1. Institut für Hochfrequenztechnik
und Elektronik
Skriptum zur Vorlesung
Grundlagen der
Hochfrequenztechnik
von
Prof. Dr.-Ing. Thomas Zwick
2. Auflage 2009
Skript überarbeitet von
T. Kayser, M. Pauli, A. Lambrecht, S. Beer
Postanschrift: Institut für Hochfrequenztechnik und Elektronik Tel.: +49 (0) 721 608 25 22
Kaiserstraße 12 Sekr.: +49 (0) 721 608 2523
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Gebäude: Engesserstraße 5, Geb. 30.10 Web: www.ihe.uni-karlsruhe.de

3. Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung 7
2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen 11
2.1. Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1. Einfluss des Skineffekts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2. Einfluss der Eigeninduktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3. Einfluss der Eigenkapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.4. Vollständiges Ersatzschaltbild eines Widerstandes . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1. Kapazitätsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2. Wahl des Dielektrikums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.3. Einfluss der Eigeninduktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.4. Verluste eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.5. Vollständiges Ersatzschaltbild eines Kondensators . . . . . . . . . . . 24
2.3. Induktivitäten, Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1. Magnetische Energie in einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2. Eigenkapazität einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3. Verluste einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.4. Vollständiges Ersatzschaltbild einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3. Passive, lineare Schaltungen 31
3.1. Transformationsschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1. Wirkleistungsabgabe einer Quelle an den Verbraucher . . . . . . . . . 32
3.1.2. Serienschaltung eines Blindwiderstandes . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.3. Parallelschaltung eines Blindwiderstandes . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.4. Transformation mit zwei Blindwiderständen . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.5. Frequenzabhängigkeit der Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2. Resonanzkompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3. Breitbandkompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1. Tiefpass- und Hochpasskompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2. Bandpasskompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3

4. 4 Inhaltsverzeichnis
4. Leitungstheorie 53
4.1. Ersatzschaltbild einer TEM-Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2. Telegraphengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3. Wellenausbreitung auf Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4. Leitung mit beliebigem Abschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5. Die verlustfreie Leitung bei Anpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6. Strom- und Spannungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.7. Näherungslösung für Leitungen mit kleinen Verlusten . . . . . . . . . . . . . . 70
5. Anwendung von Leitungen bei höheren Frequenzen 75
5.1. Impedanztransformation mit Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.1. Strom- und Spannungsverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.2. Eingangswiderstand und m-Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.1.3. Eingangsleitwert einer Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2. Das Smith-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.1. Konforme Abbildung in die r-Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.2. Anwendung des Smithdiagramms zur Leitungstransformation . . . . . 88
5.2.3. Die Transformation durch Serien- oder Parallelschaltung . . . . . . . . 90
5.3. Leitungstransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3.1. Leitung mit beliebig komplexem Abschluss . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3.2. Spezielle Fälle der Transformation mit Leitungen . . . . . . . . . . . . 93
5.3.3. Die fehlangepasste Leitung mit Verlusten . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.4. Leitungen mit stehenden Wellen (Reaktanzleitungen, Blindleitungen) . . . . . 102
5.4.1. Die kurzgeschlossene Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4.2. Die offene Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.4.3. Leitung mit beliebigem Blindwiderstand als Abschluss . . . . . . . . . 108
5.5. Spezielle Leitungstypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.5.1. Koaxialleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.5.2. Mikrostreifenleitung (Microstrip) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.5.3. Hohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6. Mikrowellen Netzwerk-Analyse 125
6.1. Impedanz- und Admittanz-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2. Streuvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2.1. Leistungswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.3. Streumatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.4. Spezielle Eigenschaften von Netzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.5. ABCD-Matrix und Transmissionsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5. Inhaltsverzeichnis 5
6.6. Berechnungsmethoden für die Streumatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.6.1. Streuparameterbestimmung aus Strom-Spannungsdefinition . . . . . . 141
6.6.2. Konversion zwischen Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.6.3. Zusammenschaltung von Mehrtoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7. Mikrowellensysteme 145
7.1. Ebene Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.1.1. Poynting-Vektor und Leistungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.2. Antennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.2.1. Abgestrahlte Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.2.2. Antennengewinn und Richtwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.2.3. Richtcharakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.2.4. Halbwertsbreite und Halbwertswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.2.5. Zusammenhang zwischen Gewinn und Richtcharakteristik . . . . . . . 154
7.2.6. Antennenwirkfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.2.7. Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.3. Wellenausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.3.1. Freiraumausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.3.2. Atmosphärische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.4. Rauschen in Mikrowellensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.4.1. Elektrisches Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.4.2. Äquivalente Rauschtemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.4.3. Rauschtemperaturmessung durch die Y-Faktor-Methode . . . . . . . . 165
7.4.4. Rauschzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.4.5. Rauschzahl eines kaskadierten Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.5. Komponenten von Mikrowellensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.5.1. Nichtlineare Kennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.5.2. Verstärkung hochfrequenter Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.5.3. Schwingungserzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.5.4. Zusammenfassung der wichtigsten HF-Komponenten von Mikrowel-
lensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.6. Funkkommunikationssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.6.1. Mikrowellensender und -empfänger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.6.2. Rauschcharakterisierung eines Mikrowellenempfängers . . . . . . . . . 183
7.7. Radarsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.7.1. Radargleichung und Radarstreuquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.7.2. Pulsradar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.7.3. Dopplerradar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6. 6 Inhaltsverzeichnis
7.7.4. FMCW-Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.8. Radiometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.8.1. Grundlagen der Radiometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.8.2. Beispiel eines Radiometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.9. Erwärmen mit Mikrowelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.9.1. Grundlagen der Mikrowellenheizung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
A. Schreibweise orts- und zeitabhängiger Größen 203
A.1. Beliebige Orts- und Zeitabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
A.2. Bei harmonischer Zeitabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
B. Verzeichnis der verwendeten Abkürzungen 205
C. Leitungsdiagramme 209

7. 1. Einleitung
Der Begriff „Hochfrequenztechnik“ unterlag im Laufe der Zeit mehrfachen Änderungen. Es
zeigte sich, dass die Angabe fester Frequenzen nicht sinnvoll ist. Die Hochfrequenztechnik wird
am besten durch charakteristische Merkmale, die der theoretischen und praktischen Behandlung
zugrunde gelegt werden, gekennzeichnet.
Hierzu gehören:
• verteilte Wirk- und Blindelemente
• Berücksichtigung der Wellenlänge
• Berücksichtigung der Wellenwiderstände
• Einbeziehung parasitärer Bauelemente
• Bauelemente in der Größenordnung der Wellenlänge (oder größer)
In Bild 1.1 sind die internationalen Vereinbarungen der Definition der Frequenzbereiche dar-
gestellt. Danach umfasst der klassische Bereich der Hochfrequenztechnik (HF) die Frequenzen
Bild 1.1.: Übersicht der internationalen Frequenzdefinitionen
7

8. 8 1. Einleitung
von 3 MHz bis 30 MHz. Im deutschen Sprachraum hat sich allerdings die Verwendung des
Begriffs Hochfrequenztechnik stellvertretend für das gesamte Gebiet bis in den Bereich von
mehreren hundert Gigahertz etabliert. Dies zeigt sich z.B. an der Bezeichnung von Univer-
sitätsinstituten, Bezeichnungen von und in Firmen. Im englischen Sprachraum (insbesondere
den USA) wird der Begriff „High Frequency“ tatsächlich nur für den Frequenzbereich von
3 MHz bis 30 MHz benutzt. Für das gesamte Gebiet der Hochfrequenztechnik nutzt man dort
die Begriffe „Radio Frequency Techniques“ oder „Microwave Engineering“ . Wie aus Bild 1.1
ersichtlich ist, werden für bestimmte Frequenzbänder Buchstaben verwendet, die aber je nach
Anwendung und normierender Stelle unterschiedlich sind.
Die Hochfrequenztechnik (HF) ist eine wesentliche Grundlage für alle Funksysteme wie Rund-
funk, Mobilfunk, Satellitenfunk usw. sowie jegliche Sensorik basierend auf elektromagneti-
schen Wellen (z.B. Radar). Neuerdings werden allerdings auch bei der Entwicklung extrem
schneller Digitalschaltungen (z.B. Prozessoren mit Taktraten über 1 GHz) HF-Experten gesucht
(z.B. bei AMD und Intel).
Im Automobilbereich ist vor allem die rasante Entwicklung radarbasierter Fahrerassistenzsyste-
me ein Technologietreiber. Mittlerweile sind erste Produkte auf dem Markt erfolgreich, so dass
in den nächsten Jahren ein immenses Wachstum in diesem Bereich erwartet wird. Hierbei wer-
den Frequenzen verwendet, bei denen die Wellenlänge des Radars im Millimeterwellenbereich
(ca. 30 − 300 GHz) liegt. Dies hat den Vorteil, dass das Radarsystem als ultrakompakte Bau-
gruppe realisiert werden kann. Zukünftige Millimeterwellensysteme für Nachbereichs-Radar
und Kommunikation werden sehr wahrscheinlich komplette System-on-Chip Lösungen sein,
mit bereits auf dem Chip realisierter Antenne und Hochfrequenzarchitektur. Namhafte Unter-
nehmen wie Bosch, Continental, Valeo, TRW, Delphi usw. haben als Automobilzulieferer ein
ausgeprägtes Interesse an diesem Thema.
Ein weiterer sehr kapitalintensiver Bereich, in welchem ständig anspruchvolle Lösungen für
Hochfrequenzsysteme zu entwickeln sind, ist die Satellitentechnik. Die Satelliten werden hier-
bei entweder für Kommunikationssysteme oder zur Fernerkundung der Erdoberfläche oder aber
des Weltalls benötigt. Die wichtigsten Komponenten der Satelliten sind hierbei die Leistungs-
endstufen und die Antennen, welche die meist bei mehreren Gigahertz liegenden Signale ab-
strahlen. Extreme Anforderungen an die Funktionalität solcher Antennensysteme können nur
basierend auf einer genauen Kenntnis theoretischer Zusammenhänge erfüllt werden.
Obwohl in letzter Zeit durch negative Schlagzeilen belastet, ist auch die mobile Funkkommu-
nikation (Handy, Laptop, Car-Entertainment) nach wie vor ein wichtiges Feld der Hochfre-
quenztechnik. Hier wird die technologische Entwicklung hauptsächlich durch einen enormen
Kostendruck voran getrieben, welcher auf den Herstellern der Mobilkommunikationsendgeräte
(Basisstationen, Handys, etc.) liegt. So müssen beispielsweise zu einer effizienteren Ausnutzung
der vorhanden Frequenzspektren alte Techniken erweitert und neue Methoden entwickelt wer-

