Azzi These

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Azzi These

  1. 1. UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE MOHAMMED BOUDIAF D’ORAN FACULTE DE GENIE-MECANIQUE Département de Génie-Maritime Thèse de DOCTORAT D’ETAT Spécialité : Energétique INVESTIGATION NUMERIQUE DU REFROIDISSEMENT PAR FILM APPLIQUE AUX AUBES DES TURBINES A GAZ Présenté et soutenue publiquement par : Azzi Abbès Chargé de cours au Département de Génie-Maritime, Faculté de Génie-Mécanique, USTO Devant le jury composé de : Président : Pr. A. Youcefi USTO, Oran, Algérie Examinateurs : Pr. F. Leboeuf ECL, France Pr. S. Benmanssour USTHB, Alger, Algérie Dr O. Imine USTO, Oran, Algérie Invité : Dr A. Liazid ENSET, Oran, Algérie Directeurs de thèse : Pr. M. Abidat USTO, Oran, Algérie Dr D. Lakehal IET, ETH-Zurich, Suisse. Octobre 2001
  2. 2. A la mémoire de mon père A ma mère A mes frères et sœurs A ma femme et mes enfants A ma famille quot;Nobody believes in the results of the numerical simulation except the researcher himself. But everybody believes in the experimental data except the researcher himself.quot; quot;If you want a new idea, read an old bookquot; extrait du quot;netquot;
  3. 3. Remerciements Je tiens à exprimer ma gratitude à mon premier directeur de thèse Monsieur Abidat Miloud qui m’a accompagné durant toutes ces années de travail. J’aimerais le remercier pour son soutien et ses conseils. Je remercie également mon second directeur de thèse Monsieur Bassam Ali Jubran pour m’avoir orienté dans ce thème et m’avoir facilité le contact avec d’autres laboratoires. Je tiens aussi à remercier profondément mon troisième directeur de thèse Monsieur Lakehal Djamel avec qui j’ai beaucoup appris et grâce à qui mes efforts ont pu aboutir. Je lui suis reconnaissant pour le suivi de mon travail, et pour sa grande compétence qui m'a donné le goût de la recherche. Mes remerciements vont aussi à Monsieur G. Theodoridis de l’Université de Thessaloniki pour son soutien et ses conseils durant mes séjours à l’Université de Thessaloniki en Grèce. D’autre part, je tiens à remercier le Professeur Habil N. Moussiopoulos directeur du ''Laboratory of Heat and Environmental Engineering'' de l’Université Aristotle Thessaloniki en Grèce, et le Professeur G. Yadigaroglu, directeur du ''Nuclear Engineering Laboratory'' de l’école polytechnique fédérale de Zurich en Suisse pour leurs soutiens matériels durant mes séjours dans leurs laboratoires. Mes remerciements vont aussi à Monsieur Philipe Ligrani (Utah University, USA) et Monsieur W. Haslinger (University of Darmstadt, Germany) pour m’avoir permis d’utiliser leurs résultats expérimentaux pour la validation de mes calculs. Un remerciement chaleureux est adressé à Monsieur Liazid Abdelkrim, Directeur du Laboratoire des Technologies de l'Environnement (ENSET, Oran), pour m’avoir aidé à structurer ce rapport et transformé avec patience mon script en un rapport clair et lisible. Je tiens également à remercier Monsieur Francis Leboeuf pour l'intérêt qu'il a bien voulu porter à ce travail en acceptant de l'examiner et d'être membre de jury de cette thèse. Mes vifs remerciements s'adressent également à Monsieur A. Youcefi, Monsieur S. Benmanssour, Monsieur O. Imine, pour avoir accepté d'être membres du jury de cette thèse. Toute ma reconnaissance à tous mes amis et mes collègues de travail.
  4. 4. Résumé Cette thèse constitue une étude numérique pour la simulation du refroidissement par film en trois dimensions. Le code utilisé est basé sur la méthode des volumes finis pour la résolution des équations moyennes de Reynolds ainsi que l’équation de l’énergie pour la prédiction du champ thermique. Le modèle utilise une grille de calcul multi-blocs, de type structuré, curvilinaire épousant parfaitement la géométrie complexe du domaine de calcul. Un algorithme de couplage pression-vitesse de type SIMPLEC à maillage non entrelacé a été utilisé pour la conduite des calculs itératifs. Les termes convectifs ont été approximés par des schémas de convection de haute précision à limiteurs et appliqués à toutes les équations de l'écoulement, y compris celles du modèle de turbulence. Les essais conduits sur une série de cas de tests incluant l’écoulement pleinement développé entre deux plaques parallèles, la cavité dont la face haute est entraînée (lid driven case), et le cas d'une marche descendante ont permis de valider l'approche globale avec des résultats de la simulation numérique directe (DNS). Les configurations de refroidissement par film étudiées sont : • Une plaque plane munie d’une ou de deux rangées d'orifices d'injection inclinées suivant des angles simples ou composés, l'intérieur des trous d'injection étant inclus dans le domaine de calcul. • Une plaque plane munie d'une rangée d'orifices d’injections inclinées suivant un angle simple, (Le domaine de calcul couvre aussi bien le trou d'injection que le quot;plenumquot;). • Une aube symétrique munie d'une rangée d'orifices d’injections inclinées suivant un angle simple de part et d'autre du bord d'attaque. Le premier but de cette thèse est d'étudier l'influence d'un certain nombre de paramètres sur la distribution de l'efficacité de refroidissement. Cette première partie a été faite en utilisant un modèle k − ε à haut nombre de Reynolds combiné à une approche loi de paroi. Les résultats montrent que, hormis une sous-estimation de la dispersion latérale du jet, le modèle basé sur la version standard du modèle k − ε reflète assez fidèlement les phénomènes physiques accompagnants le refroidissement par film. Le second but de cette étude est de comparer les performances de deux nouvelles classes de modèle de turbulence, récemment développées, à prédire convenablement la physique de ce type d'écoulement et qui consistent en une modification anisotropique de la
  5. 5. viscosité/diffusivité turbulente et une série de modèles algébriques explicites développés jusqu'aux termes cubiques. Dans La première classe de modèles on s'est basé sur des résultats d’un calcul DNS pour améliorer le comportement du modèle Standard k − ε en lui affectant des coefficients de transport anisotropiques. Cette technique est employée conjointement avec une approche bi- couche résolvant la sous couche visqueuse par un model à une seule équation. Ce dernier est lui-même basé sur des distributions de fluctuations normales tirées directement des calculs DNS. Le second groupe de modèles est connu sous le nom de EASM. Des variantes quadratiques et cubiques ont été testées. Ces modèles sont eux aussi utilisés conjointement avec l'approche bi-couche (DNS) citée plus haut. La comparaison des distributions de l'efficacité de refroidissement par film calculées par ces modèles aux mesures expérimentales a montré que seule l'approche anisotropique de la viscosité/diffusivité peut reproduire fidèlement la dispersion latérale du champ de température en réduisant l'intensité des deux vortex contre rotatifs. Les modèles EASM quant à eux n’ont pas permis une nette conclusion concernant leur supériorité (ou non) sur les modèles à deux équations. Mots clefs : Refroidissement par film - Méthode des volumes finis - Modélisation de la turbulence - EASM modèles - Approche quot;bi-couchequot; - Méthode multi-zones - Schémas de convection à limiteurs.
  6. 6. Abstract Typical film-cooling configurations are numerically investigated using a three-dimensional finite volume method. The computational method uses arbitrary curvilinear, body-fitted, multi-block, structured, non-staggered grids for implicitly solving the incompressible averaged Navier-Stokes equations. An appropriate momentum-interpolation technique is used to prevent pressure-field oscillations. The pressure-velocity coupling is achieved using the SIMPLEC algorithm. The accuracy of the code is improved by using a second order-bounded scheme for convection terms for all equations including the k and ε turbulence model equations. The code is calibrated through applications to a wide range of flows such a 2D channel flow, a lid driven cavity and a back step flow and the results are compared to DNS data (Direct Numerical Simulation). The thesis compares measured and calculated temperature and velocity fields obtained with various classes of recently developed turbulence models. The film cooling configurations studied are respectively: • Simple and compound angle injections from one and two staggered rows of holes on a flat plate (the holes are included in the computational domain). • Simple angle injection from one row of holes on a flat plate (the hole and the plenum are both included in the computational domain). • Simple angle injection from one row of holes placed on each side near the leading edge of a symmetrical turbine-blade. The first aim of the thesis is to use a standard k − ε model with wall function in order to investigate the physics of the flow. The influence of the number of rows and the injection angles as well as the blowing ratio on the film cooling protection has been investigated and compared with experimental data. Comparison between predicted and experimental results indicates that the trends of the streamwise mean velocity and thermal fields are well predicted in most cases. However, the spanwise-averaged film cooling effectiveness is globally underpredicted by the model. The second aim is to investigate the capability of some new trends in modelling jets-in-cross flow with relevance to film cooling of turbine blades. The aim is to compare two classes of recently developed turbulence models with respect to their predictive performance in reproducing flow physics. The study focuses on anisotropic eddy-viscosity/diffusivity models
  7. 7. and explicit algebraic stress models up to cubic fragments of strain and vorticity tensors. The first class of model is DNS-based two-layer approach transcending the conventional k − ε model by means of a non-isotropic representation of the turbulent transport coefficients; this is employed in connection with the near-wall one-equation model resolving the semi-viscous sublayer only. The aspects of this new strategy are based on known DNS statistics of channel flows and boundary layers. The other class of turbulence models is quadratic and cubic explicit algebraic stress models rigorously derived from second-moment closure models. The stress-strain relations are solved in the context of a two layer strategy resolving the near-wall region by means of a non-linear one-equation model; the outer core flow is treated by use of the two-equation model. The models are tested for the case of film cooling of a flat plate. Comparison of the calculated and measured wall-temperature distributions shows that only the anisotropoic eddy viscosity/diffusivity model can correctly predict the spanwise spreading of the temperature field and reduces the strength of the secondary vortices. Unlike in the shear-flow case, the non-linear stress models were of a mixing quality in film cooling calculations. Keywords : Film cooling - Volume finite method - Turbulence modelling - EASM models - Two-layer model - Multi-bloc method - Bounded convective schemes.
