(1) O documento fornece informações sobre um banco de questões de matemática criado para auxiliar alunos e professores na preparação para olimpíadas. (2) O banco é atualizado anualmente e contém problemas de diferentes níveis de dificuldade para estimular alunos de diferentes habilidades. (3) Os organizadores buscam feedback de usuários para melhorar o material e aproximar os alunos brasileiros do tipo de preparação em outros países.

1. Uma palavra aos alunos e professores
Uma palavra aos alunos e professores
O Banco de Quest˜es foi concebido por solicita¸˜o de alunos e professores que tˆm
o ca e
participado da Olimp´
ıada Brasileira de Matem´tica das Escolas P´blicas (OBMEP).
a u
Com o objetivo de facilitar e motivar a prepara¸ao dos alunos para as provas, o Banco
c˜
de Quest˜es inspirou a cria¸˜o de diversos clubes de matem´tica nas escolas para
o ca a
trabalhar com esse material.
Nesses 3 anos temos recebido, com muita alegria, mensagens de alunos e pro-
fessores informando-nos sobre incorre¸oes no Banco de Quest˜es, tais como erros
c˜ o
de digita¸ao, trocas de resposta, e alguns tamb´m nos oferecem outras solu¸oes
c˜ e c˜
de alguns problemas. Essa troca tem propiciado um di´logo interessante e um
a
maior conhecimento rec´
ıproco entre a equipe da OBMEP e a rede p´blica escolar.
u
Aproveitamos para agradecer essa colabora¸ao.
c˜
Os alunos e professores que tˆm usado o Banco de Quest˜es nesses 3 anos de
e o
existˆncia da OBMEP v˜o reparar que ele n˜o segue um modelo r´
e a a ıgido, a cada ano
mudamos o seu formato, a quantidade e a dificuldade dos problemas. Esperamos
dessa forma contribuir para dar aos alunos e professores uma vis˜o bem abrangente
a
do mundo fascinante que ´ o dos problemas de matem´tica.
e a
Parte dos problemas aqui apresentados fazem parte de provas de olimp´
ıadas
nacionais e internacionais. Dessa forma pretendemos colocar os alunos da rede
p´blica em contato com o mesmo tipo de prepara¸˜o que tˆm seus colegas em
u ca e
diversos pa´
ıses.
Os problemas est˜o agrupados nos 3 n´
a ıveis por quest˜o de organiza¸ao; no en-
a c˜
tanto aconselhamos todos os alunos a “passearem” tamb´m em outros n´
e ıveis dife-
rentes do seu, e lembrem-se que ´ absolutamente natural encontrar dificuldades
e
em alguns problemas - elas devem ser vistas como desafios e n˜o como motivo de
a
desˆnimo.
a
Desejamos que esse Banco de Quest˜es torne o estudo da Matem´tica em sua
o a
escola mais motivante e instigador.
Dire¸˜o Acadˆmica
ca e
da OBMEP
OBMEP 2008 i

2. Uma palavra aos alunos e professores
Organizado por:
• Suely Druck (UFF)
• Maria Elasir Seabra Gomes (UFMG)
Com a colabora¸ao de:
c˜
• Ana L´cia da Silva (UEL)
u
• Edson Roberto Abe (Col´gio Objetivo)
e
• F´bio Brochero (UFMG)
a
• Francisco Dutenhefner (UFMG)
ii OBMEP 2008

3. Conte´ do
u
Uma palavra aos alunos e professores i
N´
ıvel 1 1
Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
N´
ıvel 2 11
Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
N´
ıvel 3 19
Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iii

4. Uma palavra aos alunos e professores
Solu¸˜es do N´
co ıvel 1 31
Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Solu¸˜es do N´
co ıvel 2 51
Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Solu¸˜es do N´
co ıvel 3 73
Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
iv OBMEP 2008

6. Lista 1 N´ 1
ıvel
N´
ıvel 1
Lista 1
1. O trajeto das formiguinhas - As formiguinhas Maricota e Nandinha
passeiam numa varanda cujo ch˜o ´ formado por lajotas retangulares de 4 cm
a e
de largura por 6 cm de comprimento. Maricota parte do ponto M e Nandinha
do N , andando ambas apenas pelos lados dos retˆngulos, percorrendo o trajeto
a
no sentido indicado na figura.
r -
M .......................................................
.
.
.
.
.
.
........................................
.........................................
. .
.
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.
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...........................
............................
. .
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...............
.
..............
.
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.
.
.
N
r -
.........................................
.........................................
.
.
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...........................
............................
. . .
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.
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. .
.
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. .
.
..............
.. .
..............
(a) As duas se encontram depois de andarem a mesma distˆncia. Qual foi
a
essa distˆncia?
a
(b) Aonde elas se encontraram?
2. A soma ´ 100 - A soma de 3 n´meros ´ 100, dois s˜o primos e um ´ a
e u e a e
soma dos outros dois.
(a) Qual ´ o maior dos 3 n´meros?
e u
(b) Dˆ um exemplo desses 3 n´meros.
e u
(c) Quantas solu¸oes existem para esse problema?
c˜
OBMEP 2008 1