9. 9
den. Für moderne Kommunikationsendgeräte werden immer mehr Standards definiert (WLAN,
WiMax, UMTS, GSM, Bluetooth, GPS etc.), welche möglichst alle von einem kleinen Gerät be-
herrscht werden sollen. Hierzu bedarf es nicht nur der Miniaturisierung der Antennen, sondern
auch fortschrittlicher Signalverarbeitung, welche z.B. auf den Eigenschaften mehrerer verteilter
Antennen beruht, sog. „Intelligente Antennen“. Ein aktuelles Forschungsgebiet ist ein weiterer
Kommunikationsstandard für ultrakurze Abstände (<7 m), welcher auf der Abstrahlung ultrab-
reitbandiger Impulse im Frequenzbereich von 3,1 − 10,6 GHz (Ultra-Wide-Band) basiert. Dies
soll die Verbindung unterschiedlicher technischer Geräte mit sehr hohen Datenraten und einer
hohen Störsicherheit gewährleisten.
Das Thema Störsicherheit hat unter der Überschrift EMV (Elektromagnetische Verträglichkeit)
einen eigenen Stellenwert in der Hochfrequenztechnik. Nicht nur die Tatsache, dass alle mög-
lichen Geräte zur Kommunikation „strahlen“, sondern auch Schaltnetzteile etc., erfordert einen
hohen Aufwand zur Abschirmung von elektronischen Baugruppen, um eine Einkopplung der
hochfrequenten Störungen zu vermeiden.
Viele weitere Themengebiete können genannt werden. So z.B. die Hochleistungsmikrowelle
zur Prozessierung von Materialien, oder aber die Erzeugung hoher Leistungen bei Frequen-
zen über 100 GHz für die Kernfusion, welche alle ein tiefes Verständnis der Wechselwirkung
hochfrequenter Felder erfordern. Auch in der Medizintechnik spielen hochfrequenztechnische
Fragestellungen eine immer stärkere Rolle, sei es die echtzeitfähige Videoübertragung von Ope-
rationen, die Verbesserung der Magnetresonanztomographie oder bildgebende Verfahren mit
Terahertzstrahlung.
Die theoretischen Grundlagen, die in den folgenden Abschnitten abgeleitet werden, sind in den
Bereichen
• Hochfrequenztechnik
• Mikrowellentechnik und
• Millimeterwellentechnik
sinngemäß anwendbar, so dass von diesen Grundlagen her keine Einschränkungen bestehen.
Das Skriptum basiert in manchen Teilen auf den Werken [25] und [22], die auch zur zusätzlichen
Lektüre empfohlen werden.
Im Anhang ist eine Übersicht zur Schreibweise der zeitabhängigen Größen sowie zu den in
diesem Skript verwendeten Begriffen, Einheiten und Definitionen zusammengestellt.

11. 2. Passive, lineare Bauelemente bei
höheren Frequenzen
Die wichtigsten passiven, linearen Bauelemente der Schaltungen sind Widerstände, Konden-
satoren, Spulen und Übertrager. Ein Bauelement wird als passiv bezeichnet, wenn es keine
Spannungs- oder Stromquellen enthält. Es wird als linear bezeichnet, wenn die komplexe Am-
plitude der Spannung und die komplexe Amplitude des Stromes stets proportional sind, also der
Quotient aus beiden eine amplitudenunabhängige Impedanz Z ist.
2.1. Widerstände
Ein Widerstand, im engeren Sinne auch ohmscher Widerstand genannt, ist eine Anordnung, die
einen möglichst phasenfreien Wirkwiderstand enthält. Bei solchen Widerständen entstehen mit
wachsender Frequenz folgende Probleme:
• Zunahme des Widerstandswertes mit wachsender Frequenz durch den Skineffekt
• Induktiver Phasenwinkel durch die Eigeninduktivität des Widerstandes
• Kapazitiver Phasenwinkel durch die Eigenkapazität des Widerstandes
2.1.1. Einfluss des Skineffekts
Aufgrund des Skineffekts wird jeder Widerstand, da er aus mehr oder weniger gut leitendem
Material aufgebaut ist, mit steigender Frequenz in seinem Wert wachsen. Da Widerstände je-
doch bei unterschiedlichen Frequenzen auch breitbandig eingesetzt werden, sollten sie mög-
lichst frequenzunabhängig sein, da sonst der Widerstandswert als Funktion der Frequenz ange-
geben werden müsste. Ziel ist es, sowohl für die NF-, die HF- als auch für die Digitaltechnik,
Widerstände einzusetzen, die ihren Gleichstromwert bis zu möglichst hohen Frequenzen beibe-
halten, deren Grenzfrequenz also möglichst hoch liegt.
Wenn man Widerstände aus Draht wickelt, muss der Durchmesser des verwendeten Drahtes
2
kleiner als die Eindringtiefe s = ωµκ sein. Dadurch entsteht bei gegebener Drahtstärke eine
obere Frequenzgrenze, bei der der Widerstand beginnt, eine Frequenzabhängigkeit zu zeigen. Je
11

12. 12 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen
(a) Chipwiderstand (SMD-Widerstand) (b) Zylindrischer Schichtwiderstand
Bild 2.1.: Schichtwiderstände
kleiner die Leitfähigkeit des Widerstandsmaterials, desto größer ist die Eindringtiefe und desto
besser ist die Eignung des Materials für höhere Frequenzen. Aus Widerstandsdraht gewickelte
Widerstände findet man heute fast nur noch für kleine Widerstandswerte und dann auch nur,
wenn große Leistungen zu bewältigen sind. Bei drahtgewickelten Widerständen, deren Drähte
sehr dicht beieinanderliegen, kann neben dem Skineffekt noch eine frequenzabhängige Wider-
standserhöhung durch Nachbarschaftswirkung der Drahtschleifen (Proximityeffekt) auftreten.
In der Hochfrequenztechnik werden deshalb fast ausschließlich Schichtwiderstände in zylin-
drischer oder planarer Form verwendet. Ein Material schlechter Leitfähigkeit, das gleichzeitig
billig ist, ist kristalline Glanzkohle. Sie hat auch noch bei sehr hohen Frequenzen technisch
brauchbare Eindringtiefen und wird daher für die Herstellung von billigen Widerständen über
10 Ω verwendet. Da Kohle nur geringe mechanische Festigkeit besitzt und ihre Wandstärke
kleiner als die Eindringtiefe sein soll, verwendet man sie in Form von Schichtwiderständen, die
eine Kohleschicht auf einer isolierenden, ebenen Unterlage (Bild 2.1(a)) oder auf einem kera-
mischen Zylinder nach Bild 2.1(b) besitzen. Mit dünnen Schichten kann man auf diese Weise
frequenzunabhängige Wirkwiderstände bis zu Frequenzen von etwa 5 GHz schaffen. Solche Wi-
derstände können eine zusammenhängende zylindrische Schicht haben. Die Schicht kann aber
auch wendelförmig unterbrochen sein, wodurch der Stromweg länger, der stromdurchflossene
Querschnitt kleiner und der Widerstandswert größer wird.
Nachteilig bei den billigen Kohlewiderständen ist ihr hoher Temperaturkoeffizient von ca.
3 · 10−4 / ◦ C. Sie vertragen keine höheren Belastungen, da Kohle bei höheren Temperaturen oxi-
diert. Die Maximaltemperatur sollte 100 ◦ C nicht überschreiten. Erheblich bessere Eigenschaf-
ten haben Metallschichtwiderstände z.B. aus Tantal, Tantalverbindungen oder Nickel-Chrom-

13. 2.1. Widerstände 13
Bild 2.2.: Integrierte Widerstände eingebunden in Streifenleitungstechnik
Verbindungen. Mit ihnen lassen sich Temperaturkoeffizienten von kleiner 10−6 / ◦ C erreichen;
zudem sind Schichtdicken im Bereich kleiner 1 µm möglich. Die Temperaturverträglichkeit ist
je nach Verbindung ebenfalls wesentlich besser.
In der Mikrowellentechnik, aber auch in der schnellen Digitaltechnik, werden bis zu höchsten
Frequenzen (> 30 GHz) Schichtwiderstände direkt in die Schaltung integriert oder als soge-
nannte Chipwiderstände eingebracht; Bild 2.2 zeigt ein Beispiel.
2.1.2. Einfluss der Eigeninduktivität
Jeder Leiter, der von einem Strom durchflossen wird, umgibt sich mit magnetischen Feldern
und es entsteht daher an ihm bei Wechselstrom neben der normalen Spannung U = R · I eine
Zusatzspannung durch einen Selbstinduktionsvorgang. Der Widerstand wirkt daher so, als ob
in Serie zum ohmschen Widerstand R noch eine Induktivität LS nach Bild 2.3 läge.
Der Widerstand erhält den komplexen Wert
Z = R + jωLS (2.1)
und eine induktive Phase
ωLS Im {Z}
tan ϕ = = , (2.2)
R Re {Z}
die mit wachsender Frequenz größer wird.
Falls man Widerstände aus Draht wickelt, sollte man diesen Draht nicht spulenförmig auf-
wickeln, weil dadurch im Innern der Spule ein sehr großes H-Feld in Richtung der Spulenachse
entsteht. Gleiches gilt für wendelförmige Schichtwiderstände nach Bild 2.1(b). Wenn man Wi-
derstandsdrähte induktionsarm gestalten will, wählt man die Form der Bifilaranordnung nach

