2. Una didattica innovativa:
il modello socio-costruttivista
M.Henry
Nuovo equilibrio
Incontro con una nuova situazione
Equilibrio precedente
Fase di disequilibrio
3. La “situazione problema”
La situazione-problema deve far apparire
le conoscenze che si vuole mobilizzare
come necessarie ed efficaci
lo strumento più efficace o il più adatto alla
risoluzione del problema.
In tal modo la conoscenza trova il suo
senso.
5. problemi “buoni” in un’ottica sociocostruttivista
(in qualunque livello scolare)
• possono essere affrontati autonomamente
• suscitano comportamenti di ricerca: sono
“interessanti” e (di solito) il primo tentativo non
conduce immediatamente alla soluzione
• sono autovalidanti: gli allievi sono in grado di
controllare autonomamente la validità delle soluzioni
prodotte e di prendere coscienza della insufficienza
delle conoscenze in possesso
inoltre
• sono situazioni concrete nelle quali l’allievo è portato
ad “agire”
6. Il puzzle 6 cm 5 cm
4 cm
m
A B
5c
Il puzzle rappresentato
in figura va ingrandito:
8 cm
il segmento che misura
m
4 cm deve misurarne 6
5c
sul puzzle ingrandito.
7 cm
Ingrandite ciascuno
C
D
3 cm
dei quattro pezzi e
costruite così il nuovo
grande puzzle.
3 cm 8 cm
7. “ingrandire”
dal dizionario Baruk, Edizione italiana a cura di
Francesco Speranza e Lucia Grugnetti, pag. 276,
alla voce
INGRANDIMENTO: s.m. XVII sec., da “grande”
a. I (Italiano) Riproduzione di un oggetto in dimensioni
maggiori conservando i rapporti. La parola è
particolarmente usata in fotografia.
b. M (Matematica) La parola ingrandimento è entrata di
recente, con rimpicciolimento o riduzione, nel
vocabolario pedagogico-matematico.
Cfr. riduzione e ingrandimento (alle pagine 520-522).
8. Il puzzle
Analisi delle difficoltà
Si tratta di superare la concezione
“additiva”, riconoscendo un problema di
proporzionalità.
La strategia del ritaglio permette un
controllo immediato della soluzione.
10. Federica ha voluto ingrandire il disegno :
A 2 F
6
8
2 D
E
e ha ottenuto questo: ? B
2
A' F' 4 C
9
?
? D'
E'
?
B' ? C'
Senza misurare, trova le dimensioni mancanti della
seconda figura
11. Mauro ha voluto imitare Federica e ha fatto questi due
disegni:
6
2
4
6 2
2
4
Senza misurare, trova le dimensioni mancanti della seconda
figura
Utilizzati sia come introduzione che come “diagnosi” alle superiori
12.
13. IL COLORE DEL MARE
Un amico ci ha detto che per riprodurre un particolare colore del mare, dobbiamo
mescolare tra loro quattro diversi colori e ci ha consigliato le rispettive quantità, che
sono riportate nella tabella qui sotto.
Purtroppo abbiamo a disposizione una quantità diversa del primo colore.
Riesci a determinare le quantità degli altri colori, in modo che il colore finale non
cambi?
COLORE QUANTITA’ QUANTITA’
CONSIGLIATA EFFETTIVA
Verde scuro 70 ml 50 ml
Azzurro cielo 40 ml
Giallo chiaro 25 ml
Bianco 20 ml
Spiegazione:____________________________________________________________
________________________________________________________
14. IL COLORE DEL MARE (scuola primaria)
Un amico ci ha detto che per riprodurre un particolare colore del mare,
dobbiamo mescolare tra loro quattro diversi colori e ci ha consigliato le
rispettive quantità, che sono riportate nella tabella qui sotto.
Purtroppo abbiamo a disposizione una quantità diversa del primo colore.
Riesci a determinare le quantità degli altri colori, in modo che il colore
finale non cambi?
