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  1. 1. 8e Conférence Internationale de MOdélisation et SIMulation - MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie « Evaluation et optimisation des systèmes innovants de production de biens et de services » PROPOSITION D’UNE PROCEDURE DE DETERMINATION DE TEMPS UNITAIRE DE PIECES DECOUPEES Hind EL HAOUZI1+2, Philippe THOMAS1, André THOMAS1 (1) Centre de Recherche en Automatique de Nancy (CRAN-UMR 7039), Nancy-Université, CNRS ENSTIB 27 rue du merle blanc, B.P. 1041 88051 Epinal cedex 9 France (2) Trane company, route de Champagne, 88130 Charmes hind.elhaouzi@cran.uhp-nancy.fr. RESUME : L’entreprise TRANE est un groupe industriel qui fabrique des appareils de réfrigération. Dans ses processus de production elle utilise une cellule de découpe de pièces en tôle qu’elle doit gérer au mieux pour deux raisons : c’est un goulot d’étranglement et le rendement matière est, compte tenu du coût du métal, un objectif prioritaire. Les enjeux sont tels qu’il est donc devenu crucial de trouver le meilleur compromis entre performance (délai) et taux de chutes. Pour ce faire, il est impératif de connaitre les temps unitaires de chaque pièce car ceux-ci sont des paramètres des modèles de calcul des boucles kanban utilisées pour gérer les flux. Nous présenterons ici une méthode de programmation linéaire et une méthode s’appuyant sur de l’analyse statistique de données utilisées pour calculer les temps par pièce et dégager les paramètres du processus qui peuvent influencer d'une manière significative le temps estimé. Ces méthodes sont étendues par l’adjonction d’une méthode récursive afin d’affiner les résultats en prenant en compte toutes les nouvelles données disponibles. Forte de ces informations, l’entreprise pourra en perspective installer un nouveau système de pilotage de flux qui consiste à instrumenter des étiquettes kanban via des puces RFID pour une optimisation dynamique (en ligne) du temps, du taux de chutes et des flux. MOTS-CLES : outils statistiques, PL, bin packing, récursivité, approches adaptatives produits constatée entre temps. La première étape de ce 1 INTRODUCTION projet consiste donc à connaître les temps de passage de chacune des pièces sur les machines pour pouvoir recal- Dans le cadre de sa démarche d’amélioration continue, culer les paramètres des boucles kanban. Or, les pièces l’entreprise TRANE a pour but d’intégrer ses processus ne sont pas poinçonnées seules mais imbriquées 1 en- métier de bout en bout (automatisation de procédés ma- sembles en fonction du plan de production pour des ob- nuels, rationalisation de processus et amélioration des jectifs évidents de rendement matière. Cette opération délais de commande), pour ainsi trouver des moyens d’imbrication repose sur des algorithmes différents, se- d'automatiser la réponse aux différentes opportunités de lon les technologies machines, pour optimiser en particu- marché (inventaire en temps réel et prévisionnel, produc- lier les taux de chutes et le temps de découpe. Nous al- tion juste à temps). lons voir dans la suite de l’article l’impact de cette opé- ration sur la détermination des temps unitaires. Dans ce contexte, le projet de centralisation sur le site de Golbey de l’ensemble des moyens de production tôlerie Les temps de passage sur les machines sont enregistrés (cellule de production) des deux usines françaises a été pour des tôles complètes. La difficulté est donc initié, soit environ 25 poinçonneuses-grignoteuses et d’extrapoler les temps des pièces à partir des temps des presses-plieuses. L’objectif de l’opération a été tôles en créant et en mettant au point l’algorithme adé- d’optimiser les flux par épaisseur pour mieux équilibrer quat pour traiter le système de données. Notons que les charges, rationaliser les en-cours en travaillant à la l’entreprise possède une base de données (BdD) portant commande et non par lots figés. Cette cellule de produc- sur 5 années d’exploitation et donc suffisante pour ima- tion devant alimenter les deux usines de Charmes et giner en extraire des données crédibles. Golbey, une gestion des approvisionnements a été mise en place en s’appuyant sur le système kanban. Un pre- L’objectif de ce papier est donc de montrer quelles mé- mier bilan a mis en évidence que des améliorations de ce thodes ont été mises en place pour déterminer ces temps système devaient être envisagées, en particulier en instal- lant un mode de gestion par kanbans dynamiques, le sys- 1 L’imbrication consiste à trouver le rangement le plus tème initial montrant des limites du fait de la réduction économique possible pour un ensemble de pièces sur la des temps de cycle de fabrication et de la variété des feuille de tôle.
