Cuadernillo de matemáticas de 3º año E.N.S.Nº 75 "Julio Cortázar"

1. Introducción
En este apunte encontrarás desarrollados los contenidos de Matemáticas de 3º año, según el
programa de la E.N.S.Nº 75 “Julio Cortázar”. Si bien están muy resumidos, te servirán de guía
para todo el año.
Las actividades se complementarán con trabajos prácticos y otros temas que se darán durante el
ciclo lectivo.
Quiero aclararte que no es un “librito de cuentos”, por lo tanto tendrás que leerlo detenidamente y
hacer todos los ejercicios planteados, memorizar alguna definición y plantear contraejemplos si
quieres aprender.
Como lo expresé, es una “guía de estudio”, te sugiero para su mejor y mayor comprensión ampliar
con la lectura de la bibliografía recomendada; asistir a clases, prestar atención en las mismas y
participar preguntando sobre todo aquello que te genere dudas. Comenzamos con Monomios y
terminamos en inecuaciones.
Aclaración: Esta guía será sujeta a revisión durante el ciclo lectivo 2007.
El autor: Profesor Miguel A. Parente – Enero – Febrero/2007-
Monomios y Polinomios
Llamamos monomios a toda expresión del tipo axn, en donde a ∈ Real, x es la variable y n ∈
Natural. Además, a es el coeficiente del monomio y n representa el grado del mismo. Los
3 5 7
monomios pueden ser de una variable o más. Ejemplos de monomios: -5m2 ; a b ; etc.
4
Monomios semejantes: son aquellos que tienen igual parte literal. Ejemplo: 2x3y, 5yx3 ; 4y5, -y5
Polinomios: Llamamos polinomios a toda expresión de la forma anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + …+ a0.
en donde a ∈ R y n ∈ N. Un polinomio de un término se llama monomio, de dos: binomio, de tres:
trinomio y de cuatro: cuatrinomio.
Función polinómica es aquella que se define a través de un polinomio, o sea P(x) = anxn + an-1xn-1
+ an-2xn-2 + ……+ a0 , por ejemplo P(z) = 5z6 – 4z4 + 3z - 8, y devuelve un valor para un cierto z.
Ejemplo: Sea P(x) = 4x3 – 3x2 + x – 4; hallar P(-2) → P(-2)= 4(-2)3 – 3(-2)2 + (-2) – 4 →
4(-8) -3(4) + (-2) – 4= -32 -12 -2 – 4= -50
7 1 1
Ejercicios: encontrar el valor de la función polinómica P(x) = x 3 − x 2 − 6 para x = 0 ∧ x = .
8 4 2
Operaciones con Polinomios: Las operaciones con polinomios se basan en las mismas reglas
básicas de operación de números Reales.
Suma de Polinomios: La suma de dos o más polinomios se obtiene sumando sus monomios
semejantes. Es conveniente primero ordenarlos de mayor a menor grado. Ejemplo:
1 2 3 3
Sean: P(x)= 2 + x − x 2 + 5 x 3 y Q(x)= x − x 3 − 5 Los ordeno de mayor a menor:
2 3 2 4
1 2 2 2 2 1 3 3 3 3
2 + x − x + 5x 3 = 5x 3 − x + x + 2 ; x − x3 − 5 = − x3 + x − 5
2 3 3 2 2 4 4 2
los sumo:
2 1
P(x) 5x 3 − x 2 + x + 2
3 2
3 3 3
Q(x) − x + x −5
4 2
17 3 2 2
P(x) + Q(x)= − x − x + 2x − 3
4 3
Parente Miguel Angel – 2007- 1

2. Resta de Polinomios: Para restar hay al menos dos métodos, el primero es la resta normal como
todos la conocemos, y el segundo consiste en cambiar todos los signos del polinomio sustraendo,
y luego efectuar la operación suma. Para los polinomios del ejemplo anterior, resto Q(x) a P(x):
2 1
P(x) 5x 3 − x 2 + x + 2
3 2
3 3 3
Q(x) + x − x+5
4 2
23 3 2 2
P(x) - Q(x)= + x − x − 1x + 7
4 3
Producto de Polinomios: Para multiplicar dos polinomios se aplican la ley distributiva del
producto respecto a la suma y luego se suman los términos semejantes, si los hay. Ejemplo:
P(x)= -6x2 + 3x - 5 ; Q(x)= -2x2 + 4x
Aplicando distributiva:
(-6x2 + 3x - 5) • (-2x2 + 4x) = 12x4 - 24x3 - 6x3 + 12x2 + 10x2 – 20x = 12x4 - 30x3 + 22x2 – 20x
O bien:
P(x) 4x4y – 7x2y + 3y
Q(x) – 3x2y + 2y
-12x6y2 + 21x4y2 – 9x2y2
8x4y2 -14x2y2 + 6y2
P(x) • Q(x)= -12x6y2 + 29x4y2 - 23x2y2 + 6y2
División de polinomios: La división de polinomios se efectúa siguiendo las reglas: Se ordenan
de mayor a menor ambos polinomios y si el dividendo no está completo, se lo completa antes de
comenzar el proceso de división.
