1. JORNADA CENTRO OCCIDENTAL DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
BARQUISIMETO, LARA, VENEZUELA (Del 02-12 al 05-12-90)
PONENCIA
LINEAS DE INVESTIGACIÓN INSPIRADAS EN UN ENFOQUE
CONSTRUCTIVISTA DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Lic. Oscar GUERRERO C.
oguerreroc@hotmail.com
Resumen
El presente escrito responde a una necesidad del autor por profundizar sobre una de las
posiciones teóricas que más influencia ha tenido en el campo educativo, y en particular
en la enseñanza y aprendizaje de la matemática. En este sentido el enfoque
constructivista por una parte es una teoría epistemológica que toma al sujeto que
aprende como un ser activo y responsable de su propio aprendizaje, y por otra, como
consecuencia de la anterior, es fuente de inspiración de muchas aplicaciones
pedagógicas en la enseñanza de la matemática. Por tal motivo se analizan algunas líneas
de investigación inspiradas en esta postura epistemológica como son:
• investigación de actitudes hacia la matemática (Mac Ledd, 1987)
• Resolución de problemas (Pace, 1987)
• Análisis de conductas de expertos (Blais, 1988)
• Análisis de modelos cognitivos (Sowder, 1988)
• Análisis de errores (Von Glasersfeld, 1983).
Finalmente se hace una reflexión pedagógica de lo anteriormente tratado.
Palabras claves: constructivismo, investigación, enseñanza y aprendizaje de la
matemática, educación matemática
1

2. Introducción
El constructivismo es una corriente epistemológica que sitúa al alumno en una posición
activa con respecto a lo que conoce. El alumno construye su propio mundo gracias a la
dualidad comparación – transformación, es decir el alumno ejecuta acciones sobre el objeto
y reflexiona a la vez sobre tales acciones.
El constructivismo permite que el alumno a través de aproximaciones sucesivas vaya
descubriendo la razón de lo que hace, y a la vez en la búsqueda del conocimiento
matemático; esto asegura que está aprendiendo a pensar pues habremos despertado en él un
espíritu crítico y una capacidad de análisis dejando de tener en nuestras aulas pasivos
repetidores de fórmulas alienantes, transformándolos en inquietos, insaciables preguntones
que no se conformarán con repetir lo que el docente dice, sino que querrán participar de
manera activa, construyendo ellos mismos su cultura matemática y a la vez disfrutarán de
ver que es posible crear en matemática; cada clase se convierte en un intenso trabajo
intelectual.
Por otro lado, los conceptos matemáticos no han surgido repentinamente de la noche a la
mañana, sino, por el contrario, son el resultado de un largo proceso en el cual unos
conocimientos han ido sustituyendo a otros que en su momento fueron considerados como
los más rigurosos.
El aprendiz, a quien va dirigida nuestra enseñanza, conoce la realidad a través de la
acción y muchas de esas acciones comportan ya la matematización, a un cierto nivel, de
algunos aspectos de esa realidad. Primero, estas acciones son puramente manipulativas y
posteriormente son interiorizadas de forma tal que sean imaginadas o anticipadas
mentalmente; de esta forma se coordina y diferencia de manera progresiva en función de
variados objetos y situaciones a los que se aplican hasta que se conviertan en operaciones.
Como vemos, al alumno, también le es necesario recorrer un largo camino, lleno de
avances, retrocesos, falsas interpretaciones, confrontación de su mundo interior con la
realidad, donde el concepto se construye aplicándolo a numerosos y variados contextos y
situaciones. Así el papel del docente es presentarle al mismo una variedad de situaciones –
problemas y contextos en los cuales tales conceptos dejen de funcionar o no sean la
solución de los mismos, de tal forma que produzca en el aprendiz conflictos cognitivos lo
que lo lleva a reajustar de acuerdo con la situación presentada su estructura conceptual,
modificándola para poder cubrir esa nueva necesidad cognitiva demandada por situación -
problema presentada.
