1) O documento apresenta conceitos fundamentais sobre razões e proporções, incluindo definições de razão, proporção, termos de uma proporção e propriedades das proporções. 2) São apresentados exemplos de sequências direta e inversamente proporcionais e explicados os conceitos. 3) É mostrado como dividir um número em partes direta ou inversamente proporcionais a outros números, com resolução de exercícios.

1. CFO / Matemática - Complemento e Errata
Ex: as sequências {3, 6, 9, 12, 15} e {2, 4 , 6 , 8, 10} são
Razões e Proporções diretamente proporcionais, porque quando escritas na forma
de razão teremos sempre valores proporcionais
W INTRODUÇÃO 3 6 9 2 5
a = = = = = constante
Quando escrevemos dois números na forma de , com 2 4 6 8 0
b ≠ 0 ; dizemos que temos uma razão entre eles. b “Sequências Inversamente Proporcionais” são aquelas
3 na qual o produto formado pelos termos correspondentes é
Ao escrever estamos escrevendo a razão entre 3 e 2, constante.
2
onde a parte de cima é chamada de antecedente e a de baixo Ex: as seqüências {1, 2, 3, 5, 6} e {60, 30, 20, 12, 10} são
de conseqüente. inversamente proporcionais porque o produto formado pelos
seus termos correspondentes é sempre o mesmo.
2 4 6 8
As razões , , e são chamadas de razões equi- Ou seja: 1×60 = 2×30 = 3×20 = 5×12 = 6 ×10 = constante
5 0 5 20 2
valentes porque representam o mesmo valor e é chamada de W Divisão em Partes Diretamente
5
forma irredutível porque é a forma mais simplificada possível Proporcionais
de se escrever essa razão. Ex: dividir o nº 360 em partes diretamente proporcionais
a 2, 3 e 5.
À igualdade de duas razões equivalentes damos o nome
de proporção. Esse número será dividido em três partes que chamaremos
2 4 de A , B e C, e a soma das partes deverá ser igual a 360:
Quando escrevemos = estamos escrevendo uma A + B + C = 360
5 0
proporção que lê-se: 2 está para 5 assim como 4 está para 10. Representando essas divisões na forma de proporções:
O primeiro e o último termos são chamados de extremos A B C
= =
da proporção (2 e 10 são os extremos). 2 3 5
O segundo e o terceiro termos são chamados de meios da
proporção (5 e 4 são os meios). Usando a propriedade 3:
Ao último termo de uma proporção chamamos de quarta A B C A + B + C 360
proporcional (no exemplo anterior 10 é a quarta proporcional) = = = = = 36
2 3 5 2+3+5 0
Quando o segundo e o terceiro termos são iguais chama-
mos de proporção contínua. Ao resultado dessa divisão chamamos de constante de
2 4 proporcionalidade.
= é uma proporção contínua, e nesse caso o último
4 8 Para determinar os valores de A , B e C , vamos igualar
termo (8) é chamado de terceira proporcional. cada um deles com a constante de proporcionalidade:
W Propriedades das proporções A B
= 36 ⇒ A = 36 × 2 = 72; = 36 ⇒ B = 36 × 3 = 08 ;
2 3
1. Numa proporção o produto dos meios é igual ao produto
2 4 C
dos extremos: = ⇔ 2 × 0 = 4 × 5 = 36 ⇒ C = 36 × 5 = 80
5 0 5
2. Uma proporção não se altera ao alternarmos os seus
meios, ou os seus extremos: W Divisão em Partes Inversamente
Proporcionais
2 4 2 5 0 4 5 0
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = Ex: dividir o número 496 em partes inversamente pro-
5 0 4 0 5 2 2 4
porcionais aos números 2, 3 e 5.
Nesse caso, toda vez que trocarmos os termos teremos Esse número será dividido em três partes que chamaremos
uma nova proporção. de A , B e C, e a soma das partes deverá ser igual a 496:
3. Numa proporção, a soma (ou diferença) dos antece- A B C
dentes está para a soma (ou diferença) dos conseqüentes assim = =
como cada antecedente está para seu respectivo consequente:
2 3 5
2 4 2+4 6 2 4 4−2 2
= = = e = = = Usando a propriedade 3 após tirar o MMC.
5 0 5 + 0 5 5 0 0 − 5 5
A B C A B C
Nesse caso o resultado da soma ou da diferença é um = = ⇒ = = ⇒
número proporcional às razões dadas. 5 0 6
2 3 5 30 30 30
Chamamos de “Sequências Diretamente Proporcionais”
àquelas sequências numéricas nas quais a razão formada pelos A B C A + B + C 496
seus termos correspondentes é sempre constante. = = = = = 6
5 0 6 5 + 0 + 6 3

2. Igualando a constante com os valores obtidos depois do 03) (Cesgranrio/Assistente/EPE/2007) Gabriel fez
mmc, temos: refresco misturando 100 ml de suco concentrado e 500 ml
A de água. Como o refresco ficou aguado, sua mãe resolveu
= 6 ⇒ A = 5 × 6 = 240 acrescentar mais suco concentrado à mistura, até que a
5
quantidade de suco correspondesse a 1/5 da quantidade
B de refresco. A mãe de Gabriel precisou acrescentar uma
= 6 ⇒ B = 0 × 6 = 60
0 quantidade de suco:
C a) menor do que 20 ml.
= 6 ⇒ C = 6 × 6 = 96 b) entre 20 ml e 30 ml. d) entre 40 ml e 50 ml.
6
c) entre 30 ml e 40 ml. e) maior do que 50 ml.
W Exercícios resolvidos  Resolução
01) (Fundep/Aux. Adm./Fhemig/2002) Uma prova de No início temos 100 ml de suco e 500 ml de água, ou
matemática, a razão de número de questões que Talita seja, temos 600 ml de refresco. Vamos indicar a quantidade
acertou para o número total de questões foi de 5 para 7. de suco que a mãe acrescentou de x.
Quantas questões Talita acertou sabendo-se que a prova
era composta de 35 questões? Depois de adicionar x ml de suco, a razão entre o suco e
a) 21 questões c) 25 questões o refresco passou a ser 1/5:
b) 24 questões d) 28 questões 00 + x → veja que ao se aumentar a quantidade de
=
600 + x 5
 Resolução suco, a quantidade de refresco também aumenta.
Vamos chamar de C as questões que ela acertou e de T Vamos fazer os cálculos:
ao total de questões, daí podemos fazer:
00 + x
C 5 = ⇒ 5 × (00 + x ) = 600 + x ⇒
= → veja que ao construir uma proporção deve- 600 + x 5
T 7
mos conservar a ordem na qual os dados do problema foram 500 + 5x = 600 + x ⇒ 5x − x = 600 − 500 ⇒
fornecidos. 00
Mas o número total de questões da prova é de 35. 4 x = 00 ⇒ x = ⇒ x = 25 ml
4
Substituir T por 35:
Alternativa B
C 5 C 5 35 × 5
= ⇒ = ⇒C= = 25 “O euro, moeda oficial da União Européia, que existe
T 7 35 7 7
como moeda e cédula desde 1º/1/2002, é adotado hoje, por
Alternativa C 13 dos 27 Estados-membros. O último Estado-membro a
adotar o euro foi a Eslovênia, em 1º/1/2007, que estabeleceu
02) (Vunesp/Escrit./Pref. Louveira/2007) No 1º semestre a conversão de 239,64 tolares - o tolar era a moeda até então
houve 3 avaliações de matemática, cada uma delas com oficial da Eslovênia - para cada euro”
quantidade diferente de questões. A tabela mostra a quan-
Tendo o texto por referência, julgue o item a seguir:
tidade de questões que 3 determinados alunos acertaram
04) ( ) (UnB/Escrit./BB/2007 -Alterada) Considere que
em cada prova. Os valores são tais que os números de
o alfa fosse a moeda oficial de um dos 13 Esta-
acertos foram proporcionais aos números de questões por
dos-membros que adotaram o Euro como moeda
prova.
oficial. Considere, ainda, que 6 tolares equivaliam
O número de questões que Luana acertou na 3ª prova foi
a 11 alfas no dia 1/1/2007. Nessa situação, nesse
Nº de questões Nº de questões mesmo dia, um euro equivalia a mais de 450
Aluno
por prova acertadas alfas.
Meire 40 25  Resolução
Fran 8 5 A proporção entre tolar e euro é a seguinte:
Luana 16 x
t 239, 64
=
a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12. e
239, 64 × e
 Resolução Vamos isolar t: t =
Como os valores são proporcionais aos números de ques- t 6
25 5 x A proporção entre tolar e alfa é a seguinte: =
tões da prova, podemos escrever que: = = 6a a
40 8 6 Vamos isolar t: t =
Nesse caso, para encontrar o valor de x, basta igualar duas des-
5 x 80
sas razões: = ⇒ 8x = 6 × 5 ⇒ 8x = 80 ⇒ x = = 0 239, 64 × e 6a
8 6 8 Como as expressões t = e t= são iguais
Alternativa C a t, podemos igualar as duas entre si para poder achar a relação
entre euro e alfa:

