CÉPADUÈS-ÉDITIONS
111, rue Nicolas-Vauquelin
31100 TOULOUSE – France
Tél. : 05 61 40 57 36 – Fax : 05 61 41 79 89
(de l’ét...
© CEPAD 2005 ISBN : 2.85428.712.6
Le code de la propriété intellectuelle du 1er juillet 1992 interdit expressément la phot...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 1
SOMMAIRE
SOMMAIRE
pages
CHAPITRE PREMIER
GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
...
2 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
SOMMAIRE
CHAPITRE II
EFFORT NORMAL
1 – ÉTUDE DE LA BARRE .....................
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 3
SOMMAIRE
5 – FLEXION PLANE D’UNE POUTRE RECTILIGNE À PLAN MOYEN ..............
4 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
SOMMAIRE
6 – TORSION DES TUBES PRISMATIQUES MINCES ...........................
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 5
SOMMAIRE
3 – FORMULES DE BRESSE ..............................................
6 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
SOMMAIRE
5 – DÉVERSEMENT LATÉRAL .............................................
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 7
CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
CHAPITRE PREMIER
GÉOMÉTRIE E...
8 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
– Figure 1 –
Exemples de pou...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 9
CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
– Figure 2 –
Triède de Frene...
10 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
Théorème : si la base { }ie...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 11
CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
On pose alors
T
1
A23 = , s...
12 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
Exemple : ressort hélicoïda...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 13
CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
3. – ÉTUDE DES SECTIONS DRO...
14 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
Exemples d’application
– Fi...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 15
CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
– moment produit de S par r...
16 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
Ses valeurs propres sont le...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 17
CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
3.4. – Repère de Frenet et ...
18 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
Remarque 1
Dans la majorité...
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CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
– Figure 8 –
Remarque 1
Si ...
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CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
– Figure 10 –
Remarque 4
Le...
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CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
Théorème fondamental : le v...
22 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
– Figure 11 –
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 23
CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
Les réactions d’appuis, éga...
24 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
5. – ÉQUATION D’ÉQUILIBRE D...
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CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=++⎟⎟
⎠
⎞...
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CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
5.3. – Poutre rectiligne à ...
683$(52 ± 0e&$1,48( '(6 6758&785(6 ± 7RPH ,, 
+$3,75( , ± *e20e75,( (7 67$7,48( '(6 32875(6
'DQV OH FDV R GH WHOV HIIRUWV...
VXU GHX[ DSSXLV HW VRXPLVH j OD
IRUFH ) FRPPH OH PRQWUH OD ILJXUH  TXL GRQQH DXVVL OHV D[HV VXU FKDFXQ GHV GHX[ WURQoRQV
$...
R =; PSS === HW θ= G5VG VRQW LQWpJUDEOHV
2Q REWLHQW HQ SRVDQW 7 7 HW 0= 0 
57
G
0G

G
7G
17
G
1G
=+
θ
=
θ
+=−
θ
3DU pOLPL...
θ
HW θ+θ= VLQ¶EFRV¶D1 VXU $¶
θ
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CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
θ+θ−=
θ
= cosbsina
d
Nd
T p...
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CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES
– Figure 15 –
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CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
CHAPITRE II
EFFORT NORMAL
1. – ÉTUDE DE LA BAR...
32 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
L’énergie potentielle élastique emmagasinée pa...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 33
CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
grues, des bâtis-moteurs d’avions en tubes d’a...
34 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
– Figure 3 –
L’équilibre des forces appliquées...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 35
CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
3.4. – Calcul d’un treillis plan
On se donne :...
36 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
Les (2n + b + 3 + q = 18) équations du problèm...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 37
CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
( ) ( )
( ) ⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
−
−=−=
−
=
−
−=
...
38 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
L’équilibre du nœud A s’écrit :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=γΣ+...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 39
CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
Une tranche mince de poutre, comprise entre le...
40 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
L’axe principal Y’Y de S coupe la poutre en de...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 41
CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
Considérons une pale constituant une poutre re...
42 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
La section de base SO est alors donnée par la ...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 43
CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
Les conditions aux limites s’écrivent :
T = 0,...
44 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
En fonction du type de chargement (forces ponc...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 45
CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
Sur le câble de longueur L, on considère les t...
46 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
Cet ensemble de conditions, statiques et ciném...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 47
CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
– Figure 11 –
Pour déterminer cette ligne moye...
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CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
Les constantes d’intégration Nx, a et b se dét...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 49
CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
On a les équations d’équilibre d’un élément de...
50 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
L’écriture en chaque nœud, de l’équilibre des ...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 51
CHAPITRE II – EFFORT NORMAL
Sur le tronçon (1), ou 10 AA , on a :
– l’équa...
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CHAPITRE III – MOMENT DE FLEXION
CHAPITRE III
MOMENT DE FLEXION
1. – FLEXI...
54 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE III – MOMENT DE FLEXION
On vérifie aisément que la solution de ce...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 55
CHAPITRE III – MOMENT DE FLEXION
En effet, la section droite courante S d’...
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CHAPITRE III – MOMENT DE FLEXION
2. – FLEXION GAUCHE D’UNE POUTRE PRISMATI...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 57
CHAPITRE III – MOMENT DE FLEXION
–un champ de contraintes Σ dont la seule ...
58 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE III – MOMENT DE FLEXION
On la charge dans son plan ce qui donne d...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 59
CHAPITRE III – MOMENT DE FLEXION
Remarque 1
Si le plan moyen est (xoz), on...
60 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II
CHAPITRE III – MOMENT DE FLEXION
La structure est extérieurement hyperstat...
SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 61
CHAPITRE III – MOMENT DE FLEXION
Appelons structure l’ensemble de la poutr...
Poutre mécanique des structures tome 2
Poutre mécanique des structures tome 2
Poutre mécanique des structures tome 2
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  1. 1. CÉPADUÈS-ÉDITIONS 111, rue Nicolas-Vauquelin 31100 TOULOUSE – France Tél. : 05 61 40 57 36 – Fax : 05 61 41 79 89 (de l’étranger ) + 33 5 61 40 57 36 – Fax : + 33 5 61 41 79 89 www.cepadues.com Courriel : cepadues@cepadues.com Mécanique des structures Tome 2 Poutres Serge LAROZE
  2. 2. © CEPAD 2005 ISBN : 2.85428.712.6 Le code de la propriété intellectuelle du 1er juillet 1992 interdit expressément la photocopie à usage col- lectif sans autorisation des ayants-droit. Or, cette pratique en se généralisant provoquerait une baisse bru- tale des achats de livres, au point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres nouvelles et de les faire éditer correctement est aujourd’hui menacée. Nous rappelons donc que toute reproduction, partielle ou totale, du présent ouvrage est interdite sans autorisation de l’Éditeur ou du Centre français d’exploitation du droit de copie (CFC – 3, rue d’Hautefeuille – 75006 Paris). Dépôt légal : septembre 2005 N° éditeur : 712 CHEZ LE MÊME ÉDITEUR Le GRAFCET............................................................................................................................................... ADEPA/AFCET Optimisations en fabrication.............................................................................................................................. Agullo M. Robustesse et commande optimale .........................................................................................................Alazard D. et al. Cours de mécanique générale...............................................................................................................................Bellet D. Problèmes de mécanique rationnelle...................................................................................................................Bellet D. Problèmes de mécanique des solides....................................................................................................................Bellet D. Problèmes d’élasticité............................................................................................................................................Bellet D. Cours d’élasticité................................................................................................................................Bellet D., Barrau J.-J. Comprendre, maîtriser et appliquer le GRAFCET.......................................................................................Blanchard M. Tables de détente ou compression isentropique de choc m = 1,400................................................Bonnet A., Luneau J. Vous avez dit « Résistance des matériaux ” ? Qu’en savez-vous ?..................................................Boudet R., Stephan P. Que faut-il savoir en mécanique ? .....................................................................................................Boudet R., Sudre M. La stratégie productique.............................................................................................Brzakowski S., Delamalmaison R. Produits et analyse de la valeur......................................................................................................................Chevallier J. Conduite et gestion de projets...............................................................................................Chvidchenko I., Chevallier J. Elasticité linéaire.................................................................................................................................................Dartus D. Précis de résistance des matériaux.................................................................................................................. Datas J.-M. 7 facettes du GRAFCET..............................................................................................................................Gendreau et al. Introduction à la dynamique des structures.................................................................................................. Gourinat Y. Le GRAFCET : de nouveaux concepts.....................................................................................................GREPA (ADEPA) Concepts et outils pour les systèmes de production...............................................................................Hennet J.-C. et al. Optimisation des vibrations des structures mécaniques.............................................................................Marcelin J.-L. Conception optimale des engrenages cylindriques.....................................................................................Marcelin J.-L. Mécanique élastoplastique de la rupture......................................................................................................Pluvinage G. 120 exercices de Mécanique élastoplastique de la rupture..........................................................................Pluvinage G. La rupture du bois et de ses composites........................................................................................................Pluvinage G. Fuite et rupture des tubes endommagés.............................................................................. Pluvinage G.., Sapunov V.-T. Ingénierie & Ergonomie...........................................................................................Pomian J.-L., Pradère T., Gaillard I. Leçons sur les grandes déformations................................................................................................................Souchet R. Les Nouvelles rationalisations de la production.................................................................de Terssac G., Dubois P. et al.