2

3. Investigación de actitudes hacia la matemática
El enfoque constructivista trata de estudiar las emociones que experimentan los alumnos
cuando reaccionan a los obstáculos que se les presentan en el proceso de construcción de su
conocimiento.
Es así como Mandler (1984) en su análisis de la mente y la emoción extiende la teoría y
métodos de la psicología cognitiva al dominio afectivo. Mandler plantea que de las
interrupciones de los planes o acciones planificadas resulta la respuesta afectiva. El
individuo al enfrentarse a una situación o problema no común con su esquema de trabajo,
reacciona frustrándose, sorprendiéndose. Es de hacer notar que esta reacción se debe a que
las acciones del individuo, producto de esquemas, son interrumpidas lo que lo lleva a
interpretar tal interrupción de acuerdo a su conocimiento, experiencias pasadas y creencias,
es decir a su desarrollo histórico personal.
Otro investigador que trabaja con el desarrollo de la emoción es Skemp (1987) quién
habla del placer, el cual viene de movimientos hacia una meta establecida, ó el temor
movimiento hacia una meta no establecida. Además describe las emociones las cuales
controlan o no movimientos hacia metas establecidas y metas no establecidas. Si
analizamos la confianza, por un lado, es una emoción que controla movimientos hacia una
meta establecida, y la ansiedad, por el otro, que es incapaz de dirigir movimientos que se
alejan de la meta no establecida, vemos que tales emociones influyen en el rendimiento o
construcción del conocimiento matemático del alumno.
Además es de hacer notar que la timidez es un factor decisivo a la hora de enfrentar y
solucionar un problema según lo reportan Wagner, Rachlin y Jirisen (1984); las
interrupciones y bloqueos producen sentimientos negativos hacia la matemática.
Por otra parte la ansiedad, el rechazo y otros que la matemática origina en nuestros
aprendices pueden ser debido a metodologías y posturas pedagógicas y didácticas no acorde
con el nivel del alumno o alumna, introducción de conceptos y principios antes de ser
asimilados por estos y “… las actitudes de padres y maestros que consciente o
inconscientemente alejan al estudiante de esa disciplina. Este fenómeno es conocido como
el efecto Pigmalión” (Medina y Garzón, 1989).
Se debe partir por analizar los obstáculos que los alumnos y alumnas afrontan a la hora
de aprender matemática, en el momento que estos construyen su mundo matemático; al
presentárseles obstáculos en su proceso de construcción de su edificio matemático, los
aprendices experimentan emociones las cuales es necesario describir las reacciones
afectivas que presentan para obtener mayor información en la formación de actitudes
positivas hacia la matemática. Las reacciones pueden ser caracterizadas en términos de su
dirección, es decir positivas o negativas, intensidad, duración, tiempo y consistencia
(Kagan, 1987; Mc Leod, en prensa).
Ya que las respuestas son más automáticas, la teoría predice que las reacciones afectivas
se caracterizan por intensidad reducida, incremento en la duración, acortar el tiempo de
partida y aumento en la consistencia de tarea a tarea. Al ser reacciones positivas o negativas
el estudiante está exhibiendo la respuesta estable que es la característica de la construcción
de una actitud.
Los métodos usados en la investigación de actitudes hacia la matemática deben ser los
de la teoría cognitiva: observación individual y grupal, observaciones clínicas y
experimentos de enseñanza, entre otros.
3

4. Resolución de problemas
Tal y como lo plantea Dewey (citado en Medina y Garzón, 1989) y Piaget J. (1975) en
su enfoque constructivista, el desarrollo del conocimiento en los salones de clase sufre
cuando el propósito, la acción y el conocimiento no están vinculados.
Al enseñar matemáticas a través de la resolución de problemas es necesario que éstos
estén ligados a la realidad para que el aprendiz vea la aplicabilidad del conocimiento
matemático construido. Cuando el individuo interactúa con el medio ambiente produce un
conocimiento matemático y además su aplicación a otras ciencias en las cuales su solución
implica el uso de razonamiento matemático; es aquí donde el planteamiento del problema
debe ser tan realista para que no se de el divorcio de lo que se enseña con el medio en el
cual vive el alumno o alumna.
