Druckkorrekturverfahren

Einleitung Gitter SIMPLE PISO Anmerkungen Ergebnisse

Druckkorrekturverfahren
Fabian Fastabend

Universit¨t Bremen
a

02.02.2010

Druckkorrekturverfahren Fabian Fastabend


Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Gitter

SIMPLE

PISO

Anmerkungen

Ergebnisse



Ziel

Eﬃzientes L¨sen der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen:
o
∂uj
= 0
∂xj
∂ui ∂ui 1 ∂p ∂ 2 ui
+ uj = − + ν 2 + gi
∂t ∂xj ρ ∂xi ∂xj

Warum inkompressibel?
F¨r kompressible Str¨mungen gibt es andere Methoden
u o
Keine bestimmende Gleichung f¨r ρ, damit auch nicht f¨r p
u u
p als Lagrange-Multiplikator



Methode zum L¨sen
o

Explizites L¨sen ben¨tigt sehr kleine Schritte, da das System
o o
kompliziert gekoppelt ist.

⇒ Alternativer L¨sungsansatz: Iterative (semi-)implizite
o



Methode zum L¨sen
o

Explizites L¨sen ben¨tigt sehr kleine Schritte, da das System
o o
kompliziert gekoppelt ist.

⇒ Alternativer L¨sungsansatz: Iterative (semi-)implizite
o

Bekannte Verfahren:
SIMPLE von Patankar und Spalding (1972)
SIMPLER von Patankar (1980)
SIMPLEC von Van Doormal und Raithby (1984)
PISO von Issa (1986)



Funktion der impliziten Druckkorrektur

Rand- und Instation¨rer
a
Start
Startbedingungen Quellterm

t = tn+1 ∂ui
∂t p∗ , uold
i
nein

Implizite
Stopp tn = tend ?
ja (t )
p(tn ) , ui n Druckkorrektur



¨
Ubliches Gitter
Bei der intuitven Wahl eines Gitters speichert man alle relevanten
Gr¨ßen in einem Zellmittelpunkt:
o

N

W P E
w e

S



Probleme

Lineare Approximation von der Druckableitung bildet kurze
Druckschwankungen nicht ab:

pE + pP pP + pW
−
∂p p e − pw 2 2 pE − p W
≈ = =
∂x δx δx 2δx

∂p
Beispiel: pW = 100, pP = 50, pE = 100 ⇒ ≈0
∂x



Versetztes Gitter
Man f¨hrt ein versetztes Gitter ein, auf dessen Knoten man die ui
u
speichert:

N
nu

W pu P E
wu eu
su
S



SIMPLE
(Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations)



Impulsgleichungen aufstellen

Man stellt die Diskretisierung der Impulsgleichungen mit uold und
i
X ∈ {W, S, B} auf:

ai,p ui,p = ai,nb ui,nb + (pX − pP )Ai,p + Qi,p .
nb

Annahme eines Drucks p∗ mit

p = p∗ + p

und Einsetzen in die Impulsgleichungen.



Der SIMPLE-Algorithmus

Start




uold , p∗
i
Start




uold , p∗ Schritt 1:
i
Start Impulser-
haltung



Geschwindigkeiten ermitteln

Jetzt berechnet man mit den Impulsgleichungen

ai,p u∗ =
i,p ai,nb u∗ + (p∗ − p∗ )Ai,p + Qi,p
i,nb X W
nb

die zugeh¨rigen Geschwindigkeitsfelder u∗ . Es ergibt sich mit ui als
o i
Fehler:

ui = u∗ + ui
i




uold , p∗ Schritt 1: u∗
i i
Start Impulser-
haltung



Umformungen
Betrachtung nur f¨r eine Impulsgleichung:
u
a1,p u1,p = a1,nb u1,nb + (pW − pP )A1,p + Q1,p
nb



Umformungen
u
nb

Mit den angenommenen Feldern ergibt sich:
a1,p u∗ =
1,p a1,nb u∗ + (p∗ − p∗ )A1,p + Q1,p
1,nb W P
nb



