SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 36
Descargar para leer sin conexión
ESPOL




   FÍSICA C
   Primer Parcial
   *Fuerza Eléctrica
   *Campo Eléctrico
   *Ley de Gauss
   *Energía Eléctrica
   *Potencial Eléctrico
   *Capacitancia
   *Resistencia




                          ERICK CONDE
                                 ESPOL
FÍSICA C ESPOL

                                                        FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO
Ejercicio 1.
Dos esferas idénticas que tienen carga de signo opuesto se atraen entre sí con una fuerza de
0.108 N cuando están separadas por 50 cm. Las esferas se conectan súbitamente con un
alambre conductor delgado, luego se retiran y las esferas se repelen entre sí con una fuerza de
0.0360 N. ¿Cuáles eran las cargas iniciales de
las esferas?

F = 0.108 N
r = 50 cm
F*= 0.0360 N

           ������ ������1 ������2
① ������ =
              ������ 2

             ������ ������1 ������2 ������������2
② ������ ∗ =               = 2
                ������ 2     ������

           ������1 − ������2
③ ������ =               ; ������������������������ ������������������ ������������ ������������������������������������������������������ ������������������ ������������������������������������ ������������������������������������������������������������, ������������������������������������������������ ������������ ������������������������������������
               2

De ② se tiene que:


        ������ ∗ ������ 2                  0.0360 0.5          2
������2 =             ⇒ ������ =                                   = 1 ∗ 10−6 ������
           ������                         9 ∗ 109

De ③ se tiene que:

������1 = 2������ + ������2

③ en ①

       ������������2 2������ + ������2
������ =                           ⇒ ������ 2 ������ = 2������������2 ������ + ������������2 2
              ������ 2

0 = ������������2 2 + 2������������ ������2 − ������ 2 ������

        −2������������ ±         2������������ 2 − 4(������) −������ 2 ������
������2 =
                             2������

        −2 9 ∗ 109 1 ∗ 10−6 ±                       2 9 ∗ 109 1 ∗ 10−6                 2   + 4 9 ∗ 109           0.52 0.108
������2 =
                                                           2 9 ∗ 109


        −18000 ± 36000
������2 =                  ; ������������������������������������������ ������������ ������������������������������ ������������������������������������������������ , ������������ ������������������ ������������������������������������������ ������������������������������������������������������������ ������������������ ������������������������������������������������������������
           18 ∗ 109

������������ = ������ ∗ ������������−������ ������

������1 = 2������ + ������2

������������ = ������ ∗ ������������−������ ������


          2 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
Ejercicio 2.
Una barra delgada de longitud L y carga uniforme por longitud ������ esta a lo largo del eje x como se
muestra en la figura. Calcule el campo eléctrico en el punto P a una distancia Y de la barra.




Por simetría las componentes del campo en “x” se anulan, entonces:

                                                                        ������������                                    ������                 ������������
������������������ = ������������ ������������������������                                      ������������ = ������               ; ������������������������ =                        ; ������ =            ⇒ ������������ = ������ ������������
                                                                        ������ 2                                    ������                 ������������

              ������������                     ������������ ������������ ������                                                                  ������������������ ������������                             1
������������������ = ������        ������������������������ ⇒ ������������������ =                                              ⇒ ������������������ =                                       ;    ������ = ������ 2 + ������ 2       2
              ������ 2                       ������ 2    ������                                                                      ������ 3

               ������������������ ������������
������������������ =                      3
             ������ 2 + ������ 2            2

                         ������
                              2                                                                            ������
                                               ������������                                   ������                        2
   ������������������ = 2������������������                                  3        = 2������������������
                                        ������ 2   + ������ 2 2                    ������ 2      ������ 2   +   ������ 2       0
                         0


                                   ������
������������ = ������������������                           ������                 ������ ������ ������
                                                      ������
                 ������������ ������������ + ������ ������



Ejercicio 3.
Una línea de carga positiva se forma dentro de un semicírculo de radio R igual a 60 cm. La larga
por unidad de longitud a lo largo del semicírculo se describe por medio de la expresión
������ = ������������ ������������������ ������. La carga total en el semicírculo es de 12 ������������. Calcule la fuerza total en una carga de
3 ������������ situado en el centro de la curvatura.

������������������ = ������������ ������������������������

           ������������ ������������                                                                  ������������
������������������ =             ������������������������                  ;      ������ = ������0 ������������������ ������ ⇒                  = ������0 ������������������ ������ ⇒ ������������ = ������0 ������������������ ������ ������������
             ������2                                                                       ������������

                                                      ������������ ������0 ������������������ ������ ������������
                                         ������������������ =                             ������������������������                 ;                ������������ = ������ ������������
                                                                ������2

           ������������ ������0 ������������������ 2 ������ ������ ������������   ������������ ������0 ������������������ 2 ������ ������������
������������������ =                   2
                                        =
                        ������                            ������
                              ������                                           ������
                                    2                                           2
            2������������ ������0                                      2������������ ������0                1 + ������������������ 2������
   ������������������ =                             ������������������ 2 ������ ������������ =                                         ������������
               ������                                             ������                          2
                              0                                            0




            3 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
                                            ������
     ������������ ������0      ������������������ 2������                    2         ������������ ������0 ������
������ =          ������ +                                    =
        ������               2                  0
                                                              ������    2

Pero no conocemos el valor de ������0 , entonces:

������������ = ������0 ������������������ ������ ������������

   ������������ =         ������0 ������������������ ������ ������������ =           ������0 ������������������ ������ ������ ������������

                 ������
                      2
                                                                        ������
                                                                             2
������ = 2������������0               ������������������ ������ ������������ = 2������������0 ������������������������              0        = 2������������0
                 0

        ������
������0 =
        2������

       ������������ ������������ 9 ∗ 109 3 ∗ 10−6 12 ∗ 10−6 ������
������ =         2 =
                                               = 0.7068 ������
         4������                4 0.6 2

������ = −������. ������������������������ ������ ������



Ejercicio 4.
Una esfera aislante de radio R contiene una carga positiva total Q en todo su volumen de modo
                                                            ������      ; ������ < ������ ������
que la densidad volumétrica está dada por: ������ ������ = ������������ ������ − ������                                                             ; ������ ������ ≤ ������ ≤ ������ ; donde ������
                                                             ������
                                                                                                                      ������    ; ������ > ������
es una constante positiva donde la unidad es de ������                                                              halle ������ en términos de Q y R.
                                                                                                         ������������
       ������������
������ =        ⇒ ������������ = ������ ������������
       ������������

                                            4
   ������������ =         ������ ������������          ;    ������ = ������������ 3 ⇒ ������������ = 4������������ 2 ������������
                                            3
                                           ������
          ������                                     2                          ������
                                                                                            ������ 2
������������ =         4������������������ 2 ������������      = 4������             ������������ 2 ������������   +             2������ 1 −       ������ ������������
                                                                                            ������
         0                                 0                           ������
                                                                             2

                          ������                                ������
           ������ 3                2        ������ 3 ������ 4                                    ������3    ������3 ������4 ������3   ������4
������ = 4������������                         +2       −                          = 4������������           +2    −   −    +
            3             0
                                         3 4������              ������                       24      3 4������ 24 64������
                                                                   2


                 ������3 2������3 ������3 ������3 ������3         5 3
������ = 4������������          +    −   −   +    = 4������������    ������
                 24   3    2 12 32            32

          ������������ ������
������ =
        ������������������������  ������������




             4 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
Ejercicio 4.
Dos barras delgadas idénticas de longitud 2A contienen cargas iguales ������+ uniformemente
distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las barras descansan a lo largo del eje x con su centro
separado a una distancia ������ > 2������. Demostrar que la magnitud de la fuerza ejercida por la barra
                                                                                                     ������������������            ������������
de la izquierda sobre la derecha esta dad por: ������ =                                                  ������������ ������ ������������ ������������ −������������������




Vamos a encontrar una expresión de la fuerza que ejerce la 2da barra sobre una partícula “q” que pertenece a la 1era
barra, para luego generalizarla (“q” y la distancia entre ”q” y la barra permanecerá constante)




          ������������ ������������                           ������������    ������   ������������          ������ ������������
������������ =                       ;    ������ =              ⇒    =      ⇒ ������������ =
             ������ 2                              ������������   2������ ������������            2������

          ������������������ ������������
������������ =
            2������������ 2
                        ������+2������
                                                                ������+2������
              ������������������             ������������         ������������������       1                 ������������������          1           1
   ������������   =                           2
                                          =            −                 =            −              +
                2������              ������            2������         ������   ������            2������         ������ + 2������       ������
                        ������

           ������������������
������ =
       ������ ������ + 2������

Ahora “q” será un dq de la primera barra y la distancia entre dq y la 2da barra no será constante




           5 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
           ������������ ������������                                     ������������������
������������ =                                   ;     ������������ =
         ������ ������ + 2������                                      2������

           ������������������ ������������
������������ =
         2������������ ������ + 2������
                           ������ ������������������                                 ������
          ������������ 2                            ������������     ������������ 2                     ������������
   ������������ =                                          =
           2������                         ������ ������ + 2������    2������                  ������ ������ + 2������
                         ������ ������������������                                ������−2������


      1      ������    ������
            = +
������ ������ + 2������  ������ ������ + 2������

1 = ������ ������ + 2������ + ������������ ⇒ 1 = ������ + ������ ������ + 2������������

                                         1
1 = 2������������ ⇒ ������ =
                                        2������

                                              1
0 = ������ + ������ ⇒ ������ = −
                                              2������
                    ������
                                                                                                   ������
     ������������ 2                     ������    ������           ������������ 2 1            1
������ =                               +        ������������ =          ������������ ������ −     ������������ ������ + 2������
      2������                       ������ ������ + 2������         2������ 2������           2������                          ������−2������
                ������−2������


       ������������ 2
������ =              ������������ ������ − ������������ ������ + 2������                  − ������������ ������ − 2������ − ������������ ������ − 2������ + 2������
       4������2

                                                                                          ������
       ������������ 2         ������           ������ − 2������                                ������������ 2
������ =          ������������          − ������������                                   =            ������������ ������ + 2������
       4������2        ������ + 2������            ������                                  4������2        ������ − 2������
                                                                                          ������

       ������������ 2              ������ 2
������ =          ������������
       4������2        ������ + 2������ ������ − 2������

       ������������������            ������������
������ =        ������ ������������ ������������ − ������������������                   ������
       ������������

Ejercicio 5.
Una carga de 8 ������������ se coloca en x = 4m , y = 0 , donde se deberá colocar una carga de 4 ������������ para
que el campo eléctrico sea nulo en el origen.

������8 ������������ = ������4 ������������

������ 4 ������������ ������ 8 ������������                            4     8
         =                               ⇒       2 = 42
   ������ 2      ������ 2                             ������

������ 2 = 8        ⇒           ������ = ± 8

Tomamos el valor negativo, debido a que la carga1 se encuentra a la izquierda del origen

������ = −������ ������ [������]




           6 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
Ejercicio 5.
Una línea de carga empieza en ������ = +������������ y se extiende hasta el infinito positivo. Si la densidad de
                                           ������������ ������������
carga lineal es ������ =                          ������
                                                        Determine el campo eléctrico en el origen.


         ������������������                            ������������   ������0 ������0 ������������           ������0 ������0
������������ =                  ;           ������ =        ⇒        =      ⇒ ������������ =         ������������
          ������ 2                             ������������     ������     ������������            ������

         ������������0 ������0
������������ =             ������������
           ������ 3
                            +∞                                       ������
                                    ������������                                  ������������
   ������������ = ������������0 ������0                      = ������������0 ������0 lim
                                    ������ 3            ������⟶+∞                 ������ 3
                            ������ 0                                  ������ 0

                                                 ������
                                         1                                            1      1
������ = ������������0 ������0 lim                  −                   = ������������0 ������0 lim          −        +
                   ������⟶+∞                2������ 2    ������ 0             ������⟶+∞              2������ 2 2������0 2

             ������������������ ������
������ = −              ������ ������
             ������������������



Ejercicio 6.
Se lanzan protones a una rapidez inicial ������������ = ������. ������������ ∗ ������������������ ������/������������������ dentro de una región donde se
presenta un campo eléctrico uniforme ������ = −������������������������ ������/������ como se muestra en la figura, los
protones van a incidir sobre un blanco que se encuentra a una distancia horizontal de 1.27 mm
del punto donde se lanzaron los protones. Determinar:
    a) Los 2 ángulos de lanzamiento ������ que darán como resultado del impacto.
    b) El tiempo total de vuelo para cada trayectoria.

Para a)


     ������ = ������������ ������

������������ = ������������ ������     ⇒               ������������������ = ������������ ������

       ������������������ −720 1.6 ∗ 10−19
������ =         =                 = −6.89 ∗ 1010 ������/������������������2
        ������������    1.67 ∗ 10−27

                                                 ������������ �����
������������ á������ = ������0������ ������������         ⇒         ������������ =
                                                  ������0������

                       1                 ������������ ����� 1 ������������ �����                         2
������������ ����� = ������0������ ������������ + ������������������ 2 = ������0������         + ������
                       2                  ������0������   2   ������0������

             ������0 ������������������������           1    ������������ ����� 2
������������ ����� =                ������������ ����� + ������ 2
             ������0 ������������������������           2 ������0 ������������������������ 2




             7 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
Pero sabemos que al final del impacto las coordenadas son 0, ������������ �����

        ������������������������           1    ������������ ����� 2
0=               ������������ ����� + ������ 2
        ������������������������           2 ������0 ������������������ 2 ������

               2 ������������������������ ������0 2 ������������������ 2 ������    2 ������������������������ ������0 2 ������������������������    ������������������2������ ������0 2
������������ á������ = −                                =−                           =−
                      ������ ������������������������                        ������                       ������

                 ������ ������������ á������    −6.89 ∗ 1010 1.27 ∗ 10−3
������������������2������ = −          2
                             =−
                   ������0                 9.55 ∗ 103 2

������������������2������ = 0.9594          ⇒      2������ = 73.62

������������ = ������������. ������������°

������2 = 90 − ������1          ⇒       ������������ = ������������. ������������°

Para b)

        ������������ á������      ������������ á������          1.27 ∗ 10−3
������1 =            =               =
         ������0������ 1   ������0 ������������������������1   9.55 ∗ 103 ������������������ 36.81

������������ = ������. ������������ ∗ ������������−������ ������������������

        ������������ á������      ������������ á������          1.27 ∗ 10−3
������2 =            =               =
        ������0������ 2    ������0 ������������������������2   9.55 ∗ 103 ������������������ 53.19

������������ = ������. ������������ ∗ ������������−������ ������������������



Ejercicio 7.
Tres cargas puntuales están alineados a lo largo del eje x como se muestra en la figura.
Encuentre el campo eléctrico en la posición (0 , 2.0) y en la posición (2.0 , 0)




Para (0 , 2.0)

         ������������1 9 ∗ 109 4 ∗ 10−9
������1 =           =               = 8.46 ������/������
          ������1 2      2.06 2

         ������������2 9 ∗ 109 5 ∗ 10−9
������2 =           =               = 11.25 ������/������
          ������2 2       2.0 2

         ������������3 9 ∗ 109 3 ∗ 10−9
������3 =           =               = 5.84 ������/������
          ������3 2      2.15 2

                     2
������1 = ������������������−1          = 75.96°
                    0.5

                     2
������2 = ������������������−1          = 68.19°
                    0.8


            8 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
������1������ = ������1 ������������������������1 = −2.05 ������ ������/������          ������1������ = ������1 ������������������������1 = −8.20 ������ ������/������

������2������ = ������2 ������������������90° = 0                      ������2������ = ������2 ������������������90° = 11.25 ������ ������/������

������3������ = ������3 ������������������������2 = −2.17 ������ ������/������         ������3������ = ������3 ������������������������2 = 5.42 ������ ������/������

������������ = −4.8 ������ + 8.47 ������ ������/������

������������ = ������. ������������ ������/������

Para (2.0 , 0)

        ������������1 9 ∗ 109 4 ∗ 10−9
������1 =          =               = 5.76 ������/������
         ������1 2       2.5 2

        ������������2 9 ∗ 109 5 ∗ 10−9
������2 =          =               = 11.25 ������/������
         ������2 2       2.0 2

        ������������3 9 ∗ 109 3 ∗ 10−9
������3 =          =               = 18.75 ������/������
         ������3 2       1.2 2

������������ = −5.76 ������ + 11.25 ������ + 18.75 ������ ������/������

������������ = 24.24 ������ ������/������

������������ = ������������. ������������ ������/������




         9 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL

                                                                             LEY DE GAUSS

Ejercicio 1.
Una esfera pequeña cuya masa es 1.12 mg contiene una carga 19.7 ������������ cuelga en el campo
gravitatorio de la tierra de un hilo de seda que forma un ángulo de 27.4° con una lámina grande
no conductora y uniformemente cargada. Calcule la densidad de carga uniforme ������ para la
lámina.

