1. Prof. Dr.-Ing. Rudolf Baumgart Hochschule Darmstadt
Massivbau University of Applied Sciences
Torsion
1. Einführung
1.1 Allgemeines
Eine Torsionsbeanspruchung liegt dann vor, wenn sich der Querschnitt eines
Balkens
entlang seiner unterschiedlich stark verdreht. Das kann nur dann
Schwerachse
geschehen, wenn z.B. die Vertikalbelastung auf einen Balken nicht durch
den
Schubmittelpunkt geht. Je nach Querschnitt können Schubmittelpunkt (M) und
SchwerpunktQuerschnitts verschieden
(S) eines
sein!
Bild:
Querschnitte
Die Torsionsbelastung (Torsionsmoment) eines Querschnitts ergibt sich somit als
Moment Vertikalbelastung mal dem Hebelarm zum Schubmittelpunkt. Eine stabile
aus der
Lagerung
kann nur gewährleistet werden, wenn am Auflager zusätzlich eine
Querschnittsverdrehung wird durch ein
verhindert wird. Dies Gabellage sichergestellt (siehe folgende
sog. r Bilder).
Bild: Torsionsbelastung eines Einfeldträgers unter
Gleichstreckenlast
Je nach der Geometrie des Querschnitts können infolge Torsion sowohl
Schubspannungen
als auch Längsspannungen entstehen. nur Schubspannungen existieren,
Wenn man von
spricht St. Venant´scher Torsion (reiner Torsion) dann
. Längsspannungen können nur
entstehen, wenn freie Verformung in Längsrichtung nicht ist, das ist die
eine Wölbkrafttorsion (Verwölbung = Verschiebung in Längsrichtung infolge Torsion)
sog. möglich .
Bild: Stab mit übertrieben dargestellter
Verwölbung
Torsion.doc 11.02.09 Seite 1

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Als nahezu wölbfrei erweisen sich Kompaktquerschnitte wie z.B.
und geschlossenen Rechteckquerschnitte
insbesondere wenn sie dickwandig sind.
Hohlquerschnitte,
Bild: Nahezu wölbfreie
Querschnitte
Offensichtlic nicht wölbfrei sind offene Querschnitte mit mindestens 2 Flanschen . Hier
h
wird das Torsionsmoment hauptsächlich durch Wölbkräfte aufgenommen, da der
Hebelarm
bei der Kreisflusstorsion zu klein
ist.
Bild: Profile mit
Wölbkrafttorsion
Wölbfrei sind Quadrat-, Kreis- und , außerdem dünnwandige
Kreisringquerschnitte
Querschnitte, die sich aus 2 Rechtecken zusammensetzen lassen .
Die Zusammenhänge reiner Torsion können gemäß der technischen
bei
folgendermaßen berechnet Mechanik
werden: d T
Änderung der ´= = Ed
(1.1)
Querschnittsverdrehung: d G· I
T
x
T
Max. Schubspannung infolge t = Ed
(1.2)
Torsion:
T W
T
Die Querschnittswerte T und W T können aus Tafelwerken entnommen
I werden.
Torsion.doc 11.02.09 Seite 2