Ejemplo: Sean P(x) = 6x5 + 4x4 - 2x2 – 5; y Q(x) = 2x 3 − 3
Observamos que los polinomios P(x) y Q(x) están ordenados, pero P(x) no está completo, motivo
por el cuál completamos P(x), quedando así:
P(x) = 6x5 + 4x4 + 0x3 - 2x2 + 0x – 5
Ahora procedemos a efectuar la división:
dividendo
6x5 + 4x4 + 0x3 - 2x2 + 0x – 5 2x3 -3 → divisor
-6x5 +9x2 3x2 + 2x → cociente
4x4 + 0x3 +7x2 + 0x – 5
-4x4 + 6x
+7x2 + 6x – 5 → Resto
Regla de Ruffini: Esta regla se usa para dividir un polinomio por otro de la forma (x ± a).
1 5 2 1 1
Ejemplo: J(x) = − x 4 + x + 2x − ; D(x) = x + . Efectuar T(x) = J(x)/D(x).
4 16 3 2
1 4 5 2 1
Ordeno y completo el dividendo → J(x) = − x + 0 x 3 + x + 2x −
4 16 3
Tomo los coeficientes de J(x) y el término independiente de D(x) cambiado de signo, y los coloco
de la siguiente manera:
Parente Miguel Angel – 2007- 2

3. 1 5 1
− 0 2 −
4 16 3
-a
1 1 1 1 15
− +
− − − Resto
2 8 16 8 16
1 1 1 15 61
− + + + −
4 8 4 8 48
Procedimiento: bajo el primer coeficiente del dividendo y lo multiplico por (-a) y lo ubico en la
segunda columna. Sumo o resto dicho valor con el segundo coeficiente de J(x) de acuerdo al
signo, y al resultado lo multiplico por (-a) y se ubica en la columna siguiente y así sucesivamente,
1 1 1 15 61
quedando el resultado de la división : T(x) = − x 3 + x 2 + x + y el resto es − . Observe
4 8 4 8 48
que en la división, el polinomio resultante tiene un grado menos que el dividendo.
Ejercicios:
a) Calcula las siguientes funciones polinómicas
1) P(x)= -4x3 + 2x2 – 7x + 5 obtén P(2). 2) Q(X)= 6x3 -12x2 - 8x - 3 obtén Q(-1).
3 2
3) P(x)= x - 4x + 3x - 7 obtén P(a). 4) Q(X)= 7x3 +10x2 +6 obtén Q(c/2).
b) Dados los polinomios P(x) y Q(x) resuelve las operaciones siguientes:
P(X) = - 36x3 + 40x2 – 16x + 75
Q(X) = + 50x3 - 28x2 + 34x + 100
bi) P(x) + Q(x) bii) Q(x) - P(x) biii) 4[P(x)] + 3[Q(x)] biiii) P(x) x Q(x)
biiiii) P(x) ÷ Q(x).
c) Analiza:
ci) cómo es el grado del polinomio que resulta de la suma. Emite alguna ley.
cii) cómo es el grado del polinomio que resulta del producto. Emite alguna ley.
ciii) cómo es el grado del polinomio que resulta de la división. Emite alguna ley.