3. 239, 64 × e 6 × a e 6 e 6  Resolução
= ⇒ = ⇒ =
a x 239, 64 a 2.636, 04 Vamos chamar a idade atual de Maria de M, sua idade há
10 anos de M – 10 e sua idade daqui a 2 anos de M + 2.
Dividindo a segunda razão por 6, temos:
Usaremos uma simbologia semelhante para Rita: R,
e R – 10 e R + 2.
=
a 439, 34
M − 0 4
Ou seja, cada euro corresponde a 439,34 alfas. Há 10 anos: =
R − 0 3
Resposta: Errado
05) (F. C. Chagas/Téc./ TRT/2003) Considere que a carên- M + 2 0
Daqui há 2 anos: =
cia de um seguro-saúde é inversamente proporcional ao R+2 9
valor da franquia e diretamente proporcional à idade do Vamos multiplicar cruzado e construir duas equações:
segurado. Se o tempo de carência para um segurado de
20 anos, com uma franquia de R$ 1.000,00 é 2 meses, o M − 0 4
= ⇒ 3M − 30 = 4R − 40 ⇒
tempo de carência para um segurado de 60 anos com uma R − 0 3
franquia de R$ 1.500,00 é 3M − 4R = −40 + 30 ⇒ 3M − 4R = −0
a) 4 meses
b) 4 meses e meio d) 5 meses e meio M + 2 0
c) 5 meses e) 6 meses = ⇒ 9M + 8 = 0R + 20 ⇒
R+2 9
 Resolução 9M − 0R = 20 − 8 ⇒ 9M − 0R = 2
Vamos chamar a carência de C, a franquia de F e a idade
do segurado de I. De acordo com o problema teremos: Temos então o seguinte sistema de equações:
C 3M − 4R = −0
→ C é inversamente proporcional a F e 
9M − 0R = 2
×I diretamente proporcional a I.
F
Multiplicar a1ª equação por (– 3)
Igualar esses valores a uma constante de proporcionali-
dade que chamaremos de K. −9M + 2R = 30

C  9M − 0R = 2
=K
×I Somando as duas equações, temos:
F
32
2R = 32 ⇒ R = ⇒ R = 6
Pelo enunciado sabemos que quando um segurado tem 20 2
anos e franquia de R$ 1.000,00, sua carência é de dois meses. Substituir o resultado encontrado na primeira equação:
Substituindo esses valores na proporção acima para encontrar
o valor da constante: 3M − 4R = −0 ⇒ 3M − 4.6 = −0 ⇒
C 2 2 .000 2.000 54
K= = = = 2× = = 00 3M − 64 = −0 ⇒ 3M = 64 − 0 ⇒ M = = 8
20 20 20 3
×I × 20
F .000 .000 A questão pede a soma das duas idades: 16 + 18 = 34 anos.
Agora vamos igualar a constante com a segunda situação Alternativa C
onde temos um segurado de 60 anos e uma franquia de 07) (Fumarc/IPREM/2007) Na compra de um apartamen-
R$ 1.500,00: to em sociedade, Letícia investiu R$ 48.000,00 e Gustavo,
C C C R$ 42.000,00. Depois de um certo tempo, venderam o
=K⇒ = 00 ⇒ = 00 ⇒
60 imóvel por R$ 120.000,00. Então, a quantia que Gustavo
×I × 60 recebeu após a venda foi de:
F .500 .500
a) R$ 64.000,00. c) R$ 56.000,00.
60 6.000
C= × 00 = = 4 meses b) R$ 58.000,00. d) R$ 52.000,00.
.500 .500
Alternativa A  Resolução
Nesse caso temos uma divisão em partes diretamente
06) (Cesgranrio/Assistente/Pref. Manaus/2004) Há dez proporcionais porque quem investiu mais vai receber mais na
4 hora da venda do apartamento.
anos, a razão entre as idades de Maria e Rita era . Daqui
3
a dois anos, será 0 . O número de anos correspondente à A soma das partes que os dois vão receber é igual ao valor
9 total, daí podemos escrever:
soma das duas idades é: L + G = 120.000
a) 26 b) 28 c) 34 d) 36 e) 38
Cada parte é proporcional ao valor investido:
L G
=
48.000 42.000