  8. 8. Nomenclature Lettres latines cp, chaleur spécifique à pression constante D , diamètre du trou d'injection g, accélération de la pesanteur h, coefficient d'échange thermique par convection I, taux de quantité de mouvement, I = ρ cU c2 ρ ∞U ∞ 2 J , jacobien de la transformation k, énergie cinétique turbulente M, taux d'injection, ρcU c ρ∞U ∞ p, pression statique Pr, nombre de Prandtl laminaire Prt , nombre de Prandtl turbulent Pij , production mécanique de la turbulence p D , espacement entre deux rangées de trous q, densité du flux thermique ReD, nombre de Reynolds basé sur le diamètre du trou, Re D = U ∞ D ν ∞ S, espacement entre deux trous dans une même rangée s D , espacement latéral de deux trous sur la même rangée T, température t, temps 2 Tu, intensité de turbulence, Tu = u ' U ∞ 2 ui , composante de la vitesse dans la direction xi x1, 2,3 , coordonnées curvilignes non-orthogonales, ≡ ξ ,η , ζ y1, 2,3 , coordonnées cartésiennes, ≡ x, y, z Lettres grecques δ , épaisseur de la couche limite δ ij , symbole de Kronecker. ε , taux de dissipation de l'énergie cinétique Γ , coefficient de diffusion.
  9. 9. η, efficacité de refroidissement adiabatique ρ , masse volumique ν , viscosité cinématique moléculaire ν t , viscosité cinématique turbulente ν eff , viscosité cinématique effective µ , viscosité dynamique moléculaire µ t , viscosité dynamique turbulente µ eff , viscosité dynamique effective λ , conductivité thermique du fluide α , diffusivité thermique Π ij , terme de corrélation pression-vitesse τ ij , tenseur des contraintes de Reynolds S ij , tenseur des taux de déformation κ , constante de Von Karman Ω ij , tenseur des taux de rotation φ , variable associée à une quantité scalaire Indices ‘, composante fluctuante ∞, condition à l'infini, à l'entrée de l'écoulement principal. c, condition à l'injection w, condition sur la paroi solide. , valeur moyenne eff, effective
  10. 10. Sommaire Introduction générale ........................................................................................................1 Chapitre I : Aspect du refroidissement par film.............................................................3 1.1. Introduction ......................................................................................................................3 1.2. Procédés de refroidissement .............................................................................................6 1.2.1. Refroidissement par convection.................................................................................7 1.2.2. Refroidissement par jet (impact)................................................................................7 1.2.3. Refroidissement par film ...........................................................................................8 1.2.4. Refroidissement par transpiration à travers une paroi poreuse..................................8 1.3. Processus de refroidissement par film ..............................................................................9 1.4. Paramètres qui influencent le processus de refroidissement ..........................................10 1.4.1. Influence du taux d’injection .................................................................................10 1.4.2. Influence du gradient de pression longitudinal........................................................11 1.4.3. Influence du nombre de Reynolds ...........................................................................12 1.4.4. Influence du rapport des masses volumiques...........................................................12 1.4.5. Influence de l’épaisseur de la couche limite ............................................................12 1.4.6. Influence de l’intensité de turbulence .....................................................................12 1.4.7. Influence des paramètres géométriques de l’injection.............................................13 1.5. Pertes hydrodynamiques causées par le jet refroidissant................................................15 1.6. Etude thermique du refroidissement par film .................................................................16 1.7. Analyse théorique du refroidissement par film ..............................................................17 1.7.1. Trajectoire du jet ......................................................................................................17 1.7.2. Prédiction de l’efficacité du refroidissement ...........................................................20 1.8. Etude numérique du refroidissement par film ................................................................24 Chapitre II : Modélisation de la turbulence ..................................................................25 2.1. Introduction ....................................................................................................................25 2.2. Description de la turbulence .........................................................................................25 2.3. Equations de transport ....................................................................................................27 2.3.1. Equations de Navier-Stokes.....................................................................................27 2.3.2. Equation de l’énergie ...............................................................................................28 2.4. Equations de la turbulence..............................................................................................29 2.4.1. Méthodes statistiques de modélisation de la turbulence ..........................................29 2.4.2. Equations moyennes de Navier Stokes ....................................................................29 2.4.3. Equation moyenne de l’énergie de Reynolds...........................................................30 2.4.4. Equations de transport des tensions turbulentes de Reynolds .................................30 2.4.5. Equation de transport de la dissipation de la turbulence..........................................34 2.4.6. Equation de transport de l’énergie cinétique turbulente ..........................................36 2.5. Modèles de turbulence à deux équations........................................................................36 2.5.1. Modèle de turbulence standard k − ε ......................................................................37 2.5.2. Approche ‘loi de paroi ’...........................................................................................37 2.5.3. Approche à bas nombre de Reynolds.......................................................................39 2.5.4. Approche '' bi-couche''. ............................................................................................40 2.6. Faiblesses des modèles de viscosité turbulentes (EVM) ................................................42 2.7. Modèles des tensions turbulentes algébriques ASM ......................................................43 2.8. Modèle anisotropique de Bergeles .................................................................................46 2.9. Modèle anisotropique bi-couche ....................................................................................46 2.10. Récapitulation des modèles utilisés lors de cette étude..................................................47
  11. 11. Chapitre III : Présentation de la méthode numérique .................................................51 3.1. Transformation des équations en coordonnées généralisées (body fitted coordinates)..51 3.2. Méthode des volumes finis .............................................................................................54 3.3. Schémas de convection...................................................................................................57 3.3.1. Schémas de haute précisions....................................................................................58 3.3.2. Schémas de haute précision à limiteurs ...................................................................59 3.4. Traitement du gradient de pression ................................................................................62 3.5. Interpolation de Rhie et Chow........................................................................................64 3.6. Couplage vitesse-pression (SIMPLE et SIMPLEC).......................................................65 3.7. Introduction de la sous-relaxation ..................................................................................68 3.8. Résolution du système d’équations algébriques.............................................................68 3.9. Techniques de génération du maillage ...........................................................................70 3.10. Description de la version améliorée de FAST-3D........................................................74 Chapitre IV : Validation de l'outil de calcul .................................................................77 4.1. Introduction ......................................................................................................................77 4.2. Erreurs de discrétisations..................................................................................................78 4.2.1. Etude de la qualité du maillage ...................................................................................78 4.2.2. Etude des schémas de convection ...............................................................................83 4.3. Erreurs de modélisation....................................................................................................89 4.3.1. Simulation de l’écoulement turbulent pleinement développé entre deux plaques parallèles ...............................................................................................................................89 4.3.2. Simulation de l’écoulement turbulent sur une Marche descendante (turbulent backward facing step flow) ...................................................................................................94 Chapitre V : Simulation 3D du refroidissement par film ..........................................101 5.1. Injection sur une plaque plane .........................................................................................101 5.1.1. Motivations ...............................................................................................................101 5.1.2. Présentation du problème ..........................................................................................101 5.1.3. Domaine de calcul.....................................................................................................103 5.1.4. Conditions aux limites...............................................................................................104 5.1.5. Grilles de