 + →             ������������ = 0                       + ↑          ������������ = 0

������������ = ������ ������������������������                                  ������ ������������������������ = ������������

              ������������������������                                      ������������
������������ = ������������                                         ������ =
              ������������������������                                     ������������������������

������������ = ������������ ������������������������

                 ������������������������                                  ������������������������
   ������ . ������������ =                                      ������ =
                   ������0                                     ������������������������

                                ������������������������                              ������������
   ������������������ ������������������(0) =                       ⇒      ������   ������������ =
                                  ������0                                  ������0

              ������������                           ������
������ 2������ =                    ⇒        ������ =
               ������0                          2������0

 ������
     ������ = ������������ ������������������������
2������0

       ������������ ������������������������ 2������0   2 1.12 ∗ 10−6 ������������������ 27.4 8.85 ∗ 10−12 (9.8)
������ =                      =
               ������                            19.7 ∗ 10−9

������ = ������. ������������ ∗ ������������−������ ������/������������



Ejercicio 2.
Un cilindro infinitamente largo de radio a lleva una carga uniforme por unidad de volumen
−������������ ������������ > 0 y está rodeado por un cilindro conectado de radio b coaxial al cilindro como se
muestra en la figura. Mediante la utilización de una superficie gaussiana apropiada. Determine
el campo eléctrico para r < a , a < r < b , r > b




       10 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
Para r < a

                ������������������������                            ������������������������
  ������ . ������������ =                                ������ =              ⇒         ������������������������ = ������ ������
                                                                                        ������������������
                  ������0                               ������������������������

                              ������������������������                            ������ ������������������������
  ������������������ ������������������(180) =                   ⇒ −������           ������������ =
                                ������0                                  ������0

                    −������0 ������������ 2 ������                  ������������ ������
−������ 2������������������ =                            ⇒   ������ =           ������/������ ; ������������������������������������������������������������������ ������������������������������ ������������������������������������������
                        ������0                         ������������������


Para a < r < b

                ������������������������                            ������������������������    ������������
  ������ . ������������ =                                ������ =            =              ⇒       ������������ = ������������ ������������
                                                                                              ������
                  ������0                               ������ ������������
                                                      ������       ������ ������������
                                                                ������

                              ������������������������                            ������ ������ ������������
                                                                       ������
  ������������������ ������������������(180) =                   ⇒ −������           ������������ =
                                ������0                                  ������0

                    −������0 ������������2 ������                    ������������ ������������
−������ 2������������������ =                            ⇒   ������ =              ������/������ ; ������������������������������������������������������������������ ������������������������������ ������������������������������������������
                        ������0                          ������������������������

Para r > b




Como el conductor está conectado a tierra, suben electrones para neutralizar la carga +������������������������������������ por lo tanto la carga
encerrada es nula, entonces.

������ = ������




      11 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
Ejercicio 3.
Para la configuración mostrada en la figura suponga que a = 5 cm, b = 20 cm, c = 25 cm. Suponga
también que se mide el valor del campo eléctrico en un punto a 10 cm del centro igual a
������. ������ ∗ ������������������ ������/������ radialmente hacia adentro en tanto que le campo eléctrico en un punto a 50 cm
del centro es ������. ������ ∗ ������������������ ������/������ radialmente hacia afuera. A partir de esta información encuentre la
carga neta sobre la esfera conductora hueca.




a<r<b

                 ������������������������ ������������������������������������������������������
   ������ . ������������ =           =
                   ������0           ������0

                                   ������������������������������������������������������                          ������������������������������������������������������
  ������������������ ������������������(180) =                                  ⇒ −������ ������������ =
                                           ������ 0                                       ������ 0


                      ������������������������������������������������������
−������ 4������������ 2 =
                             ������0

������������������������������������������������������ = −4������������������ 2 ������0 = −4������ 3.6 ∗ 103 0.1                         2
                                                                                       8.85 ∗ 10−12

������������������������������������������������������ = −4 ������������

r>c

                 ������������������������
   ������ . ������������ =
                   ������0

                              ������������������������                              ������������������������
   ������������������ ������������������(0) =                             ⇒ ������     ������������ =
                               ������0                                   ������0

                  ������������������������
������ 4������������ 2 =                       ⇒              ������������������������ = −4������������������ 2 ������0 = −4������ 2.0 ∗ 102 0.5      2
                                                                                                          8.85 ∗ 10−12
                   ������0

������������������������ = 5.56 ������������

������������������������������������������������������������ = ������������������������ − ������������������������������������������������������ = 5.56 ������������ − (−4 ������������)

������������������������������������������������������������ = ������. ������������ ������������




        12 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
Ejercicio 4.
Una masa de 1 g se la expone a un cilindro que tiene una densidad de carga ������ = ������������ donde A es
una constante. Calcular la carga de la esfera que esta colgando de un hilo aislante, donde
������ = ������������°
 + →             ������������ = 0                         + ↑           ������������ = 0

������������ = ������ ������������������������                                        ������ ������������������������ = ������������

                 ������������������������                                           ������������
������������ = ������������                                              ������ =
                 ������������������������                                          ������������������������

       ������������ ������������������������
������ =
            ������
                   ������������������������
   ������ . ������������ =
                     ������0

                                  ������������������������������������                                ������������������������������������
   ������������������ ������������������(0) =                             ⇒        ������      ������������ =
                                     ������0                                         ������0

                     ������������������������������������
������ 2������������′������ =
                        ������0

       ������������
������ =
       ������������

   ������������ =          ������������������                 ;             ������ = ������������ 2 ������        ⇒         ������������ = 2������������������ ������������


������������������������������������ =      2������������������������ ������������ =              2������������������ 2 ������ ������������

                              1                                    1
                                                            ������ 3
������������������������������������ = 2������������������            ������ 2 ������������ = 2������������������
                                                             3     0
                              0

                 2������������������
������������������������������������ =           (������)
                   3

                     2������������������                              ������
������ 2������������′������ =                           ⇒        ������ =
                      3������0                              3������0 ������′

       ������������ ������������������������ 3������0 ������ ′ ������������ ������������������������ 3 8.85 ∗ 10−12 1.5 1 ∗ 10−3 9.8 ������������������(20)
������ =                =                       =
            ������                  ������                              ������

       1.42 ∗ 10−3
������ =                                ;         pero como el campo es positivo y además existe una fuerza de atracción, entonces:
            ������

           ������. ������������ ∗ ������������−������
������ = −                        ������
                    ������




        13 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
Ejercicio 5.
Considere un cilindro no conductor de longitud infinita con su núcleo hueco. El radio interior es
a, el radio exterior es b, y la región solida tiene carga uniformemente distribuida por unidad de
volumen de densidad ������.




        a) Usando la Ley e Gauss, calcule el campo eléctrico a una distancia r desde el eje del
           cilindro donde r > b (Exprese los resultados en función de a, b, ������, r).
        b) Usando la Ley e Gauss, calcule el campo eléctrico a una distancia r desde el eje del
           cilindro donde a < r < b

Para a)

                   ������������������������                             ������������������������ ������������������������������������
    ������ . ������������ =                      ;          ������ =             =
                     ������0                                ������������������������   ������������������������������������

������������������������������������ = ������ ������������������������������������

������������������������������������ = ������ ������������ 2 ������ − ������������2 ������ = ������������������ ������ 2 − ������2 (������)

                                 ������������������������                                   ������������������������������������
    ������������������ ������������������(0) =                          ⇒       ������        ������������ =
                                   ������0                                         ������0

                    ������������������ ������ 2 − ������2                                    ������������������ ������������ − ������������
������ 2������������������ =                                        ⇒             ������ =                        ; ������������������������������������������������������������������ ������������������������������ ������������������������������������
                             ������0                                                ������������������������

Para b)

                   ������������������������
    ������ . ������������ =
                     ������0

        ������������������������                         ������������
������ =                ⇒ ������ =
        ������������������������                         ������������

    ������������ =         ������������������                   ;           ������ = ������������ 2 ������ − ������������2 ������ = ������������ ������ 2 − ������2             ⇒      ������������ = 2������������������ ������������

                         ������                                  ������
                                                    ������ 2
������������������������ = 2������������������            ������������������ = 2������������������
                                                     2       ������
                       ������


������������������������ = ������������������ ������ 2 − ������2 (������)

                                 ������������������������                                   ������������������������
    ������������������ ������������������(0) =                          ⇒       ������        ������������ =
                                   ������0                                        ������0

                    ������������������ ������ 2 − ������2                                    ������������������ ������������ − ������������
������ 2������������������ =                                        ⇒             ������ =                        ; ������������������������������������������������������������������ ������������������������������ ������������������������������������
                             ������0                                               ������������������������



         14 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL

                                                          ENERGÍA Y POTENCIAL ELÉCTRICO

Ejercicio 1.
Un bloque de 4 Kg con una carga Q con 50 ������������ se conecta a un resorte para el cual k= 100 N/m, el
bloque esta sobre una pista horizontal sin fricción, el sistema está inmerso en un campo
eléctrico uniforme de magnitud ������ = ������ ∗ ������������������ ������/������ y su dirección es como se indica en la figura.
Si el bloque se suelta desde el reposo cuando el resorte no está deformado (x = 0).




         a) Que distancia máxima se alargará el resorte.
         b) Cuál será la posición de equilibrio del resorte.
         c) Muestre que existe M.A.S y determine su periodo.

Para a)

������������ = ������������

0 = ����������������������������������������������� + �����������������������������������������������������

   1                        2
                                           1                            2
0 = ������ ������������ á������                 + −������������������ = ������ ������������ á������                     − ������������������������ á������
   2                                       2

   1
0 = ������������������ á������ − ������������
   2

               2������������ 2 50 ∗ 10−6 5 ∗ 105
������������ ����� =          =
                ������            100

 ����������������� = ������. ������ ������

Para b)

 + →                ������������ = 0

������������������é������������������������������������ − ������������������á������������������������������ = 0       ⇒       ������������������é������������������������������������ = ������������������á������������������������������

������������ − ������������������������������������������������������������������������ = 0           ⇒       ������������ = ������������������������������������������������������������������������

                           ������������   50 ∗ 10−6 5 ∗ 105
������������������������������������������������������������������ =        =
                            ������           100

 ������������������������������������������������������������������ = ������. ������������ ������




          15 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
Para c)

    ������ = ������������

                                                   ������2 ������
������������������é������������������������������������ − ������������������á������������������������������ = ������
                                                   ������������ 2

                                                            ������2 ������                                                              ������2 ������
������������ − ������ ������������������������������������������������������������������ + ������ = ������                              ⇒        ������������ − ������������������������������������������������������������������������ − ������������ = ������
                                                            ������������ 2                                                              ������������ 2
                                                                                                  0


                   ������������ ������
 −������������ = ������                           ∴ ������������ ������. ������. ������
                   ������������������


    ������     ������2 ������                                            ������2 ������
−      ������ = 2                     ⇒        −������2 ������ =
    ������     ������������                                              ������������ 2

          ������                             2������
������2 =              ;       ������ =
          ������                             ������

           ������                                      ������        4
������ =                   ;       ������ = 2������               = 2������
           ������                                      ������       100

 ������ = ������. ������������ ������������������



Ejercicio 2.
Una carga de -3 ������������ esta fijo en un determinado punto desde una distancia de 4,5 cm, una
partícula de 7,2 gr y carga -8������������ es disparada con una velocidad inicial de 65 m/seg directamente
hacia la carga fija ¿Qué distancia recorre la partícula antes de que su velocidad sea cero.




Δ������ = ������������������é������������������������������ ������

1            1
  ������ ������������ 2 − ������ ������������ 2 = −������������������                            ;       ������������������������ ������������ ������������������������������ ������������ ������������ ������������������������������������������������, ������������ ������������������ ������������������������������ ������������������ ������������ ������������������������������, ������������������������������������������������
2            2
                                   ������
 1
− ������ ������������ 2 = −������                       ������ ������������
 2
                                  0

                             ������                                                           ������ ������
1                                 ������������                           1                                ������������
  ������ ������������ 2 = −������                       ������������         ⇒             ������ ������������ 2 = −������                      (−������������)
2                                  ������ 2                          2                                 ������ 2
                           0                                                             ������0

                                           ������ ������
1                      1                                         1                     1 1
  ������ ������������ 2 = ������������������ −                              ⇒              ������ ������������ 2 = ������������������    −
2                      ������                  ������0                   2                    ������0 ������������



         16 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
                                                                  −1                                           −1
 1    1 ������ ������������ 2                                   1 ������ ������������ 2              1          7.2 ∗ 10−3 65 2
    = −                    ⇒       ������������ =             −                =        −
������������ ������0 2������������������                                   ������0 2������������������             0.045 2 9 ∗ 109 3 ∗ 10−6 8 ∗ 10−6

������������ = −0.0207 ; el resultado nos queda negativo debido a que ”dr” es un vector, pero sabemos que dx = - dr, entonces

������������������������������������ = ������. ������������������������ ������



Ejercicio 3.
Considere que una carga de +3 ������������ es colocada en el punto A. ¿Cuánto trabajo se requiere para
llevarla desde el punto A hasta el punto B del rectángulo de dimensiones 2 cm x 10 cm?




                                      ������
Δ������ = −������           ;         Δ������ =
                                       ������

Δ������ = Δ������ ������ = ������������ − ������������ ������

                                            ������������
           ������1  ������2  ������1   ������2                                         ������1 ������2 ������1 ������2
Δ������ = ������ ������ + ������ − ������ + ������                                 = ������������          + − +
            ������   ������   ������    ������                                          ������  ������  ������  ������
                   ������������
                                                               5    2   5   2
Δ������ = 3 ∗     10−6        9 ∗ 109 1 ∗ 10−6                −       +   −   +
                                                              0.02 0.1 0.1 0.02

Δ������ = −7.56 ������            ⇒      ������ = ������. ������������ ������



Ejercicio 4.
Una carga puntual “q” es colocada en reposo en el punto “p” sobre el eje de un anillo con carga
uniforme q y radio R. Cuando la carga se libera, esta se mueve a lo largo del eje x, conforme lo
muestra la figura. Encuentre una expresión para la velocidad final que adquiere esta carga
puntual luego de moverse una distancia “x”, desprecie efectos gravitacionales.




      17 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
������������ = ������������

������������ + ������������ = ������������ + ������������                 ⇒             ������������ − ������������ = ������������ − ������������

− ������������ − ������������ = Δ������                   ⇒            Δ������ = −Δ������

         ������    ������
Δ������ =        =−
          ������     ������

                   1                         ������ ������������ 2
Δ������ = −               ������ ������������ 2 − ������������ 2 = −
                  2������                          2������

             ������                                          ������������
������ = ������                ⇒       ������������ = ������
             ������                                     ������2    + ������2

                        ������                                                   ������������
   ������������ =                             ������������          ⇒           ������ =
                    ������2   +   ������2                                        ������2   + ������2

                        ������ ������������ 2                                              ������������                         ������������
������ − ������ = −
 ������   ������                                     ;            ������ =
                                                           ������                                  ;   ������ =
                                                                                                    ������
                          2������                                          ������2   + (������    + ������)2              ������2   + ������ 2

          ������������                      ������������                 ������ ������������ 2
                               −                 =−
  ������2 + (������ + ������)2                    2������                  2������


                  ������������������������     ������                          ������
������������ =                                −                                        ������/������������������
                    ������         ������������              ������������   + (������ + ������)������


Ejercicio 5.
¿Cuál de las siguientes premisas es correcta?
    a) Si el campo eléctrico es cero en algún punto del espacio, el potencial eléctrico debe ser
         también cero en dicho punto
    b) Si el potencial eléctrico es cero en algún punto del espacio, el campo eléctrico debe ser
         cero también en dicho punto
    c) Las líneas del campo eléctrico apuntan hacia las regiones donde el potencial es más alto
    d) En electroestática, la superficie de un conductor es una superficie equipotencial.

Para a)

      ������������
������ =      ; Por esta definición nos dice, que si el campo eléctrico es cero, el potencial eléctrico no necesariamente es
     ������������
cero, si no que puede ser una constante

Para b)

             ������
������ = ������             (������������������������������������������������������ ������������������������������������ ������ ������������������ ������������������������������ ������������������������������������������)
             ������

              ������1                            ������2
������1 = ������                  ;    ������2 = ������
               ������                             ������

Si el campo eléctrico es cero, el potencial eléctrico es cero




       18 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
Para c)

Las líneas del campo eléctrico apuntan donde el potencial decrece

Para d)

La superficie de un conductor es una superficie equipotencial


Ejercicio 6.
Si tenemos una carga positiva de 1 C en el centro de una esfera de radio R ¿Cuál es el flujo a
través de la superficie de la esfera.

                   ������������������������
   ������ . ������������ =
                     ������0

                 ������������������������                                        ������
ɸ ������������������������������ =                     ⇒    ɸ������������������������������ =                        ������������������ /������
                   ������0                                  ������. ������������ ∗ ������������−������������


Ejercicio 7.
Un alambre doblado en forma de semicírculo de radio “a” mantiene una carga eléctrica
uniformemente a lo largo de su longitud, con densidad ������. Calcule el potencial eléctrico el el
punto O
          ������
������ = ������
          ������

               ������������      ������������������
������������ = ������           = ������
                ������         ������

               ������������                              ������������
   ������������ =                   ������������   ⇒      ������ =        ������
                ������                                ������ ������������������������������

       ������������
������ =        ������������               ⇒       ������ = ������������������ ������
        ������


Ejercicio 8.
Calcule el potencial eléctrico en el punto P sobre el anillo mostrado en la figura la cual tiene una
densidad de carga ������ = ������/������ donde ������ es una constante positiva.
                            ������������
������������������������������������������������ ������������������:             = ������������ ������ + ������������ + ������������
                         ������������ + ������������




        19 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
                                                        ������������
������������������������������������ ������������ ������������������������������ ������: ������ =
                                                    ������ 2 +������ 2

               ������������������                                     ������������
������������ =                                 ;          ������ =                ⇒       ������������ = ������������������
              ������ 2   +   ������2                              ������������

              ������������������������
������������ =                                 ;           ������ = ������������ 2            ⇒     ������������ = 2������������������������
              ������ 2 + ������2

         2������������������������������������                  2������������������������������ ������
������������ =                             =
              ������ 2 + ������2                 ������ 2 + ������2 ������
                               ������
                                           ������������                                                    ������
   ������������ = 2������������������                                        = 2������������������ ������������ ������ + ������ 2 + ������2
                                       ������ 2   +   ������2                                              ������
                              ������


������ = 2������������������ ������������ ������ + ������ 2 + ������2 − ������������ ������ + ������2 + ������2


                                   ������ + ������������ + ������������
������ = ������������������������ ������������                                                   ������
                                   ������ + ������������ + ������������


Ejercicio 9.
Un alambre que tiene densidad lineal de carga uniforme ������ se dobla de la forma indicada en la
figura. Encuentre el potencial eléctrico en el punto O.