4 2 3 3
d) Sean los polinomios P(x) = x − x y Q(x) = - , Realiza P(x) • Q(x)
5 8 2
2 2 4 1 3
e) Sean los polinomios P(x) = x − x − 6 ; Q(x) = - x 4 − 3 ; R(x) = x 3 − x .
7 5 2 2
ei) Realiza [P(x) • Q(x)] ÷ R(x).
eii) Verifica las leyes: Cierre, Asociativa y Conmutativa para la suma y el producto
f) Evalúa J(x,y) = 3xy2 – 2x2y, para: x= 5, y= -2
g) Calcula (3 + 2)2 por suma y potencia simple y como producto de la base por si misma.
h) Realiza (a + b)2, (c + d)2, (2a + 3b)2 y emite alguna ley.
i) Realiza (a + b)3, (c + d)3, (2a + 3b)3 y emite alguna ley
j) En centavos por kilómetro, el costo de conducir un automóvil a una velocidad v se aproxima por
medio de la función polinómica C(v) = 0.002v2 – 0.21v + 15. ¿Cuánto cuesta conducir a 50 Km/h y
a 80Km/h?
k) El polinomio 0.524hD2 + 0.62hd2, proporciona el volumen aproximado de ciertos barriles, en
donde d es diámetro interior, D es diámetro exterior y h la altura encuentra el volumen para h =
105cm, d = 48cm y D = 50cm.
l) El polinomio π(R2 –r2), proporciona la superficie de una arandela. Calcula el área de una
arandela de R =12mm y r = 4mm.
ll) Con una chapa cuadrada de 50cm de lado, se pretende hacer una caja sin tapa, cortando las
esquinas y doblando los lados. Obtén la expresión del volumen de la caja y calcula para que altura
de lado el volumen es máximo.
Parente Miguel Angel – 2007- 3

4. Factorización de polinomios
La factorización es el procedimiento mediante el cuál se transforma un polinomio en un producto.
Existen al menos 5 casos de factorización
1.- Extracción de factor común
Consiste en verificar que factor es común (se repite en todos los términos) en el polinomio y
extraerlo como constante.
Ejemplo: 5x4 – 4x3 + x2 + 6x (polinomio completo de cuarto grado). Vemos que la x está en todos
los términos del polinomio, aunque a distintas potencias (x4, x3, x2, x). De todos los posibles
factores comunes, para el caso únicamente la x, lo extraemos con su menor exponente, para el
caso x1 = x, de tal manera que quedaría así:
5x4 – 4x3 + x2 + 6x = x (5x3 – 4x2 + x + 6)
Polinomio polinomio factorizado
Si al polinomio factorizado, le aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la
suma y resta obtenemos el polinomio inicial, esto es:
x • (5x3 – 4x2 + x + 6) = 5x3. x – 4x2. x + x .x + 6. x = 5x4 – 4x3 + x2 + 6x
De la misma manera el polinomio: -3y5 + 6y3 +9y2 = 3y2 (-y3 + 2y +3), en este ejemplo, no sólo
sale una letra (y), como factor común sino además un numero (3), esto es así porque al primer
polinomio se lo podía expresar de la siguiente manera:
-3y5 + 6y3 +9y2 = -1.3y5 + 2.3y3 +3.3y2, de donde se sigue que el 3 es un factor común.
