Este documento apresenta os conceitos fundamentais da geometria descritiva, nomeadamente: 1) A representação diédrica de pontos, rectas e planos através da utilização de dois sistemas de projecção ortogonais; 2) Os conceitos de traços horizontais e frontais de rectas e planos e como estes são representados; 3) Os métodos para determinar se uma recta pertence a um plano e vice-versa.

1. Representação diédrica de pontos, rectas e planos Geometria Descritiva 2009/2010

2. Geometria de Monge Utilizam-se simultaneamente dois sistemas de projecção paralela ortogonal. Os planos de projecção são perpendiculares.

3. A1 – Projecção horizontal Plano frontal (j0 ) j0 A2 – Projecção frontal A2 A y z A1 Plano horizontal (n0 ) n0 X y – ordenada ou afastamento z – cota ou altura Eixo X Linha de terra Planos de projecção

4. Semi-planos de projecção j0 Semi plano frontal superior n0 1º Quadrante 2º Quadrante Semi plano horizontal anterior Semi plano horizontal posterior 4º Quadrante Semi plano frontal inferior 3º Quadrante

5. Cota e asfastamento A2 A y z 1º Quadrante 2º Quadrante A1 4º Quadrante 3º Quadrante j0 y – ordenada ou afastamento z – cota ou altura n0 X

6. Representação num plano A2 A y Semi plano frontal superior z (cota) A2 X A1 z Semi plano horizontal anterior y (afastamento) Semi plano horizontal X posterior A1 Semi plano frontal inferior

7. Planos bissectores j0 n0 X b24 b13 45º 45º b13 - 1º bissector b24 - 2º bissector

8. Representação do ponto C2 D2 E2 D  D2 E2 E A2 C2 C X B2 E1 D1 D1 C1 B2 A A2 BB1 C1 E1 A1 A1 X B1 Pontos no 1º Quadrante

9. Representação do ponto D2 B1 C2 A1 D D2 B2 C  C2 D1 X D1 B2 A2 C1 B C1 B1 AA1 A2 X Pontos no 2º Quadrante

10. Representação do ponto A1 C1 X B1 X C1 B1 C2 C A2 A1 C2 B2 B2 A A2 Pontos no 3º Quadrante

11. Representação do ponto B1 D2 D2 X D  D1 C1 A1 B1 C C1C2 C2 A1 A2 B2 D1 X BB2 A A2 Pontos no 4º Quadrante

12. Representação do ponto

13. Representação da recta As projectantes dos vários pontos da recta definem planos projectantes A intersecção dos planos projectantes com os planos de projecção são as projecções da recta.

14. Representação da recta X X Recta oblíqua B2 r B2 B r2 A2 r2 B1 r1 A1 A2 r1 AA1 B1

15. Representação da recta r2 X r1 X Recta vertical r r2 A A2 B B2 A1B1  r1

16. Representação da recta r2 X r1 X Recta de topo A2B2  r2 r B A r1 B1 A1

17. Representação da recta X X Recta horizontal ou recta de nível r A2 B2 r2 B2 B A2 A r2 B1 r1 A1 A1 r1 B1

18. Representação da recta X X Recta frontal ou de frente B2 r r2 A2 B2 B A A2 r2 B1 A1 r1 r1 A1 B1

19. Representação da recta X X Recta horizontal de frente r A2 B2 r2 B2 B A2 A r2 B1 A1 r1 r1 A1 B1

20. Representação da recta X X Recta de perfil r2 A2 r r2 B2 A2 A B B2 r1 B1 A1 r1 B1 A1

21. Representação da recta X X Recta passante r2 A2 r r2 B2 A2 A B B2 r1 A1 B1 B1 r1 A1

22. Representação da recta X Uma recta do 1º bissector terá projecções simétricas em relação ao eixo X. r2 A2 B2 B1 r1 A1

23. Representação da recta X Uma recta do 2º bissector terá projecções coincidentes. B1  B2 r2 A1  A2 r1

25. Intersecção da recta com o plano horizontal de projecção

26. Traço frontalda recta (F)

28. Traços de uma recta Para encontrar os traços frontal e horizontal de uma recta procuram-se os pontos da recta que têm respectivamente afastamento e cotanulas. F2 r2 H2 F1 X r1 H1

