Este documento presenta una deducción de la Ecuación de Euler-Lagrange utilizando cálculo elemental. Explica que Euler dividió la curva en intervalos finitos y reemplazó la integral por una suma, luego evaluó los cambios en la suma cuando se introdujo una variación en la curva y equilibró los términos para derivar la ecuación fundamental de la mecánica variacional. El documento proporciona antecedentes sobre Lagrange, Euler y el problema clásico de la braquistócrona para ilustrar el método de Euler.

1. Deducción de la Ecuación de Euler – Lagrange utilizando Cálculo Elemental

2. Este trabajo, de carácter didáctico, va dirigido a los alumnos de Mecánica, Física y Cálculo. Su objetivo es mostrar la aplicación de las herramientas del Cálculo elemental para deducir una de las ecuaciones más importantes de la Física.Nos hemos basado en “DerivingLagrange’sEquationUsingElementaryCalculus” por JosefHanc, Edwin F. Taylor y SlavomirTuleja. 2

3. Lagrange (1736- 1813) y Euler (1707- 1783) fueron dos matemáticos eminentes que aportaron enormemente a la ciencia. Utilizando cada uno sus propios procedimientos para encontrar el extremo de una integral dedujeron una de las fórmulas más importantes de la Mecánica, base de su formulación Variacional. [1] 3

4. Dos Formulaciones de la Mecánica VECTORIAL, se ocupa en determinar todas las fuerzas que actúan en una partícula. VARIACIONAL, se basa en la diferencia entre la Energía Cinética y la Energía Potencial de una partícula. 4

5. La Braquistócrona, Ejemplo Clásico del Empleo del Cálculo Variacional Brachistos y Cronos significan –en griego- Corto y Tiempo, respectivamente. La Braquistócrona es la curva de descenso más rápido. El problema fue originalmente expuesto al público por Johannes Bernoulli en 1686. 5

6. Enunciado del Problema de la Braquistócrona a M Fig. 1 b “Dentro de la infinita cantidad de formas que puede tener, descubrir la que debe describir una canaleta, M, por donde se deslizará una cuenta, para que, partiendo del punto a llegue al punto b, situado más abajo, (pero no debajo del punto a), en el menor tiempo (Fig. 1).” 6

7. “Arte diabólico es…” puede decir uno parafraseando a Quevedo, hallar dentro de todas las formas posibles aquella que minimice el tiempo de recorrido. Sin embargo, además de J. Bernoulli, tres endiablados matemáticos encontraron la respuesta: tanto su hermano James como Newton y Leibniz. La curva determinada resultó ser una Cicloide, la cual se obtiene integrando: en donde g es la aceleración de la gravedad. 7

8. Sin embargo esta solución no era general, y por lo tanto, el establecimiento de una teoría que cubra el conjunto de problemas variacionales era una necesidad; Lagrange y Euler respondieron a ella. Su método se basó en la utilización de la ecuación que lleva sus nombres, pero el camino que cada uno tomó para descubrirla no fue el mismo y de eso nos ocupamos en las láminas que siguen. 8

9. El primero, Lagrange, utilizó un enfoque analítico [2] y su procedimiento desborda al Cálculo tradicional. Lagrange, para su hallazgo-¡realizado a los 19 años de edad!- se apoyó en el Principio de Mínima Acción [3] y en su invención, el Cálculo de Variaciones. El segundo, Euler, se encuadró dentro del Cálculo, empleó una visualización geométrica (su propio diagrama es el de la figura 2) y utilizó el análisis infintesimal. 9

10. Nosotros nos enfocaremos en el trabajo de Euler. El carácter explícito de su plan de ataque constituye una excelente herramienta didáctica. 10

11. Fig. 2 Brevemente, su programa consiste en: Dividir a la curva a-z en intervalos finitos, (Fig. 2). Esta curva representa, por hipótesis, un trayecto extremo. Por ejemplo, puede ser la forma que debe de tener la proa de un submarino para minimizar su resistencia al agua. Reemplazar por una suma a la integral a ser minimizada. Evaluar la suma en M y N (Fig. 2) donde se produce unavariación en la ordenada (de N-n hacia N-v). Variación 11

12. El ejemplo de la Braquistócrona nos ayudará a entender lo que significa una “variación” Sabemos que la cuenta, al fin y al cabo, tendrá que recorrer una ruta muy particular y única para cubrir la distancia en el menor tiempo. Pero así como toma ese camino, es posible imaginar que puede “decidirse” por otros. A las rutas alternas que se diferencian de la que por hipótesis es la correcta, se les llama variaciones. Euler tomó una variación (ordenada de N-n a N-v en la figura 2) y utilizando un razonamiento muy similar al que veremos a continuación, comparó los trayectos para finalmente descubrir su fórmula [4]. 12