Ejercicios: Extraer el factor común de los siguientes polinomios:
2a4 -5a3 =
14b3 – 5b2 – 3b =
7xy -5xy2-3x2y =
2z2 – 4z3 +6z + 4z5 =
6bx3 + 3b2k3x3 – 9b5kx4 – 12bk6 =
1 4 2 1 3 3 1
x a − x a c − x 5a 4c 2 =
2 4 8
2.- Extracción de factor común por grupos
Sea el polinomio: xy + 2x + 3y + 6. Para este ejemplo no podemos sacar un factor común, ya que
no hay ninguno, pero podemos asociarlo de la siguiente manera:
xy + 2x + 3y + 6 = (xy + 2x ) + (3y + 6) podemos sacar factor común del primer paréntesis x, y del
segundo 3 → x •(y + 2) + 3 •(y + 2); ahora resulta que (y + 2) es factor común, por lo tanto
factoreamos nuevamente, y nos queda x •(y + 2) + 3 •(y +2) = (x + 3) • (y +2). De tal manera que
la cadena de igualdades nos queda:
xy + 2x + 3y + 6 = (xy + 2x ) + (3y + 6) = x •(y + 2) + 3 •(y + 2) = (x + 3) • (y + 2)
Ejemplo: 10xy - 15ab + 6x2y – 9abx
Ordenando de la siguiente manera obtenemos: 10xy + 6x2y - 15ab – 9abx, asociando nos queda:
(10xy + 6x2y) + (-15ab - 9abx), sacando factor común pasamos a la siguiente expresión:
2xy • (5 + 3x) - 3ab • (5 +3x), de donde se sigue que:
2xy • (5 + 3x) - 3ab • (5 +3x) = (5 +3x) • (2xy - 3ab)
Ejercicios: Extraer factor común por grupos
2ax + 2ay + 3bx +3by=
4x3 – 2yx3 – 4y2x2 + 8yx2=
X3 + 6y2 + 3x2y + 2xy - 5x – 15y=
3a2b5 + 2a3b3 - 3ab6 + 3a5b2 – 2a2b4 – 3a4b3=
Parente Miguel Angel – 2007- 4

5. 3.- Cuadrado de un binomio (Trinomio Cuadrado Perfecto)
La expresión (a + b)2, se puede desarrollar de acuerdo a las reglas conocidas de la potencia. Es
decir dicha expresión quedaría así (a + b)2 = (a + b) • (a + b)= a2 + ab + ba + b2, si bien en un
principio queda un cuatrinomio, observando que los términos centrales (1ab + 1ba) tienen la
misma parte literal, se pueden sumar, y por lo tanto queda a2 + 2ab + b2, de donde se sigue que
finalmente se transforma en un trinomio.
En otras palabras y generalizando (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 y por supuesto, por ser una igualdad se
da que: a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2, que es lo que nos interesa.
Como regla para determinar si un trinomio es cuadrado perfecto se deben dar dos condiciones:
▪ dos de sus términos deben ser cuadrados perfectos
▪ el restante es el doble producto del primero por el segundo
Ejemplos: (analizar si los trinomios dados son cuadrados perfectos)
12xy + 4x2 + 9y2
a) hay dos términos que son cuadrados perfectos (4x2 y 9y2), cuyas raíces son ±2x y ±3y
respectivamente.
b) 12xy = 2. ±2x. ±3y, (doble producto del primero por el segundo)
Por lo tanto 12xy + 4x2 + 9y2 verifica ser un trinomio cuadrado perfecto, y lo expresamos como:
(2x + 3y)2.
Si hubiera sido -12xy + 4x2 + 9y2, también verificaría las condiciones quedando (2x - 3y)2.
r2 – 6rs + 4s2
a) verifica dos términos cuadráticos (r2 y 4s2), cuyas raíces son: ±r y ±2s
b) -6rs ≠ 2. ±r . ±2s
De donde se concluye que no es trinomio cuadrado perfecto.