4. Sabemos que se somarmos antecedentes e conseqüentes ao Tirar o mmc dos denominadores e depois cancelá-los
mesmo tempo, o resultado será proporcional aos valores iniciais:
C J C J C J C + J 60
L G L+G 20.000 2 4 = = = = = = = = 32
= = = = = 2 3 2 3 2+3 5
48.000 42.000 48.000 + 42.000 90.000 9 3 3 2 6 6
Como queremos saber quanto Gustavo recebeu, faremos Para encontrar o valor recebido por Joana, igualar o valor
a igualdade: correspondente a ela com a constante.
G 4 42.000 × 4 68.000 J
= ⇒G= = = 56.000 = 32 ⇒ J = 3 × 32 = 96
42.000 3 3 3 3
Alternativa C Alternativa D
08) (Fumarc/BHTRANS/2007) A soma de dois números
naturais é 162. O maior está para 13 assim como o menor 10) (Cesgranrio/Assistente/EPE/2007) Considere um
está para 5. Nessas condições, é incorreto afirmar que: segmento AB com 2 metros de comprimento. Deseja-se
a) o maior número é um número primo. colocar um ponto C sobre esse segmento, em uma posição
b) a diferença entre os números é 72. entre A e B, de tal forma que AB = AC Nessas condi-
c) os dois números são múltiplos de 3. AC BC
ções, AC mede, em metros:
d) o menor número é um múltiplo de 5.
a) ( 5 – 1)/2
 Resolução b) ( 5 + 1)/2 d) 5 – 1
Vamos chamar esses números de A e B, e como a soma
c) 2 5 – 2 e) 5 – 2
é 162, temos que: A + B = 162.
Supondo que o maior deles seja A, daí podemos construir  Resolução
a proporção:
Temos a seguinte situação:
A B
= A C B
3 5
Usando a propriedade 3: 2
A B A + B 62
= = = =9 Como estamos procurando o valor de AC, vamos chamá-lo
3 5 3 + 5 8
de x. Com isso poderemos chamar BC de 2 – x
Igualando as duas razões à constante:
A x C 2–x B
A
= 9 ⇒ A = 3 × 9 = 7
3 2
B
= 9 ⇒ B = 5 × 9 = 45 AB AC
5 Então a proporção = poderá ser escrita da se-
AC BC
Verificando as alternativas do exercício observamos que 2 x
guinte forma: =
a diferença entre eles é 117 – 45 = 72 x 2−x
Alternativa B
Vamos multiplicar cruzado
09) (NCE/Adm./Infraero/2004) Flora tem uma pequena loja 2 x
= ⇒ x 2 = 2 × (2 − x ) ⇒
de produtos naturais e duas funcionárias, Joana e Caro- x 2−x
lina. No mês de julho Flora decidiu dividir um bônus de
R$ 160,00 entre as duas funcionárias, de forma que cada x 2 = 4 − 2 x ⇒ x 2 + 2 x − 4 = 0 ⇒ que é uma equação do
uma receberia um valor inversamente proporcional ao segundo grau.
número de faltas naquele mês. Carolina faltou 3 vezes e
Joana faltou 2. A quantia recebida por Joana, em reais, é ∆ = b 2 − 4ac = 22 − 4 × × (−4) = 4 + 6 = 20
igual a:
a) 55 −b ± ∆ −2 ± 20 −2 ± 22.5
b) 64 d) 96 x= = = =
2a 2 × 2
c) 80 e) 108
−2 ± 2 5 2 × (− ± 5 )
 Resolução = = − ± 5
2 2
Fazer uma divisão em partes inversamente, sabendo que
a soma das partes é igual a 160: Como um segmento nunca é negativo, somente a raiz
positiva será solução do problema: x = − + 5 = 5 −
C + J = 160
C J Alternativa D
Como a divisão é inversamente proporcional: =
3 2

5. Regra de Três 0 2.000 5
= ×
x 3.000 20
⇒
0 30.000
=
x 60.000
⇒
W IntroduÇÃO 0 3
= ⇒ 3x = 60 ⇒ x =
60
= 20 dias
Regra de três é um método para solucionar problemas que x 6 3
contém grandezas, sendo uma grandeza algo que pode ser medido,
como, por exemplo, distância, tempo, número de pessoas etc. W Exercícios Resolvidos
Quando o problema possui somente duas grandezas,
dizemos que é uma regra de três simples e quando tiver três 01) (UnB/Prof./SEED/PR/2003) Os 33 alunos formandos de
ou mais grandezas é uma regra de três composta. uma escola estão organizando a sua festa de formatura e
A primeira coisa que devemos fazer para resolver um 9 desses estudantes ficaram encarregados de preparar os
problema de regra de três é verificar se as grandezas são dire- convites. Esse pequeno grupo trabalhou durante 4 horas
tamente proporcionais ou inversamente proporcionais. e produziu 2.343 convites. Admitindo-se que todos os
estudantes sejam igualmente eficientes, se todos os 33 for-
W Grandezas diretamente proporcionais mandos tivessem trabalhado na produção desses convites,
São aquelas que se comportam de maneiras iguais (à me- o número de convites que teriam produzido nas mesmas
dida que uma grandeza aumenta a outra também aumenta). 4 horas seria igual a
a) 7.987.
W Grandezas inversamente proporcionais b) 8.591. d) 9.328.
São aquelas que se comportam de maneiras inversas (à c) 8.737. e) 8.926.
medida que uma grandeza aumenta a outra diminui).
Ex: vinte funcionários de uma indústria produzem 2.000  Resolução
peças em 10 dias de trabalho. Em quantos dias 15 funcioná- Dados do exercício:
rios com a mesma eficiência deverão produzir 3.000 peças do Alunos Convites
mesmo produto? 9 2.343
Nesse caso temos uma regra de três composta, porque há três 33 x
grandezas; número de peças, dias e número de funcionários.
Inicialmente vamos colocar as grandezas uma sobre a Veja que a quantidade de horas não está sendo colocada
outra representando as duas situações do problema, chamando no problema porque ela não se altera.
a incógnita de x. Essas grandezas são diretamente proporcionais porque
quanto maior for o número de pessoas trabalhando maior será
Funcionários Peças dias
a quantidade de convites produzidos (uma grandeza aumenta
20 2.000 10
então a outra também irá aumentar).
15 3.000 x
Temos a seguinte proporção:
Para verificar se as grandezas são direta ou inversamente
proporcionais, escolher uma grandeza para servir de referência. 2.343 9
= ⇒ 9 x = 33 × 2.343 ⇒
Para ficar mais fácil, essa grandeza sempre será aquela que x 33
estamos procurando - nesse exemplo será o número de dias.
Comparar essa grandeza com as outras, mas uma de cada 33 × 2.343 × 2.343
x= = = × 78 = 8.59 convites
vez, e quando estivermos comparando duas grandezas não 9 3
vamos nos preocupar com a terceira grandeza. Alternativa B
Comparar número de dias com quantidade de peças
produzidas. 02) (FUNDEP/Téc./ALMG/2008) João e Antonio têm seus
Essas duas grandezas são diretamente proporcionais
passos aferidos.O passo de Antônio mede 0,90 m e o de
porque para se produzir mais peças são necessários mais dias
João, 1,10 m. Para ir de A até B, um deu 60 passos a mais
(uma grandeza aumenta a outra também aumenta).
que o outro. Nessas condições, é correto afirmar que a
Comparar agora o número de dias com a quantidade de
funcionários. distância de A até B
Essas grandezas são inversamente proporcionais porque a) é menor que 260 m
quanto mais funcionários estiverem trabalhando gastarão b) está entre 260 m e 280 m
menos dias para fazer um trabalho (quando uma grandeza c) está entre 280 m e 300 m
aumenta a outra diminui). d) é maior que 300 m
Construir uma proporção entre as grandezas colocando
sempre a grandeza onde estiver a incógnita X de um lado e o  Resolução
produto das outras grandezas do outro lado. Para resolver esse problema vamos indicar por x o número
de passos que João deu e por x + 60 o número de passos que
obs: Quando as grandezas forem Antônio deu (como o passo de Antônio é menor, ele tem que
inversamente dar mais passos).
proporcionais devemos invertê-las.
Temos:
Tamanho passos
Observando a proporção ao lado vemos
0 2.000 5 0,90 x + 60
= × que o número de funcionários está inver- 1,10 x
x 3.000 20 tida em relação à situação original.