  3. 3. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 1 SOMMAIRE SOMMAIRE pages CHAPITRE PREMIER GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES 1 – DÉFINITIONS .............................................................................................................................................................................................................................. 7 2 – ÉTUDE DE LA LIGNE MOYENNE ........................................................................................................................................................... 8 2.1 – Théorème du repère mobile ...................................................................................................................................................................... 9 2.2 – Repère de Frenet ................................................................................................................................................................................................... 10 2.3 – Formules de Frenet ........................................................................................................................................................................................... 10 3 – ÉTUDE DES SECTIONS DROITES......................................................................................................................................................... 13 3.1 – Centre de section .................................................................................................................................................................................................. 13 3.2 – Moments quadratiques de la section droite ..................................................................................................................... 14 3.3 – Tenseur des moments quadratiques ........................................................................................................................................... 15 3.4 – Repère de Frenet et repère principal de la section droite ............................................................................. 17 4 – EFFORT SUR UNE SECTION DROITE............................................................................................................................................ 18 4.1 – Définition du visseur ...................................................................................................................................................................................... 18 4.2 – Calcul des composantes du visseur ............................................................................................................................................ 20 5 – ÉQUATIONS D’ÉQUILIBRE DES POUTRES........................................................................................................................ 24 5.1 – Cas général ................................................................................................................................................................................................................... 24 5.2 – Poutre à plan moyen (xoy) chargée dans ce plan ................................................................................................... 25 5.3 – Poutre rectiligne à plan moyen (xoy)........................................................................................................................................ 26
  4. 4. 2 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II SOMMAIRE CHAPITRE II EFFORT NORMAL 1 – ÉTUDE DE LA BARRE ............................................................................................................................................................................................ 31 2 – TREILLIS DE BARRES ............................................................................................................................................................................................ 32 3 – TREILLIS PLANS .............................................................................................................................................................................................................. 33 3.1 – Isostaticité et hyperstaticité ................................................................................................................................................................... 33 3.2 – Equilibre des nœuds ........................................................................................................................................................................................ 33 3.3 – Déplacements des nœuds .......................................................................................................................................................................... 34 3.4 – Calcul d’un treillis plan .............................................................................................................................................................................. 35 3.5 – Exemple d’application ................................................................................................................................................................................. 35 4 – TREILLIS TRIDIMENSIONNELS............................................................................................................................................................. 37 4.1 – Isostaticité et hyperstaticité ................................................................................................................................................................... 37 4.2 – Equilibre des nœuds ........................................................................................................................................................................................ 37 4.3 – Déplacements nodaux ................................................................................................................................................................................... 38 4.4 – Méthode générale de calcul ................................................................................................................................................................... 38 5 – EFFORT NORMAL DANS UNE POUTRE QUELCONQUE ........................................................................... 38 5.1 – Formules fondamentales ........................................................................................................................................................................... 38 5.2 – Mesure de l’effort normal par jauges extensométriques ............................................................................... 39 5.3 – Exemples de poutres en traction ou compression .................................................................................................. 40 6 – STATIQUE DES CABLES .................................................................................................................................................................................... 43 CHAPITRE III MOMENT DE FLEXION 1 – FLEXION PURE D’UNE POUTRE PRISMATIQUE .................................................................................................... 53 2 – FLEXION GAUCHE D’UNE POUTRE PRISMATIQUE ....................................................................................... 56 3 – MOMENT FLÉCHISSANT DANS UNE POUTRE QUELCONQUE ................................................... 56 4 – FLEXION PLANE D’UNE POUTRE CIRCULAIRE À PLAN MOYEN ......................................... 57
  5. 5. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 3 SOMMAIRE 5 – FLEXION PLANE D’UNE POUTRE RECTILIGNE À PLAN MOYEN ......................................... 58 6 – MESURE DES MOMENTS DE FLEXION PAR JAUGES ................................................................................... 64 7 – FORMULAIRE DE LA FLEXION PLANE DES POUTRES PRISMATIQUES ................... 67 8 – DOMAINE DE VALIDITÉ DES FORMULES ........................................................................................................................ 75 CHAPITRE IV TORSION DES POUTRES 1 – TORSION PURE D’UNE POUTRE CYLINDRIQUE DE RÉVOLUTION ................................... 77 2 – MESURE DU COUPLE DE TORSION SUR UN ARBRE ..................................................................................... 80 2.1 – Insensibilité à la température .............................................................................................................................................................. 82 2.2 – Insensibilité à l’effort normal ............................................................................................................................................................. 82 2.3 – Insensibilité au moment de flexion ............................................................................................................................................ 82 2.4 – Insensibilité à l’effort tranchant ...................................................................................................................................................... 82 3 – TORSION D’UNE POUTRE PLEINE PRISMATIQUE OU CYLINDRIQUE DE SECTION DROITE QUELCONQUE ........................................................................................................................................ 83 3.1 – Equilibre local .......................................................................................................................................................................................................... 83 3.2 – Loi de Hooke ............................................................................................................................................................................................................. 84 3.3 – Les conditions aux limites ...................................................................................................................................................................... 84 3.4 – Relations déformations-déplacements et rotations-déplacements ................................................... 85 4 – FLUX ET CIRCULATION DU VECTEUR CISSION .................................................................................................. 88 4.1 – Formule du flux de cission ..................................................................................................................................................................... 88 4.2 – Formule de la circulation .......................................................................................................................................................................... 89 4.3 – Energie potentielle élastique de torsion ............................................................................................................................... 89 4.4 – Cas des poutres prismatiques creuses ..................................................................................................................................... 90 5 – EXEMPLES D’APPLICATIONS ................................................................................................................................................................. 91 5.1 – Section droite elliptique pleine ......................................................................................................................................................... 91 5.2 – Section triangulaire équilatérale pleine.................................................................................................................................. 92 5.3 – Section rectangulaire pleine................................................................................................................................................................... 93