También se dice que el cuadrado de un binomio es igual a: “el cuadrado del primero más el doble
producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo”
Ejercicios: (determinar si las expresiones son trinomios cuadrados perfectos y expresarlos como
cuadrado de un binomio)
- x + 1 + x2 - x=
X2 + 4x + 1=
4a2b2 + 32abcd + 4c2d2=
1 2 1 1 2
u − uv + v =
4 4 16
1 2 2
a b + a 2b + a 2 =
4
4.- Cubo de un binomio (Cuatrinomio cubo perfecto)
Para que un cuatrinomio sea cubo perfecto se deben dar las siguientes condiciones:
▪ dos de sus términos deben ser cubos perfectos
▪ uno de los restantes debe ser el triple producto del cuadrado del primero por el segundo y
▪ el que queda debe ser el triple producto del primero por el cuadrado del segundo
Si tenemos (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3, esto se puede verificar realizando el triple producto de
la base: (a + b)3 = (a + b) • (a + b) • (a + b) (Verifíquelo!!!)
Ejemplo: 27u3 + 54u2v + 36uv2 + 8v3
3 2 2 2 2
27u 3 = 3u ; 3 8v 3 = 2v ; además: 3• (3u) • (2v) = 54u v, y 3• (3u)• (2v) = 36uv , por lo tanto es
cuatrinomio cubo perfecto.
Ejercicios: (determinar si las expresiones son cuatrinomios cubos perfectos y expresarlos como
cubo de un binomio)
1 9 3 6 3 3 2 1 3
x − x y+ x y − y =
8 16 32 64
-8a6 – 36a4b – 54a2b2 – 27b3=
3 1
8u 3 + 6u 2 v + uv 2 + v 3 =
2 8
125 + 225u + 115u2 + 27u3=
Parente Miguel Angel – 2007- 5

6. 5.- Diferencia de Cuadrados
Se presenta cuando en el binomio, los dos elementos son cuadrados perfectos y además se están
restando. En este caso se transforma dicha diferencia en un producto de la siguiente manera:
(x2 – y2) = (x – y) • (x + y) ∨ (81a4 – 16b2) = (9a2 – 4b) • (9a2 + 4b).
En el primer caso (x2 – y2) = (x – y) • (x + y), aplicamos al segundo miembro la propiedad
distributiva y obtenemos: x2 + xy – yx + y2, como los factores del medio son iguales y de signo
opuestos, es válida la ley cancelativa para la suma, por lo tanto se anulan quedando x 2 – y2.
Observando el segundo miembro mencionado, vemos que los signos en los paréntesis son
distintos, lo cuál es lógico, pues si fueran los mismos sería el cuadrado de un binomio y no una
diferencia de cuadrados.
Ejercicios:
1 2 4 4
a b − =
4 9
81 2 49 4
x − z =
16 9
-4c2 + 9d9 =
-16s2c4v9 + 81a81n49 =
Simplificación de expresiones polinómicas
Se trata de llevar una expresión polinómica compleja, a su mínima expresión, siempre que esto
sea posible. Si bien la infinita variedad de casos que se pueden plantear excede a este programa,
veremos algunos de ellos. La forma de resolver estas situaciones viene dada por la aplicación de
los 5 primeros puntos.
x 3 + 6 x 2 + 12x + 8
Ejemplo: = si miramos la parte superior, notamos que no podemos aplicar
2x 2 + 8 x + 8
extracción de factores comunes, excepto por grupo, pero también tiene “pinta” de ser un trinomio
cuadrado perfecto. Al verificar esta situación obtenemos (x + 2)3; por el contrario en el
denominador hay factor común, al extraerlo nos queda 2(x2 + 4x + 4) expresión que observando
mejor vemos que dentro del paréntesis hay el cuadrado de un binomio (x 2 + 4x + 4) = (x +2) 2.
Remplazando el numerador y el denominador tenemos:
x 3 + 6 x 2 + 12x + 8 (x + 2) 3 (x + 2) Esta última simplificación es a raíz de la propiedad de
= 2
=
2
2x + 8 x + 8 2 ⋅ (x + 2) 2
cociente de potencias de igual base.