6. Nesse caso as grandezas são inversamente proporcionais, 04) (Cesgranrio/Téc./BNDES/2004) O estoque de
porque quanto maior for o tamanho do passo, menos passos pó de café em um escritório é suficiente para seus 16
ele tem que dar para chegar a seu destino. funcionários durante 62 dias. Depois de 12 dias, passam
Vamos inverter uma das grandezas: a trabalhar no escritório mais 4 funcionários. Passados
mais 15 dias, 10 funcionários são transferidos para outro
0, 90 x
= ⇒ ,0 x = 0, 90 × ( x + 60) ⇒ escritório. Quantos dias mais durará o estoque de pó de
,0 x + 60
café?
,0 x = 0, 90 x + 54 ⇒ ,0 x − 0, 90 x = 54 ⇒ a) 23 b) 25 c) 30 d) 35 e) 50
0, 20 x = 54 ⇒ x =
54
= 270 passos  Resolução
0, 20
Situação inicial:
Acabamos de determinar a quantidade de passos que João
Funcionários dias
deu, mas temos que determinar a distância percorrida por ele.
16 50
Para isso, basta multiplicar o número de passos pelo tamanho
de cada passo: Como se passaram 12 dias, a quantidade de café irá
270 × 1,10 = 297 metros durar para 62 – 12 = 50 dias com a quantidade inicial de
Alternativa C funcionários.
03) (CFO/2004) Um cadete do CFO gasta 1h15min para Como o número de funcionários aumentou em mais qua-
dar 10 voltas na PAM (Pista de Aplicação Militar), com tro, temos na segunda situação 20 funcionários:
velocidade de 20 km/h. Reduzindo sua velocidade para
18 km/h para fazer o mesmo percurso, ele gastará a mais, Funcionários dias
o tempo de: 16 50
a) 8min20s c) 10min 20 x
b) 9min30s d) 12min15s
Essas grandezas são inversamente proporcionais porque
 Resolução quanto mais funcionários houver, menos dias o café irá durar
Construir a primeira situação do problema: (uma grandeza aumenta e a outra diminui). Vamos inverter
Tempo (min) voltas velocidade uma das grandezas:
75 10 20
50 20 800
Veja que passamos o tempo para minutos para facilitar o = ⇒ 20 x = 800 ⇒ x = = 40 dias
x 6 20
cálculo. Segunda situação:
Tempo (min) voltas velocidade Então agora, o café irá durar mais 40 dias.
75 10 20 Mas vão se passar mais 15 dias - o café irá durar por
x 10 18 mais 40 – 15 = 25 dias, quando o número de funcionários irá
Como o nº de voltas é igual, estas não entrarão na reso- diminuir de 10, daí teremos:
lução do exercício.
Funcionários dias
As grandezas tempo e velocidade são inversamente pro- 20 25
porcionais porque à medida que a velocidade vai diminuindo 10 x
o tempo que ele gastará para percorrer o mesmo percurso irá
As grandezas são inversamente proporcionais:
aumentar - temos que inverter uma das grandezas:
75 8 .500 25 0 500
= ⇒ 8x = .500 ⇒ x = = ⇒ 0 x = 500 ⇒ x = = 50 dias
x 20 8 x 20 0
Alternativa E
Mas essa divisão não é exata.
1500 ÷ 18 = 83 e dá resto 6.
05) (NCE/ANA/2002) Suponha que A, B, C, D sejam
Como dividimos por 18, podemos dizer que o resto é igual engrenagens acopladas, com 5, 30, 6 e 10 dentes, res-
6 pectivamente.
a = de minutos, e para transformar em segundos, basta
8 3
multiplicar esse valor por 60: A
60
× 60 = = 20segundos B
3 3 Se A faz 12 voltas por minuto,
Ele irá gastar 83 minutos e 20 segundos. então o número de voltas por mi-
nuto para D é:
Mas a pergunta é quanto ele gastará a mais de tempo, C a) 3
deve-se diminuir o valor inicial ao resultado obtido:
D b) 4 d) 12
83 min 20 seg – 75 min = 8 min 20 seg c) 6 e) 24
Alternativa A

7.  Resolução Vamos multiplicar cruzado:
50 5
O número de voltas que uma engrenagem dá e o número 20 x = 50 ⇒ x = = da apostila.
de dentes que ela possui são grandezas inversamente propor- 20 2
cionas, porque quando estiverem acopladas cada volta que 5 7
a engrenagem grande der vai fazer com que a engrenagem Então Paula digitou . Com isso ficaram faltando da
2 2
pequena dê um número maior de voltas. apostila, que será feito por Ana, cuja capacidade de produção
Relacionar as engrenagens duas a duas: é de uma apostila em 3 horas (180 minutos).
Engrenagem A com a engrenagem B
Tempo apostila
Dentes voltas 180 1
5 12 7
30 x x
2
Como as grandezas são inversamente proporcionais, As grandezas continuam sendo diretamente proporcionais,
vamos inverter uma das grandezas: porque são as mesmas da situação anterior.
2 30 60 7
= ⇒ 30 x = 60 ⇒ x = = 2 voltas x= × 80 , simplificando 180 e 12 por 12 obtemos;
x 5 30 2
Ou seja, enquanto a engrenagem A dá 5 voltas, a engre- x = 7 × 15 = 105 minutos
nagem B irá dar 2 voltas. Alternativa D
Engrenagem B com engrenagem C:
07) (Fumarc/BHTRANS/2007) Uma máquina funcio-
Dentes voltas nando 6 horas por dia conclui um trabalho de perfuração
30 2 fazendo 60 furos por minuto durante 10 dias. Se essa
6 x máquina for programada para fazer 50 furos por minuto
As grandezas são as mesmas e continuam sendo inversa- trabalhando 4 horas por dia, a tarefa de perfuração será
mente proporcionais, daí temos: concluída em:
2 6 60 a) 12 dias. c) 18 dias.
= ⇒ 6 x = 60⇒ x = =0 voltas b) 14 dias. d) 20 dias
x 30 6
A engrenagem C irá dar 10 voltas.  Resolução
Engrenagem C com engrenagem D: Vamos representar o problema:
Dentes voltas Horas/dia furos/min dias
6 10 6 60 10
10 x 4 50 x
As grandezas também são inversamente proporcionais, As grandezas horas/dia e dias são inversamente proporcio-
daí temos: nais porque quanto menos horas por dia a máquina trabalhar,
0 0 60 mais dias irá gastar para fazer o serviço.
= ⇒0 x = 60⇒ x = = 6 voltas
x 6 6 As grandezas furos/min e dias também são inversamente
Alternativa C proporcionais porque quanto menos furos a máquina fizer por
minuto mais dias ela irá demorar.
06) (CTSP/2006) Paula digita uma apostila em 2 horas, en-
quanto Ana o faz em 3 horas. Se Paula iniciar o trabalho, As grandezas horas/dia e furos/min devem ser invertidas
digitando nos primeiros 50 minutos; o tempo necessário 0 4 50 0 200
= × ⇒ = ⇒ 200 x = 3600 ⇒
para Ana terminar a digitação da apostila é: x 6 60 x 360
a) 120 minutos c) 95 minutos
3600
b) 90 minutos d) 105 minutos x= = 8 dias
200
 Resolução Alternativa C
Como elas trabalharam separadamente, deve-se primeiro
determinar quanto do trabalho foi feito por Paula. 08) (VUNESP/Escrevente/TJ/SP/2007) Numa editora, 8 di-
Para fazer o cálculo, vamos trabalhar em minutos, usamos gitadores, trabalhando 6 horas por dia, digitaram 3/5 de um
120 minutos para indicar o tempo que Paula demoraria para determinado livro em 15 dias. Então, 2 desses digitadores
fazer uma apostila: foram deslocados para um outro serviço, e os restantes pas-
Tempo apostila saram a trabalhar apenas 5 horas por dia na digitação desse
120 1 livro. Mantendo-se a mesma produtividade, para completar
50 x a digitação do referido livro, após o deslocamento dos 2
digitadores, a equipe remanescente terá de trabalhar ainda
Essas grandezas são diretamente proporcionais porque
a) 18 dias.
quanto menor for o tempo que ela digitar, menor será o número
b) 16 dias. d) 14 dias
de páginas digitadas (quando uma grandeza diminui a outra
c) 15 dias. e) 12 dias.
também diminui).

