra nhöõng
khaúng ñònh ñaõ thöïc hieän ôû ñaây). Söï bieän luaän veà söï giaûm taùc ñoäng caän bieân aùp duïng nhö nhau
cho soá phoøng nguû vaø soá phoøng taém. Vì vaäy ta ñaõ phaùt ra caùc logarit cuûa caùc bieán SQFT,
BEDRMS, vaø BATHS vaø keá tieáp ñaõ hoài qui bieán PRICE theo moät haèng soá vaø nhöõng soá haïng
logarit naøy. Keá ñeán logarit cuûa BATHS vaø BEDRMS ñöôïc loaïi boû moãi laàn töøng bieán moät bôûi
vì heä soá cuûa chuùng raát khoâng coù yù nghóa. Moâ hình “toát nhaát” ñaõ ñöôïc choïn theo caùc tieâu chuaån
löïa choïn ñaõ thaûo luaän trong Chöông 4. Caùc phöông trình öôùc löôïng cuûa moâ hình tuyeán tính toát
nhaát vaø moâ hình logarit-tuyeán tính toát nhaát seõ ñöôïc trình baøy tieáp sau, vôùi caùc trò thoáng keâ t
trong ngoaëc.



PRICE = 52,351 + 0,139 SQFT
(1,4) (7,4)

R 2 = 0,806 d.f. = 12

PRICE = –1.749,974 + 299,972 ln(SQFT) – 145,094 ln(BEDRMS)
(-6,8) (7,5) (-1,7)

R 2 = 0,826 d.f. = 11

Ta löu yù raèng giaù trò R 2 hôi cao hôn ñoái vôùi moâ hình logarit-tuyeán tính. Moâ hình naøy cuõng
coù caùc trò thoáng keâ löïa choïn moâ hình thaáp nhaát. Tuy nhieân, heä soá cho logarit cuûa BEDRMS chæ
coù yù nghóa ôû möùc 11,48 phaàn traêm. Neáu soá haïng naøy bò loaïi boû, caùc trò thoáng keâ löïa choïn seõ
xaáu ñi ñaùng keå, vaø do ñoù ta ñaõ choïn giöõ noù laïi. Heä soá hoài qui cho ln(SQFT) coù yù nghóa cao, vaäy
uûng hoä cho giaû thuyeát raèng taùc ñoäng caän bieân cuûa dieän tích sinh hoaït giaûm khi soá boä vuoâng
taêng. Heä soá cho logarit cuûa BEDRMS coù giaù trò aâm gioáng nhö ñoái vôùi moâ hình tuyeán tính,
nhöng taùc ñoäng cuûa heä soá naøy laø yeáu veà maët thoáng keâ.

Tính ñoä co giaõn töøng phaàn cuûa PRICE ñoái vôùi SQFT cho caùc moâ hình öôùc löôïng logarit-tuyeán
tính vaø tuyeán tính khi SQFT laø 1.500, 2.000 vaø 2.500. Laøm theá naøo chuùng so saùnh vôùi nhau?

Hình 6.3 Quan Heä Nghòch Ñaûo

Y

β1
X



6.3 Bieán Ñoåi Nghòch Ñaûo

Moät daïng haøm thöôøng ñöôïc söû duïng ñeå öôùc löôïng ñöôøng cong nhu caàu laø haøm bieán ñoåi nghòch
ñaûo:

1
Y = β1 + β 2   + u
X
Bôûi vì ñöôøng cong nhu caàu ñaëc thuø doác xuoáng, ta kyø voïng β2 laø döông. Löu yù raèng khi X trôû
neân lôùn, Y tieäm caän tieán gaàn vôùi β1 (xem Hình 6.3). Daáu vaø ñoä lôùn cuûa β1 seõ xaùc ñònh ñöôøng
cong coù caét truïc X hay khoâng.

Veõ ñoà thò haøm nghòch ñaûo vôùi β2 < 0, β1 > 0.

6.4 Thích Hôïp Ñöôøng Cong Ña Thöùc

Caùc nhaø nghieân cöùu raát thöôøng duøng moät ña thöùc ñeå lieân heä moät bieán phuï thuoäc vôùi moät bieán
ñoäc laäp. Moâ hình naøy coù theå laø

Y = β1 + β2X + β3X2 + β4X3 + . . . + βk+1Xk + u

Thuû tuïc öôùc löôïng bao goàm taïo caùc bieán môùi X2, X3, v.v… qua caùc pheùp bieán ñoåi vaø keá ñeán hoài
qui Y theo moät soá haïng haèng soá, theo X, vaø theo caùc bieán ñaõ bieán ñoåi naøy. Möùc ña thöùc (k) bò
raøng buoäc bôûi soá quan saùt. Neáu k = 3, ta coù quan heä baäc ba; vaø neáu k = 2, ta coù coâng thöùc baäc
hai. Caùc coâng thöùc baäc hai thöôøng ñöôïc söû duïng ñeå ñieàu chænh caùc haøm chi phí coù daïng chöõ U
vaø caùc quan heä phi tuyeán khaùc. Moät ñöôøng cong baäc ba thöôøng ñöôïc laøm thích hôïp gaàn ñuùng
vôùi hình daïng trong Hình 6.9 (xem phaàn moâ hình logit). Nhìn chung, baäc ña thöùc lôùn hôn 2 neân
traùnh. Moät trong caùc lyù do laø thöïc teá moãi soá haïng ña thöùc ñoàng nghóa vôùi vieäc maát ñi theâm moät
baäc töï do. Nhö ñaõ ñeà caäp trong Chöông 3, söï maát ñi baäc töï do nghóa laø giaûm söï chính xaùc cuûa
caùc öôùc löôïng caùc thoâng soá vaø giaûm khaû naêng cuûa caùc kieåm ñònh. Cuõng vaäy, ta ñaõ thaáy trong
Chöông 5 raèng moái töông quan cao coù theå coù giöõa X, X2, vaø X3 laøm cho caùc heä soá rieâng leû keùm
tin caäy hôn.
Söû duïng caùc tính chaát veà ñaïo haøm (xem Tính chaát 2.A.5), ta coù theå cho thaáy raèng taùc
ñoäng caän bieân cuûa X leân Y ñöôïc xaùc ñònh bôûi

dY/dX = β2 + 2β3X + 3β4X2 + . . . + kβk+1Xk-1



Moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa daïng haøm ña thöùc laø moâ hình baäc hai

Y = β 1 + β 2X + β 3X 2 + u

Taùc ñoäng caän bieân cuûa X leân Y, nghóa laø ñoä doác cuûa quan heä baäc hai, ñöôïc xaùc ñònh bôûi
dY/dX = β2 + 2β3X. Löu yù raèng taùc ñoäng caän bieân cuûa X leân Y phuï thuoäc vaøo giaù trò cuûa X maø
taïi ñoù ta tính taùc ñoäng caän bieân. Moät giaù trò phoå bieán ñöôïc duøng laø giaù trò trung bình, X . Nhö
ñaõ cho thaáy trong phuï luïc Chöông 2, khi dY/dX = 0, haøm soá seõ hoaëc ñaït cöïc ñaïi hoaëc cöïc tieåu.
Giaù trò X taïi ñoù xaûy ra ñieàu naøy seõ coù ñöôïc töø vieäc giaûi ñieàu kieän β2 + 2β3X = 0 khi X0 = –
β2/(2β3). Ñeå xaùc ñònh xem haøm ñaït cöïc tieåu hay cöïc ñaïi, ta caàn phaûi tính ñaïo haøm baäc hai,
d2Y/dX2 = 2β3. Neáu β3 < 0, haøm soá seõ ñaït cöïc ñaïi taïi X0, vaø neáu β3 döông, haøm ñaït cöïc tieåu taïi
X0. Tieáp theo ta trình baøy hai ví duï: moät haøm chi phí trung bình coù quan heä daïng chöõ U (Hình
6.4) vaø moät haøm saûn xuaát coù quan heä daïng ñöôøng cong loài (hump-shaped) (Hình 6.5).