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1.2 Torsion im Stahlbetonbau
Die Aufnahme von Torsionsmomenten Ed ist nur dann nachzuweisen, wenn sie für
T
Gleichgewicht erforderlich ist das
Gleichgewichtstorsion ). Der Nachweis umfasst dann sowohl
(
den Grenzzustand der Tragfähigkeit als auch den Grenzzustand der
Gebrauchstauglichkeit.
Wenn Torsion in statisch unbestimmten Tragwerken nur zur Erfüllung
der
Verträglichkeitsbedingungen auftritt, dann spricht man Verträglichkeitstorsion . In
von
diesem Fall ist es im Allgemeinen nicht erforderlich, die Torsion im Grenzzustand
der
Tragfähigkeit zu berücksichtigen. Dies liegt hauptsächlich darin begründet, dass sich
die
Torsionssteifigkeit durch Rissbildung stark reduziert (um ca. 70%). Dafür ist dann
eine
konstruktive Bewehrung in Form von Bügeln und Längsbewehrung vorzusehen.
Zur Vermeidung übermäßiger Rissbildung im Grenzzustand der
Gebrauchstauglichkeit erforderlich werden, die Torsion in die Nachweise mit
allerdings kann es
einzubeziehen.
Der Fall a im folgenden Bild zeigt ein solches Beispiel: Ohne Torsionsmoment (=
gelenkige ist das Gleichgewicht nicht gefährdet, es ergibt sich nur eine etwas
Lagerung)
größere
Durchbiegung der
Decke.
Im Fall b kann das Torsionsmoment offensichtlich auf keinen Fall entfallen, da dann
der
Kragarm einstürzen würde, d.h. hierbei handelt es sich Gleichgewichtstorsion .
um
Bild: Gleichgewichts- und
Verträglichkeitstorsion
Da im Stahlbetonbau meist dickwandige Querschnitte verwendet werden, ist
die
Wölbbehinderung relativ klein. Die trotzdem noch auftretenden Längsspannungen
infolge
Wölbbehinderung werden durch die Rissbildung zusätzlich noch stark abgebaut. Da
immer
konstruktive Maßnahmen (z.B. Anordnung einer Mindestbewehrung) ergriffen
werden,
braucht Wölbkrafttorsion in der Regel im Stahlbetonbau nicht rechnerisch
die
nachgewiesen zu werden.
Torsion.doc 11.02.09 Seite 3

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Versuche mit bewehrten Stahlbetonbalken unter Torsion haben gezeigt, dass
sich
Vollquerschnitte wie Hohlquerschnitte verhalten, d.h. das Innere des Vollquerschnitts
kann
rechnerisch unberücksichtigt bleiben, da es kaum zur Tragwirkung beiträgt.
Näherungsweise
kann mit gedachten Hohlquerschnitt mit konstanter Schubspannungsverteilung
einem
gerechnet
werden.
Bild: Schubspannungen vor und nach der
Rissbildung
Der Kraftfluss nach der Rissbildung kann analog zur Bemessung auf Querkraft mit
Hilfe Fachwerks modelliert werden (Zugstreben durch Stahl, Druckstreben durch
eines
Beton).
Allerdings ist in diesem Fall räumliches Fachwerk erforderlich, dessen Zug-
ein
Druckstreben entsprechend den Hauptspannungen geneigt sein und
müssen:
Bild: Fachwerk für Torsion mit schrägen
Zugstreben.
Torsion.doc 11.02.09 Seite 4

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Da gegenüberliegende Zugstreben gegenläufig sind, wäre eine praktische Ausführung
sehr
umständlich. Deshalb werden die Zugkräfte in 2 Komponenten zerlegt, eine in
Achsrichtung
und eine senkrecht dazu. Diese Komponenten werden durch Längs- und
Bügelbewehrung
aufgenommen
.
Bild: Bügel- und Längsbewehrung für die Zugstreben infolge
Torsion
Eine Seite des Hohlquerschnitts kann dann wie eine Wand betrachtet werden, die
durch
Querkräfte belastet ist: Man nennt sie deshalb
Schubwand.
Bild: Ausbildung von Schubwänden bei
Torsionsbelastung
Die Bemessung der einzelnen Schubwände des gedachten Hohlquerschnitts erfolgt
im
Prinzip genauso wie die Bemessung auf Querkraft. Folgende Unterschiede sind
zu
beachten
:
- Das Fachwerk ist räumlich, d.h. auch die horizontalen Bügelschenkel werden
voll benötigt. Das bedeutet, dass Bügel zugfest geschlossen werden müssen !
die
- Die Zugkräfte auf gegenüberliegenden Seiten sind entgegengerichtet, in
d.h. Kombination mit Querkraft wird die Belastung einer Seite , die der
erhöht
anderen Seite
- Da Zug- und! Druckstreben wendelförmig um den Querschnitt herumlaufen, ist
vermindert
außer er
d Bügel- immer eine Längsbewehrung , die in Kombination
auch
Biegung erforderlich
zur Biegezugbewehrung hinzuaddiert werden muss mit . In der
Biegedruckzone kann die Torsionslängsbewehrung entsprechend reduziert
werden.
Torsion.doc 11.02.09 Seite 5