Ejercicios:
x 2a + 2xay + y 2a − x 2b − 2bxy − by 2 1
• =
2
(a − b )2
(x + y)
 8 − hy + 4 − 2y ( 4 + y ) 2  1
 • ÷ =
 (16 − y )
2
(6 + 3h)  2
Ecuaciones lineales con una incógnita
Dicho en términos “caseros”, una ecuación lineal de una incógnita, es una igualdad en donde
interviene una variable (normalmente x, pero nada impide que sea otra letra). Resolver la
ecuación es encontrar el valor de esa variable que justifica la igualdad.
Ejemplo: 2x + 5= 11 Hay un solo valor de x para lo cual eso es cierto (3), verificamos la certeza
reemplazando el valor hallado en la variable y nos queda: 2.3 + 5= 11. No existe otro valor distinto
de 3, que multiplicado por 2 y aumentado en 5 de como resultado 11.
Luego de resolver una cierta cantidad de ejercicios uno memoriza determinadas reglas que son
válidas para el efecto, como: “lo que está sumando o restando pasa al otro lado haciendo la
operación inversa” o “lo que está multiplicando o dividiendo pasa con su signo al otro lado
haciendo la operación inversa”.
Ejemplo: -2.x – 10 = 0 → -2.x = 10 → x = 10/(-2) → x = -5
Parente Miguel Angel – 2007- 6

7. Aquí se aplicó lo siguiente: el 10 estaba restando, pasó al otro lado del igual, sumando; el 2
estaba multiplicando, pasó al otro lado del igual con su signo, dividiendo.
A todo este mecanismo lo llamamos “pasaje de términos”. Ahora veremos en que se sustenta o
que justifica, el pasaje de términos.
Arrancamos con la misma igualdad:
-2.x + 10 = 0
La ley uniforme de la suma dice que si a ambos miembros de una igualdad le sumamos o
restamos una misma constante, la igualdad no varía.
-2.x + 10 - 10 = 0 – 10
La ley asociativa dice que en una suma o resta podemos agrupar los valores de manera
conveniente, así:
-2.x + (10 - 10) = (0 – 10)
La existencia de inverso aditivo nos dice que la suma de un número con su inverso aditivo da
como resultado el elemento neutro para la suma (0).
-2.x + (0) = (0 – 10)
La existencia del elemento neutro para la suma nos dice que si sumamos o restamos el
elemento neutro a un número cualquiera, da como resultado dicho número.
-2.x = -10
La ley uniforme del producto dice que si a ambos miembros de una igualdad lo multiplicamos por
una misma constante, la igualdad no varía.
1 1
- • -2.x = - • -10
2 2
La ley asociativa permite agrupar los valores de manera conveniente, así:
1 1
(- • -2).x = (- • -10)
2 2
La existencia de inverso multiplicativo nos dice que el producto de un número por su inverso
multiplicativo da como resultado el elemento neutro para el producto (1).
1. x = 5
La existencia del elemento neutro para el producto nos dice que si multiplicamos el elemento
neutro a un número cualquiera, da como resultado el mismo número.
Ejercicios:
1 3 3
1) 2 − x = −
5 5 25
2) 3a – 25 = -5 + 2a
3) La cuarta parte de un número disminuido en 2 es igual a 8 ¿Cuál es el número?
4) El doble de un número, aumentado el triple del siguiente da 58, ¿Cuál es el número?
5) El cuádruplo de un número, menos el doble de su antecesor es igual a su consecutivo. ¿Cuál
es el número?
Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
En muchas ocasiones se nos presentan problemas, o información, en donde una sola ecuación no
alcanza para tratar de resolverla. Por ejemplo: La edad de Xavier más el cuádruple de la edad de
Yanina da como resultado 148 años, por otra parte el triple de la edad de Xavier disminuida en el
doble de la de Yanina da 52 años.¿Qué edad tiene cada uno?.
Para resolver planteamos un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas:
X + 4Y = 148 (1)
3X - 2Y = 52 (2)
Hay varios métodos para resolver este sistema, a saber: Sustitución, Igualación, Suma o Resta
(reducción), determinantes, gráficas, etc.