Por otra parte la solución de problemas implica el conocimiento de una vasta gama de
conceptos concretos y abstractos que reflejan las relaciones cuantitativas entre objetos; y la
solución o el valor buscado, la información dada en el contenido o texto del problema y la
relación entre ellos se determina combinando estos elementos.
Al enfrentarse la alumna o alumno con problemas conocidos donde llegan a discernir
relaciones entre los elementos, aislándolos de los detalles, se forma un sistema especifico
de conexiones temporales que lenta y progresivamente se vuelven más estables al punto de
que el alumno actúa más fácilmente (Pavlov lo llamaba estereotipo dinámico); es decir el
alumno se basa para la resolución de problemas, en la reproducción de conexiones
anteriores. Sin embargo la solución de nuevos problemas amerita la formación de nuevas
conexiones y la inhibición de viejas conexiones, lo cual es importante encontrar relaciones
entre los datos dados, elementos intermediarios, etc.
Dentro de la teoría constructivista Dewey (citado en Medina y Garzón, 1989) y Piaget J.
(1975) coinciden. Por una parte Dewey dice que el pensamiento es una consecuencia de la
acción, esto es el pensamiento es el esfuerzo intencional para descubrir conexiones
específicas entre lo que se hace y sus consecuencias. Pensar y actuar son simultáneos,
además la construcción de nuevos conocimientos es producto de la aplicabilidad de
concebir al conocimiento tanto proceso como fin, ya que la construcción del conocimiento
es presente como consecuencia de la acción y además aceptado al ésta finalizar.
Por otra parte Piaget señala que hay conocimiento cuando éste es construido a partir de
la interacción sujeto-objeto; además afirma que todo conocer implica un proceso, una
participación activa del sujeto, una actividad de asimilación y acomodación, de solución de
problemas.
Al enfrentarse el aprendiz con un problema nuevo surge la necesidad de buscar
alternativas que lo lleven a modificar sus esquemas mentales; es así como se origina el
conflicto cognitivo lo cual lo lleva a incorporar toda la información que recibe activamente
al conocimiento. Dicha incorporación le permitirá inventar nuevos recursos cognitivos y
afectivos para resolver con éxito el problema planteado.
Es importante recalcar que la construcción del conocimiento matemático debe partir de
la resolución de problemas porque éstos pueden servir como detonador del desarrollo
intelectual del resolutor pues sus modos de pensamiento, sus instrumentos cognoscitivos
han interpretado inadecuadamente la realidad que viven, lo que trae como consecuencia
construir un conjunto de esquemas más equilibrado y eficaz que lo leven a la solución de
los nuevos problemas planteados. Basándose en lo anterior Lesh y colaboradores (1981) en
4

5. sus investigaciones afirman que la matemática debe ser enseñada a través de la resolución
de problemas.
Finalmente hay un vínculo entre el propósito, la acción y el conocimiento; el propósito
informa la acción necesaria para el desarrollo del conocimiento operativo, el conocimiento
es una guía interactiva donde se logra la coherencia entre el propósito y la acción. Por lo
tanto, si hacemos que el texto del problema sea análogo o extraído de la realidad de
nuestros alumnos y alumnas, entonces es posible un conocimiento operativo ya que las
situaciones planteadas son vividas por los aprendices.
Análisis de conductas de expertos
Para el constructivismo la educación transforma a un novato en un experto. El estudiante
experto es aquel que actúa independientemente en su aprendizaje de la matemática,
decidiendo razonablemente, basándose en hechos informales adquiridos y en procesos
personalmente construidos. Es decir los expertos perciben la esencia, comprenden de
manera simple e informal los problemas que se les presentan, esto los lleva a comunicar el
razonamiento de la actividad proporcionando una visión global y hasta detectar errores. El
ser experto implica que su pensamiento es operativo, es capaz de relacionar las partes y ver
lo esencial de un problema.