calcul.........................................................................................................105 5.1.6. Analyse des résultats .................................................................................................107 5.2. Injection sur une plaque plane avec plenum....................................................................117 5.2.1. Motivations ...............................................................................................................117 5.2.2. Présentation du problème ..........................................................................................117 5.2.3. Domaine de calcul et conditions aux limites.............................................................117 5.2.4. Analyse des Résultats................................................................................................119 5.3. Refroidissement d'une aube de turbine symétrique .........................................................126 5.3.1. Motivations ...............................................................................................................126 5.3.2. Présentation du problème ..........................................................................................126 5.3.3. Domaine de calcul et conditions aux limites.............................................................126 5.3.4. Analyse des Résultats................................................................................................128 5.4. Conclusion des trois simulations .....................................................................................129 Conclusions et perspectives...........................................................................................135 ANNEXE A : Développement des équations de transport.....................................................141 ANNEXE B : Développement des termes des tensions de turbulences des modèles EASM 144 Références.......................................................................................................................149
  12. 12. Introduction générale Les performances des turbines à gaz et notamment leur efficacité thermique n'ont pas cessé de subir de spectaculaires progrès depuis la seconde guerre mondiale. En aéronautique, les applications militaires ont vu augmenter le rapport puissance/poids alors que dans l'aviation civile, la consommation du combustible a sensiblement diminué. La technologie turbomachine est aussi importante dans les systèmes de production d'énergie, si bien que la dualité rendement des turbines/efficacité de refroidissement des aubes s'impose de la même manière qu'en aéronautique. En effet, les progrès enregistrés dans la conception des turbines à gaz sont liés directement à l’augmentation de la température maximale de fonctionnement du cycle thermique de la machine. Néanmoins, en augmentant la température à l'entrée des turbines, les aubes de celle-ci (leur bord d'attaque en particulier) s'exposent à des charges thermiques pouvant les détériorer. Celles appartenants aux premiers étages (HP) sont exposées aux plus hautes températures en plus d'un champ thermique à caractère fortement non homogène. Ce dernier favorise l'apparition des points chauds et provoque la détérioration prématurée des aubes. Ces aubes de turbines doivent donc être protégées par un moyen qui n'affecterait (ou faiblement) ni le rendement de la turbine (en terme de pertes) ni ces autres caractéristiques (en terme de charges thermiques). On comprend alors pourquoi le choix du moyen de refroidissement des aubes est au cœur du processus de design. L’objectif de ce travail est de contribuer à la compréhension des phénomènes complexes qui accompagnent l’un des procédés les plus employés dans les turbines à gaz, à savoir le refroidissement par film. L'étude est orientée vers la contribution au développement des méthodes de calcul relatives à ce sujet et de tester quelques nouvelles approches de modélisation de la turbulence, pour différentes configurations (de la plus simple à la plus proche d'une turbine réelle) et pour différentes conditions d'écoulement. Les écoulements dans les turbomachines sont généralement fortement turbulents, et en tant que tels ils nécessitent une attention particulière. Par ailleurs, le choix de la méthode de refroidissement peut altérer la structure de l'écoulement moyen, de sorte que le modèle de turbulence soit plus approprie à un type de refroidissement qu'à un autre. Le but est de dégager des conclusions pratiques quant à l'utilité d'un modèle complexe par rapport à un autre plus simple, mais conçu pour prendre en charge les mécanismes physiques les plus pertinents à ce type d'écoulement. Ainsi, nous avons consacré le premier chapitre pour expliquer les motivations et les aspects théoriques relatifs au refroidissement par film. Une description exhaustive des différents
  13. 13. Introduction générale paramètres géométriques, hydromécaniques et thermodynamiques qui influencent directement l’efficacité de refroidissement est également présentée. Ensuite, nous avons effectué un aperçu des différentes corrélations utilisées dans l’étude théorique de ce phénomène. Enfin, ce chapitre est clôturé par un exposé rapide des études numériques précédentes. La description du modèle mathématique et plus spécialement des modèles de turbulence utilisés dans cette étude sont exposés avec détail dans le second chapitre. Le troisième chapitre décrit la méthode numérique utilisée. Tous les aspects relatifs à la méthode des volumes finis sont exposés en détail, en particulier la génération des grilles de calcul, la discrétisation des équations du problème, les schémas de convection, l’algorithme et la méthode de résolution des équations algébriques finales. Au quatrième chapitre nous avons validé et calibré le code de calcul par les résultats DNS (Direct Numerical Simulation), sur une série d'applications (cas-tests), incluant l’écoulement turbulent complètement développé entre deux plaques parallèles, la cavité ouverte de type quot;lid driven cavityquot; et l'écoulement turbulent sur une marche descendante. Les applications numériques conduites dans le cadre de cette étude sont présentées en trois parties distinctes au cinquième chapitre. La première application concerne trois configurations géométriques d’une plaque tridimensionnelle, auxquelles on a appliqué le modèle de turbulence standard k − ε et la loi de paroi. Le but étant de ressortir les caractéristiques globales de cet écoulement. La seconde application concerne aussi une plaque où l'on a inclus le quot;plenumquot; dans le domaine de calcul. L’approche bi-couche à bas nombre de Reynolds ainsi que les modèles EASM (Explicit Algebraic Stress Models) et la modification anisotropique de Bergeles sont toutes appliquées à ce cas. Enfin, une aube réelle avec injection près du bord d’attaque a fait l’objet de la troisième application. L’étude est couronnée par une synthèse des conclusions les plus marquantes de ce travail, tout en proposant des axes de recherches pour l'avenir. 2
  14. 14. CHAPITRE I. Le refroidissement par film Chapitre I Le refroidissement par film 1.1 Introduction La turbine à gaz nécessite une étude approfondie de son comportement thermique, du fait qu’elle est particulièrement exposée aux gaz chauds en provenance de la chambre de combustion. L’analyse du transfert de chaleur par convection d’une aube de turbine à gaz peut être scindée en trois grandes parties (Lakshminarayana, 1996) : le transfert interne pour une aube stationnaire, le transfert interne pour une aube en rotation et le transfert de chaleur externe. Cette thèse envisage l’étude de cette dernière partie. Le transfert de chaleur externe concerne les échanges thermiques entre les gaz chauds émanant de la chambre de combustion et la surface externe de l’aube, avec ou sans refroidissement. Cet échange se fait principalement par convection forcée. Il est très complexe car il dépend de plusieurs facteurs dont la nature de la couche limite (laminaire ou turbulente) qui se développe sur le profil de l’aube, le point de stagnation, le gradient de pression imposé, la séparation et le ré-attachement de la couche limite, l’intensité et la structure de la turbulence de l’écoulement en amont, la compressibilité, l’interaction des ondes de chocs avec la couche limite pour les écoulements supersoniques ainsi que les effets induits par la nature tri dimensionnelle de l’écoulement. Les paramètres de l’aube tels que la courbure, l’aspect géométrique (hauteur/corde), l’incidence par rapport à l’écoulement en amont, la rotation, la rugosité de la surface et le rayon de courbure du bord d’attaque jouent également un rôle non négligeable sur le transfert thermique. Les figures (I-1) et (I-2) représentent la structure générale de l’écoulement et la densité du flux thermique autour d’une aube. On peut en dégager les constatations suivantes : • En raison de la faible épaisseur de la couche limite sur le bord d’attaque, un fort taux de transfert de chaleur s’y développe. L’échange thermique autour de cette partie de l’aube peut être étudié théoriquement en adoptant différentes corrélations établies pour le cas d’un écoulement en stagnation sur un cylindre solide exposé à un écoulement transversal (Lakshminarayana, 1996, page : 649). • Sur l’extrados de l’aube, on remarque le développement d’une zone de transition laminaire/turbulente conduisant à la formation d’une couche limite turbulente. Le taux de 3
  15. 15. CHAPITRE I. Le refroidissement par film transfert de chaleur a naturellement tendance à augmenter dans la zone de transition et diminuer un peu plus loin. • Sur l’intrados, la couche limite est généralement laminaire, transitionnel ou relaminarisé. Figure I-1 : Détails du taux du transfert de chaleur autour d’une aube de turbine, (Adapté de Daniels et Schultz, 1982, par Lakshminarayana, 1996) L’intensité de turbulence de l’écoulement en amont de l’aube, la rugosité de sa surface d’échange et sa courbure affectent directement la zone de transition et par conséquent le taux de transfert de chaleur. L’augmentation de l’intensité de la turbulence contribue à un développement prématuré de cette zone. Pour de forts taux de turbulence en amont de l’aube la zone de transition se développe près de son bord d’attaque de façon prématurée. La courbure de l’aube et la rotation influent simultanément sur la stabilité de la couche limite. Une surface convexe empêche la génération de la turbulence alors qu’une surface concave augmente la génération de l’énergie turbulente. La conséquence est que le transfert de chaleur augmente dans la zone d’une surface concave (intrados) et diminue dans la partie convexe (extrados). 4