7. N´ 1
ıvel Lista 1
3. C´digo de barras - Um servi¸o postal usa barras curtas e barras longas
o c
para representar o C´digo de Endere¸amento Postal - CEP. A barra curta
o c
corresponde ao zero e a longa ao 1. A primeira e a ultima barra n˜o fazem
´ a
parte do c´digo. A tabela de convers˜o do c´digo ´ mostrada abaixo.
o a o e
11000 = 0 01100 = 5
00011 = 1 10100 = 6
01010 = 2 00001 = 7
00101 = 3 10001 = 8
00110 = 4 10010 = 9
(a) Escreva os CEP 36470130 na forma de c´digo de barras.
o
(b) Identifique o CEP que representa o c´digo de barras abaixo:
o
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Atletas da escola - Numa escola, um quarto dos alunos joga somente vˆlei,
o
um ter¸o joga somente futebol, 300 praticam os dois esportes e 1/12 nenhum
c
deles.
(a) Quantos alunos tem a escola?
(b) Quantos alunos jogam somente futebol?
(c) Quantos alunos jogam futebol?
(d) Quantos alunos praticam um dos 2 esportes?
ızima peri´dica - Qual ´ o algarismo da 1997a casa decimal de:
5. D´ o e
1 1
(a) (b)
22 27
2 OBMEP 2008

8. Lista 2 N´ 1
ıvel
Lista 2
1. Ana na corrida - Para ganhar uma corrida, Ana deve completar os ultimos
´
5 km em menos de 20 minutos. Qual deve ser sua velocidade em km/h?
2. Quadradinhos e o buraco - Quantos quadradinhos foram retirados do
tabuleiro 10x20? Se o lado de cada quadradinho mede 1 cm, qual ´ a ´rea e o
e a
per´
ımetro do “buraco”?
3. Quadrados perfeitos no retˆngulo - Complete as seis casas da tabela,
a
colocando um algarismo em cada uma, de modo que os dois n´meros de trˆs
u e
algarismos formados na horizontal e os trˆs n´meros de dois algarismos for-
e u
mados na vertical sejam quadrados perfeitos.
(a) Quais s˜o os n´meros?
a u
(b) Quantas solu¸oes existem?
c˜
4. Aula de divis˜o - Na aula sobre divis˜o a professora pediu que seus alunos
a a
colocassem n´meros no lugar das estrelas. Quais s˜o esses n´meros?
u a u
.
. . . .
. .
.
38 ......................................... 75 .....................12......
.
.......
......
.
.
.
. 3
..................
..................
.
42 ..........................................
4 7 5
OBMEP 2008 3

9. N´ 1
ıvel Lista 2
5. A festa de Rosa - Os convidados para festa de anivers´rio de Rosa come¸aram
a c
a chegar a partir das 18 horas. Maria chegou na meia hora depois de Cec´
ılia,
mas meia hora antes de Alice. Rosa soprou as velinhas `s 21 horas e apenas
a
Cec´ n˜o estava, ela tinha outra festa e j´ tinha ido embora. Alice foi a
ılia a a
ultima convidada a ir embora, `s 23h15min. Quais das afirma¸˜es abaixo s˜o
´ a co a
verdadeiras?
(a) Cec´ ficou menos do que 3 horas na festa.
ılia
(b) Cec´ ficou menos tempo na festa do que Maria.
ılia
(c) Alice ficou mais tempo na festa do que Maria.
4 OBMEP 2008

10. Lista 3 N´ 1
ıvel
Lista 3
1. Linhas de ˆnibus - No ponto de ˆnibus perto da casa de Quinzinho, existem
o o
duas linhas de ˆnibus que ele pode usar para ir a escola: uma passa de 15 em
o
15 minutos e a outra de 25 em 25 minutos.
(a) Se os dois ˆnibus passaram juntos `s 7 h 30 min, a que horas passar˜o
o a a
juntos novamente?
(b) De 7 h 30 min at´ meia noite, quais os hor´rios em que os ˆnibus passar˜o
e a o a
juntos no ponto perto da casa de Quinzinho?
2. Quadrados dentro de um retˆngulo -
a O ........................................................
. .
.
. .
.
retˆngulo da figura est´ dividido em 8 quadrados.
a a .
. .
.
.
. .
.
.
. .
.
O menor quadrado tem lado 1cm e o maior 14cm. .
. .
.
.
. .
.
.
. .
.
.
. .
(a) Determine o lado dos outros quadrados. ........................................................
. . . .
.
.
. .
.
. .
.
. .
.
.
. .
. .................
.
(b) Qual ´ o per´
e ımetro do retˆngulo?
a . . .....
........................................................
. .
.
. .
3. Festa na escola - A professora Ana foi comprar p˜o de queijo para home-
a
nagear os alunos premiados na OBMEP e deparou-se com a seguinte quest˜o:
a
• cada 100 gramas de p˜o de queijo custam R$ 3, 20 e correspondem a 10
a
p˜es de queijo;
a
• cada pessoa come, em m´dia, 5 p˜es de queijo.
e a
A professora tem 16 alunos, um monitor e 5 pais de alunos. A precis˜o da
a
balan¸a da padaria ´ de 100 gramas.
c e
(a) Quantos gramas de p˜o de queijo ela deve comprar para que cada pessoa
a
coma pelo menos 5 p˜es?
a
(b) Quanto a professora gastar´?
a
(c) Se cada pessoa comer 5 p˜es de queijo, sobrar´ algum p˜o de queijo?
a a a
OBMEP 2008 5