  2. 2. MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie automatiquement. La mise en place d’une procédure que sont les calculs des temps par pièce sur les machines récursive d’adaptation des temps estimés a été néces- traditionnelles et sur la machine SALVA. Pour dégager saire. Pour ce faire, l’historique des données disponible a les facteurs influents sur ces temps unitaires (comprendre permis de mettre en place une première estimation. Ces la relation entre le temps de la tôle et les temps des temps estimés ont été utilisés pour produire de nouvelles pièces unitaires), il nous a paru nécessaire d’étudier pièces et donc ont permis de récolter de nouvelles don- l’opération de l’imbrication pour les deux types de nées, L’exploitation de ces nouvelles données a ensuite machines : machines traditionnelles et machine SALVA. permis d’affiner les résultats obtenus et même, d’adapter les temps estimés à une éventuelle dérive du processus Ligne d’assemblage A Ligne d’assemblage B pouvant être due à des évolutions, à l’usure… Ces temps, une fois connus, seront implémentés dans un Poinçonneuse 1 Poinçonneuse 3 Poinçonneuse 5 Peinture système de simulation à événements discrets qui permet- Poinçonneuse 2 Poinçonneuse 4 Poinçonneuse 6 tra d’évaluer des solutions de dimensionnement des bou- Ligne Panneauteuse 1 P cles kanban pré-déterminées par calculs (Tardif et Maa- d’assemblage C Panneauteuse 2 A N seidvaag, 2001). SALVAGNINI . N E . A Poinçonneuse S4 . U Tôle . T La suite du texte est organisée comme suit : une descrip- (flan) E A Ligne U tion détaillée du processus et de la cellule concernée Panneauteuse P4 d’assemblage D Panneauteuse 14 S E nécessaire à la compréhension du problème. Dans une Panneauteuse 15 S troisième partie, l’opération d’imbrication sera détaillée Ligne Ligne d’assemblage E puis suivra une description de l’approche proposée pour d’assemblage F les machines classiques de découpe. Dans la partie sui- Figure 1 : La cellule Front-END vante une méthode spécifique à la machine SALVA (in- cluant une optimisation spécifique de débit pour le ren- dement matière) sera présentée. Nous conclurons en dé- crivant les apports pour les perspectives de notre projet avant de conclure. Figure 2 : Processus concerné par l’imbrication et le 2 DESCRIPTION DES PROCESSUS découpage/poinçonnage des pièces. CONCERNES : 3 L’OPERATION DE L’IMBRICATION ET SON Comme nous l’avons introduit précédemment, la cellule IMPACT SUR LE TEMPS de découpe doit : – alimenter les lignes d’assemblage de Charmes et de Dans la littérature, nous retrouvons cette notion Golbey en tôlerie (soit environ 6 lignes d’imbrication sous le nom du Bin Packing. En effet, le d’assemblage), Bin Packing consiste, comme son nom l’indique, à – fabriquer 5000 à 6000 pièces / jour pour 3000 types ranger m articles dans n boites de manière à minimiser le différents, nombre de boites utilisées. Le problème classique se définit en une dimension, mais il existe de nombreuses – assurer une génération de programme dynamique variantes en deux ou trois dimensions. En pratique, les selon les charges machines et le taux de chute (plu- utilisateurs sont souvent contraints par le matériel de sieurs gammes), découpe disponible, i.e. la façon de procéder pour la – gérer plusieurs formats et épaisseurs des tôles. réalisation d'un plan de découpe est différente. Les contraintes les plus souvent rencontrées sont (T. Saadi, La figure 1 décrit cette cellule nommée « Front End ». A 2008) : partir des besoins exprimés dynamiquement par le – la contrainte guillotine : l’outil de coupe doit aller kanban et le calcul de besoins nets, l’imbrication est d’un bord à l’autre du rectangle ou de la bande à réalisée avec un objectif de maximisation de rendement découper. Ce type de découpe est aussi appelé dé- matière. La tôle sera alors découpée en pièces, coupe de bout à bout. On parle aussi du niveau de poinçonnées, puis pliées (Figure 2) sur une seule guillotine. Il s’agit d’une constante K qui limite le machine complexe « SALVA » ou sur des machines nombre de changements de la découpe, traditionnelles (ALMA) en fonction des capacités – la contrainte d’orthogonalité : La découpe prend en disponibles de celles-ci. considération l'orientation des pièces. Les temps unitaires réels par pièces sont donc résultants de la fabrication effective des pièces sur les machines. 3.1 Le cas de SALVA : Nous verrons ultérieurement que le système déjà en place n’est capable de fournir que le temps par tôle. La machine SALVA est une ligne flexible de poinçon- Cette description met en évidence les points sensibles nage-cisaillage-panneautage qui supporte 66 outils