Umformungen
u
nb

Mit den angenommenen Feldern ergibt sich:
a1,p u∗ =
1,p a1,nb u∗ + (p∗ − p∗ )A1,p + Q1,p
1,nb W P
nb

Durch Subtraktion der beiden Gleichungen erh¨lt man mit
a
p =p−p ∗:

a1,p (u1,p − u∗ ) =
1,p a1,nb u1,nb + (pW − pP )A1,p
nb



Hauptannahme

Die zentrale Approximation im SIMPLE-Verfahren

a1,nb u1,nb = 0,
nb

f¨hrt zu folgendem Term:
u



Hauptannahme

Die zentrale Approximation im SIMPLE-Verfahren

a1,nb u1,nb = 0,
nb

f¨hrt zu folgendem Term:
u
A1,p
u1,p = u∗ + (pW − pP )
1,p
a1,p




uold , p∗ Schritt 1: u∗ , u i
i i
Start Impulser-
haltung



Kontinuit¨t
a

Einsetzen der Geschwindigkeiten in die diskretisierte
Kontinuit¨tsgleichung
a
(u1,e A1,e − u1,p A1,p ) + (u2,n A2,n − u2,p A2,p ) + (u3,t A3,t − u3,p A3,p ) = 0

liefert umgestellt:



Kontinuit¨t
a

Einsetzen der Geschwindigkeiten in die diskretisierte
a
(u1,e A1,e − u1,p A1,p ) + (u2,n A2,n − u2,p A2,p ) + (u3,t A3,t − u3,p A3,p ) = 0

liefert umgestellt:

cP pP = cN B pN B + bP
NB

Mit diesem linearen Gleichungssystem kann man die Fehlerterme p
berechnen.




uold , p∗ Schritt 1: u∗ , u i Schritt 2:
i i
Start Impulser- Druckkor-
haltung rekturterm




i i
haltung rekturterm

p



Korrekturen

Mit den Druckfehlern p korrigiert man p mit

p = p∗ + p .

Außerdem kann man jetzt auch die u1,p ermitteln, mit der eben
gezeigten Formel
A1,p
u1,p = u∗ + (pW − pP )
1,p .
a1,p

Damit kennt man den Geschwindigkeitenvektor u1 . u2 und u3
werden analog ermittelt.




i i
haltung rekturterm

p

Schritt 3:
Korrekturen




i i
haltung rekturterm

p

Schritt 3:
p, ui Korrekturen



Konvergenz

Die zwei gebr¨uchlichsten Konvergenzkriterien sind:
a

b <ε

oder
p < ε und ui < ε

Konvergenz ⇒ Abbruch, R¨ckgabe von p und ui
u
Sonst: p∗ = p und uold = ui als neue Startwerte
i



i i
haltung rekturterm

p

Schritt 3:
p, ui Korrekturen



i i
haltung rekturterm

p

Schritt 3:
Konvergenz?
p, ui Korrekturen



i i
haltung rekturterm

p

Schritt 3:
Stopp Konvergenz?
ja p, ui Korrekturen



i i
haltung rekturterm
p∗ = p, uold = ui
i

p
nein

Schritt 3:
Stopp Konvergenz?



Anmerkungen zu SIMPLE

Die ui erf¨llen nach jedem SIMPLE-Schritt die
u
a
Unterrelaxation von p und ui oft n¨tig f¨r Stabilit¨t
o u a
Langsame Konvergenz von p durch die vernachl¨ssigte Summe
a



PISO
(Pressure Implicit with Splitting of Operators)