VÍ DUÏ 6.2
DATA6-1 ñaõ moâ taû trong Phuï luïc D coù döõ lieäu veà chi phí ñôn vò (UNITCOST) cuûa moät coâng ty
saûn xuaát treân moät thôøi ñoaïn 20 naêm, moät chæ soá xuaát löôïng cuûa coâng ty (OUTPUT), vaø moät chæ
soá chi phí nhaäp löôïng cuûa coâng ty (INPCOST). Tröôùc heát ta coù bình phöông hai bieán ñoäc laäp
vaø keá ñeán hoài qui UNICOST theo moät haèng soá, OUTPUT, OUTPUT2, INPCOST, vaø
INPCOST 2 (xem Phaàn Maùy Tính Thöïc Haønh 6.2 ñeå bieát theâm chi tieát veà ñieàu naøy). Bôûi vì
INPCOST2 coù heä soá voâ cuøng khoâng coù yù nghóa, noù bò loaïi boû vaø moâ hình ñöôïc öôùc löôïng laïi.

Caùc keát quaû ñöôïc cho sau ñaây, vôùi caùc trò thoáng keâ t trong ngoaëc.

UNITCOST = 10,522 – 0,175 OUTPUT + 0,000895 OUTPUT2
(14,3) (- 9,7) (7,8)
+ 0,0202 INPCOST
(14,454)

R 2 = 0,978 d.f. = 16

ˆ ˆ ˆ
Löu yù raèng ñoái vôùi moâ hình naøy β1 , β 3 > 0 vaø β 2 < 0, giaûi thích cho quan heä daïng chöõ U. Moâ
hình giaûi thích 97,8 phaàn traêm söï thay ñoåi trong chi phí trung bình. Deã daøng chöùng minh raèng
taát caû caùc heä soá hoài qui ñeàu voâ cuøng coù yù nghóa. Löu yù raèng nhöõng gì ta coù treân ñaây laø moät hoï
caùc ñöôøng cong chi phí trung bình ñöôïc di chuyeån theo caùc möùc chæ soá chi phí nhaäp löôïng.
Cuõng raát höõu ích khi veõ ñoà thò haøm chi phí ñôn vò cho moät chi phí nhaäp löôïng tieâu bieåu. Hình
6.4 laø haøm chi phí trung bình coù daïng chöõ U öôùc löôïng cho moät daõy xuaát löôïng vaø 3 möùc chi
phí nhaäp löôïng khaùc nhau (80, 115, vaø 150). Chuùng ñaït giaù trò nhoû nhaát taïi chæ soá xuaát löôïng
coù möùc 98 (haõy xaùc minh).



Hình 6.4 Caùc Haøm Chi Phí Trung Bình Öôùc Löôïng

VÍ DUÏ 6.3
DATA6-2 ñaõ moâ taû trong Phuï luïc D coù döõ lieäu haøng naêm veà vieäc saûn xuaát caù ngöø traéng
(Thunnus Alalunga) trong vuøng Basque cuûa Taây Ban Nha. Bieán xuaát löôïng (phuï thuoäc) laø toång
soá meû caù theo ñôn vò ngaøn taán vaø bieán nhaäp löôïng (ñoäc laäp) laø noã löïc ñaùnh caù ñöôïc ño löôøng
baèng toång soá ngaøy ñaùnh caù (ñôn vò laø ngaøn). Moâ hình öôùc löôïng laø (trò thoáng keâ t trong ngoaëc)

Catch = 1,642 Effort – 0,01653 Effort2
(17,1) (-8,0)

R 2 = 0,660 d.f. = 32

Phaàn Maùy Tính Thöïc Haønh 6.3 coù theå ñöôïc duøng ñeå xaùc minh ñieàu naøy. Löu yù raèng, bôûi vì meû
caù khoâng theå coù ñöôïc khi khoâng coù noã löïc, β1 veà lyù thuyeát phaûi baèng 0 cho moâ hình naøy. Ta
ˆ ˆ
haún thaáy raèng β 2 > 0 vaø β 3 < 0; do ñoù, haøm saûn xuaát seõ coù ñoà thò nhö Hình 6.5 vôùi giaù trò cöïc
ñaïi ñaït ñöôïc khi noã löïc laø 50.

BAØI TOAÙN THÖÏC HAØNH 6.5+

Söû duïng döõ lieäu giaù nhaø, haõy öôùc löôïng quan heä baäc hai sau giöõa giaù vaø boä vuoâng:

PRICE = β1 + β2SQFT + β3SQFT2 + u



Hình 6.5 Haøm Saûn Xuaát Öôùc Löôïng

Dieãn giaûi veà maët kinh teá cuûa giaû thuyeát β3 = 0 laø gì? Kieåm ñònh giaû thuyeát naøy ñoái laïi vôùi giaû
thuyeát H1: β3 < 0. Baïn coù keát luaän gì veà taùc ñoäng caän bieân cuûa SQFT leân PRICE? So saùnh moâ
hình naøy, theo caùc tieâu chuaån löïa choïn, vôùi moâ hình logarit-tuyeán tính ñöôïc öôùc löôïng trong Ví
duï 6.1 (xem Phaàn Maùy Tính Thöïc Haønh 6.4).


Haõy öôùc löôïng moâ hình PRICE = β1 + β2 ln SQFT + β3 BATHS + u, vaø so saùnh caùc keát quaû vôùi
caùc keát quaû trong Baûng 4.2 vaø trong Baøi Toaùn Thöïc Haønh 6.5.


Vôùi quan heä Y = β1 + β2X + β3X2, haõy xaùc minh ñoä doác vaø ñoä co giaõn cho trong Baûng 6.1.

6.5 Caùc Soá Haïng Töông Taùc
Taùc ñoäng caän bieân cuûa moät bieán giaûi thích ñoâi khi coù theå phuï thuoäc vaøo moät bieán khaùc. Ñeå
minh hoïa, Klein vaø Morgan (1951) ñaõ ñeà xuaát moät giaû thuyeát veà söï töông taùc cuûa thu nhaäp vaø
taøi saûn trong vieäc xaùc ñònh caùc daïng tieâu duøng. Hoï bieän luaän cho raèng xu höôùng tieâu duøng bieân
teá cuõng seõ phuï thuoäc vaøo taøi saûn – moät ngöôøi giaøu hôn coù theå coù xu höôùng bieân teá khaùc ñeå tieâu
duøng ngoaøi khoaûn thu nhaäp. Ñeå thaáy ñieàu naøy, goïi C = α + βY + u. Giaû thuyeát laø β, xu höôùng
tieâu duøng bieân teá, phuï thuoäc vaøo taøi saûn (A). Moät caùch ñôn giaûn cho pheùp thöïc hieän laø giaû söû
raèng β = β1 + β2A. Thay theá bieåu thöùc naøy vaøo haøm tieâu duøng, ta thu ñöôïc C = α + (β1 + β2A)Y
+ u. Ñieàu naøy bieán ñoåi thaønh moâ hình C = α + β1Y + β2(AY) + u. Soá haïng AY ñöôïc xem laø soá



haïng töông taùc bôûi vì noù bao goäp söï töông taùc giöõa caùc taùc ñoäng cuûa thu nhaäp vaø taøi saûn.
Nhaèm muïc ñích öôùc löôïng, ta taïo ra moät bieán môùi Z, baèng vôùi tích cuûa Y vaø A, vaø keá ñeán hoài
qui C theo moät haèng soá, Y, vaø Z. Neáu β2 coù yù nghóa veà maët thoáng keâ, thì coù daáu hieäu veà söï
töông taùc giöõa thu nhaäp vaø taøi saûn. Löu yù raèng trong ví duï naøy, ∆C/∆Y = β1 + β2A. Ñeå xaùc ñònh
taùc ñoäng caän bieân cuûa Y leân C, ta caàn coù giaù trò cuûa A.
Ví duï thöù hai, xeùt quan heä Et = α + βTt + ut, trong ñoù Et laø soá kilowatt giôø tieâu thuï ñieän vaø
Tt laø nhieät ñoä taïi thôøi ñieåm t. Neáu moâ hình naøy ñöôïc öôùc löôïng cho muøa heø, ta kyø voïng β seõ
döông bôûi vì, khi nhieät ñoä taêng vaøo muøa heø, thì nhu caàu duøng maùy laïnh seõ cao hôn vaø do ñoù
tieâu thuï ñieän seõ taêng. Tuy nhieân, ta coù theå giaû thuyeát raèng taùc ñoäng caän bieân cuûa T leân E coù theå
phuï thuoäc vaøo giaù ñieän (Pt). Neáu giaù ñieän laø ñaét, ngöôøi tieâu duøng coù theå hoaõn baät maùy laïnh
hoaëc taét sôùm hôn. Moät caùch ñeå kieåm ñònh taùc ñoäng naøy laø giaû söû raèng β = β1 + β2Pt. Vaäy ta
ñang giaû söû raèng taùc ñoäng caän bieân cuûa nhieät ñoä leân tieâu thuï ñieän phuï thuoäc vaøo giaù. Thay bieåu
thöùc naøy vaøo quan heä, ta coù

Et = α + (β1 + β2Pt)Tt + ut = α + β1Tt + β2(PtTt) + ut

Ñeå öôùc löôïng caùc thoâng soá, ta cho Zt = PtTt vaø hoài qui E theo moät haèng soá, T, vaø Z. Söï yù nghóa
cuûa β2 laø daáu hieäu cuûa moät taùc ñoäng töông hoã giöõa nhieät ñoä vaø giaù. Löu yù raèng ∆E/∆P = β2T;
nghóa laø, taùc ñoäng caän bieân cuûa P leân E phuï thuoäc vaøo nhieät ñoä. Neáu ta cho α cuõng phuï thuoäc
vaøo P, moâ hình trôû thaønh

Et = α1 + α2Pt + β1Tt + β2(PtTt) + ut

Trong caùc chöông sau, ta coù vaøi ví duï veà caùc taùc ñoäng töông hoã nhö vaäy.