  3. 3. MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie (poinçons) différents : la découpe se fait essentiellement Extractions de toutes les pièces par tôle : par 2 cisailles. Cette machine comporte également un – extraire toutes les tôles lancées en production de magasin de 12 formats de tôle. L’analyse réalisée sur le ORACLE et CINCOM (respectivement les ERP de logiciel a permis de formaliser le type de découpe utilisé. Charmes et de Golbey), Il s’agit de Two-dimensional Rectangular Multiple Stock – relever les caractéristiques géométriques de cha- Size Cutting Stock Problem (Cintra, et al., 2007), avec la cune d’elles (longueur, largeur, nombre de plis, contrainte guillotine (figure 3), un niveau de guillotine nombre de rotations, etc…). non limité et la contrainte d’orthogonalité. Décomposer chaque tâche réalisée sur chaque ma- chine : – définir la cartographie du process – trouver les tâches qui sont affectées à chaque tôle ou chaque chariot. Exemple (Tirer chariot de l'IPK (stock d’en-cours géré par kanban), appel du pro- gramme, charger tôle sur machine, …), Figure 3 : Exemple d’imbrication réalisée pour la – trouver les tâches qui ne sont réalisées que quelques machine SALVA fois par jour. Exemple (Changement d'outils, chan- gement de paquet de tôles, trier le dossier, …), Partant de ce résultat, plusieurs facteurs peuvent influer sur les temps unitaires. Naturellement la géométrie de la – préparer des feuilles de saisie. pièce, l’orientation de la pièce (dépendante de la solution proposée par le logiciel), format de la tôle, les pièces Calcul des temps : « voisines », le temps pour dégager la pièce (temps de – mesurer la capabilité (Minitab), chute)… Ceci rend une analyse statistique pour la – chronométrer les tâches, détermination du temps très difficile (voire infaisable). – procéder à l’analyse des données (Minitab), 3.2 Le cas ALMA : – calculer les temps. Pour cette machine, le logiciel propose une solution avec L’étape de calcul des temps sera différente pour les ma- une découpe non-guillotine (voir la figure 4) et sans la chines traditionnelles et la machine SALVA. contrainte d’orthogonalité. En plus le déchargement manuel des tôles découpées vers le processus aval (poste 4 METHODE DE CALCUL DE TEMPS SUR de pliage) impose de garder une certaine distance entre UNE MACHINE TRADITIONNELLE : les pièces à découper pour l’opération de « dégrapage ». La machine pouvant donner les temps par tôle, la pre- mière étape a été de vérifier si les temps observés réel- lement correspondaient bien aux temps par tôle que le logiciel calculait. Pour cela des chronométrages ont été réalisés. Puis pour faire l’analyse comparative des don- nées issues de l’échantillon de temps observés, un test de normalité a permis de confirmer l’hypothèse nulle « les données observées suivent bien une loi normale » de dispersion compatible (voir Figure 5). Figure 4 : Exemple d’imbrication réalisée pour une des machines traditionnelles. Probability Plot of Temps ALMA; Temps Réel Normal - 95% CI 99 Au vu de cette première analyse, il nous a semblé que les Variable Temps A LMA facteurs influents sont essentiellement liés à la géométrie 95 90 Temps Réel Mean StDev N AD P de la pièce (chaque pièce a ses propres chutes et est donc 80 6.831 1.161 50 0.493 0.208 6.899 1.140 50 0.418 0.317 indépendante des autres) et donc une approche statistique 70 Percent 60 50 s’appuyant sur la mesure des découpes à réaliser, pourra 40 30 être envisageable. 20 10 5 3.3 Approche générique de calcul 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Data Quelque soit la machine utilisée, le processus de déter- mination des temps commence par les mêmes étapes : Figure 5 : test de normalité
  4. 4. MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie Un test de correspondance des valeurs deux à deux (Fi- gure 6) a été réalisé pour confirmer la pertinence de la distribution : Figure 6 : test de correspondance Pour ce test T, la moyenne des temps théoriques ALMA est de 6,831 min quand celle des temps réellement mesu- rés est de 6,899 min. Le test T nous donne une valeur de P = 0,036 (inférieur donc a 0,05), on rejette donc l’hypothèse nulle H0 : « Les valeurs Alma et celles mesurées sont différentes ». Les temps Alma sont donc acceptables à 95%, ces données ont alors été utilisées pour calculer les temps machine. En supposant que le modèle soit linéaire on a utilisé une régression simple pour formuler un premier modèle (Voir encadré ci-dessous). Cette régression nous donne un modèle caractérisé par un R² = 82,1%, ce qui est cor- Figure 7 : Analyse de surface de réponse rect dans le sens où un R² > 80% est généralement ac- ceptable. Pour autant dans l’entreprise et sur les autres Erreur model machines, les modèles sont caractérisés par un R² > 90%. LSL Tar get USL P rocess D ata W ithin LSL -0.15 O v erall T arget 0 U SL 0.15 Le modèle linéaire obtenu est donc le suivant : S am ple M ean -0.00274423 S am ple N 1195 S tDev (Wit hin) 0.0981485 Temps = 5,09 + 0,000033 Longueur + 0,000068 Largeur + 0,00665 S tDev (O verall) 0.0970922 Chanfreins + 0,0111 Encoches + 0,0149 Deformations + 0,000005 Evid. rect. + 0,000013 Evid. circ. + 0,00479 Trous + 0,0216 Formes simples + 0,000637 Evid. pré-def. -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 Avec: S = 0,944161 R-Sq = 82,1% R-Sq(adj) = 81,9% O bserv ed Performance E xp. Within P erformance E xp. O v erall P erf orm ance P P M < LS L 59414.23 