14. 14 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen
Bild 2.3.: Widerstand mit Eigeninduktivität
(a) bifilar (b) zick-zack
Bild 2.4.: induktionsarme Widerstandswicklung
Bild 2.4(a) oder die der Zickzackanordnung nach Bild 2.4(b), bei denen dicht neben jedem
stromdurchflossenen Drahtstück ein gleichgroßes Drahtstück mit entgegengesetzter Stromrich-
tung liegt. Dadurch heben sich die Felder der Drahtstücke weitgehend gegenseitig auf. Bei
höheren Frequenzen vermeidet man Widerstandsdrähte und besonders geformte Widerstands-
schichten nach Bild 2.1(b) fast immer und zieht die induktionsärmeren glatten Schichtwider-
stände wie z.B. Chipwiderstände nach Bild 2.1(a) vor.
Neben dieser mit dem Widerstand direkt verknüpften induktiven Erscheinung wirkt noch die
Induktivität seiner Zuleitungen. Diese Zuleitungsinduktivität ist oft ein Vielfaches der Eigenin-
duktivität und es muss mit wachsender Frequenz immer mehr darauf geachtet werden, dass die
Verbindungsdrähte in einer Schaltung nicht zu lang werden. Bei sehr hohen Frequenzen darf es
überhaupt keine induktiv wirkenden Zuleitungen mehr geben.
2.1.3. Einfluss der Eigenkapazität
Wenn ein Strom durch den Widerstand fließt, entsteht an ihm eine Spannung. Zwischen den
beiden Punkten P1 und P2 des Widerstandes in Bild 2.5(a) besteht die Spannung U = I · R,
wobei R der Widerstand zwischen P1 und P2 ist. Zwischen den verschiedenen Bereichen
der Oberfläche und auch teilweise zwischen dem Widerstand und seiner Umgebung entstehen
elektrische Feldlinien nach Bild 2.5(a).
Der Raum um den Widerstand herum ist mit elektrischer Feldenergie erfüllt. Dies kann man
durch Kapazitäten andeuten, die zwischen den verschiedenen Bereichen der Oberfläche und
gegen die Umgebung wirken, wie in Bild 2.5(b) gezeigt. Dadurch wird das Verhalten des Wi-
derstandes kompliziert, denn der durch den Widerstand fließende Leitungsstrom I ist nicht
konstant, da auch kapazitive Verschiebungsströme längs der in Bild 2.5(a) gezeichneten elek-

15. 2.1. Widerstände 15
trischen Feldlinien fließen. Solange die kapazitiven Nebenwirkungen klein bleiben, kann man
diesen Effekt näherungsweise durch eine einzige Kapazität CP parallel zum ganzen Widerstand
R beschreiben.
Es entsteht dadurch der komplexe Leitwert gemäß Bild 2.5(c)
1
Y = + jωCP (2.3)
R
bzw. der komplexe Widerstand
1 R ωCP R2
Z= = −j (2.4)
Y 1 + (ωCP R)2 1 + (ωCP R)2
Der kapazitive (negative) Phasenwinkel von Z ist gegeben durch
tan ϕ = −ωCP R . (2.5)
Er wächst proportional zur Frequenz. Je größer der ohmsche Widerstand R ist, desto größer ist
auch die Wirkung dieser Kapazität, da stets das Produkt CP R wirksam ist. Solange die kapaziti-
ven Nebenwirkungen klein sind, d.h. solange ωCP R < 0,1 ist, kann man in (2.4) das (ωCP R)2
im Nenner vernachlässigen und erhält die einfache Näherungsformel
Z = R − jωCP R2 . (2.6)
Die einzige Richtlinie, die man geben kann, um CP klein zu halten, besagt, dass die einzelnen
Teile des Widerstandes möglichst weit voneinander entfernt sein sollten. Dieses ist bei einem
zylindrischen Schichtwiderstand nach Bild 2.1(b) optimal gelöst. Die Eigenkapazität eines sol-
chen Widerstandes beträgt durchweg einige pF. Die folgende Tabelle gibt ungefähr an, bei
welcher Frequenz f ein Schichtwiderstand R die Grenze tan ϕ = −0,1 erreicht.
R 100 Ω 1000 Ω 10 kΩ 100 kΩ 1 MΩ
f 100 MHz 10 MHz 1 MHz 100 kHz 10 kHz
Sehr große Widerstände zeigen also schon bei relativ niedrigen Frequenzen merkliche kapazi-
tive Nebenwirkungen.
2.1.4. Vollständiges Ersatzschaltbild eines Widerstandes
Die Kombination von Bild 2.3 und Bild 2.5(c) lässt sich mit dem vollständigen Ersatzschalt-
bild des Widerstandes gemäß Bild 2.6 annähern. Fügt man zu (2.6) das jωLS hinzu, so wird

16. 16 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen
(a)
(b)
(c)
Bild 2.5.: Elektrische Felder und Eigenkapazitäten eines Widerstandes
Bild 2.6.: Vollständiges HF-Ersatzschaltbild eines Widerstandes

17. 2.2. Kondensatoren 17
der Eingangswiderstand Z1 nach Bild 2.6 näherungsweise für nicht zu hohe Frequenzen, d.h
ωCP R < 0,1
Z1 = R + jω(LS − CP R2 ) . (2.7)
Da die Effekte der Eigeninduktivität nach (2.1) und der Eigenkapazität nach (2.6) verschiedene
Vorzeichen haben, ist es naheliegend, dass sich beide Effekte bei richtiger Dimensionierung
aufheben können.
Der Blindwiderstand von Z1 verschwindet, wenn
LS
LS = CP R2 oder R= (2.8)
CP
wird. Die Realisierung dieser Kompensation ist für mittlere Widerstände im Bereich 20 Ω bis
200 Ω sehr einfach, meist durch zweckmäßige Gestaltung der Widerstandsform.
2.2. Kondensatoren
Kondensatoren verwendet man vorzugsweise für zwei Aufgaben:
• Als negativen Blindwiderstand in Schaltungen. Hierbei legt man großen Wert auf kleine
Verlustwinkel und verwendet Blindwiderstände im Bereich von etwa 10 Ω bis 1000 Ω
• Als Überbrückungskondensator mit sehr kleinem Blindwiderstand von etwa 1 Ω bis 10 Ω,
dessen Aufgabe es ist, einen guten Durchgang für höhere Frequenzen darzustellen, wäh-
rend er niedrigere Frequenzen oder Gleichstrom sperrt.
Die folgende Tabelle zeigt, welche Kapazitätswerte C in den verschiedenen Frequenzbereichen
1
etwa auftreten werden, um verschiedene Widerstandswerte |XC | = ωC zu erzeugen.
|XC | 100 Hz 10 kHz 1 MHz 100 MHz 10 GHz
1Ω 1600 µF 16 µF 160 nF 1600 pF 16 µF
10 Ω 160 µF 1600 nF 16 nF 160 pF 1,6 pF
100 Ω 16 µF 160 nF 1600 pF 16 pF 0,16 pF
1000 Ω 1600 nF 16 nF 160 pF 1,6 pF 0,016 pF
Die Elektrotechnik benötigt also sehr verschiedenartige Kapazitäten und kennt daher zahlreiche
Bauformen. Im Folgenden sollen die Grundregeln zusammengestellt werden, nach denen man
solche Kondensatoren aufbaut.

18. 18 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen
(a) (b)
Bild 2.7.: Flächen- und Zylinderkondensator
2.2.1. Kapazitätsformeln
Die Grundformel für alle Kondensatoren ist dadurch gegeben, dass zwei Flächen A im Abstand
a nach Bild 2.7(a) die Kapazität
A A/ cm2
C = ε0 εr = 0,089 · εr pF (2.9)
a a/ cm
besitzen, wenn zwischen den Flächen ein Dielektrikum mit der relativen Dielektrizitätskonstan-
ten εr liegt. Diese Formel gilt exakt nur für ebene Flächen, die unendlich groß sind.
Wenn die Flächen gekrümmt sind, können sie im einfachsten Fall nur in einer Richtung ge-
krümmt sein, wie beispielsweise zwei gleichachsige Zylinder nach Bild 2.7(b). Wenn hier d der
Durchmesser des inneren Zylinders und D der Durchmesser des äußeren Zylinders ist, so lautet
die Kapazität
2πε0 εr l l/ cm
C= D
= 0,55 · εr pF . (2.10)
ln d ln Dd
Wenn die Flächen des Kondensators in beiden Richtungen gekrümmt sind, im einfachsten Fall
wie die Teile zweier konzentrischer Kugeln nach Bild 2.8, so lautet ihre Kapazität
r1 r2 r2 /cm
C = ε0 εr Θ = 0,089 · εr r2 Θ pF . (2.11)
r2 − r 1 r1
−1
Dabei ist r2 der Radius der äußeren Kugel, r1 der Radius der inneren Kugel und Θ der Raum-
winkel der verwendeten Kugelflächenteile. Für ganze Kugeln ist Θ = 4π.
Die genannten Kapazitäten sind durch die Streukapazitäten der Flächenränder zu ergänzen.
Diese Streukapazitäten sind an sich sehr klein. Je kleiner der Flächenabstand a gegenüber den
Querabmessungen der Flächen ist, desto weniger sind die Streukapazitäten wirksam. Bei nied-
rigen Frequenzen, bei denen C und daher auch A/a in Gleichung (2.9) sehr groß sein müssen,

19. 2.2. Kondensatoren 19
Bild 2.8.: Kugelkondensator
Bild 2.9.: Randstreuung
kann man daher ohne weiteres mit den streuungsfreien Formeln (2.9) bis (2.11) rechnen. Mit
wachsender Frequenz werden jedoch die benutzten C-Werte und daher die Querabmessungen
der Flächen kleiner, so dass dann die Berücksichtigung der Randstreuung wichtiger wird. An
den Rändern der Flächen entstehen elektrische Feldlinien E nach Bild 2.9 in den umgebenden
Raum hinein.
Diese Felder besitzen eine elektrische Feldenergie We und erzeugen dadurch eine zusätzliche
Kapazität C. Dieses C ist schwer exakt zu berechnen, jedoch kann man sich eine ungefähre
Vorstellung von der Größe dieser Zusatzkapazität durch folgende Merkregel verschaffen:
Die Zusatzkapazität der Randstreuung wirkt etwa so, als ob die Flächen des Kondensators an
den Rändern um die Strecke a/2 verbreitert wären (gestrichelt in Bild 2.9).
Auf die so vergrößerten Flächen kann man dann die Formeln ohne Randstreuung anwenden.
Bei sehr hohen Frequenzen sind die Kapazitäten und daher auch die Flächen sehr klein, so
dass in vielen Fällen die Randstreuung einen entscheidenden Anteil ergibt. Aus (2.11) folgt mit