Cabe aclarar antes de comenzar, que en general en todos los métodos a ver, y sobre todo en los
tres primeros, las operaciones que se realicen están justificadas por las propiedades enumeradas
anteriormente, como ser: ley uniforme, asociativa, existencia de inversos aditivo y multiplicativo,
Parente Miguel Angel – 2007- 7

8. etc. Los sistemas de ecuaciones se clasifican de acuerdo a su conjunto solución; estos pueden
ser:
I. La solución es única (sistema compatible determinado)
II. Las soluciones son infinitas (sistema compatible indeterminado)
III. No tiene solución (sistema incompatible)
Métodos de resolución
a) Sustitución: despejo de una ecuación una incógnita y la reemplazo en la otra ecuación, luego
hallo el valor de la que me queda. De (1) despejo X; → X = 148 – 4Y (1’)
Ahora reemplazo en (2) el valor de X hallada en (1’)
3•(148 – 4Y) – 2Y = 52 → aplicando distributiva en el miembro izquierdo obtengo:
3•148 + 3•(-4Y) – 2Y = 52 → Resuelvo los productos
444 – 12Y – 2Y = 52 → Paso 444 al otro miembro y sumo los monomios -12Y -2Y
-14Y = 52 - 444 → Resuelvo la diferencia
-14Y = - 392 → Despejo Y
− 392
Y= → Dividiendo obtengo el valor de la variable Y
− 14
Y = 28 Obtenido el valor de Y lo reemplazamos en (1’) →
X = 148 – 4•28, efectuando las operaciones determinamos que X = 36, de donde se sigue que la
edad de Xavier es de 36 años y la de Yanina 28. Para comprobar la validez del resultado se
reemplaza estos valores en (1) o en (2) y se verifica la igualdad. Por ejemplo reemplazamos en (2)
y queda así: 3•36 - 2•28 = 52, con lo cual se demuestra que los resultados son correctos.
b) Igualación: se trata de despejar de las dos ecuaciones la misma incógnita para luego
igualarlas (para el ejemplo se elige la variable X).
De (1) y (2), despejo X de tal manera que me queda:
De (1) → X = 148 – 4Y (1’)
52 + 2Y
De (2) → X= (2’)
3
Como los primeros miembros son iguales (X = X), los segundos miembros también lo serán.
Igualando los segundos miembros nos queda:
52 + 2Y
148 – 4Y = → paso el 3 al otro miembro
3
3•(148 - 4Y) = 52 + 2Y → aplico distributiva y resuelvo
444 – 12Y = 52 + 2Y → hago los pasajes correspondientes
-12Y – 2Y = 52 - 444 → resuelvo las operaciones en cada miembro
-14Y = - 392 de donde Y = 28. Reemplazo este valor en (1’) o en (2’) de donde
obtengo que el valor para X = 36. La comprobación es igual a la anterior.
c) Reducción: se trata de igualar los coeficientes de alguna de las dos variables en las dos
ecuaciones, de tal manera que al sumarlos o restarlos se anulen. Por ejemplo: multiplico la
ecuación (2) por el número 2, de donde queda: 2•[3X - 2Y = 52]. Esto da como resultado la
ecuación (2’): 6X - 4Y = 104. ahora el sistema nos queda de la siguiente manera:
X + 4Y = 148
6X - 4Y = 104
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones obtenemos: X + 4Y = 148
6X - 4Y = 104
7X + 0Y = 252, es decir:
7X = 252 de donde X = 36. A este valor lo reemplazo en (1) o en (2) o en (2’) y despejo el valor de
la incógnita Y, que ya se sabe será 28. La comprobación como las anteriores.