  6. 6. 4 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II SOMMAIRE 6 – TORSION DES TUBES PRISMATIQUES MINCES ..................................................................................................... 94 7 – POUTRES NON PRISMATIQUES ........................................................................................................................................................... 99 CHAPITRE V EFFORT TRANCHANT 1 – THÉORIE DE SAINT-VENANT .............................................................................................................................................................. 103 2 – FLUX ET CIRCULATION DU VECTEUR CISSION .............................................................................................. 109 2.1 – Formule du flux ................................................................................................................................................................................................. 109 2.2 – Formule de la circulation ...................................................................................................................................................................... 109 3 – ÉNERGIE ET FLÈCHE D’EFFORT TRANCHANT ................................................................................................... 110 4 – EXEMPLES D’APPLICATION .................................................................................................................................................................. 112 4.1 – Section circulaire pleine ......................................................................................................................................................................... 112 4.2 – Section pleine rectangulaire ............................................................................................................................................................. 113 5 – POUTRE PRISMATIQUE CREUSE ................................................................................................................................................... 115 6 – FLEXION AVEC EFFORT TRANCHANT : CAS GÉNÉRAL ................................................................... 116 7 – APPLICATIONS DE LA FORMULE DE BREDT ......................................................................................................... 119 8 – CISAILLEMENT DES POUTRES MINCES .......................................................................................................................... 120 9 – DÉTERMINATION DU CENTRE DE TORSION .......................................................................................................... 126 10 – POUTRES NON PRISMATIQUES .................................................................................................................................................... 126 11 – MESURE DES EFFORTS TRANCHANTS PAR JAUGES EXTENSOMÉTRIQUES .................................................................................................................................... 127 CHAPITRE VI SOLLICITATIONS COMBINÉES 1 – CONTRAINTES ET DÉFORMATIONS ....................................................................................................................................... 131 2 – DÉPLACEMENTS ET RIGIDITÉS ...................................................................................................................................................... 132
  7. 7. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 5 SOMMAIRE 3 – FORMULES DE BRESSE .................................................................................................................................................................................. 134 4 – ÉNERGIE POTENTIELLE ÉLASTIQUE .................................................................................................................................... 135 5 – CALCUL D’UNE OSSATURE .................................................................................................................................................................... 137 6 – OSSATURES PLANES ........................................................................................................................................................................................... 139 7 – EXEMPLES D’APPLICATION................................................................................................................................................................... 140 7.1 – Anneau dynamométrique ..................................................................................................................................................................... 140 7.2 – Calcul d’un cadre ............................................................................................................................................................................................. 142 7.3 – Calcul d’un portique .................................................................................................................................................................................... 143 7.4 – Calcul d’une potence .................................................................................................................................................................................. 144 8 – CONCENTRATION DE CONTRAINTES ................................................................................................................................. 146 CHAPITRE VII FLAMBEMENT 1 – STRUCTURES DISCRÈTES .......................................................................................................................................................................... 153 1.1 – Equilibre – Stabilité ..................................................................................................................................................................................... 153 1.2 – Théorème de Lejeune-Dirichlet .................................................................................................................................................. 154 1.3 – Instabilité – Flambement ...................................................................................................................................................................... 155 2 – FLAMBEMENT D’EULER .............................................................................................................................................................................. 158 2.1 – Etude du cas parfait ...................................................................................................................................................................................... 158 2.2 – Influence de la déformation initiale ....................................................................................................................................... 160 2.3 – Influence de l’excentricité de la charge ............................................................................................................................ 162 2.4 – Influence de l’effort tranchant ....................................................................................................................................................... 163 3 – GÉNÉRALISATION DU FLAMBEMENT D’EULER ............................................................................................ 164 3.1 – Cas se ramenant au problème d’Euler ................................................................................................................................ 164 3.2 – Cas général ............................................................................................................................................................................................................... 165 4 – MÉTHODES PRATIQUES DE CALCUL DES CHARGES CRITIQUES.................................... 170 4.1 – Marche à suivre générale ...................................................................................................................................................................... 170 4.2 – Méthodes approchées ................................................................................................................................................................................ 172
  8. 8. 6 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II SOMMAIRE 5 – DÉVERSEMENT LATÉRAL ........................................................................................................................................................................ 175 6 – FLAMBEMENT DES POUTRES COURBES ....................................................................................................................... 181 7 – FORMULAIRE POUR LE FLAMBEMENT DES POUTRES ...................................................................... 185 7.1 – Flambement par flexion plane des poutres droites comprimées .................................................... 186 7.2 – Déversement latéral ...................................................................................................................................................................................... 189 7.3 – Flambement par flexion plane d’arcs comprimés .............................................................................................. 191
  9. 9. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 7 CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES CHAPITRE PREMIER GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES 1. – DÉFINITIONS On appelle poutre le solide engendré par une surface plane S lorsque son centre de gravité G décrit un arc de courbe 10 GG , le plan de S étant normal en G à cet arc. 10 GG est la ligne moyenne de la poutre, S la section droite. Le diamètre D de S est la distance séparant les deux points de S les plus éloignés l’un de l’autre. La définition ci-dessus peut s’appliquer à n’importe quel solide ; on la complète donc en imposant les deux conditions suivantes : – le diamètre D de chaque section droite S est faible devant la longueur L de la ligne moyenne 10 GG , ainsi que devant le rayon de courbure R et le rayon de torsion T de cette ligne moyenne en G. – si la section droite S est évolutive (non constante), ses variations (taille, forme, calage) en fonction de l’abscisse curviligne s de G sur 10 GG , sont très lente S0. Une poutre est rectiligne si sa ligne moyenne est un segment de droite ; si de plus sa section S est constante (dimensions, forme, calage constants), elle est dite prismatique (ou cylindrique). Une poutre non rectiligne est une poutre courbe (plane ou gauche). Un anneau est une poutre dont la ligne moyenne est une courbe fermée : dans ce cas, les sections droites origine et finale, confondues, peuvent être choisies arbitrairement. On nomme tube toute poutre creuse (une ou plusieurs cavités). Une poutre mince possède une section droite S formée d’une ou plusieurs bandes dont la largeur e est faible devant le diamètre D de S. Une fibre longitudinale est un tube infiniment délié engendré par un élément dS de S quand G décrit 10 GG . Nous supposerons que le matériau de la poutre est homogène, élastique et isotrope.
  10. 10. 8 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES – Figure 1 – Exemples de poutres 2. – ÉTUDE DE LA LIGNE MOYENNE Soit { }zyx,O une base orthonormée liée à la poutre ; on peut se donner la ligne moyenne 10 GG par une représentation paramétrique : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = )u(zz )u(yy )u(xx G Nous supposerons que la correspondance entre le point générique G et le paramètre u est bijective ; lorsque u décrit le segment [ ]10 u,u , G décrit l’arc 10 GG , toute position de G correspondant à une seule valeur de u et réciproquement. Nous supposerons de plus les trois fonctions x(u), y(u), z(u) dérivables autant de fois que nécessaire sur [ ]10 u,u . Enfin, nous choisirons une origine (en général 0G ), et un sens positif en orientant la ligne moyenne de 0G vers 1G , et associerons de façon bijective le point générique G à son abscisse curviligne s.
