Este documento describe la clausura transitiva de un grafo dirigido. Explica que la clausura transitiva es la relación binaria más pequeña que contiene todos los pares de la relación original y es transitiva. También define la clausura transitiva de un grafo como el grafo que contiene un camino entre cualquier par de vértices, y presenta un algoritmo de O(n3) para encontrarla usando programación dinámica y matrices de adyacencia.
2. Introducción A mi me tocó hablar sobre la clausura transitiva (o también llamado cierre transitivo) de un grafo dirigido. Este tema surgió para resolver un problema específico de grafos, pero tiene que ver aplicaciones en problemas reales. La clausura transitiva de una relación binaria es la relación binaria más pequeña que siendo transitiva contiene al conjunto de pares de la relación binaria original.
3. Clausura transitiva El concepto de transitividad es el mismo que se utiliza en la teoría matemática, el cual postula que si a<b<c a<c, en el caso de clausura transitiva, el concepto se refiere a que existe un camino que une el vértice i con el vértice j, no importando que para llegar desde i a j tengamos que visitar otros vértices del grafo.
4. Grafos La clausura transitiva de un grafo G se define como el grafo G* = (V, E*), donde E*={(i, j): hay un camino desde el vértice i al vértice j en G}. Dado el siguiente grafo dirigido, encontrar la clausura transitiva de él:
8. Esta es la matriz de adyacencia de la clausura transitiva del grafo
9. Complejidad computacional El costo asociado a este algoritmo es de O(n3), ya que el costo de encontrar la matriz de alcance está íntimamente ligado con los ciclos que se necesitan para recorrer la matriz, además por ser un algoritmo de programación dinámica el costo tiene que ser polinomial.
10. Interactividad Bueno aquí esta una pagina que encontré en la que viene un programa muy interesante que saca la clausura transitiva: http://www.cs.nmsu.edu/~ipivkina/TransClosure/index.html