29. Traços de uma recta H1 s1 F1 F2 H2 r2 X H2 s2 F2 X F1 r1 H1 F1 H2 u2 X F1 H2 F2 t1 u1 X H1 t2 H1 F2

30. Traços de uma recta F2 F  F2 F1 F1 Traços de uma recta no plano bissector b13

31. Traços de uma recta F  F2 F1 Traços de uma recta no plano bissector b24

32. Ponto pertencente a uma recta Um ponto pertence a uma recta se e só se as projecções do ponto estiverem sobre as projecções homónimas da recta (excepto no caso da recta ser de perfil) r2 E1 A2 K2 B1 D1 C2 R2 L1 E2 X B2 R1 r1 C1 A1 K1 D2 L2 Apenas A e E pertencem à recta r O ponto R poderá pertencer ou não à recta definida pelos pontos K e L r1

34. Posição relativa de duas rectas Representação de rectas paralelas: Duas rectas paralelas, não de perfil, têm as suas projecções homónimas paralelas Rectas oblíquas pertencentes a um plano de topo Rectas pertencentes a um plano de perfil Rectas de topo

35. Representação do plano Um plano é definido por: Três pontos não colineares Uma recta e um ponto exterior à recta

36. Representação do plano Um plano é definido por: Duas rectas concorrentes Duas rectas paralelas rectas concorrentes num ponto impróprio (no infinito)

37. Representação do plano Qualquer uma das formas apresentadas serve para definir e representar um plano em Geometria de Monge No entanto, não dão uma ideia imediata da posição do plano Assim, recorre-se habitualmente à sua representação pelos seus traços (duas rectas concorrentes especiais)

38. Representação do plano Traço de um plano noutro plano é a recta de intersecção dos dois planos Traço horizontal do plano Recta de intersecção do plano com o plano horizontal de projecção Traço frontal do plano Recta de intersecção do plano com o plano frontal de projecção

39. Representação do plano

40. Representação do plano Plano oblíquo

41. Representação do plano Plano vertical ou projectante horizontal

42. Representação do plano Plano de topo ou projectante frontal

43. Representação do plano (fn1) Plano horizontal ou de nível

44. Representação do plano Plano frontal ou de frente

45. Representação do plano Plano de perfil

46. Representação do plano Plano de rampa

47. Representação do plano Plano passante

48. Determinar os traços de um plano Definido por duas rectas Se uma recta pertence a um plano os seus traços encontram-se sobre os traços do mesmo nome do plano.

50. Faz-se passar:

51. pelas projecções frontais dos traços frontais das rectas o traço frontal do plano

52. pelas projecções horizontais dos traços horizontais das rectas o traço horizontal do planof X h

53. Determinar os traços de um plano Definido por três pontos não colineares Passa-se pelos três pontos duas rectas Procede-se de acordo com o procedimento indicado para determinar o traço de um plano definido por duas rectas

54. Rectas pertencentes a planos Determinar se uma recta pertence a um plano Uma recta pertence a um plano se contiver dois pontos desse plano Toda a recta que é concorrente com duas rectas de um dado plano em pontos diferentes é também recta do plano Toda a recta que é concorrente com uma recta do plano e paralela a outra recta desse plano é também recta do plano

57. Rectas pertencentes a planos Determinar se uma recta pertence a um plano Uma recta pertence a um plano (não paralelo nem a 0 nem a 0) se tiver os seus traços situados sobre os traços homónimos do plano Uma recta frontal pertence a um plano frontal se o seu único traço pertencer ao único traço (horizontal) do plano Uma recta horizontal pertence a um plano horizontal se o seu único traço pertencer ao único traço (frontal) do plano

59. Determina-se a sua projecção horizontal

62. Os pontos de intersecção com as rectas que definem o plano determinam a posição da projecção frontal de dois pontos

63. A projecção horizontal desses pontos determina a projecção horizontal da rectas2 r2 X r1 s1

66. Ospontos de intersecção com as rectas que definem o plano determinam a posição da projecção horizontal de dois pontos

67. A projecção frontal desses pontos determina a projecção frontalda rectas2 r2 X r1 s1

68. Rectas pertencentes a planos Determinação das rectas de maior declive de um plano Rectas de maior declive de um plano são as rectas que fazem o maior ângulo com o plano horizontal de projecção

71. Rectas pertencentes a planos Determinação das rectas de maior inclinação de um plano Rectas de maior inclinação de um plano são as rectas que fazem o maior ângulo com o plano frontal de projecção

75. Determine uma recta do plano que contém o ponto

76. Determine a posição da outra projecção do pontof A2 X h

77. Pontos pertencentes a planos Determinar um ponto pertencente a um plano definido pelos seus traços Escolha a posição de uma das projecções do ponto Identifique a posição da outra projecção do ponto utilizando o procedimento indicado no acetato anterior

81. Disciplina: Geometria Descritiva AAluno: Daniel Alexandre Saraiva Monteiro nº4 11ºGProfessore: João Aragão