  11. 11. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 9 CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES – Figure 2 – Triède de Frenet Le dérivé du vecteur-espace OG par rapport à s est tangent en G à 10 GG , unitaire et orienté dans le sens des abscisses curvilignes croissantes. On le note : ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = sd zd sd yd sd xd sd OGd e On a donc : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )22222222 udzyxzdydxdsd ′+′+′=++= et u u 222 10 0 duzyxGGs , avec le signe + si le sens des u croissants correspond au sens positif choisi sur 10 GG et le signe – dans le cas contraire. 2.1. – Théorème du repère mobile Soit { }321 e,e,e une base orthonormée dont les vecteurs de base sont des fonctions dérivables d’un paramètre u. Appelons [A] la matrice qui fait correspondre aux trois vecteurs ie les trois vecteurs dérivés, telle que l’on ait : ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 3 2 1 333231 232221 131211 3 2 1 e e e AAA AAA AAA e e e ud d (1)
  12. 12. 10 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES Théorème : si la base { }ie reste orthonormée quand u varie, la matrice [A] est antisymétrique. En effet, on a : ijji ee δ=⋅ (symbole de Kronecker) et j i ij e ud ed A ⋅= . En dérivant la première de ces deux formules, il vient : 0 ud ed ee ud ed j ij i =⋅+⋅ , c’est-à-dire 0AA jiij =+ . 2.2. – Repère de Frenet Définissons un repère orthonormé d’origine G, lié à l’arc de courbe 10 GG . Prenons comme premier vecteur de base le tangent unitaire e ; ce vecteur étant de longueur constante, le vecteur sd ed lui est perpendiculaire. On peut donc poser R n sd ed = avec : • n unitaire, normal à e , nommé vecteur normal principal, que nous prendrons comme second vecteur de base. • R 1 , scalaire de dimension 1 L− , nommé courbure de l’arc 10 GG en G. Le troisième vecteur de base b , défini par : neb ∧= , se nomme binormal. Le repère orthonormé direct { }b,n,e,G est le repère de Frenet de la courbe 10 GG au point G. 2.3. – Formules de Frenet Appliquons la formule (1) à la base de Frenet considérée comme fonction de s. On obtient les formules de Frenet : ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ b n e 0 T 1 0 T 1 0 R 1 0 R 1 0 b n e sd d (2) En effet la matrice A étant antisymétrique, elle est définie par ses trois composantes strictes A12, A13, A23. Ayant posé R n sd ed = , on a posé R 1 A12 = et 0A13 = .
  13. 13. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 11 CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES On pose alors T 1 A23 = , scalaire nommé torsion de la courbe 10 GG en G. Remarque 1 L’orientation du vecteur n est arbitraire ; le changement de n en – n change R en – R. Le signe de la courbure n’a donc pas de signification géométrique. En général, dans le cas des courbes planes, on prend n directement perpendiculaire à e , c’est-à-dire ( ) 2 n,e π += ; R est alors un nombre positif si n est orienté vers la concavité de la courbe 10 GG , négatif dans le cas contraire. Dans le cas des courbes gauches, on impose en général à n d’être orienté vers la concavité de 10 GG , ce qui revient à prendre R > 0. Le centre de courbure I de l’arc 10 GG en G défini par la formule nRGI = ; R se nomme rayon de courbure de l’arc 10 GG en G. Remarque 2 Le point J défini par bTGJ = se nomme centre de torsion de l’arc 10 GG en G, et T rayon de torsion. Le signe de T a la signification géométrique suivante : lorsque G se déplace dans le sens positif sur 10 GG , le repère de Frenet tourne autour de e dans le sens positif, si T est positif et dans le sens négatif, si T est négatif. Remarque 3 Les trois plans contenant G et normaux à e , n , b se nomment plan normal, plan rectifiant, plan osculateur (respectivement). Remarque 4 Une courbe a une torsion identiquement nulle, si et seulement si elle est plane. Une courbe a une courbure identiquement nulle, si et seulement si, elle est rectiligne. Remarque 5 En un point d’inflexion, on a 0 sd ed = , 0 R 1 = (courbure locale nulle) ; le vecteur n y est indéterminé. On peut alors de définir par continuité. En chaque point d’un segment de droite, par contre, on a 0 R 1 = et n indéterminé ; on se donne alors un plan osculateur contenant ce segment de droite et les normales principales.
  14. 14. 12 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES Exemple : ressort hélicoïdal – Figure 3 – La ligne moyenne est une hélice circulaire, de représentation paramétrique, dans les axes de la figure 3 : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ θλ= θ= θ= az sinay cosax G λ est le pas réduit (positif sur la figure), a le rayon du cylindre porteur, θ l’angle polaire par rapport à ox du vecteur GO ′ , projection de OG sur le plan (xoy). L’origine A est un point fixe de l’axe des x : l’extrémité B est soudée à une barre BC de longueur a, c se trouvant sur l’axe z’z. On applique en C une force F portée par z’z. Le sens positif choisi sur l’hélice est celui des θ croissants. On trouve : ( )2 1aR λ+= , a 1 T 2 λ λ+ = , θλ+= d1asd 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ λ θ θ− ⋅λ+ cos sin e1 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ θ− θ− 0 sin cos n ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ θλ− θλ ⋅λ+ 1 cos sin b1 2
  15. 15. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 13 CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES 3. – ÉTUDE DES SECTIONS DROITES 3.1. – Centre de section C’est le centre de gravité G de la section droite S ; si le plan de S est rapporté à deux axes perpendiculaires oy et oz, les coordonnées de G sont données par les formules : ∫∫ ⋅=⋅ s SdyyS G et ∫∫ ⋅=⋅ s SdzzS G y et z désignant les coordonnées du point courant P de S, centre de l’élément dS (figure 4). – Figure 4 – Si S possède un axe de symétrie, G est sur cet axe ; si S possède deux axes de symétrie, G est leur intersection (centre de symétrie). Rappelons les théorèmes de Guldin qui permettent de trouver la position de G dans un certain nombre de cas : 1er théorème l désignant la longueur d’un arc de courbe, de centre de gravité G, dessiné dans le demi-plan 0z ≥ , la surface de révolution d’axe y’y admettant cet arc de courbe comme méridienne a pour aire lz2A G⋅π= . 2e théorème S désignant l’aire d’un domaine, de centre de gravité G, situé dans le demi-plan 0z ≥ , le solide de révolution d’axe y’y admettant ce domaine comme section méridienne a pour volume Sz2V G⋅π= .
  16. 16. 14 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES Exemples d’application – Figure 5.a – – Figure 5.b – 1er théorème La section droite mince est une bande demi-circulaire, d’épaisseur e et de rayon moyen ea >> (figure 5.a). La première formule de Guldin s’écrit ici : az2a4 G 2 π⋅π=π On en tire : a 2 zG π = 2e théorème La section droite est le domaine S demi-elliptique de la figure 5.b ; les longueurs des demi- axes sont notées a (suivant oz) et b (suivant oy). La deuxième formule de Guldin s’écrit ici : 2 ba z2ba 3 4 G 2 π⋅π=π On en tire : a 3 4 zG π = 3.2. – Moments quadratique de la section droite La section droite S étant rapportée aux axes oy et oz de la figure 4, on appelle : – moment quadratique de S par rapport à l’axe oy, le scalaire positif : ∫∫ ⋅= s 2 y SdzI – moment quadratique de S par rapport à l’axe oz, le scalaire positif : ∫∫ ⋅= s 2 z SdyI – moment quadratique de S par rapport à l’axe ox, le scalaire positif : zy s 2 x IISdOPI +=⋅= ∫∫
  17. 17. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 15 CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES – moment produit de S par rapport aux axes oy et oz, le scalaire positif, négatif ou nul : ∫∫ ⋅= s yz SdzyI Remarque 1 : Ces moments sont de dimension L4 et s’expriment donc en m4 . Remarque 2 : Ces moments égalent les moments d’inertie définie en Mécanique Générale, en considérant S comme une plaque plane mince de masse surfacique unité. Remarque 3 : Si Gx, Gy, Gz désignent les axes issus de G et parallèles à ox, oy, oz on a les formules de Huygens pour ce changement d’origine : ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ += ++= ⋅+= ⋅+= GGGyzyz 2 G 2 GGxox 2 GGzoz 2 GGyoy zySII zySII ySII zSII (4) Remarque 4 : On peut écrire 2 yy SI ρ= , 2 zz SI ρ= , 2 xx SI ρ= définissant ainsi les rayons de giration yρ , zρ , xρ . 3.3. – Tenseur des moments quadratiques Revenons à la figure 4 et considérons une droite Δ du plan de S, issue de o, portant un unitaire u d’angle polaire α à partir de l’axe oy. Exprimons le moment quadratique ΔI de S par rapport à cette droite ; en appelant H la projection du point courant P sur Δ, on a : ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ α−α=∧==Δ s 2 s 2 s 2 SdsinycoszSdOPuSdPHI En développant, il vient : α⋅+αα⋅−α⋅=Δ 2 zzy 2 y sinIcossinI2cosII Cette forme quadratique définie positive s’écrit matriciellement : { } ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ α α ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − αα=Δ sin cos II II sincosI zzy zyy (5) On introduit ainsi la matrice carrée symétrique du tenseur des moments quadratiques de S en o. Cette matrice est diagonalisable par rotation des axes d’un angle θ, défini modulo 2 π par l’équation zy zy II I2 2tg − − =θ .