  16. 16. CHAPITRE I. Le refroidissement par film Figure I-2 : évolution du coefficient du transfert de chaleur. (Nealy et al., 1984 ; NASA CR 168015, d’après Lakshminarayana, 1996) Le gradient de pression étouffe ou favorise le développement de la couche limite suivant qu’il est favorable ou inverse. Il influe directement sur le gradient de la vitesse et de la température sur la paroi, sur la séparation et le ré-attachement de la couche limite. Une nette augmentation du taux de transfert de chaleur existe près du point de ré-attachement juste après la zone de recirculation. Cette dernière est normalement une zone à faible échange thermique. Par ailleurs, un gradient de pression favorable stabilise la couche limite, retarde et rallonge la zone de transition. L’écoulement dans la zone du bord d’attaque est caractérisé par une faible épaisseur de la couche limite si elle se développe, une forte accélération de l’écoulement et un fort effet de la courbature de la surface d’échange. Souvent, ceci conduit à un décollement local de la couche limite. Comme annoncé plus haut, les études théoriques et analytiques du point de stagnation d’un cylindre exposé à un écoulement transversal sont applicables sur cette zone de l’aube. Le taux de transfert de chaleur dans cette partie de l’aube est très sensible à l’intensité de turbulence de l’écoulement incident. Dans la littérature spécialisée (Lakshminarayana, 1996 et Schlichting, 1979), plus de détails sont développés sur l’influence de ces différents paramètres sur le taux de transfert de chaleur. A la différence du transfert de chaleur interne entre l’aube et le fluide refroidissant qui peut être facilement prédit par des corrélations plus ou moins simples, le transfert de chaleur externe est difficilement prévisible. La difficulté vient du fait de l’incapacité de localiser les 5
  17. 17. CHAPITRE I. Le refroidissement par film zones de transition et de recirculation ainsi que les effets de la turbulence. Ce qui fait que la prédiction du transfert de chaleur externe est orientée aujourd’hui vers les méthodes expérimentales et récemment vers les méthodes numériques basées sur la solution des équations de transport gouvernant l’écoulement moyen et la turbulence. En réalité, le problème est plus complexe puisqu’on est généralement amené à augmenter la température maximale du cycle thermique de la turbine à gaz afin d’améliorer les performances et le rendement de la machine. Il est bien établi que l’augmentation de la température maximale du cycle thermodynamique d’une turbine à gaz augmente considérablement ses performances. Si on conjugue cet accroissement de température au caractère fortement non uniforme du champ thermique décrit ci dessus, il devient indispensable d’adopter un procédé de refroidissement judicieusement optimisé afin d’assurer une répartition de température aussi uniforme que possible de telle façon que l’efficacité globale ne soit pas moins altérée. L’adoption d’un procédé de refroidissement est indispensable si on veut garder une durée de vie acceptable de la turbine, puisqu’elle est directement liée à la charge thermique. En effet, le refroidissement des surfaces en contact avec les gaz chauds permet d’augmenter la température maximale du cycle tout en gardant la température des surfaces dans des limites acceptables. D’après Lakshminarayana, (1996), les progrès réalisés dans le domaine du refroidissement ainsi que la sélection des alliages métalliques utilisés ont permis un gain considérable au niveau du cycle thermodynamique des turbines à gaz (750°K en l’espace d’une vingtaine d’années). Il faut aussi souligner que la température d’une chambre de combustion d’un turboréacteur peut atteindre 1600°K dans le domaine du transport civil, et jusqu’à 1800°K dans le secteur militaire. 1.2 Procédés de refroidissement Les différentes techniques de refroidissement utilisées pour les aubes des turbines à gaz sont présentées sur la figure (I-3). Bien évidement, l’air constitue le fluide refroidissant employé dans le domaine de l’aviation. Ce sera aussi la seule variante considérée dans cette étude. L’air de refroidissement est généralement soutiré à la sortie du compresseur introduisant ainsi, suivant le cas, soit une diminution du rendement de la machine, soit une augmentation de la consommation en combustible. Il est ainsi requis des ingénieurs d’optimiser la quantité d’air extraite de sorte 6
  18. 18. CHAPITRE I. Le refroidissement par film que la performance globale du turboréacteur n’en serait que légèrement affectée, tout en gagnant sur la protection des aubes par le biais du refroidissement. Figure I-3 : Différentes techniques de refroidissement des aubes de turbines à gaz. (Lakshminarayana, 1996) Les travaux de Lakshminarayana (1996), classent les procédés de refroidissement en deux grandes catégories : les refroidissements internes et les refroidissements externes. La première catégorie englobe la convection forcée et le jet interne. Ces procédés sont moins efficaces que le refroidissement externe et sont par conséquents utilisés pour les turbines dont la température amont varie entre 1300 et 1600°K. Ceci est en partie imputé au fait que les caractéristiques thermiques de l’air sont assez limitées. Le refroidissement externe, tel que le refroidissement par film et par transpiration à travers des surfaces poreuses, sont plus efficaces et sont par conséquent réservés pour des températures amont dépassant 1600°K. 1.2.1 Refroidissement par convection Le refroidissement par convection est la plus simple technique à réaliser. C’est d’ailleurs le premier procédé utilisé pour les premières générations des turbines à gaz. Le fluide refroidissant passe à plusieurs reprises à travers des conduites judicieusement aménagées dans le corps des aubes et du rotor. Il est ensuite éjecté par des trous positionnés sur les bords de fuites des aubes. Le refroidissement se fait alors par convection forcée. 1.2.2 Refroidissement par impact Ce procédé est une amélioration du refroidissement par convection, figure (I-3). Il est réalisé par un aménagement spécial à l’intérieur des aubes de telle manière à créer des jets internes 7
  19. 19. CHAPITRE I. Le refroidissement par film permettant un refroidissement plus efficace que par convection. Cette technique est généralement utilisée dans la zone du bord d’attaque de l’aube, une région particulièrement vulnérable du fait qu’elle est exposée directement aux gaz à hautes températures. 1.2.3 Refroidissement par film Dans ce cas, l’air de refroidissement est injecté directement dans l’espace inter-aube, figure (I-3). La fine couche de fluide froid ainsi formée sur la surface de l’aube joue le rôle d’un tampon protégeant la surface du fluide chaud. L’injection se fait à travers une ou plusieurs rangées de trous reliant le passage interne de l’air froid à la surface extérieure. Plusieurs configurations peuvent être envisagées : (i) forme et disposition variables des orifices d’injections, (ii) l’espacement entre trous, rangées et leurs angles d’injection par rapport à l’axe de l’aube. 1.2.4 Refroidissement par transpiration Pour ce fait, on utilise un matériau poreux permettant à l’air de refroidissement de s’infiltrer à travers les parois à refroidir, figure (I-3). Ce procédé permet entre autre une distribution plus homogène du fluide refroidissant sur la surface que par le biais du refroidissement par film, d’où une meilleure efficacité de refroidissement. Néanmoins, à cause des difficultés de construction, ce procédé reste réservé à des applications très restreintes. Une analyse des différents procédés de refroidissement introduits plus haut nous amène à dire que le principe le plus simple est sans doute celui effectué par convection, surtout que les autres procédés fragilisent l’aube et que les orifices sont susceptibles de provoquer des vibrations de la turbine. Des corps étrangers peuvent aussi obturer ces trous d’où une influence sur le comportement thermique de la turbine. Ces corps étrangers peuvent être dus à l’oxydation ou transportés par l’air lui-même. Néanmoins, les trois premiers procédés sont largement utilisés dans les turbines modernes et sont souvent utilisés conjointement comme le montre la figure (I-4). 8
  20. 20. CHAPITRE I. Le refroidissement par film Figure I-4 : Exemple typique d’une aube à haute pression utilisant conjointement le refroidissement par film, par jet interne et par convection, (Elovic, 1976). 1.3 Refroidissement par film Ce procédé consiste à soutirer un certain débit d’air froid du compresseur et l’injecter dans l’espace inter-aube à travers des orifices judicieusement aménagés sur le corps de l’aube à refroidir. Le jet d’air froid entre en interaction directe avec l’écoulement principal. Le but à atteindre est de former une fine couche d’air qui joue le rôle d’un tampon protégeant la surface du fluide à haute température. L’interaction directe entre le jet et l’écoulement principal est très compliquée et donne lieu à une structure de l’écoulement en aval fortement tridimensionnelle, turbulente, avec présence de tourbillons secondaires. L’avantage de ce procédé ne peut être perceptible que si le débit d’air utilisé pour le refroidissement est soigneusement optimisé. Il est nécessaire que ce débit soit minimisé tout en gardant un bon niveau de refroidissement des aubes de la turbine à gaz. Il faut noter que chaque débit d’air soutiré pour le refroidissement représente une augmentation de consommation en combustible qu’il faut estimer et donc optimiser. En plus du souci économique, l’injection du fluide refroidissant dans l’espace inter-aube doit être bien contrôlée de sorte à ne pas perturber l’aérodynamique du passage inter-aube et détériorer les performances de la turbine en augmentant les pertes de charges. Le processus de refroidissement par film est à ce jour un des sujets les plus complexes en turbomachines, d’où l’intérêt croissant des chercheurs à comprendre et améliorer ce procédé. 9