13. Para dar mayor sustento y claridad a nuestro desarrollo utilizaremos dos principios establecidos por los pioneros del Cálculo de Variaciones [5]: Principio 1. Cualquier variación o desvío infinitesimal alrededor de un extremo, es proporcional a por lo que se puede tomar como nula. Principio 2. Si una curva que representa un trayecto entre dos puntos es una curva extrema (sea máxima o mínima), entonces cualquier segmento tendrá las mismas características, es decir, será extremo también. 13

14. Es muy importante comprender el Principio 1, por lo que lo explicaremos al detalle. Supongamos que necesitamos estimar el valor de f(x) en un punto cercano a , y para ello utilizamos la aproximación cuadrática, Supongamos, además, que está situada en un extremo. Entonces, y por la razón de que = 0 en ese punto, la expresión anterior puede escribirse así: 14

15. Fig. 2 …donde vemos claramente que la diferencia entre , que es , depende de un infinitésimo al cuadrado, . Refiriéndonos otra vez al gráfico de la figura 2, la variación v, que Euler imprime a la curva a-z, es de segundo orden (está situada sobre un trayecto que, por hipótesis es ya un mínimo) y por lo tanto su diferenciacon el segmento m-o, es, en la práctica, nula. Nota: a esto es lo que se refieren los matemáticos cuando dicen “ignoremosla variación de segundoorden.” 15

16. En palabras del Marqués de L’Hôpital, “dos cantidades que difieren entre sí infinitesimalmente, pueden tomarse por iguales”; con mayor razón si la diferencia es un infinitésimo al cuadrado [6]. En efecto, el Análisis Infinitesimal moderno, el cual se basa en la Teoría de las Categorías, tiene como elemento fundamental al infinitésimo. Dentro de este análisis el infinitésimo de segundo grado es llamado “nilpotente” y se define como idéntico a cero. 16

18. Se compara la “correcta” con otra apenas alejada de ella.

19. Por la razón de que la correcta es, por hipótesis, un trayecto mínimo, cualquier diferencia es proporcional a un infinitésimo al cuadrado y por lo tanto, despreciable.17

20. Notemos que, contrariamente a encontrar el mínimo de una función, el tema de la Curva de Menor Tiempo consiste en hallar lafunción mínima dentro de un conjunto infinito de posibilidades. En otras palabras, buscar el extremo de la función f(x)(un tema del Cálculo)no es lo mismo abuscar aquella función y = f(x) que haga que la integral sea un extremo (un tema del Cálculo de Variaciones). 18

21. En la práctica (cf. la integral de la Braquistócrona), la expresión depende de y,y’, y en muchos casos, de x también, razón por la cual los problemas variacionales se generalizan con una función F de tres variables, F = F ( y, y’, x) y la integral definida, que se busca minimizar. Con esto en mente, regresemos al trabajo de Euler. 19

25. Arreglando nuevamente términos y teniendo en cuenta que obtenemos: Recordando que estamos tratando con cantidades tan cercanas como queramos [7], finalmente escribimos la última expresión comoque no es otra que la famosa Ecuación de Euler-Lagrange. René F. Gastelumendi, 5 de Diciembre de 2004 / 5 de Febrero de 2005. 24

26. Referencias utilizadas [1] A diferencia de la formulación vectorial de Newton que se ocupa en determinar todas las fuerzas que actúan en una partícula, la variacional o analítica se basa en la diferencia entre la Energía Cinética y la Energía Potencial de una partícula. [2] Un orgullo de Lagrange fue escribir su tratado ‘Mecánica Analítica’, “sin utilizar una sola figura”. [3]Maupertuis, en 1746, reflexionando sobre la perfección de la Naturaleza enuncia que dicho ideal debería de incluir una “economía” en la administración de la energía y postuló su principio basado en una cantidad llamada por él, “Acción”. Para un objeto que se desplaza en un campo de fuerzas conservativas se define como el producto del tiempo, t, multiplicado por su “vis viva”, mv2 -el doble de la energía cinética. Este producto debe de ser siempre un mínimo, o tener una Mínima Acción. [4] Ver Cornelius Lanczos - “TheVariationalPrinciples of Mechanics”, para una breve exposición de la deducción de Euler. [5]Ver Woodhouse – “A History of the Calculus of Variations in the Eighteenth Century”. [6] Citado en la p 241 de “TheMathematicalExperience” de Hersh y Davis, primera edición. [7] El primer término lo podemos interpretar como el punto medio en v del segmento m-o 25