El documento presenta un resumen de los conceptos básicos de conjuntos y números. En el Capítulo 1 se definen conjuntos, subconjuntos, operaciones con conjuntos como unión e intersección, y diagramas de Venn. El Capítulo 2 describe los diferentes tipos de números como naturales, enteros y reales, así como operaciones con números reales e intervalos numéricos. Los capítulos subsiguientes cubren potenciación, valor absoluto, polinomios y otras operaciones algebraicas.
9. capítulo 1
Conjunto
Este capítulo tem por objetivo habilitar o aluno para lidar com os con
juntos numéricos e suas operações, principalmente pela sua importân
cia para o processo de contagem. Além disso, uma grande parte da
matemática é desenvolvida a partir de conjuntos.
1.1 Definição de conjuntos
Trata-se de uma noção primitiva, sem definição própria, podendo o con-
junto ser considerado qualquer coleção de objetos ou entidades.
Os objetos que compõem a coleção são os elementos do conjunto.
Designamos, normalmente, por letras maiúsculas os conjuntos e por
letras minúsculas seus elementos.
1.2 Relação de pertinência
Relaciona elemento com conjunto. Para indicarmos que um objeto x é
elemento do conjunto A, escrevemos (lê-se: x pertence a A). Se o
objeto x não for elemento do conjunto A, escrevemos x ∉ A (lê-se: x não
pertence a A).
1.3 Descrição ou representação de um conjunto
Para a descrição de um conjunto, são utilizados dois recursos principais:
1o Enumeração:
Quando escrevemos entre chaves, e separados por vírgulas, os seus ele-
mentos formadores do conjunto.
1
10. Pré-cálculo
Exemplos:
a) A = {a,b,c}
b) B = {1,2,3,4,5}
c) C = {2,3,5,7,11,...}
2o Compreensão:
Quando escrevemos, entre chaves, uma característica comum a todos os
elementos formadores do conjunto.
Exemplos:
a) A = {x | x é divisor inteiro de 7} = {–7,–1,1,7}
b) B = {x | x é vogal} = {a,e,i,o,u}
1.4 Conjunto unitário
É o conjunto que possui apenas um elemento.
Exemplos:
a) A = {x | x é par compreendido entre 9 e 11} = {10}
b) B = {x | x é satélite natural da Terra} = {Lua}
1.5 Conjunto vazio
É o que não possui elementos e denota-se por { } ou Æ.
Exemplos:
a) A = {x | x2 = 9 e x é par} = Æ
b) B = {x | x é ímpar e múltiplo de 2} = Æ
1.6 Diagrama de Euler-Venn
Uma boa maneira de se visualizar as relações entre conjuntos é por
meio dos diagramas de Euler-Venn. Os conjuntos são representados por
regiões planas interiores a uma curva fechada e simples.
2
11. 1 Conjunto
Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4}
A
1
2
3
4
1.7 Subconjuntos – relação de inclusão
Se todo elemento de um conjunto A também for um elemento de um con-
junto B, então podemos dizer que A é um subconjunto de B.
Para indicarmos que A é subconjunto de B, escreveremos:
• A ⊂ B (lê-se: A está contido em B);
• B ⊃ A (lê-se: B contém A);
• A é parte de B.
Se o conjunto A não for subconjunto de B, escreveremos A ⊄ B (lê-se:
A não está contido em B).
1.7.1 Observações importantes
• Todo conjunto é subconjunto dele mesmo ( A ⊂ A) .
• Æ é subconjunto de qualquer conjunto .
• O total de subconjuntos que podemos formar a partir de um conjun-
to A, constituído por n elementos, é dado por 2n, e denota-se por # A
(# A = 2n).
• A ⊂ B e B ⊂ A se, e somente se, A = B .
• A é subconjunto próprio de B se, e somente se, A ⊂ B e A ≠ B .
1.7.2 Conjunto das partes
Consideremos um conjunto A. Denominamos conjunto das partes (P(A)) o
conjunto formado por todos os subconjuntos de A.
3
12. Pré-cálculo
Exemplo:
Seja A = {1, 2, 3} . Então:
.
Observe que, por exemplo, {1,2} ⊂ A , mas .
1.8 Operações com conjuntos
1.8.1 União (reunião) de conjuntos
O conjunto P é a união dos conjuntos A e B, se todos os elementos de A
e B, e apenas estes, estiverem presentes em P.
{
P = A ∪ B = x x ∈ A ou x ∈ B }
A B A B A
B
A∪B A∪B A∪B
Exemplos:
a) Se A = {1,2,3,4} e B = {2, 4, 6} , então A ∪ B = {1,2,3,4,6} .
b) Se A = {1,2,3,4} e B = {1, 4} , então A ∪ B = {1,2,3,4} = A .
c) Se A = {1,2,3} e B = {4, 5, 6} , então .
1.8.2 Interseção de conjuntos
P é o conjunto interseção de A e B, se ele for composto por todos os ele-
mentos comuns a A e B, ao mesmo tempo.