Phi Tuyeán Giaû Taïo

Ñeå nhaän bieát söï phi tuyeán coù theå coù, ta coù theå thöû veõ ñoà thò Y theo moät bieán ñoäc laäp cuï theå (X)
vaø quan saùt xem coù söï phi tuyeán naøo xaûy ra hay khoâng. Ñaây laø thuû tuïc nguy hieåm bôûi vì noù coù
theå daãn ñeán ñaëc tröng sai moâ hình nghieâm troïng. Ví duï, giaû söû raèng Y laø tuyeán tính vôùi X, Z,
vaø soá haïng töông taùc XZ, vaäy ta coù

Y = β1 + β2X + β3Z + β4(XZ) + u vaø ∆Y/∆X = β2 + β4Z

Trong tính toaùn taùc ñoäng caän bieân cuûa X leân Y, ta xem Z laø coá ñònh. Löu yù raèng taùc ñoäng caän
bieân cuûa X leân Y, nghóa laø ñoä doác, phuï thuoäc vaøo Z. Bieåu ñoà phaân taùn quan saùt thöïc nghieäm,
giöõa Y vaø X coù theå nhìn gioáng nhö Hình 6.6, coù veû nhö laø quan heä logarit-tuyeán tính giöõa Y vaø
X. Trong thöïc teá, ñieàu naøy laø do hai quan heä tuyeán tính giöõa Y vaø X vôùi caùc giaù trò khaùc nhau
cuûa Z (Z1 vaø Z2). Vaäy, thay vì veõ ñoà thò thöïc nghieäm quan saùt bieán Y theo moãi bieán X, baïn neân



coá gaéng moâ hình hoaù quaù trình phaùt döõ lieäu (DGP) duøng lyù thuyeát vaø tröïc giaùc veà haønh vi cô
baûn vaø keá ñeán tieán haønh kieåm ñònh ñaëc tröng. Trong Phaàn 6.13, 6.14, vaø 6.15, ta thaûo luaän vaøi
phöông phaùp ñeå kieåm ñònh caùc ñaëc tröng hoài qui.

Hình 6.6 Moät Ví Duï cuûa Phi Tuyeán Giaû Taïo

6.6 Hieän Töôïng Treã Trong Haønh Vi (Caùc Moâ Hình Ñoäng)

Caùc taùc ñoäng kinh teá vaø caùc bieán khaùc hieám khi xaûy ra töùc thôøi; phaûi toán thôøi gian ñeå ngöôøi
tieâu duøng, nhaø saûn xuaát, vaø caùc taùc nhaân kinh teá khaùc phaûn öùng. Lyù thuyeát kinh teá vó moâ cho ta
bieát raèng toång saûn löôïng quoác daân (GNP) caân baèng (Y) ñöôïc xaùc ñònh bôûi moät soá bieán ngoaïi
sinh, ñaëc bieät, bôûi chi tieâu chính phuû (G), thueá (T), cung tieàn (M), xuaát khaåu (X) v.v…. Bôûi vì
hieäu öùng caân baèng chæ giaûm ñöôïc sau moät khoaûng thôøi gian, caùc moâ hình kinh teá löôïng duøng döõ
lieäu daïng chuoãi thôøi gian thöôøng ñöôïc thaønh laäp vôùi hieän töôïng treã trong haønh vi. Moät ví duï
cuûa moâ hình nhö vaäy cho nhö sau:

Yt = β1 + β2Gt + β3Gt-1 + β4Mt + β5Mt-1 + β6Tt + β7Tt-1 + β8Xt + β8Xt-1 + ut

Thuû tuïc öôùc löôïng ôû ñaây hoaøn toaøn ñôn giaûn. Ñôn giaûn ta taïo caùc bieán coù hieäu öùng treã Gt-
1, Mt-1, Tt-1 vaø Xt-1 vaø hoài qui Yt theo caùc bieán naøy duøng quan saùt töø 2 ñeán n. Bôûi vì Gt-1 vaø caùc
bieán khaùc khoâng ñöôïc ñònh nghóa cho t = 1, ta maát quan saùt thöù nhaát trong öôùc löôïng. Tuy
nhieân, moät soá vaán ñeà phaùt sinh trong moâ hình naøy bôûi vì caùc bieán ñoäc laäp töông quan vôùi nhau
vaø cuõng do bôûi vì baäc töï do bò maát khi coù nhieàu hieäu öùng treã hôn theâm vaøo. Nhöõng vaán ñeà naøy
ñöôïc thaûo luaän chi tieát trong Chöông 10.
Hieän töôïng treã trong haønh vi coù theå coù daïng hieän töôïng treã trong bieán phuï thuoäc. Moâ hình
coù theå coù daïng



Yt = β1 + β2Yt-1 + β3Xt + β4Xt-1 + ut

Ví duï, goïi Yt laø chi tieâu taïi thôøi ñieåm t vaø Xt laø thu nhaäp. Bôûi vì ngöôøi tieâu duøng coù xu höôùng
duy trì möùc tieâu chuaån soáng thöôøng leä, ta coù theå kyø voïng söï tieâu duøng cuûa hoï lieân quan maät
thieát vôùi söï tieâu duøng tröôùc ñaây cuûa hoï. Vì vaäy, chuùng ta coù theå kyø voïng laø Yt cuõng phuï thuoäc
vaøo Yt-1. Cuï theå hôn, xem phöông trình sau:

Yt = β1 + β2Yt-1 + β3(Xt – Xt-1) + ut

Vì “caùc taäp quaùn thoùi quen” neân noùi chung ngöôøi tieâu duøng mieãn cöôõng thay ñoåi loái soáng cuûa
hoï, vaø do ñoù chuùng ta kyø voïng möùc tieâu thuï taïi thôøi ñieåm t (Yt) phuï thuoäc vaøo möùc tieâu thuï ôû
giai ñoaïn tröôùc ñoù (Yt-1). Tuy nhieân, neáu möùc thu nhaäp (Xt) thay ñoåi, ngöôøi tieâu duøng seõ ñieàu
chænh haønh vi tieâu duøng cuûa hoï töông öùng vôùi söï taêng hoaëc giaûm thu nhaäp. Do vaäy chuùng ta seõ
duøng moâ hình ñoäng ñöôïc xaây döïng ôû treân vaø kyø voïng raèng taát caû caùc heä soá seõ coù giaù trò döông.

VÍ DUÏ 6.4

Taäp döõ lieäu DATA6-3 (xem Phuï luïc D) laø döõ lieäu veà chi tieâu tieâu duøng caù nhaân ñaàu ngöôøi cuûa
Vöông Quoác Anh (C, ño baèng baûng Anh) vaø thu nhaäp tuøy duïng ñaàu ngöôøi (nghóa laø, thu nhaäp
caù nhaân tröø thueá, kyù hieäu laø DI, vaø cuõng ñöôïc tính theo ñôn vò baûng Anh). Ñeå ñieàu chænh taùc
ñoäng cuûa laïm phaùt, caû hai bieán naøy ñöôïc bieåu dieãn theo giaù trò thöïc (coøn ñöôïc goïi laø giaù khoâng
ñoåi). Moâ hình ñoäng öôùc löôïng ñöôïc trình baøy döôùi ñaây (xem Phaàn Thöïc Haønh Maùy Tính 6.5),
vôùi trò thoáng keâ t trong ngoaëc ñôn.