COLORE QUANTITA’ QUANTITA’ EFFETTIVA
CONSIGLIATA
Verde scuro 60 ml 20 ml
Azzurro cielo 90 ml
Giallo chiaro 36 ml
Bianco 40 ml
Spiegazione ____________________________________________
15. Domanda
Il ricorso a “buoni problemi”, in un’ottica socio-
costruttivista, può incidere sulla costruzione
del pensiero proporzionale e quindi
sull’apprendimento?
Lavorare per problemi è guadagno o perdita
di tempo?
Gli allievi hanno maggiori capacità
a medio o lungo termine di riconoscere una
situazione proporzionale ?
16. RISULTATI
MARE n° GIUSTO SBAGLIATO ADD
CLASSI S-C 68 55,8% 44,2% 46,6%
CLASSI T 217 14,7% 85,3% 77,83%
Alcune osservazioni:
*pare che la tabella (che suggerisce una strategia risolutiva) abbia
leggermente facilitato le classi T
*Il fatto che un colore vada a zero pare provocare ripensamenti
nelle classi S-C: la percentuale di chi sbaglia cala rispetto a viola 1
e 2 e soprattutto si può notare che tra chi sbaglia cala sensibilmente
la percentuale di chi applica la strategia additiva. Nelle classi T
invece tale percentuale rimane molto alta, pur calando un po’.
17. CHIMICA
Sul testo di chimica, abbiamo trovato che per
neutralizzare 10 ml di una soluzione fortemente
acida occorre aggiungere 80 ml di un composto
alcalino.
Noi però dobbiamo neutralizzare 25 ml della
soluzione acida.
Quanti millilitri del composto alcalino dovremo
utilizzare?
Spiegazione:______________________________
______________________________________
______________________________________
_____________
18. Inserito per testare se e soprattutto in chi,
numeri più semplici avrebbero facilitato il
superamento dell’ostacolo
Abbiamo agito sulla variabile didattica
“numeri” per vedere se in che misura numeri
più “facili” avrebbero favorito le classi T.
CHIMICA n° GIUSTO SBAGLIATO ADD
CLASSI S-C 66 82,4% 7,6% 10,3%
CLASSI T 214 47,7% 52,3% 40,2 %
19. Problemi di Problemi di carattere
carattere geometrico aritmetico
Dalle considerazioni spontanee si può arrivare ad
“istituzionalizzare” la uguaglianza di rapporti
Poi il nome proporzioni e la proprietà
fondamentale (come di uguaglianza tra due
frazioni)
In seguito le altre proprietà
20. Alla scuola elementare il pensiero
proporzionale si acquisisce gradualmente
mediante:
Problemi tradizionali
Problemi non-standard
• in ambito aritmetico o geometrico
• attraverso attività manipolative e non
21. Quale compro?
• Su uno scaffale di un supermercato trovi
esposte due lattine di salsa di pomodoro;
una contiene 3 hg. di salsa e costa 1,50
euro, l’altra ne contiene 2 hg. e costa 1,20
euro.
• Quale delle due lattine è più conveniente
acquistare?
Il testo non suggerisce la procedura ma è ben evidente l’ambito
proporzionale
22. Per la risoluzione occorre prima di tutto
capire che ciò che conta è il rapporto
quantità – prezzo:
Il più conveniente è quello che costa meno a
pari quantità di salsa.
Come fare il confronto?
23. • Si potrebbe aggiungere:
• Controlla la tua risposta calcolando:
- il costo per etto di ogni lattina
(RIDUZIONE ALL’UNITA’)
- quanta conserva di ogni tipo avresti
ottenuto con una spesa di 1 euro
24. Oppure si può anche lavorare con i multipli:
4 etti 6 etti 8 etti 9 etti 10 etti 12 etti
Prezzo
primo 3 4,50 6
barattolo
Prezzo
secondo 2,40 4,80 6 8,40
barattolo
25. Aiuole colorate
Claudio sta piantando due aiuole di tulipani,
vuole usare un miscuglio di tulipani rossi e
gialli.