11. N´ 1
ıvel Lista 3
4. Ai que fome - Observe a tabela abaixo:
Salgados Bebidas Doces
Empada: R$ 3, 90 Refrigerante: R$ 1, 90 Sorvete: R$ 1, 00
Sandu´
ıche: R$ 2, 20 Refresco: R$ 1, 20 Cocada: R$ 0, 40
Pastel: R$ 2, 00 ´
Agua: R$ 1, 00 Bombom: R$ 0, 50
Maria deseja fazer um lanche contendo um salgado, uma bebida e um doce.
Ela possui 5 moedas de R$ 0, 50 centavos, 7 moedas de R$ 0, 25 centavos, 4
moedas de R$ 0, 10 centavos e 5 moedas de R$ 0, 05 centavos.
(a) Quantos reais Maria possui?
(b) Se o valor da passagem de ˆnibus ´ R$ 0, 90 centavos, com essa quantia
o e
quais as poss´
ıveis combina¸oes que ela pode fazer?
c˜
5. Advinhe - Tenho n´meros naturais primos entre si. Se eu somar 50 a cada
u
um deles encontro n´meros de dois algarismos. Se eu subtrair 32 de cada
u
um deles tamb´m encontro n´meros naturais de 2 algarismos. Quais s˜o os
e u a
n´meros?
u
6 OBMEP 2008

12. Lista 4 N´ 1
ıvel
Lista 4
1. Produto de consecutivos - Dentre os n´meros 712, 548, e 1680 qual ´
u e
o unico que pode ser escrito como um produto de quatro n´meros naturais
´ u
consecutivos?
2. Pal´
ındromos - O ano 2002 ´ pal´
e ındromo
373 e 1221
porque ´ o mesmo quando lido da direita para
e foram anos pal´
ındromos.
a esquerda.
(a) Qual ser´ o pr´ximo ano pal´
a o ındromo depois de 2002?
(b) O ultimo ano pal´
´ ındromo, 1991, era ´
ımpar. Quando ser´ o pr´ximo ano
a o
pal´
ındromo ´
ımpar?
(c) O ultimo ano pal´
´ ındromo primo ocorreu h´ mais de 1000 anos, em 929.
a
Quando ocorrer´ o pr´ximo ano pal´
a o ındromo primo?
3. O maior mdc - Quais s˜o os seis n´meros de dois algarismos cujo m´ximo
a u a
divisor comum ´ o maior poss´
e ıvel?
4. Quantidade de ´gua na terra - A Terra tem aproximadamente o vo-
a
lume de 1 360 000 000 km3 de ´gua que se distribuem nos oceanos, mares,
a
geleiras, regi˜es subterrˆneas (aq¨´
o a uıferos), lagos, rios e atmosfera. Somente a
´gua encontrada nos trˆs ultimos itens tem f´cil acesso ao consumo humano.
a e ´ a
Com estes dados complete a tabela a seguir:
Especifica¸˜es
co Volume de ´gua em km3
a Percentual Forma decimal do percentual
´
Agua salgada 97%
´
Agua doce 40 000 000
Gelo 1, 8%
´
Agua subterrˆnea
a 0, 0096
Lagos e rios 250 000
Vapor de ´gua
a 0, 00001
OBMEP 2008 7

13. N´ 1
ıvel Lista 4
5. Salas - Maria e Jo˜o querem dividir uma ´rea retangular de 10 m por 20 m.
a a
Eles querem ter uma sala de jantar quadrada, ao lado de uma sala de visitas,
como mostra a planta ao lado. Eles precisam que a sala de visitas tenha mais
de 20 m2 e menos de 25 m2 , e que a de visitas tenha 30 m2 .
Quais as dimens˜es que cada sala pode ter para que a sala de jantar tenha a
o
menor ´rea poss´
a ıvel? Dˆ a resposta com aproxima¸ao de uma casa decimal.
e c˜
jantar visitas
8 OBMEP 2008

