1. AS REGRAS DA CADEIA
É um recurso de derivação para funções compostas, e um dos mais importantes
teoremas do Cálculo Diferencial. Começaremos com a regra da cadeia para funções de
uma variável e depois generalizaremos.
Para derivarmos funções compostas podemos utilizar propriedades
matemáticas e engenhosidades sem utilizar a regra da cadeia, entretanto a derivação
se torna um pouco mais simples com o uso da regra da cadeia que enunciaremos a
seguir:
Por inicio, consideremos as funções e , tal que
. Assim a regra da cadeia assume a seguinte forma:
( )
ou
Exemplo: 1) Derive a função .
Para começar chamamos e , então derivamos:
;
Utilizando a regra da cadeia, temos:
Mas como , a derivada fica assim:
2) Se a equação do movimento de uma partícula for dada por
, dizemos que a partícula esta em movimento harmônico simples.
a) Encontre a velocidade da partícula no instante t.
b) Quando a velocidade é zero?
Solução: a)
A velocidade é dada por:
b) Para que a velocidade seja igual à zero, a função tem que ser zero, portanto:

2. Agora avançaremos para o caso de funções com varias variáveis. Podemos
considerar duas regras da cadeia.
Para entendermos a primeira regra da cadeia par funções de varias variáveis,
começamos com o exemplo:
Considere a função , poderíamos simplesmente derivar
utilizando a regra da cadeia simples e a regra de Leibniz, entretanto façamos uso da
seguinte regra
Primeira regra da cadeia:
Seja uma função de duas variáveis e sejam e funções de uma variável, suponha
que , e , definimos a função da seguinte forma
ou
Voltando ao exemplo, , fazendo e
Podemos generalizar essa regra para funções com n variáveis, seja
, então:
Segunda regra da cadeia:
Sejam , e , assim ( ) , então as
derivadas parciais são dadas por:
e
Ou na notação de Leibniz:
e

3. Podemos generalizar para funções de m variáveis com essas variáveis, sendo
por sua vez funções de n variáveis, sejam e
Com j = 1, 2, ..., n. Se as derivadas parciais de em relação a , podemos
escrever utilizando a notação de somatório, na forma
∑
Exemplo: Suponha que seja uma função diferenciável em (0,0,0) e que
, e . Se a função está definida peça
equação , encontre e .
Solução: Seja , ,e , e faça . Então
, assim
Fazendo e , temos , , e
Do mesmo modo,
Escrito por F. L. Tibola
Graduando em Engenharia Química