8.  Resolução Vamos inverter somente a grandeza “máquinas”
Na primeira situação temos: 9.000 .200 2
= × ⇒ 9.000 = 2.400 ⇒
Digitadores horas/dia livro dias x 5.000 3 x 5.000
8 6 3/5 15
2.400 x = 9.000 × 5.000 ⇒
Na segunda situação teremos 2 digitadores a menos, ou
seja, 6 digitadores e, para terminar o livro, ainda faltarão 2/5 9.000 × 5.000
x= =56.250 segundos
do mesmo para fazer. 2.400
A nossa montagem fica: Dividindo por 3.600:
Digitadores horas/dia livro dias 56.250 : 3.600 = 15 horas e sobram 2.250 segundos.
8 6 3/5 15 Dividindo o resto por 60:
6 5 2/5 x
2.250 : 60 = 37 minutos e sobram 30 segundos.
As grandezas digitadores e dias são inversamente Elas irão demorar 15 horas 37 minutos e 30 segundos
proporcionais porque quanto menos digitadores estiverem
trabalhando, mais dias eles gastarão. Alternativa C
As grandezas horas por dia e dias também são inversa-
mente proporcionais porque quanto menos horas eles traba- 10) (F. C. Chagas/Téc./TRT/2003) Uma indústria tem 34
lharem por dia, mais dias irão gastar. máquinas. Sabe-se que 18 dessas máquinas têm todas a
A grandeza livro (quantidade digitada) e dias são dire- mesma eficiência e executam certo serviço em 10 horas
tamente proporcionais porque quanto menos trabalho eles de funcionamento contínuo. Se as máquinas restantes têm
tiverem, menos dias vão gastar. 50% a mais de eficiência que as primeiras, funcionando
As grandezas digitadores e horas por dia devem ser ininterruptamente, executariam o mesmo serviço em
invertidas: a) 7 horas e 15 minutos
5 6 5 3 b) 7 horas e 30 minutos d) 8 horas e 20 minutos
= × × c) 7 horas e 45 minutos e) 8 horas e 40 minutos
x 8 6 2
Veja que pelo fato dos denominadores serem iguais não
será necessário usá-los na hora dos cálculos.
 Resolução
Para indicar a eficiência das 18 primeiras máquinas, va-
Simplificar o 6 do numerador com o 6 do denominador:
mos usar 100%. A partir daí, podemos dizer que as outras 16
5 5 3 5 5 máquinas têm uma eficiência de 150% (50% a mais). Então
= × × ⇒ = ⇒ x = 6 dias (como os nu-
x 8 2 x 6 temos:
meradores são iguais, podemos simplificá-los) Máquinas eficiência horas
Alternativa B 18 100 10
16 150 x
09) (F. C. Chagas/TRF/ES/2007) Em uma gráfica, foram
impressos 1.200 panfletos referentes à direção defensiva Vamos analisar as grandezas:
de veículos oficiais. Esse material foi impresso por três As grandezas quantidades de máquinas e quantidade de
máquinas de igual rendimento, em 2 horas e meia de fun- horas são inversamente proporcionais, porque quanto mais
cionamento. Para imprimir 5.000 desses panfletos, duas máquinas estiveram trabalhando, menos tempo elas gastarão
dessas máquinas deveriam funcionar durante 15 horas,
para fazer um serviço.
a) 10 minutos e 40 segundos
b) 24 minutos e 20 segundos As grandezas eficiência e tempo são inversamente propor-
c) 37 minutos e 30 segundos cionais porque quanto maior a eficiência de uma máquina me-
d) 42 minutos e 20 segundos nos tempo ela irá gastar para fazer um determinado serviço.
e) 58 minutos e 30 segundos
0 6 50
= × ⇒ como as grandezas são inversamente pro-
 Resolução x 8 00
Representando o problema: porcionais invertemos as duas na hora de resolver o problema.
Panfletos máquinas tempo ( segundos )
0 6 50 0 8 3
1.200 3 9.000 = × ⇒ = × ⇒
5.000 2 x x 8 00 x 9 2
0 24
Para passar de horas para segundos, basta multiplicar por = ⇒ 24 x = 80 ⇒
x 8
3.600 (2,5 × 3.600 = 9.000 seg).
As grandezas panfletos e tempo são diretamente pro- Para80 = 7, 5 horas
x = transformar aa parte decimal do número em minutos
24
basta multiplicá-lo por 60.
porcionais porque, quanto mais panfletos tiverem que ser
impressos, mais tempo vai demorar a impressão. 0,5 × 60 = 30 minutos. A resposta é 7 horas e 30 mi-
As grandezas máquinas e tempo são inversamente propor- nutos.
cionais porque, quanto mais máquinas estiverem trabalhando,
Alternativa B
menos tempo elas gastarão para fazer a impressão.

9.  Resolução
Porcentagem Se, em 2.006, foram embarcadas 19.760 toneladas a mais
O que significa um por cento? do que em 2.005, iremos determinar a quantidade de madeira
embarcada em 2.005 fazendo a diferença:
Um por cento representa uma parte em cem partes, ou
46.110 – 19.760 = 26.350 toneladas
seja quando dizemos um por cento (1%) de duzentos significa
que devemos pegar o número duzentos e dividi-lo por cem. Para o cálculo do aumento percentual deve-se considerar
O resultado representa 1% de duzentos (200:100=2), então a quantidade embarcada em 2.005 como sendo o nosso 100%,
2 é 1% de duzentos. daí calculamos a diferença percentual entre 2.005 e 2.006,
fazendo:
No caso de 2%, deve-se pegar duas partes, ou seja, 2%
de 200 é 4. Toneladas %
26.350 100
Para o cálculo de porcentagem pode-se fazer três tipos
19.760 x
de conta:
Multiplicando cruzado, temos:
W Usando fração 976000
Para isso deve-se escrever uma porcentagem na forma 26350 x = 00 × 9760 ⇒ x = = 75%
26350
de fração:
20 Alternativa D
2
1% = ; 12% = ; 120% = .
00 00 00
02) (F. C. Chagas/Soldado/MA/2006) Em dezembro de
Calcular 24% de 420: 2.005, a análise de uma amostra de água de um reser-
vatório acusou um aumento de 18% de impurezas, em
24 24 × 420 0.080
× 420 = = = 00, 80 relação ao mês anterior. Em janeiro de 2.006, analisada
00 00 00 outra amostra do mesmo reservatório, observou-se que
houve uma redução de 5% de impurezas em relação às
W Usando regra de três detectadas em dezembro. Relativamente ao mês de no-
A maneira mais usada para o cálculo de porcentagem é vembro, é correto afirmar que, em janeiro, as impurezas
através de uma regra de três. Para isso deve-se sempre com- aumentaram em
parar um valor a uma porcentagem. a) 13%
b) 12,5% d) 12%
Calcular 35% de 580 c) 12,1% e) 11,8%
Não se pode esquecer que o “total” de alguma coisa será  Resolução
o nosso 100%. Nesse exemplo, o nosso 100% será 580:
Considerar 100 como sendo a quantidade de impurezas
580 100% no mês de novembro.
x 35%
No mês de dezembro, tivemos um aumento de 18% de
Ou seja, colocar valor embaixo de valor e porcentagem impurezas:
embaixo de porcentagem. Multiplicar cruzado: 8
× 00 = 8, dando um total de 100 + 18 = 118 impurezas.
20300 00
00 x = 580 × 35 ⇒ 00 x = 20300 ⇒ x = = 203
00 No mês de janeiro houve uma redução de 5% em relação
ao preço de dezembro:
W Usando a representação decimal de uma 5
porcentagem × 8 = 5.9
00
Por exemplo, ao dizer 10% significa que estamos divi-
dindo 10 por 100, que dá como resultado 0,1. Temos 118 – 5,9 = 112,1 impurezas
Calcular 10% de 1.200 De novembro a janeiro tivemos um aumento de
0,1 × 1.200 = 120 112,1 – 100 = 12,1 o que corresponde a 12,1% de 100
Alternativa C
W Exercícios resolvidos 03) (NCE/Adm. Finanças/Infraero/2004) João constatou
01) (CESGRANRIO/Guarda Port./RO/2007) Em 2006, que, no mês de dezembro, a venda de garrafas de água
foram embarcadas, no Porto de Porto Velho, cerca de mineral em sua mercearia teve um aumento percentual
19.760 toneladas de madeira a mais do que em 2005, de 14% com relação ao mês anterior. Sabendo que a
totalizando 46.110 toneladas. Assim, em relação a 2005, mercearia de João vendeu 171 garrafas de água mineral
o embarque de madeira aumentou aproximadamente x %. em dezembro e que x representa o número de garrafas de
Pode-se concluir que x é igual a: água mineral vendidas em novembro, podemos afirmar
a) 45 que x é um número entre:
b) 58 d) 75 a) 132 e 139
c) 65 e) 80 b) 139 e 146 d) 152 e 157
c) 146 e 152 e) 157 e 164