14. Lista 5 N´ 1
ıvel
Lista 5
1. Bolas - De quantas formas podemos repartir 14 bolas entre 3 crian¸as de
c
modo que cada crian¸a receba no m´
c ınimo 3 bolas?
2. Minutos - Uma prova de Matem´tica come¸a `s 12h 35min e tem dura¸ao
a c a c˜
5
de 4 horas. A que horas termina a prova?
6
3. Menor n´mero - Qual ´ o menor n´mero de 5 algarismos que se pode
u e u
formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 9, que seja divis´ por 4?
ıvel
4. Contas do papagaio - Antˆnio tem um papagaio que faz contas fant´sticas
o a
com n´meros inteiros, mas n˜o sabe nada sobre decimais. Quando Antˆnio
u a o
sopra um n´mero em seu ouvido, o papagaio multiplica esse n´mero por 5,
u u
depois soma 14, divide o resultado por 6, finalmente subtrai 1 e grita o resul-
tado.
(a) Se Antˆnio soprar o n´mero 8, qual n´mero o papagaio grita?
o u u
(b) Se o papagaio gritou 3, qual o n´mero que Antˆnio soprou em seu ouvido?
u o
(c) Porque o papagaio nunca grita o n´mero 7?
u
5. Soma maior que 34 - Quantos n´meros de 4 algarismos existem cuja soma
u
de seus algarismos ´ maior do que 34?
e
OBMEP 2008 9

15. N´ 1
ıvel Lista 6
Lista 6
1. Sem 1’s - Roberto quer escrever o n´mero 111 111 como um produto de
u
dois n´meros, nenhum deles terminado em 1. Isso ´ poss´
u e ıvel? Por quˆ?
e
2. N´meros equilibrados - Um n´mero ´ dito equilibrado se um dos seus
u u e
algarismos ´ a m´dia aritm´tica dos outros. Por exemplo, 132, 246 e 777 s˜o
e e e a
equilibrados. Quantos n´meros equilibrados de 3 algarismos existem?
u
3. N´meros primos - Quais os n´meros entre 70 e 110, cujos triplos somados
u u
mais um d˜o um n´mero primo?
a u
4. Quadro moderno - Para fazer um quadro bem moderno para sua escola,
Roberto divide uma tela quadrada em 8 partes com 4 faixas de mesma largura
e a diagonal, como na figura. Ele pinta o quadro de azul e verde, de modo que
duas partes vizinhas tenham cores diferentes. No final, ele repara que usou
mais verde do que azul. Que fra¸ao do quadro foi pintada de azul?
c˜
10 OBMEP 2008

16. Lista 1 N´ 2
ıvel
N´
ıvel 2
Lista 1
1. Sapo Cururu - Cururu ´ um sapo estranho, ele se desloca apenas com dois
e
tipos de saltos, veja a seguir :
Salto tipo I: 10 cm para Leste e 30 cm para Norte;
Salto tipo II: 20 cm para Oeste e 40 cm para Sul.
20cm
30cm 40cm
10cm Tipo II
Tipo I
(a) Como Cururu pode chegar a um ponto situado a 190 cm para Leste e
950 cm para Norte de sua casa?
´
(b) E poss´ Cururu chegar a um ponto situado a 180 cm a Leste e 950 cm
ıvel
ao Norte de sua casa?
OBMEP 2008 11

17. N´ 2
ıvel Lista 1
2. Distribuindo algarismos em linhas - Joana escreveu uma seq¨ˆncia em
ue
10 linhas usando os algarismos de 0 a 9, seguindo o padr˜o:
a
0
1 1 0
2 2 2 1 1 0
3 3 3 3 2 2 2 1 1 0
.
.
.
Qual o algarismo mais usado? Quantas vezes esse algarismo foi utilizado?
3. Ser´ que existe? - Existe um n´mero inteiro N tal que
a u
2008 × N = 222 . . . 2 ?
´ 1 1 1 1
4. Limite de uma soma - E verdade que 3 + 3 + 3 < ?
4 5 6 12
5. Parte inteira - A parte inteira de um n´mero inteiro x ´ o maior inteiro
u e
que ´ menor ou igual a x. Vamos denot´-lo por [x]. Por exemplo:
e a
[2, 9] = 2, [0, 88] = 0 e [−1, 7] = −1. Calcule:
√ 28756 2007 √
(a) [ 12] (b) (c) − (d) [ 3 −111]
12777 2008
12 OBMEP 2008

18. Lista 2 N´ 2
ıvel
Lista 2
1. Soma nove - Quantos n´meros inteiros entre 10 e 999 tˆm a soma de seus
u e
algarismos igual a 9?
2. Retˆngulos - As medidas dos lados de um retˆngulo s˜o n´meros pares.
a a a u
Quantos desses retˆngulos existem com ´rea igual a 96?
a a
3. N´mero de retas - Sabemos que dois pontos distin-
u
tos em um plano determinam uma e somente uma reta.
Quantas retas s˜o determinadas pelos pontos marcados
a
no quadriculado ao lado?
4. Cubo - Pedro quer pintar uma caixa na forma de um cubo de tal maneira
que as faces que tˆm uma aresta em comum s˜o pintadas em cores diferentes.
e a
Calcule o n´mero m´
u ınimo de cores necess´rias para pintar o cubo.
a
´
5. Area - Um terreno retangular foi divido em 4 terrenos, tamb´m retangulares.
e
As ´reas de 3 deles est˜o dadas na figura em km2 . Qual ´ a ´rea do terreno
a a e a
que foi dividido?
OBMEP 2008 13