       ������������
������ =                 ⇒ ������������ = ������������������
       ������������

                ������������      ������������������
������������1 = ������           = ������
                 ������         ������
                         3������
                               ������������                            3������
   ������������1 = ������������                     = ������������ ������������ ������             ������
                                ������
                         ������


������1 = ������������ ln⁡
             (3)

                ������������      ������������������
������������2 = ������           = ������
                 ������        ������

                ������������                       ������������
   ������������2 =                    ������������ =            ������
                 ������                         ������ ������������������������������

        ������������
������2 =        ������������
         ������

������������������������������������ = ������������������ ������������ ������ + ������������������ ������




        20 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
Ejercicio 10.
Un cilindro conductor de radio a tiene una carga uniformemente distribuida es su superficie ������
Determine:
    a) El valor del campo eléctrico fuera del cilindro.
    b) La diferencia de potencial entre 2 puntos ubicados a una distancia ������������ y ������������ , fuera del
         cilindro medidos desde el eje del cilindro (������������ > ������������ ).

Para a)

                ������������������������                                     ������������������������
  ������ . ������������ =                                        ������ =                  ⇒        ������������������������ = ������������ = ������ 2������������������
                                                                                                  ������������������
                  ������0                                        ������������������������

                               ������������������������                                 2������������������������
  ������������������ ������������������(0) =                      ⇒         ������     ������������ =
                                 ������0                                      ������0

                 2������������������������                            ������������
������ 2������������������ =                        ⇒     ������ =               ������/������ ; ������������������������������������������������������������������ ������������������������������ ������������������������������������
                   ������0                               ������������ ������

Para b)

Δ������ = −������������

           ������

Δ������ = −         ������ . ������������
          ������

                       ������                     ������2
                                                     ������������
������������ − ������������ = −             ������ (−������������ ) =                  ������������
                                                    ������0 ������
                    ������                      ������1

                         ������2
                ������������           ������������ ������������
������������ − ������������ =                      =     ln ������2 − ln ������1
                ������0             ������   ������0
                       ������1


                  ������������      ������������
������������ − ������������ =          ������������
                  ������������      ������������



Ejercicio 11.
Dos cascarones conductores esféricos y concéntricos están conectados por medio de un alambre
delgado como se muestra en la figura, si una carga Q se pone en el sistema ¿Cuánta carga queda
sobre cada esfera?
a = 0.4 m
b = 0.5 m
Q = 10 ������������




      21 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
Cuando se une por un alambre el potencial en la superficie de las dos esferas son iguales.

������1 = ������2        ;          ������ = ������1 + ������2

     ������1      ������2                          ������1 ������2
������       = ������                   ⇒              =
      ������       ������                           ������   ������

������ − ������2 ������2                                                         ������
        =                       ⇒           ������ = ������2 1 +
   ������     ������                                                         ������

                                −1                                                    −1
                          ������                                                 0.4
������2 = ������ 1 +                         = 10 ∗ 10−6                      1+
                          ������                                                 0.5

������������ = ������. ������������ ∗ ������������−������ ������                        ;    ������������ = ������. ������������ ∗ ������������−������ ������



Ejercicio 12.
Una esfera solida aislante de radio R tiene una densidad de carga volumétrica uniforme con
carga total Q.
    a) Determine el potencial eléctrico en un punto fuera de la esfera, es decir (r > R).
         Considere V = 0 en el infinito.
    b) Encuentre el potencial en un punto dentro de la esfera (r < R)

Para a)

∆������ = −            ������. ������������

                     ������������������������
     ������ . ������������ =
                       ������0

                                    ������                                      ������
     ������������������ ������������������(0) =                        ⇒        ������         ������������ =
                                    ������0                                     ������0

                      ������                                  1     ������                                 ������������
������ 4������������ 2 =                     ⇒             ������ =                               ⇒         ������ =
                      ������0                               4������������0 ������ 2                                 ������ 2
                                      ������

������������>������ − ������ =∞ = −
           ������                              ������������������
                                     ∞

                     ������
                                                         ������
                          ������������              1                                                ������������
������������>������ = −                   2 ������������ = ������������ ������
                                                                    ⇒         ������������>������ =           ������
                           ������                            ∞                                    ������
                 ∞


Para b)

                     ������������������������
     ������ . ������������ =
                       ������0

        ������������������������������������   ������������������������                                       ������������������������������������                                         ������  4 3
������ =                 =                         ⇒        ������������������������ =                 ������          ⇒           ������������������������ =           ������������
        ������������������������������������   ������ ������������
                         ������                                           ������������������������������������ ������������������                               4 3 3
                                                                                                                          ������������
                                                                                                                        3

                                    ������������������������                                       ������������ 3
     ������������������ ������������������(0) =                             ⇒         ������     ������������ =
                                      ������0                                         ������0 ������3



         22 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
                   ������������ 3                               1    ������������ 3                             ������������������ 3
������ 4������������ 2 =                    ⇒          ������ =                                ⇒         ������ =
                  ������0 ������3                             4������������0 ������3                                  ������3

                            ������<������

������������<������ − ������
           ������=∞ = −                 ������������������
                            ∞

              ������<������                              ������                 ������
                      ������������������ 3                                           ������������������ 3
������������<������ = −                    ������������ = −               ������1 ������������ −                  ������������
                        ������3                                                ������3
              ∞                                ∞                   ������

                                    ������
            ������������ ������������ ������ 2                                              ������������ ������������ 2
������������<������ =       − 3                          ⇒          ������������<������ =           − 3 ������ − ������2
             ������  ������ 2               ������
                                                                         ������  2������

            ������������      ������������ − ������������
������������<������ =        ������ −                            ������
             ������          ������������������



Ejercicio 13.
El flujo del campo creado por un dipolo eléctrico formados por 2 cargas (+q) y (-q) a través de
una superficie cerrada que rodea el dipolo y situado en el vacio es igual a:

                ������������������������                                  +������ −������
  ������ . ������������ =                ⇒           ɸ ������������������������������ =       +                 ⇒         ɸ ������������������������������ = 0
                  ������0                                     ������0   ������0


Ejercicio 14.
Los tres grandes planos de la figura (que pueden considerarse de superficie infinita, ya que sus
áreas son muchos mayores que la separación de 1 m entre ellos; en el espacio entre ellos está el
vacio) están cargados uniformemente con unas densidades de carga.
������������ = ������. ������������ ∗ ������������−������ ������/������������ ; ������������ = ������. ������������ ∗ ������������−������ ������/������������ ; ������������ = ������������. ������������ ∗ ������������−������ ������/������������




      a) Determinar el campo eléctrico en puntos; 0 < y < 1 , 1 < y < 2
      b) Determinar las diferencias de potencial ������������ − ������������ , ������������ − ������������
      c) ¿Con que velocidad en la dirección del OY se debe lanzar el protón desde un punto de.
         coordenadas (0.5 , -0.5 , 0.5)m para que llegue al plano B con velocidad cero.




      23 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
Para a)

0<y<1
         ������������        ������������        ������������
������������ =           −           −
         2������ 0       2������ 0       2������ 0


          1                             10−6
������������ =        ������������ − ������������ − ������������ =                                  3.54 − 7.08 − 10.62
         2������0                      2 8.85 ∗ 10−12

������������ = −������������������ ������ ������������/������

1<y<2

         ������������   ������������   ������������
������������ =        +      −
         2������0 2������0 2������0

          1                             10−6
������������ =        ������������ + ������������ − ������������ =                                  3.54 + 7.08 − 10.62
         2������0                      2 8.85 ∗ 10−12

������������ = ������ ������/������

Para b)

Como el potencial apunta donde el campo decrece, entonces ������������ > ������������

������������ − ������������ = +������������                 ⇒     ������������ − ������������ = +800 ∗ 103 (1)

������������ − ������������ = ������������������ ������������

������������ − ������������ = ������������               ⇒       ������������ − ������������ = ������ ������

Para c)

         ∆������    ∆������
∆������ =        =−
          ������     ������

                ������                                         ������ 2
∆������ = −             ������ 2 − ������������ 2           ⇒      ∆������ =      ������
                2������ ������                                     2������ ������

                  ������������ 2
������������ − ������������ =          ������
                  2������������ ������

              ������������   ������������   ������������
������������ = −           −      −
              2������0 2������0 2������0

               1                             10−6
������������ = −           ������������ + ������������ + ������������ =                              3.54 + 7.08 − 10.62
              2������0                      2 8.85 ∗ 10−12

������������ = −1200 ������ ������������/������

������������ > ������������

������������ − ������������ = −������������ ������              ⇒     ������������ − ������������ = −1200 ∗ 103 (0.5)

������������ − ������������ = −0.6 ∗ 106 ������                  ⇒      ������������ = −0.6 ∗ 106 + ������������



         24 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
������������ − ������������ = 800 ������������                         ⇒             ������������ = 800 ∗ 103 + ������������

                                                                          ������������ 2
 800 ∗ 103 + ������������ − −0.6 ∗ 106 + ������������ =                                        ������
                                                                          2������������ ������


           2 1.4 ∗ 106 ������������                            2 1.4 ∗ 106 1.6 ∗ 10−19
������������ =                      =
                 ������������                                        1.67 ∗ 10−27


������������ = ������. ������������������������������ ∗ ������������������ ������/������������������



Ejercicio 15.
La figura de abajo muestra una placa conductora de espeso W y dos láminas dieléctricas, todas
muy grandes (infinitas), se muestra una vista lateral. La placa conductora tiene carga
uniformemente distribuida en sus dos superficies, ������������������������������������ , las láminas dieléctricas tiene carga
uniformemente distribuida de densidades ������������ y ������������ . Determine la magnitud y la dirección del
campo eléctrico en el punto A

W = 3cm.
������������ = −������. ������ ������������/������������
������������ = +������. ������ ������������/������������
������������������������������������ = +������. ������ ������������/������������
          ������������������������������ ������������������������
         ������������ ������������������������������������������������������
              ������������������������������������               ������������   ������������
������������ =                             −          −
                 ������0                     2������0 2������0
                                        ������������������������������ ������������������������
                                       ������������ ������������������������ �����������������������������������


           2 ∗ 10−3     2.5 ∗ 10−3       7.5 ∗ 10−3
������������ =               −               −
         8.85 ∗ 10−12 2 8.85 ∗ 10−12   2 8.85 ∗ 10−12

������������ = −������. ������������������ ∗ ������������������ ������ ������/������




         25 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
Ejercicio 16.
La figura de abajo muestra tres planos, todas de áreas muy grandes. Las dos placas delgadas
(láminas) están hechos de material aislante y tienen carga uniformemente distribuidas de
densidades ������������ y ������������ respectivamente. La placa metálicas tiene ancho W, y esta inicialmente
descargada.
������������ = ������ ������������
������������ = ������������ ������������
������ = ������ ������������
������������ = −������. ������ ������������/������������
������������ = +������. ������ ������������/������������
������������������������������������ = ������



        a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico ������������ en el origen (el punto marcado con A en el
           origen)?
        b) ¿Cuál es el signo de la densidad superficial de carga ������, sobre la superficie izquierda de la
           placa metálica?
        c) Calcule la diferencia de potencial eléctrico entre las láminas no conductoras, esto es,
           entre (x = ������������ ) y (x = ������������ )

Para a)

         ������������   ������������
������������ =        −
         2������0 2������0

          1                      10−6
������������ =        ������������ − ������������ =                                 2.5 − 7.5
         2������0               2 8.85 ∗ 10−12

������������ = −������. ������������ ∗ ������������������ ������ ������/������

Para b)

Entran en negativas y salen de las positivas

∴ ������������ ������������������������������������������������

                          ������
������������������������������������������������������������ =            ⇒       ������ = ������������ ������0 = 0.28 ∗ 106 8.85 ∗ 10−12
                         ������0

  ������ = ������. ������������������ ∗ ������������−������ ������/������������

Para c)

              ������������   ������������         10−6
������������ = −           −      =−                                 2.5 + 7.5
              2������0 2������0      2 8.85 ∗ 10−12

������������ = −0.56 ∗ 106 ������/������                     ⇒       ������������ = 0.56 ∗ 106 ������/������

������������ > ������������        ⇒           ������������ − ������������ = +������������ ������

������������ − ������������ = 0.56 ∗ 106 0.12                    ⇒      ������������ − ������������ = ������. ������������������ ∗ ������������������ ������

         26 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL

                                      CAPACITANCIA

Ejercicio 1.
Suponga que todos los capacitores se encuentran descargados antes de ensamblar el circuito.
Si definimos el potencial en el alambre inferior como cero. Determine el valor del potencial ������������
en el punto b indicado en la figura.




                                              1         1         1         ������4 +������1
������4 = ������2 + ������3                                     =         +         =
                                              ������5       ������1       ������4        ������4 ������1

                                                         5
������4 = 5 ������������                                  ������5 = ������������
                                                         6

                                                         ������                                     5
                                              ������5 =                ⇒          ������ = ������������5 = 12       = 10 ������������
                                                         ������                                     6
         ������        10
������2 =         =
         ������4       5
                                              ������ = 10 ������������
������2 = 2 ������

Δ������ = ������������ − ������ = 2

������������ − ������ = 2

������������ = ������ ������



Ejercicio 2.
Seis capacitores idénticos de 5Pf de capacitancia son conectados a una batería de 9 voltios como
se muestra en el diagrama. Calcule la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos A y B
marcados en el circuito. Determine la energía total almacenada en los seis capacitores.




      27 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL

 1   1   1    ������3 + ������1
   = +      =
������4 ������1 ������3     ������3 ������1

        10(10)
������4 =                     ⇒       ������4 = 5������������
        10 + 10

          ������4 ������2   5(10)
������5 =             =
        ������4 + ������2 5 + 10

        10
������5 =      ������������
        3

        ������                                          10
������5 =             ⇒       ������ = ������5 9������ = 9                   ⇒      ������ = 30 ������������
        9������                                         3

         ������                               ������ 30
������4 =                 ⇒       Δ������������������ =       =              ⇒      ������������������������ = ������ ������
        ������������������                           ������4   5

              1           1 10
������������������������������������ = ������5 ������ 2 =      ∗ 10−12                   9   2
              2           2 3

������������������������������������ = ������. ������������ ∗ ������������−������������ ������



Ejercicio 3.
Encuentre:
    a) La capacitancia equivalente entre los puntos a y b para el grupo de capacitores
         conectados, como se indica en la figura si ������������ = ������. ������ ������������ , ������������ = ������������. ������ ������������ , ������������ = ������. ������ ������������
    b) Si ������������������ = 60 voltios, ¿Cuál es la energía almacenada en ������������ ?




Para a)

 1   1   1    ������1 + ������2
   = +      =
������4 ������1 ������2     ������1 ������2

        5(10)                             10
������4 =                 ⇒         ������4 =        ������������
        5 + 10                            3

������5 = ������2 + ������2           ⇒      ������5 = 20 ������������

                                    10                                   26
������6 = ������4 + ������3 + ������4 = 2              +2                ⇒       ������6 =      ������������
                                    3                                    3

          ������7 ������5   26/3 (20)                                                  ������������������
������7 =             =                                 ⇒        ������������ = ������������������ =          ������������
        ������7 + ������5   26/3 + 20                                                   ������������

        28 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
Para b)

     1                  2
������3 = ������3 ∆������������3
     2

         ������                                     260                        15600
������7 =             ⇒         ������ = ������7 ������������������ =       60       ⇒      ������ =         ������������
        ������������������                                   43                         43

         ������                              ������ (15600/43)                                         1800
������6 =               ⇒        ∆������������6 =        =                     ⇒       ∆������������6 = ∆������������3 =        (������)
        ∆������������6                           ������6   (26/3)                                           43

                                      2
        1                     1800
������3 =     2 ∗ 10−3                         ⇒        ������������ = ������. ������������������ ������
        2                      43

Ejercicio 4.
Un condensador esférico, formado por dos esferas conductores, de radios r y R, se carga a una
diferencia de potencial ������������ . Enseguida, se introduce entre las esferas un dieléctrico líquido de
constante k, hasta llenar la mitad del volumen interior.
    a) ¿Cómo están conectados los dos condensadores? Explique por que
    b) Encuentre la capacitancia equivalente del condensadores
    c) Determine el cabio en la energía electroestática del sistema, debida a la introducción del
         dieléctrico.