ˆ
C t = -46,802 + 1,022Ct-1 + 0,706 (DIt – DIt-1)
(-2.07) (123.0) (9.93)

R 2 = 0,998 df = 38

Maëc duø moâ hình ñaït ñöôïc söï thích hôïp raát toát vaø caùc öôùc löôïng coù veû hôïp lyù, moâ hình naøy coù
moät soá trôû ngaïi. Nhö seõ thaáy ôû Chöông 10 vaø 13 raèng moâ hình naøy vi phaïm tính ñoäc laäp chuoãi
cuûa Giaû thieát 3.6 vaø Giaû thieát 3.4 laø caùc bieán ñoäc laäp khoâng ñöôïc töông quan vôùi caùc soá haïng
sai soá. Ñaëc tröng sai naøy seõ laøm cho caùc trò öôùc löôïng bò thieân leäch. Chuùng ta seõ xem xeùt laïi
moâ hình naøy trong caùc chöông 10 vaø 13.

6.7 ÖÙng duïng: Quan Heä Giöõa Soá Baèng Saùng Cheá Vaø Chi Tieâu R&D (ñaõ duyeät laïi)



Trong Phaàn 3.11, chuùng ta ñaõ öôùc löôïng moâ hình hoài quy tuyeán tính ñôn giöõa soá baèng saùng cheá
vaø chi tieâu cho R&D vaø bieát raèng moâ hình naøy laø hoaøn toaøn khoâng ñuû vì bieåu ñoà phaân taùn cuûa
caùc giaù trò quan saùt cho thaáy moät quan heä ñöôøng cong (Xem Hình 3.11). Chuùng ta cuõng chæ ra
raèng coù hieän töôïng treã giöõa chi tieâu thöïc cho hoaït ñoäng nghieân cöùu vaø phaùt trieån vaø hieäu quaû
cuûa caùc chi tieâu naøy veà maët soá baèng saùng cheá. ÔÛ ñaây chuùng ta seõ öôùc löôïng moâ hình phi tuyeán
ñoäng vaø so saùnh caùc keát quaû. Tuy nhieân, vì chöa coù lyù thuyeát veà kinh teá hay caùc lyù thuyeát
khaùc veà soá naêm cuûa hieän töôïng treã naøy hoaëc veà daïng haøm soá caàn söû duïng, neân moät caùch tuøy yù
chuùng ta cho ñoä treã naøy leân ñeán 4 naêm. Boán bieán treã ñöôïc taïo ra goàm R&D(t-1), R&D(t-2),
R&D(t-3), vaø R&D(t-4). Caùc bieán naøy sau ñoù seõ ñöôïc bình phöông leân vaø moät moâ hình baäc
hai vôùi taát caû caùc bieán ñöôïc öôùc löôïng.

Hình 6.7 So Saùnh Moâ Hình Ñoäng vaø Moâ Hình Tónh (ñöôøng lieàn laø moâ hình tónh, x laø
giaù trò quan saùt thöïc, vaø o laø moâ hình ñoäng)

Soá baèng saùng cheá

Chi phí R&D

Vì vaäy, ñaây laø moät baøi taäp “khôùp ñöôøng cong” thuaàn tuùy thay vì laø moät baøi taäp döïa treân lyù
thuyeát kinh teá. Baùo caùo coù chuù giaûi in ra töø maùy tính ôû baûng 6.2 caàn ñöôïc tìm hieåu kyõ löôõng
(xem Phaàn Thöïc Haønh Maùy Tính 6.6 ñeå chaïy laïi baûng 6.2). Hình 6.7 veõ soá baèng saùng cheá
thaät, caùc giaù trò gaùn töø moâ hình tónh ôû Chöông 3 (ñöôøng thaúng lieàn), vaø caùc giaù trò töø moâ hình
ñoäng cuoái cuøng. Chuùng ta nhaän thaáy raèng moâ hình ñoäng theå hieän raát toát dieãn bieán thöïc teá,
ngay caû trong nhöõng naêm caùc chi phí R&D tuïm laïi vaø trong nhöõng naêm töø 1988-1993 khi moâ
hình tuyeán tính hoaøn toaøn khoâng theå hieän ñöôïc. Do ñoù moâ hình phi tuyeán ñoäng laø moät ñaëc
tröng toát hôn so vôùi moâ hình tónh tuyeán tính ñôn giaûn.

Baûng 6.2 Keát Quaû Maùy Tính Coù Keøm Chuù Giaûi Cho Phaàn Öùng Duïng ôû Phaàn 6.7



MODEL 1: OLS estimates using the 34 observations 1960-1993
Dependent variable: PATENTS

VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2Prob(t>|T|)
0) const 34.5711 6.3579 5.438 0.000006 ***
3) R&D 0.7919 0.0567 13.966 0.000000 ***

Mean of dep. var. 119.238 S.D. of dep. variable 29.306
Error Sum of Sq (ESS) 3994.3003 Std Err of Resid. (sgmahat) 11.1724
Unadjusted R-squared 0.859 Adjusted R-squared 0.855
F-statistic (1, 32) 195.055 p-value for F() 0.000000
Durbin-Watson stat. 0.234 First-order autocorr. coeff 0.945

MODEL SELECTION STATISTICS

SGMASQ 124.822 AIC 132.146 FPE 132.164
HQ 136.255 SCHWARZ 144.56 SHIBATA 131.301
GCV 132.623 RICE 133.143
Baûng 6.2 (tieáp theo)

[phaùt caùc bieán treã]
R&D1 = R&D(-1) sq_R&D = (R&D)2
R&D2 = R&D(-2) sq_R&Di = (R&Di)2
R&D3 = R&D(-3) for I = 1,2,3, and 4
R&D4 = R&D(-4)

[Öôùc löôïng moâ hình toång quaùt vôùi taát caû caùc bieán giaûi thích baèng caùch söû duïng chæ caùc quan saùt töø 1964-
1993, vì caùc bieán treã khoâng ñöôïc ñònh nghóa trong giai ñoaïn töø 1960-1963]

MODEL 2: OLS estimates using 30 observations 1964-1993
Depedent variable: PATENTS

0) const 85.3526 22.1027 3.862 0.001051 ***
3) R&D -0.0477 1.1251 -0.042 0.966638
4) R&D1 0.6033 2.0562 0.293 0.772387
5) R&D2 0.0001794 2.1850 0.000 0.999935
6) R&D3 -0.5869 2.0522 -0.286 0.777989
7) R&D4 -0.1837 1.0994 -0.167 0.869055
8) sq_R&D -0.0007326 0.0049 -0.150 0.882674
9) sq_R&D1 -0.0018 0.0089 -0.197 0.845884
10) sq_R&D2 0.0017 0.0098 0.177 0.861555
11) sq_R&D3 -0.0007564 0.0092 -0.082 0.935597
12) sq_R&D4 0.0071 0.0051 1.405 0.176209






SGMASQ 11.7568 AIC 15.5026 FPE 16.0676
GCV 18.5633 RICE 27.9224

Excluding the constant, p-value was highest for variable 5 (R&D2)

[Löu yù raèng coù hieän töôïng ña coäng tuyeán raát cao giöõa caùc bieán giaûi thích. Caùc giaù trò hieän haønh vaø treã
cuûa chi phí R&D cuõng nhö R&D vaø caùc bình phöông cuûa chuùng ñöôïc kyø voïng laø töông quan chaët vôùi
nhau. Nhö vaäy, khoâng coù gì ngaïc nhieân, tröø soá haïng haèng soá, taát caû ñeàu khoâng coù yù nghóa. Nhö ñaõ ñeà
caäp ôû chöông tröôùc, ñieàu naøy khoâng coù nghóa raèng caùc bieán naøy laø “khoâng quan troïng”, maø chæ coù nghóa
raèng hieän töôïng ña coäng tuyeán coù theå laø nhöõng bieán aån caàn ñöôïc ñöa vaøo moâ hình. Theo phöông phaùp
ñôn giaûn hoùa moâ hình döïa treân döõ lieäu, chuùng ta neân loaïi caùc bieán thöøa. Böôùc ñaàu tieân, chuùng ta loaïi
boû caùc bieán vôùi giaù trò p-values treân 0,9. Ñoù laø caùc bieán R&D, R&D2, vaø sq_R&D3.]