19. N´ 2
ıvel Lista 3
Lista 3
1. Inteiro mais pr´ximo - Determine o n´mero inteiro mais pr´ximo de:
o u o
19 19 85 43 29 15 11 1 7 2
(a) + (b) + + + (c) − − − +
15 3 42 21 14 7 10 2 5 3
2. Brincando com n´meros ´
u ımpares - Beatriz adora n´meros ´
u ımpares.
Quantos n´meros entre 0 e 1000 ela pode escreve usando apenas algarismos
u
´
ımpares?
´
3. Agua no jarro - Jo˜o e Maria tˆm um jarro grande, cada, com um litro de
a e
´gua em cada um. No primeiro dia, Jo˜o coloca 1 ml da ´gua do seu jarro no
a a a
jarro da Maria. No segundo dia, Maria coloca 2 ml da ´gua do seu jarro no
a
jarro do Jo˜o. No terceiro dia, Jo˜o coloca 3 ml da ´gua do seu jarro no jarro
a a a
da Maria, e assim por diante. Depois de 200 dias, quantos mililitros de ´gua
a
tem no jarro de Maria?
4. Formiga no cubo - Uma formiga parte de um v´rtice de um cubo andando
e
somente sobre as arestas at´ voltar ao v´rtice inicial. Ela n˜o passa duas vezes
e e a
por nenhum v´rtice. Qual ´ o passeio de maior comprimento que a formiga
e e
pode fazer?
5. Promo¸˜o - Em uma promo¸ao, Joana comprou blusas de R$15, 00 cada e
ca c˜
cal¸as de R$17, 00 cada, gastando ao todo R$143, 00. Quantas blusas e cal¸as
c c
Joana comprou?
14 OBMEP 2008

20. Lista 4 N´ 2
ıvel
Lista 4
1. Soma de cubos - Se x + y = 1 e x2 + y 2 = 2, calcule x3 + y 3 .
2. O revezamento em uma corrida - Numa competi¸˜o de revezamento,
ca
cada equipe tem dois atletas que tˆm que correr 21 km cada um. O segundo
e
atleta s´ inicia a corrida quando o primeiro atleta termina a sua parte e lhe
o
passa o bast˜o. O recorde dessa competi¸˜o ´ de 2 horas e 48 minutos. Na
a ca e
equipe de Jo˜o e Carlos, Jo˜o inicia a corrida e corre a sua parte com uma
a a
velocidade de 12 km/h. Para bater o recorde, qual deve ser a velocidade de
Carlos?
3. Produtos consecutivos - Divida os n´meros 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17 em dois
u
grupos de tal forma que multiplicando todos os n´meros de um grupo e todos
u
do outro encontramos n´meros consecutivos.
u
4. Distraindo na fila - Vivi, Tˆnia e Rosa est˜o em fila, n˜o necessariamente
a a a
nessa ordem e gritam, cada uma sucessivamente, um m´ltiplo de 3:
u
3 , 6 , 9,
12 , 15 , 18 ,
.
. . .
. , .
. , .,
.
Vivi foi a primeira a gritar um n´mero maior que 2003 e Rosa a primeira a
u
gritar um n´mero de 4 algarismos. Quem gritou o n´mero 666? E o 888?
u u
OBMEP 2008 15

21. N´ 2
ıvel Lista 4
5. N´mero e o dobro - Um n´mero menor do que 200 ´ formado por 3 alga-
u u e
rismos diferentes, e o dobro desse n´mero tamb´m tem todos os algarismos
u e
diferentes. Ainda, o n´mero e seu dobro n˜o tˆm algarismos em comum. Qual
u a e
´ esse n´mero? Quantas solu¸oes tˆm esse problema?
e u c˜ e
16 OBMEP 2008

22. Lista 5 N´ 2
ıvel
Lista 5
1. Invertendo os algarismos - Quantos n´meros entre 10 e 99 existem tais
u
que invertendo a ordem de seus algarismos, obtemos um n´mero maior que o
u
n´mero original?
u
2. Raz˜o entre segmentos - Na figura, O ´
a e R
o centro do semi-c´
ırculo de diˆmetro P Q, e
a
RM ´ perpendicular a PQ. Se o arco P R ´ o
e e
dobro do arco RQ, qual ´ a raz˜o entre P M
e a
P O M Q
e M Q?
3. Triˆngulos -
a Quais os triˆngulos cujas medidas dos lados s˜o n´meros
a a u
inteiros e com per´
ımetro 15 cm?
4. N´mero interessante - O n´mero 119 ´ muito interessante porque dividido
u u e
por 2 deixa resto 1, dividido por 3 deixa resto 2, dividido por 4 deixa resto 3,
dividido por 5 deixa resto 4 e finalmente dividido por 6 deixa resto 5. Existem
outros n´meros de trˆs algarismos com esta mesma propriedade?
u e
5. Time vencedor - Um time de futebol ganhou 60% das 45 partidas rea-
lizadas. Qual ´ o n´mero m´
e u ınimo de partidas que ele precisa jogar para atingir
a porcentagem de 75% de vit´rias?
o
OBMEP 2008 17