En contraste el estudiante novato usa algoritmos conocidos por ellos, archivando la
ejecución correcta sin confiar en la simple comprensión que resulta de la percepción de la
esencia; es decir sigue siempre procesos remediales caracterizados por la fijación a
algoritmos minímales en las tareas matemáticas. Además para estos estudiantes, aunque la
ejecución sea correcta debido a la utilización de algoritmos incompletos, su conocimiento
es superficial y débil ante el tiempo.
Por otra parte el constructivismo sostiene que el conocimiento debe construirse
progresivamente donde el que aprende establece una relación dialéctica con el objeto. No
como lo plantea la enseñanza tradicional o sensual-empirista que concibe al alumno y
alumna como un simple receptáculo de conocimientos, donde el docente se convierte en
transmisor y el alumno simplemente recibe la información dada por aquel, lo que conlleva a
formarse procedimientos remediales y a no transformar un novato en experto.
Al presentársele al alumno y alumna un concepto acabado, un problema resuelto,
estamos mediatizando su razonamiento pues se usa explicaciones que desarrollan
conocimientos superficiales, eliminando así el placer que implica crear y construir su
propio conocimiento matemático. Es necesario convertir a nuestros alumnos en expertos,
capaces de percibir la esencia de un problema y de razonar por sí mismo construyendo sus
propias ideas libremente; enseñar la esencia, dejar que nuestros alumnos resuelvan por sí
solos los problemas planteados en el salón de clase.
Analizar las conductas de los expertos con el objetivo de sacar conclusiones y llevarlas a
la praxis educativa permitiendo al alumno una comprensión más profunda del conocimiento
matemático.
5

6. Análisis de modelos cognitivos
El conocimiento no es una simple acumulación de datos. La esencia del conocimiento es
la estructura: elementos de información conectados por relaciones que forman un todo
organizado y significativo.
Para comprender se requiere el acto de pensar. La comprensión se construye en forma
activa desde el interior del alumno estableciéndose relaciones entre lo conocido y lo que
está por conocer; además el aprendizaje genuino implica cambiar las pautas de pensamiento
pues al establecerse una conexión su pensamiento se organiza, se modifica. Los cambios de
las pautas de pensamiento son fundamentales para un mejor desarrollo de la comprensión.
La teoría cognitiva y la investigación en ella inspirada se enfoca en formas complejas de
aprendizaje humano. Este enfoque trata de explicar el aprendizaje significativo cotidiano y
la resolución de problemas. Es así que de los diferentes modelos cognitivos surgen
implicaciones educativas para tomar decisiones eficientes sobre puntos como el currículo,
la instrucción, la evaluación y la corrección.
La enseñanza de la matemática debe tener muy en cuenta la psicología del aprendiz pues
si pasa por alto la forma como los alumnos y alumnas aprenden matemáticas se puede
impedir el aprendizaje significativo, provocar problemas de aprendizaje y fomentar
sentimientos y creencias debilitadoras. Es importante tomar en cuenta que el aprender
matemáticas no es la acumulación de datos sin sentido, ni la ejecución de algoritmos sin
comprensión, ni tampoco la obtención de resultados producto de rápidos cálculos, sino la
construcción de forma activa por parte del alumno, de igual forma como los matemáticos
emplean la resolución de problemas para la obtención de nuevos conocimientos y además
la comprensión verdadera de dicho conocimiento en el cual el alumno observa y construye
relaciones de los elementos participantes.
Analizar los procesos psicológicos que utilizan los alumnos y alumnas para construir sus
propias representaciones del conocimiento matemático es fundamental en la toma de
decisiones para la práctica educativa. En relación al currículo, las matemáticas deben ser
para los alumnos y alumnas un proceso que debe ir orientado a estimular o cultivar una
mayor comprensión, razonamiento y además la resolución de problemas. Así mismo la
instrucción tiene como objetivo ayudar a construir una representación exacta de las
matemáticas, a la vez de ofrecer a las alumnas y alumnos que participen activamente en la
comprensión de la misma, descubrir relaciones y construir significados; en resumen
desarrollar pautas de pensamiento más maduras en la resolución de problemas. Existen
varias formas de que el alumno participe constructivamente, por ejemplo empleo de juegos
y manipulación de objetos concretos, aprendizaje por descubrimiento estructurado y guiado
para ayudar a los alumnos y alumnas a descubrir relaciones, fomentar la discusión en
grupos pequeños lo cual conlleva a compartir o analizar otros puntos de vista, puesta en
común con el grupo grande para cotejar diversas opiniones sobre el tema tratado, así como
también la tutoría la cual consiste en que otro alumno o alumna enseñe o acompañe a su
compañero, es decir el aprendizaje colaborativo de manera que potencie su propio
aprendizaje y el de sus iguales.