Para a)

Tienen la misma diferencia de potencial

∴ ������������������������������ ������������������������������������������������������������ ������������ ������������������������������������������������


Para b)

                                                                                                           ������������
Capacitancia de condensador esférico de radio interior a y radio exterior b ������ =                                      ; ������������ = constante eléctrica
                                                                                                       ������������ (������−������)


������������������ = ������1 + ������2

                 ������������           ������������
������������������ =                 +               ������
           ������������ (������ − ������) ������������ (������ − ������)

                 ������������
������������������ =                       ������ + ������    ������
            ������������ (������ − ������)




        29 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL

Para c)

    1
������ = ������������ 2
    2

     1          1       ������������
������0 = ������������0 2 =                  ������ 2 (������������������������������ ������������ ������������������������������������������������������������ ������������ �����������������������������������������������������������)
     2          2 ������������ (������ − ������) 0

                                                                                2
      1                1       ������������                                      ������0
������������ = ������������������ ������������ 2 =                  ������ + 1                                       (������������������������������������������ ������������ ������������������������������������������������������������ ������������ �����������������������������������������������������������)
      2                2 ������������ (������ − ������)                                   ������

∴ ������������ > ������������



Ejercicio 5.
Dos capacitores son conectados a una batería como se muestra en la figura. Los capacitores son
idénticos. La única diferencia es que el espacio entre sus placas esta en vacío (k = 1) en el caso de
������������ y una lamina dieléctrica (k > 1) en el caso de ������������




      a) Compare las cargas sobre el capacitor ������������ y sobre le capacitor ������������
      b) Compare las magnitudes del campo eléctrico entre las placas de los capacitores
      c) Compare la diferencia de potencial entre las placas de los capacitores

Para a)

������1 = ������1      ;           ������2 = ������������2         ;     ������1 = ������2 = ������

        ������1                         ������2
������1 =              ;       ������2 =
         ������                          ������

������1 = ������1 ������ ;             ������2 = ������������1 ������

������������ > ������������


Para b)

������1 = ∆������������            ;     ������2 = ������������������������������������������������������������ − ������������������������������ é������������������������������������

������������ > ������������


Para c)

������1 = ������2 = ������

El circuito está conectado en paralelo ∴ ������������ = ������������




        30 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
Ejercicio 6.
Dos placas metálicas paralelas y cargadas de área A separadas por una distancia d.
A = 0.2 ������������
d = 0.03 m




¡) Un conductor de espesor d/2 es insertado entre las placas como se muestra abajo. La
capacitancia total
    a) Se incrementa
    b) Disminuye
    c) No cambia

                    ������          ������                                      ������          ������
������1 = ������0              = ������0                 ;              ������2 = ������0      = ������0
                    ������       (������/4)                                     ������       (������/4)

  1           1         1                         ������1 ������2
          =         +         ⇒       ������������������ =
������������������        ������1       ������2                      ������1 +������2


                    ������          ������
               ������0      ∗ ������
                 (������/4) 0 (������/4) 2������0 ������
������������������     =                         =
                    ������           ������    ������
             ������0        + ������0
                 (������/4)       (������/4)

               2 8 ∗ 85 ∗ 10−12 (0.2)
������������������ =                                                    ⇒    ������������������ = 1.18 ∗ 10−10 (������)
                        0.03

 ������������ ������������������������������������������������������������

ii) El conductor es reemplazado con un dieléctrico de espesor d/2 y constante k = 5, como se
muestra. ¿Cuál es la capacitancia total del sistema?
     a) ������ = ������. ������������ ∗ ������������−������������ ������
     b) ������ = ������. ������������ ∗ ������������−������������ ������
     c) ������ = ������. ������������ ∗ ������������−������������ ������
     d) ������ = ������. ������������ ∗ ������������−������������ ������
     e) ������ = ������. ������������ ∗ ������������−������������ ������

                 ������1 ������   2������������������0 /������ 2������������0 /������       4������������0 2 ������2      2������������0 ������
������������������ =                =                         =                    =
               ������1 + ������          ������         ������      2������0 ������������2 (������ + 1) ������(������ + 1)
                            2������0 + 2������������0
                                 ������         ������

                     2(5) 8 ∗ 85 ∗ 10−12 (0.2)
         ������������������ =                                                 ⇒        ������������������ = ������. ������������ ∗ ������������−������������ ������
                           0.03(5 + 1)




              31 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL

                                                                                       RESISTENCIA

Ejercicio 1.
El siguiente circuito contiene 7 resistores idénticos de resistencia R = 10Ω y una batería de
voltaje ������ = ������������������. Todos los resistores tienen resistencia de 10 ohmios.
     a) Calcule la caída de voltaje a través de ������������
     b) ¿Cuál es la corriente a través de ������������ ?




Para a)

1         1         1         ������3 +������4                        ������3 ������4         10(10)
      =         +         =                   ⇒     ������8 =               =                  ⇒     ������8 = 5������
������8       ������3       ������4        ������3 ������4                      ������3 +������4          10+10


������9 = ������5 + ������6 + ������7 = 10 + 10 + 10                                    ⇒       ������9 = 30������

������10 = ������8 + ������2                     ⇒        ������10 = 15������

                                          ������   18
������ = ������������           ⇒         ������9 =          =          ⇒        ������9 = 0.6 ������
                                         ������9 30

������9 = ������6 = ������5 = ������7

������5 = ������9 ������5 = 0.6 10                        ⇒     ������������ = ������ ������

Para b)

            ������   18
������10 =         =                      ⇒       ������10 = 1.2 ������
           ������10 15

������10 = ������8 = ������2               ;      ������8 = ������8 ������8 = 1.2 5                 ⇒      ������8 = 6������

                                              ������4   6
������8 = ������3 = ������4 ;                     ������4 =       =           ⇒             ������������ = ������. ������ ������
                                              ������4 10


Ejercicio 2.
Una típica tostadora eléctrica puede generar 1200 watts en su resistencia (elemente calefactor)
cuando se conecta a una fuente de 120 voltios. El elemento calefactor es un alambre delgado de
nicromio de 4 metros de longitud y sección transversal de 0.33 ������������ ������

                                                                  ������   ������ 2                           ������ 2
������ = ������������           ;         ������ = ������������        ⇒     ������ = ������         =                 ⇒       ������ =
                                                                  ������    ������                             ������

            ������                     ������ 2      ������                     ������������ 2   0.33 ∗ 10−6 120                 2
������ = ������              ⇒                  = ������        ⇒       ������ =           =
            ������                      ������       ������                      ������������         1200(4)

������ = ������. ������ ∗ ������������−������ ������������

          32 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
Ejercicio 3.
Si nosotros incrementamos la longitud del alambre de nicromio del problema anterior
(manteniendo el voltaje y el área constante). ¿Qué sucedería con la potencia por el elemento
calefactor?

        ������ 2                             ������ 2
������ =                  ;     ↓ ������ =            ������ → ������������������������������������������������������
         ������                            ������������ ↑

∴ ������í ������������������������������������������ ������������������������������������������������, ������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������, ������������������������������������������������ ������������ ������������������������������������������������ ������������������������������������������������ ������������������������������������������������������



Ejercicio 4.
Cuando dos resistores idénticos son conectados en paralelo entre los terminales de una batería,
la potencia entregada por la batería es de 10 watts. Si estos resistores fueran conectados en
serie entre los terminales de la misma batería, ¿Cuál sería ahora la potencia entregada por la
batería?

           ������                         ������ 2                     2������ 2                   2������ 2                  ������ 2
������������������ =              ;    ������0 =                ⇒     ������0 =             ⇒     10 =                 ⇒     5=
           2                         ������������������                     ������                      ������                     ������

                                     ������ 2                     ������ 2                    ������ 2
������������������ = 2������ ;             ������������ =              ⇒     ������������ =            ⇒    2������������ =            ⇒       2������������ = 5     ⇒        ������������ = ������. ������ ������
                                    ������������������                    2������                      ������



Ejercicio 5.
Se desea colocar un foco con resistencia R intercalándolo en el circuito mostrado abajo. Se
requiere que le foco experimente el máximo brillo, máximo potencia disipada. ¿En donde se
debería intercalar el foco.
    a) En serie con la fuente ������������
    b) En serie con la fuente ������������
    c) Entre los puntos a y b



Δ������������1 = ������������ − ������������            ⇒            Δ������������1 = 6 − −6 = 12������


        ������������ 1       12
������1 =             =          ⇒         ������1 = 1.2 ������
         ������1          10


        ������ 2
         ������    6
������2 =        =              ⇒         ������2 = 0.6 ������
        ������2 10

        ������ 2
         ������    6
������3 =        =              ⇒         ������2 = 0.5 ������
        ������3 12

������������������������������������ = 1.2 + 0.6 + 0.5 = 2.3 ������

∴ ������������ ������������������������������ ������������������ ������������ ������������������������������������ ������������




        33 ERICK CONDE
FÍSICA C ESPOL
Ejercicio 6.
La batería ������������ tiene un valor de 20 voltios. El valor de ������������ no es especificado. El valor de esta
fuente se ajusta de tal forma que no fluya corriente a través de ella. Las cuatro resistencias son
iguales pero sus valores no son especificados.




       a) Si 20 W son disipados en ������������ ¿Cuánta potencia es disipada en ������������ ?
       b) Encuentre el valor de ������������ de tal forma que no fluya corriente a través de esta batería.

Para a)

        ������
������5 =
        2

                   ������ 5
������������������ = 2������ +       = ������
                   2 2

                                   ������      20                             8
������ = ������������      ⇒           ������ =         =                  ⇒       ������ =
                                  ������������������ (5/2)������                          ������

                   8
������3 = ������������3 =         ������      ⇒         ������3 = 8������
                   ������

        ������ 2                       64                      16
������3 =          ⇒           20 =             ⇒       ������ =      ������
        ������3                        ������                      5

                     8        ������
������5 = ������5 ������5 =                         ⇒       ������5 = 4������
                     ������       2

������2 = ������       ;      ������2 = ������5 = 4������

         ������2 2     42
������2 =          =                        ⇒       ������������ = ������ ������
          ������2    (16/5)

Para b)

Δ������������6 = ������������ − ������������

Δ������������6 = ������1 − +������2                  ⇒          Δ������������6 = ������1 − ������2

       Δ������������6 ������1 − ������2
������ =         =
        ������6      ������6

Para que no fluya corriente a través de ������2 , las corrientes tienen que ser iguales

2������2 ������1 − ������2
    =                         ⇒         4������2 = ������1 − ������2            ⇒          5������2 = ������1
 ������     2������

                                                                   5������2 = 20          ⇒     ������������ = ������ ������


        34 ERICK CONDE
Folleto física c (1er parcial)
Folleto física c (1er parcial)

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Ecuaciones%2 b diferenciales%2bde%2bsegundo%2borden
Ecuaciones%2 b diferenciales%2bde%2bsegundo%2bordenEcuaciones%2 b diferenciales%2bde%2bsegundo%2borden
Ecuaciones%2 b diferenciales%2bde%2bsegundo%2bordenEdi Uguña
 
Ejercicios resueltos integrales dobles y triples
Ejercicios resueltos integrales dobles y triples Ejercicios resueltos integrales dobles y triples
Ejercicios resueltos integrales dobles y triples manoleter
 
Ejercicios exponenciales logaritmos
Ejercicios exponenciales logaritmosEjercicios exponenciales logaritmos
Ejercicios exponenciales logaritmosismapesa
 
Inecuaciones cuadrã -ticas
Inecuaciones cuadrã -ticasInecuaciones cuadrã -ticas
Inecuaciones cuadrã -ticasLuis Ramires
 
Ecuaciones 2do orden
Ecuaciones 2do ordenEcuaciones 2do orden
Ecuaciones 2do ordenERICK CONDE
 
Matemáticas iii practica - prof andrés pérez
Matemáticas iii   practica - prof andrés pérezMatemáticas iii   practica - prof andrés pérez
Matemáticas iii practica - prof andrés pérezHendrixRoa
 
Ejercicios de Calculo Multivariable
Ejercicios de Calculo MultivariableEjercicios de Calculo Multivariable
Ejercicios de Calculo MultivariableJair Ospino Ardila
 
MODELO DE RESONANCIA ADAPTATIVA EJEMPLO
MODELO DE RESONANCIA ADAPTATIVA EJEMPLOMODELO DE RESONANCIA ADAPTATIVA EJEMPLO
MODELO DE RESONANCIA ADAPTATIVA EJEMPLOESCOM
 
Foro solucion de_ecuaciones_diferenciales_de _primer_y_segundo_orden
Foro solucion de_ecuaciones_diferenciales_de _primer_y_segundo_ordenForo solucion de_ecuaciones_diferenciales_de _primer_y_segundo_orden
Foro solucion de_ecuaciones_diferenciales_de _primer_y_segundo_ordenaraselycastro
 

La actualidad más candente (19)

Ecuaciones%2 b diferenciales%2bde%2bsegundo%2borden
Ecuaciones%2 b diferenciales%2bde%2bsegundo%2bordenEcuaciones%2 b diferenciales%2bde%2bsegundo%2borden
Ecuaciones%2 b diferenciales%2bde%2bsegundo%2borden
 
Ejercicios resueltos integrales dobles y triples
Ejercicios resueltos integrales dobles y triples Ejercicios resueltos integrales dobles y triples
Ejercicios resueltos integrales dobles y triples
 
Ejercicios exponenciales logaritmos
Ejercicios exponenciales logaritmosEjercicios exponenciales logaritmos
Ejercicios exponenciales logaritmos
 
Integral doble temas1011
Integral doble temas1011Integral doble temas1011
Integral doble temas1011
 
Cap 6 ecuaciones
Cap 6 ecuacionesCap 6 ecuaciones
Cap 6 ecuaciones
 
Calculo 4
Calculo 4Calculo 4
Calculo 4
 
Inecuaciones cuadrã -ticas
Inecuaciones cuadrã -ticasInecuaciones cuadrã -ticas
Inecuaciones cuadrã -ticas
 
Cap12 vectores
Cap12 vectoresCap12 vectores
Cap12 vectores
 
Variacion de parametros
Variacion de parametrosVariacion de parametros
Variacion de parametros
 
Cano Nieto Mariana Montserrat
Cano Nieto Mariana MontserratCano Nieto Mariana Montserrat
Cano Nieto Mariana Montserrat
 
Ecuaciones 2do orden
Ecuaciones 2do ordenEcuaciones 2do orden
Ecuaciones 2do orden
 
Matemáticas iii practica - prof andrés pérez
Matemáticas iii   practica - prof andrés pérezMatemáticas iii   practica - prof andrés pérez
Matemáticas iii practica - prof andrés pérez
 
Integracion multiple
Integracion multipleIntegracion multiple
Integracion multiple
 
Ejercicios de Calculo Multivariable
Ejercicios de Calculo MultivariableEjercicios de Calculo Multivariable
Ejercicios de Calculo Multivariable
 
MODELO DE RESONANCIA ADAPTATIVA EJEMPLO
MODELO DE RESONANCIA ADAPTATIVA EJEMPLOMODELO DE RESONANCIA ADAPTATIVA EJEMPLO
MODELO DE RESONANCIA ADAPTATIVA EJEMPLO
 
Foro solucion de_ecuaciones_diferenciales_de _primer_y_segundo_orden
Foro solucion de_ecuaciones_diferenciales_de _primer_y_segundo_ordenForo solucion de_ecuaciones_diferenciales_de _primer_y_segundo_orden
Foro solucion de_ecuaciones_diferenciales_de _primer_y_segundo_orden
 
Ecuaciones 2
Ecuaciones 2Ecuaciones 2
Ecuaciones 2
 
Tenemos Maple
Tenemos MapleTenemos Maple
Tenemos Maple
 
Método de Gauss
Método de GaussMétodo de Gauss
Método de Gauss
 

Destacado

Ecuaciones 1er orden
Ecuaciones 1er ordenEcuaciones 1er orden
Ecuaciones 1er ordenERICK CONDE
 
Ecuaciones 2do orden
Ecuaciones 2do ordenEcuaciones 2do orden
Ecuaciones 2do ordenERICK CONDE
 
Ecuaciones (metodos de solucion)
Ecuaciones (metodos de solucion)Ecuaciones (metodos de solucion)
Ecuaciones (metodos de solucion)ERICK CONDE
 
Integracion multiple
Integracion multipleIntegracion multiple
Integracion multipleERICK CONDE
 
Leyes de kirchhoff
Leyes de kirchhoff Leyes de kirchhoff
Leyes de kirchhoff ERICK CONDE
 
Fisica c 2do parcial conceptos
Fisica c 2do parcial conceptosFisica c 2do parcial conceptos
Fisica c 2do parcial conceptosERICK CONDE
 
Ecs diferenciales dg-zill
Ecs diferenciales dg-zillEcs diferenciales dg-zill
Ecs diferenciales dg-zillERICK CONDE
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenKike Prieto
 
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales
Ecuaciones diferencialesERICK CONDE
 
libro de prob. fisica PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA I
  libro de prob. fisica PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA I  libro de prob. fisica PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA I
libro de prob. fisica PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA Izion warek human
 

Destacado (15)

Folleto
FolletoFolleto
Folleto
 
Ecuaciones 1er orden
Ecuaciones 1er ordenEcuaciones 1er orden
Ecuaciones 1er orden
 
Pre practica 9
Pre practica 9Pre practica 9
Pre practica 9
 
Ecuaciones 2do orden
Ecuaciones 2do ordenEcuaciones 2do orden
Ecuaciones 2do orden
 
Ecuaciones (metodos de solucion)
Ecuaciones (metodos de solucion)Ecuaciones (metodos de solucion)
Ecuaciones (metodos de solucion)
 
Integracion multiple
Integracion multipleIntegracion multiple
Integracion multiple
 
Leyes de kirchhoff
Leyes de kirchhoff Leyes de kirchhoff
Leyes de kirchhoff
 
Fisica c 2do parcial conceptos
Fisica c 2do parcial conceptosFisica c 2do parcial conceptos
Fisica c 2do parcial conceptos
 
Practica 11
Practica 11Practica 11
Practica 11
 
Practica 10
Practica 10Practica 10
Practica 10
 
Ecs diferenciales dg-zill
Ecs diferenciales dg-zillEcs diferenciales dg-zill
Ecs diferenciales dg-zill
 
Folleto fisica
Folleto fisicaFolleto fisica
Folleto fisica
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
 
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
 
libro de prob. fisica PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA I
  libro de prob. fisica PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA I  libro de prob. fisica PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA I
libro de prob. fisica PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA I
 

Similar a Folleto física c (1er parcial)

Profesor aparicio sobre contornos
Profesor aparicio sobre contornosProfesor aparicio sobre contornos
Profesor aparicio sobre contornosedisflores
 
formulario identidades
formulario identidadesformulario identidades
formulario identidadesRasec Dali
 
Arreglos de antenas
Arreglos de antenasArreglos de antenas
Arreglos de antenasDEYVIDUNO
 
Solucionparcial2 Cvusta2009 02
Solucionparcial2 Cvusta2009 02Solucionparcial2 Cvusta2009 02
Solucionparcial2 Cvusta2009 02guestf2c08f
 
Solucionparcial2 Cvusta2009 02
Solucionparcial2 Cvusta2009 02Solucionparcial2 Cvusta2009 02
Solucionparcial2 Cvusta2009 022236827
 