23. N´ 2
ıvel Lista 6
Lista 6
1. Brincando com dados - Dois dados s˜o lan¸ados. Qual ´ o percentual do
a c e
produto dos n´meros obtidos nos 2 dados ser divis´ por 6?
u ıvel
2. Contando solu¸˜es - Quantos s˜o os pares de n´meros inteiros positivos
co a u
xy
(x, y) tais que = 144?
x+y
3. C´
ırculos tangentes - Os v´rtices de um triˆngulo de lados 3 cm, 4 cm e
e a
5 cm s˜o centros de trˆs c´
a e ırculos dois a dois tangentes . Qual ´ a soma das
e
´reas destes trˆs c´
a e ırculos?
4. Grupo de amigos - Jo˜o, Jorge, Jos´ e Jan s˜o bons amigos. Jo˜o n˜o tem
a e a a a
dinheiro, mas seus amigos tˆm. Jorge deu a Jo˜o um quinto de seu dinheiro,
e a
Jos´ deu um quarto de seu dinheiro e Jan deu um ter¸o de seu dinheiro. Se
e c
todos eles deram para Jo˜o a mesma quantidade de dinheiro, que fra¸˜o do
a ca
dinheiro do grupo ficou com Jo˜o?
a
5. Um trap´zio is´sceles - Na figura,
e o
o trap´zio ABCD ´ is´sceles, AB ´ pa-
e e o e A B
r 4
¡ rr 4 „
¡ rrP 44 „
ralelo a CD e as diagonais AC e BD ¡ 4 „
¡ 4rrr „
4 rr
cortam-se no ponto P . Se as ´reas dos
a ¡ 4
4 „
¡ 4 rr „
triˆngulos
a ABP e P CD s˜o 4 cm2
a ¡ 44 rr „
¡
4 r„
e 9 cm2 , respectivamente, qual ´ a ´rea
e a D C
do triˆngulo
a P BC?
18 OBMEP 2008

24. Lista 1 N´ 3
ıvel
N´
ıvel 3
Lista 1
1. Problema de nota - Um professor prop˜e 80 problemas a um aluno, in-
o
formando que lhe atribuir´ cinco pontos por problema resolvido corretamente
a
e lhe retirar´ trˆs pontos por problema n˜o resolvido ou resolvido incorreta-
a e a
mente. No final o aluno tinha oito pontos. Quantos problemas ele resolveu
corretamente?
2. Quadrados e triˆngulos - Na figura tem-se 16 pontos formando um reti-
a
culado quadrado e duas retas, r e s, perpendiculares entre si.
(a) Quantos quadrados podemos construir, de tal maneira que seus v´rtices
e
perten¸am ao reticulado, por´m nenhum de seus lados sejam paralelos `s
c e a
retas r e s?
(b) Quantos triˆngulos is´sceles podemos construir, de tal maneira que seus
a o
v´rtices perten¸am ao reticulado, por´m nenhum de seus lados sejam
e c e
paralelos `s retas r e s?
a
OBMEP 2008 19

25. N´ 3
ıvel Lista 1
3. C´lculo de ´reas - Em cada uma das figuras a seguir tem-se um quadrado
a a
de lado r. As regi˜es hachuradas em cada uma destas figuras s˜o limitadas por
o a
lados desse quadrado ou por arcos de c´
ırculo de raio r de centros nos v´rtices
e
do quadrado.
Calcule cada uma dessas ´reas em fun¸ao de r.
a c˜
(a) (b)
4. Seq¨ˆncia de algarismos - Todos os n´meros naturais de 1 em diante s˜o
ue u a
escritos consecutivamente formando a seguinte seq¨ˆncia de algarismos:
ue
1234567891011121314151617181920212223...
Qual algarismo aparece na posi¸ao de n´mero 206 788?
c˜ u
5. Soma constante - Coloque os n´meros 663, 664, 665, 666, 667, 668, 669,
u
670 e 671, sem repetir, em uma tabela 3 × 3, de tal maneira que a soma em
cada linha, em cada coluna e cada diagonal seja 2001.
Caso n˜o seja poss´
a ıvel, justifique sua resposta.
20 OBMEP 2008