10. 10
 Resolução Mas a área livre corresponde a 75% da área total. Calcular
Em dezembro a venda foi de 171 garrafas, e essa quantida- a área total:
de representa 14% a mais do que em novembro. Pode-se dizer Área %
que 171 garrafas corresponde a 114% da quantidade vendida 12 75
em novembro (para isso consideramos 100% a quantidade x 100
vendida em novembro). Multiplicando cruzado, temos:
Deve-se resolver a seguinte regra de três: 200
garrafas % 75x = 00 × 2 ⇒ x = = 6m 2
75
171 114
Alternativa A
x 100
Multiplicando cruzado temos: 06) (CTSP/2006) Uma loja vende seus artigos nas seguintes
condições: à vista com 30% de desconto sobre o preço
700 da tabela ou no cartão de crédito com 10% de acréscimo
4 x = 00 × 7 ⇒ x = = 50 garrafas
4 sobre o preço de tabela. Um artigo que à vista sai por
Alternativa C R$ 7.000,00, no cartão sairá por:
a) R$ 7.700,00 c) R$ 13.000,00
04) (NCE/ANTT/2005) Um comerciante aumentou o preço
b) R$ 10.010,00 d) R$ 11.000,00
de um certo produto em 30%. Como a venda do produto
caiu, o comerciante, arrependido, pretende dar um des-
conto no novo preço de modo a fazê-lo voltar ao valor  Resolução
anterior ao aumento. Nesse caso, o comerciante deve O preço à vista está com um desconto de 30%, ou seja,
anunciar um desconto de, aproximadamente: esse valor representa 70% do preço de tabela. Calcular o
a) 15% preço de tabela:
b) 19% d) 28% R$ %
c) 23% e) 30% 7.000 70
x 100
 Resolução Multiplicando cruzado temos:
Supor um preço inicial de R$ 100,00. 700000
Inicialmente o comerciante deu um aumento de 30%: 70 x = 00 × 7000 ⇒ x = = 0000
70
30
× 00 = 30 → o preço do produto passará a ser Ou seja R$ 10.000,00 é o preço de tabela, agora vamos
00 determinar o acréscimo de 10% sobre esse preço:
de R$ 100,00 + R$ 30,00 = R$ 130,00 0
× 0000 = 000
Para voltar ao preço original, deve-se retirar os R$ 30,00 00
de R$ 130,00, mas agora o nosso 100% será R$ 130,00. O preço no cartão será de R$ 10.000,00 + R$ 1.000,00
R$ % = R$ 11.000,00
130 100 Alternativa D
30 x 07) (Fundep/Aux. Adm./Fhemig/2007) Paulo comprou
Multiplicando cruzado, temos: um aparelho de som e o revendeu com um lucro de 20%
3000 sobre o preço de venda. Nesse caso, o lucro que Paulo
30 x = 00 × 30 ⇒ x = = 23% obteve sobre o preço de compra é de
30
a) 10% b) 20% c) 25% d) 40%
Alternativa C
05) (Vunesp/Monitor/Pref. Louveira/2007) Em uma sala,  Resolução
75% da área total está livre, isto é, sem móveis ou objetos, Como o lucro foi calculado sobre o preço de venda, vamos
e nesse espaço será colocado um tapete de 2,4 m por 2,0 considerar esse preço de R$ 100,00, temos um lucro de:
m, que ocupará 40% desse espaço livre. A área total de
sala corresponde a 20
× 00 = 20
a) 16m2 b) 14m2 c) 12m2 d) 10m2 e) 8m2 00
Se o lucro foi de R$ 20,00, o preço de custo é dado pela
Resolução: expressão:
Vamos determinar a área do tapete multiplicando suas Custo + lucro = venda → custo = venda – lucro =
duas medidas: 100 – 20 = 80
A = 2,4 x 2,0 = 4,8m2 O preço de custo dessa mercadoria foi de R$ 80,00.
Esse valor corresponde a 40% da área livre. Calcular a Para calcular o percentual de lucro em relação ao custo,
área livre fazendo: considerar o custo como 100%, daí temos:
Área % R$ %
4,8 40 80 100
x 100 20 x
Multiplicando cruzado, temos: Multiplicando cruzado, temos:
480 2000
40 x = 00 × 4, 8 ⇒ x = = 2m 2 80 x = 00 × 20 ⇒ x = = 25%
40 80
Alternativa C