{
P = A ∩ B = x x ∈ A e x ∈B }
A B A B A
B
A∩B A∩B A∩B
4
13. 1 Conjunto
Exemplos:
a) Se A = {1,2,3,4} e B = {2, 4, 6}, então A ∩ B = {2,4}.
b) Se A = {1,2,3,4} e B = {1, 4} , então A ∩ B = {1,4} = B .
c) Se A = {1,2,3} e B = {4, 5, 6}, então . Nesse caso, A e B são cha-
mados conjuntos disjuntos.
1.8.3 Conjunto diferença
P é o conjunto diferença de A e B, se for composto pelos elementos de A
que não são elementos de B.
{
P = A − B = x x ∈ A e x ∉B }
A B A B A
B
A–B A–B A–B
Exemplo:
Se A = {1,2,3,4} e B = {2,4,6} , então A − B = {1,3} e B − A = {6} .
1.8.4 Conjunto universo ou universo (U)
É um conjunto especificado que contém todos os elementos de interesse
para um determinado problema.
1.8.5 Conjunto complementar
• Se , então o complementar de B em relação a A é o conjunto
, denotado por CB = A − B .
A
• CA = A' = A = U − A .
U
Exemplo:
Se A = {1,2,4} e , então CB = {0, 6, 9} .
A
5
14. Pré-cálculo
1.8.6 Diferença simétrica
Dados dois conjuntos A e B, chamamos diferença simétrica entre A e B o
conjunto denotado por A∆B e definido por A∆B = ( A − B) ∪ ( B − A) .
Exemplo:
Se A = {1,2,4,7} e B = {1,3,6,7,10 }, então A∆B = {2, 4} ∪ {3, 6, 10} = {2, 3, 4, 6, 10} .
1.8.7 Conjunto complementar em relação a U
U U U
A A B A B
B B
, , ,
A (A ∪ B) (A ∩ B)
1.8.8 Algumas propriedades
União 1 A∪A = A
União 2
União 3 A∪B = B∪A
União 4 A∪U = U
Interseção 1 A∩A = A
Interseção 2
Interseção 3 A∩B = B∩A
Interseção 4 A∩U = A
Diferença 1
Diferença 2
Diferença 3 A − B ≠ B − A , em geral
Diferença 4 U − A = A'
6
15. 1 Conjunto
Complementar 1 ( A') ' = A
Complementar 2
Complementar 3
Complementar 4 ( A ∪ B) ' = A' ∩ B'
Complementar 5 ( A ∩ B) ' = A' ∪ B'
1.9 Exercícios resolvidos
1) Dados os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {2,4,5} , pede-se para escrever
simbolicamente as sentenças a seguir, classificando-as em verdadeiras
(V) ou falsas (F):
a) 2 é elemento de A.
b) 4 pertence a B.
c) B é parte de A.
d) 1 não é elemento de B.
e) A é igual a B.
Solução:
a) 2 ∈ A. É verdadeira.
b) 4 ∈ B . É verdadeira.
c) B ⊂ A. É falsa, pois 5 ∈ B , mas 5 ∉ A .
d) 1 ∉B . É verdadeira.
e) A = B. É falsa (pode-se usar o mesmo elemento 5 para verificar a fal-
sidade).
2) Classifique em verdadeiras (V) ou falsas (F) as sentenças a seguir:
a) {1} ∈{1} e) i)
b) {1} ⊂ {1} f) {1} ⊂ {{1} , {2}} j) {{1}} ⊂ {1,2, {1}}
c) 1 ∈{1} g) {1} ⊂ {1, {1}} k)
d) {1} ∈{{1} , {2}} h) l)
7
16. Pré-cálculo
Solução:
a) F e) V i) V
b) V f) F j) V
c) V g) V k) V
d) V h) F l) V
3) Sendo A = {a,b,c,d} , determine P(A).
Solução:
Como A tem quatro elementos, P(A) tem 2 = 16 elementos.
4
Daí,
{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} , { b,c,d} , {a,b,c,d}} .
4) Dados os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {3, 6, 9, 12, 15} e C = {0, 5, 10, 15, 20},
determine:
a) A ∩ B h) A ∪ B ∪ C
b) A ∪ B i) A ∩ ( B ∪ C)
c) A ∩ C j) ( A ∩ B) ∪ (B − A)
d) C − A k) ( A − B) ∩ ( C − A)
e) B ∪ C l) ( A ∩ B) ∩ (B ∪ C)
f) B − C m) ( A − B) ∩ ( B ∪ C)
g) A ∩ B ∩ C n) ( B − C) ∪ ( A − C) ∪ ( B − A)
Solução:
a) A ∩ B = {6,12}
b)
c) A ∩ C = {10}
d) C − A = {0,5,15,20}
e) B ∪ C = {0,3,5,6,9, 10,12,15,20}
f) B − C = {3,6,9,12}
g)
8