20. 20 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen
Material εr tan δe (10−3 )
Teflon 2,0 0,1 . . . 0,4
Paraffinöl 2,2
Polystyrol 2,4 0,1 . . . 0,5
Bernstein 2,8
Quarz 4,5 . . . 4,7 0,01
Pertinax 5
Glimmer 7 0,1 . . . 0,4
Al2 O3 9,8 . . . 11,2 0,05 . . . 1,0
Y3 Fe5 O12 15,6
CaZr0,985 Ti0,015 O3 29
BaTi4 O9 38
(ZrSn)TiO4 38
Ba2 Ti9 O2 0 40
(B9 Pb)TiO3 90
Tabelle 2.1.: Dielektrika für die Hochfrequenztechnik
r2 r1 , r2 → ∞ und D = 2r1 die Kapazität einer Kugel mit Durchmesser D im freien Raum:
D D
C ≈ 4πε0 ⇔ C ≈ 0,55 pF (2.12)
2 cm
Dieser ungefähre Richtwert stellt eine wertvolle Hilfe bei der Abschätzung von Streukapazi-
täten sehr kleiner Gebilde dar. Wenn also ein kleines Leitergebilde (wie z.B. ein Lötklecks)
etwa Kugelform hat, so ist seine Kapazität gegen eine etwas weiter entfernte Umgebung, ge-
messen in pF, zahlenmäßig etwa gleich der Hälfte seiner mittleren Querabmessung D in cm.
Daher ist es schwierig, Kapazitäten unter 0,1 pF herzustellen, weil schon kleinste Leitergebilde
Streukapazitäten dieser Größe haben.
Die genannten Regeln über die Kapazität von Kondensatoren reichen im allgemeinen aus, um
solche Gebilde annähernd zu berechnen. Es ist üblich und fast immer unvermeidbar, die letzten
Feinheiten der Dimensionierung experimentell oder durch numerische Berechnungen zu ermit-
teln.
2.2.2. Wahl des Dielektrikums
Aus Gleichung (2.9) erhält man die Merkregel, dass die Kapazität eines Flächenkondensators
in Luft, gemessen in pF, bei einem Flächenabstand a = 1 mm nahezu gleich dem Zahlenwert
der Fläche A, gemessen in cm2 , ist. Daraus folgt, dass Luftkondensatoren praktisch nur für

21. 2.2. Kondensatoren 21
Kapazitäten bis zu einigen 1000 pF gebaut werden können, da sie sonst zu groß würden. Di-
elektrika finden daher auch schon bei kleineren C-Werten rege Anwendung. Durch sie können
bei vorgeschriebenem Kapazitätswert die räumlichen Abmessungen (d.h. die Fläche A) wesent-
lich kleiner gestaltet werden als beim Luftkondensator, der bei gleicher Dimensionierung eine
um den Faktor εr kleinere Kapazität besitzt. Störend sind allerdings die dielektrischen Verluste,
so dass stets zu prüfen ist, ob der durch die dielektrischen Verluste entstehende Verbrauch an
Wirkleistung P für den jeweiligen Zweck tragbar ist und ob sich die damit verbundene Erwär-
mung des Kondensators in zulässigen Grenzen hält.
Die heute verwendeten Dielektrika für die Hochfrequenztechnik überspannen den Bereich
2 < εr < 40. Im niederen Bereich werden Kunststoffe, Teflon usw., um εr = 10 Keramiken und
darüber Titanate u.ä. verwendet. In Tabelle 2.1 sind einige Materialien zusammengestellt. Der
Faktor tan δe stellt dabei die Größe der dielektrischen Verluste dar.
2.2.3. Einfluss der Eigeninduktivität
Der Ladestrom I(t) fließt über die leitenden Flächen des Kondensators nach Bild 2.10. Mit
wachsendem Abstand von den Anschlusspunkten wird der Strom auf den Flächen kleiner, weil
die von ihm transportierten Ladungen längs des Stromweges stetig verteilt liegen bleiben. Die-
ser Strom ist von magnetischen Feldern umgeben, die eine magnetische Feldenergie besitzen.
Letztere ist die Ursache induktiver Wirkungen. Das wirkliche Verhalten des Kondensators er-
läutert das Ersatzschaltbild in Bild 2.10(b)
Man denkt sich den Kondensator in viele kleine Kapazitäten aufgeteilt, die durch die Indukti-
vität der zwischen ihnen liegenden Leiter verbunden sind. Das exakte Verhalten einer solchen
LC-Kombination ist ziemlich kompliziert, jedoch kann man es für nicht allzu hohe Frequenzen
durch das Verhalten der Schaltung in Bild 2.10(c) beschreiben, in dem der gesamten Kapazität
C eine einzige Induktivität LS in Serie geschaltet ist. Dieses LS bezeichnet man als Eigenin-
duktivität des Kondensators. In Schaltungen, in denen mehrere Schaltelemente kombiniert sind,
kommt zum LS noch die Zuleitungsinduktivität hinzu, d.h. die Induktivität der Verbindungs-
drähte, die vom Kondensator zu den Anschlusspunkten der Schaltung führen. Mit wachsender
Frequenz muss man immer mehr darauf achten, diese Zuleitungen so kurz wie möglich zu hal-
ten, um die Wirkung der Zuleitungsinduktivität klein zu halten.
Der Kondensator nach Bild 2.10(c) besitzt den Blindwiderstand
1 1
jX = j ωLS − = −j . (2.13)
ωC ωCers
|X| ist kleiner als der Betrag 1/ωC des Blindwiderstandes des Kondensators C allein. Die
Anordnung wirkt wie der Blindwiderstand eines gedachten Kondensators Cers , der größer als C

22. 22 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen
I(t)
(a)
I(t)
(b)
I(t)
LS
C
(c)
Bild 2.10.: Eigeninduktivität des Kondensators
ist. Nach (2.13) wäre die Ersatzkapazität
C
Cers = . (2.14)
1 − ω 2 LS C
Je höher die Frequenz, desto größer ist Cers . Für eine bestimmte Frequenz, die als die Eigenfre-
quenz fR des Kondensators bezeichnet wird und für die
2 1
ωR LS C = 1 ; fR = √ (2.15)
2π LS C
gilt, ist Cers unendlich groß; der Kondensator ist ein Serienresonanzkreis. Nur für Frequenzen,
die kleiner als 1/10 der Eigenfrequenz sind, verhält sich ein Kondensator wie eine frequen-
zunabhängige Kapazität. Je größer die Kapazität C und je größer die Länge des Stromweges
im Kondensator ist, desto niedriger ist die Eigenfrequenz und auch diejenigen Frequenzen, bei
denen der Kondensator noch seine normale Wirkung hat. Je höher also die gewünschte Be-
triebsfrequenz, desto mehr muss auf induktionsarmen Aufbau, d.h. auf kurze Stromwege, Wert
gelegt werden. Bei Überbrückungskondensatoren ist der Effekt nach (2.14) in manchen Fällen

23. 2.2. Kondensatoren 23
Bild 2.11.: Kondensator mit Polarisationsverlusten
wertvoll, weil er |X| in seinem Wert verkleinert, jedoch in wesentlichem Umfang nur in einem
relativ kleinen Frequenzbereich in der Umgebung der Eigenfrequenz.
2.2.4. Verluste eines Kondensators
Der Verlustfaktor eines Kondensators tan δC ist der Quotient der Wirkleistung PW und der
Blindleistung PB
PW RS GP
tan δC = = = = ωRS C (2.16)
PB |XC | BC
mit
XC = Blindwiderstand
BC = Blindleitwert des Kondensators
GP = Verlustleitwert nach Bild 2.11.
Die Hauptursache der Kondensatorverluste sind die Polarisationsverluste im Dielektrikum.
Wenn der Kondensator ganz mit Dielektrikum gefüllt ist, ist sein Verlustfaktor tan δC gleich
dem Verlustfaktor tan δe des Dielektrikums. Wenn der Kondensator nur zum Teil mit Dielek-
trikum, zum restlichen Teil mit (praktisch verlustfreier) Luft gefüllt ist, wird tan δC < tan δe .
Nur in dem durch das Dielektrikum beeinflussten Teil des elektrischen Feldes im Kondensator
entstehen dielektrische Verluste. Diese dielektrischen Verluste lassen sich nach Bild 2.11 durch
einen parallel zum Kondensator liegenden Wirkleitwert
GP = ωC tan δC (2.17)
beschreiben.

24. 24 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen
LS RL C
GP
Bild 2.12.: Vollständiges Ersatzschaltbild eines Kondensators
2.2.5. Vollständiges Ersatzschaltbild eines Kondensators
Berücksichtigt man auch die Serieninduktivität LS aus Bild 2.10(c) und setzt statt XC das X
aus Gleichung (2.13), so wird der Verlustfaktor des Kondensators mit LS näherungsweise
1 Cers
tan δC,ers = = tan δC . (2.18)
|X|GP C
Da Cers > C ist, vergrößert LS die Wirkung der Kondensatorverluste. Die zweite Verlustursache
des Kondensators sind die Widerstände der Leiter, über die nach Bild 2.10(a) die Ladeströme
fließen. Diese Verluste kann man als einen Serienwiderstand RL zur Eigeninduktivität LS dar-
stellen. Insgesamt hat das vollständige Ersatzschaltbild eines Kondensators die Form nach Bild
2.12.
2.3. Induktivitäten, Spulen
Induktivitäten verwendet man vorzugsweise für zwei Aufgaben:
• Als positiven Blindwiderstand in Schaltungen. Hierbei legt man großen Wert auf kleine
Verlustwinkel und verwendet Blindwiderstände im Bereich von etwa 10 bis 1000 Ω.
• Als Drossel mit sehr großem Blindwiderstand von etwa 1000 bis 10 000 Ω, deren Auf-
gabe es ist, eine Sperre für Wechselströme höherer Frequenzen darzustellen, während
niedrigere Frequenzen oder Gleichstrom einen guten Durchgang vorfinden.
Im Folgenden werden vorwiegend Luftspulen behandelt, wie sie primär in der Hochfrequenz-
technik eingesetzt werden.
2.3.1. Magnetische Energie in einer Spule
Ein vom Strom I durchflossener Drahtring umgibt sich mit magnetischen Feldern H, die teils in
Luft, teils in einem eventuell vorhandenen ferromagnetischen Kern verlaufen (siehe Bild 2.13).
Diese Felder besitzen eine magnetische Feldenergie Wm , die sich aus drei Teilen zusammen-
setzt:

25. 2.3. Induktivitäten, Spulen 25
I
H
Bild 2.13.: Prinzip einer Spule
• der Feldenergie Wm1 der Felder innerhalb des Drahtes
• der Energie Wm2 der Felder in der Luft
• der Energie Wm3 der Felder im ferromagnetischen Kern
2.3.2. Eigenkapazität einer Spule
Bei einer stromdurchflossenen Spule bestehen Spannungen zwischen benachbarten Windungen
und daher auch elektrische Felder in der Umgebung der Wicklung. Die Feldlinien verlaufen
nach Bild 2.14(a) vorzugsweise zwischen benachbarten Windungen, aber auch zwischen ent-
fernteren Windungen und zwischen der Wicklung und dem Eisenkern bzw. der anderen Umge-
bung. Man muss diese Feldstärke bei Spulen mit größerer Blindleistung annähernd kennen, um
durch ausreichende Leiterabstände und isolierendes Dielektrikum die Spannungsfestigkeit der
Spule zu sichern. Diese Felder enthalten eine elektrische Feldenergie, die kapazitive Wirkungen
verursacht. Zwischen den Spulendrähten und auch gegen die Umgebung entstehen daher nach
Bild 2.14(b) zahlreiche Kapazitäten, deren Leitwerte mit wachsender Frequenz zunehmen und
ein kompliziertes Verhalten der Spule ergeben.
Für niedrigere Frequenzen kann man diese kapazitiven Wirkungen durch eine einzige Parallel-
kapazität CP nach Bild 2.14(c) näherungsweise beschreiben. Dieses CP nennt man die Eigen-
kapazität der Spule. Die Spule hat dann den Blindleitwert
1 1
jB = j ωCP − = −j . (2.19)
ωL ωLers

26. 26 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen
(a) (b)
(c)
Bild 2.14.: Eigenkapazität einer Spule
Sie wirkt wie eine größere Induktivität
L
Lers = . (2.20)
1 − ω 2 LCP
Wenn in (2.20) der Nenner gleich Null wird, d.h. bei der Frequenz
1
fR = √ (2.21)
2π LCP
hat die Spule ihre Eigenresonanz, eine Parallelresonanz. Nur für Frequenzen f < 0,1 · fR wirkt
eine Spule wie eine reine Induktivität L mit einem frequenzproportionalen Blindwiderstand ωL.
Möglichkeiten zur Verringerung der Eigenkapazität
In vielen Fällen werden die Verminderung der Eigenkapazität einer Spule und die der dielektri-
schen Verluste dieser Eigenkapazität erstrebenswert sein.
Hierzu können folgende Maßnahmen dienen:

27. 2.3. Induktivitäten, Spulen 27
(a) Wicklung lagenweise
(b) Wicklung scheibenweise
Bild 2.15.: Mehrlagige Spulen
• Vergrößerung des Abstandes benachbarter Windungen
• Vermeidung dielektrisch wirkenden Isolationsmaterials zwischen den Windungen,
• Wickelkörper aus Isoliermaterial mit kleinem εr und kleinem Verlustwinkel,
• Verwendung von Bauformen mit möglichst wenig dielektrischem Material,
• Vergrößerung des Abstandes zwischen Wicklung und Kern bzw. zwischen Wicklung und
Umgebung allgemein.
Bei mehrlagigen Spulen muss man insbesondere beachten, dass der Abstand zwischen den Win-
dungen um so größer sein sollte, je größer die zwischen ihnen bestehende Spannung ist. Wenn
wie in Bild 2.15(a) die Spule lagenweise gewickelt wird und man das Ende jeder Lage (Marke
2 in Bild 2.15(a)) mit dem Anfang der nächsten Lage verbindet, so liegt der Anfang jeder Lage
sehr nahe am Ende der nächsten Lage. Zwischen den Marken 1 und 4 besteht eine relativ hohe
Spannung und wegen des kleinen Abstandes auch eine sehr hohe Feldstärke. Da die Feldstärke
quadratisch in die Feldenergie eingeht, entsteht hohe elektrische Feldenergie und daher große
kapazitive Wirkung. Man vermindert diese Kapazität durch die Scheibenwicklung nach Bild

28. 28 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen
(a) (b)
Bild 2.16.: Spule mit Verlusten
2.15(b), bei der die Wicklung in Scheiben senkrecht zur Spulenachse aufgeteilt ist und Anfang
und Ende der Wicklung sehr weit auseinander liegen.
2.3.3. Verluste einer Spule
Eine Spule besitzt vier Ursachen für Verluste:
1. Der ohmsche Widerstand der Leiter einschließlich Skineffekt und Proximityeffekt: RD .
2. Falls ein magnetischer Kern vorhanden ist, der Verlustwinkel δµ des Materials: RK .
3. Wirkleistung, die durch Ströme verbraucht wird, die in benachbarten Leitern erzeugt wer-
den. Dies gilt bei Luftspulen insbesondere für Ströme in metallischen Hüllen, die zum
Zwecke der Abschirmung um die Spule gelegt werden. Bei Eisenkernspulen betrifft dies
auch die Wirbelströme im Kern: RA .
4. Dielektrische Verluste in den Eigenkapazitäten der Spule: RC .
Eine exakte Berechnung der Gesamtverluste ist kaum möglich, so dass die genauere Bestim-
mung der Verluste meist durch Messung erfolgt. Solange die Verluste klein sind, kann man ihre
Wirkung durch einen Serienwiderstand RS nach Bild 2.16(a) oder einen parallelen Leitwert GP
nach Bild 2.16(b) beschreiben. Während RD ein wirklicher Widerstand ist, sind die übrigen
drei Komponenten gedachte Widerstände, die mit Hilfe der verbrauchten Wirkleistung definiert
werden.
Fließt durch die Spule ein Strom mit dem Scheitelwert I und verbraucht die Spule insgesamt
die Wirkleistung PW , so ist RS definiert durch
1 2PW
PW = I 2 RS ⇔ RS = . (2.22)
2 I2
Entsprechendes gilt für GP :
1 2PW
PW = U 2 GP ⇔ GP = (2.23)
2 U2

29. 2.3. Induktivitäten, Spulen 29
Die Spule stellt nach Bild 2.16(a) einen komplexen Widerstand Z = RS + jωL dar, der die
j
Phase ( π − δL ) hat, oder nach Bild 2.16(b) einen komplexen Leitwert Y = GP − ωL mit der
2
Phase (− π + δL ) ; δL ist der Verlustwinkel der Spule.
2
Weiterhin ist der Verlustfaktor einer Spule tan δL durch Gleichung (2.24) definiert, der Güte-
faktor QL einer Spule durch den Reziprokwert des Verlustfaktors:
RS
tan δL = = GP ωL (2.24)
ωL
1 ωL 1
QL = = = (2.25)
tan δL RS GP ωL
Es wird
ωL 1 1
RS = ωL · tan δL = ; GP = tan δL = ωL (2.26)
QL ωL QL
Der Verlustfaktor ist auch der Quotient der Wirkleistung PW und der Blindleistung
2 ωL U2
PS = I 2 = 2ωL in der Spule. Die Erwärmung der Spule erfolgt durch die Wirkleistung
1 1 1 U2
PW = I 2 RS = I 2 ωL · tan δL = tan δL = PS tan δL (2.27)
2 2 2 ωL
wenn I der Scheitelwert des Stromes durch die Spule und U der Scheitelwert der Spannung an
der Spule ist.
Sofern die Verluste der Spule reine Eisenverluste sind, ist der Verlustfaktor der Spule
Rs
tan δL = = tan δµ (2.28)
XL
gleich dem Verlustfaktor des magnetischen Materials, das gesamte Spulenfeld liegt im Eisen
und keine anderen Verlustarten sind wirksam. Die hier erzeugte Wirkleistung PW erwärmt den
magnetischen Kern.
Der Gütefaktor QL einer Spule steigt im allgemeinen mit wachsender Frequenz, weil in ωL/RS
die Frequenz im Zähler steht, während der Nenner RS , soweit es den Anteil RD betrifft, mit
wachsender Frequenz wesentlich langsamer wächst. Bei sehr niedrigen Frequenzen ist der Gü-
tefaktor stets sehr klein, weil ωL mit abnehmendem ω sehr klein wird, während RS nicht unter
seinen Gleichstromwert sinken kann. Bei magnetischen Kernen wächst bei niedrigen Frequen-
zen wegen des zunächst wenig frequenzabhängigen tan δµ des Materials der Anteil RK pro-
portional zur Frequenz. Dagegen wächst oberhalb einer bestimmten Frequenz der Verlustfaktor

30. 30 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen
L RS
CP
Bild 2.17.: Ersatzschaltbild einer Spule
tan δµ sehr schnell, so dass solche Spulen bei höherer Frequenzen einen mit wachsender Fre-
quenz abnehmenden Gütefaktor besitzen. Die erreichbaren Gütefaktoren wachsen mit der Fre-
quenz, weil mit wachsender Frequenz kleinere L erforderlich werden, die mit immer kürzeren
und immer dickeren Leitern und abnehmender Eisenmenge erzeugt werden können.
Man erreicht in den verschiedenen Frequenzbereichen ohne allzu großen Aufwand etwa die in
Tabelle 2.2 gegebenen Werte.
Tabelle 2.2.: Erreichbare Gütefaktoren mit wachsender Frequenz
f 10 kHz 100 kHz 1 MHz 10 MHz 100 MHz 1 GHz
QL 100 200 500 1000 2000 5000
2.3.4. Vollständiges Ersatzschaltbild einer Spule
Berücksichtigt man bei einer Spule sowohl die parasitäre Kapazität CP als auch die Verluste RS
gemäß Bild 2.16 ergibt sich das vollständige Ersatzschaltbild nach Bild 2.17. Für die Gesam-
timpedanz folgt daraus:
RS + jωL
ZL = (2.29)
1 + jωRS CP − ω 2 LCP