Nella prima aiuola pianta sette tulipani rossi per
ogni terna di tulipani gialli.
(Dopo aver piantato 3 tulipani gialli, pianta, mischiati con i gialli, 7
tulipani rossi, poi ancora 3 gialli e poi 7 rossi e così via)
Nella seconda aiuola pianta tre tulipani rossi per
ogni coppia di tulipani gialli.
Claudio pianta lo stesso numero di tulipani in
ogni aiuola, quale delle due sarà più gialla?
26. Occorre capire che l’aiuola che si vede
più gialla è quella che ha più fiori gialli a
parità di tulipani rossi
Ciò che conta è cioè il rapporto fra i due
colori, ma non occorre il concetto di
rapporto per risolvere il problema.
27. Prima aiuola
rossi 7 14 21 28 35
gialli 3 6 9 12 15
Seconda aiuola
rossi 3 6 9 12 15 18 21 24
gialli 2 4 6 8 10 12 14 16
Le tabelle si possono confrontare a parità
di fiori rossi o gialli
28. un quesito sul quale, di solito, sono
tutti d’accordo:
Aggiungendo 3 cm ad entrambe le misure
dei lati di un rettangolo, si ottiene un
rettangolo simile?
33. Le condizioni si possono trasformare così:
Un elefante pesa come 5 mucche e=5m
Una mucca pesa come 10 uomini m = 10 u
Una balena pesa come 30 elefanti b = 30 e
Procedendo per sostituzioni successive:
una balena pesa 30 volte un elefante
cioè come 30 x 5 m
cioè come 30 x 5 x 10 u
quindi come 1500 uomini
34.
35. • Lavorare per “proporzionalità elementare”:
per esempio: se 3 bambole valgono 2 gatti, allora 6
bambole valgono 4 gatti, ....
• lavorare per "transitività":
per esempio, se 6 bambole valgono 4 gatti e 4 gatti
valgono 3 orsi, allora 6 bambole valgono 3 orsi o 2
bambole valgono un orso
• lavorare per sostituzione:
per esempio, sostituire 2 gatti con 3 bambole, ...
• combinare i tre tipi di trasformazioni precedenti:
2 gatti e una bambola fanno 4 bambole (3 + 1) e 4
bambole corrispondono a 2 orsi.
36. Il problema è stato risolto correttamente,
con spiegazione soddisfacente o meno:
35% circa delle classi della categoria tre
50% delle classi della categoria quattro
66% delle classi della categoria cinque
37. L’analisi dei protocolli evidenzia l’abitudine di risolvere
problemi mediante il metodo di “riduzione all’unità”:
l’esigenza degli alunni è quella di determinare non tanto il
valore complessivo di un gruppo conveniente di
francobolli, quanto quello di ogni singolo francobollo
Alcuni protocolli mostrano che la classe ha ben compreso il
concetto di frazione, ma è ancora incapace di utilizzare
la corretta scrittura.
Non abbiamo potuto appurare se l’uso era puramente
intuitivo o l’insegnante aveva già affrontato l’argomento.
L’elaborato che segue ne è un esempio:
½ significa in realtà per gli alunni di una classe 1+ ½.
38. Le Marmellate 15°RMT,F,12
C’è la raccolta delle ciliegie.
La nonna prepara la marmellata in un enorme paiolo, per la sua
famiglia e i vicini.
Lunedì cuoce 8 kg di ciliegie con 5 kg di zucchero.
Martedì cuoce10 kg di ciliegie con 7 kg di zucchero.
Giovedì, giorno di maggior raccolta, cuoce 16 kg di ciliegie con 10 kg
di zucchero.
Sabato, fine della raccolta, cuoce 5 kg di ciliegie con 3 kg di zucchero.