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2 Nachweise für Torsion nach DIN 1045-1
2.1 Nachweis für reine Torsion
Der Nachweis des Grenzzustandes der Tragfähigkeit erfolgt analog aller
anderen
Nachweise: Das infolge der Belastungen einwirkende Torsionsmoment muss kleiner
oder dem Bauteilwiderstand bleiben, der sich aus den Zug- und Druckstreben
gleich
ergibt:
Widerstand T =T (2.1.1) Widerstand T =T (2.1.2)
Ed Rd ,max Ed Rd ,sy
Druckstrebe: Zugstrebe:
2.1.1 Herleitung der Bemessungsformeln
Wie oben schon allgemein erläutert, wird die Torsionstragfähigkeit anhand eines
räumlichen
Fachwerkmodells ermittelt. Grundlage ist ein echter oder gedachter Hohlquerschnitt mit
der
Wandstärke eff . Die Mittellinie des Hohlquerschnitts geht durch die Schwerpunkte
t der
Ecklängsbewehrung (vgl. Bild unten), wobei eff
natürlich nicht größer als eine
t
Wandstärke werden echte
darf.
Bild: Querschnitt für
Torsion
Die folgenden geometrischen Größen werden
definiert:
Kernquerschnitt A k = von der Mittellinie des Hohlquerschnitts umschlossenen
Kernumfang u k = Fläche
Länge aller
Mittellinien
Am Beispiel Rechteckquerschnitt (siehe Bild oben) ergibt
Kernquerschnitt sich:
A = b · d (2.1.3)
k k k
:
Kernumfang: u = 2 · (b + d ) (2.1.4)
k k k
b d
Mit dem T = 2 · (t ·t · d )· k + 2 · (t ·t · b )· k
Torsionsmoment:
Ed Ed eff k
2 Ed eff k
2
T T
folgt die t =2 Rd = Rd
mit = 2 Rd in kN/m (2.1.5)
Schubspannung:
Rd · A ·t t Rd ·A
k eff eff k
t ist die Schubspannung, ist der Schubfluss in den Schubwänden des
Rd Rd
Querschnitts . Die Ermittlung von Schubfluss und Schubspannung gilt allgemein für
Querschnitte mitalle Querschnittsgrößen
den k und t eff .
A
Damit ergibt sich Schubkraft in einer vertikale Wand des Rechteckquerschnitts
die T n zu: T
V = 2 · d = Rd · d . und damit allgemein V = 2 · z = Rd · z (2.1.6)
Rd Rd k k ·A Rd Rd i i ·A
k k
zi ist hierbei die Länge der Schubwand i , gemessen zwischen den Schwerpunkten
Eckstäbe. der
Torsion.doc 11.02.09 Seite 6