Otro punto importante es la evaluación del rendimiento. Nuestras instituciones
educativas deberían centrarse en el aprendizaje significativo el cual tome en cuenta la
matemática informal que trae el alumno y alumna y que va a servir de base o mediadora
para la adquisición y construcción de la matemática impartida en dichos institutos. Es
necesario que la evaluación ponga énfasis, con fines de diagnóstico, en el estado interior o
6

7. el conocimiento subyacente del alumno, así como también en la evaluación de los procesos
pues allí está presente las aptitudes de los aprendices; además que permite tanto
diagnosticar su comprensión o razonamiento incompleto cuando se enfrenta a un problema
o situación problemática, como también evaluar nuestra actuación como mediadores de las
situaciones de aprendizaje y enseñanza. La evaluación así concebida ayuda al alumno y
alumna a participar en su construcción de su edificio matemático y al docente a reflexionar
sobre su propia actuación dentro del aula de matemática y su desarrollo profesional.
Análisis de errores
Los errores cometidos por los alumnos y alumnas se consideran, de acuerdo al
constructivismo, como resultados que emergen de sus construcciones y no como fallas en el
proceso de comunicación. Así los errores no indican una simple deficiencia del
conocimiento o interrupción de la comunicación entre el alumno, el docente y el saber. Los
errores, que se generan al enfrentarse el alumno o alumna a un problema o en el proceso de
construcción de conocimiento, abren, sino varias, al menos una ventana a los procesos
interiores del pensamiento del aprendiz e indican además cómo encajan dichos procesos de
pensamiento al presentársele una tarea asignada.
Cuando al alumno se le presenta problemas para los cuales no está preparado o para
cuyo dominio no han tenido tiempo suficiente recurren con frecuencia a procedimientos
inventados, inadecuados o parcialmente incorrectos que generan errores en cadena o
sistemáticos. Así los errores frente a algunas situaciones problemáticas funcionan
generando respuestas correctas, no así fuera de estos contextos donde produce respuestas
incorrectas, lo cual dificulta su desaparición Es aquí donde los errores cometidos no deben
ser corregidos con presentación de problemas parecidos a otros que no han podido
solucionar pues es poco probable que les ayude tanto cognitivamente como afectivamente
(casi nadie quiere aprender aquello que le ha producido actitudes desfavorables o le ha
ocasionado frustración durante su aprendizaje) a subsanar sus dificultades de aprendizaje.
Deben generarse contextos donde tales errores no funcionen de manera de generar en el
alumno o alumna conflictos cognitivos y por consiguiente la búsqueda de nuevos
procedimientos para esos nuevos contextos. Además los errores sistemáticos pueden ser
primero, la ruptura de la comunicación entre el docente y el alumno; y segundo, señal muy
valiosa de que la enseñanza no está en armonía con la psicología del aprendiz es decir, con
sus procesos cognitivos y sus ideas previas, en consecuencia los factores externos e internos
que despiertan un problema no encajan entre sí. En resumen, los errores de los alumnos y
alumnas ofrecen indicios o pruebas fundamentales e importantes para determinar los
procesos subyacentes y la manera de adoptar su respectiva corrección.
El análisis de los errores puede ser una fuente importante de información sobre las
insuficiencias de los conocimientos subyacentes. Los errores sistemáticos son un medio
valiosísimo para determinar qué paso de un algoritmo o concepto produce una dificultad y
que es necesario volver a enseñar. Al diagnosticar a tiempo las deficiencias en los
procedimientos se puede minibar o evitar la práctica incorrecta de procedimiento y además
elaborar una teoría sobre el estado interior del alumno o alumna y planificar la enseñanza
de recuperación más acorde con las necesidades del aprendiz.