Qual è il giorno in cui la nonna ha preparato la marmellata più
zuccherata?
Ci sono giorni in cui le marmellate hanno lo stesso grado di
dolcezza?
Spiegate come avete trovato la vostra risposta.
39. Le Marmellate 15°RMT,F,12
ANALISI A PRIORI
Analisi del compito
Rendersi conto che bisogna considerare simultaneamente le due
grandezze e non ci si può basare soltanto sullo zucchero
Rendersi conto che sarebbe possibile fare confronti se la
quantità di una delle due grandezze fosse la stessa, di
conseguenza provare a raddoppiare, triplicare, ...dividere per
due, ...ciascuna delle quantità.
Esempio:
8 kg di ciliegie e 5 kg di zucchero
16 kg di ciliegie e10 kg di zucchero
Porta a concludere che la percentuale di zucchero delle
marmellate di lunedì e giovedì sarà la stessa.
40. Le Marmellate 15°RMT,F,12
Inoltre raddoppiando le quantità di sabato :
10 kg di frutta e 6 kg di zucchero
e confrontando con martedì:
10 kg di frutta e 7 kg di zucchero
si può dire che
la marmellata di sabato è meno zuccherata di quella di
martedì.
Si possono poi confrontare le marmellate di martedì e giovedì,
facendo coincidere una delle quantità.
100 kg di frutta per 70 kg di zucchero il martedì
112 kg di frutta per 70 kg di zucchero il giovedì
e si conclude che
la marmellata di martedì è più zuccherata di quella di giovedì.
41. Le Marmellate 15°RMT,F,12
La marmellata più zuccherata è dunque quella di martedì,
le marmellate di lunedì e di giovedì hanno la medesima
percentuale di zucchero.
Con procedure «esperte»:
calcolare i rapporti giornalieri fra zucchero e marmellata:
lunedì martedì giovedì sabato
zucchero(in kg) 5 7 10 3
ciliegie (in kg) 8 10 16 5
rapporto 5/8 7/10 10/16 3/5
=0,625 = 0,7 = 0,625 = 0,6
42. Le Marmellate 15°RMT,F,12
Oppure:
calcolare i rapporti giornalieri di massa di zucchero/massa totale:
lunedì martedì giovedì sabato
zucchero (in kg) 5 7 10 3
ciliegie (in kg) 8 10 16 5
rapporto 5/13 7/17 10/26 3/8
≈ 0,38 ≈ 0,41 ≈ 0,38 ≈ 0,375
43. I BARATTOLI DI CARAMELLE (Cat. 5, 6, 7, 8, 9, 10)
Nonna Matilde mette in un barattolo 6 caramelle all’arancia e 10 al
limone.
In un secondo barattolo mette 8 caramelle
all’arancia e 14 al limone. Caramelle Caramelle
Le caramelle hanno la stessa forma e sono I II
6 all'arancia 8 all'arancia
incartate nello stesso modo. 10 al limone 14 al limone
La nonna sa che a Giulio non piacciono le
caramelle al limone e quindi gli dice:
«Puoi prendere una caramella. Ti lascio scegliere il barattolo nel
quale puoi infilare la mano, senza guardare dentro».
Giulio ci pensa un po’ e sceglie infine il barattolo che, secondo lui,
gli offre più possibilità di prendere una caramella all’arancia.
Al posto di Giulio quale barattolo scegliereste?
Spiegate il vostro ragionamento.
44. Analisi del compito
- Rendersi conto che non è sufficiente scegliere il barattolo che ha il maggior numero di
caramelle all’arancia o il minor numero di caramelle al limone, ma che bisogna anche tener
conto delle due quantità contemporaneamente, con un rapporto di grandezze.
- Determinare, poi confrontare, i rapporti tra numeri di caramelle all’arancia e al limone, per
mezzo di frazioni (con lo stesso denominatore o numeratore), o dividere l’uno per l’altro.