0) const 84.8409 19.0579 4.452 0.000200 ***
4) R&D1 0.6043 0.6351 0.952 0.351669
6) R&D3 -0.7352 0.5233 -1.405 0.174012
7) R&D4 -0.0745 0.5134 -0.145 0.886004
8) sq_R&D -0.0009491 0.0012 -0.824 0.418554
9) sq_R&D1 -0.0017 0.0034 -0.496 0.624855
10) sq_R&D2 0.0016 0.0025 0.641 0.527835
12) sq_R&D4 0.0066 0.0020 3.364 0.002799 ***



SGMASQ 10.1647 AIC 12.7064 FPE 12.8753
GCV 13.861 RICE 15.9732



Excluding the constant, p-value was highest for variable 7 (R&D4).
Comparison of Model 2 and Model 3 is given below: Null hypothesis is: the regression parameters are zero for
the variables R&D, R&D2, and sq_R&D3.

Test statistic: F(3,19) = 0.006957, with p-value = 0.999173
Of the 8 model selection statistics, 8 have improved

[Trong kieåm ñònh F Wald cho caùc bieán bò loaïi ra, p-value ñaït giaù trò cao cho thaáy raèng chuùng ta khoâng
theå baùc boû giaû thuyeát khoâng cho raèng caùc heä soá cuûa caùc bieán naøy taát caû ñeàu baèng khoâng ngay caû taïi
möùc yù nghóa cao ñeán 0,9. Nhö vaäy, loaïi boû chuùng laø hôïp lyù. Hôn nöõa, taát caû taùm trò thoáng keâ choïn moâ
hình ñeàu giaûm, ñieàu ñoù coù nghóa coù moät söï caûi thieän veà ñoä thích hôïp cuûa moâ hình. Maëc duø nhieàu giaù
trò p-value giaûm, chæ coù duy nhaát moät giaù trò ñuû nhoû ñeå coù yù nghóa – ñoù laø giaù trò cuûa bieán soá 12. Ñieàu
naøy coù nghóa phaûi loaïi boû theâm. Tieáp theo, chuùng ta loaïi boû bieán R&D4, sq_R&D1, vaø sq_R&D2, caùc
bieán naøy öùng vôùi giaù trò p-value lôùn hôn 0,5]


0) const 82.8545 12.0355 6.884 0.000000 ***
4) R&D1 0.4771 0.3278 1.455 0.158001
6) R&D3 -0.6370 0.2388 -2.667 0.013227 **
8) Sq_R&D -0.0011 0.0010000 -1.146 0.262479
12) Sq_R&D4 0.0065 0.0006784 9.609 0.000000 ***




SGMASQ 9.34047 AIC 10.8631 FPE 10.8972
GCV 11.2086 RICE 11.6756

Excluding the constant, p-value was highest for variable 8 (sq_R&D).
Comparison of Model 3 and Model 4:

Null hypothesis is: the regression parameters are zero for the variables R&D4, sq_R&D1, and sq_R&D2.

Test statistic: F(3,22) = 0.324242, with p-value = 0.807788
Of the 8 model selection statistics, 8 have improved.



[Trong tröôøng hôïp naøy cuõng vaäy, trong kieåm ñònh F Wald cho caùc bieán bò loaïi ra, p-value ñaït giaù trò cao
cho thaáy raèng chuùng ta khoâng theå baùc boû giaû thuyeát khoâng cho raèng caùc heä soá cuûa caùc bieán naøy taát caû
ñeàu baèng khoâng ngay caû taïi möùc yù nghóa cao ñeán 0,8. Vì vaäy, vieäc loaïi boû chuùng laø hôïp lyù. Theâm nöõa,
taát caû taùm trò thoáng keâ choïn moâ hình ñeàu giaûm, ñieàu ñoù coù nghóa coù moät söï caûi thieän veà ñoä thích hôïp
cuûa moâ hình. Vaãn coøn hai bieán (sq_R&D vaø R&D1) coù giaù trò treân 15%. Chuùng ta tieáp tuïc loaïi boû caùc
bieán naøy, nhöng töøng bieán moät, vaø ñi ñeán moät moâ hình cuoái cuøng trong ñoù taát caû caùc heä soá coù yù nghóa ôû
möùc döôùi 2%]


0) const 91.3464 6.4046 14.263 0.000000 ***
6) R&D3 -0.2951 0.1175 -2.512 0.018286 **
12) sq_R&D4 0.0059 0.0005486 10.675 0.000000 ***



SGMASQ 9.58047 AIC 10.5315 FPE 10.5385
GCV 10.645 RICE 10.778
Of the 8 model selection statistics, 7 have improved.
[Tính caùc trò döï baùo vaø sai soá phaàn traêm tuyeät ñoái cho töøng döï baùo]

Obs R&D PATENT Predicted Prediction Absolute
S value error percent error

1964 76.83 93.2 93.1259 0.0740826 0.0794878
1965 80 100.4 93.8292 6.57081 6.54463
1966 84.82 93.5 94.8126 -1.31258 1.40383
1967 86.84 93 97.9126 -4.91264 5.28241
1968 88.81 98.7 102.306 -3.606 3.65394
1969 88.28 104.4 103.795 0.605085 0.579583
1970 85.29 109.4 107.851 1.5492 1.41609
1971 83.18 111.1 109.3 1.80002 1.62018
1972 85.07 105.3 111.483 -6.1826 5.87141
1973 86.72 109.6 111.815 -2.21525 2.02121
1974 85.45 107.4 109.399 -1.99891 1.86118



1975 83.41 108 106.76 1.24028 1.14841
1976 87.44 110 108.135 1.86509 1.69554
1977 90.11 109 110.169 -1.16945 1.07289
1978 94.5 109.3 109.491 -0.191014 0.174761
1979 99.28 108.9 106.285 2.61523 2.4015
1980 103.64 113 109.529 3.4713 3.07194
1981 108.77 114.5 111.009 3.49072 3.04867
1982 113.96 118.4 114.344 4.05551 3.42526
1983 121.72 112.4 118.482 -6.0819 5.41094
1984 133.33 120.6 122.149 -1.54888 1.28431
1985 144.78 127.1 126.998 0.101834 0.0801211
1986 148.39 133 131.477 1.52261 1.14482
1987 150.9 139.8 138.761 1.03908 0.743265
1988 154.36 151.9 152.722 -0.821732 0.540969
1989 157.19 166.3 170.303 -4.00303 2.40711
1990 161.86 176.7 175.76 0.9403 0.532145
1991 164.54 178.4 179.138 -0.737635 0.413472
1992 166.7 187.2 184.487 2.71267 1.44908
1993 165.2 189.4 188.272 1.12779 0.595455

[Tröø moät soá naêm (1965, 1967, 1972 vaø 1983), taát caû caùc sai soá phaàn traêm tuyeät ñoái ñeàu nhoû hôn 5 phaàn
traêm. Thaät ra, haàu heát caùc giaù trò naøy ñeàu nhoû hôn 2 phaàn traêm. Cuõng nhö vaäy, so saùnh vôùi moâ hình
thoáng keâ tuyeán tính coù R bình phöông hieäu chænh baèng 0,855, moâ hình cuoái cuøng naøy coù giaù trò töông
öùng laø 0,988.]