11. 11
08) (Cesgranrio/Téc./Petrobras/2008) Uma em- Em que 40% delas são produtoras rurais:
presa tem, em sua tabela de preços de venda de produtos 40
× 4.000 = .600
aos clientes, o valor sem desconto (cheio) para pagamento 00
à vista de seus produtos. No mês de janeiro de 2008, a
empresa deu aos clientes um desconto de 50% sobre o Então 1.600 mulheres são produtoras rurais.
valor da tabela. Já em fevereiro, o desconto passou a 40%.
Mas no problema foi dito que 40% dos habitantes dessa
No mês de fevereiro, comparativamente a janeiro, houve,
cidade são produtores rurais:
em relação aos preços,
a) aumento de 20% 40
b) aumento de 10% d) redução de 20% × 0.000 = 4.000
00
c) redução de 10% e) redução de 25%
Temos então 4.000 produtores rurais, e 1.600 deles são
 Resolução mulheres. O número de homens que são produtores rurais é
Para resolver esta questão, vamos supor um produto cujo igual a:
preço seja de R$ 100,00. 4.000 – 1.600 = 2.400
50 Alternativa B
Em janeiro foi dado um desconto de 50%: × 00 = 50
00
10) (F. C. Chagas/Téc./TRF/2006) Em agosto de 2.006, Jo-
Se o desconto foi de R$ 50,00, então ele deverá pagar
sué gastava 20% de seu salário no pagamento do aluguel
R$ 100,00 – R$ 50,00 = R$ 50,00.
de sua casa. A partir de setembro de 2.006, ele teve um
40 aumento de 8% em seu salário e o aluguel de sua casa foi
Em fevereiro foi dado um desconto de 40%: × 00 = 40
00 reajustado em 35%. Nessas condições, para o pagamento
do aluguel após os reajustes, a porcentagem do salário que
Se o desconto foi de R$ 40,00, então ele deverá pagar
Josué deverá desembolsar mensalmente é
R$ 100,00 – R$ 40,00 = R$ 60,00
a) 32,5%
Vamos, agora, comparar os preços de janeiro e fevereiro. b) 30% d) 25%
Como se quer saber qual o aumento que houve de janeiro c) 27,5% e) 22,5%
para fevereiro, deve-se considerar o preço de janeiro como
sendo 100%.  Resolução
Determinar a diferença entre os preços: Vamos supor que o salário de Josué seja de R$ 100,00,
R$ 60,00 – R$ 50,00 = R$ 10,00 daí tem-se que ele pagava de aluguel:
Considerando o valor de janeiro como 100%, determinar
20
qual a porcentagem que a diferença entre os preços representa × 00 = 20
através de uma regra de três: 00
R$ % Mas o salário dele teve um aumento de 8%
50 100 8
10 x × 00 = 8
00
Multiplicando cruzado, temos:
000 O novo valor de seu salário é de R$ 100,00 + R$ 8,00 =
50 x = 00 × 0 ⇒ x = = 20% R$ 108,00
50
Alternativa A Mas o aluguel teve um aumento de 35%
35
× 20 = 7
09) (ESAF/Téc./CGU/2008) Uma pequena cidade possui 00
10.000 habitantes, dos quais 40% são produtores rurais e
60% são do sexo masculino. Sabe-se que 40% das mulheres Daí o novo valor do aluguel será de R$ 20,00 + R$ 7,00 =
são produtoras rurais. Desse modo, o número de habitantes R$ 27,00.
do sexo masculino e que são produtores rurais é igual a: Determinar qual a porcentagem que o novo aluguel re-
a) 1750 presenta do novo salário:
b) 2400 d) 3600
R$ %
c) 4000 e) 6000
108 100
27 x
 Resolução
Nessa cidade 60% dos habitantes são do sexo masculino: Multiplicando cruzado, temos:
60 2700
× 0.000 = 6.000 08x = 00 × 27 ⇒ x = = 25%
00 08
Como o restante é do sexo feminino, temos: Alternativa D
10.000 – 6.000 = 4.000 mulheres

12. 12
11) (Fundep/Auxiliar/Fhemig/2002) Numa loja, o preço Somar esse valor ao valor inicial:
de um produto sofreu dois descontos consecutivos: o pri- R$ 100,00 + R$ 20,00 = R$ 120,00
meiro de 10% e o segundo de 18%. Qual a porcentagem
equivalente se o desconto fosse feito de uma única vez? O segundo aumento irá incidir sobre esse novo valor.
a) 11,82% Calcular então, 10% de R$ 120,00:
b) 26,2% 0
c) 18,8% × 20 = 2
00
d) 28%
Somando R$ 120,00 com o valor do aumento temos: R$
 Resolução 120,00 + R$ 12,00 = R$ 132,00. Em relação a R$ 100,00 ele
Como neste exercício não foi dado o valor do produto, teve um aumento total de R$ 32,00 o que equivale a 32 %.
usar R$ 100,00 como referência. Alternativa C
O primeiro desconto foi de 10%:
0 13) (Fundep/Téc./Câm. Mun./2004) Antônio comprou
10% de 100 é igual a × 00 = 0
00 um aparelho de televisão, cujo preço à vista é R$ 500,00.
Entretanto preferiu fazer o pagamento em duas parcelas
Diminuir esse valor do valor inicial:
iguais. A primeira delas foi paga no ato da compra. Nessa
R$ 100 – R$ 10 = R$ 90
venda, o vendedor cobrou juros de 4% ao mês. Então é
O segundo desconto irá incidir sobre o valor que sobrou, correto afirmar que o valor de cada parcela foi
ou seja, sobre R$ 90,00. a) R$ 254,50
b) R$ 254,90
8 620
× 90 = = 6, 20 c) R$ 255,00
00 00 d) R$ 260,00
Descontar esse valor de R$ 90:
R$ 90 – R$ 16,20 = R$ 73,80  Resolução
Após os dois descontos temos R$ 73,80, e para saber a
Como não sabemos o valor da primeira parcela vamos
porcentagem de desconto, (se ele fosse feito de uma única
chamá-la de x.
vez) basta subtrair R$ 73,80 do valor inicial:
A segunda parcela será o valor que falta para completar
R$ 100,00 – R$ 73,80 = R$ 26,20
o pagamento depois de pagar a primeira parcela e pode-
Como o nosso valor de referência foi de R$ 100, 00 , então mos indicá-la por 500 – x, mas essa parcela será acrescida
R$ 26,20 irá corresponder a 26,20% desse valor de 4% de juros, então devemos multiplicá-la por 1,04.
 00 4 04 
Alternativa B , 04 = 00% + 4% = 00 + 00 = 00 = , 04  . A segunda
 
12) (UFG/Bibliotecário/2007) Paulo trabalha em uma em- parcela será dada por 1,04 (500 – x).
presa e obteve uma promoção que acarretou um aumento
de 20% em seu salário. No mês seguinte, todos os fun- O enunciado diz que as parcelas devem ser iguais:
cionários da empresa obtiveram um aumento salarial de x = , 04 × (500 − x ) ⇒ x = 520 − , 04 x ⇒
10%. Assim, em relação ao salário antes da promoção, o
520
aumento salarial que Paulo obteve foi de x + , 04 x = 520 ⇒ 2, 04 x = 520 ⇒ x = = 254, 90
2, 04
a) 20%.
b) 30%.
c) 32%. Alternativa B
d) 40%.
 Resolução
Supor um valor para o salário de Paulo, no caso de por-
centagem, o melhor valor é R$ 100,00.
Inicialmente calcular 20% de R$ 100,00
20
× 00 = 20
00