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Für den Nachweis der Zug- und Druckstreben ist es ausreichend, das Krafteck
eines
Knotens in einer Schubwand zu
betrachten:
Bild: Krafteck aus der vertikalen Schubwand und räumliches
Fachwerkmodell
Höhe einer h = d · cos (2.1.7)
c k
Druckstrebe:
Abzudeckende Schubkraft V = · d (2.1.8)
Rdv Rd k
vertikal:
Abzudeckende Schubkraft V = · d · cot (2.1.9)
Rdh Rd k
horizontal:
Druckstrebenkraft F =s · h · t (2.1.10)
cd cd c eff
:
Stahlzugkraft F =a · f · d (2.1.11)
sdh sl yd k
horizontal:
Stahlzugkraft F =a · f · ( d · cot ) (2.1.12)
sdv sw yd k
vertikal:
V = : mit (2.1.8)(2.1.10)
0 V = F · sin ·d =s ·h ·t · sin
Rdv cd Rd k cd c eff
·d ·d T ·2
daraus folgt: s = Rd k = Rd k = Rd =a · f
cd h ·t · sin d · cos · t · sin 2 · A · t · sin(2 ) c cd
c eff k eff k eff
Daraus ergibt sich Querschnittswiderstand aufgrund der Druckstrebenfestigkeit (=
der maximal aufnehmbare Torsionsmoment
das Rd ):
T
a ·f · 2· A · t
T =a ·f · A ·t · sin(2 ) = c ,red cd k eff
(2.1.13)
Rd , max c ,red cd k eff
cot + tan
a = 0,75 · = 1,0 für Normalbeton
c 1 1
a = 7 ·a allgemei
0,
c,red c
n
a = a für Kastenquerschnitte mit Bewehrung an den Innen- und
c,red c
Außenseiten
der Wände
Bei einem idealisierten Hohlkasten liegt die Bügelbewehrung an den
Wandaußenseiten,
wodurch eine ungleichmäßige Spannungsverteilung entsteht, da die Druckstrebe
exzentrisch verläuft. Die ausnutzbare Betondruckspannung ist deshalb gegenüber
zur Zugstrebe
der
Querkraftbemessung auf 70 % reduziert. Dagegen kann sich die Druckkraft bei
echten
Hohlkastenkonstruktionen zentrisch in eine beidseitig angeordnete
Bügelbewehrung darf dann ohne Reduktion nachgewiesen
einhängen und
werden.
Torsion.doc 11.02.09 Seite 7

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Abzudeckende Schubkraft V = · d (2.1.8)
Rdv Rd k
vertikal:
Abzudeckende Schubkraft V = · d · cot (2.1.9)
Rdh Rd k
horizontal:
Stahlzugkraft F =a · f · d (2.1.11)
sdh sl yd k
horizontal:
Stahlzugkraft F =a · f · ( d · cot ) (2.1.12)
sdv sw yd k
vertikal:
Für die Berechnung des Querschnittswiderstandes infolge Stahlversagen gibt es
2 öglichkeiten
M
:
1) Berechnung mit der Bügelbewehrung: mit (2.1.8)(2.1.12) und (2.1.6)
T
V =:
0 V =F ·d = a · f · (d · cot ) Rd ,sy =a ·f · cot
Rdv sdv Rd k sw yd k 2· A sw yd
k
daraus folgt: T = 2· A · f · a · cot (2.1.14)
Rd , sy k yd sw
T
Umstellung für Bemessung : a = Ed
(2.1.15)
die
sw
2 ·· A · f cot
k yd
in cm²/m je Schubwand
2) Berechnung mit der Längsbewehrung mit (2.1.9)(2.1.11) und (2.1.6)
T · cot
H =:
0 V =F · d · cot =a · f ·d Rd ,sy
=a · f
Rdh sdh Rd k sl yd k 2· A sl yd
k
daraus folgt: T = 2· A · f · a · tan (2.1.16)
Rd , sy k yd sl
T
Umstellung für Bemessung : a = Ed
(2.1.17)
die
sl
2 ·· A · f tan
k yd
in cm²/m Umfang u k
Gesamtlängsbewehrung auf u k:
A = a · u (2.1.18)
sl sl k
Durch gleichsetzen der beiden Lösungen für Rd,sy
ergibt a = a · cot2 (2.1.19)
sl sw
T sich:
Wie man sieht ist für einen Druckstrebenneigungswinkel von 45° die Längsbewehrung
gleich
der Bügelbewehrung.
Torsion.doc 11.02.09 Seite 8