6.8 Quan heä tuyeán tính-logarit (hay laø moâ hình baùn logarit)

Taát caû caùc quan heä phi tuyeán ñöôïc thaûo luaän tröôùc ñaây coù bieán phuï thuoäc Y xuaát hieän döôùi
daïng tuyeán tính. Chæ coù nhöõng bieán ñoäc laäp phaûi traûi qua moïi söï bieán ñoåi. Cuõng seõ löu yù laø,
maëc duø chuùng ta söû duïng log vaø bình phöông cuûa caùc bieán ñoäc laäp, caùc moâ hình ñeàu tuyeán tính
theo caùc heä soá. Baây giôø, chuùng ta khaûo saùt moät vaøi moâ hình trong ñoù bieán ñoäc laäp xuaát hieän ôû
daïng bieán ñoåi.
Giaû söû chuùng ta coù moät bieán P taêng vôùi moät toác ñoä khoâng ñoåi. Cuï theå hôn, ñaët Pt = (1 +
g)Pt – 1, vôùi g laø toác ñoä taêng tröôûng khoâng ñoåi giöõa thôøi ñoaïn t − 1 vaø t. P coù theå laø daân soá vaø g
laø toác ñoä taêng daân soá. Baèng caùch thay theá laëp laïi ta coù Pt = P0 (1+g)t. Söû duïng döõ lieäu veà Pt,
chuùng ta muoán öôùc löôïng toác ñoä taêng tröôûng g. Moái quan heä naøy khoâng coù daïng tuyeán tính
thuaän lôïi ñaõ ñöôïc duøng trong caùc phaàn tröôùc. Tuy nhieân, coù theå chuyeån quan heä naøy thaønh
daïng tuyeán tính ñöôïc. Laáy logarit cuûa hai veá (vaø duøng Tính chaát 6.1), chuùng ta coù lnPt = lnP0
+ t ln (1 + g). Ñaët Yt = lnPt, Xt = t, β1 = lnPo vaø β2 = ln (1 + g). Khi ñoù, moái quan heä coù theå
ñöôïc vieát laïi nhö sau Yt = β1 + β2Xt. Vì Y vaø X coù leõ khoâng thoûa maõn moät caùch chính xaùc moái
quan heä, chuùng ta coäng theâm moät soá haïng sai soá ut, laøm cho moái quan heä gioáng vôùi moâ hình
hoài qui ñôn giaûn cuûa Phöông trình (3.1). Moâ hình bieán ñoåi trôû thaønh



lnPt = β1 + β2t + ut (6.3)

Laáy haøm soá muõ phöông trình naøy, ta coù moâ hình goác laø

Pt = eβ1 + β2t + ut (6.4)

Phöông trình (6.4) laø moät quan heä haøm soá muõ vaø ñöôïc minh hoïa trong Hình 6.8. Caàn löu
yù laø soá haïng nhieãu trong Phöông trình (6.4) coù theå taêng leân gaáp nhieàu laàn. Phöông trình (6.3)
laø tuyeán tính khi bieán phuï thuoäc ôû daïng logarit. Vôùi ln Pt thuoäc truïc tung, coâng thöùc trôû thaønh
phöông trình ñöôøng thaúng. Böôùc ñaàu tieân ñeå öôùc löôïng toác ñoä taêng tröôûng (g) laø chuyeån caùc
quan saùt P1, P2, …, Pn baèng caùch söû duïng pheùp bieán ñoåi logarit vì vaäy chuùng ta coù Yt = ln Pt. Keá
ñeán chuùng ta hoài qui Yt theo moät soá haïng khoâng ñoåi vaø thôøi gian t. Chuùng ta coù

^ ^
ln P0 = β1 vaø ln (1 + g) = β2
Giaûi ñöôïc g vaø P0, ta coù

^ ^ ^
^
P0 = eβ1 vaø g = eβ2 − 1 (6.5)

Hình 6.8 Haøm Daïng Haøm Soá Muõ

Pt

t
0



Baát kyø giaû thuyeát naøo veà g ñeàu coù theå theå hieän ( coù moät soá ngoaïi leä khoâng ñaùng keå) thaønh
moät giaû thuyeát töông ñöông theo β2. Do bieán phuï thuoäc ñöôïc bieán ñoåi ôû daïng log, moâ hình naøy
ñöôïc goïi laø moâ hình tuyeán tính-logarit, hoaëc ñoâi khi coøn goïi laø moâ hình baùn logarit. Neáu
moâ hình naøy ñöôïc vieát döôùi daïng ln Pt = β1 + β2 Xt + ut, β2 laø taùc ñoäng bieân teá cuûa X leân ln Pt
khoâng phaûi leân Pt. β2 ñöôïc goïi laø toác ñoä taêng tröôûng töùc thôøi. Laáy ñaïo haøm hai veá theo Xt
(xem Tính chaát 6.2 veà ñaïo haøm), ta coù

d(ln Pt) 1 dPt
β2 = = (6.6)
dXt Pt dXt

Soá haïng dPt/Pt coù theå ñöôïc dieãn dòch nhö laø thay ñoåi cuûa Pt chia cho Pt. Khi nhaân vôùi 100, β2
cho phaàn traêm thay ñoåi cuûa Pt treân moät ñôn vò thay ñoåi cuûa Xt. Ñeå tính ñoä co giaõn cuûa P theo X,
xem Baûng 6.1.
Laáy giaù trò kyø voïng cuûa hai veá phöông trình (6.4), ta coù

E(Pt) = eβ1 + β2t E(eut ) (6.7)

Coù theå thaáy laø E(eut ) = eσ /2 ≠ 1, vaø do ñoù neáu chuùng ta döï baùo Pt baèng caùch duøng bieåu thöùc
2

eβ1 + β2t, giaù trò döï ñoaùn seõ thieân leäch, khoâng nhaát quaùn vaø khoâng hieäu quaû. Bieåu thöùc phuø hôïp
trong tröôøng hôïp naøy laø

^ ^ ^ ^
Pt = exp[β1 + β2 t + (σ2/2)] (6.8)

^ ^
vôùi σ2 laø phöông sai maãu cuûa caùc soá haïng sai soá vaø exp laø haøm soá muõ. Pt laø moät öôùc löôïng
nhaát quaùn cuûa E(Pt).
^ ^

Caàn coù moät ñieàu chænh töông töï trong Phöông trình (6.5) vì E(eβ2) = eβ2 + [Var (β2)/2]. Do
ñoù, moät öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa g ñöôïc tính bôûi

~ = exp[ ^ ^
g β2 − 1/2 Var (β2)] − 1

Coù theå coù ñöôïc moät khoaûng döï baùo hieäu chænh cuûa Pt. Tröôùc ñaây, chuùng ta ñaõ ñònh nghóa
^ ^
Yt = ln (Pt). Ñaët Yt laø döï baùo cuûa ln(Pt) trong moâ hình tuyeán tính logarit vaø st = s(Yt) laø sai soá
^
chuaån ñöôïc öôùc löôïng töông öùng. Vaäy, khoaûng tin caäy cuûa Yt laø Yt ± t*st, vôùi t* laø ñieåm treân
phaân phoái t sao cho P(t > t*) = moät nöûa cuûa möùc yù nghóa (tham khaûo Phaàn 3.9 veà caùc khoaûng
tin caäy cuûa döï baùo). Laáy haøm soá muõ (nghóa laø ngöôïc vôùi laáy log) vaø hieäu chænh ñeå thieân leäch
gioáng nhö trong Phöông trình (6.8), chuùng ta coù khoaûng tin caäy hieäu chænh cho vieäc döï baùo Pt



^ ^ ^
laø exp[Yt ± t*st + (σ2/2)], vôùi σ2 laø phöông sai maãu cuûa caùc soá haïng sai soá. Caàn chæ ra laø
^ ^
khoaûng tin caäy naøy seõ khoâng ñoái xöùng qua Pt = exp[Yt + (σ2/2)]. Tham khaûo Nelson (1973,
trang 161-165) ñeå thaûo luaän theâm veà caùc döï baùo ñieåm vaø caùc khoaûng tin caäy cuûa chuùng khi
bieán phuï thuoäc ñöôïc bieán ñoåi sang log.

VÍ DUÏ 6.5
Moâ hình tuyeán tính-logarit ñöôïc söû duïng roäng raõi trong lyù thuyeát veà voán nhaân löïc trong ñoù lyù
thuyeát cho raèng logarit cuûa thu nhaäp hoaëc löông ñöôïc söû duïng nhö laø moät bieán phuï thuoäc. Ñeå
phaùt trieån lyù thuyeát naøy, giaû söû laø tyû suaát lôïi nhuaän cuûa moät naêm hoïc taäp theâm laø r. Vaäy, ñoái
vôùi thôøi ñoaïn thöù nhaát, löông w1 = (1 + r)w0. Ñoái vôùi hai naêm hoïc taäp coâng thöùc naøy laø w2 =
(1+ r)2w0. Ñoái vôùi s naêm, chuùng ta coù ws = (1 + r)2 w0. Laáy logarit, chuùng ta coù (tham khaûo
Tính chaát 6.1c).