Oppure: determinare e confrontare i rapporti del numero di caramelle all’arancia e il numero
totale di caramelle di ciascun barattolo.
Oppure: organizzare un ragionamento proporzionale del tipo: “in un barattolo di 6 / 10 si
avrebbero le stesse possibilità di un barattolo di 12 / 20” e preparare una lista di casi:
I Arancia 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66
…
Limone 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
110 …
Totale 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 …
II Arancia 8 16 24 32 40 48 56 64 …
Limone 14 28 42 56 70 84 96 112 …
Totale 22 44 66 88 110 132 154 176 …
e constatare che si possono confrontare facilmente 42 / 70 e 40 / 70 oppure 66 / 176 e
64 /176
o ancora 24 / 64 e 24 / 66 oppure 48 / 128 e 48 / 132 per dedurne che la scelta del primo è
la più favorevole ad avere una caramella all’arancia.
45. DECORAZIONI (Cat. 5, 6, 7) 9° , II
Un pittore ha dipinto quattro figure diverse su un muro.
Ha utilizzato dei barattoli di colore della stessa grandezza: 18
barattoli di rosso per una figura, 21 barattoli di blu per
un’altra figura, 27 barattoli di giallo per un’altra figura
ancora e alcuni barattoli di nero per la figura che resta.
Alla fine del suo lavoro, tutti i barattoli erano vuoti.
Indicate il colore di ogni figura.
Quanti barattoli di colore nero ha utilizzato?
Spiegate come avete trovato la risposta.
46. DECORAZIONI (Cat. 5, 6, 7) 9° , II
Attribuzione dei punteggi
4 Indicazione del numero di barattoli di colore con
spiegazioni (indicazione del colore di ogni figura e
relazione area/numero di barattoli)
3 Indicazione del numero di barattoli di colore, senza
spiegazioni
2 Indicazione dell’area di ciascuna figura e errore di
calcolo per il numero dei barattoli di colore nero
1 Valutazione “ ad occhio” delle superfici (spiegazione
del tipo ”si è visto che…) o inizio di risoluzione del
problema
0 Risposte non in linea con il problema
Livello: 5, 6, 7
Origine : Suisse romande
47. risultati “Decorazioni”
da 130 elaborati di cat 5,6,7
punteggio massimo 4 :
• media totale : 2,7
• media cat. 5 : 2
• media cat. 6 : 2,9
• media cat. 7 : 3,2
problema “facile”, ma le variabili numeriche hanno
influenzato il risultato (regolarità delle
successioni)
48. • 24 pots noirs, il y a toujours 3 de différence:
18 – 21 – 24 – 27
• Ce ne sono 30: (18 – 21 – 27 – 30)
• Sono 39, infatti : 18 + 3 = 21
21 + 6 = 27
27 + 12 = 39
abbiamo notato che c’è sempre il doppio di 3
20 % degli elaborati: notano la regolarità della successione
delle misure di area 6;7;8;9
sulla successione incompleta dei numeri di barattoli
18 : 21 ; 27
arrivando anche a risultati errati, all’incirca nel 50% dei casi
49. • Pour trouver la réponse, on doit toujours faire 3 fois.
Il a utilisé 24 pots noirs.
• Abbiamo contato il numero di quadrati in ogni figura
e abbiamo moltiplicato per 3 ogni numero di
quadrati nelle figure e abbiamo fatto allo stesso
modo per sapere quanti neri ci sono (24).
• Il a utilisé 24 pots de peinture (noire). Explication :
On a fait 3 × 6 = 18, après on fait 3 × 9 = 27
ensuite 3 × 7 = 21 ensuite il restait 24
car ce qu’on a fait 3 × 8 = 24 on l’a mis en noir.