Finalmente los errores pueden ser vistos como obstáculos que no le permiten al aprendiz
construir el conocimiento matemático y que pueden ser originados por las características
7

8. psicogenéticas del que aprende (obstáculo ontogénicos), por la forma como hace la
presentación el docente del contenido matemático (obstáculo didáctico) o porque la
construcción del concepto en sí mismo se dificulta al alumno o alumna (obstáculo
epistemológico).
Algunas reflexiones pedagógicas
• En nuestro medio escolar y no escolar escuchamos como los niños, adolescentes
y adultos cuentan como la matemática es una ciencia que deja secuelas afectivas
negativas; pues bien no es la matemática en sí la que origina tal afectividad, sino
las metodologías y enfoques didácticos y pedagógicos (modelo teórico
subyacente a la actuación del docente) que basan nuestra enseñanza a la par de
no tomar en cuenta las necesidades de nuestros alumnos y alumnas, olvidando su
estructura cognitiva, sus ideas previas sobre el tema tratado y su conocimiento
informal, así como las demandas lógicas del contenido matemático estudiado y
por supuesto la presentación didáctica del mismo por parte del docente. Por ello
se hace necesario tomar en cuenta a la hora de planificar nuestras clases la
psicología del alumno y alumna así como un modelo pedagógico y didáctico
constructivista.
• Se deben plantear al alumno y alumna problemas en los cuales se active o
desencadene mecanismos de incorporación de lo nuevo (asimilación) o
invención de nuevos recursos cognitivos y afectivos que lo lleven a producir
soluciones (acomodación); así el conflicto cognitivo juega un papel fundamental
en la enseñanza de la matemática ya que éste puede servir de puente al alumno y
alumna para alcanzar otro nivel cognitivo cualitativamente diferente al anterior.
• Es necesario convertir a nuestros alumnos y alumnas en expertos capaces de
percibir la esencia de un problema y razonar por sí mismo sacando sus propias
conclusiones, es decir en intelectuales preguntones y transformadores de su
realidad.
• La actividad didáctica debe partir de la realidad del aprendiz, tomando en cuenta
su nivel cognitivo con el objeto de que al evaluarlo se resalte no sólo el producto
de su acción sino más importante aún el proceso interior que lo llevó a obtener
ese resultado con la finalidad de ver su aptitud hacia la matemática.
• Compartimos la idea de Kamii cuando dice que: “Los educadores deben también
sufrir una revolución copernicana. En lugar de considerarse el centro de la clase,
los profesores necesitan descentrarse y pensar en cada niño como el centro del
proceso constructivo. En lugar de continuar tratando de encontrar métodos
mejores para transmitir el conocimiento y las virtudes a los niños, debemos pues,
pensar ahora en la forma de ayudar a cada niño a construir su propio
conocimiento y sus propios valores por su propia cuenta” (citada por Medina y
Garzón, 1989)
• De acuerdo con Gómez Granell, C. (1981) “El niño debe construir por sí mismo,
tanto a nivel conceptual como a nivel de representación gráfica, las nociones
8

9. matemáticas y nuestra función debe ser la de proponer las situaciones adecuadas
que le permitan avanzar en cada momento del proceso”.
• Las instituciones educativas deberán centrarse en el aprendizaje significativo el
cual tome en cuenta la matemática informal del alumno que sirve de fundamento
y base para las futuras construcciones de la matemática escolar.
• Finalmente la intervención pedagógica del enseñante debe estar acorde no sólo
con los intereses y necesidades del aprendiz sino también debe tomar en cuenta
las demandas lógicas que exige el conocimiento matemático a este y su
presentación más adecuada, así como también reflexionar sobre si su modelo
didáctico implementado en su clase está o no acorde con las exigencias de la
clase y de la sociedad en la cual esta inmersa la institución escolar. La reflexión
y la investigación deben formar parte de su itinerario profesional.
9