Die Idee hinter PISO

PISO ist eine Weiterentwicklung von SIMPLE. Es gibt einen
weiteren Korrekturschritt in der Impulsgleichung mit:

p = p∗∗ + p und p∗∗ = p∗ + p
ui = u∗∗ + ui
i und u∗∗ = u∗ + u
i

p∗∗ und u∗∗ ergeben sich dabei genau so wie p und ui in SIMPLE.
i



Der PISO-Algorithmus

Start




uold , p∗
i
Start




uold , p∗ Schritte
i
Start 1-3 von
SIMPLE




uold , p∗ Schritte u∗∗
i i
Start 1-3 von
SIMPLE



Umformungen
Einsetzen von p∗∗ und u∗∗ in die Impulsgleichung liefert:
1

a1,p u∗∗ =
1,p a1,nb u∗ + (p∗∗ − p∗∗ )A1,p + Q1,p
1,nb W P
nb



Umformungen
1

a1,p u∗∗ =
1,p a1,nb u∗ + (p∗∗ − p∗∗ )A1,p + Q1,p
1,nb W P
nb

Mit u1 = u∗∗ + u1 und p = p∗∗ + p ergibt sich:
1
a1,p u1,p = a1,nb u∗∗ + (pW − pP )A1,p + Q1,p
1,nb
nb



Umformungen
1

a1,p u∗∗ =
1,p a1,nb u∗ + (p∗∗ − p∗∗ )A1,p + Q1,p
1,nb W P
nb

Mit u1 = u∗∗ + u1 und p = p∗∗ + p ergibt sich:
1
a1,p u1,p = a1,nb u∗∗ + (pW − pP )A1,p + Q1,p
1,nb
nb

Wieder subtrahiert man beide Gleichungen:
a1,nb (u∗∗ − u∗ )
1,nb 1,nb
∗∗ nb A1,p
u1,p = u1,p + + (p − pP )
a1,p a1,p W



Unterschied zu SIMPLE

Der Summenterm wird nicht vernachl¨ssigt, sondern durch jetzt
a
bekannte Werte u∗ und u∗∗ berechnet.
nb nb



Unterschied zu SIMPLE

Der Summenterm wird nicht vernachl¨ssigt, sondern durch jetzt
a
bekannte Werte u∗ und u∗∗ berechnet.
nb nb

Ist das sinnvoll?
iterativ ermittelte Werte ⇒ sinnvoller als 0-Annahme
Werte aus dem Vorschritt ⇒ sinnvolle Approximation




uold , p∗ Schritte u∗∗ , ui
i i
Start 1-3 von
SIMPLE



Kontinuit¨t
a

Analog zu SIMPLE liefert das Einsetzen der ui in die
Kontinuit¨tsgleichung wiederum:
a

cP pP = cN B pN B + bP
NB

Nach dem L¨sen des Gleichungssystems erh¨lt man den Fehler p .
o a

Anmerkung: Die cX sind die gleichen wie im SIMPLE-Verfahren.



Schritt 4:
i i Druck-
Start 1-3 von
korrektur-
SIMPLE
term II



Schritt 4:
i i Druck-
Start 1-3 von
korrektur-
SIMPLE
term II

p



Korrekturen

Mit den Druckfehlern p korrigiert man wieder p mit

p = p∗∗ + p .

Die u1,p erh¨lt man mit
a

a1,nb (u∗∗ − u∗ )
1,nb 1,nb
nb A1,p
u1,p = u∗∗ +
1,p + (p − pP ).
a1,p a1,p W



Schritt 4:
i i Druck-
Start 1-3 von
korrektur-
SIMPLE
term II

p

Schritt 5:
Korrekturen



Schritt 4:
i i Druck-
Start 1-3 von
korrektur-
SIMPLE
term II

p

Schritt 5:
p, ui Korrekturen



Konvergenz

Die Konvergenzkriterien sind die gleichen wie im
SIMPLE-Verfahren:
b <ε
oder
p < ε und ui <ε

Konvergenz ⇒ Abbruch, R¨ckgabe von p und ui
u
Sonst: p∗ = p und uold = ui als neue Startwerte
i



Schritt 4:
i i Druck-
Start 1-3 von
korrektur-
SIMPLE
term II

p

Schritt 5:
Konvergenz?
p, ui Korrekturen



Schritt 4:
i i Druck-
Start 1-3 von
korrektur-
SIMPLE
term II

p

Schritt 5:
Stopp Konvergenz?



Schritt 4:
i i Druck-
Start 1-3 von
korrektur-
SIMPLE
term II
p∗ = p, uold = ui
i

nein p

Schritt 5:
Stopp Konvergenz?