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Der Druckstrebenneigungswinkel ist genau wie bei der Bemessung auf Querkraft
auf
einen bestimmten Bereich zu begrenzen. Hierbei sind nur die Querschnittsbreite w
und der
b
innere Hebelarm z durch die Breite und die Länge der Schubwand zu
ersetzen:
1,2 - 1,4 · s f
0,58 = cot T = cd cd = k (2.1.20)
1- V V
Rd ,c Ed
k = 3,0 für Normalbeton, d.h. 18,4° 60T = °
=
k = 2,0 für Leichtbeton, 26,6° = T = °
60
d.h.
Der Betontraganteil Rd,c in der Schubwand wird analog zur Querkraft wie folgt
V berechnet:
· s
V = ·ß · 0,10 · f 13 · 1 + 1,2 cd · t · z (2.1.21)
Rd ,c 1 ct ck efffi
cd
ß = 2,4 = 1,0 für Normalbeton
ct 1
N
s = Ed
Betonlängsspannung im Schwerpunkt des
cd
A Querschnitts
c
N Bemessungswert der Längskraft des Querschnitts infolge
Ed
äußeren Einwirkungen oder Vorspannung (Druck < 0).
Die Querkraft VEd ist hierbei die Querkraft in einer Schubwand nach 2.1.6 .
Torsion.doc 11.02.09 Seite 9

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2.1.2 Zusammengesetzte Querschnitte
Querschnitte von komplexer Form wie z.B. T-Querschnitte können in Teilquerschnitte
(meist
Rechtecke) aufgeteilt werden. Die Gesamttorsionstragfähigkeit berechnet sich dann aus
der
Summe der Tragfähigkeit der
Einzelelemente.
Praktisch bedeutet dies, dass das angreifende Torsionsmoment auf die
einzelnen
Teilquerschnitte verteilt wird, die dann getrennt nachgewiesen werden können.
Die
Aufteilung darf im Verhältnis der Steifigkeiten des ungerissenen Zustandes
erfolgen: I
T =T · T ,i
Ed ,i Ed
I
T ,i
Bild: Aufteilung des Schubflusses in
Einzelschubflüsse
Torsion.doc 11.02.09 Seite 10

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2.2 Nachweis für kombinierte Beanspruchung aus Querkraft und
Torsion
Der Nachweis für eine kombinierte Beanspruchung aus Querkraft und Torsion
erfolgt wie bei reiner Torsion für die ungünstigste Schubwand des Hohlquerschnitts. Die
ebenfalls
in Schubwand wirkende Querkraft setzt sich jetzt aus 2 Anteilen
der
zusammen:
T V ·t
V =V +V = Ed ·z + Ed eff
(2.2.1)
Ed ,T + V Ed ,T Ed ,V 2· A i b
k w
Mit dieser Querkraft ist eine Bemessung durchzuführen, die Bewehrung ist zu der
ermittelte aus der Querkraftbemessung zu addieren
Bewehrung . Der gewählte
Druckstrebenneigungswinkel gilt sowohl für den Nachweis der Querkraft wie auch für
den Nachweis der Torsion.
Der Nachweis der Druckstrebentragfähigkeit erfolgt für jeden Teilquerschnitt wie
folgt:
2 2
T V
Für Ed + Ed = 1(2.2.2)
Kompaktquerschnitte: T V
Rd ,max Rd ,max
T V
Für Ed + Ed = 1(2.2.3)
Kastenquerschnitte: T V
Rd ,max Rd ,max
Für die Querkraftbeanspruchung steht die gesamte bw zur Verfügung, dagegen
Stegbreite die Torsionsdruckspannungen lediglich im
dürfen t eff angesetzt werden.
Randbereich bei den Kompaktquerschnitten Umlagerungsmöglichkeiten, dieDamit
verbleiben die
Interaktions- Kompaktquerschnitte ausnutzt. Diese Umlagerungsmöglichkeiten sind
gleichung für
bei
Hohlkastenquerschnitten nicht mehr gegeben, da die Druckspannungen infolge Torsion
und
Querkraft gemeinsam in dem Wandquerschnitt wirken. Aus diesem Grund ist die
zweite
Interaktionsgleichung konservativer
aufgebaut.
Vereinfachungsmöglichkeit : Die Bewehrung für Torsion allein kann mit
einem
Druckstrebenneigungswinkel von 45° ermittelt werden und muss dann wie gehabt
zur
ermittelten Querkraftbewehrung aufaddiert
werden.
Torsion.doc 11.02.09 Seite 11