Resolucion fisica c_final2006ti
Resolucion fisica c_final2006tiResolucion fisica c_final2006ti
Resolucion fisica c_final2006tiVelmuz Buzz
 
Fis c examen%20parcial%202006-it
Fis c examen%20parcial%202006-itFis c examen%20parcial%202006-it
Fis c examen%20parcial%202006-itERICK CONDE
 
30368845 identidades-trigonometricas-ejercicios
30368845 identidades-trigonometricas-ejercicios30368845 identidades-trigonometricas-ejercicios
30368845 identidades-trigonometricas-ejerciciosfrancesca2009_10
 
Potencias y raices ejercicicios
Potencias y raices ejerciciciosPotencias y raices ejercicicios
Potencias y raices ejerciciciosbhylenia
 
Tuensor de inercia
Tuensor de inerciaTuensor de inercia
Tuensor de inerciaAlvaro Cuji
 
Razones trigonometricas de angulos notables
Razones trigonometricas de angulos notablesRazones trigonometricas de angulos notables
Razones trigonometricas de angulos notablesEDWIN RONALD CRUZ RUIZ
 
Ecuaciones resueltas 4eso_parte1
Ecuaciones resueltas 4eso_parte1Ecuaciones resueltas 4eso_parte1
Ecuaciones resueltas 4eso_parte1Educación
 

Similar a Folleto física c (1er parcial) (20)

Profesor aparicio sobre contornos
Profesor aparicio sobre contornosProfesor aparicio sobre contornos
Profesor aparicio sobre contornos
 
formulario identidades
formulario identidadesformulario identidades
formulario identidades
 
I2 1er 2009
I2 1er 2009I2 1er 2009
I2 1er 2009
 
Arreglos de antenas
Arreglos de antenasArreglos de antenas
Arreglos de antenas
 
0. Magnitudes y vectores
0. Magnitudes y vectores0. Magnitudes y vectores
0. Magnitudes y vectores
 
Momentos de inercia
Momentos de inerciaMomentos de inercia
Momentos de inercia
 
Semana 3 cs
Semana 3 csSemana 3 cs
Semana 3 cs
 
Solucionparcial2 Cvusta2009 02
Solucionparcial2 Cvusta2009 02Solucionparcial2 Cvusta2009 02
Solucionparcial2 Cvusta2009 02
 
Solucionparcial2 Cvusta2009 02
Solucionparcial2 Cvusta2009 02Solucionparcial2 Cvusta2009 02
Solucionparcial2 Cvusta2009 02
 
Resolucion fisica c_final2006ti
Resolucion fisica c_final2006tiResolucion fisica c_final2006ti
Resolucion fisica c_final2006ti
 
Fis c examen%20parcial%202006-it
Fis c examen%20parcial%202006-itFis c examen%20parcial%202006-it
Fis c examen%20parcial%202006-it
 
30368845 identidades-trigonometricas-ejercicios
30368845 identidades-trigonometricas-ejercicios30368845 identidades-trigonometricas-ejercicios
30368845 identidades-trigonometricas-ejercicios
 
Ejercicios 1º bct
Ejercicios 1º bctEjercicios 1º bct
Ejercicios 1º bct
 
Conicas bt
Conicas btConicas bt
Conicas bt
 
Teoria de exp. práctica
Teoria de exp. prácticaTeoria de exp. práctica
Teoria de exp. práctica
 
Solucionariomat21 mj11
Solucionariomat21 mj11Solucionariomat21 mj11
Solucionariomat21 mj11
 
Potencias y raices ejercicicios
Potencias y raices ejerciciciosPotencias y raices ejercicicios
Potencias y raices ejercicicios
 
Tuensor de inercia
Tuensor de inerciaTuensor de inercia
Tuensor de inercia
 
Razones trigonometricas de angulos notables
Razones trigonometricas de angulos notablesRazones trigonometricas de angulos notables
Razones trigonometricas de angulos notables
 
Ecuaciones resueltas 4eso_parte1
Ecuaciones resueltas 4eso_parte1Ecuaciones resueltas 4eso_parte1
Ecuaciones resueltas 4eso_parte1
 

Más de ERICK CONDE

Producción de campos magnéticos
Producción de campos magnéticosProducción de campos magnéticos
Producción de campos magnéticosERICK CONDE
 
Introducción a la electricidad
Introducción a la electricidadIntroducción a la electricidad
Introducción a la electricidadERICK CONDE
 
Inductancia, motores y generadores de cc
Inductancia, motores y generadores de ccInductancia, motores y generadores de cc
Inductancia, motores y generadores de ccERICK CONDE
 
Induccion electromagnética
Induccion electromagnéticaInduccion electromagnética
Induccion electromagnéticaERICK CONDE
 
Equivalente eléctrico del calor
Equivalente eléctrico del calorEquivalente eléctrico del calor
Equivalente eléctrico del calorERICK CONDE
 
Campo y potencial
Campo y potencialCampo y potencial
Campo y potencialERICK CONDE
 

Más de ERICK CONDE (20)

Practica 8
Practica 8Practica 8
Practica 8
 
Pre practica 8
Pre practica 8Pre practica 8
Pre practica 8
 
Practica #5
Practica #5Practica #5
Practica #5
 
Pre practica #6
Pre practica #6Pre practica #6
Pre practica #6
 
Practica #5
Practica #5Practica #5
Practica #5
 
Pre practica #6
Pre practica #6Pre practica #6
Pre practica #6
 
Producción de campos magnéticos
Producción de campos magnéticosProducción de campos magnéticos
Producción de campos magnéticos
 
Magnetismo
MagnetismoMagnetismo
Magnetismo
 
Ley de ohm
Ley de ohmLey de ohm
Ley de ohm
 
Introducción a la electricidad
Introducción a la electricidadIntroducción a la electricidad
Introducción a la electricidad
 
Inductancia, motores y generadores de cc
Inductancia, motores y generadores de ccInductancia, motores y generadores de cc
Inductancia, motores y generadores de cc
 
Induccion electromagnética
Induccion electromagnéticaInduccion electromagnética
Induccion electromagnética
 
Equivalente eléctrico del calor
Equivalente eléctrico del calorEquivalente eléctrico del calor
Equivalente eléctrico del calor
 
Electrización
ElectrizaciónElectrización
Electrización
 
Circuitos rc
Circuitos rcCircuitos rc
Circuitos rc
 
Campo y potencial
Campo y potencialCampo y potencial
Campo y potencial
 
Pre practica #5
Pre practica #5Pre practica #5
Pre practica #5
 
Pre practica #4
Pre practica #4Pre practica #4
Pre practica #4
 
Practica #4
Practica #4Practica #4
Practica #4
 
Practica #3
Practica #3Practica #3
Practica #3
 

Último

PROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docx
PROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docxPROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docx
PROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docxEribertoPerezRamirez
 
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptxPresentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptxYeseniaRivera50
 
Mapa Mental de estrategias de articulación de las areas curriculares.pdf
Mapa Mental de estrategias de articulación de las areas curriculares.pdfMapa Mental de estrategias de articulación de las areas curriculares.pdf
Mapa Mental de estrategias de articulación de las areas curriculares.pdfvictorbeltuce
 
Estrategias de enseñanza - aprendizaje. Seminario de Tecnologia..pptx.pdf
Estrategias de enseñanza - aprendizaje. Seminario de Tecnologia..pptx.pdfEstrategias de enseñanza - aprendizaje. Seminario de Tecnologia..pptx.pdf
Estrategias de enseñanza - aprendizaje. Seminario de Tecnologia..pptx.pdfAlfredoRamirez953210
 
Día de la Madre Tierra-1.pdf día mundial
Día de la Madre Tierra-1.pdf día mundialDía de la Madre Tierra-1.pdf día mundial
Día de la Madre Tierra-1.pdf día mundialpatriciaines1993
 
cuadernillo de lectoescritura para niños de básica
cuadernillo de lectoescritura para niños de básicacuadernillo de lectoescritura para niños de básica
cuadernillo de lectoescritura para niños de básicaGianninaValeskaContr
 
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdfFichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdfssuser50d1252
 
Técnicas de grabado y estampación : procesos y materiales
Técnicas de grabado y estampación : procesos y materialesTécnicas de grabado y estampación : procesos y materiales
Técnicas de grabado y estampación : procesos y materialesRaquel Martín Contreras
 
Fichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdfFichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdfssuser50d1252
 
Fichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdfFichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdfssuser50d1252
 
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIORDETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIORGonella
 
MODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docx
MODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docxMODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docx
MODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docxRAMON EUSTAQUIO CARO BAYONA
 
CIENCIAS NATURALES 4 TO ambientes .docx
CIENCIAS NATURALES 4 TO  ambientes .docxCIENCIAS NATURALES 4 TO  ambientes .docx
CIENCIAS NATURALES 4 TO ambientes .docxAgustinaNuez21
 
sesión de aprendizaje 4 E1 Exposición oral.pdf
sesión de aprendizaje 4 E1 Exposición oral.pdfsesión de aprendizaje 4 E1 Exposición oral.pdf
sesión de aprendizaje 4 E1 Exposición oral.pdfpatriciavsquezbecerr
 
IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO YESSENIA 933623393 NUEV...
IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO  YESSENIA 933623393 NUEV...IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO  YESSENIA 933623393 NUEV...
IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO YESSENIA 933623393 NUEV...YobanaZevallosSantil1
 
Uses of simple past and time expressions
Uses of simple past and time expressionsUses of simple past and time expressions
Uses of simple past and time expressionsConsueloSantana3
 

Último (20)

PROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docx
PROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docxPROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docx
PROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docx
 
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptxPresentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
 
Mapa Mental de estrategias de articulación de las areas curriculares.pdf
Mapa Mental de estrategias de articulación de las areas curriculares.pdfMapa Mental de estrategias de articulación de las areas curriculares.pdf
Mapa Mental de estrategias de articulación de las areas curriculares.pdf
 
Estrategias de enseñanza - aprendizaje. Seminario de Tecnologia..pptx.pdf
Estrategias de enseñanza - aprendizaje. Seminario de Tecnologia..pptx.pdfEstrategias de enseñanza - aprendizaje. Seminario de Tecnologia..pptx.pdf
Estrategias de enseñanza - aprendizaje. Seminario de Tecnologia..pptx.pdf
 
VISITA À PROTEÇÃO CIVIL _
VISITA À PROTEÇÃO CIVIL                  _VISITA À PROTEÇÃO CIVIL                  _
VISITA À PROTEÇÃO CIVIL _
 
Día de la Madre Tierra-1.pdf día mundial
Día de la Madre Tierra-1.pdf día mundialDía de la Madre Tierra-1.pdf día mundial
Día de la Madre Tierra-1.pdf día mundial
 
cuadernillo de lectoescritura para niños de básica
cuadernillo de lectoescritura para niños de básicacuadernillo de lectoescritura para niños de básica
cuadernillo de lectoescritura para niños de básica
 
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdfFichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
 
Técnicas de grabado y estampación : procesos y materiales
Técnicas de grabado y estampación : procesos y materialesTécnicas de grabado y estampación : procesos y materiales
Técnicas de grabado y estampación : procesos y materiales
 
Fichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdfFichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdf
 
TL/CNL – 2.ª FASE .
TL/CNL – 2.ª FASE                       .TL/CNL – 2.ª FASE                       .
TL/CNL – 2.ª FASE .
 
Fichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdfFichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdf
 
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIORDETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
 
MODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docx
MODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docxMODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docx
MODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docx
 
DIA INTERNACIONAL DAS FLORESTAS .
DIA INTERNACIONAL DAS FLORESTAS         .DIA INTERNACIONAL DAS FLORESTAS         .
DIA INTERNACIONAL DAS FLORESTAS .
 
CIENCIAS NATURALES 4 TO ambientes .docx
CIENCIAS NATURALES 4 TO  ambientes .docxCIENCIAS NATURALES 4 TO  ambientes .docx
CIENCIAS NATURALES 4 TO ambientes .docx
 
sesión de aprendizaje 4 E1 Exposición oral.pdf
sesión de aprendizaje 4 E1 Exposición oral.pdfsesión de aprendizaje 4 E1 Exposición oral.pdf
sesión de aprendizaje 4 E1 Exposición oral.pdf
 
IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO YESSENIA 933623393 NUEV...
IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO  YESSENIA 933623393 NUEV...IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO  YESSENIA 933623393 NUEV...
IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO YESSENIA 933623393 NUEV...
 
Uses of simple past and time expressions
Uses of simple past and time expressionsUses of simple past and time expressions
Uses of simple past and time expressions
 
Tema 7.- E-COMMERCE SISTEMAS DE INFORMACION.pdf
Tema 7.- E-COMMERCE SISTEMAS DE INFORMACION.pdfTema 7.- E-COMMERCE SISTEMAS DE INFORMACION.pdf
Tema 7.- E-COMMERCE SISTEMAS DE INFORMACION.pdf
 

Folleto física c (1er parcial)