31. 3. Passive, lineare Schaltungen
3.1. Transformationsschaltungen
Schaltungen sind passiv, wenn sie keine Strom- oder Spannungsquellen enthalten. Sie sind li-
near, wenn sie in ihrem Verhalten aussteuerungsunabhängig sind, d.h. nicht von den absoluten
Signalpegeln abhängen (Sättigungseffekte). Im Folgenden werden Schaltungen betrachtet, wel-
che aus
• Widerständen,
• Spulen (Induktivitäten) und
• Kondensatoren (Kapazitäten)
bestehen.
Die Grundaufgabe der Elektrotechnik besteht in der
• Erzeugung,
• Übertragung und
• Nutzbarmachung
der Energie in einem Verbraucher. Je höher die Frequenz, um so teurer und schwieriger werden
diese drei Hauptaufgaben. Insbesondere sind Signalquellen für hohe und höchste Frequenzen
sehr aufwändig. Somit besteht eine der vornehmlichsten Aufgaben der Hochfrequenztechnik
darin, einen möglichst hohen Systemwirkungsgrad zu erzielen. Dies bedeutet, dass den Quellen
maximale Energie entnommen werden muss, die Übertragungsverluste zu minimieren sind und
die übertragene Energie voll dem Verbraucher zugeführt wird. Bild 3.1 zeigt eine schematische
Darstellung. Die HF-Quelle liefert nur dann maximale Wirkleistung, wenn der Eingangswider-
stand ZÜ des Übertragungssystems an den Innenwiderstand der Quelle angepasst ist. Weiter ist
HF− Übertragungs−
Quelle system Verbraucher
ZÜ ZL ZV
Bild 3.1.: Prinzipschaltung einer HF-Übertragung
31

32. 32 3. Passive, lineare Schaltungen
der Widerstand des Verbrauchers an den Wellenwiderstand ZL der Übertragungsleitung anzu-
passen. Dies zeigt, dass zahlreiche Aufgaben zur Anpassung und Transformation bestehen, die
im Folgenden in ihren Grundzügen behandelt werden. Die Schaltungen, die diese Aufgaben
erfüllen, sind je nach den Anforderungen sehr verschieden. Die einfachsten Schaltungen erhält
man für Transformationen bei nur einer Frequenz.
In der Regel wird man bemüht sein, die Transformation
• mit möglichst wenigen Elementen,
• mit möglichst kleinen Strömen und Spannungen in bzw. an den Elementen,
• verlustarm und
• stabil gegen Wertänderungen der Frequenz, der Blindelemente und der Wirkelemente
auszuführen.
Die Lösung dieser Aufgaben kann sowohl rechnerisch als auch zeichnerisch erfolgen. Zeichne-
risch bedient man sich eines der folgenden Diagramme:
• Leitwertdiagramm,
• Widerstandsdiagramm.
In ihnen ist orthogonal jeweils
• Blindleitwert B zu Wirkleitwert G,
• Blindwiderstand X zu Wirkwiderstand R
aufgetragen. Die Bilder 3.2(a) und 3.2(b) zeigen die Diagramme mit Geraden bzw. Kreisen für
konstantes R, X, G oder B.
3.1.1. Wirkleistungsabgabe einer Quelle an den Verbraucher
Die Wirkleistung, die eine Quelle mit Innenwiderstand Zi an einen Verbraucher abgibt, hängt
wesentlich von dessen Impedanz Z ab. Die Aufgabe besteht meistens darin, die abgegebene
Wirkleistung zu maximieren, das bedeutet den Verbraucher an die Quelle anzupassen.
Dargestellt in Bild 3.3 ist ein Verbraucher Z = R + jX, der an eine Quelle mit dem Innenwi-
derstand Zi = Ri + jXi angeschlossen ist. Die Wirkleistung, die die Quelle an den Verbraucher
abgibt, ist
2
| I |2 R 1 U0 1 | U0 |2 R
Pw = = R= . (3.1)
2 2 (R + Ri ) + j(X + Xi ) 2 (R + Ri )2 + (X + Xi )2
Um maximale Wirkleistung an den Verbraucher zu übertragen, müssen folglich zwei Bedingun-
gen erfüllt werden. Einerseits sollten sich die Blindanteile von Quelle und Verbraucher gegen-

33. 3.1. Transformationsschaltungen 33
B = const.
R = const.
X
X = const.
Z = R + jX
R
G = const.
(a) Widerstandsdiagramm (Impedanzebene)
B
G = const.
R = const.
Y = G + jB
G
X = const.
B = const.
(b) Leitwertdiagramm (Admittanzebene)
Bild 3.2.: Transformation variabler Bauelemente in Widerstands- und Leitwertdiagramm

34. 34 3. Passive, lineare Schaltungen
Bild 3.3.: Quelle mit Innenwiderstand und Verbraucher
seitig aufheben:
X + Xi = 0 (3.2)
Andererseits muss ein optimaler Wert für R in Abhängigkeit von Ri gefunden werden. Um
den Wert R zu finden, für den P w maximal wird, setzen wir die Bedingung (3.2) in (3.1) ein,
differenzieren diese Gleichung anschließend, und erhalten die Bedingung
∂P w | U0 |2 (R + Ri )2 − 2R(R + Ri ) !
= = 0, (3.3)
∂R 2 (R + Ri )4
die erfüllt ist, für
R = Ri . (3.4)
(3.2) und (3.4) lassen sich zusammenfassen, zu der schon erwähnten Bedingung
Z = Zi∗ . (3.5)
Eine Quelle gibt also dann die maximale Wirkleistung ab, falls der Verbraucher konjugiert
komplex zum Innenwiderstand der Quelle ist. Die maximal verfügbare Wirkleistung für den
Verbraucher beträgt
| U0 |2
Pw,max = . (3.6)
8Ri

35. 3.1. Transformationsschaltungen 35
Bild 3.4.: Serienschaltung eines Blindwiderstandes im Widerstandsdiagramm
3.1.2. Serienschaltung eines Blindwiderstandes
Gegeben ist der komplexe Widerstand Z = R + jX dem der Blindwiderstand jXS in Serie
geschaltet wird, woraus sich ergibt
Z1 = Z + jXS = R + j(X + XS ) . (3.7)
Die Wirkkomponente bleibt erhalten, die Blindwiderstände werden addiert. Im Widerstands-
diagramm verschiebt eine Induktivität LS die Impedanz Z nach Z1L um XS = ωLS nach oben.
Eine Kapazität CS verschiebt Z nach Z1C um XS = −1/ωCS nach unten. Die Transformation
zeigt Bild 3.4.
3.1.3. Parallelschaltung eines Blindwiderstandes
Rechnerisch ermittelt man Parallelschaltungen aus den Leitwerten
1 1 R X
Y = G + jB = = = 2 2
−j 2 . (3.8)
Z R + jX R +X R + X2
Schaltet man den Blindwiderstand jXP parallel, so folgt mit dem Leitwert jBP = −j/XP
Y1 = Y + jBP = G + j(B + BP ) . (3.9)

36. 36 3. Passive, lineare Schaltungen
(a) im Leitwertdiagramm (b) im Widerstandsdiagramm (parallele In-
duktivität)
Bild 3.5.: Parallelschaltung eines Blindelements
Im Leitwertdiagramm verschieben Kapazitäten die Admittanz um ωCP nach oben, Induktivi-
täten um 1/ωLP nach unten wie Bild 3.5(a) zeigt. Bleibt man im Widerstandsdiagramm, dann
wandert Z1 = 1/Y1 auf einem Kreis G = konst. Die Gleichung dieses Kreises folgt aus
R
G= (3.10)
R2 + X2
zu
2 2
1 1
= R− + X2 . (3.11)
2G 2G
Der Radius des Kreises ist 1/2G, der Mittelpunkt liegt auf der Achse bei R = 1/2G. Bei
RP = 1/G, dem reziproken Wirkleitwert, schneidet der Kreis die Widerstandsachse.
Um die Impedanz Z1 nach der Parallelschaltung eines Blindleitwertes Bp in der Z-Ebene zeich-
nerisch zu ermitteln, verwendet man eine Hilfskonstruktion nach Bild 3.5(b). Die Impedanz
Z1 (im Bild mit Z1L bezeichnet) ergibt sich dabei als Schnittpunkt des durch Z verlaufenden
G = konst.-Kreises mit einer Hilfsgeraden durch den Ursprung und den Hilfspunkt Z . Dieser
Hilfspunkt ergibt sich, wenn man vom Punkt Z senkrecht eine bestimmte Strecke ∆X (im Bild
∆XL ) nach oben bzw. unten abträgt. Die Bestimmung von ∆X erfolgt durch den Schnittpunkt
der Hilfsgeraden mit der zur imaginären Achse parallelen Geraden durch Z. Es gilt:
1 1 G B
Z = = = 2 2
−j 2 (3.12)
Y G + jB G +B G + B2
1 1 G B + Bp
Z1 = = = 2 2
−j 2 (3.13)
Y1 G + j(B + Bp ) G + (B + Bp ) G + (B + Bp )2

37. 3.1. Transformationsschaltungen 37
Für die Geradengleichung der Hilfsgeraden gilt:
Z (s) = Z1 s mit s>0 (3.14)
Der Hilfspunkt Z ergibt sich aus der Bestimmungsgleichung
! G G2 + (B + Bp )2
Re Z (s) = Re Z = 2 + B2
⇔ s= (3.15)
G G2 + B 2
zu
G B + Bp Bp
Z = −j 2 =Z −j 2
G2 + B 2 G + B2 G + B2
(3.16)
Bp
= Z − j 2 = Z − jBp |Z|2 = Z + j∆X
|Y |
mit
|Z|2
∆X = −|Z|2 Bp = . (3.17)
Xp
Bei positivem XP , also beim Parallelschalten einer Induktivität L, wandert man von Z senkrecht
nach oben um die Strecke
R2 + X 2 |Z|2 |Z|2
∆XL = = = . (3.18)
XP XP ωL
Beim Parallelschalten einer Kapazität C geht man von Z aus um ∆XC nach unten:
∆XC = −|Z|2 BP = −|Z|2 ωC (3.19)
3.1.4. Transformation mit zwei Blindwiderständen
Mit den Transformationen der Abschnitte 3.1.2 und 3.1.3 lassen sich durch ein Blindelement
nur Anpassungen auf vorgegebenen Wegen erreichen, wie in Bild 3.6 zusammenfassend gezeigt
wird.
Für eine Transformation von Z in beliebige komplexe Werte benötigt man mindestens zwei
Blindelemente, von denen eines parallel und das andere in Serie zu schalten ist. Bild 3.7 zeigt
für eine häufig vorkommende Schaltung mit zwei Blindelementen ein Beispiel. Die Transforma-
tion wird in der Widerstandsebene ausgeführt. Die Parallelkapazität CP verschiebt Z auf einem