  21. 21. CHAPITRE I. Le refroidissement par film A la différence du refroidissement par convection, le refroidissement par film induit une interaction directe entre l'air froid et les gaz chauds. Une forte interaction peut aussi exister entre les jets voisins d’une même rangée ou de rangées différentes. Cette interaction influe directement sur la structure de la couche limite qui se développe sur l’aube. La complexité du phénomène est due aux aspects suivants : • La température, la masse volumique et la vitesse du fluide refroidissant sont différentes de celles de l’écoulement principal. • L'interaction des jets avec l’écoulement principal influe directement sur la turbulence de l’écoulement aval, par exemple en augmentant considérablement la production et la dissipation de l’énergie cinétique turbulente près du point d’injection. • La configuration géométrique est souvent assez complexe. La forme de l’aube et la rugosité de surface interviennent directement sur la distribution de la pression autour de l’aube. • Le nombre de rangées de trous utilisés, le diamètre des trous d’injection, l’espace entre les rangées ainsi que celui entre les trous, l’angle d’inclinaison des trous d’injection, leurs positions relatives (carré ou en quinconce). • Le plus souvent, le caractère non stationnaire de l’écoulement principal ainsi que l’effet des forces de Coriolis dues à la rotation de l’aube augmentent la complexité du processus. • L’injection du fluide refroidissant provoque une transition laminaire/turbulente prématurée de l’écoulement, avec possibilité de relaminarisation sous certaines circonstances. 1.4 Paramètres qui influencent le processus de refroidissement On trouve dans la littérature spécialisée (Lakshminarayana, 1996, et Hartnett, 1985), une revue exhaustive des différents paramètres qui agissent sur le processus du refroidissement par film. Ces paramètres peuvent être classés en deux grandes catégories : les paramètres thermo- et hydro-dynamiques de l’écoulement principal et du jet, ainsi que les paramètres géométriques des orifices d’injection (diamètre, angles d’inclinaisons, nombre de rangées, etc…) 10
  22. 22. CHAPITRE I. Le refroidissement par film 1.4.1 Influence du taux d’injection L’écoulement principal est caractérisé par l’indice “∞”, alors que celui du fluide refroidissant par l’indice “c”. Le rapport M = ρ cU c ρ ∞U ∞ , est appelé taux d’injection, alors que I = ρ cU c2 ρ ∞U ∞ , représente le taux de la quantité de mouvement. Des chercheurs comme 2 Ligrani et al. (1992, 1994a, 1994b, 1995, 1996a, 1996b, 1997a et 1997b), Jubran et al. (1997 et 1999) ont pu montrer que l’efficacité du refroidissement augmente avec l'accroissement du taux d’injection jusqu’à une certaine limite au-delà de laquelle elle diminue. Ce phénomène appelé quot;Blow-offquot; est expliqué par le fait qu’à faible taux d’injection, le jet est pratiquement plaqué contre la surface à protéger et remplit donc son rôle de façon correcte alors qu’à fort taux d’injection, le jet pénètre profondément dans l’écoulement principal en se décollant de la surface. Cette dernière est alors directement exposée aux gaz chauds d’où une mauvaise protection. Pour une configuration à une seule rangée de trous inclinés à 35° et un rapport de masse volumique avoisinant l’unité, la valeur optimale du taux d’injection est de l’ordre de 0.4 à 0.5, (Ligrani et al., 1992, 1994a & 1994b). Pour les configurations de refroidissement bi- dimensionnelles et dans le cas où le jet resterait attaché à la surface, l’efficacité dépend du taux d’injection (Demuren et al., 1986a). Cependant, dans le cas où le jet se détacherait de la surface, le paramètre influençant l’efficacité devient le taux de la quantité de mouvement (Sinha et al., 1991a). Ce taux est donc directement responsable de la trajectoire que prendra le jet. Ce résultat a été confirmé par plusieurs études aussi bien expérimentales que numériques (Ligrani et al., 1992, 1994a, 1994b, 1995, 1996a, 1996b, 1997a et 1997b), (Jubran et al., 1997 et 1999), (Lakehal et al., 1998) et (Theodoridis et al., 2001). 1.4.2 Influence du gradient de pression longitudinal L’influence du gradient de pression longitudinal sur l’efficacité du refroidissement par film a été explorée expérimentalement par chercheurs cités par Hartnett (1985). L’étude de l’influence de ce paramètre est très importante puisque dans l’espace inter-aube, il existe un gradient de pression favorable sur une première partie du canal, suivi par un gradient inverse sur la dernière partie. Hartnett (1985) rapporte que certains chercheurs ont détecté une augmentation de l’efficacité pour un gradient de pression favorable, alors que d’autres ont exprimé l’effet inverse. Il nous semble que d’autres paramètres interviennent dans le processus en parallèle avec le gradient de pression, de telle sorte que ce dernier influe différemment suivant leurs importances. En effet, dans l’étude expérimentale présentée par 11
  23. 23. CHAPITRE I. Le refroidissement par film Maiteh et Jubran (1999), il ressort que le gradient de pression influe différemment sur l’efficacité du refroidissement suivant que le taux d’injection est faible ou important. Pour les faibles taux d’injection, un faible gradient de pression favorable diminuerait la protection de la surface, alors qu’un gradient de pression inverse augmenterait l’efficacité latérale moyenne. Le phénomène inverse est observé pour le cas des grandes valeurs du taux d’injection. 1.4.3 Influence du nombre de Reynolds Les études rapportées par Hartnett (1985) s’accordent sur le fait qu’il n'y a qu’une très faible influence du nombre de Reynolds ( Re D = U ∞ D ν ∞ ) sur l’efficacité du refroidissement par film. Néanmoins, l'étude menée récemment par Haslinger (1997), a montré que l'augmentation du nombre de Reynolds permet de maintenir le corps du jet plus proche de la surface à refroidir, ce qui ce traduit directement par une augmentation de l'efficacité de refroidissement. 1.4.4 Influence du rapport des masses volumiques L’influence de ce paramètre est très importante, puisqu’il conditionne le taux de quantité de mouvement I qui est directement responsable de la trajectoire du jet et par conséquent sur son décollement ou son attachement à la paroi. En pratique, l’air injecté est plus dense que l’écoulement principal, le rapport est de l’ordre de 2. Dans de telles conditions, la valeur optimale du taux d’injection est supérieure à 0.5 (valeur pour ρ c ρ ∞ = 1 ), d’où une meilleure efficacité de refroidissement. Pour le même taux d’injection, un gaz plus dense a un faible taux de quantité de mouvement, donc sa pénétration est plus faible et son efficacité de refroidissement est meilleure. 1.4.5 Influence de l’épaisseur de la couche limite L’augmentation de l’épaisseur de la couche limite turbulente a pour effet de diminuer la distribution de l’efficacité du refroidissement sur la ligne centrale qui passe par le centre du trou d’injection. Ceci est expliqué par le fait que l’augmentation de l’épaisseur de la couche limite diminue le module de la vitesse près de la paroi ce qui augmente l’épaisseur moyenne de la couche limite thermique. Par conséquent, la valeur de l’efficacité sur la ligne centrale diminue. Par contre, l’efficacité augmente sur la ligne médiane entre deux trous d’une même rangée, puisqu’une couche limite plus épaisse permet une meilleure dispersion latérale du jet. 12
  24. 24. CHAPITRE I. Le refroidissement par film La compensation entre ces deux effets fait que l’efficacité moyenne latérale est finalement peu influencée par ce paramètre. 1.4.6 Influence de l’intensité de turbulence Hartnett (1985) présente quelques études qui montrent une légère diminution de l’efficacité de 2 refroidissement avec l’augmentation de l’intensité de turbulence ( Tu = u ' U ∞ ). La même 2 conclusion a été trouvée expérimentalement par Maiteh et Jubran (1999). Ce résultat s’explique par le fait que l’augmentation du mélange entre le jet froid et les gaz chauds participe à la dilution graduelle du jet et par conséquent diminue l’effet protecteur du jet sur la surface. 1.4.7 Influence des paramètres géométriques de l’injection Le comportement d’un jet isolé, confiné à un écoulement transversal a été largement étudié aussi bien expérimentalement que numériquement. Il découle de ces études que suivant le taux d’injection du jet, il se produit un décollement de la couche limite juste en aval du point d’injection. Une zone de très haut niveau de turbulence est immédiatement crée dans cette partie de l’écoulement. Le jet se comporte comme un corps solide flexible à structure fortement tridimensionnelle. En amont du jet, l’écoulement est freiné comme s’il s’abattait contre une paroi solide (impingement). Une zone de basse pression se crée immédiatement en aval du jet. Cette dépression est directement responsable de la déviation (courbure) du jet dans la direction de l’écoulement principal. L’écoulement aux environs du jet se caractérise par un ensemble de vortex d’intensité et d’importance différente en forme d’un fer à cheval appelé ‘horseshoe vortice’ (Andreopoulos, 1982). Sous l’effet de deux vortex longitudinaux tournant en sens inverse l’un par rapport à l’autre (counter rotating vortices), la section droite du jet prend une forme rappelant celle d’un rein (kidney shape). Ces deux vortex ont l’effet néfaste de ramener le fluide chaud de l’écoulement principal vers la paroi plane ce qui va à l’encontre du but souhaité. Juste après le point d’injection, il se développe un sillage tridimensionnel très complexe. Dans cette région, la vitesse longitudinale est faible et la zone du sillage augmente proportionnellement avec le taux d’injection. La chute de pression dans cette région cause un écoulement inverse ramenant le fluide vers le plan de symétrie. En augmentant la vitesse du jet, cet effet devient de plus en 13
  25. 25. CHAPITRE I. Le refroidissement par film plus intense et prend la forme d’un jet contre une paroi. Cet effet est ensuite responsable du décollement du sillage de la surface. Pour tous les taux d‘injection, il existe une couche de cisaillement au-dessus de la région du sillage, où la vitesse longitudinale subit un changement très rapide (zone de très forte intensité de turbulence). En se déplaçant dans la direction de l’écoulement principal le jet se dissipe graduellement pour laisser se rétablir une structure normale de couche limite sur une plaque plane (zone pleinement développée). L’angle d’injection a une très grande influence sur la structure de l’écoulement près du point d’injection. Un jet perpendiculaire perturbe plus intensément la structure de l’écoulement et en particulier la taille des structures vorticales qui, dans ce cas sont plus grosses que celles induites par un jet incliné. Différentes études (Sinha et al., 1991a) ont montré que la trajectoire du jet est liée au taux de quantité de mouvement cité plus haut. Une méthode très simple pour éviter le phénomène du quot;Blow-offquot; est donc de diminuer la vitesse du jet au point d’injection sans toutefois diminuer le débit d’injection. Ceci peut être réalisé par l’élargissement de la section de l’orifice d’injection par une sorte de chanfrein local. Cette technique est connue sous le nom de quot;Shaped holesquot;. Elle améliore considérablement l’efficacité du refroidissement puisqu’elle permet d’utiliser un fort débit refroidissant tout en évitant le décollement du jet. Ce paramètre est cité ici à titre indicatif, il ne sera pas traité dans cette étude. En pratique, pour le refroidissement des aubes de turbine à gaz, les orifices d’injection sont disposés en rangée. Puisque les jets voisins entrent en interaction mutuelle, cette disposition géométrique introduit un changement profond du comportement individuel de chaque jet. Sinha et al. (1991a) ont observé que le jet issu d’une rangée est plus plaqué contre la paroi solide qu’un jet isolé. Dans le cas de plusieurs rangées de trous, la structure de l’écoulement devient de plus en plus complexe. Des études comme celles de Sinha et al. (1991b) montrent en effet que la couche limite au voisinage de la deuxième rangée est plus épaisse que celle de la première rangée. Une conséquence directe de cette structure se traduit par un décollement plus significatif du jet issu de la deuxième rangée par rapport à celui de la première rangée. Par ailleurs, il a été observé aussi qu’un jet incliné dans la direction longitudinale (angle simple) produit une efficacité de refroidissement meilleure que celle produite par une injection perpendiculaire du fait que l’inclinaison favorise l’adhésion du jet sur la plaque et minimise l’effet du décollement de celui ci. Ce type de configuration est appelé trou a inclinaison simple. Une inclinaison composée, constituée d’une inclinaison transversale supplémentaire par rapport au plan transversal (angle composé) s’est avérée encore plus performante, puisqu’elle permet aux différents jets de la même rangé de couvrir une plus 14