P P M < LS L 66763.57 P P M < LS L 64676.47 P P M > US L 58577.41 P P M > US L 59823.50 PPM > U SL 57837.80 P P M Total 117991.63 P P M T otal 126587.07 P P M T otal 122514.26 Malgré la cohérence de ces résultats, on a cherché à ob- tenir un modèle plus précis sans pour autant ajouter des Figure 8 : test de validation des données calculées facteurs. Ce graphique montre la répartition des erreurs (ratio temps calculé/ temps réel, exprimé en pourcentage) sur Ces résultats ont été raffinés par une régression de type une semaine de production. Cette répartition est normale, surface de réponse (voir figure 7), puis par l’usage d’un la moyenne est de -0,27%. On peut voir également que le modèle « Full quadratic » qui utilise tous les facteurs ² et modèle admet 117 991 défauts par million toutes les interactions. Il a suffi alors de supprimer de d’opportunités. Concrètement, cela signifie que le pour- l’analyse, les termes dont la valeur de P est supérieure à centage d’erreur à la pièce est compris entre -15% et 0,05 et de relancer l’analyse. En répétant cette opération 15% dans 88,3% des cas, ce qui est très largement accep- une ou deux fois, le modèle a été purgé des facteurs non table pour l’usage escompté. influents. 5 METHODE DE CALCUL DE TEMPS SUR LA Pour contrôler la prédictibilité du modèle, nous avons MACHINE SALVA : éprouvé le système de calcul sur une semaine complète de production (figure 8). Sur cette machine, trois opérations sont possibles. Dans un premier temps, la tôle subit une opération de poin- çonnage (la plaque est percée aux endroits prévus), puis
  5. 5. MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie elle est découpée en plusieurs pièces (opération de dé- où Tj représente le temps de découpe de la tôle ou de coupe). Une opération de pliage est ensuite appliquée sur l’imbrication j (parmi les m imbrications archivées dans chacune des pièces. Plusieurs pièces peuvent donc être la BdD), tij représente le temps de découpe de la pièce i fabriquées à partir d’une seule tôle. Comme nous l’avons de la tôle j quand aij représente la quantité de pièces i dit précédemment un logiciel propre à la machine traite présentes dans la tôle j. les données d’ORACLE et de CINCOM (les deux ERP) relatives aux relances Kanban (OF) afin d’optimiser la Extraire les temps de découpe position des pièces sur la tôle et ainsi de réduire au des tôles et les données d’imbrication de la BdD mieux les chutes. Exprimer pour chaque tôle l’équation linéaire (1) Figure 9 : Le fichier d’extraction des temps de Résoudre les équations à 1 production issus de la machine seule inconnue directement résolvables (2) Le logiciel permet aussi d’obtenir les temps de chaque opération sur la machine. Ce sont des temps globaux, dans le sens où ce sont des temps par tôle et non par Déterminer les moyennes des temps des pièces obtenus (3) pièce. Ces données sont consignées dans des fichiers texte, listant l’ensemble des opérations pour une période, avec pour chaque opération, la liste des pièces fabriquées Simplifier les équations non (voir la figure 9). Plusieurs années de production sont résolues en exploitant les temps ainsi archivées et exploitables pour extraire de la con- de pièces précédemment trouvés (4) naissance de ces données. Dans ce cadre, une première approche intuitive pourrait oui Existe-t-il des être d’essayer d’exploiter des stratégies d’extraction de équations à 1 connaissance basées sur l’intelligence artificielle telles inconnue ? que réseaux de neurones, réseaux Bayésiens, logique non floue… Cependant, du fait du grand nombre de pièces traitées et de leur diversité, de la grande variabilité rela- Fin tive aux types de données disponibles pour chaque pièce Figure 10 : Algorithme de détermination des temps (figure 13), et de la grande dispersion statistique de ces données due majoritairement à la réalisation de Dans cette équation,(1) les Tj et aij sont connus et nous l’imbrication, ces approches ne semblent pas les plus cherchons à déterminer les tij inconnus. Nous obtenons pertinentes. donc un système à m équations (m tôles) et n inconnues (n types de pièces). Nous pouvons tirer de la figure 9 un 5.1 Détermination hors ligne des temps exemple de ces équations : Nous allons maintenant exploiter les informations dispo- 1 * 12700026001_a05.S4+6 * 12700030001_a04.S4+ nibles dans la base de données (BdD). Cette BdD con- 6 * 12700031001_a05.S4 = 6 minutes 55 secondes tient toutes les informations relatives à la découpe d’une tôle, c'est-à-dire, le temps mis pour découper la tôle con- sidérée mais aussi, le type et le nombre de pièces placées Une fois tout ce système d’équations écrit, nous recher- dans la tôle lors de la phase d’imbrication. De ces don- chons toutes les équations directement résolvables, c'est- nées, nous souhaitons extraire les temps de découpe de à-dire toutes les équations à une seule inconnue tij, ce qui chaque type de pièce. Pour cela, nous avons mis en place revient à dire toutes les tôles ne comprenant qu’un seul l’algorithme décrit par la figure 10. type de pièce : Tj tij = (2) Pour débuter, nous allons commencer par extraire toutes aij les informations relatives à la découpe des tôles présen- Pour une même pièce i, nous avons utilisé l équations tes dans la BdD que nous allons modéliser sous forme correspondant à l tôles incluant uniquement des pièces i. d’équations linéaires : De ce fait, nous pouvons déterminer un temps moyen n pour la pièce i : ∑ a .t i =1 ij ij = Tj avec j = 1,L , m (1)