38. 38 3. Passive, lineare Schaltungen
LS Z
LP Z
X
CP
Z
CS Z
R
(a) Widerstandsdiagramm
CS CP Z
Z
B
Y
LS Z
LP Z
G
(b) Leitwertdiagramm
Bild 3.6.: Transformation mit einem Blindelement

39. 3.1. Transformationsschaltungen 39
Bild 3.7.: Transformationsbereiche für CP und LS
Kreis konstanten Wirkleitwertes im Uhrzeigersinn nach Z1 . Die Serieninduktivität verschiebt
Z1 um ωLS senkrecht nach oben zu Z2 .
Das Beispiel zeigt, dass eine gegebene Anordnung aus zwei Blindelementen Z in beliebige
Werte transformiert. Der in Bild 3.7 doppelt schraffierte Bereich kann dabei durch zwei ver-
schiedene Wertepaare CP und LS mehrfach erreicht werden.
Untersucht man die zu Bild 3.7 duale Schaltung, wie sie in Bild 3.8 dargestellt ist, so zeigt
sich, dass mit ihr der nicht schraffierte und der doppelt schraffierte Bereich aus Bild 3.7 erreicht
werden kann.
Fasst man die Ergebnisse aus Bild 3.7 und 3.8 zusammen, so zeigt sich, dass sich die beiden
CP Z2
Z1
X
LS
LS
Z
CP Z
R
Z2 Z1
Bild 3.8.: Transformationsbereiche für CP und LS

40. 40 3. Passive, lineare Schaltungen
LS2 LS1 LS
Z2 CP Z2 CP2 CP1
Z Z
(a) T-Glied (b) π-Glied
Bild 3.9.: Transformationsschaltungen
Schaltungen ergänzen und mit einem T -Glied, wie in Bild 3.9(a) gezeigt, jede beliebige Im-
pedanz erreichbar ist, solange Z eine Wirkkomponente enthält. Ohne Wirkkomponente in Z
ergeben sich wieder nur Blindwiderstände. Für T -Glieder, oder auch für π-Glieder sind darüber
hinaus im Allgemeinen viele Wertekombinationen möglich.
Die Auswahl ist dann nach den am Beginn des Kapitels 3.1 dargelegten Gesichtpunkten zu
treffen. In der Regel ist die Schaltung mit den kürzesten Transformationswegen die günstigste.
3.1.5. Frequenzabhängigkeit der Transformation
Die Transformationen in den vorangegangenen Abschnitten wurden für nur jeweils eine Fre-
quenz ausgeführt. Alle Transformationsschaltungen mit wenigen Ausnahmen erweisen sich als
frequenzabhängig.
Am Beispiel des Bildes 3.10 ist dies für eine Transformation von 100 Ω in verschiedene reelle
Widerstände von 200 Ω bis 500 Ω anhand zweier Blindwiderstände gezeigt.
Für Frequenzen unter der Sollfrequenz f0 werden die Blindwerte XS und BP kleiner, die Impe-
danz Z wird nicht mehr reell, sondern induktiv. Umgekehrt verhält es sich für Frequenzen über
f0 , bei denen die Impedanz kapazitiv wird. Es gilt mit wenigen Ausnahmen die Regel:
Die Frequenzabhängigkeit steigt mit der Länge des Transformationsweges.

41. 3.2. Resonanzkompensation 41
Bild 3.10.: Frequenzabhängigkeit der Transformationsschaltung
3.2. Resonanzkompensation
Ein in der Hochfrequenztechnik sehr häufiges Problem stellen reelle Verbraucher dar, denen ein
parasitäres Blindelement in Serie oder parallel geschaltet ist. Aufgabe in diesen Fällen ist es,
die Blindelemente zu kompensieren. Der theoretisch einfachste Fall der Kompensation besteht
darin, einen Serienblindwiderstand jXS durch einen negativen, gleich großen Blindwiderstand
−jXS zu kompensieren wie Bild 3.11(a) zeigt.
Bild 3.11(b) zeigt den Fall für eine parallelgeschaltete Blindstörung. Diese Art der Resonanz-
kompensation hat sich jedoch nicht bewährt, da Frequenzänderungen und Bauteiltoleranzen zu
großen Fehlern führen. Abseits der Resonanzfrequenz verschlechtert sich die Kompensation
sehr schnell, da XL und XC bzw. BL und BC dort nicht proportional verlaufen.

42. 42 3. Passive, lineare Schaltungen
(a) (b)
Bild 3.11.: Resonanzkompensation von Serien- und Parallelblindstörungen
3.3. Breitbandkompensation
Im Gegensatz zu den vorher besprochenen Transformationen haben Breitbandschaltungen die
Aufgabe, Anpassung nicht nur für eine Frequenz, sondern für ein gegebenes Frequenzband zu
erzeugen. Um Breitbandkompensationen konzipieren zu können, ist es erforderlich, das Fre-
quenzverhalten der Impedanzen zu kennen.
Bei einer Breitbandkompensation soll für einen gegebenen Frequenzbereich die resultierende
Impedanz innerhalb eines bestimmten, vorgegebenen Bereichs bleiben (Fehlerkreis). Fehler-
kreise werden in der Regel als die Grenzen für minimale Leistungsanpassung angegeben.
Kompensationen laufen in der Praxis darauf hinaus, dass man versucht, eine Schleife in den
Fehlerkreis zu bringen. Bild 3.12 zeigt bezogen auf das Bild 3.11(a) die Wirkung einer Serien-
resonanzkreiskompensation.
Gegeben ist ein frequenzabhängiger Widerstand Z, von dessen Verlauf ein Teil einer Schleife
in der Widerstandsebene gezeichnet ist. In Serie zu ihm wird ein Serienresonanzkreis mit dem
Blindwiderstand jXS geschaltet. Bei der Resonanzfrequenz ist XS = 0 und Z bleibt unver-
ändert. Für Frequenzen oberhalb der Resonanz ist XS induktiv (positiv) und Z wird senkrecht
nach oben verschoben und zwar umso mehr, je weiter man sich von der Resonanzfrequenz
entfernt. Liegt die betrachtete Frequenz dagegen unterhalb der Resonanzfrequenz, so wird XS
kapazitiv (negativ) und transformiert Z nach unten. Bei richtiger Wahl von L und C bildet sich
eine Schleife.
Die Schaltungen werden desto breitbandiger, je mehr benachbarte Schleifen in den Fehlerkreis
gelegt werden können. Jedoch benötigt man hierzu einen vergrößerten Schaltungsaufwand und

43. 3.3. Breitbandkompensation 43
C
f L
X
C
Z Z1
Z
R
Z1
Fehlerkreis
f
L
Bild 3.12.: Erzeugung einer kleinen Schleife durch Resonanzkompensation
die Dimensionierung wird kritischer, so dass man nur in Ausnahmefällen diese Verbesserung
anwenden und erfolgreich durchführen wird.
In Bild 3.13 sind drei Beispiele für Breitbandkompensation dargestellt:
• Tiefpasskompensation,
• Bandpasskompensation,
• Hochpasskompensation.
Nur bei reinen Wirkwiderständen Z0 = R0 gibt es die Möglichkeit des Tiefpasses, bei dem der
Widerstand Z von der Frequenz Null bis zu einer oberen Grenzfrequenz in einem möglichst
großen Frequenzbereich in seinem Anfangswert R0 annähernd festgehalten wird. Die ersten
Schleifen der Kurve in Bild 3.13 sind dann sehr klein und liegen bis zur Frequenz fC innerhalb
des zulässigen Fehlerkreises um den Punkt R0 herum. Ebenso gibt es nur bei reinen Wirkwi-
derständen Z0 = R∞ die Form des Hochpasses, bei dem der Widerstand in einem möglichst
großen Frequenzbereich oberhalb einer unteren Grenzfrequenz bis zu beliebig hohen Frequen-
zen in seinem Endwert R∞ annähernd festgehalten wird. Die letzten Schleifen der Kurve in
Bild 3.13 sind dann sehr klein und liegen oberhalb einer Frequenz fC innerhalb des zulässigen
Fehlerkreises um den Punkt R∞ herum. Prinzipiell ist es auch nicht ausgeschlossen, einen ins-
gesamt frequenzunabhängigen Wirkwiderstand zu schaffen, wenn R0 = R∞ realisiert werden
kann. In diesem Fall können sämtliche Schleifen innerhalb des zulässigen Fehlerkreises um den
Punkt R0 = R∞ herum liegen.
Bei der Kompensation versucht man, den Wirkanteil R der Impedanz Z = R + jX zu erzeugen
und den Blindanteil zu beseitigen. Die einfachsten Schaltungen zur Kompensation bestehen aus

44. 44 3. Passive, lineare Schaltungen
Bild 3.13.: Mehrfache Breitbandschleifen
nur einem Blindelement.
Hier gilt die wichtige Regel der Breitbandkompensation:
Breitbandig können Serienblindwiderstände nur durch Parallelblindleitwerte kompensiert wer-
den und umgekehrt.
Daraus folgt:
kompensiert
jXS ←− − −→
−−−− jBP
kompensiert
−jXS ←− − −→
−−−− −jBP . (3.20)
Bild 3.14 zeigt als Beispiel die Frequenzabhängigkeit des Widerstandes Z1 durch den Störpar-
allelblindleitwert BP und die Kompensation dieser Störung.
Schaltet man den Blindwiderstand jXS in Serie zu Z1 , so gilt:
1
Z2 = + jXS
1
+ jBP
R
R R2 BP (3.21)
= + j XS −
1 + (BP R)2 1 + (BP R)2
= R2 + jX2 .