  26. 26. CHAPITRE I. Le refroidissement par film grande surface de l’aube à refroidir (Ligrani et al., 1992, 1994a, 1994b, 1995, 1996a, 1996b, 1997a et 1997b), (Jubran et al., 1997 et 1999), (Lakehal et al., 1998), (Theodoridis et al., 2001) et (Azzi et al., 1998 et 2001a). L’utilisation de deux rangées de trou en quinconce a montré une nette amélioration puisqu’elle contribue à minimiser les effets du phénomène quot;Blow-offquot;. Une configuration à deux rangées de trous produit une meilleure efficacité de refroidissement comparée à celle d’une seule rangée, pour le même taux d’injection. L’utilisation d’un arrangement de trous en quinconce est préférable à un arrangement en ligne puisqu’il permet d’avoir une distribution latérale plus uniforme de l’efficacité de refroidissement. L’étude faite par Jubran et Maiteh (1999) a la particularité d’expérimenter deux rangées de trous à inclinaisons différentes. Il en découle qu’une disposition d’une première rangée à inclinaison simple suivie d’une deuxième rangée à inclinaison composée procure une meilleure protection de la surface, comparativement aux dispositions classiques où les deux rangées sont simples ou composées. Il faut toutefois noter que les configurations expérimentées présentent un espacement inter-trou de deux fois le diamètre seulement. Récemment, Leylek et Zerkle (1994), Walters et Leylek (1996 et 1997) ont mené plusieurs études numériques proches aux cas réels des turbines à gaz avec deux rapports longueur/diamètre du trou d’injection. Ces études ont montré une très grande différence de comportement suivant que le tube est long ou court. Pour des tubes d’injection assez court, l’angle d’injection effectif se trouve amplifié et par conséquent le décollement du jet se manifeste pour des valeurs assez basses du taux d’injection. Plus récemment, Lutum et Johnson (1999) ont confirmé ces constatations en menant une investigation expérimentale qui a montré que les plus faibles valeurs de l’efficacité de refroidissement sont enregistrées pour les plus courts tubes d’injection. Les mêmes constatations ont été enregistrées par l'étude numérique menée récemment par Azzi, et al. (2001c). 1.5 Pertes hydrodynamiques causées par le jet refroidissant Bien que ce thème ne fasse pas partie de notre étude, nous lui consacrons ce paragraphe ne serait ce que pour marquer son importance lors de la conception des turbines à gaz. Plus de détails sont fournis dans (Lakshminarayana, 1996). En effet, le jet de refroidissement provoque un détachement et un rattachement de la couche limite avec création d’une zone de recirculation. Un tel phénomène provoque des pertes hydro dynamiques majeures. Les modifications apportées à la couche limite sont liées à plusieurs paramètres, aussi bien hydrodynamiques que géométriques. Les pertes associées à la position du jet peuvent être 15
  27. 27. CHAPITRE I. Le refroidissement par film optimisées à travers la détermination de la distribution de pression, de la transition, et de la structure de la couche limite. L’un des paramètres les plus important est la position du jet. En effet, comme le montre la figure (I-5), la position du jet dans l’aube est critique : elle est souvent contradictoire avec l’optimisation du transfert thermique. Selon cette figure, le jet au bord d’attaque quot;shower headquot; et l’injection perpendiculaire à 90° provoque les plus grandes pertes hydrodynamiques. Ce résultat est dû au fait que ces configurations perturbent radicalement la structure de la couche limite. Par contre, l’étude menée par Holmes (1985), rapportée par Lakshminarayana (1996), montre une amélioration apportée par le jet dans le bord de fuite. C’est pour cette raison que l’air de refroidissement par convection est généralement évacué à travers une rangée de trous aménagés sur le bord de fuite de l’aube. Figure I-5 : Influence de la position et de l’inclinaison du jet sur les pertes hydro dynamique dans un passage inter aube, (Heiser, 1978) (d'après Lakshminarayana (1996). 1.6. Etude thermique du refroidissement par film La densité du flux thermique échangé par convection entre la paroi solide de l’aube et le fluide s’écrit : q0 = h0 (T∞ − Tw ) (I-1) où h0 est le coefficient de transfert thermique local sans le jet secondaire, Tw est la température locale de la paroi, et T∞ la température du fluide dans la zone externe non perturbée (bulk). En présence du film refroidissant, la densité locale du flux thermique s’écrit : q = h f (T f − Tw ) (I-2) 16
  28. 28. CHAPITRE I. Le refroidissement par film où h f est le coefficient de transfert thermique local en présence du film refroidissant, et T f la température locale du film (mélange entre le jet et l’écoulement principal). Dans ce qui précède, la détermination de la température du film résultant du mélange entre le jet froid et les gaz chauds de l’écoulement principal est difficile. Le problème est détourné en définissant une température adimensionnelle. T∞ − T f (I-3) T∞ − Tc où Tc est la température du jet froid au point d’injection. Puisque les différentes températures citées ci-dessus vérifient toujours l’inégalité suivante Tc < T f < T∞ , le rapport des températures dans la relation (I-3) est toujours inférieur à l’unité. Pour les faibles nombre de Mach et pour une paroi adiabatique la température de la paroi en l’absence du film refroidissant vérifie l’égalité suivante : Taw = T∞ (I-4) où Taw est appelée la température adiabatique de la paroi. En remplaçant T f par Taw , on définit une température adimensionnelle appelée efficacité adiabatique du refroidissement par film. Elle est exprimée par : T∞ − Taw η= (I-5) T∞ − Tc L’efficacitéη , vérifie bien les conditions aux limites logiques, c’est à dire η = 0 en absence de refroidissement ( Taw = T∞ ), et η = 1 , près du point d’injection où Taw = Tc . En pratique, on s’intéresse généralement à la moyenne transversale de l’efficacité de refroidissement communément définie par : L η = ∫ η ( z ) dz 1 (I-6) L0 où, L est la largeur de la surface à refroidir. En plus de l’étude de l’efficacité adiabatique du refroidissement par film, l’étude thermique porte sur la détermination de l’évolution du coefficient de transfert thermique pour voir si le gain réalisé par la diminution de la température ( T f au lieu de T∞ ) n’est pas annulé par l’augmentation du taux de transfert thermique étant donnée que généralement h f > h0 . 1.7 Analyse théorique du refroidissement par film Le but recherché est de proposer des corrélations simples pour prédire quantitativement aussi bien la trajectoire du jet que la distribution de l’efficacité du refroidissement par film sous 17
  29. 29. CHAPITRE I. Le refroidissement par film certaines conditions et cela sans trop perdre de la qualité. Dans ce paragraphe, nous allons citer quelques-unes de ces corrélations. 1.7.1 Trajectoire du jet L’étude du refroidissement par film se réduit à celle du jet dans un milieu non confiné. L’étude théorique d’une telle configuration passe inévitablement par une idéalisation du processus comme cela est schématisé par la figure (I-6). Figure I-6 : Jet turbulent dans un écoulement transversal (adaptée de Demuren (1986b). L’écoulement principal est perturbé par le jet de manière proche que celle d’un cylindre solide exposé à un écoulement transversal. Les vortex issus du jet transversal sont généralement compressés par l’écoulement principal. Ces deux vortex longitudinaux, tournants en sens inverse pénètrent profondément dans l’écoulement global avant de s’estamper graduellement suivant le taux d’injection de l’écoulement secondaire. Ce phénomène est directement responsable de la section droite du jet en forme de rein. L’écoulement dans les environs du jet est fortement turbulent et le jet est entraîné par l’écoulement principal pour lui être pratiquement aligné, loin du point d’injection. Cependant, la structure du jet caractérisé par la forme du rein est souvent préservée sur une longue distance en aval du jet. Dans le cas de l’injection à partir de plusieurs trous disposés en une ou plusieurs rangées, les jets entrent en interaction mutuelle et la structure devient de plus en plus complexe. La figure (6) montre un plan de symétrie d’un jet simple perpendiculaire à l’écoulement transversal. On définit l’axe du jet comme étant la trajectoire de la vitesse maximale à l’intérieur du jet que l’on appelle quot;la trajectoire du jetquot;. D’après l’étude théorique présentée par Demuren et al. (1986b), on peut décomposer le jet en trois régions distinctes. La première zone, appelée corps du jet, 18