80% degli elaborati
citano esplicitamente il fattore 3 o riconoscono i multipli
di 3 nella successione dei numeri di barattoli
50. TARTUFI AL CIOCCOLATO (Cat. 6, 7, 8) 11°, F
Ecco qualche confezione della ditta Tartuffardi contenenti tutte lo
stesso tipo di tartufi al cioccolato:
Classico Alternato Piccolo Tribù
Ed ecco le etichette che indicano il peso del 540 g
contenuto, da incollare sulle confezioni:
810 g
Ma queste etichette non sono in ordine e ne 630 g
manca una.
Trovate la confezione per la quale non c’è etichetta e indicate il
suo peso.
Spiegate il vostro ragionamento.
51. • fattore non intero: 22,5
(per scoprirlo occorre fare numerosi tentativi)
• successione
16, 24, 28, 36
(meno facile di 6,7,8,9 di « Decorazioni »)
• successione incompleta
540, 630, 810
(con numeri più grandi)
52. DOVE SI POSA LA MOSCA? R.M.T. 1999: 7°, I, 15
D
Il rettangolo di destra è la fotografia del grande rettangolo di
sinistra.
Nel momento in cui la fotografia è stata scattata, una mosca si è
posata sul rettangolo grande.
Il fotografo però quando ha stampato la fotografia l'ha cancellata.
Rimettete la mosca al posto giusto sulla foto.
Spiegate come avete proceduto.
53. Analisi a priori
• Ambito concettuale: geometria: ingrandimento (omotetia),
aritmetica: proporzionalità (funzione lineare)
• Analisi del testo: assenza di parole chiave
• Analisi del compito:
- procedure di tipo geometrico:
tracciare due rette passanti ciascuna per la mosca e (ad es.)
per un vertice del foglio e condurre poi le parallele
corrispondenti sulla foto e individuare “la mosca” dalla loro
intersezione; oppure cercare il centro di omotetia,
intersecando due rette congiungenti punti corrispondenti e
procedere utilizzando le proprietà dell’omotetia.
- procedure di tipo aritmetico:
determinare il fattore di riduzione della fotografia a partire dai
due rettangoli (eventualmente verificando che è il medesimo
per le due dimensioni): 2,5 : 6 = 3,5 : 8,4 = 5 : 12
determinare poi le coordinate della mosca sul foglio e calcolare
le coordinate corrispondenti sulla foto.
56. Scuole ed allievi coinvolti
• LS Liceo scientifico e Liceo scientifico tecnologico
• LC Liceo classico
• IT Istituto tecnico industriale o commerciale
• IP Istituto professionale
LS LC IT IP totale
n° classi 12 2 14 19 37
n° allievi 272 44 318 401 1035
56
57. IL TERRENO DI FRANCESCO
Francesco vuol dividere un terreno rettangolare fra i suoi tre figli,
sistemando due palizzate che partono dal vertice A, in modo che le
tre parti abbiano la stessa area.
D F C
E
A B
Questo disegno rappresenta un primo tentativo, ma Francesco si
accorge che non va bene.
Dove dovrà sistemare gli estremi E ed F delle palizzate sui lati BC
e CD in modo che la divisione sia giusta?
Indicate con precisione la posizione di questi punti e giustificate
la vostra risposta.
58. LA PREDIZIONE (14°RMT)
Marco propone questo gioco al suo amico Luca:
- pensa un numero intero qualsiasi,
- aggiungi il numero immediatamente successivo,
- aumenta di 9 la somma precedente,
- dividi il risultato ottenuto per 2,
- sottrai il numero che hai pensato all’inizio.
Il risultato è 5, vero?
Luca è stupefatto, ma non è magia: si tratta solo di
matematica.
Perché si ottiene sempre lo stesso risultato da
qualunque numero parta il gioco?
Spiega il tuo ragionamento.
59. Strategia algebrica 6%
Corretto algebrico 4%
Errato algebrico 2%
Nelle classi del potenziamento…
60. La predizione: potenziamento
• L’unico che pensa subito di
utilizzare un lettera, imposta n +1+ 9
male l’espressione −n
2
• e la calcola in modo errato ( e
semplifica le due lettere, dopo
aver spiegato il motivo per cui n +10
n +1+ 9 −n
non può farlo semplifica −n diventa
2 2
diversamente:
semplifica 10 con 2 e dunque
rimane n – n.