45. 3.3. Breitbandkompensation 45
XS
X
R BP
Z1 Z2
Z2 R
R
XS BP
Z1
Bild 3.14.: Kompensation eines Blindelementes
Für eine sinnvolle Kompensation muss R2 ≈ R gelten, d. h. (RBP )2 muss klein gegen 1 sein.
Dann gilt
Z2 ≈ R + j(XS − R2 BP ) (3.22)
und man erhält als Bedingung für die Kompensation
XS = R2 BP . (3.23)
Damit die Kompensation in einem größeren Frequenzbereich gültig ist, muss die Frequenz-
abhängigkeit von XS (f ) und von BP (f ) gleich sein. Dies lässt sich durch folgenden Ansatz
erfüllen
F (f )
XS (f ) = R · F (f ) ; BP (f ) =
R
XS
F (f ) = XS BP ; R= . (3.24)
BP
Wie aus Bild 3.14 zu erkennen ist, wird der Verbraucher R nicht exakt wieder nach R transfor-
miert. Der wirkliche Eingangswiderstand Z2 lautet
1 F3
Z2 = R · +j . (3.25)
1 + F2 1 + F2
Der Frequenzbereich der Kompensation ist also beschränkt. Er wird definiert als derjenige Be-
reich, in dem der Fehler der kompensierten Schaltung kleiner ist als der der unkompensierten

46. 46 3. Passive, lineare Schaltungen
Bild 3.15.: Duale Schaltung zu Bild 3.14
Schaltung. Dieser Bereich ist gegeben durch
|Z2 − R| < |Z1 − R| (3.26)
mit
1 F
Z1 = R · 2
+j . (3.27)
1+F 1 + F2
und somit durch |F | < 1, bzw.
|XS BP | < 1 oder |RBP | < 1 . (3.28)
Die Frequenzen, bei denen F = ±1 ist, nennt man Grenzfrequenz fc , bzw. ωc oder die kritische
Frequenz der Kompensation.
Für die duale Schaltung nach Bild 3.15 lassen sich die entsprechenden Gleichungen herleiten:
1
Y2 = +jBP (3.29)
R + jXS
1
Y1 = Z
1
1 1 F3 1
Y2 = +j ; Z2 = (3.30)
R 1 + F2 1 + F2 Y2
Auch hier lautet die Bedingung für die Grenzfrequenz |F | < 1, bzw.
XS
|XS BP | < 1 oder | |<1 . (3.31)
R

47. 3.3. Breitbandkompensation 47
L L
C
R C R
Z1 Z2 Z1 Z2
(a) (b)
Bild 3.16.: Tiefpasskompensation
C C
R L R L
Z1 Z2 Z1 Z2
(a) (b)
Bild 3.17.: Hochpasskompensation
3.3.1. Tiefpass- und Hochpasskompensation
Aus den allgemeinen Betrachtungen des letzten Abschnitts lassen sich durch entsprechende
Wahl der Größen BP und XS die in Bild 3.16 und 3.17 gezeigten Schaltungen ableiten.
Man unterscheidet zwei verschiedene Kompensationsarten, deren besondere Eigenschaften sich
mit den Ergebnissen des vorigen Abschnitts direkt angeben lassen.
Tiefpasskompensation
Beim Vergleich von Bild 3.14 und 3.16(a) ergibt sich
BP = ωC und XS = ωL . (3.32)
Nun erhält man als Kompensationsbedingung nach (3.23)
L
L = R2 C bzw. C= (3.33)
R2

48. 48 3. Passive, lineare Schaltungen
und als Grenzfrequenz nach (3.26) mit Einsetzen von (3.23)
1 1
fc = √ = wobei 0 < f < fc . (3.34)
2π LC 2πRC
Der Impedanzverlauf dieser Schaltung wird in Bild 3.18(a) gezeigt. Bei sehr tiefen Frequenzen
wird Z2 = R. Mit steigender Frequenz nähert sich die Impedanz asymptotisch der positiven
imaginären Achse. Der Schnittpunkt mit dem Kreis der Impedanz Z1 liegt bei der Grenzfre-
quenz fc .
Zusätzlich dargestellt in Bild 3.18(a) ist die Leistung einer Quelle mit der Innenimpedanz R, die
an die Verbraucher Z1 und Z2 abgegeben wird, über der Frequenz aufgetragen. Es zeigt sich,
dass diese nur für f = 0 mit der in (3.6) berechneten Maximalleistung Pw,max übereinstimmt.
Es wird außerdem deutlich, dass im Bereich 0 ≤ f ≤ fc mehr Leistung an die kompensierte
Last abgegeben werden kann.
Aufgrund des Dualitätsprinzips gelten diese Formeln auch für die duale Tiefpasskompensati-
onsschaltung (Bild 3.16(b)).
Hochpasskompensation
Es ergeben sich nun beim Vergleich von Bild 3.14 und 3.17(a)
1 1
BP = − und XS = − . (3.35)
ωL ωC
Die Kompensationsbedingung nach (3.23) lautet hier
L
L = R2 C bzw. C= (3.36)
R2
und die Grenzfrequenz nach (3.26) durch Einsetzen von (3.23) ist gegeben durch
1 R
fc = √ = , wobei hier fc < f < ∞ . (3.37)
2π LC 2πL
Der Impedanzverlauf dieser Schaltung ist in Bild 3.18(b) gezeigt. Bei sehr hohen Frequenzen
wird Z2 zu R, mit sinkender Frequenz nähert sich die Impedanz asymptotisch der negativen
imaginären Achse an. Der Schnittpunkt mit dem Kreis der Impedanz Z1 liegt bei der Grenzfre-
quenz.
Zusätzlich dargestellt in Bild 3.18(b) ist die Leistung einer Quelle mit der Innenimpedanz R,
die an die Verbraucher Z1 und Z2 abgegeben wird, über der Frequenz aufgetragen. Es zeigt sich,
dass diese nur für f → ∞ mit der in (3.6) berechneten Maximalleistung Pw,max übereinstimmt.

49. 3.3. Breitbandkompensation 49
(a) Tiefpasskompensation
(b) Hochpasskompensation
Bild 3.18.: Impedanzverlauf und Leistungsbetrachtung einer Tief- und Hochpasskompensation

50. 50 3. Passive, lineare Schaltungen
Bild 3.19.: Impedanzverlauf der dualen Tief- und Hochpasskompensationsschaltungen
Es wird außerdem deutlich, dass im Bereich fc ≤ f ≤ ∞ mehr Leistung an die kompensierte
Last abgegeben werden kann.
Dank des Dualitätsprinzips gelten diese Formeln auch wieder für die duale Hochpasskompen-
sationsschaltung nach Bild 3.17(b).
Allgemein gilt: Der Breitbandigkeit bei der Kompensation sind durch die gegebene Impedanz
Z1 Grenzen gesetzt, da durch R und BP bzw. R und XS die Grenzfrequenz für die Kompensa-
tion bereits festliegt. Keine noch so komplizierte Schaltung kann sie verbessern.
3.3.2. Bandpasskompensation
Bandpasskompensationen sind möglich, wenn das störende Blindelement einen Resonanzkreis
darstellt.
Kompensiert wird mit dem dualen Resonanzkreis wie ihn Bild 3.20 zeigt. Die beiden Reso-
nanzkreise haben die gleiche Resonanzfrequenz fR . Bei fR ist Z1 = R. Auch hier können die
allgemeinen Betrachtungen zur Breitbandkompensation herangezogen und auf die Schaltung
in Bild 3.20(a) angewendet werden; entsprechend dem Dualitätsprinzip gelten die Ergebnisse
auch für die Schaltung in Bild 3.20(b).
1
LP CP = LS CS = 2
(3.38)
ωR
Für die Dimensionierung gelten danach die nachfolgenden Gleichungen, wobei die Frequenz-

51. 3.3. Breitbandkompensation 51
Ls Cs Ls Cs
Lp Cp Lp Cp
R R
Z1 Z2 Z1 Z2
(a) (b)
Bild 3.20.: Bandpasskompensation
abhängigkeit gegeben ist durch
1 LS f fR
XS (f ) = ωLS − = · − ,
ωCS CS fR f
1 CP f fR
BP (f ) = ωCP − = · − . (3.39)
ωLP LP fR f
XS und BP haben also die gleiche Frequenzabhängigkeit. Da auch hier (3.23) gilt, folgt
1
4 LS LP LS LP 4
R= = . (3.40)
CS CP CS CP
Im Widerstandsdiagramm durchläuft die Impedanz Z2 bei Resonanzkompensation die Summe
der Kurven für Hoch- und Tiefpasskompensation. Der Impedanzverlauf von Z2 für die Schal-
tung aus Bild 3.20(a) ist in Bild 3.21(a) dargestellt, der der Schaltung aus Bild 3.20(b) in Bild
3.21(b).
Die Grenzfrequenzen sind wiederum bereits durch Z1 mit R und XS bzw. BP gegeben und
liegen dort, wo sich die Impedanzkurven von Z2 und Z1 schneiden.
Z2 (fC ) = Z1 (fC ) (3.41)
Auch hier kann man zur Berechnung der Grenzfrequenz auf (3.26) zurückgreifen und erhält
diese nach Einsetzen der Terme (3.39).
Die Impedanzschleifen der Eingangswiderstände der kompensierten Schaltungen (Bild 3.21)
sind zur Spitze entartet. Durch geringfügiges Ändern der Kompensationselemente erhält man
ausgeprägte Schleifen.

52. 52 3. Passive, lineare Schaltungen
Z1
X
f
Z2
R
f
(a) (b)
Bild 3.21.: Impedanzverlauf der Bandpasskompensation
Allgemein gilt: Je komplizierter eine Kompensationsschaltung ist, desto präziser müssen die
Elemente gewählt werden, da schon kleine Fehler zum Abwandern der Impedanz führen.

53. 4. Leitungstheorie
Die Energieübertragung zwischen Generator und Verbraucher findet bei höheren Frequenzen in
der Regel über Leitungen statt. Eine Leitung im engeren Sinn besteht aus zwei voneinander iso-
lierten Leitern und evtl. einer Abschirmung. Die Abschirmung ist häufig mit einem der beiden
Leiter identisch, z.B. bei der koaxialen Leitung.
Die Leitung wird als homogen bezeichnet, wenn sie eine über die Leitungslänge völlig gleich-
mäßige Querschnittsstruktur sowohl der Leiter als auch des Dielektrikums besitzt; sie gilt als
quasi homogen, wenn gewisse Querschnittsabweichungen, z.B. Stützisolatoren, sich in kurzen
Abständen periodisch wiederholen. Wann diese Abstände als kurz zu bezeichnen sind, kann erst
nach Entwicklung der Theorie definiert werden.
Der Anwendungsbereich von Leitungen umfasst allgemein
• Energie- und Signalübertragung,
• Mess- oder Abtastleitungen,
• Erzeugung von Blindelementen in der HF-Schaltungstechnik.
In der Praxis existiert eine große Vielfalt von Leitungen, die auf die jeweilige Anwendung
optimiert sind. Beispiele sind in Bild 4.1 dargestellt.
53

54. 54 4. Leitungstheorie
Bild 4.1.: Querschnitte durch verschiedene TEM-Leitungstypen