  18. 18. 16 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES Ses valeurs propres sont les moments quadratiques principaux, c’est-à-dire les moments quadratiques par rapport aux axes principaux d’inertie, qui valent : ( ) ( ) 2 zy 2 zyzy I4II 2 1 II 2 1 +−±+ Dans ce cours, nous utiliserons exclusivement les axes principaux centraux d’inertie, issus de G et notés GX, GY, GZ. Les moments quadratiques centraux principaux correspondants seront notés IX, IY, IZ. Remarque Lorsque la section droite S possède un axe de symétrie, celui-ci est axe principal central d’inertie. Exemples : moments quadratiques centraux principaux de quelques sections droites usuelles : 3 Y ba 3 4 I = 4 a I 4 Y π = ba 3 4 I 3 Z = 4 a I 4 Z π = ( )22 X baba 3 4 I += 2 a I 4 X π = ( )ba3be 3 4 I 2 Y += eaI 3 Y π= ( )ab3ae 3 4 I 2 Z += eaI 3 Z π= ( )3 X bae 3 4 I += ea2I 3 X π= – Figure 6 –
  19. 19. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 17 CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES 3.4. – Repère de Frenet et repère principal de la section droite En un point G de la ligne moyenne, centre de la section droite S, nous avons défini deux repères orthonormés ayant même origine G et même premier axe GX, d’unitaire e . Le repère principal { }Z,Y,X,G se déduit donc du repère de Frenet { }b,n,e,G par une rotation autour de l’axe longitudinal GX, d’un angle ϕ appelé angle de calage de la section droite (figure 7). – Figure 7 – Les formules de passage entre les deux repères sont données par le tableau ci-après. I J K e 1 0 0 (6) n 0 cos ϕ – sin ϕ b 0 sin ϕ cos ϕ Compte tenu des formules de Frenet (2), du tableau (6), et du théorème du repère mobile, les dérivés des vecteurs de base principaux par rapport à s sont donnés par la formule : ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ϕ −− ϕ ϕ + ϕ − ϕ − ϕ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ K J I 0 sd d T 1 R sin sd d T 1 0 R cos R sin R cos 0 K J I sd d (7)
  20. 20. 18 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES Remarque 1 Dans la majorité des cas, les deux repères coïncident pour toutes les sections droites et le calage ϕ est identiquement nul. Remarque 2 Lorsque les moments quadratiques IY et IZ sont égaux, cas notamment d’une section circulaire ou carrée, toute droite passant par G est axe principal d’inertie. Les axes GY et GZ sont alors arbitraires et l’on peut prendre 0=ϕ . Remarque 3 On dit qu’une poutre admet un plan moyen (π) si : – sa ligne moyenne appartient au plan (π). – l’un des axes principaux, GY par exemple, reste dans le plan (π) quand G décrit l’arc 10 GG . On a encore 0=ϕ Dans la grande majorité des cas, les poutres à plan moyen (π) sont des poutres admettant ce plan comme plan de symétrie. 4. – EFFORTS SUR UNE SECTION DROITE 4.1. – Définition du visseur Toute section droite S divise la poutre en deux parties : – la partie amont (I) entre la section origine S0 et la section S. – la partie aval (II) entre la section S et la section finale S1. La poutre étant soumise à un système de forces extérieures, données et de liaison, en équilibre, la partie (II) exerce sur la partie (I) suivant (S), un torseur de forces ayant pour éléments de réduction en G : – une résultante générale R . – un moment résultant . Ce torseur se nomme visseur relatif à la section S et se note { }V ; il est caractérisé par six composantes (trois pour R et trois pour ). La projection de R sur GX est l’effort normal N , de mesure algébrique N, positive dans le cas d’une traction et négative dans le cas d’une compression. La projection de R sur le plan de section droite S est l’effort tranchant (ou cisaillement) T , de composantes TY et TZ sur les axes principaux. La projection de sur GX est le moment longitudinal de mesure algébrique MX. La projection de sur le plan de S est le moment de flexion f de composantes MY et MZ.
  21. 21. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 19 CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES – Figure 8 – Remarque 1 Si l’on coupe la poutre suivant S, on fait apparaître les deux lèvres (S –) et (S +) de la coupure, limitant respectivement partie amont (I) et partie aval (II). Il faut alors, pour que l’équilibre de chaque partie demeure inchangé, appliquer sur (S –) un torseur de forces équivalent à { }V et sur (S +) le torseur opposé. – Figure 9 – Remarque 2 Dans certains ouvrages, on appelle visseur relatif à la section S, l’action de (S –) sur (S +), c’est-à-dire de la partie amont (I) sur la partie aval (II). Bien entendu, on passe d’une convention à l’autre par simple changement de signe. Remarque 3 Le torseur { }V est un système de forces de surface appliquées sur (S –). Si dS est un élément d’aire de centre P, soumis à la force Sdc , le vecteur contrainte c ayant une composante normale σ et une composante tangentielle τ, on a les relations suivantes entre contraintes et composantes du visseur : ∫∫σ= s SdN ; ∫∫τ= s SdT ; ∫∫ τ∧= s SdGP ; f ∫∫ σ∧= s SdGP
  22. 22. 20 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES – Figure 10 – Remarque 4 Les efforts internes agissant au niveau d’une section S peuvent être considérés comme la superposition de quatre sollicitations simples : l’effort normal, l’effort tranchant, le moment longitudinal, le moment de flexion. L’étude des contraintes, déformations et déplacements dus à ces sollicitations, fera l’objet des quatre chapitres qui suivent. 4.2. – Calcul des composantes du visseur Décomposons le torseur { }F des forces extérieures, données et de liaison, appliquées à la poutre, en torseur { }IF appliqué à la partie amont (I) et torseur { }IIF appliqué à la partie aval (II). Ecrivons alors l’équilibre du tronçon II ; pour ce tronçon, les forces extérieures sont : – d’une part, celles qui constituent le torseur { }IIF ; – d’autre part, celles qui constituent le visseur { }V− , comme le montre la figure 9b. On obtient donc : { } { } { }0FII =−+ V , soit : { } { }IIF=V et l’on peut énoncer :
  23. 23. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 21 CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES Théorème fondamental : le visseur régnant sur une section droite de poutre égale le torseur de toutes les forces extérieures, données et de liaison, appliquées à la poutre au delà de cette section. La règle pratique de calcul du visseur sur S est donc la suivante : – la résultante R est égale à la somme du toutes les forces extérieures appliquées à la poutre au delà de S ; – le moment résultant est égal au moment en G, centre de S, de toutes les forces extérieures appliquées à la poutre au delà de S. Remarque 1 Dans certains cas, il est plus commode d’écrire l’équilibre du tronçon amont (I) ; R et sont alors opposés respectivement : – à la résultante des forces extérieures appliquées à la partie (I) ; – au moment résultant en G de ces mêmes forces. Remarque 2 Parmi les forces extérieures constituant les torseurs { }IF et { }IIF peuvent se trouver des réactions de liaison hyperstatiques, donc a priori inconnues. C’est le cas en particulier des anneaux, poutres fermées que l’on « coupe » suivant une section arbitraire ; les deux lèvres de la coupure constituent les sections origine et finale sur lesquelles les sollicitations sont des inconnues hyperstatiques. 1er exemple Poutre prismatique de longueur 4 L, de plan de symétrie vertical X O Y, soumise à son propre poids Lp4P = et reposant sur deux appuis horizontaux de même niveau, comme l’indique la figure 11. Sur une section droite S d’abscisse X, les seules composantes non nulles du visseur sont l’effort tranchant TY et le moment de flexion MZ, que l’on propose de calculer pour en dessiner les diagrammes ( YO TX ⎯→⎯ et ZO MX ⎯→⎯ ).