  6. 6. MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie l Le modèle ne permet pas de trouver le temps pour toutes ∑t j =1 ij les pièces pour plusieurs raisons : ti = (3) 1. pour n inconnues nous avons en entrée m équations l avec m # n, Nous pouvons maintenant utiliser les k temps ti connus 2. le temps consacré à la chute pour dégager les pièces pour simplifier les équations non résolues dont les tôles n’est pas pris en compte, associées comprennent des pièces dont le temps moyen 3. la propagation des erreurs n’est pas bien maitrisée, est connu : 4. les pièces révisées ou légèrement modifiées sont considérées comme différentes. n −k k ∑ aij .tij + ∑ ahj .ti = T j i =1 h =1 avec j = 1,L , m ' (4) L’analyse de ces résultats sur minitab est schématisée dans la figure 11. Nous constatons que les temps ne sui- vent pas une loi normale (P<0,005) et que la moyenne où m’ est le nombre d’équations non encore résolues et k est de 86 secondes (l’expert avait estimé celle-ci à 60s) le nombre de temps moyen déjà trouvés. Parmi les m’ avec un écart type grand. équations restantes certaines ne comprennent plus qu’une seule inconnue. Nous pouvons alors les résoudre, Il est donc possible d’améliorer cette détermination des trouver d’autres temps moyen ti qui simplifient d’autres temps en prenant en compte les points 1 à 4 précédem- équations (4) et en bouclant ainsi sur ces différentes éta- ment cités. pes jusqu’à ce qu’il n’existe plus d’équations résolva- bles. Nous aurons ainsi estimé tous les temps détermina- 5.2 Amélioration du modèle bles. La source la plus importante d’erreur dans l’approche de L’outil de calcul développé a été utilisé pour un jeu de détermination des temps précédemment décrite est due à données d’une année composé de 12 fichiers mensuels et la non prise en compte des temps de chute. En effet, la représentant plus de 22000 imbrications comportant près chute, qui peut représenter une proportion importante de de 3000 pièces. Sur la base de ce jeu de données, l’outil la tôle à découper, doit être éliminée par grignotage a permis de déterminer le temps d’environ 76% des piè- (opération d’usinage par coupe alternative de la tôle), ce ces produites par la machine. qui ne peut pas se faire instantanément. nombre de la pièce 5715 4599 temps par tôle scrap*surfacetôle Histogram of tem par piece ps 1 126 4,469162957 Normal 2 139 4,290297793 Mean 86,06 3 146 4,111432629 1400 StDev 249,1 4 158 3,932567465 N 2088 1200 5 162 3,753702301 6 173 3,574837137 1000 7 183 3,395971973 8 190 3,217106809 Frequency 800 9 205 3,042289842 10 223 2,861982217 600 11 226 2,678045174 400 12 234 2,519932836 13 244 2,335995793 200 Tableau 1 : Extrait du tableau de 24 imbrications d’une même pièce 0 -2400 -1600 -800 0 800 1600 2400 3200 tem par piece ps Afin d’estimer le temps de chute moyen en seconde par m2, nous avons réalisé des tests d’imbrication sur 3 types Probability Plot of temps par piece Normal de pièces parmi les plus représentatives en positionnant 99,99 Mean 86,06 de 1 à 24 fois la même pièce dans une tôle, le reste de la StDev N 249,1 2088 tôle constituant la chute. En exemple, le tableau 1 pré- 99 AD P-Value 313,045 <0,005 sente les 24 imbrications réalisées en plaçant pour cha- 95 que tôle de 1 à 24 fois la pièce n° 5 715 4599. En suppo- 80 sant que le modèle soit linéaire, comme sur les machines Percent 50 traditionnelles, on a utilisé une régression simple pour 20 formuler un premier modèle : 5 1 ttotal = 243 + 5, 2.n pièce − 28.schute   (5)  S = 3,94664 R − Sq = 00, 7% R − Sq (adj ) = 99, 7 0,01 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000  temps par piece Figure 11 : Analyse des résultats du modèle de calcul de la machine Salva
  7. 7. MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie où n pièce représente le nombre de pièces identiques (Tmax ≥ Tmoy + β .Tmoy ) présentent dans la tôle et schute représente la surface de la   si et alors rejet (9)  (Tmin ≤ Tmoy − β .Tmoy ) chute dans la tôle. Cette régression nous donne un modèle caractérisé par  un coefficient de corrélation R² = 99,7%, ce qui est très bon. où Tmax = max(Tj) ; Tmin=min(Tj) et Tmoy = moyenne(Tj) avec j = 1…h, et h est le nombre de tôles réalisant la Cependant, partant du constat que le temps total de la même imbrication. β est un pourcentage choisi par ex- tôle est constitué uniquement du temps de chute addi- pertise (ici 15%). Si une décision de rejet est prise, toutes tionné du temps consacré à la fabrication des pièces, les équations associées à l’imbrication considérée sont nous avons décidé de modifier le modèle en utilisant une