  • 1. ESPOL FÍSICA C Primer Parcial *Fuerza Eléctrica *Campo Eléctrico *Ley de Gauss *Energía Eléctrica *Potencial Eléctrico *Capacitancia *Resistencia ERICK CONDE ESPOL
  • 2. FÍSICA C ESPOL FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Ejercicio 1. Dos esferas idénticas que tienen carga de signo opuesto se atraen entre sí con una fuerza de 0.108 N cuando están separadas por 50 cm. Las esferas se conectan súbitamente con un alambre conductor delgado, luego se retiran y las esferas se repelen entre sí con una fuerza de 0.0360 N. ¿Cuáles eran las cargas iniciales de las esferas? F = 0.108 N r = 50 cm F*= 0.0360 N ������ ������1 ������2 ① ������ = ������ 2 ������ ������1 ������2 ������������2 ② ������ ∗ = = 2 ������ 2 ������ ������1 − ������2 ③ ������ = ; ������������������������ ������������������ ������������ ������������������������������������������������������ ������������������ ������������������������������������ ������������������������������������������������������������, ������������������������������������������������ ������������ ������������������������������������ 2 De ② se tiene que: ������ ∗ ������ 2 0.0360 0.5 2 ������2 = ⇒ ������ = = 1 ∗ 10−6 ������ ������ 9 ∗ 109 De ③ se tiene que: ������1 = 2������ + ������2 ③ en ① ������������2 2������ + ������2 ������ = ⇒ ������ 2 ������ = 2������������2 ������ + ������������2 2 ������ 2 0 = ������������2 2 + 2������������ ������2 − ������ 2 ������ −2������������ ± 2������������ 2 − 4(������) −������ 2 ������ ������2 = 2������ −2 9 ∗ 109 1 ∗ 10−6 ± 2 9 ∗ 109 1 ∗ 10−6 2 + 4 9 ∗ 109 0.52 0.108 ������2 = 2 9 ∗ 109 −18000 ± 36000 ������2 = ; ������������������������������������������ ������������ ������������������������������ ������������������������������������������������ , ������������ ������������������ ������������������������������������������ ������������������������������������������������������������ ������������������ ������������������������������������������������������������ 18 ∗ 109 ������������ = ������ ∗ ������������−������ ������ ������1 = 2������ + ������2 ������������ = ������ ∗ ������������−������ ������ 2 ERICK CONDE
  • 3. FÍSICA C ESPOL Ejercicio 2. Una barra delgada de longitud L y carga uniforme por longitud ������ esta a lo largo del eje x como se muestra en la figura. Calcule el campo eléctrico en el punto P a una distancia Y de la barra. Por simetría las componentes del campo en “x” se anulan, entonces: ������������ ������ ������������ ������������������ = ������������ ������������������������ ������������ = ������ ; ������������������������ = ; ������ = ⇒ ������������ = ������ ������������ ������ 2 ������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������ ������������������ ������������ 1 ������������������ = ������ ������������������������ ⇒ ������������������ = ⇒ ������������������ = ; ������ = ������ 2 + ������ 2 2 ������ 2 ������ 2 ������ ������ 3 ������������������ ������������ ������������������ = 3 ������ 2 + ������ 2 2 ������ 2 ������ ������������ ������ 2 ������������������ = 2������������������ 3 = 2������������������ ������ 2 + ������ 2 2 ������ 2 ������ 2 + ������ 2 0 0 ������ ������������ = ������������������ ������ ������ ������ ������ ������ ������������ ������������ + ������ ������ Ejercicio 3. Una línea de carga positiva se forma dentro de un semicírculo de radio R igual a 60 cm. La larga por unidad de longitud a lo largo del semicírculo se describe por medio de la expresión ������ = ������������ ������������������ ������. La carga total en el semicírculo es de 12 ������������. Calcule la fuerza total en una carga de 3 ������������ situado en el centro de la curvatura. ������������������ = ������������ ������������������������ ������������ ������������ ������������ ������������������ = ������������������������ ; ������ = ������0 ������������������ ������ ⇒ = ������0 ������������������ ������ ⇒ ������������ = ������0 ������������������ ������ ������������ ������2 ������������ ������������ ������0 ������������������ ������ ������������ ������������������ = ������������������������ ; ������������ = ������ ������������ ������2 ������������ ������0 ������������������ 2 ������ ������ ������������ ������������ ������0 ������������������ 2 ������ ������������ ������������������ = 2 = ������ ������ ������ ������ 2 2 2������������ ������0 2������������ ������0 1 + ������������������ 2������ ������������������ = ������������������ 2 ������ ������������ = ������������ ������ ������ 2 0 0 3 ERICK CONDE
  • 4. FÍSICA C ESPOL ������ ������������ ������0 ������������������ 2������ 2 ������������ ������0 ������ ������ = ������ + = ������ 2 0 ������ 2 Pero no conocemos el valor de ������0 , entonces: ������������ = ������0 ������������������ ������ ������������ ������������ = ������0 ������������������ ������ ������������ = ������0 ������������������ ������ ������ ������������ ������ 2 ������ 2 ������ = 2������������0 ������������������ ������ ������������ = 2������������0 ������������������������ 0 = 2������������0 0 ������ ������0 = 2������ ������������ ������������ 9 ∗ 109 3 ∗ 10−6 12 ∗ 10−6 ������ ������ = 2 = = 0.7068 ������ 4������ 4 0.6 2 ������ = −������. ������������������������ ������ ������ Ejercicio 4. Una esfera aislante de radio R contiene una carga positiva total Q en todo su volumen de modo ������ ; ������ < ������ ������ que la densidad volumétrica está dada por: ������ ������ = ������������ ������ − ������ ; ������ ������ ≤ ������ ≤ ������ ; donde ������ ������ ������ ; ������ > ������ es una constante positiva donde la unidad es de ������ halle ������ en términos de Q y R. ������������ ������������ ������ = ⇒ ������������ = ������ ������������ ������������ 4 ������������ = ������ ������������ ; ������ = ������������ 3 ⇒ ������������ = 4������������ 2 ������������ 3 ������ ������ 2 ������ ������ 2 ������������ = 4������������������ 2 ������������ = 4������ ������������ 2 ������������ + 2������ 1 − ������ ������������ ������ 0 0 ������ 2 ������ ������ ������ 3 2 ������ 3 ������ 4 ������3 ������3 ������4 ������3 ������4 ������ = 4������������ +2 − = 4������������ +2 − − + 3 0 3 4������ ������ 24 3 4������ 24 64������ 2 ������3 2������3 ������3 ������3 ������3 5 3 ������ = 4������������ + − − + = 4������������ ������ 24 3 2 12 32 32 ������������ ������ ������ = ������������������������ ������������ 4 ERICK CONDE
  • 5. FÍSICA C ESPOL Ejercicio 4. Dos barras delgadas idénticas de longitud 2A contienen cargas iguales ������+ uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las barras descansan a lo largo del eje x con su centro separado a una distancia ������ > 2������. Demostrar que la magnitud de la fuerza ejercida por la barra ������������������ ������������ de la izquierda sobre la derecha esta dad por: ������ = ������������ ������ ������������ ������������ −������������������ Vamos a encontrar una expresión de la fuerza que ejerce la 2da barra sobre una partícula “q” que pertenece a la 1era barra, para luego generalizarla (“q” y la distancia entre ”q” y la barra permanecerá constante) ������������ ������������ ������������ ������ ������������ ������ ������������ ������������ = ; ������ = ⇒ = ⇒ ������������ = ������ 2 ������������ 2������ ������������ 2������ ������������������ ������������ ������������ = 2������������ 2 ������+2������ ������+2������ ������������������ ������������ ������������������ 1 ������������������ 1 1 ������������ = 2 = − = − + 2������ ������ 2������ ������ ������ 2������ ������ + 2������ ������ ������ ������������������ ������ = ������ ������ + 2������ Ahora “q” será un dq de la primera barra y la distancia entre dq y la 2da barra no será constante 5 ERICK CONDE
  • 6. FÍSICA C ESPOL ������������ ������������ ������������������ ������������ = ; ������������ = ������ ������ + 2������ 2������ ������������������ ������������ ������������ = 2������������ ������ + 2������ ������ ������������������ ������ ������������ 2 ������������ ������������ 2 ������������ ������������ = = 2������ ������ ������ + 2������ 2������ ������ ������ + 2������ ������ ������������������ ������−2������ 1 ������ ������ = + ������ ������ + 2������ ������ ������ + 2������ 1 = ������ ������ + 2������ + ������������ ⇒ 1 = ������ + ������ ������ + 2������������ 1 1 = 2������������ ⇒ ������ = 2������ 1 0 = ������ + ������ ⇒ ������ = − 2������ ������ ������ ������������ 2 ������ ������ ������������ 2 1 1 ������ = + ������������ = ������������ ������ − ������������ ������ + 2������ 2������ ������ ������ + 2������ 2������ 2������ 2������ ������−2������ ������−2������ ������������ 2 ������ = ������������ ������ − ������������ ������ + 2������ − ������������ ������ − 2������ − ������������ ������ − 2������ + 2������ 4������2 ������ ������������ 2 ������ ������ − 2������ ������������ 2 ������ = ������������ − ������������ = ������������ ������ + 2������ 4������2 ������ + 2������ ������ 4������2 ������ − 2������ ������ ������������ 2 ������ 2 ������ = ������������ 4������2 ������ + 2������ ������ − 2������ ������������������ ������������ ������ = ������ ������������ ������������ − ������������������ ������ ������������ Ejercicio 5. Una carga de 8 ������������ se coloca en x = 4m , y = 0 , donde se deberá colocar una carga de 4 ������������ para que el campo eléctrico sea nulo en el origen. ������8 ������������ = ������4 ������������ ������ 4 ������������ ������ 8 ������������ 4 8 = ⇒ 2 = 42 ������ 2 ������ 2 ������ ������ 2 = 8 ⇒ ������ = ± 8 Tomamos el valor negativo, debido a que la carga1 se encuentra a la izquierda del origen ������ = −������ ������ [������] 6 ERICK CONDE
  • 7. FÍSICA C ESPOL Ejercicio 5. Una línea de carga empieza en ������ = +������������ y se extiende hasta el infinito positivo. Si la densidad de ������������ ������������ carga lineal es ������ = ������ Determine el campo eléctrico en el origen. ������������������ ������������ ������0 ������0 ������������ ������0 ������0 ������������ = ; ������ = ⇒ = ⇒ ������������ = ������������ ������ 2 ������������ ������ ������������ ������ ������������0 ������0 ������������ = ������������ ������ 3 +∞ ������ ������������ ������������ ������������ = ������������0 ������0 = ������������0 ������0 lim ������ 3 ������⟶+∞ ������ 3 ������ 0 ������ 0 ������ 1 1 1 ������ = ������������0 ������0 lim − = ������������0 ������0 lim − + ������⟶+∞ 2������ 2 ������ 0 ������⟶+∞ 2������ 2 2������0 2 ������������������ ������ ������ = − ������ ������ ������������������ Ejercicio 6. Se lanzan protones a una rapidez inicial ������������ = ������. ������������ ∗ ������������������ ������/������������������ dentro de una región donde se presenta un campo eléctrico uniforme ������ = −������������������������ ������/������ como se muestra en la figura, los protones van a incidir sobre un blanco que se encuentra a una distancia horizontal de 1.27 mm del punto donde se lanzaron los protones. Determinar: a) Los 2 ángulos de lanzamiento ������ que darán como resultado del impacto. b) El tiempo total de vuelo para cada trayectoria. Para a) ������ = ������������ ������ ������������ = ������������ ������ ⇒ ������������������ = ������������ ������ ������������������ −720 1.6 ∗ 10−19 ������ = = = −6.89 ∗ 1010 ������/������������������2 ������������ 1.67 ∗ 10−27 ������������ á������ ������������ á������ = ������0������ ������������ ⇒ ������������ = ������0������ 1 ������������ á������ 1 ������������ á������ 2 ������������ á������ = ������0������ ������������ + ������������������ 2 = ������0������ + ������ 2 ������0������ 2 ������0������ ������0 ������������������������ 1 ������������ á������ 2 ������������ á������ = ������������ á������ + ������ 2 ������0 ������������������������ 2 ������0 ������������������������ 2 7 ERICK CONDE
  • 8. FÍSICA C ESPOL Pero sabemos que al final del impacto las coordenadas son 0, ������������ á������ ������������������������ 1 ������������ á������ 2 0= ������������ á������ + ������ 2 ������������������������ 2 ������0 ������������������ 2 ������ 2 ������������������������ ������0 2 ������������������ 2 ������ 2 ������������������������ ������0 2 ������������������������ ������������������2������ ������0 2 ������������ á������ = − =− =− ������ ������������������������ ������ ������ ������ ������������ á������ −6.89 ∗ 1010 1.27 ∗ 10−3 ������������������2������ = − 2 =− ������0 9.55 ∗ 103 2 ������������������2������ = 0.9594 ⇒ 2������ = 73.62 ������������ = ������������. ������������° ������2 = 90 − ������1 ⇒ ������������ = ������������. ������������° Para b) ������������ á������ ������������ á������ 1.27 ∗ 10−3 ������1 = = = ������0������ 1 ������0 ������������������������1 9.55 ∗ 103 ������������������ 36.81 ������������ = ������. ������������ ∗ ������������−������ ������������������ ������������ á������ ������������ á������ 1.27 ∗ 10−3 ������2 = = = ������0������ 2 ������0 ������������������������2 9.55 ∗ 103 ������������������ 53.19 ������������ = ������. ������������ ∗ ������������−������ ������������������ Ejercicio 7. Tres cargas puntuales están alineados a lo largo del eje x como se muestra en la figura. Encuentre el campo eléctrico en la posición (0 , 2.0) y en la posición (2.0 , 0) Para (0 , 2.0) ������������1 9 ∗ 109 4 ∗ 10−9 ������1 = = = 8.46 ������/������ ������1 2 2.06 2 ������������2 9 ∗ 109 5 ∗ 10−9 ������2 = = = 11.25 ������/������ ������2 2 2.0 2 ������������3 9 ∗ 109 3 ∗ 10−9 ������3 = = = 5.84 ������/������ ������3 2 2.15 2 2 ������1 = ������������������−1 = 75.96° 0.5 2 ������2 = ������������������−1 = 68.19° 0.8 8 ERICK CONDE
  • 9. FÍSICA C ESPOL ������1������ = ������1 ������������������������1 = −2.05 ������ ������/������ ������1������ = ������1 ������������������������1 = −8.20 ������ ������/������ ������2������ = ������2 ������������������90° = 0 ������2������ = ������2 ������������������90° = 11.25 ������ ������/������ ������3������ = ������3 ������������������������2 = −2.17 ������ ������/������ ������3������ = ������3 ������������������������2 = 5.42 ������ ������/������ ������������ = −4.8 ������ + 8.47 ������ ������/������ ������������ = ������. ������������ ������/������ Para (2.0 , 0) ������������1 9 ∗ 109 4 ∗ 10−9 ������1 = = = 5.76 ������/������ ������1 2 2.5 2 ������������2 9 ∗ 109 5 ∗ 10−9 ������2 = = = 11.25 ������/������ ������2 2 2.0 2 ������������3 9 ∗ 109 3 ∗ 10−9 ������3 = = = 18.75 ������/������ ������3 2 1.2 2 ������������ = −5.76 ������ + 11.25 ������ + 18.75 ������ ������/������ ������������ = 24.24 ������ ������/������ ������������ = ������������. ������������ ������/������ 9 ERICK CONDE
  • 10. FÍSICA C ESPOL LEY DE GAUSS Ejercicio 1. Una esfera pequeña cuya masa es 1.12 mg contiene una carga 19.7 ������������ cuelga en el campo gravitatorio de la tierra de un hilo de seda que forma un ángulo de 27.4° con una lámina grande no conductora y uniformemente cargada. Calcule la densidad de carga uniforme ������ para la lámina. + → ������������ = 0 + ↑ ������������ = 0 ������������ = ������ ������������������������ ������ ������������������������ = ������������ ������������������������ ������������ ������������ = ������������ ������ = ������������������������ ������������������������ ������������ = ������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������ . ������������ = ������ = ������0 ������������������������ ������������������������ ������������ ������������������ ������������������(0) = ⇒ ������ ������������ = ������0 ������0 ������������ ������ ������ 2������ = ⇒ ������ = ������0 2������0 ������ ������ = ������������ ������������������������ 2������0 ������������ ������������������������ 2������0 2 1.12 ∗ 10−6 ������������������ 27.4 8.85 ∗ 10−12 (9.8) ������ = = ������ 19.7 ∗ 10−9 ������ = ������. ������������ ∗ ������������−������ ������/������������ Ejercicio 2. Un cilindro infinitamente largo de radio a lleva una carga uniforme por unidad de volumen −������������ ������������ > 0 y está rodeado por un cilindro conectado de radio b coaxial al cilindro como se muestra en la figura. Mediante la utilización de una superficie gaussiana apropiada. Determine el campo eléctrico para r < a , a < r < b , r > b 10 ERICK CONDE
  • 11. FÍSICA C ESPOL Para r < a ������������������������ ������������������������ ������ . ������������ = ������ = ⇒ ������������������������ = ������ ������ ������������������ ������0 ������������������������ ������������������������ ������ ������������������������ ������������������ ������������������(180) = ⇒ −������ ������������ = ������0 ������0 −������0 ������������ 2 ������ ������������ ������ −������ 2������������������ = ⇒ ������ = ������/������ ; ������������������������������������������������������������������ ������������������������������ ������������������������������������������ ������0 ������������������ Para a < r < b ������������������������ ������������������������ ������������ ������ . ������������ = ������ = = ⇒ ������������ = ������������ ������������ ������ ������0 ������ ������������ ������ ������ ������������ ������ ������������������������ ������ ������ ������������ ������ ������������������ ������������������(180) = ⇒ −������ ������������ = ������0 ������0 −������0 ������������2 ������ ������������ ������������ −������ 2������������������ = ⇒ ������ = ������/������ ; ������������������������������������������������������������������ ������������������������������ ������������������������������������������ ������0 ������������������������ Para r > b Como el conductor está conectado a tierra, suben electrones para neutralizar la carga +������������������������������������ por lo tanto la carga encerrada es nula, entonces. ������ = ������ 11 ERICK CONDE
  • 12. FÍSICA C ESPOL Ejercicio 3. Para la configuración mostrada en la figura suponga que a = 5 cm, b = 20 cm, c = 25 cm. Suponga también que se mide el valor del campo eléctrico en un punto a 10 cm del centro igual a ������. ������ ∗ ������������������ ������/������ radialmente hacia adentro en tanto que le campo eléctrico en un punto a 50 cm del centro es ������. ������ ∗ ������������������ ������/������ radialmente hacia afuera. A partir de esta información encuentre la carga neta sobre la esfera conductora hueca. a<r<b ������������������������ ������������������������������������������������������ ������ . ������������ = = ������0 ������0 ������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������ ������������������ ������������������(180) = ⇒ −������ ������������ = ������ 0 ������ 0 ������������������������������������������������������ −������ 4������������ 2 = ������0 ������������������������������������������������������ = −4������������������ 2 ������0 = −4������ 3.6 ∗ 103 0.1 2 8.85 ∗ 10−12 ������������������������������������������������������ = −4 ������������ r>c ������������������������ ������ . ������������ = ������0 ������������������������ ������������������������ ������������������ ������������������(0) = ⇒ ������ ������������ = ������0 ������0 ������������������������ ������ 4������������ 2 = ⇒ ������������������������ = −4������������������ 2 ������0 = −4������ 2.0 ∗ 102 0.5 2 8.85 ∗ 10−12 ������0 ������������������������ = 5.56 ������������ ������������������������������������������������������������ = ������������������������ − ������������������������������������������������������ = 5.56 ������������ − (−4 ������������) ������������������������������������������������������������ = ������. ������������ ������������ 12 ERICK CONDE