d) Determinantes: para la resolución de determinante se sigue el siguiente método: Primero se
halla el valor del determinante general (Δ), luego el de las variables (ΔX) y (ΔY), siguiendo el
siguiente procedimiento: dentro de 2 barras se colocan los coeficientes de las variables sin las
variables, se multiplican los valores que se encuentran sobre cada diagonal y se los resta:
Parente Miguel Angel – 2007- 8

9. 1 4
Δ= = (1 • (-2)) - (3 • 4) = - 2 – 12 = -14
3 -2
Para ΔX hago lo mismo pero en el lugar de X coloco los términos independientes respectivos:
148 4
ΔX = = (148 • -2) - (52 • 4) = -296 – 208 = - 504
52 -2
Para ΔY hago lo mismo pero en el lugar de Y coloco los términos independientes respectivos:
1 148
ΔY = = (1 • 52) - (3 • 148) = 52 – 444 = - 392
3 52
Los valores de X e Y se obtienen dividiendo ΔX/Δ y ΔY/Δ respectivamente, de donde:
X = - 504 / -14 = 36, e Y = -392 / - 14 = 28.
e) Solución gráfica
Para este caso se cambiará el sistema de ecuaciones para hacer más clara la explicación.
Sea el sistema de ecuaciones: 3x + y = 5 (1)
2x + y = 3 (2)
De ambas ecuaciones despejo la variable “y”, de donde quedan dos funciones lineales:
y = 5 – 3x (1’) ∧ y = 3 – 2x (2’)
Con (1’) y (2’) grafico en un sistema de ejes cartesianos. Para ello construyo primero una tabla de
valores para cada función:
x y = 5 - 3x x y = 3 - 2x
-2 11 -2 7
-1 8 -1 5
0 5 0 3
1 2 1 1
2 -1 2 -1
3 -4 3 -3
12
11 11
10
9
8 8
7 7
6
5 5 5
4
Y
3 3
2 2
1 1
0
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1 -1
-2
-3 -3
-4 -4
-5 X
Parente Miguel Angel – 2007- 9

10. Para nuestro caso las rectas se cortan en un punto (sistema compatible determinado). Este punto
determina los valores de x e y: (2, -1), que son solución de las ecuaciones planteadas, esto es x =
2 e y = -1. Se verifica de la misma manera que las anteriores.
Ejercicios: resuelve y clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones:
3 7 1 6 7
X + Y = -2 X - Y = -7 -2X + 2Y =
8 6 3 5 6
6 14 2 3 5 3
X + Y = -4 X + Y= -X +Y=
16 12 9 10 6 8
Inecuaciones: Una inecuación es una desigualdad en donde uno o más datos son desconocidos.
En las inecuaciones hay dos miembros separados por un signo de orden (>, <, ≥, ≤).
El resultado de una ecuación es generalmente único, pero en una inecuación el resultado suele
ser un conjunto de valores. En cuanto a la resolución se emplea el mismo mecanismo que para
las ecuaciones.
Ejemplos:
Ejemplo 1) x > 3, (esto se lee: “Todos los números mayores que tres”). El conjunto solución se
escribe así: S= { 4, 5, 6, 7, ….+ ∞} y se lo grafica de la siguiente manera:
- . . . -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . +
8
8
Ejemplo 2) x ≤ 1 (“todos los números que son menores o iguales a uno”) El conjunto solución es:
S= {-∞, ….,-4, -3, -2, -1, 0, 1} y se lo grafica así:
- . . . -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . +
8
8
4
Ejercicios: x ≥ − ; x < -4 x > -4 x≤7 x≤5 x > -3
5
3
x ≥ -2 x< x < -5 x > -1 x≤3 x≤6 x>0
8
3 3 4 5
-4 ≤ x ≤ 2 4≥x≥0 - ≤x< − >x> -2 > x ≥ 3
8 8 5 4
19 7 7 7
− <x≤0 8>x≥7 − ≤x< − > x > -1 -5 > x ≥ -3
32 6 6 6
Bibliografía
Si bien no se ha usado una bibliografía en particular, en general cualquier libro o manual de
matemáticas que trate estos temas te servirán. Particularmente te recomendaría dos libros:
a) Álgebra y Trigonometría. Smith, Charles, Dossey y Otros (porque está en la biblioteca de
la escuela)
b) Matemática 3. Matemática 2. Matemática 1. De la serie Tapia (porque son clásicos)
Parente Miguel Angel – 2007- 10