Anmerkungen zu PISO

Verbesserung der Konvergenz durch zweite Impulsgleichung
Unterrelaxation ist aus Stabilit¨tsgr¨nden empfehlenswert
a u
Einzelne Iterationsschritte aufwendiger als bei SIMPLE
Bei geschickter Programmierung gleicher Speicheraufwand



Unterrelaxation

verhindert das Oszillieren
Druck: p = αp p + (1 − αp )pold (nur SIMPLE)
Geschwindigkeiten: ui = αui ui + (1 − αui )uold
i
H¨uﬁg gew¨hlt: α = 0.8
a a



Station¨r oder instation¨r?
a a

SIMPLE und PISO eignen sich vor allem f¨r station¨re
u a
Probleme, da sie große Schritte zulassen
Große Schritte zum L¨sen von station¨ren Problemen bis sich
o a
Stationarit¨t einstellt
a
Instation¨rer Quellterm wirkt als D¨mpfung und stabilisiert
a a
PISO wird auch f¨r instation¨re Probleme eingesetzt (mit
u a
jeweils einem PISO-Schritt pro Zeitschritt)



Einsatz

Implizite Druckkorrekturverfahren werden in bekannten
CFD-Programmen genutzt, zum Beispiel in
OpenFOAM im Solver icoFoam (PISO)
FLUENT (SIMPLE, SIMPLEC und PISO)
STAR-CCM+ bzw. STAR-CD (SIMPLE und PISO)



Allgemeine Aussagen

Keine Konvergenzbeweise in der Literatur
Man beobachtet ¨hnliches Konvergenzverhalten bei allen
a
Verfahren
Konvergenzgeschwindigkeit sehr abh¨ngig von den
a
Str¨mungsparametern
o
SIMPLEC, SIMPLER und PISO sind im Mittel aber 1.5 bis 2
mal schneller als SIMPLE



Beispiel 1 - Aufbau

kg
minit = 1
˙ s
pstag = 10 P a
p0 = 0 P a
inkompressibel



Beispiel 1 - Ergebnisse

SIMPLE PISO
Iterationen 20 16
ε = 10−4
Zeit 8.76 8.45
Iterationen 30 27
ε = 10−6
Zeit 13.01 13.91



Beispiel 2 - Aufbau

kg
m = 9.61 · 10−3
˙ s
m
uin = 0.5 s
inkompressibel
Semi˜o und Carvalho
a




SIMPLE PISO
Iterationen 173 166
16 × 16
Zeit 2.6 2.7
Iterationen 498 366
32 × 32
Zeit 39.2 28.0
Iterationen 1862 943
64 × 64
Zeit 664 399



Beispiel 3 - Aufbau

kg
m = 8.21 · 10−3
˙ s
m m
uin,1 = 26.7 s und uin,2 = 117.1 s
inkompressibel
Semi˜o und Carvalho
a




SIMPLE PISO
Iterationen 4513 2919
60 × 50
Zeit 678 500



Zusammenfassung

Das L¨sen inkompressibler Str¨mungungen l¨sst sich mit einer
o o a
impliziten Druckkorrektur bewerkstelligen
Alle ublichen Verfahren basieren auf SIMPLE
¨
Weiterentwicklungen konvergieren schneller
Konvergenzgeschwindigkeit immer abh¨ngig von den
a
Str¨mungsparametern
o
Ausblick: LIMPO und andere Verfahren, alternative Gitter



Vielen Dank fur die Aufmerksamkeit!
¨



Quellen

Versteeg, H.K. und Malalasekera, W.: An Introduction to
Computational Fluid Dynamics - The Finite Volume Method,
2. Auflage, Pearson Education Limited, Essex, 2007

Ferziger, J.H. und Peri´, M.: Computational Methods for Fluid
c
Dynamics, 3. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2002

Semiõ, V. und Carvalho, M.G.: LIMPO: an improved version
a
of the PISO algorithm for turbulent swirling flows, Abstract,
Mechanical Engineering Department, Instituto Superior
Tćnico, Universit¨t Lissabon, Lissabon, 1995
e a


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