  • 13. FÍSICA C ESPOL Ejercicio 4. Una masa de 1 g se la expone a un cilindro que tiene una densidad de carga ������ = ������������ donde A es una constante. Calcular la carga de la esfera que esta colgando de un hilo aislante, donde ������ = ������������° + → ������������ = 0 + ↑ ������������ = 0 ������������ = ������ ������������������������ ������ ������������������������ = ������������ ������������������������ ������������ ������������ = ������������ ������ = ������������������������ ������������������������ ������������ ������������������������ ������ = ������ ������������������������ ������ . ������������ = ������0 ������������������������������������ ������������������������������������ ������������������ ������������������(0) = ⇒ ������ ������������ = ������0 ������0 ������������������������������������ ������ 2������������′������ = ������0 ������������ ������ = ������������ ������������ = ������������������ ; ������ = ������������ 2 ������ ⇒ ������������ = 2������������������ ������������ ������������������������������������ = 2������������������������ ������������ = 2������������������ 2 ������ ������������ 1 1 ������ 3 ������������������������������������ = 2������������������ ������ 2 ������������ = 2������������������ 3 0 0 2������������������ ������������������������������������ = (������) 3 2������������������ ������ ������ 2������������′������ = ⇒ ������ = 3������0 3������0 ������′ ������������ ������������������������ 3������0 ������ ′ ������������ ������������������������ 3 8.85 ∗ 10−12 1.5 1 ∗ 10−3 9.8 ������������������(20) ������ = = = ������ ������ ������ 1.42 ∗ 10−3 ������ = ; pero como el campo es positivo y además existe una fuerza de atracción, entonces: ������ ������. ������������ ∗ ������������−������ ������ = − ������ ������ 13 ERICK CONDE
  • 14. FÍSICA C ESPOL Ejercicio 5. Considere un cilindro no conductor de longitud infinita con su núcleo hueco. El radio interior es a, el radio exterior es b, y la región solida tiene carga uniformemente distribuida por unidad de volumen de densidad ������. a) Usando la Ley e Gauss, calcule el campo eléctrico a una distancia r desde el eje del cilindro donde r > b (Exprese los resultados en función de a, b, ������, r). b) Usando la Ley e Gauss, calcule el campo eléctrico a una distancia r desde el eje del cilindro donde a < r < b Para a) ������������������������ ������������������������ ������������������������������������ ������ . ������������ = ; ������ = = ������0 ������������������������ ������������������������������������ ������������������������������������ = ������ ������������������������������������ ������������������������������������ = ������ ������������ 2 ������ − ������������2 ������ = ������������������ ������ 2 − ������2 (������) ������������������������ ������������������������������������ ������������������ ������������������(0) = ⇒ ������ ������������ = ������0 ������0 ������������������ ������ 2 − ������2 ������������������ ������������ − ������������ ������ 2������������������ = ⇒ ������ = ; ������������������������������������������������������������������ ������������������������������ ������������������������������������ ������0 ������������������������ Para b) ������������������������ ������ . ������������ = ������0 ������������������������ ������������ ������ = ⇒ ������ = ������������������������ ������������ ������������ = ������������������ ; ������ = ������������ 2 ������ − ������������2 ������ = ������������ ������ 2 − ������2 ⇒ ������������ = 2������������������ ������������ ������ ������ ������ 2 ������������������������ = 2������������������ ������������������ = 2������������������ 2 ������ ������ ������������������������ = ������������������ ������ 2 − ������2 (������) ������������������������ ������������������������ ������������������ ������������������(0) = ⇒ ������ ������������ = ������0 ������0 ������������������ ������ 2 − ������2 ������������������ ������������ − ������������ ������ 2������������������ = ⇒ ������ = ; ������������������������������������������������������������������ ������������������������������ ������������������������������������ ������0 ������������������������ 14 ERICK CONDE
  • 15. FÍSICA C ESPOL ENERGÍA Y POTENCIAL ELÉCTRICO Ejercicio 1. Un bloque de 4 Kg con una carga Q con 50 ������������ se conecta a un resorte para el cual k= 100 N/m, el bloque esta sobre una pista horizontal sin fricción, el sistema está inmerso en un campo eléctrico uniforme de magnitud ������ = ������ ∗ ������������������ ������/������ y su dirección es como se indica en la figura. Si el bloque se suelta desde el reposo cuando el resorte no está deformado (x = 0). a) Que distancia máxima se alargará el resorte. b) Cuál será la posición de equilibrio del resorte. c) Muestre que existe M.A.S y determine su periodo. Para a) ������������ = ������������ 0 = ������������������á������������������������������ + ������������������é������������������������������������ 1 2 1 2 0 = ������ ������������ á������ + −������������������ = ������ ������������ á������ − ������������������������ á������ 2 2 1 0 = ������������������ á������ − ������������ 2 2������������ 2 50 ∗ 10−6 5 ∗ 105 ������������ á������ = = ������ 100 ������������á������ = ������. ������ ������ Para b) + → ������������ = 0 ������������������é������������������������������������ − ������������������á������������������������������ = 0 ⇒ ������������������é������������������������������������ = ������������������á������������������������������ ������������ − ������������������������������������������������������������������������ = 0 ⇒ ������������ = ������������������������������������������������������������������������ ������������ 50 ∗ 10−6 5 ∗ 105 ������������������������������������������������������������������ = = ������ 100 ������������������������������������������������������������������ = ������. ������������ ������ 15 ERICK CONDE
  • 16. FÍSICA C ESPOL Para c) ������ = ������������ ������2 ������ ������������������é������������������������������������ − ������������������á������������������������������ = ������ ������������ 2 ������2 ������ ������2 ������ ������������ − ������ ������������������������������������������������������������������ + ������ = ������ ⇒ ������������ − ������������������������������������������������������������������������ − ������������ = ������ ������������ 2 ������������ 2 0 ������������ ������ −������������ = ������ ∴ ������������ ������. ������. ������ ������������������ ������ ������2 ������ ������2 ������ − ������ = 2 ⇒ −������2 ������ = ������ ������������ ������������ 2 ������ 2������ ������2 = ; ������ = ������ ������ ������ ������ 4 ������ = ; ������ = 2������ = 2������ ������ ������ 100 ������ = ������. ������������ ������������������ Ejercicio 2. Una carga de -3 ������������ esta fijo en un determinado punto desde una distancia de 4,5 cm, una partícula de 7,2 gr y carga -8������������ es disparada con una velocidad inicial de 65 m/seg directamente hacia la carga fija ¿Qué distancia recorre la partícula antes de que su velocidad sea cero. Δ������ = ������������������é������������������������������ ������ 1 1 ������ ������������ 2 − ������ ������������ 2 = −������������������ ; ������������������������ ������������ ������������������������������ ������������ ������������ ������������������������������������������������, ������������ ������������������ ������������������������������ ������������������ ������������ ������������������������������, ������������������������������������������������ 2 2 ������ 1 − ������ ������������ 2 = −������ ������ ������������ 2 0 ������ ������ ������ 1 ������������ 1 ������������ ������ ������������ 2 = −������ ������������ ⇒ ������ ������������ 2 = −������ (−������������) 2 ������ 2 2 ������ 2 0 ������0 ������ ������ 1 1 1 1 1 ������ ������������ 2 = ������������������ − ⇒ ������ ������������ 2 = ������������������ − 2 ������ ������0 2 ������0 ������������ 16 ERICK CONDE
  • 17. FÍSICA C ESPOL −1 −1 1 1 ������ ������������ 2 1 ������ ������������ 2 1 7.2 ∗ 10−3 65 2 = − ⇒ ������������ = − = − ������������ ������0 2������������������ ������0 2������������������ 0.045 2 9 ∗ 109 3 ∗ 10−6 8 ∗ 10−6 ������������ = −0.0207 ; el resultado nos queda negativo debido a que ”dr” es un vector, pero sabemos que dx = - dr, entonces ������������������������������������ = ������. ������������������������ ������ Ejercicio 3. Considere que una carga de +3 ������������ es colocada en el punto A. ¿Cuánto trabajo se requiere para llevarla desde el punto A hasta el punto B del rectángulo de dimensiones 2 cm x 10 cm? Δ������ Δ������ = −������ ; Δ������ = ������ Δ������ = Δ������ ������ = ������������ − ������������ ������ ������������ ������1 ������2 ������1 ������2 ������1 ������2 ������1 ������2 Δ������ = ������ ������ + ������ − ������ + ������ = ������������ + − + ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������������ 5 2 5 2 Δ������ = 3 ∗ 10−6 9 ∗ 109 1 ∗ 10−6 − + − + 0.02 0.1 0.1 0.02 Δ������ = −7.56 ������ ⇒ ������ = ������. ������������ ������ Ejercicio 4. Una carga puntual “q” es colocada en reposo en el punto “p” sobre el eje de un anillo con carga uniforme q y radio R. Cuando la carga se libera, esta se mueve a lo largo del eje x, conforme lo muestra la figura. Encuentre una expresión para la velocidad final que adquiere esta carga puntual luego de moverse una distancia “x”, desprecie efectos gravitacionales. 17 ERICK CONDE
  • 18. FÍSICA C ESPOL ������������ = ������������ ������������ + ������������ = ������������ + ������������ ⇒ ������������ − ������������ = ������������ − ������������ − ������������ − ������������ = Δ������ ⇒ Δ������ = −Δ������ Δ������ Δ������ Δ������ = =− ������ ������ 1 ������ ������������ 2 Δ������ = − ������ ������������ 2 − ������������ 2 = − 2������ 2������ ������ ������������ ������ = ������ ⇒ ������������ = ������ ������ ������2 + ������2 ������ ������������ ������������ = ������������ ⇒ ������ = ������2 + ������2 ������2 + ������2 ������ ������������ 2 ������������ ������������ ������ − ������ = − ������ ������ ; ������ = ������ ; ������ = ������ 2������ ������2 + (������ + ������)2 ������2 + ������ 2 ������������ ������������ ������ ������������ 2 − =− ������2 + (������ + ������)2 2������ 2������ ������������������������ ������ ������ ������������ = − ������/������������������ ������ ������������ ������������ + (������ + ������)������ Ejercicio 5. ¿Cuál de las siguientes premisas es correcta? a) Si el campo eléctrico es cero en algún punto del espacio, el potencial eléctrico debe ser también cero en dicho punto b) Si el potencial eléctrico es cero en algún punto del espacio, el campo eléctrico debe ser cero también en dicho punto c) Las líneas del campo eléctrico apuntan hacia las regiones donde el potencial es más alto d) En electroestática, la superficie de un conductor es una superficie equipotencial. Para a) ������������ ������ = ; Por esta definición nos dice, que si el campo eléctrico es cero, el potencial eléctrico no necesariamente es ������������ cero, si no que puede ser una constante Para b) ������ ������ = ������ (������������������������������������������������������ ������������������������������������ ������ ������������������ ������������������������������ ������������������������������������������) ������ ������1 ������2 ������1 = ������ ; ������2 = ������ ������ ������ Si el campo eléctrico es cero, el potencial eléctrico es cero 18 ERICK CONDE
  • 19. FÍSICA C ESPOL Para c) Las líneas del campo eléctrico apuntan donde el potencial decrece Para d) La superficie de un conductor es una superficie equipotencial Ejercicio 6. Si tenemos una carga positiva de 1 C en el centro de una esfera de radio R ¿Cuál es el flujo a través de la superficie de la esfera. ������������������������ ������ . ������������ = ������0 ������������������������ ������ ɸ ������������������������������ = ⇒ ɸ������������������������������ = ������������������ /������ ������0 ������. ������������ ∗ ������������−������������ Ejercicio 7. Un alambre doblado en forma de semicírculo de radio “a” mantiene una carga eléctrica uniformemente a lo largo de su longitud, con densidad ������. Calcule el potencial eléctrico el el punto O ������ ������ = ������ ������ ������������ ������������������ ������������ = ������ = ������ ������ ������ ������������ ������������ ������������ = ������������ ⇒ ������ = ������ ������ ������ ������������������������������ ������������ ������ = ������������ ⇒ ������ = ������������������ ������ ������ Ejercicio 8. Calcule el potencial eléctrico en el punto P sobre el anillo mostrado en la figura la cual tiene una densidad de carga ������ = ������/������ donde ������ es una constante positiva. ������������ ������������������������������������������������ ������������������: = ������������ ������ + ������������ + ������������ ������������ + ������������ 19 ERICK CONDE
  • 20. FÍSICA C ESPOL ������������ ������������������������������������ ������������ ������������������������������ ������: ������ = ������ 2 +������ 2 ������������������ ������������ ������������ = ; ������ = ⇒ ������������ = ������������������ ������ 2 + ������2 ������������ ������������������������ ������������ = ; ������ = ������������ 2 ⇒ ������������ = 2������������������������ ������ 2 + ������2 2������������������������������������ 2������������������������������ ������ ������������ = = ������ 2 + ������2 ������ 2 + ������2 ������ ������ ������������ ������ ������������ = 2������������������ = 2������������������ ������������ ������ + ������ 2 + ������2 ������ 2 + ������2 ������ ������ ������ = 2������������������ ������������ ������ + ������ 2 + ������2 − ������������ ������ + ������2 + ������2 ������ + ������������ + ������������ ������ = ������������������������ ������������ ������ ������ + ������������ + ������������ Ejercicio 9. Un alambre que tiene densidad lineal de carga uniforme ������ se dobla de la forma indicada en la figura. Encuentre el potencial eléctrico en el punto O. ������������ ������ = ⇒ ������������ = ������������������ ������������ ������������ ������������������ ������������1 = ������ = ������ ������ ������ 3������ ������������ 3������ ������������1 = ������������ = ������������ ������������ ������ ������ ������ ������ ������1 = ������������ ln⁡ (3) ������������ ������������������ ������������2 = ������ = ������ ������ ������ ������������ ������������ ������������2 = ������������ = ������ ������ ������ ������������������������������ ������������ ������2 = ������������ ������ ������������������������������������ = ������������������ ������������ ������ + ������������������ ������ 20 ERICK CONDE
  • 21. FÍSICA C ESPOL Ejercicio 10. Un cilindro conductor de radio a tiene una carga uniformemente distribuida es su superficie ������ Determine: a) El valor del campo eléctrico fuera del cilindro. b) La diferencia de potencial entre 2 puntos ubicados a una distancia ������������ y ������������ , fuera del cilindro medidos desde el eje del cilindro (������������ > ������������ ). Para a) ������������������������ ������������������������ ������ . ������������ = ������ = ⇒ ������������������������ = ������������ = ������ 2������������������ ������������������ ������0 ������������������������ ������������������������ 2������������������������ ������������������ ������������������(0) = ⇒ ������ ������������ = ������0 ������0 2������������������������ ������������ ������ 2������������������ = ⇒ ������ = ������/������ ; ������������������������������������������������������������������ ������������������������������ ������������������������������������ ������0 ������������ ������ Para b) Δ������ = −������������ ������ Δ������ = − ������ . ������������ ������ ������ ������2 ������������ ������������ − ������������ = − ������ (−������������ ) = ������������ ������0 ������ ������ ������1 ������2 ������������ ������������ ������������ ������������ − ������������ = = ln ������2 − ln ������1 ������0 ������ ������0 ������1 ������������ ������������ ������������ − ������������ = ������������ ������������ ������������ Ejercicio 11. Dos cascarones conductores esféricos y concéntricos están conectados por medio de un alambre delgado como se muestra en la figura, si una carga Q se pone en el sistema ¿Cuánta carga queda sobre cada esfera? a = 0.4 m b = 0.5 m Q = 10 ������������ 21 ERICK CONDE
  • 22. FÍSICA C ESPOL Cuando se une por un alambre el potencial en la superficie de las dos esferas son iguales. ������1 = ������2 ; ������ = ������1 + ������2 ������1 ������2 ������1 ������2 ������ = ������ ⇒ = ������ ������ ������ ������ ������ − ������2 ������2 ������ = ⇒ ������ = ������2 1 + ������ ������ ������ −1 −1 ������ 0.4 ������2 = ������ 1 + = 10 ∗ 10−6 1+ ������ 0.5 ������������ = ������. ������������ ∗ ������������−������ ������ ; ������������ = ������. ������������ ∗ ������������−������ ������ Ejercicio 12. Una esfera solida aislante de radio R tiene una densidad de carga volumétrica uniforme con carga total Q. a) Determine el potencial eléctrico en un punto fuera de la esfera, es decir (r > R). Considere V = 0 en el infinito. b) Encuentre el potencial en un punto dentro de la esfera (r < R) Para a) ∆������ = − ������. ������������ ������������������������ ������ . ������������ = ������0 ������ ������ ������������������ ������������������(0) = ⇒ ������ ������������ = ������0 ������0 ������ 1 ������ ������������ ������ 4������������ 2 = ⇒ ������ = ⇒ ������ = ������0 4������������0 ������ 2 ������ 2 ������ ������������>������ − ������ =∞ = − ������ ������������������ ∞ ������ ������ ������������ 1 ������������ ������������>������ = − 2 ������������ = ������������ ������ ⇒ ������������>������ = ������ ������ ∞ ������ ∞ Para b) ������������������������ ������ . ������������ = ������0 ������������������������������������ ������������������������ ������������������������������������ ������ 4 3 ������ = = ⇒ ������������������������ = ������ ⇒ ������������������������ = ������������ ������������������������������������ ������ ������������ ������ ������������������������������������ ������������������ 4 3 3 ������������ 3 ������������������������ ������������ 3 ������������������ ������������������(0) = ⇒ ������ ������������ = ������0 ������0 ������3 22 ERICK CONDE