13. 13
Desconto comercial simples (por fora)
Juros No caso do desconto comercial simples calculamos o
valor presente ( atual ) multiplicando o valor nominal pelo
Podemos dizer que juro é o rendimento de uma aplicação fator ( 1– i × n).
financeira como no caso de uma caderneta de poupança, ou é
o valor que você paga pelo empréstimo de um dinheiro como VA = N× (1–i × n)
no caso de uma financeira. Em que o desconto é dado por: D = N – VA
Temos dois tipos de juro: simples e composto. Ex:
Um título no valor de R$ 20.500,00 é descontado dois
W Juro Simples meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa
O sistema de juro simples é aquele em que o rendimento é operação foi usada uma taxa de desconto comercial simples
calculado sobre o capital inicial. Para o cálculo de juro simples de 2% ao mês. Calcule o valor do desconto.
C ×i×t
usamos a seguinte fórmula: J = Solução:
00
onde : VA = N × ( − i.n ) = 20.500 × ( − 0, 02 × 2) =
C = capital ou nominal (o valor aplicado ou emprestado ) 20.500 × ( − 0, 04) = 20.500 × 0, 96 = 9.680
i = taxa de juro D = N − VA = 20.500 − 9.680 = 820
t = tempo de aplicação.
Nessa fórmula, a taxa de juros e o tempo deverão estar Desconto racional simples (por dentro)
na mesma unidade (se a taxa de juros for mensal o tempo tem
Neste caso calculamos o valor presente dividindo o valor
que estar também em meses).
Nominal pelo fator (1+ i×n)
Montante é o valor final da aplicação, ou seja : E o desconto é dado por: D = n – vA
M=C+J
Ex:
W Juro Composto Um título no valor de R$ 20.500,00 é descontado dois
meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa
O sistema de juro composto é calculado sobre o último operação foi usada uma taxa de desconto racional simples de
montante, ou seja, ele é atualizado periodicamente. 2% ao mês, calcule o valor do desconto.
Quando trabalhamos com o sistema composto, calculamos  Resolução
o montante da aplicação através da fórmula:
N
M = C×(1+i)n VA =
( + i × n )
Onde n é o tempo da aplicação (número de períodos).
Ao trabalhar com esta fórmula, a taxa ficará na sua forma 20.500 20.500
VA = = = 9.7, 54
unitária ou centesimal, ou seja, quando tivermos uma taxa de ( + 0, 02.2) , 04
2% devemos usar i = 0,02 (2 dividido por 100).
D = N − VA = 20.500 − 9.7, 54 = 788, 46
W DESCONTO
Imagine que você tem um título que vence daqui a vários
DESCONTO COMPOSTO
meses mas você está precisando do dinheiro desse título hoje.
Você procura uma instituição financeira para descontar esse No desconto composto também temos as duas modalida-
título. Essa instituição irá descontar o título, mas irá cobrar des, comercial e racional. A diferença é que agora devemos
pelo serviço. O valor cobrado pela instituição é chamado de usar o fator de acumulação de capital ( 1 + i )n para fazer os
desconto. cálculos.
Vamos chamar o valor do título na data de seu vencimento
de Valor Nominal ou Valor Futuro. O valor que você irá Desconto comercial composto (por fora)
receber nessa operação é chamado de Valor Atual ou Valor No caso do desconto comercial composto, calculamos o va-
Presente. O desconto será a diferença entre eles: lor presente multiplicando o valor nominal pelo fator (1– i)n:
D = N – VA VA = N ( − i )
n
Há duas modalidades de desconto: Desconto simples e
Onde o desconto é dado por: D = n – vA
Desconto composto.
Ex:
DESCONTO SIMPLES
Um título no valor de R$ 20.500,00 é descontado dois
O desconto simples é aquele calculado usando-se o con- meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa
ceito de juro simples. Existem duas modalidades de desconto operação foi usada uma taxa de desconto comercial composto
simples: comercial e racional. Vamos agora ver como calcular de 2% ao mês, calcule o valor do desconto.
o valor atual nesses dois casos:

14. 14
Solução: 02) (Fumarc/MGI/2004) Uma concessionária vende um
VA = N × ( − i) n automóvel por R$ 22.000,00 à vista. A prazo, vende por
R$ 24.975,00, sendo R$ 5.000,00 de entrada e o restante
VA = 20.500 × ( − 0, 02)2 = 20.500 × 0, 9604 = 9.688, 20 daqui a 5 meses. Na venda a prazo, a taxa de juros simples
mensal cobrada foi de:
D = N − VA = 20.500 − 9.688, 20 = 8, 80
a) 2,5% c) 3,5%
Desconto racional composto (por dentro) b) 3,0% d) 4,0%
Neste caso calculamos o valor presente dividindo o valor
nominal pelo fator de acumulação de capital (ou seja, estamos  Resolução
descapitalizando o valor futuro). Vamos inicialmente abater a entrada do valor total:
N 22.000,00 – 5.000,00 = 17.000,00 que é o valor que será
VA =
( + i)n financiado.
E o desconto é dado por: D = n – vA O valor a prazo que o automóvel será vendido é de
R$ 24.975,00, abatendo a entrada temos:
Ex:
Um título no valor de R$ 20.500,00 é descontado dois R$ 24.975,00 – 5.000,00 = 19.975,00
meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa O que nós dá um total de juros cobrados de
operação foi usada uma taxa de desconto comercial composto 19.975,00 – 17.000,00 = 2.975,00
de 2% ao mês, calcule o valor do desconto.
Aplicar a fórmula de juros simples sabendo que o prazo
 Resolução em que será efetuado o pagamento é de 5 meses:
N
VA = C ×i×t 7.000 × i × 5
( + i)n J= ⇒ 2.975 = ⇒ 2.975 = 850 × i ⇒
00 00
20.500 20.500 2.975
VA = = = 9.703, 96 i= = 3, 5% ao mês
( + 0, 02) 2 , 0404 850
Alternativa C
D = N − VA = 20.500 − 9.703, 96 = 796, 04
03) (Vunesp/Oficial/MPE/SP/2006) Um certo capital foi
Resumindo:
aplicado a juro simples durante 8 meses, gerando um
Comercial Racional montante de R$ 9.600,00. Esse montante foi novamente
Valor Atual
(por fora) (por dentro) aplicado por mais 4 meses, à mesma taxa de juro da
N aplicação anterior e gerou R$ 960,00 de juros. O capital
Simples VA = N × ( − i × n ) VA = inicialmente aplicado foi
( + i × n ) a) R$ 7.000,00.
N b) R$ 7.500,00. d) R$ 7.900,00.
Composto VA = N × ( − i)n VA = c) R$ 7.800,00. e) R$ 8.000,00.
( + i)n
O desconto bancário é o desconto Comercial (poden-  Resolução
do ser simples ou composto) às vezes acrescido de “taxas Para resolver essa questão, fazer a parte final primeiro,
bancárias”. em que temos: J = 960,00;
t = 4 meses e C = 9.600,00 (o montante da aplicação
W Exercícios resolvidos anterior é o capital desta aplicação).
01) (Conesul/Carteiro/SP/2006) Aplicando-se R$ 650,00 Determinar a taxa usada através da fórmula de juro
durante quinze meses a uma taxa de juros simples de simples:
1,75% ao mês, ao final do período o montante será, em C ×i×t 9600 × i × 4
J= ⇒ 960 = ⇒
reais, igual a 00 00
a) 820,62. 96000
b) 815,75. d) 825,50. 96000 = 38400 × i ⇒ i = = 2, 5
38400
c) 810,87. e) 830,37.
A taxa de juros usada foi de 2,5% ao mês
 Resolução Vamos calcular o montante inicial através da primeira
Nesse exercício temos: C = 650,00; t = 15 meses e i = 1,75% aplicação onde temos: M = 9.600,00; t = 8 meses e i = 2,5%
ao mês. Aplicar a fórmula de juro simples: ao mês
C × i × t 650 × , 75 × 5 7.062, 50 Substituir na fórmula do montante:
J= = = = 70, 62
00 00 00 C × 2, 5 × 8
M = C + J ⇒ 9600 = C + ⇒ 9600 = C + 0, 2C ⇒
Como o montante é a soma do capital aplicado com os 00
juros obtidos, temos que: 9600
9600 = , 2C ⇒ C = = 8.000
0
M = 650,00 + 170,62 = 820,62 , 2
Alternativa A Alternativa E