ln(ws) = s ln(1+ r) + ln(w0) = β1 + β2s

Vì vaäy chuùng ta coù moät quan heä tuyeán tính-logarit giöõa löông vaø soá naêm hoïc taäp. Cuõng
lyù luaän töông töï ñoái vôùi soá naêm kinh nghieäm. Tuoåi cuûa moät nhaân vieân coù veû nhö coù moät loaïi
taùc ñoäng khaùc. Chuùng ta kyø voïng thu nhaäp thaáp khi moät ngöôøi coøn treû, vaø löông seõ taêng khi
ngöôøi naøy tuoåi caøng lôùn hôn, nhöng thu nhaäp laïi giaûm sau khi veà höu. Töông quan daïng ñöôøng
cong loài naøy coù theå ñöôïc kieåm ñònh baèng moät coâng thöùc baäc hai vôùi AGE vaø AGE2. Ñeå toång
quaùt hoùa, chuùng ta coù theå muoán kieåm ñònh xem hoïc vaán vaø kinh nghieäm coù cuøng moät daïng taùc
ñoäng baäc hai khoâng. Vì vaäy, moät moâ hình toång quaùt coù daïng nhö sau:

ln(WAGE) = β1 + β2EDUC + β3EXPER + β4AGE
+ β5EDUC2 + β6EXPER2 + β7AGE2 + u (6.9)

DATA6-4 chöùa döõ lieäu veà löông thaùng, hoïc vaán tính baèng soá naêm sau lôùp taùm, kinh
nghieäm tính baèng soá naêm vaø tuoåi cuûa maãu goàm 49 caù nhaân. Tröôùc tieân chuùng ta öôùc löôïng moâ
hình tuyeán tính-logarit tröôùc ñoù nhöng laïi tìm ñöôïc moät soá caùc heä soá hoài qui tuyeán tính khoâng
coù yù nghóa. Nhö tröôùc ñaây, chuùng ta thöïc hieän vieäc ñôn giaûn hoùa taäp döõ lieäu baèng caùch loaïi boû
caùc bieán laàn löôït moãi laàn moät bieán (xem Baøi Thöïc haønh Maùy tính phaàn 6.7 ñeå tính laïi caùc keát
quaû naøy) ñeán khi caùc trò thoáng keâ choïn moâ hình trôû neân xaáu hôn. Caùc keát quaû moâ hình cuoái
cuøng ñöôïc trình baøy ôû ñaây vôùi trò thoáng keâ t trong daáu ngoaëc.

ln(WAGE) = 7,023 + 0,005 EDUC2 + 0,024 EXPER (6.10)
(76,0) (4,3) (3,9)
–
R2 = 0,33 d.f. = 46



Caû trình ñoä hoïc vaán bình phöông vaø kinh nghieäm ñeàu raát coù yù nghóa ôû möùc döôùi 0,001. YÙ
nghóa cuûa heä soá kinh nghieäm 0,024 laø, giöõa hai nhaân vieân coù cuøng trình ñoä hoïc vaán, neáu ngöôøi
naøo coù nhieàu hôn moät naêm kinh nghieäm so vôùi ngöôøi coøn laïi thì seõ ñöôïc kyø voïng laø coù löông
cao hôn, trung bình khoaûng 2,4 phaàn traêm (xem Phöông trình 6.6 cho phaàn dieãn dòch naøy).
Löu yù laø EDUC coù taùc ñoäng baäc hai vôùi taùc ñoäng bieân teá taêng theo trình ñoä hoïc vaán. Tuy
nhieân, khoâng neân quaù xem troïng caùc keát quaû naøy vì pheùp ño ñoä thích hôïp khaù thaáp ngay caû ñoái
vôùi taäp döõ lieäu cheùo. Roõ raøng caàn thöïc hieän nhieàu coâng vieäc nöõa tröôùc khi chuùng ta coù ñöôïc
nhöõng con soá chính xaùc. Chuùng ta seõ nhaéc laïi moâ hình naøy trong nhöõng chöông sau vaø seõ coù
nhieàu keát quaû ñaùng tin caäy hôn.

Tansel (1994) coù moät öùng duïng roäng raõi moâ hình löông daïng logarit. Vì vaäy caàn nghieân
cöùu moâ hình naøy caån thaän.

BAØI TAÄP THÖÏC HAØNH 6.8
Söû duïng döõ lieäu trong DATA6-4, öôùc löôïng caû moâ hình toång quaùt trong Phöông trình (6.9) vaø
moâ hình cuoái cuøng trong Phöông trình (6.10). Thöïc hieän moät kieåm ñònh Wald söû duïng hai moâ
hình naøy. Haõy phaùt bieåu giaû thuyeát khoâng vaø giaû thuyeát ngöôïc laïi vaø keát luaän cuûa baïn döôùi
daïng vaên vieát.
Giaû söû löông ñöôïc tính baèng haøng traêm ñoâla. Vieäc naøy seõ aûnh höôûng ñeán caùc heä soá hoài
qui nhö theá naøo? Neáu coù baát kyø heä soá naøo thay ñoåi, haõy vieát laïi caùc giaù trò môùi trong Phöông
trình (6.10)

Tính taùc ñoäng bieân teá (dY/dX) vaø ñoä co giaõn (X/Y)(dX/dY) cuûa moâ hình lnY = β1 + β2X + β3X2
+u

Tính taùc ñoäng bieân teá vaø ñoä co giaõn cho moâ hình lnY = β1 + β2X + β3(XZ) + u.

Xeùt moâ hình tuyeán tính logarit lnY = β1 + β2X + β3Z + β4X2 + β5XZ + u, vôùi X vaø Z laø caùc bieán
giaûi thích. Tìm moät bieåu thöùc ñaïi soá cuûa ñoä co giaõn cuûa Y theo X. Haõy trình baøy caùch baïn söû
duïng kieåm ñònh Wald ñeå kieåm tra xem caùc soá haïng phi tuyeán X2 vaø XZ coù yù nghóa thoáng keâ
hay khoâng.

6.9 So Saùnh Caùc Giaù Trò R2 Giöõa Caùc Moâ Hình



Trong Ví duï 6.5, neáu chuùng ta ñaõ söû duïng WAGES nhö bieán phuï thuoäc thay vì logarit cuûa bieán
naøy, R2 hieäu chænh seõ laø 0,338. Vì R2 cuûa moâ hình tuyeán tính-logarit laø 0,333, nhö vaäy coù phaûi
laø moâ hình tuyeán tính ít nhieàu toát hôn veà möùc ñoä thích hôïp? Caâu traû lôøi laø chaéc chaén khoâng,
bôûi vì thaät laø khoâng ñuùng khi so saùnh caùc giaù trò R2 khi maø caùc bieán phuï thuoäc laø khaùc nhau.
Trong tröôøng hôïp tuyeán tính, moâ hình giaûi thích 33,8 phaàn traêm thay ñoåi cuûa Y, trong khi trong
tröôøng hôïp tuyeán tính-logarit, moâ hình giaûi thích 33,3 phaàn traêm thay ñoåi trong ln(Y). Ñeå söï
so saùnh laø hôïp lyù, caùc bieán phuï thuoäc phaûi gioáng nhau.
Tuy nhieân, coù moät caùch so saùnh ñoä thích hôïp baèng caùch thöû sai. Caùc bieán trong tröôøng hôïp
tuyeán tính-logarit nhö sau:
Böôùc 1 Öôùc löôïng moâ hình tuyeán tính-logarit nhö caùch laøm thoâng thöôøng vaø tính ñöôïc giaù trò
thích hôïp cho moâ hình ln(Y).
Böôùc 2 Töø nhöõng giaù trò naøy, taïo giaù trò trung bình öôùc löôïng cho Y baèng caùch pheùp tính
nghòch cuûa logarit, vaø baûo ñaûm laø thieân leäch hieäu chænh nhö trong Phöông trình (6.8).
Vaäy, chuùng ta seõ coù

^ ^
Yt = exp[ln(Yt) + (σ2/2)] (6.11)

^
Böôùc 3 Tính bình phöông cuûa töông quan giöõa Yt vaø Yt. Töông quan naøy coù theå so saùnh ñöôïc
vôùi R2 hieäu chænh cuûa moät moâ hình tuyeán tính.
Böôùc 4 Tính toång bình phöông sai soá vaø phöông sai cuûa phaàn dö baèng caùch söû duïng caùc moái
quan heä

^ ESS ^
ESS = ∑(Yt – Yt)2 vaø σ2 =
n–k
Böôùc 5 Duøng ESS, tính caùc trò thoáng keâ löïa choïn moâ hình ñoái vôùi moâ hình môùi. Caùc trò thoáng
keâ naøy coù theå so saùnh ñöôïc vôùi caùc trò thoáng keâ cuûa moâ hình tuyeán tính.