rejetées. régression passant par l’origine. Ceci permet de partager le bruit entre les chutes et les pièces. Ce type d’approche Une étape préliminaire à la mise en place de l’algorithme est utilisé dans de nombreux problèmes pratiques, lors- de la figure 10 va donc être de supprimer toutes les équa- que l’on étudie la relation qui peut exister entre 2 quanti- tions rejetées du système d’équations. Une fois ce travail tés Y et X, et que nous savons que si X = 0 alors Y = 0 fait, l’algorithme se déroule de manière identique en elle est aussi utilisé pour les systèmes d’étalonnage. remplaçant l’équation (1) par (8) ce qui conduit à rem- placer (2) par : Cette approche a conduit à la construction de 3 modèles T j − ( scrap j .S j ) .tc en fonction des 3 types de pièces considérées : tij = (10) ttotal1 = 14,5.n pièce1 + 24, 7.schute aij   ttotal2 = 27,3.n pièce2 + 25, 7.schute (6)  La détermination des temps moyens ti se fait toujours ttotal3 = 34,9.n pièce3 + 26,8.schute  par . Il est possible de déterminer également l’écart type du temps de découpe de la pièce i : où n piècei est le nombre de pièces de type i placées dans 2 ∑( ) l la tôle, et schute est la surface de la chute dans la tôle. tij − ti j =1 Nous considérons ces modèles (6) comme acceptable σi = (11) l étant donné que les coefficients de corrélation obtenus sont du même ordre de grandeur que ceux obtenus pour De manière à éviter la prise en compte de valeurs aber- (5). Ceci nous permet de déterminer un temps moyen par rantes, il est possible de tester l’appartenance de toute m2 de chute : donnée tij à l’intervalle [ −3σ ; +3σ ] et d’écarter cette tc = 25sec/ m 2 (7) donnée pour le calcul de ti si tij n’appartient pas à l’intervalle. La prise en compte de ce temps de chute permet de rem- placer l’équation (1) par Pour l’étape suivante de l’algorithme, il est nécessaire de remplacer l’équation (4) par : ∑ a .t + ( scrap .S ) .t n ij ij j j c = Tj avec j = 1,L , m (8) i =1 n −k .ti = T j − ( scrap j .S j ) .tc k ∑ a .t + ∑ a i =1 ij ij h =1 hj (12) où scrapj représente le pourcentage de perte dans la tôle (chute) quand Sj représente la surface de la tôle. avec j=1, … m’ et où m’ est toujours le nombre La deuxième source d’erreur importante est la grande d’équations non encore résolues, k est le nombre de dispersion du temps de découpe des tôles pour des im- temps moyen déjà trouvés. Tout le reste de l’algorithme brications identiques. En effet, un certain nombre reste identique. d’incidents peuvent intervenir sur la machine rendant certains temps de tôle aberrants. La difficulté est que les Avec les améliorations apportées, le modèle, permet incidents à l’origine de cette dispersion ne sont pas con- maintenant, de trouver 80% des temps de pièces. Il est nus. De ce fait, il est nécessaire d’éliminer toutes les capable de détecter un certain nombre de données aber- équations, qui pour une même imbrication, conduisent à rantes selon plusieurs critères qui peuvent être définis des temps de tôle trop variable. Le rejet d’une imbrica- par l’utilisateur. tion se fait par la relation : Les graphiques de la figure 12 montrent une distribution des temps avec une répartition très représentative. Ce-
  8. 8. MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie pendant le critère (P <0,005) ne confirme toujours pas temps devant eux même servir à affiner l’estimation des l’hypothèse nulle « les données observées suivent bien temps de pièce précédemment trouvés. L’approche la une loi normale », ce qui signifie qu’il existe encore des plus simple pour réaliser cela est de compiler les nouvel- données aberrantes qui n’ont pas été détectées, et qui les données avec les anciennes et de recommencer remettent en cause la validité de tous les résultats. Ce l’ensemble de la procédure. Cependant, une telle appro- phénomène devrait s’estomper dans le temps avec le che serait rapidement vouée à l’échec du fait de volume de données (voir paragraphe suivant), ce qui l’explosion du nombre de données à traiter simultané- semble se dessiner dans la figure 13, puisque, comme ment. Pour éviter cela, il est possible de mettre en place attendu, plus nous disposons de données pour évaluer un une démarche récursive. temps de pièce particulier, plus ce dernier sera cohérent et les temps de pièce incohérents trouvés (temps de dé- De plus, un des éléments extrêmement important pour la coupe négatifs par exemple) sont toujours associés à des qualité de l’estimation des temps de découpe de pièces populations très petites. est la bonne détermination du temps de chute tc . Ainsi, toute nouvelle imbrication peut donc servir non seule- His togr a m of te mps N Nor m al ment à affiner les temps de découpe des pièces, mais 400 M ean S tD ev 65,27 58,97 aussi à affiner le temps de chute. N 2069 300 En présence des données relatives à une nouvelle imbri- cation, deux cas peuvent donc apparaitre : Frequency 200 – soit, une ou plusieurs des pièces de l’imbrication ne possèdent pas encore de temps moyen ti . Dans ce 100 cas, il est nécessaire d’appliquer