26. Lista 2 N´ 3
ıvel
Lista 2
1. Contando os zeros - Quantos zeros existem no final do n´mero
u
92007 + 1?
2. C´ ´
ırculos dentro do quadrado - E poss´ colocar um certo n´mero de
ıvel u
c´
ırculos dentro de um quadrado de 1 cent´
ımetro de lado, tal que a soma dos
raios destes c´
ırculos seja maior que 2008 cent´
ımetros? Os c´
ırculos podem ser
apenas tangentes, n˜o vale interse¸˜o de c´
a ca ırculos em 2 pontos.
3. Construindo um n´mero - Encontre um n´mero de oito algarismos u-
u u
sando somente os algarismos 1, 2, 3, 4, cada um deles duas vezes, tal que:
(i) exista um unico algarismo entre os dois algarismos 1;
´
(ii) existam dois algarismos entre os dois algarismos 2;
(iii) existam trˆs algarismos entre os dois algarismos 3;
e
(iv) existam quatro algarismos entre os dois algarismos 4.
4. N´mero na circunferˆncia - Os n´meros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 foram
u e u
escritos (em uma ordem desconhecida) ao redor de uma circunferˆncia. Lendo
e
esses n´meros de 3 em 3 no sentido hor´rio, formam-se 9 n´meros de trˆs
u a u e
algarismos. Determine a soma desses 9 n´meros.
u
5. Cada pe¸a em seu lugar - Cinco pe¸as de metal, confeccionadas, respecti-
c c
vamente, de ouro, prata, bronze, platina e n´
ıquel, foram colocadas em 5 cofres
numerados de 1 a 5. Cada cofre cont´m uma pe¸a, e o problema consiste em
e c
descobrir qual pe¸a est´ em qual cofre.
c a
OBMEP 2008 21

27. N´ 3
ıvel Lista 2
Na porta de cada cofre est´ escrita uma informa¸˜o. Das 5 informa¸˜es, 4 s˜o
a ca co a
falsas e a unica que ´ verdadeira ´ aquela na porta do cofre que cont´m a pe¸a
´ e e e c
de ouro. Veja as informa¸oes:
c˜
Cofre 1: O ouro est´ no cofre 2 ou 3.
a
Cofre 2: A prata est´ no cofre 1.
a
Cofre 3: O bronze n˜o est´ aqui.
a a
Cofre 4: O n´
ıquel est´ no cofre cujo n´mero ´ inferior de 1 ao que cont´m o
a u e e
ouro.
Cofre 5: A platina est´ no cofre cujo n´mero ´ superior de 1 ao que cont´m
a u e e
o bronze.
22 OBMEP 2008

28. Lista 3 N´ 3
ıvel
Lista 3
1. Soma de quadrados - Encontre trˆs n´meros em uma progress˜o aritm´tica
e u a e
de raz˜o 2, tal que a soma de seus quadrados seja um n´mero formado de
a u
quatro algarismos iguais.
2. Adivinhe o n´mero - Um n´mero quando dividido por 3, tem resto 1; por
u u
4 tem resto 2; por 5 tem resto 3; por 6, tem resto 4. Qual o menor n´mero
u
inteiro positivo que satisfaz tais propriedades?
3. Um c´digo - Na express˜o abaixo, cada letra corresponde a um algarismo,
o a
e letras diferentes correspondem a algarismos diferentes. Determine esses al-
garismos.
6 × AOBM EP = 7 × M EP AOB
4. Calculando distˆncias - Na figura
a ABC ´ um triˆngulo equil´tero de
e a a
3 cm de lado; e o triˆngulo retˆngulo
a a BCD tem lados 3 cm, 4 cm e 5 cm.
Calcule a distˆncia entre os pontos A e D.
a
OBMEP 2008 23

29. N´ 3
ıvel Lista 3
5. Calculando lados de um triˆngulo - Na figura,
a ABC ´ um triˆngulo
e a
equil´tero, e o ponto P ´ tal que P A = 3 cm, P B = 4 cm e P C = 5 cm.
a e
Calcule o comprimento dos lados do triˆngulo
a ABC.
24 OBMEP 2008

30. Lista 4 N´ 3
ıvel
Lista 4
1. Amigo Oculto - Um grupo de 5 amigos decide brincar de “ amigo oculto”.
Para isso, cada um dos 5 amigos compra um presente para seu amigo oculto.
Pelas regras do jogo cada um troca exatamente um presente com um unico
´
amigo. De quantas maneiras os presentes podem ser trocados?
2. Contando solu¸oes - Quantos s˜o os pares de n´meros inteiros positivos
c˜ a u
xy
(x, y) tais que = 144?
x+y
3. Determinando uma seq¨ˆncia - Em uma seq¨ˆncia de 80 n´meros, qual-
ue ue u
quer termo, salvo os extremos, ´ igual ao produto de seus termos vizinhos. O
e
produto dos 40 primeiros termos da seq¨ˆncia ´ 8. O produto de todos os
ue e
termos tamb´m ´ 8. Determine os dois primeiros termos desta seq¨ˆncia.
e e ue
4. Construindo uma cerca -
Carina est´ desenhando a planta de um jardim
a

31. retangular que ter´ um de seus lados num muro
a
.........................................................................................................................
...........