  24. 24. 22 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES – Figure 11 –
  25. 25. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 23 CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES Les réactions d’appuis, égales, valent : Lp2 2 P RR BA === En appliquant le théorème fondamental, on a donc : – Pour L2XL ≤< : ( )XL2pTY −−= et ( )2 Z XL2p 2 1 M −−= – Pour LXL <<− : XpTY = et 2 Z Xp 2 1 M −= – Pour LXL2 −<≤− : ( )XL2pTY += et ( )2 Z XL2p 2 1 M +−= Ces formules permettent de tracer les diagrammes d’effort tranchant et de moment de flexion, donnés par la figure 11 et qui nous inspirent deux remarques. – les réactions d’appui introduisent des discontinuités de première espèce dans le diagramme d’effort tranchant ; – l’effort tranchant est la dérivée, changée de signe, du moment de flexion, par rapport à X. Nous aurons l’occasion de revenir sur ces deux points. 2e exemple Revenons au ressort hélicoïdal de la figure 3. L’application du théorème fondamental nous permet de calculer les composantes du visseur sur une section droite quelconque et dans les axes de Frenet de cette section droite. On trouve : ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ λ+ λ =⋅= =⋅= λ+ λ =⋅= F 1 bFT 0nFT F 1 eFN R 2b n 2 ( ) ( ) ( )⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ λ+ λ == == λ+ == 2b n 2X 1 Fa b,F,GCM 0n,F,GCM 1 Fa e,F,GCM Les six composantes ont mêmes valeurs sur toute section droite de la poutre.
  26. 26. 24 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES 5. – ÉQUATION D’ÉQUILIBRE DES POUTRES 5.1. – Cas général Considérons une tranche élémentaire de poutre, comprise entre les sections droites voisines S et S’, d’abscisses curvilignes s et s + ds de centres G et G’. Supposons que les forces et couples extérieurs appliqués à la poutre au niveau de cette tranche soient tous répartis ; appelons sdp ⋅ et sd⋅ leur résultante générale et leur moment résultant en G. Les efforts appliqués à (S +) ont pour résultantes : )s(R− et pour moment résultant en G : . Sur ( −′S ) la résultante générale est sd Rd R + et le moment résultant sd Md M . L’équilibre de la tranche s’écrit alors, en négligeant les termes du second ordre (en 2 sd ) devant ceux du premier ordre (en sd ) : sdeGGavec,OsdmRGGsd sd Md MM Osdpsd sd Rd RR Ceci donne, après simplifications : 0 sd Rd p =+ et sd Md m ORe =∧+ (8) Ces deux équations vectorielles d’équilibre de la tranche élémentaire équivalent à six équations scalaires que nous nous proposons d’écrire dans le repère principal { }ZYX,G . On a dans cette base : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Z Y X p p p p ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Z Y X m m m ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Z Y T T N R ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Z Y X M M M Compte tenu des formules de dérivations (7) nous obtenons ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ ++ ϕ − =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ +−+ ϕ + = ϕ + ϕ −+ 0 sd Td sd d T 1 T R sin Np 0 sd d T 1 T sd Td R cos Np 0 R sin T R cos T sd Nd p Z YZ Z Y Y ZYX (9)
  27. 27. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 25 CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =++⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ ++ ϕ − =−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ +−+ ϕ + = ϕ + ϕ −+ 0T sd Md sd d T 1 M R sin Mm 0T sd d T 1 M sd Md R cos Mm 0 R sin M R cos M sd Md m Y Z YXZ ZZ Y XY ZY X X (10) 5.2. – Poutre à plan moyen (xoy) chargée dans ce plan On a, dans le cas de ce problème plan (figure 12) : 0M,0M,0T,0m,0m,0p,0 T 1 ,0 YXZYXZ ========ϕ Trois équations d’équilibre ne sont pas identiquement vérifiées : les équations d’équilibre des forces suivant GX et GY et l’équation d’équilibre des moments suivant GZ. Ces trois équations s’écrivent : ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =−+ 0T sd Md m 0 sd Td R N p 0 R T sd Nd p Y X (11) avec T = TY ; M = MZ ; m = mZ – Figure 12 –
  28. 28. 26 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES 5.3. – Poutre rectiligne à plan moyen (xoy) On a alors 0 T 1 et0 R 1 ,0 ===ϕ . Sous un chargement tridimensionnel, on a : ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+ =+ =+ 0 xd Td p 0 xd Td p 0 xd Nd p Z Z Y Y X ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =−+ =+ 0T xd Md m 0T xd Md m 0 xd Md m Y Z Z Z Y Y X X (12) – Figure 13 – Remarque 1 Dans la majorité des problèmes de statique des structures, on a 0= : pas de couple réparti. Dans ce cas, les deux dernières formules (12) donnent : xd Md T Y Z = et xd Md T Z Y −= La troisième formule (11) donne : sd Md T Z Y −= Remarque 2 Sur une section où est appliqué un chargement ponctuel (force ou couple), certaines composantes du visseur subissent des discontinuités de première espèce et ne sont pas dérivables : c’était le cas de l’effort tranchant au droit des sections d’appuis de la figure 11. Remarque 3 Nous avons donné au § 4.2. une méthode directe de calcul du visseur. L’intégration des équations d’équilibre constitue une deuxième méthode. Ces équations sont intégrables sur tout tronçon de poutre où ne s’applique aucun effort ponctuel (force ou couple).