61. 2n + 10
−n
2
La predizione: potenziamento
• Il problema era dunque gestire l’espressione
2n + 10
−n
2
Problema che abbiamo risolto con tre modalità diverse:
•Somma di due termini trasformando in frazioni con lo stesso
denominatore
•Utilizzo della proprietà distributiva per trasformare il numeratore in un
prodotto e poi procedere alla divisione
•Scomposizione della frazione nel prodotto di due frazioni
62. Dalla gara: Analisi a posteriori
«Se al posto di un numero prendiamo x, al secondo passaggio
aggiungiamo x+1 quindi avremo 2x+1. Al terzo passaggio
aggiungendo 9 avremo 2x+10. Al quarto passaggio dividendo tutto
per 2 avremo x+5. Al quinto passaggio sottraendo x avremo 5».
(cat.8)
n + ( n +1) + 9 n + n +1 + 9 n + n +10
−n = −n = − n = 1 n + 1 n + 5 − n = n + 5 − n = ( n + 5) − n = 5
2 2 2 2 2
(cat.7)
«x : 2= mezza x; 1 : 2 = 0,5; 9 : 2 = 4,5;
proviamo a sommare il tutto mezza x + mezza x = x intera; 4,5 +0,5 = 5;
ora sottraiamo la x che è rimasta fuori dalla parentesi e così rimane solo 5».
(cat.8)
63. La predizione: analisi a posteriori
In tutti gli elaborati di cat .8 che risolvono il problema impostando
un’equazione, si nota confusione sul concetto di equazione e di espressione
letterale:
• un gruppo di allievi imposta un’equazione, semplifica il primo membro
(un’espressione) fino ad ottenere 5 e indica 5 come risultato
dell’equazione. Altri due gruppi risolvono l’equazione ma affermano:
«qualunque sia il valore di x il risultato è sempre 5».
• In un altro elaborato si legge:
«x + 5− x = 5 quindi ora +x e − x si annullano perché il loro risultato è 0.
Quindi il risultato dell’equazione sarà sempre, qualsiasi numero si metta al
posto di x, questa: 5 = 5»
• In vari elaborati di ogni categoria inoltre si riscontrano errori di tipo
algebrico relazionale relativi all’uso errato del segno di uguaglianza: ad
esempio catene del tipo: 10+11=21+9=30:2=15−10 = 5, oppure catene
analoghe di espressioni letterali; (x+1+9):2 = 10/2 = 5; equivalenze errate:
da x = −5 segue x = 5.
64. La predizione: primi commenti
• Il non utilizzo della via algebrica può essere
attribuito a:
• - poca dimestichezza ad usare le lettere per
esprimere proprietà o descrivere
procedimenti generali (si preferisce giustificare
per via retorica)
• - coinvolgimento dell'idea di dimostrazione
che è ancora poco familiare agli allievi di questa
età (in più della metà degli elaborati si trova solo
una verifica su uno o più esempi)
65. Indichiamo con y il numero delle autovetture e con a il
numero delle moto di un’autorimessa. Esprimi a parole
l’informazione che ottieni dalla seguente scrittura:
y = 7a + 2
Cat. 8 Cat. 9 Cat 10 Cat 10
non licei licei
Corretti 50% 23% 10% 62%
Alcune risposte:
•“ci sono 7 moto e 9 auto”
•“i numeri delle auto sono equivalenti a 7 moto più altre 2”
• “le autovetture sono uguali a 7 delle moto più due di qualcosa che non
conosciamo”
•“le autovetture sono uguali a 7 moto più due altri veicoli”
Difficoltà di interpretazione di scritture algebriche e
difficoltà sul concetto di parametro