32. .......... .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
reto de pedras. Ela comprou 140 m de cerca, em

33. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

34. jardim .
.
.
.
.
peda¸os de 1m cada um para cercar os 3 outros
c .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

35. .
.
.
.
.
.
.
.
lados. Ela n˜o pode cortar esses peda¸os e deve
a c .
.
.
.
.
.
.
.

36. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......................................................................
........................................................................
gastar todos eles.
(a) Se os dois lados vizinhos ao muro de pedra tˆm 40 m cada um, qual ser´
e a
o comprimento do terceiro lado?
´
(b) E poss´
ıvel que o maior dos lados a ser cercado tenha 85 m? E 65 m?
Justifique.
OBMEP 2008 25

37. N´ 3
ıvel Lista 4
5. Um quadril´tero especial - Na figura abaixo, os lados do quadril´tero
a a
da figura tˆm medidas inteiras e distintas, os ˆngulos ABC e ADC s˜o retos,
e a a
AD = 7 cm e BC = 11 cm . Quanto medem os lados AB e DC?
B
x
A
11
7
y
D C
26 OBMEP 2008

38. Lista 5 N´ 3
ıvel
Lista 5
1. Trˆs quadrados -
e No desenho abaixo, o quadrado ABCD tem ´rea de
a
30 cm2 e o quadrado F HIJ tem ´rea de 20 cm2 . Os v´rtices A, D, E, H e I
a e
dos trˆs quadrados pertencem a uma mesma reta. Calcule a ´rea do quadrado
e a
BEF G.
G
C B
F J
D A E H I
2. Bolinha de gude - Trˆs amigos jogam uma partida de bolinha de gude com
e
a seguinte regra: o perdedor de cada rodada dobra as bolinhas dos outros jo-
gadores; (ele d´ aos outros dois o n´mero de bolinhas de modo que fiquem com
a u
o dobro do que tinham no in´ da jogada). O 1◦ jogador perdeu a primeira
ıcio
rodada, o 2◦ jogador a segunda, o 3◦ a terceira rodada e todos terminaram com
64 bolinhas cada um. Com quantas bolinhas cada amigo come¸ou a partida?
c
3. Uma soma - Calcule o valor da soma
1 1 1 1 1
S= + + + ... + +
1·2 2·3 3·4 2006 · 2007 2007 · 2008
OBMEP 2008 27

39. N´ 3
ıvel Lista 5
4. Dobrando papel - Uma folha retangular ABCD de ´rea 1000 cm2 foi do-
a
brada ao meio e em seguida desdobrada (segmento M N ); foi dobrada e desdo-
brada novamente (segmento M C) e finalmente, dobrada e desdobrada segundo
a diagonal BD. Calcule a ´rea do peda¸o de papel limitado pelos trˆs vincos
a c e
(regi˜o escura no desenho).
a
-
A M B
F
E
D C
N
5. Uma ´rea - No triˆngulo ABC, M ´ o ponto m´dio do lado AC, D ´ um
a a e e e
ponto sobre o lado BC tal que AD ´ bissetriz do ˆngulo B AC e P ´ o ponto de
e a e
interse¸ao de AD e BM . Sabendo que a ´rea de ABC ´ 100 cm2 , AB = 10 cm
c˜ a e
e AC = 30 cm, calcule a ´rea do triˆngulo AP B.
a a
28 OBMEP 2008

40. Lista 6 N´ 3
ıvel
Lista 6
´
1. Ultimos algarismos - Quais s˜o os dois ultimos algarismos do n´mero
a ´ u
2008
8 + 88 + 888 + · · · + 88 · · · 88 ?
2. Idades m´ltiplas - Quando Isabel nasceu sua m˜e estava fazendo anivers´rio
u a a
de 20 anos. Se Isabel e sua m˜e viverem mais de 50 anos, quantas vezes a idade
a
das duas foram n´meros m´ltiplos?
u u
3. Blocos diferentes - Ana tem um cubo de 10 cm de lado. Ela cortou o cubo
em cubinhos de 1 cm de lado, e com esses cubinhos ela brinca de formar outros
blocos retangulares, mas sem que sobrem cubinhos. Por exemplo ela formou
um bloco de 10 × 20 × 5.
Quantos blocos diferentes ela pode construir com os cubinhos sem sobrar nen-
hum?
4. Quadro negro - A Ana escreveu os n´meros de 1 at´ 10 000 no quadro
u e
negro e depois apagou todos os m´ltiplos de 7 e 11. Qual ´ o n´mero que ficou
u e u
na posi¸ao 2008?
c˜
OBMEP 2008 29

41. N´ 3
ıvel Lista 6
5. Conjunto sem m´ltiplos - Qual ´ o subconjunto de {1, 2, . . . , 100} com o
u e
maior n´mero poss´ de elementos e sem elementos que sejam m´ltiplos um
u ıvel u
do outro?
30 OBMEP 2008