  29. 29. 683$(52 ± 0e&$1,48( '(6 6758&785(6 ± 7RPH ,, +$3,75( , ± *e20e75,( (7 67$7,48( '(6 32875(6 'DQV OH FDV R GH WHOV HIIRUWV SRQFWXHOV H[LVWHQW RQ LQWqJUH VXU OHV GLIIpUHQWV LQWHUYDOOHV G¶LQWpJUDELOLWp HW O¶RQ © UDFFRUGH ª OHV VROXWLRQV HQ WHQDQW FRPSWH GHV GLVFRQWLQXLWpV ([HPSOH ± )LJXUH ± 2Q VH GRQQH XQH SRXWUH GHPLFLUFXODLUH j SODQ PRHQ [R
  30. 30. VXU GHX[ DSSXLV HW VRXPLVH j OD IRUFH ) FRPPH OH PRQWUH OD ILJXUH TXL GRQQH DXVVL OHV D[HV VXU FKDFXQ GHV GHX[ WURQoRQV $¶ $ OHV pTXDWLRQV G¶pTXLOLEUH
  31. 31. R =; PSS === HW θ= G5VG VRQW LQWpJUDEOHV 2Q REWLHQW HQ SRVDQW 7 7 HW 0= 0 57 G 0G G 7G 17 G 1G =+ θ = θ +=− θ 3DU pOLPLQDWLRQ GH 7 HQWUH OHV GHX[ SUHPLqUHV RQ D 1 G 1G =+ θ G¶R θ+θ= VLQEFRVD1 VXU $
  32. 32. θ HW θ+θ= VLQ¶EFRV¶D1 VXU $¶
  33. 33. θ
  34. 34. 28 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES θ+θ−= θ = cosbsina d Nd T pour )0( θ et θ+θ−= θ = cos’bsin’a d Nd T pour )0( θ enfin, la troisième équation RT d Md −= θ donne : ( )csinbcosaRM +θ+θ−= pour )0( θ et ( )’csin’bcos’aRM +θ+θ−= pour )0( θ Les conditions aux limites, en A et A’, et les conditions de raccordement en C, permettent de calculer les constantes d’intégration. On a : – En A, 2 π =θ : T = 0, 2 F N −= , 0a0M =⇒= , 2 F b −= , 2 F c += . – En A’, 2 π −=θ : T = 0, 2 F N −= , 0’a0M =⇒= , 2 F ’b = , 2 F ’c = . – En C, 0=θ , continuité pour N et M, discontinuité pour T avec un saut égal à F− . D’où les fonctions cherchées : ( ) ( )⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ θ−−=θ−=θ−=θ θ+−=θ=θ=θ sin1 2 RF M;cos 2 F T;sin 2 F N:0 sin1 2 F RM;cos 2 F T;sin 2 F N:0 et les diagrammes correspondants :
  35. 35. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 29 CHAPITRE I – GÉOMÉTRIE ET STATIQUE DES POUTRES – Figure 15 –
  36. 36. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 31 CHAPITRE II – EFFORT NORMAL CHAPITRE II EFFORT NORMAL 1. – ÉTUDE DE LA BARRE Considérons une poutre prismatique (ou cylindrique) limitée par deux sections droites S0 et S1 distantes de L (figure 1). – Figure 1 – Appliquons sur S0 et S1 les forces axiales F− et F respectivement, uniformément réparties. Prenons x’x suivant la ligne moyenne, y’y et z’z liés à S0 et passant par G0. Une telle poutre, ainsi chargée est appelée barre. Sur la section droite courante S, le visseur se réduit au seul effort normal N = F (positif en cas de traction, négatif en cas de compression). D’après l’expérience de traction simple décrite au chapitre III du tome I, on a les résultat suivants : – En contraintes : [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡σ =Σ 000 000 00x avec S F x =σ (1) – En déformations : [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ε ε ε = z y x 00 00 00 E avec ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ εν−=ε=ε = σ =ε xzy x x SE F E (2) – En translations, dans un repère lié à S0 = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ν −= ν −= = z SE F w y SE F v x SE F u PP 10 et (3)
  37. 37. 32 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE II – EFFORT NORMAL L’énergie potentielle élastique emmagasinée par la tranche comprise entre les sections S et S’ d’abscisses x et x + dx, est : xd SE N 2 1 udN 2 1 Wd 2 =⋅= , d’où : SE N 2 1 xd Wd 2 = et SE LN 2 1 W 2 = (4) Le rapport entre l’effort F et l’allongement Lx ⋅ε est la rigidité globale L SE de la barre ; son inverse SE L est la souplesse. SE est la rigidité linéique. Remarque – Figure 2 – Biellette En général, les forces F et F− sont appliquées à la barre par l’intermédiaire d’embouts, comme le montre la figure 2. D’après le principe de Saint-Venant, les résultats précédents sont valables, sauf au voisinage de ces extrémités où le champ de contraintes est perturbé. 2. – TREILLIS DE BARRES On appelle ainsi tout assemblage de barres reliées entre elles, en leurs extrémités, par des rotules constituant les nœuds. On suppose de plus : – les liaisons du treillis avec l’extérieur, également réalisées au moyen de rotules, au niveau de certains nœuds ; – les forces extérieures, appliquées exclusivement aux nœuds ; – les poids propres des barres négligeables devant ces forces extérieures. Dans ces conditions, chaque barre travaille bien en traction pure ou en compression pure. Il suffit pour s’en assurer d’écrire l’équilibre d’une barre AB ; en appelant AF et BF les résultantes des forces extérieures appliquées en A et B, on obtient le système : OFF BA =+ , OFAB B =∧ qui implique que AF et BF sont opposées sur le support commun AB. Remarque 1 De nombreuses structures sont réalisées par assemblage de poutres prismatiques longues, ces assemblages étant réalisés par soudage, boulonnage ou rivetage ; c’est le cas par exemple des
  38. 38. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 33 CHAPITRE II – EFFORT NORMAL grues, des bâtis-moteurs d’avions en tubes d’acier soudés, des ponts et viaducs métalliques, des pylônes de lignes électriques, des mâts porte-antennes, etc. De telles structures ne répondent pas exactement à la définition que nous avons donnée des treillis puisque les nœuds ne sont pas des articulations et peuvent donc transmettre des couples. Cependant, les calculs montrent que les effets de l’effort normal (déformations, contraintes, déplacements) y sont tout à fait prépondérants devant ceux des autres sollicitations. Ces structures peuvent donc être considérées et calculées comme des treillis avec une très bonne approximation. Remarque 2 Au niveau de la conception d’une structure, on doit penser en premier lieu à la solution treillis : celle-ci est en effet légère, simple et économique. 3. – TREILLIS PLANS Un treillis est dit plan si les lignes moyennes des barres et les forces extérieures sont situées dans un même plan, noté (xoy). 3.1. – Isostaticité et hyperstaticité Considérons un treillis plan, débarrassé de toutes ses liaisons avec l’extérieur. Appelons b le nombre de ses barres et n le nombre de ses nœuds. S’il est intérieurement isostatique, il constitue un solide, l’immobilisation des barres les unes par rapport aux autres est assurée et la suppression de l’une quelconque d’entre elles le rend hypostatique. Le positionnement du treillis dans son plan, défini par 3 paramètres indépendants, peut aussi être assuré par celui de ses nœuds, c’est-à-dire par 2n paramètres liés par b relations indépendantes ; on a alors la relation : 3bn2 =− ou 3n2b −= Si le treillis est intérieurement hyperstatique de degré p, il possède p barres surabondantes et l’on a : p3n2b +−= En ce qui concerne le système des liaisons avec l’extérieur, celui-ci est isostatique s’il bloque trois degrés de liberté nodaux, ce qui introduit trois réactions scalaires pour trois équations d’équilibre. Le treillis est extérieurement hyperstatique de degré q, si les liaisons externes bloquent (3 + q) degrés de liberté nodaux, créant (3 + q) réactions inconnues pour 3 équations d’équilibre. 3.2. – Equilibre des nœuds Soit A un nœud du treillis relié à d’autres nœuds Ai par les barres AAi (figure 3). Appelons ( )Y,XF la résultante des forces extérieures, données et de liaison, appliquées au nœud A, iϕ l’angle polaire de iAA par rapport à l’axe ox, Ni l’effort normal, algébrique, dans la barre AAi. Si iN est la force appliquée par la barre AAi sur le nœud A, on vérifie que Ni est sa mesure algébrique sur l’unitaire de iAA .
  39. 39. 34 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE II – EFFORT NORMAL – Figure 3 – L’équilibre des forces appliquées au nœud A s’écrit : ONF i =Σ+ , la sommation étant étendue à toutes les barres issues du nœud A. En projection sur les axes, ox et oy, on obtient : ⎩ ⎨ ⎧ =ϕΣ+ =ϕΣ+ )oysuivant(0sinNY )oxsuivant(0cosNX ii ii (5) En écrivant ainsi l’équilibre des n nœuds, on obtient un système linéaire de 2n équations. 3.3. – Déplacements des nœuds Considérons la barre AiAj, de caractéristiques Lij, Sij, Eij et soit ijϕ l’angle polaire du vecteur jiAA par rapport à ox. Dans l’état initial (o), on a la relation de Pythagore : 2 ij 2 ij 2 ij L)yy()xx( =−+− où xi, yi et xj, yj désignent les coordonnées des nœuds Ai et Aj. Ces coordonnées subissent, sous l’action du chargement, les variations ui, vi et uj, vj petites devant Lij, telles que, par différentiation de la relation ci-dessus, on ait l’égalité : ijijijijijij LL)vv()yy()uu()xx( δ⋅=−−+−− En divisant les deux membres par Lij, on obtient, compte tenu de la loi de Hooke : ij ij SE LN L ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =δ : ij ijijijij SE LN sin)vv(cos)uu( ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =ϕ−+ϕ− (6) On peut écrire une telle équation aux déplacements nodaux pour chaque barre du treillis.