VÍ DUÏ 6.6
Söû duïng döõ lieäu trong DATA6-4 vaø moâ hình tuyeán tính-logarit ñöôïc öôùc löôïng trong Ví duï 6.5,
chuùng ta ñaõ tieán haønh caùc böôùc naøy vaø ñaõ tính ñaïi löôïng R2 môùi vaø caùc trò thoáng keâ löïa choïn
moâ hình (xem chi tieát trong Baøi thöïc haønh maùy tính 6.8). Keát quaû tìm ñöôïc laø R2 baèng 0,37,
lôùn hôn raát nhieàu so vôùi giaù trò naøy trong moâ hình tuyeán tính. Taát caû caùc trò thoáng keâ löïa choïn
moâ hình cuûa moâ hình tuyeán tính-logarit ñeàu thaáp hôn so vôùi moâ hình tuyeán tính. Vì vaäy, theo
caùc tieâu chuaån naøy, moâ hình tuyeán tính-logarit coù öu theá hôn moät chuùt.

6.10 Moâ hình Log-hai laàn (hay Log-Log)



Moâ hình Log-hai laàn (hay Log-Log) raát phoå bieán trong öôùc löôïng caùc haøm saûn xuaát cuõng nhö
haøm nhu caàu. Neáu Q laø soá löôïng ñaàu ra cuûa moät quaù trình saûn xuaát, K laø soá löôïng voán ñaàu vaøo
(soá giôø maùy), vaø L laø soá löôïng lao ñoäng ñaàu vaøo (soá giôø nhaân coâng lao ñoäng), thì töông quan
giöõa ñaàu ra vaø ñaàu vaøo laø phöông trình haøm saûn xuaát vieát nhö sau Q = F(K,L). Moät ñaëc tröng
chung cuûa daïng haøm naøy laø haøm saûn xuaát Cobb-Douglas, raát noåi tieáng trong lyù thuyeát kinh teá
vi moâ. Haøm naøy coù daïng toång quaùt sau:
Qt = cKtαLtβ

vôùi c, α vaø β laø nhöõng thoâng soá chöa bieát. Laáy logarit hai veá (xem Tính chaát 6.1) vaø theâm vaøo
soá haïng sai soá, chuùng ta coù ñöôïc haøm kinh teá löôïng (β1 = ln c):

ln Qt = β1 + α ln Kt + β ln Lt + ut

Neáu chuùng ta chæ thay ñoåi K nhöng giöõ L khoâng ñoåi, thì chuùng ta coù (söû duïng Tính chaát 6.2c)
∆ (ln Q) (1/Q) ∆Q K ∆Q
α= = =
∆ (ln K) (1/K) ∆K Q ∆K

100∆(lnQ) = 100∆Q/Q laø phaàn traêm thay ñoåi theo Q. Do ñoù, α laø phaàn traêm thay ñoåi cuûa Q
chia cho phaàn traêm thay ñoåi cuûa K. Ñaây laø ñoä co giaõn cuûa ñaàu ra theo voán. Töông töï nhö
vaäy, β laø ñoä co giaõn cuûa ñaàu ra theo lao ñoäng. Vì vaäy, caùc heä soá hoài qui trong moâ hình log-
hai laàn ñôn giaûn laø caùc ñoä co giaõn töông öùng, coù giaù trò khoâng ñoåi. Löu yù, vì tính chaát naøy, caùc
giaù trò baèng soá cuûa caùc heä soá cuûa caùc bieán ñoäc laäp khaùc nhau thì coù theå so saùnh ñöôïc tröïc tieáp.
Baûng 6.3 toùm taét dieãn dòch cuûa caùc heä soá hoài qui trong caùc moâ hình coù logarit cuûa caùc bieán.

Baûng 6.3 Dieãn dòch Caùc taùc ñoäng bieân teá trong caùc moâ hình lieân quan ñeán Logarit

Moâ hình Daïng haøm soá Taùc ñoäng bieân teá Dieãn dòch

Tuyeán tính Y = β 1 + β 2X ∆Y = β2∆X Moät ñôn vò thay ñoåi
trong X seõ laøm Y thay
ñoåi β2 ñôn vò
Logarit-tuyeán tính Y = β1 + β2lnX β2  ∆X Moät phaàn traêm thay
∆Y = 100 
100  X  ñoåi trong X seõ laøm Y
thay ñoåi β2/100 ñôn vò
Tuyeán tính-logarit lnY = β1 + β2X ∆X Moät ñôn vò thay ñoåi
100 = 100β2∆X
X trong X seõ laøm Y thay
ñoåi 100β2 phaàn traêm
logarit-hai laàn ln Y = β1 + β2ln X ∆Y Moät phaàn traêm thay
100 =
Y ñoåi trong X seõ laøm Y
thay ñoåi β2 phaàn traêm



 ∆X
β2100 
 X

Chuùng ta coù theå coù ñöôïc keát quaû thuù vò töø moâ hình naøy. Giaû söû soá löôïng voán vaø lao ñoäng
ñaàu vaøo taêng gaáp ñoâi. Luùc naøy ñaàu ra laø

Q1 = c(2K)α (2L)β = 2α+β Q

Neáu α + β = 1, Q1 = 2Q. Vì vaäy, ñaàu ra cuõng seõ taêng gaáp ñoâi neáu α + β = 1. Ñaây laø ñieàu
^ ^
kieän raát phoå bieán veà lôïi nhuaän khoâng ñoåi theo qui moâ. Neáu caùc ñoä co giaõn öôùc löôïng laø α + β
^ ^
> 1, chuùng theå hieän lôïi nhuaän taêng theo qui moâ, vaø α + β < 1 cho thaáy lôïi nhuaän giaûm theo
qui moâ. Moät kieåm ñònh thoâng thöôøng ñoái vôùi lôïi nhuaän khoâng ñoåi theo qui moâ raát thuù vò. Giaû
thuyeát khoâng laø H0: α + β = 1 vaø giaû thuyeát ñoái laø H1: α + β ≠ 1. Trong Phaàn 4.4, chuùng ta phaùt
trieån ba kieåm ñònh cho caùc giaû thuyeát lieân quan ñeán toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc heä soá hoài qui.
Ñeå aùp duïng Phöông phaùp 2, ñònh nghóa β2 = α + β – 1. Theo giaû thuyeát khoâng, β2 = 0. Giaûi
ñöôïc β, chuùng ta coù β = β2 + 1 – α. Thay vaøo moâ hình, ta coù
lnQt = β1 + α lnKt + (β2 + 1 – α) lnLt + ut
= β1 + α (lnKt – lnLt) + lnLt + β2 lnLt + ut

Moâ hình naøy khoâng theå öôùc löôïng ñöôïc nhö daïng ôû treân vì soá haïng lnLt khoâng coù heä soá. Ñeå
öôùc löôïng, caùc bieán nhö vaäy phaûi ñöôïc chuyeån sang veá beân traùi. Vì vaäy, ta coù

LnQt – lnLt = β1 + α (lnKt – lnLt) + β2 lnLt + ut

Ñaët Yt = lnQt – lnLt, Xt1 = lnKt – lnLt, vaø Xt2 = lnLt, moâ hình trôû thaønh

Yt = β1 + αXt1 + β2Xt2 + ut

Ñeå öôùc löôïng moâ hình, chuùng ta bieán ñoåi caùc bieán ban ñaàu ñeå taïo ra caùc bieán môùi vaø sau ñoù
hoài qui Yt theo moät soá haïng khoâng ñoåi, Xt1 vaø Xt2. Kieåm ñònh caàn ñoái vôùi lôïi nhuaän khoâng ñoåi
theo qui moâ chæ ñôn giaûn laø moät kieåm ñònh t veà heä soá cuûa Xt2.

BAØI TAÄP THÖÏC HAØNH 6.12+
Moâ taû caùc böôùc thöïc hieän moät kieåm ñònh töông töï söû duïng Phöông phaùp 1 vaø 3 ñöôïc moâ taû
trong Phaàn 4.4

Giaû ñònh veà lôïi nhuaän khoâng ñoåi theo qui moâ vaãn ñöôïc giöõ; nghóa laø α + β = 1. Theo giaû thieát
naøy, haõy moâ taû baèng caùch naøo coù theå öôùc löôïng ñöôïc haøm saûn xuaát Cobb-Douglas.


Rama Ch6

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Similaire à Rama Ch6

Similaire à Rama Ch6 (20)

Plus de Vince Vo

Plus de Vince Vo (16)

Dernier

Dernier (20)

Rama Ch6