  30. 30. CHAPITRE I. Le refroidissement par film représente la partie non perturbée par l’écoulement principal. Sa longueur est liée directement au taux d’injection et elle n’est significative que pour les fortes valeurs de ce dernier (pratiquement, M > 4). Il est à rappeler que pour un jet libre, c’est à dire sans écoulement transversal, les études expérimentales mentionnent une valeur de la longueur avoisinant 6D pour cette zone. On peut citer les quelques corrélations empiriques pour l’évaluation de cette longueur : l j = 6.2 D −3.3 M Fan (1967) (I-7) 6.4 lj = Kamotani et Greber (1974) (I-8) 1 + 4.608 M Les relations (I-7) et (I-8) sont pratiquement équivalentes pour les fortes valeurs du taux d’injection, alors qu’elles différent sensiblement pour les faibles valeurs. La seconde région du jet est celle déviée de la trajectoire caractérisée par une forte courbure du jet. La troisième et dernière région du jet englobe la partie du jet qui est pratiquement parallèle à la direction principale de l’écoulement. Les modèles empiriques de prédiction de la trajectoire d’un jet sont évidemment les plus simples du point de vue pratique, mais ils ont l’inconvénient d’avoir un domaine de validité étroit. Ceci est dû au fait que ces modèles sont toujours liés aux conditions expérimentales qui leurs ont donné naissance. L’un des modèles utilisés pour la prédiction de la trajectoire d’un jet issu d’un trou circulaire et perpendiculaire à l’écoulement transversal s’écrit (Demuren, 1986b) : c ⎛x⎞ y =a Mb⎜ ⎟ (I-9) ⎝D⎠ D où : a = 0.75 ÷1.31 b = 0.74 ÷1.0 c = 0.33 ÷ 0.39 La plage d’application de ce type de modèle est : M = 1.4 ÷ 50 Dans cette catégorie, le modèle de Kamotani et Greber (1974) est applicable pour M = 4 ÷10 , b = 0.94 , c = 0.36 , a = 0.89 pour un jet issu d’une fente à profil plat, et a = 0.81 pour un jet issu d’un tube à profil complètement développé. Si le jet est chauffé, sa trajectoire sera affectée par le rapport des masses volumiques entre l’écoulement principal est celui du jet. L’expression de la trajectoire prendra ainsi la forme : 0.11 ⎛ρ ⎞ 0.29 ⎛x⎞ y = 0.73 ⎜ c ⎟ I 0.52 ⎜ ⎟ (I-10) ⎜ρ ⎟ ⎝D⎠ ⎝ ∞⎠ D où I est le taux de la quantité de mouvement définit précédemment. 19
  31. 31. CHAPITRE I. Le refroidissement par film Pour le cas d’un jet incliné d’un angle θ , on peut citer la corrélation de Shandorov (1957) : 2.55 ( ) ⎛ y⎞ x y 1 + I −1 cot θ = I −1 ⎜ ⎟ + (I-11) ⎝D⎠ D D Cette loi fût construite à partir de l’expérience du jet froid dans un écoulement chaud pour un taux de quantité de mouvement I variant de 2 à 22, et θ allant de 45° à 90° (Demuren, 1986b). 1.7.2 Prédiction de l’efficacité du refroidissement Hartnett (1985) présente une revue bibliographique de plusieurs corrélations semi–empiriques déterminant l’efficacité du refroidissement. Ces formulations, qui sont aussi reprises par Leontiev, (1999), titulaire du prix Max Jacob1998, se distinguent entre elles par la prise en compte de plus ou moins de paramètres influençant le refroidissement par film. Il faut toutefois noter que les corrélations proposées reposent sur un raisonnement bi-dimensionnel n’incluant que le jet issu d’une fente bi-dimensionnel. Cette configuration dont quelques variantes sont illustrées sur la figure (I-7), n’est pas souvent utilisée pour le refroidissement des turbines à gaz en raison des difficultés de constructions. La configuration la plus attractive est celle de l’injection à travers des rangées de trous distincts (c’est aussi l’unique configuration explorée dans notre étude). Parmi ces formules empiriques nous citons : Librizzi et Cresci, (1964) 1 ( )[ η= ] (I-12) 0.329(4.01 + ζ ) − 1 1 + C p∞ C pc 0.8 Kutaeladze et Leontiev, (1963) 1 η= 1 + 0.329(C p∞ C pc )ζ 0.8 (I-13) Goldstein et Haji-Sheikh, (1967) 1.9 Pr 2 3 η= 1 + 0.329(C p∞ C pc )ζ 0.8 (I-14) où ζ est le taux d’injection définit par: −1 4 x ⎛µ ⎞ ζ = c ⎜ c Rec ⎟ (I-15) ⎜µ ⎟ Fs ⎝ ∞ ⎠ où ρ cU c s ρ cU c Rec = F= et (I-16) µc ρ ∞U ∞ 20
  32. 32. CHAPITRE I. Le refroidissement par film U c : vitesse moyenne du jet refroidissant xc : distance du bord de la fente d’injection. L'équation (I-12) par exemple, tient compte du gradient de pression longitudinal, la compressibilité et la non isothermalité du fluide, la rugosité de la surface d’échange, et l’organisation des trous d’injection. Figure I-7 : Plusieurs configurations de refroidissement par film de type fente, Hartnett (1985) Une autre technique, basée également sur l’hypothèse de bi-dimensionnalité, a été proposée par Brown (1967) : η = f1 (I ) f 21 ( A) (I-17) où f 2 ( A, I ) = Aγ ; γ = f 3 (I ) (I-18) 21
  33. 33. CHAPITRE I. Le refroidissement par film ⎛ ms ⎞ ⎟(Rex ) ⎜ 0.2 A= ⎝ x⎠ (I-19) xi 1− x où x est la distance mesurée à partir du bord d’attaque de la plaque, xi est la distance jusqu’au point d’injection. La largeur de la fente “s” utilisée dans l’équation (I-19), est généralement prise égale à πD 2 s= (I-20) 4p 1.8 Etude numérique du refroidissement par film L’objectif de notre travail étant principalement à caractère numérique, tous les aspects relatifs à cette approche pour le refroidissement par film seront traités avec détail le long des chapitres qui suivent. Ceci inclu la formulation des équations de transport, la génération du maillage, l’algorithme de résolution, l’approximation des termes non-linéaires, ainsi que la modélisation de la turbulence. Notre but est de faire de ce document une référence assez complète pour la modélisation numérique des écoulements et du transfert de chaleur, sans toutefois être excessivement longue. Mais avant cela, nous devons rappeler et commenter les différentes contributions disponibles à ce sujet. Le transfert par convection forcée peut être traité par la résolution numérique des équations de Navier-Stokes et l’équation de l’énergie. Plusieurs simplifications peuvent être faites afin de rendre l’approche numérique plus aisée et adaptée aux capacités de calcul disponibles. Ainsi, une simplification majeure peut être réalisée en assimilant la courbure de l’aube à une plaque plane, et en négligeant l’effet de rotation. En raison de la faible capacité de stockage des premiers calculateurs, les premiers modèles mathématiques utilisés sont de type parabolique. Ces modèles présentent l’inconvénient d’être applicable aux situations à faibles taux d’injection, où le jet reste plaqué contre la paroi de la surface de l’aube. Bergles et al. (1976, 1981) ont proposé un modèle semi-parabolique qui s’est avéré relativement efficace pour ce type de conditions. Ce modèle basé sur les mêmes équations paraboliques de la couche limite permet le stockage des variables sur un seul plan, sauf pour la pression. L’effet de celle-ci est introduit dans les équations de quantité de mouvement par un processus itératif jusqu’à la convergence. La vitesse de l’écoulement est maintenue positive ou nulle. De plus, les écoulements de retour ne sont pas captés. Demuren (1983) a utilisé un modèle complément elliptique limité aux zones proches du point d’injection et parabolique loin de l’injection. Dans la même stratégie, Shönung et Rodi (1987) 22
  34. 34. CHAPITRE I. Le refroidissement par film ont proposé un modèle bi- dimensionnel basé sur le même principe, mais étendu aux équations de la turbulence. Chaque variable est décomposée en une moyenne d’espace latérale et une fluctuation (Dans les équations de Reynolds la moyenne est temporelle). L’introduction d’une telle décomposition dans les équations de Navier Stokes donne naissance à de nouveaux termes qu’il faut modéliser afin de tenir compte de l’effet tri dimensionnel. Avec l’essor de l’informatique et l’augmentation de la capacité de stockage des calculateurs modernes, les modèles mathématiques pour le refroidissement par film sont devenus de plus en plus complets, utilisant des procédures complètements elliptiques, dans lesquels le domaine de calcul est étendu à l’intérieur des trous d’injection et parfois au plenum. La courbure des aubes et les formes des trous d’injection sont fidèlement reproduites, avec de surcroît des modèles de turbulence plus élaborés (Theodoridis, et al. 2001), (Lakehal, et al. 2001), (Azzi, et al. 2001b). Andreopoulos (1982), a par exemple montré que l’écoulement à l’intérieur du tube d’injection est largement influencé par l’écoulement principal et que la spécification des conditions aux limites aux points d’injection sous forme de profil de vitesse ou autres ne correspondent pas exactement à la réalité. Ainsi, la résolution de l’écoulement à l’intérieur des tubes d’injection devient nécessaire pour une bonne prédiction numérique. Leylek et Zerkle (1994), ont montré aussi qu’un bon modèle numérique pour la prédiction du refroidissement par film doit inclure le plenum situé avant l’entrée du tube d’injection. L’importance de ce point est plus accentuée pour les cas à faible rapport entre la longueur et le diamètre des trous d’injection. L’approximation des termes de convection dans les premiers modèles se limitait à des schémas de discrétisation de premier ordre (Demuren, 1983) et (Leylek et Zerkle 1994). Plus récemment des schémas d’ordre supérieur et à limiteur sont systématiquement utilisés pour l’ensemble des équations de transport, y compris ceux de la turbulence (voir le chapitre II). Au registre de la modélisation de la turbulence, le modèle à deux équations k − ε est de loin le modèle le plus utilisé bien qu’il s’est avéré que cette approche présente des faiblesses plus ou moins importantes, suivant la complexité de l’écoulement. Le principal défaut de ce modèle est lié à l’approximation de Boussinesq sur laquelle il est basé (hypothèse de viscosité turbulente). Il est ainsi incapable de capter l’effet anisotrope de la turbulence responsable de la dispersion latérale du jet. Amer et al. (1992) ont mené une étude comparative entre les modèles k − ω et k − ε . Leur conclusion était que chaque modèle est mieux adapté que l’autre, dans des situations différentes. Bergeles (1981) a corrigé avec succès cette défaillance par un modèle simple, basé sur la multiplication des composantes latérales du tenseur de Reynolds par un coefficient déduit des mesures expérimentales. Lakehal et al. (2001) et Azzi 23
  35. 35. CHAPITRE I. Le refroidissement par film & Lakehal (2001b), ont récemment utilisé un modèle de type bi-couche à bas nombre de Reynolds tout en adaptant la modification de Bergeles par le biais des résultats DNS. Le modèle aide à capter plus de détails associés au champ de température. Les mêmes constatations sont obtenues de l’étude menée par Ferguson et al. (1998) utilisant un autre type de modèle bi-couche. Les investigations menées par le groupe de Leylek, utilisant certaines variantes du modèle RSM (Reynolds Stress Models) ont montré que ces modèles ne sont pas plus performants que ceux du premier ordre. Il ressort des études numériques disponibles à ce jour que les modèles basés sur l'hypothèse de la viscosité turbulente (Eddy Viscosity Models) appliqués suivant l'approche loi de paroi, ne sont pas adaptés pour les configurations du refroidissement par film. En particulier la dispersion latérale du jet est sous estimée, ce qui conduit directement à une sous estimation de l'efficacité latérale moyenne sur la paroi solide. Cette réalité a poussé le groupe de Rodi travaillant sur ce domaine (Lakehal, et al., 2001; Theodoridis et al., 2001) a opter pour une modification anisotropique des termes du tenseur de Reynolds appliquée en combinaison avec une technique bi-couche à bas nombre de Reynolds. Les facteurs de multiplication ont été inspirés directement des calculs DNS. 24