la procédure dé- 0 crite au paragraphe 5.2, - 400 - 300 -200 -100 0 100 200 t e mps N – soit, toutes les pièces de l’imbrication possèdent dé- P robability P lot of temps N jà une temps moyen estimé ti . Dans ce cas, cette Norm a l imbrication peut être utilisée pour raffiner le temps 99,99 M ean S tD ev 65,27 58,97 de chute tc et les temps de découpe ti . N 2069 99 AD 29,154 P - Valu e <0,005 95 80 Percent 50 20 Exprimer l’équation linéaire 5 Pour la tôle (8) 1 Tôle suivante 0,01 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 non Est-ce que t e mpsN le ti de toutes les pièces Figure 12 : Analyse des résultats du modèle amélioré de est connu? la machine Salva oui Déterminer le temps de chute S ca tte r plot of te mps N v s nb_ V pour la tôle (13) 300 200 100 Raffiner le temps de 0 chute moyen tc (14) tempsN -100 -200 Déterminer le temps de -300 découpe de la pièce i tij (10) -400 -500 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 nb_V Raffiner le ti de la pièce i (15-16) Figure 13 : Analyse des temps par pièce selon le nombre Pièce suivante d’observations non 5.3 Récursivité tous les ti sont améliorés ? La réalisation de la détermination des temps de pièce est oui une tâche lourde, et par nature, jamais finie. En effet, ces Figure 14 : Algorithme récursif de détermination des temps sont destinés à améliorer l’exploitation de la ma- temps tc et ti chine SALVA, et donc, à réaliser de nouvelles imbrica- tions et à obtenir de nouveaux temps. Ces nouveaux
  9. 9. MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie La procédure pour améliorer de manière récursive les tc 5.4 Adaptabilité et ti est décrite par l’algorithme présenté figure 14. Les algorithmes présentés dans les paragraphes précé- dents nous permettent d’exploiter la connaissance pré- La première étape consiste à déterminer l’équation li- sente dans les BdD et d’améliorer cette connaissance au néaire de la tôle j par (8). Ensuite, si tous les ti ne sont fur et à mesure que de nouvelles données sont disponi- pas déjà estimés, il est nécessaire de le faire, et on appli- bles. Cependant, la machine SALVA, comme toutes les que l’algorithme de la figure 10 avant de passer à la tôle installations industrielles, est un système évolutif. Elle vieillit, elle s’use, elle est réparée, elle subit des modifi- suivante. Si, par contre, tous les ti sont déjà estimés, cations plus ou moins importantes… De même, les piè- alors cette imbrication peut être employée pour améliorer ces que cette machine produit peuvent évoluer. Certaine, l’estimation des temps connus. Il va alors être nécessaire peuvent disparaître de la production, d’autres être nou- de déterminer le temps de chute tc de la tôle j : vellement conçue, d’autre enfin présenter des plans légè- rement modifiés. n T j − ∑ ti Toutes ces évolutions peuvent être prises en compte lors tc j = i =1 (13) de l’évaluation récursive des temps. Cependant, quand ( scrap .S ) j j l’estimation d’un temps moyen ti est déjà basée sur 999 imbrications passées par exemple, de l’équation (15), Ce temps de chute tc j peut alors être utilisé pour amélio- nous voyons tout de suite qu’une nouvelle imbrication ne rer le temps de chute moyen tc de manière récursive : va jouer que pour 1/1000ème dans l’évolution du ti considéré ce qui rend toute adaptation à une évolution du processus illusoire. tc (k ) = tc (k − 1) + 1 ( tc − tc (k − 1) k j ) (14) Pour éviter ce phénomène, nous proposons d’introduire dans les équations (14), (15) et (16), un facteur d’oubli où k-1 est le nombre de tôles ayant permis de construire inspiré des stratégies d’apprentissages. l’estimation tc avant l’utilisation de l’imbrication consi- dérée. Ce facteur d’oubli doit avoir pour but de favoriser la partie évolution de l’équation au détriment de la partie Une fois cette étape réalisée, nous pouvons, pour chaque mémorisation de l’historique. Dans les algorithmes pièce i présente dans l’imbrication, effectuer le même d’apprentissage de type Recursive Prediction Error travail que pour le temps de chute. Il faut tout d’abord (RPE) (Chen et al., 1990), le facteur d’oubli est attaché à déterminer le temps tij par (10). On peut noter que dès cet l’adaptation de la matrice de variance-covariance de telle sorte que cette matrice ne deviennent jamais trop petite instant, on peut utiliser le nouveau tc trouvé à l’étape et qu’elle autorise toujours une évolution des paramètres. précédente. Une fois le temps tij déterminé, il ne nous L’adjonction du facteur d’oubli dans l’équation (14) est reste plus qu’à améliorer le ti moyen : obtenue en introduisant un terme multiplicatif λ(k) : ti (k ) = ti (k − 1) + 1 k ( tij − ti (k − 1) ) (15) tc (k ) = tc (k − 1) + 1 ( t − t (k − 1) λ (k ).k c j c ) (17) où k-1 est le nombre de tôles ayant permis de construire Ce terme λ(k) doit être choisi dans l’intervalle ]0;1] l’estimation ti de la pièce i considérée avant l’utilisation pour permettre un phénomène d’oubli. Quand λ(k) = 1, de l’imbrication considérée. Pour compléter la connais- nous retrouvons un système sans oubli. sance que l’on a du temps de découpe de la pièce i, nous pouvons également en déterminer le nouvel écart type Afin de ne pas avoir d’impact quand peu de données sont σi(k) : utilisées il faut donc construire un facteur d’oubli proche de 1 quand k est petit et au contraire, pour faciliter l’adaptation quand beaucoup de données ont déjà été σ i2 (k ) = σ i2 (k − 1) + k (ε (k ) − σ i2 (k − 1) ) 1 2 (16) utilisées, il est nécessaire d’avoir un facteur d’oubli qui s’éloigne de 1. Pour les algorithmes RPE, certains au- teurs préconisent l’utilisation d’une forme exponentielle avec ε (k ) = tij − ti (k − 1) qui est l’erreur de prédiction. en exploitant l’équation : α (k ) = α (0).α (k − 1) + (1 − α (0)) (18)