  • 23. FÍSICA C ESPOL ������������ 3 1 ������������ 3 ������������������ 3 ������ 4������������ 2 = ⇒ ������ = ⇒ ������ = ������0 ������3 4������������0 ������3 ������3 ������<������ ������������<������ − ������ ������=∞ = − ������������������ ∞ ������<������ ������ ������ ������������������ 3 ������������������ 3 ������������<������ = − ������������ = − ������1 ������������ − ������������ ������3 ������3 ∞ ∞ ������ ������ ������������ ������������ ������ 2 ������������ ������������ 2 ������������<������ = − 3 ⇒ ������������<������ = − 3 ������ − ������2 ������ ������ 2 ������ ������ 2������ ������������ ������������ − ������������ ������������<������ = ������ − ������ ������ ������������������ Ejercicio 13. El flujo del campo creado por un dipolo eléctrico formados por 2 cargas (+q) y (-q) a través de una superficie cerrada que rodea el dipolo y situado en el vacio es igual a: ������������������������ +������ −������ ������ . ������������ = ⇒ ɸ ������������������������������ = + ⇒ ɸ ������������������������������ = 0 ������0 ������0 ������0 Ejercicio 14. Los tres grandes planos de la figura (que pueden considerarse de superficie infinita, ya que sus áreas son muchos mayores que la separación de 1 m entre ellos; en el espacio entre ellos está el vacio) están cargados uniformemente con unas densidades de carga. ������������ = ������. ������������ ∗ ������������−������ ������/������������ ; ������������ = ������. ������������ ∗ ������������−������ ������/������������ ; ������������ = ������������. ������������ ∗ ������������−������ ������/������������ a) Determinar el campo eléctrico en puntos; 0 < y < 1 , 1 < y < 2 b) Determinar las diferencias de potencial ������������ − ������������ , ������������ − ������������ c) ¿Con que velocidad en la dirección del OY se debe lanzar el protón desde un punto de. coordenadas (0.5 , -0.5 , 0.5)m para que llegue al plano B con velocidad cero. 23 ERICK CONDE
  • 24. FÍSICA C ESPOL Para a) 0<y<1 ������������ ������������ ������������ ������������ = − − 2������ 0 2������ 0 2������ 0 1 10−6 ������������ = ������������ − ������������ − ������������ = 3.54 − 7.08 − 10.62 2������0 2 8.85 ∗ 10−12 ������������ = −������������������ ������ ������������/������ 1<y<2 ������������ ������������ ������������ ������������ = + − 2������0 2������0 2������0 1 10−6 ������������ = ������������ + ������������ − ������������ = 3.54 + 7.08 − 10.62 2������0 2 8.85 ∗ 10−12 ������������ = ������ ������/������ Para b) Como el potencial apunta donde el campo decrece, entonces ������������ > ������������ ������������ − ������������ = +������������ ⇒ ������������ − ������������ = +800 ∗ 103 (1) ������������ − ������������ = ������������������ ������������ ������������ − ������������ = ������������ ⇒ ������������ − ������������ = ������ ������ Para c) ∆������ ∆������ ∆������ = =− ������ ������ ������ ������ 2 ∆������ = − ������ 2 − ������������ 2 ⇒ ∆������ = ������ 2������ ������ 2������ ������ ������������ 2 ������������ − ������������ = ������ 2������������ ������ ������������ ������������ ������������ ������������ = − − − 2������0 2������0 2������0 1 10−6 ������������ = − ������������ + ������������ + ������������ = 3.54 + 7.08 − 10.62 2������0 2 8.85 ∗ 10−12 ������������ = −1200 ������ ������������/������ ������������ > ������������ ������������ − ������������ = −������������ ������ ⇒ ������������ − ������������ = −1200 ∗ 103 (0.5) ������������ − ������������ = −0.6 ∗ 106 ������ ⇒ ������������ = −0.6 ∗ 106 + ������������ 24 ERICK CONDE
  • 25. FÍSICA C ESPOL ������������ − ������������ = 800 ������������ ⇒ ������������ = 800 ∗ 103 + ������������ ������������ 2 800 ∗ 103 + ������������ − −0.6 ∗ 106 + ������������ = ������ 2������������ ������ 2 1.4 ∗ 106 ������������ 2 1.4 ∗ 106 1.6 ∗ 10−19 ������������ = = ������������ 1.67 ∗ 10−27 ������������ = ������. ������������������������������ ∗ ������������������ ������/������������������ Ejercicio 15. La figura de abajo muestra una placa conductora de espeso W y dos láminas dieléctricas, todas muy grandes (infinitas), se muestra una vista lateral. La placa conductora tiene carga uniformemente distribuida en sus dos superficies, ������������������������������������ , las láminas dieléctricas tiene carga uniformemente distribuida de densidades ������������ y ������������ . Determine la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto A W = 3cm. ������������ = −������. ������ ������������/������������ ������������ = +������. ������ ������������/������������ ������������������������������������ = +������. ������ ������������/������������ ������������������������������ ������������������������ ������������ ������������������������������������������������������ ������������������������������������ ������������ ������������ ������������ = − − ������0 2������0 2������0 ������������������������������ ������������������������ ������������ ������������������������ é������������������������������������ 2 ∗ 10−3 2.5 ∗ 10−3 7.5 ∗ 10−3 ������������ = − − 8.85 ∗ 10−12 2 8.85 ∗ 10−12 2 8.85 ∗ 10−12 ������������ = −������. ������������������ ∗ ������������������ ������ ������/������ 25 ERICK CONDE
  • 26. FÍSICA C ESPOL Ejercicio 16. La figura de abajo muestra tres planos, todas de áreas muy grandes. Las dos placas delgadas (láminas) están hechos de material aislante y tienen carga uniformemente distribuidas de densidades ������������ y ������������ respectivamente. La placa metálicas tiene ancho W, y esta inicialmente descargada. ������������ = ������ ������������ ������������ = ������������ ������������ ������ = ������ ������������ ������������ = −������. ������ ������������/������������ ������������ = +������. ������ ������������/������������ ������������������������������������ = ������ a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico ������������ en el origen (el punto marcado con A en el origen)? b) ¿Cuál es el signo de la densidad superficial de carga ������, sobre la superficie izquierda de la placa metálica? c) Calcule la diferencia de potencial eléctrico entre las láminas no conductoras, esto es, entre (x = ������������ ) y (x = ������������ ) Para a) ������������ ������������ ������������ = − 2������0 2������0 1 10−6 ������������ = ������������ − ������������ = 2.5 − 7.5 2������0 2 8.85 ∗ 10−12 ������������ = −������. ������������ ∗ ������������������ ������ ������/������ Para b) Entran en negativas y salen de las positivas ∴ ������������ ������������������������������������������������ ������ ������������������������������������������������������������ = ⇒ ������ = ������������ ������0 = 0.28 ∗ 106 8.85 ∗ 10−12 ������0 ������ = ������. ������������������ ∗ ������������−������ ������/������������ Para c) ������������ ������������ 10−6 ������������ = − − =− 2.5 + 7.5 2������0 2������0 2 8.85 ∗ 10−12 ������������ = −0.56 ∗ 106 ������/������ ⇒ ������������ = 0.56 ∗ 106 ������/������ ������������ > ������������ ⇒ ������������ − ������������ = +������������ ������ ������������ − ������������ = 0.56 ∗ 106 0.12 ⇒ ������������ − ������������ = ������. ������������������ ∗ ������������������ ������ 26 ERICK CONDE
  • 27. FÍSICA C ESPOL CAPACITANCIA Ejercicio 1. Suponga que todos los capacitores se encuentran descargados antes de ensamblar el circuito. Si definimos el potencial en el alambre inferior como cero. Determine el valor del potencial ������������ en el punto b indicado en la figura. 1 1 1 ������4 +������1 ������4 = ������2 + ������3 = + = ������5 ������1 ������4 ������4 ������1 5 ������4 = 5 ������������ ������5 = ������������ 6 ������ 5 ������5 = ⇒ ������ = ������������5 = 12 = 10 ������������ ������ 6 ������ 10 Δ������2 = = ������4 5 ������ = 10 ������������ Δ������2 = 2 ������ Δ������ = ������������ − ������ = 2 ������������ − ������ = 2 ������������ = ������ ������ Ejercicio 2. Seis capacitores idénticos de 5Pf de capacitancia son conectados a una batería de 9 voltios como se muestra en el diagrama. Calcule la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos A y B marcados en el circuito. Determine la energía total almacenada en los seis capacitores. 27 ERICK CONDE
  • 28. FÍSICA C ESPOL 1 1 1 ������3 + ������1 = + = ������4 ������1 ������3 ������3 ������1 10(10) ������4 = ⇒ ������4 = 5������������ 10 + 10 ������4 ������2 5(10) ������5 = = ������4 + ������2 5 + 10 10 ������5 = ������������ 3 ������ 10 ������5 = ⇒ ������ = ������5 9������ = 9 ⇒ ������ = 30 ������������ 9������ 3 ������ ������ 30 ������4 = ⇒ Δ������������������ = = ⇒ ������������������������ = ������ ������ Δ������������������ ������4 5 1 1 10 ������������������������������������ = ������5 ������ 2 = ∗ 10−12 9 2 2 2 3 ������������������������������������ = ������. ������������ ∗ ������������−������������ ������ Ejercicio 3. Encuentre: a) La capacitancia equivalente entre los puntos a y b para el grupo de capacitores conectados, como se indica en la figura si ������������ = ������. ������ ������������ , ������������ = ������������. ������ ������������ , ������������ = ������. ������ ������������ b) Si ������������������ = 60 voltios, ¿Cuál es la energía almacenada en ������������ ? Para a) 1 1 1 ������1 + ������2 = + = ������4 ������1 ������2 ������1 ������2 5(10) 10 ������4 = ⇒ ������4 = ������������ 5 + 10 3 ������5 = ������2 + ������2 ⇒ ������5 = 20 ������������ 10 26 ������6 = ������4 + ������3 + ������4 = 2 +2 ⇒ ������6 = ������������ 3 3 ������7 ������5 26/3 (20) ������������������ ������7 = = ⇒ ������������ = ������������������ = ������������ ������7 + ������5 26/3 + 20 ������������ 28 ERICK CONDE
  • 29. FÍSICA C ESPOL Para b) 1 2 ������3 = ������3 ∆������������3 2 ������ 260 15600 ������7 = ⇒ ������ = ������7 ������������������ = 60 ⇒ ������ = ������������ ������������������ 43 43 ������ ������ (15600/43) 1800 ������6 = ⇒ ∆������������6 = = ⇒ ∆������������6 = ∆������������3 = (������) ∆������������6 ������6 (26/3) 43 2 1 1800 ������3 = 2 ∗ 10−3 ⇒ ������������ = ������. ������������������ ������ 2 43 Ejercicio 4. Un condensador esférico, formado por dos esferas conductores, de radios r y R, se carga a una diferencia de potencial ������������ . Enseguida, se introduce entre las esferas un dieléctrico líquido de constante k, hasta llenar la mitad del volumen interior. a) ¿Cómo están conectados los dos condensadores? Explique por que b) Encuentre la capacitancia equivalente del condensadores c) Determine el cabio en la energía electroestática del sistema, debida a la introducción del dieléctrico. Para a) Tienen la misma diferencia de potencial ∴ ������������������������������ ������������������������������������������������������������ ������������ ������������������������������������������������ Para b) ������������ Capacitancia de condensador esférico de radio interior a y radio exterior b ������ = ; ������������ = constante eléctrica ������������ (������−������) ������������������ = ������1 + ������2 ������������ ������������ ������������������ = + ������ ������������ (������ − ������) ������������ (������ − ������) ������������ ������������������ = ������ + ������ ������ ������������ (������ − ������) 29 ERICK CONDE
  • 30. FÍSICA C ESPOL Para c) 1 ������ = ������������ 2 2 1 1 ������������ ������0 = ������������0 2 = ������ 2 (������������������������������ ������������ ������������������������������������������������������������ ������������ ������������������������é������������������������������������) 2 2 ������������ (������ − ������) 0 2 1 1 ������������ ������0 ������������ = ������������������ ������������ 2 = ������ + 1 (������������������������������������������ ������������ ������������������������������������������������������������ ������������ ������������������������é������������������������������������) 2 2 ������������ (������ − ������) ������ ∴ ������������ > ������������ Ejercicio 5. Dos capacitores son conectados a una batería como se muestra en la figura. Los capacitores son idénticos. La única diferencia es que el espacio entre sus placas esta en vacío (k = 1) en el caso de ������������ y una lamina dieléctrica (k > 1) en el caso de ������������ a) Compare las cargas sobre el capacitor ������������ y sobre le capacitor ������������ b) Compare las magnitudes del campo eléctrico entre las placas de los capacitores c) Compare la diferencia de potencial entre las placas de los capacitores Para a) ������1 = ������1 ; ������2 = ������������2 ; ������1 = ������2 = ������ ������1 ������2 ������1 = ; ������2 = ������ ������ ������1 = ������1 ������ ; ������2 = ������������1 ������ ������������ > ������������ Para b) ������1 = ∆������������ ; ������2 = ������������������������������������������������������������ − ������������������������������ é������������������������������������ ������������ > ������������ Para c) ������1 = ������2 = ������ El circuito está conectado en paralelo ∴ ������������ = ������������ 30 ERICK CONDE
  • 31. FÍSICA C ESPOL Ejercicio 6. Dos placas metálicas paralelas y cargadas de área A separadas por una distancia d. A = 0.2 ������������ d = 0.03 m ¡) Un conductor de espesor d/2 es insertado entre las placas como se muestra abajo. La capacitancia total a) Se incrementa b) Disminuye c) No cambia ������ ������ ������ ������ ������1 = ������0 = ������0 ; ������2 = ������0 = ������0 ������ (������/4) ������ (������/4) 1 1 1 ������1 ������2 = + ⇒ ������������������ = ������������������ ������1 ������2 ������1 +������2 ������ ������ ������0 ∗ ������ (������/4) 0 (������/4) 2������0 ������ ������������������ = = ������ ������ ������ ������0 + ������0 (������/4) (������/4) 2 8 ∗ 85 ∗ 10−12 (0.2) ������������������ = ⇒ ������������������ = 1.18 ∗ 10−10 (������) 0.03 ������������ ������������������������������������������������������������ ii) El conductor es reemplazado con un dieléctrico de espesor d/2 y constante k = 5, como se muestra. ¿Cuál es la capacitancia total del sistema? a) ������ = ������. ������������ ∗ ������������−������������ ������ b) ������ = ������. ������������ ∗ ������������−������������ ������ c) ������ = ������. ������������ ∗ ������������−������������ ������ d) ������ = ������. ������������ ∗ ������������−������������ ������ e) ������ = ������. ������������ ∗ ������������−������������ ������ ������1 ������ 2������������������0 /������ 2������������0 /������ 4������������0 2 ������2 2������������0 ������ ������������������ = = = = ������1 + ������ ������ ������ 2������0 ������������2 (������ + 1) ������(������ + 1) 2������0 + 2������������0 ������ ������ 2(5) 8 ∗ 85 ∗ 10−12 (0.2) ������������������ = ⇒ ������������������ = ������. ������������ ∗ ������������−������������ ������ 0.03(5 + 1) 31 ERICK CONDE
  • 32. FÍSICA C ESPOL RESISTENCIA Ejercicio 1. El siguiente circuito contiene 7 resistores idénticos de resistencia R = 10Ω y una batería de voltaje ������ = ������������������. Todos los resistores tienen resistencia de 10 ohmios. a) Calcule la caída de voltaje a través de ������������ b) ¿Cuál es la corriente a través de ������������ ? Para a) 1 1 1 ������3 +������4 ������3 ������4 10(10) = + = ⇒ ������8 = = ⇒ ������8 = 5������ ������8 ������3 ������4 ������3 ������4 ������3 +������4 10+10 ������9 = ������5 + ������6 + ������7 = 10 + 10 + 10 ⇒ ������9 = 30������ ������10 = ������8 + ������2 ⇒ ������10 = 15������ ������ 18 ������ = ������������ ⇒ ������9 = = ⇒ ������9 = 0.6 ������ ������9 30 ������9 = ������6 = ������5 = ������7 ������5 = ������9 ������5 = 0.6 10 ⇒ ������������ = ������ ������ Para b) ������ 18 ������10 = = ⇒ ������10 = 1.2 ������ ������10 15 ������10 = ������8 = ������2 ; ������8 = ������8 ������8 = 1.2 5 ⇒ ������8 = 6������ ������4 6 ������8 = ������3 = ������4 ; ������4 = = ⇒ ������������ = ������. ������ ������ ������4 10 Ejercicio 2. Una típica tostadora eléctrica puede generar 1200 watts en su resistencia (elemente calefactor) cuando se conecta a una fuente de 120 voltios. El elemento calefactor es un alambre delgado de nicromio de 4 metros de longitud y sección transversal de 0.33 ������������ ������ ������ ������ 2 ������ 2 ������ = ������������ ; ������ = ������������ ⇒ ������ = ������ = ⇒ ������ = ������ ������ ������ ������ ������ 2 ������ ������������ 2 0.33 ∗ 10−6 120 2 ������ = ������ ⇒ = ������ ⇒ ������ = = ������ ������ ������ ������������ 1200(4) ������ = ������. ������ ∗ ������������−������ ������������ 32 ERICK CONDE
  • 33. FÍSICA C ESPOL Ejercicio 3. Si nosotros incrementamos la longitud del alambre de nicromio del problema anterior (manteniendo el voltaje y el área constante). ¿Qué sucedería con la potencia por el elemento calefactor? ������ 2 ������ 2 ������ = ; ↓ ������ = ������ → ������������������������������������������������������ ������ ������������ ↑ ∴ ������í ������������������������������������������ ������������������������������������������������, ������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������, ������������������������������������������������ ������������ ������������������������������������������������ ������������������������������������������������ ������������������������������������������������������ Ejercicio 4. Cuando dos resistores idénticos son conectados en paralelo entre los terminales de una batería, la potencia entregada por la batería es de 10 watts. Si estos resistores fueran conectados en serie entre los terminales de la misma batería, ¿Cuál sería ahora la potencia entregada por la batería? ������ ������ 2 2������ 2 2������ 2 ������ 2 ������������������ = ; ������0 = ⇒ ������0 = ⇒ 10 = ⇒ 5= 2 ������������������ ������ ������ ������ ������ 2 ������ 2 ������ 2 ������������������ = 2������ ; ������������ = ⇒ ������������ = ⇒ 2������������ = ⇒ 2������������ = 5 ⇒ ������������ = ������. ������ ������ ������������������ 2������ ������ Ejercicio 5. Se desea colocar un foco con resistencia R intercalándolo en el circuito mostrado abajo. Se requiere que le foco experimente el máximo brillo, máximo potencia disipada. ¿En donde se debería intercalar el foco. a) En serie con la fuente ������������ b) En serie con la fuente ������������ c) Entre los puntos a y b Δ������������1 = ������������ − ������������ ⇒ Δ������������1 = 6 − −6 = 12������ Δ������������ 1 12 ������1 = = ⇒ ������1 = 1.2 ������ ������1 10 ������ 2 ������ 6 ������2 = = ⇒ ������2 = 0.6 ������ ������2 10 ������ 2 ������ 6 ������3 = = ⇒ ������2 = 0.5 ������ ������3 12 ������������������������������������ = 1.2 + 0.6 + 0.5 = 2.3 ������ ∴ ������������ ������������������������������ ������������������ ������������ ������������������������������������ ������������ 33 ERICK CONDE
  • 34. FÍSICA C ESPOL Ejercicio 6. La batería ������������ tiene un valor de 20 voltios. El valor de ������������ no es especificado. El valor de esta fuente se ajusta de tal forma que no fluya corriente a través de ella. Las cuatro resistencias son iguales pero sus valores no son especificados. a) Si 20 W son disipados en ������������ ¿Cuánta potencia es disipada en ������������ ? b) Encuentre el valor de ������������ de tal forma que no fluya corriente a través de esta batería. Para a) ������ ������5 = 2 ������ 5 ������������������ = 2������ + = ������ 2 2 ������ 20 8 ������ = ������������ ⇒ ������ = = ⇒ ������ = ������������������ (5/2)������ ������ 8 ������3 = ������������3 = ������ ⇒ ������3 = 8������ ������ ������ 2 64 16 ������3 = ⇒ 20 = ⇒ ������ = ������ ������3 ������ 5 8 ������ ������5 = ������5 ������5 = ⇒ ������5 = 4������ ������ 2 ������2 = ������ ; ������2 = ������5 = 4������ ������2 2 42 ������2 = = ⇒ ������������ = ������ ������ ������2 (16/5) Para b) Δ������������6 = ������������ − ������������ Δ������������6 = ������1 − +������2 ⇒ Δ������������6 = ������1 − ������2 Δ������������6 ������1 − ������2 ������ = = ������6 ������6 Para que no fluya corriente a través de ������2 , las corrientes tienen que ser iguales 2������2 ������1 − ������2 = ⇒ 4������2 = ������1 − ������2 ⇒ 5������2 = ������1 ������ 2������ 5������2 = 20 ⇒ ������������ = ������ ������ 34 ERICK CONDE