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2.3 Entfall der Bemessung für Querkraft und Torsion
Bei geringer Torsions- bzw. geringer Querkraft+Torsions-Beanspruchung darf
unter
gewissen Umständen auf einen rechnerischen Nachweis der Bewehrung verzichtet
werden. sicher zu stellen, dass im ungerissenen Querschnitt (Zustand I) die
Dazu ist
näherungsweise
ermittelten Schubspannungen infolge Torsion t ˜ 4.5 ·T / b2 · z nicht () größer
T Ed w
mit
als die Schubspannungen infolge Querkraft t = V ( ) · z und
/ b
werden
bei
Q Ed w
mit kombinierter
Beanspruchung infolge Torsion+Querkraft darf es nicht zu einem Versagen
infolge
Schrägrissbildung ( =V ) kommen.
Rd ,ct
Für einen näherungsweise rechteckigen Vollquerschnitt ist außer der
Mindestbewehrung und Torsionsbewehrung erforderlich, wenn die folgenden
keine Querkraft-
Bedingungen
eingehalten
sind:
V ·b
Für Torsion: T = Ed w
(2.3.1)
Ed
4,5
4,5 · T
Für Querkraft + Torsion: V · 1+
= Ed V (2.3.2)
Ed V ·b Rd ,ct
Ed w
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2.4 Konstruktive Anforderungen
Die Torsionsbewehrung ist in Form rechtwinkligen Bewehrungsnetzes aus Bügeln
eines Längsstäben auszuführen.
und Bügel sind hierbei zugfest zu schließen .
Die
Der Längsabstand der Bügel muss den Anforderungen für die Querkraftbewehrung
genügen
(vgl. Kap. Querkraft). Zusätzlich darf Längsabstand der Torsionsbügel den Wert u k
/8
der überschreiten
nicht .
Die Längsstäbe sollten gleichmäßig über den Umfang innerhalb der Bügel verteilt
werden, jedem Knickpunkt der Bügel mindestens ein Längsstab vorhanden sein muss.
wobei in
Der
Abstand der Längsstäbe darf 35 cm nicht überschreiten .
u
Höchstabstände: s = k
bzw. s =s s = 35c (2.4.1)
w
8 w w,V l
m
Bild: Beispiele für eine
Torsionsbewehrung
Bei Verträglichkeitstorsion darf im Grenzzustand der Tragfähigkeit auf einen
rechnerischen Torsionsbeanspruchung verzichtet werden. Hinsichtlich
Nachweis der
der
Gebrauchstauglichkeit, insbesondere um eine übermäßige Rissbildung zu vermeiden
und angemessene Robustheit zu gewährleisten, sollte eine konstruktive Bewehrung in
eine
Form geschlossenen Bügeln und einer über den Umfang verteilen
von
Längsbewehrung
vorgesehen werden. Diese Forderung ist in der DIN 1045-1, 10.4.1 (2) als
Anwendungsregel
gekennzeichnet. Das heißt, es darf davon abgewichen werden, es ist jedoch eine
vom
Prinzip gleichwertige Lösung zu gewährleisten. Die in diesem Kapitel
beschriebenen Regeln sollten jedoch als Mindestgrundlage zur Sicherstellung
konstruktiven
der
Gebrauchstauglichkeit auch bei nicht nachzuweisender Verträglichkeitstorsion
angewendet
werden.
Torsion.doc 11.02.09 Seite 13