  36. 36. CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence Chapitre II Modélisation de la turbulence 2.1 Introduction L'étude de la turbulence est une science interdisciplinaire à large domaine d’application. On peut citer à titre d'exemple : le comportement de l’aile d’un avion ou d’une aube de turbomachine, la pulvérisation d’un combustible dans une chambre de combustion ou le jet d’un réacteur d’avion ainsi que les différents types de jets aussi bien naturels qu’industriels. Du coté des applications relatives à l'étude de l'environnement on peut citer : la fumée sortant d’une cheminée d’usine, les gaz d’échappement d’une voiture, le développement d’un feu de foret sous l’influence du vent, le vent dans une ‘rue canyon’, l'écoulement de l’eau dans une rivière et bien d’autres exemples. D'un autre coté les mouvements des océans, les écoulements biologiques sont aussi des applications où l’étude de la turbulence est nécessaire à la compréhension des divers mécanismes d’influence et de contrôles. Cette branche de la mécanique des fluides est très complexe et reste méconnue ou du moins par quelques aspects, même après un siècle de recherche, depuis les premiers travaux de Reynolds (1895). En définissant la turbulence par opposition à l’écoulement laminaire, on peut dire que l’écoulement turbulent est caractérisé par des variations temporelles et spatiales aléatoires de la vitesse, de la pression et de la température. L’autre caractéristique de l’écoulement turbulent est que les fluctuations du champ de vorticité sont très fortes et le mélange est intense. Au contact d’une paroi solide, le coefficient de frottement et d’échange thermique sont augmentés par rapport au régime laminaire. 2.2 Description de la turbulence Le problème des écoulements et du transfert de chaleur relève de la résolution des équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie. Actuellement, il existe deux techniques pour approcher le problème de la turbulence dans le fluide. La première méthode est dite ''modélisation de la turbulence''. Elle consiste à décomposer le champ de la vitesse et de la température en une composante moyenne et une fluctuation turbulente. Le système d’équations résultant (Reynolds Averaged Navier-Stokes equations, 25
  37. 37. CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence RANS) quantifie ainsi le comportement de l’écoulement moyen. Mais la non-linéarité des équations fait apparaître un nouveau terme, reflétant l’effet de la turbulence sur le champ moyen, qu’il faut modéliser. Ce problème est connu sous l’acronyme de ''problème de fermeture'' où l’on dispose d’un nombre d’équations inférieur au nombre d’inconnues. Une variété de modèles est à présent disponible dans la littérature, allant du plus simple (à zéro équation) au plus complexe (Reynolds Stress Model, RSM). Malheureusement aucun de ces modèles n’est optimisé pour tous les cas de figures. La règle générale consiste à adapter le modèle au problème posé. Toutefois, le modèle à deux équations k − ε de Launder & Spalding (1974) est de loin le modèle le plus utilisé et considéré comme étant universel. Malgré un certain nombre de limites que nous développerons un peu plus loin, ce modèle est pratiquement implémenté dans tous les codes de calcul commerciaux. L’idée maîtresse derrière la modélisation de la turbulence repose sur l’analogie que l’on fait avec la phénoménologie de celle-ci : on se base ainsi sur la description des structures dont les tailles des plus grosses pouvant avoir celles de la géométrie du domaine de l’écoulement aux plus petites dites de Kolmogorov. Les premières sont appelées structures énergétiques parce qu’elles transmettent l’énergie reçue aux structures de taille plus faible (phénomène de cascade). Elles sont fortement anisotropes. Les plus petites sont appelées structures dissipatrices (ou de Kolmogorov) ; Ainsi l’énergie reçue des macro-structures est directement dissipée sous forme de chaleur. Les micro-structures sont par contre isotropes et indépendantes de la spécificité de l’écoulement. L'approche par cette logique indique que la turbulence peut être définie par deux échelles : une échelle de longueur et une deuxième de temps. La première est en rapport avec la taille des structures turbulentes, et la deuxième avec leur durée de vie, et c’est principalement l’idée des modèles de turbulences conventionnels. La seconde méthode est la simulation directe (Direct Numerical Simulation, DNS). Dans laquelle toutes les structures de la turbulence (macro- et micro-structures) sont résolues directement et sans le recours à des approximations. Ceci n’est possible que par le biais d’une résolution très fine des équations instantanées de Navier-Stokes. C’est à dire que l’algorithme utilisé devra être suffisamment précis (en espace et en temps) pour capter toutes les échelles de longueur et de temps de la turbulence. Malheureusement, le spectre des échelles de la turbulence est tellement large (proportionnel au nombre de Reynolds) que les pas de discretisation (espace et temps) indispensables dépassent de loin les capacités de stockage et de calcul des meilleurs calculateurs actuels. Une autre méthode aussi sophistiquée que la DNS, mais moins onéreuse est connue sous le nom de ''simulation des macro-echelles'' (LES, Large Eddy Simulation). Elle consiste à filtrer 26
  38. 38. CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence (en espace) les échelles de la turbulence pour ne résoudre ''directement'' que les macro structures, et modéliser les petites structures par le biais de modèles plus ou moins simples, dits ''modèles de sous-maille'' (subgrid models). Cette technique (LES) a le mérite de donner des résultats d’une précision comparable à celle de la DNS, mais à moindre coût. Pour des raisons strictement techniques (puissance de calcul) les méthodes de simulation (DNS et LES) sont réservées aux écoulements à faible nombre de Reynolds et pour des configurations géométriques simples. Pour les applications pratiques et industrielles les méthodes statistiques de modélisation à partir des équations moyennes de Reynolds sont incontournables et le seront probablement pour assez longtemps. Dans le but d’être explicite et plus complet nous évoquons certains chercheurs de renommée qui ont compilé des ouvrages plus ou moins complet sur la turbulence et les méthodes liées à son étude. Nous citons, à titre d’exemple : Launder (1972), Bradshaw (1981), Nallasamy (1987), Hinze (1975), Rodi (1980) etc. Dans les ouvrages de Schlichting (1979), et de Cousteix (1989), la couche limite turbulente est amplement étudiée. Alors que Mohammadi (1994), a consacré son ouvrage à la présentation mathématique du modèle k − ε . Lakehal (1999), dans son récent rapport a introduit pratiquement toutes les méthodes actuelles de traitement numérique de la turbulence, y compris les modèles algébriques et la LES. Le but visé dans ce chapitre est de présenter le plus clairement possible et sans trop de détails le modèle mathématique utilisé dans ce travail ayant servi à la prédiction du refroidissement par film. Ce modèle repose sur les équations de Navier-Stokes et un modèle de turbulence, en l’occurrence le modèle k − ε . Nous consacrerons une attention particulière à la modification de Bergeles et cinq modèles algébriques de type EASM (Explicit Algebraic Stress Model). 2.3 Equations de transport 2.3.1 Equations de Navier-Stokes Pour un fluide Newtonien, incompressible, isotherme et à propriétés constantes, les équations de Navier-Stokes s’écrivent sous la forme : ∂vi = 0; (II-1) ∂xi ∂p Dvi ρ + µ∇ 2 vi + ρg i ; =− i = 1,2,3 (II-2) ∂xi Dt 27
  39. 39. CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence ∂ ∂ D représente la dérivée substantielle (totale), ρ la masse volumique, = + vj où Dt ∂t ∂x j g l'accélération de la pesanteur, et µ la viscosité dynamique, La sommation d’Einstein s’applique, dans le sens où pour chaque index i, une sommation ∂φ i ∂φ i ∂φ i ∂φ i = + + suivant l’index j est nécessaire. Par exemple, ∂x j ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 Le premier terme de l’équation (II-2) correspond à l’accélération du fluide comprenant une première partie dépendante du temps et une deuxième décrivant la convection par la vitesse ⎛ ∂v ⎞ vi . Le terme non linéaire ⎜ v j i ⎟ de l’équation (II-2) représente la principale difficulté dans ⎜ ∂x ⎟ ⎝ j⎠ la résolution de ce système. 2.3.2 Equation de l’énergie Cette équation peut s’exprimer aussi bien en fonction de la température statique ou de l’enthalpie de stagnation. Pour un fluide incompressible on a : ⎛ ∂T ⎞ ∂ DT ⎜λ ⎟ ρ cp = (II-4) ⎜ ∂x ⎟ Dt ∂x j ⎝ ⎠ j où c p est la chaleur spécifique à pression constante, et λ la conductivité thermique du fluide. Cette équation traduit le bilan énergétique entre la convection et la conduction moléculaire à l’intérieur du fluide. L’équation est écrite pour un fluide incompressible (La déformation volumique est nulle, vk ,k = 0 ) où on a négligé l’augmentation de l’énergie interne par compression. On a aussi négligé l’augmentation de l’énergie interne par dissipation visqueuse qui est très faible dans le cas d’un fluide incompressible. Si de surcroît la conductivité thermique est constante, l’équation (II-4) s’écrit sous la forme : ⎛ ∂T ⎞ ∂ DT ⎜α ⎟ = (II-5) ⎜ ∂x ⎟ Dt ∂x j ⎝ j⎠ λ ν avec α = = (II-6) ρ c p Pr cpµ où Pr = est le nombre de Prandtl laminaire. λ Le transfert de chaleur par convection est un phénomène complexe et étroitement lié à la structure de l’écoulement (turbulence, géométrie de la paroi solide, état de surface). Dans tous 28
  40. 40. CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence les cas, la distribution de la température sera fonction de celle du champ de vitesse, mais si en plus ce dernier dépend de celui de la température, la convection est dite naturelle, sinon elle est dite forcée. 2.4 Equations de la turbulence 2.4.1 Méthodes statistiques de modélisation de la turbulence Comme évoqué un peu plus haut, la modélisation de la turbulence est basée sur le principe de décomposition de chaque variable du champ dynamique et thermique en une valeur moyenne et une fluctuation, décomposition de Reynolds, (Hinze, 1975). En pratique, on choisi un intervalle de temps T grand devant l'échelle de temps des fluctuations turbulentes et suffisamment petit devant l'échelle de temps des autres fluctuations (écoulement non stationnaire). La moyenne temporelle de la variable φ s’écrit : t +T φ (t )dt 1 T∫ φ= (II-7) t φ = φ +φ ' φ = vi , p, T , ...; (II-8) vi = vi + u i' ; p = p + p ' ; T = T + θ ' (II-9) où φ est la valeur moyenne de la variable φ et φ ' sa fluctuation temporelle. Suivant la décomposition de Reynolds, les lois de la statistique impliquent les relations suivantes : φ ' = ψ ' = 0. φψ = φ ψ + φ 'ψ ' , φ 'ψ = ψ ' φ = 0 (II-10) 2.4.2 Equations moyennes de Navier-Stokes L’application de la décomposition des variables aux équations de Navier-Stokes (II-1) et (II- 2) conduit aux équations moyennes de Reynodls (Reynolds Averaged Navier-Stokes -RANS) : ∂ vi = 0; (II-11) ∂xi ∂τ ij 1 ∂p D vi + ν∇ 2 vi − =− i = 1,2,3 (II-12) ; ρ ∂xi ∂x j Dt 29

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