  10. 10. MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie Cette équation à une évolution exactement contraire à données nécessaires au réajustement temps réel des pa- l’évolution recherchée ici. De ce fait, nous proposons ramètres de production. d’utiliser comme facteur d’oubli la fonction : Cet article a donc pu montrer une étape du projet consis- tant à déterminer de manière automatique les temps par λ (k ) = 1 + α (0) − α (k ) (19) pièce sur les différentes machines d’une cellule de pro- duction. La figure 15 présente 3 exemples d’évolution de facteur d’oubli en fonction de 3 valeurs initiales de α. REMERCIEMENT : 1 α(0)=0,99 Nous remercions M. François Bertrand pour son travail 0.98 sur la partie calcul des temps pour les machines tradi- 0.96 tionnelles dans le cadre de son contrat d’apprentissage à α(0)=0,95 0.94 l’entreprise Trane. 0.92 α(0)=0,90 0.9 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 k BIBLIOGRAPHIE Figure 15 : Evolution du facteur d’oubli λ(k) pour 3 valeurs de α(0) : 0,99 ; 0,95 ; 0,90 Chen, S., S.A. Billings and P.M. Grant, 1990. Non linear system identification using neural networks. Afin d’éviter que des imbrications ne prennent trop International Journal of Control, 51(6), p. 1191- d’importance ponctuellement dans la détermination des 1214. temps moyen, l’ensemble de la procédure d’affinage récursif des temps devra être menée sur un ensemble Cintra, G.F., F.K. Miyazawa , Y. Wakabayashi and E.C. d’imbrications collectées à la suite d’une journée ou Xavier (2007). Algorithms for two dimensional cut- d’une semaine de travail et non au fil de l’eau. ting stock and strip packing problems using dynamic programming and column generation. 6 APPORTS POUR LES PERSPECTIVES DE L’ENTREPRISE ET CONCLUSION : Bayard D. (1996). Savoir organisationnel, savoir théorique et situation :le contrôle statistique sur Après comparaison entre les temps calculés et les temps échantillons Entreprises et Histoire, 13, p. 67-81. réels, l’entreprise a conclu à des résultats plutôt convain- cants. Les deux modèles montrent, dans le temps, le Bayard D. (1996). Savoir organisationnel, savoir théori- même comportement à l'égard des différents facteurs. que et situation :le contrôle statistique sur échantillons Connaissant désormais les temps opératoires par pièce Entreprises et Histoire, 13, p. 67-81. tout au long du processus de production, un modèle de EL Haouzi, H. (2008). Approche méthodologique pour simulation va pouvoir être implémenté. Celui-ci permet- l’intégration des systèmes contrôlés par le produit tra d’évaluer des solutions de dimensionnements des dans un environnement de JàT. Thèse de Doctorat, boucles kanban. En effet, dans la suite du projet, Université Henri Poincaré Nancy I, France. l’objectif est de mettre en place un système de kanban dynamique. A savoir, en fonction de la demande réelle, Grappin, R (1976) Guide pour l'évaluation des méthodes des capacités effectives de production, etc… le nombre d'analyses de routine I.N.R.A., Station Expérimentale de kanbans dans les boucles ainsi que le nombre de piè- Laitière - 39800 Poligny . ces par kanban seront calculés et évalués par simulation. Ce seront les kanbans qui, par l’usage de tags de type Klein, T., 2008. Le Kanban Actif pour Assurer RFID, porteront eux même les informations conjonctu- l’Interopérabilité Décisionnelle Centralisée / relles liées aux événements de production. Ils communi- Distribuée. Thèse de Doctorat, Université Henri queront au système central ces informations et si néces- Poincaré Nancy I, France. saire, les paramètres des boucles kanban seront redéfinis. Deux expériences dans ce domaine ont déjà été menées Nations, U, (1994). Industrial Commodity Statistics dans notre équipe de recherche (El Haouzi. H 2008) Yearbook (ISBN: 9210612094). (Klein. T, 2008). D’une manière générale, l’objectif de l’entreprise est Tardif, V. and L. Maaseidvaag, 2001. An Adaptive d’utiliser le plus possible ces technologies de Approach to Controlling Kanban Systems. European l’information sans fil et de les associer soit aux produits, Journal of Operation Research, 132, p. 411-424. soit à des éléments du système physique associés aux produits afin de mettre en permanence à disposition des décideurs (localement ou dans le système central) des

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