  40. 40. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 35 CHAPITRE II – EFFORT NORMAL 3.4. – Calcul d’un treillis plan On se donne : – la géométrie du treillis, en particulier les coordonnées des nœuds, les longueurs et sections des barres ; – les modules d’Young des matériaux constituant les différentes barres ; – les liaisons avec l’extérieur. On appelle p et q les degrés d’hyperstaticité intérieur et extérieur, respectivement. On dispose : – des 2n équations d’équilibres nodaux ; – des b équations aux déplacements nodaux ; – des (3 + q) conditions imposées aux déplacements nodaux par les liaisons extérieures. La résolution de ce système linéaire de (2n + b + 3 +q) équations permet de calculer, dans tous les cas, les (2n + b + 3 +q) inconnues du problème, à savoir : – les 2n déplacements nodaux ; – les b efforts normaux dans les barres ; – les (3 + q) réactions de liaison scalaires extérieures. Ces paramètres étant déterminés, on en déduit aisément les contraintes, déformations et déplacements en tout point du treillis. 3.5. – Exemple d’application Considérons le treillis plan de la figure 4 : les barres ont pour longueur L ou 2L , pour section droite S et pour module d’Young E. Les axes ox, oy et les liaisons externes sont donnés par la figure 4 ainsi que le chargement, constitué par les deux forces de même intensité F, et la numérotation des barres et nœuds. ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = =−−= = = 1q 13n2bp 6b 4n – Figure 4 –
  41. 41. 36 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE II – EFFORT NORMAL Les (2n + b + 3 + q = 18) équations du problème s’écrivent : nodauxéquilibres 4nœud 0 2 2 NN 0 2 2 NNF 3nœud 0N 2 2 NF 0 2 2 NNX 2nœud 0 2 2 NNY 0 2 2 NNX 1nœud 0N 2 2 NY 0 2 2 NNX 64 63 25 533 622 612 451 511 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ =−− =++ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ =−− =−− ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ =++ =−− ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ =++ =++ ( ) ( ) ( ) ( ) nodauxtsdéplacemen 6barre SE 2LN 2 2 vv 2 2 uu 5barre SE 2LN 2 2 vv 2 2 uu 4barre SE LN vv 3barre SE LN uu 2barre SE LN vv 1barre SE LN uu 6 2442 5 1313 4 14 3 43 2 23 1 12 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =−+− =−+− =− =− =− =− ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = == 0u vu 0v0u 3 22 11 équations imposées par les liaisons externes La résolution du système donne : ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − −= −= − = −−=−= F 2 235 X XY;F 2 235 X F12 2 3 Y;FX 3 222 11 réactions de liaison
  42. 42. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 37 CHAPITRE II – EFFORT NORMAL ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − −=−= − = − −= −=−= F 2 22 N;F22N F 2 12 N;F 2 23 N F22N;F22N 65 43 21 efforts normaux algébriques dans les barres ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − =−=−== − ==−== SE LF 2 12 v, SE LF 222v, SE LF 22v,0v SE LF 2 23 u,0u, SE LF 22u,0u 4321 4321 déplacements nodaux Remarque 1 Nous venons de donner une méthode générale de calcul d’un treillis ; on peut bien entendu appliquer d’autres méthodes, en utilisant par exemple les théorèmes de Castigliano et Menabrea. L’énergie potentielle élastique totale du treillis, s’écrit, d’après (4) : ∑= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = b 1i i 2 SE lN 2 1 W (i, numéro des barres) Remarque 2 Dans la plupart des cas, les barres ont toutes même section droite et même module d’Young. 4. – TREILLIS TRIDIMENSIONNELS Nous allons étendre au cas tridimentionnel les résultats que nous venons d’obtenir pour les treillis plans. 4.1. – Isostaticité et hyperstaticité Si le treillis est intérieurement hyperstatique de degré p (p = 0 dans le cas isostatique), on a la relation : b = 3n – 6 + p, entre le nombre de barres b et le nombre de nœuds n. Si le treillis est hyperstatique extérieurement de degré q, on a 6 + q réactions scalaires pour 6 équations d’équilibre global ; les liaisons extérieures bloquent (6 + q) degrés de liberté nodaux. 4.2. – Equilibre des nœuds { }zyx,o désignant un repère orthonormé lié au treillis, soient : – A un nœud relié au nœud voisin Ai par la barre AAi ; – αi, βi, γi les cosinus directeurs du vecteur iAA ; – Ni l’effort normal dans la barre AAi ; – ( )Z,Y,XF la résultante des forces extérieures, données et de liaison, appliquées au nœud A.
  43. 43. 38 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE II – EFFORT NORMAL L’équilibre du nœud A s’écrit : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =γΣ+ =βΣ+ =αΣ+ 0NZ 0NY 0NX ii ii ii (7) 4.3. – Déplacements nodaux AiAj désignant une barre, de caractéristiques Lij, Sij, Eij, notons αij, βij, γij les cosinus directeurs du vecteur jiAA et ui, vi, wi les déplacements du nœud Ai suivant ox, oy, oz, respectivement. On obtient, pour cette barre, l’équation aux déplacements nodaux. ( ) ( ) ( ) ij ijijijijijij SE LN wwvvuu ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =γ−+β−+α− (8) 4.4. – Méthode générale de calcul p et q désignant les degrés d’hyperstaticité intérieur et extérieur, on écrit : – les 3n équations d’équilibre nodaux (7) – les b équations aux déplacements nodaux (8) – les 6 + q conditions imposées par les liaisons externes aux déplacements nodaux. La résolution de ce système linéaire donne : – les 3n composantes ui, vi, wi des déplacements nodaux – les b efforts normaux Ni dans les barres – les 6 + q composantes de réactions de liaisons externes. 5. – EFFORT NORMAL DANS UNE POUTRE QUELCONQUE 5.1. – Formules fondamentales Dans les paragraphes précédents, nous avons étudié les barres et assemblages de barres ; nous allons maintenant étendre les formules (1) à (4) du § 1. au cas d’une poutre de forme quelconque soumise à un chargement quelconque donnant sur la section courante S, d’abscisse curviligne s un visseur { }V et donc un effort normal N(s) (figure 5). – Figure 5 – La sommation est étendue à toutes les barres issues du nœud A.
  44. 44. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 39 CHAPITRE II – EFFORT NORMAL Une tranche mince de poutre, comprise entre les sections droites voisines S et S’ d’abscisses curviligne s et s + ds, peut être considérée comme prismatique, compte tenu des hypothèses de définition des poutres : diamètre de chaque section droite S faible devant la longueur de la ligne moyenne et devant les rayons de courbure et de torsion de celle-ci en G. On peut donc étendre les résultats obtenus pour une barre. Dans le repère principal { }ZYX,G lié à S, on a alors : – la matrice des contraintes : [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡σ =Σ 000 000 00X avec S N X =σ (9) – la matrice des déformations : [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ε ε ε = Z Y X 00 00 00 E avec ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ν−=ε=ε = σ =ε SE N SE N E ZY X X (10) – le déplacement de S’ par rapport à S, translation de vecteur directeur. sd SE N esd SE N d =⋅=Λ (11) – l’énergie potentielle élastique emmagasinée dans cette tranche : sd SE N 2 1 Wd 2 = (12) 5.2. – Mesure de l’effort normal par jauges extensométriques Nous nous limiterons au cas où la section droite S, sur laquelle on désire mesurer l’effort normal, possède un axe de symétrie Z’Z (figure 6). – Figure 6 –
  45. 45. 40 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE II – EFFORT NORMAL L’axe principal Y’Y de S coupe la poutre en deux points symétriques P et P’, comme l’indique la figure. En ces points, on colle deux jauges (j) et (j’) identiques, dans la direction axiale X’X, et on en fait les résistances R1 et R3 du pont de Wheatstone. Si les résistances R2 et R4 sont constituées par deux jauges de compensation thermique (identiques à (j) et (j’)), le pont est insensible aux variations de température. V désignant la tension d’alimentation et AC VVv −=δ la tension de déséquilibre du pont qui apparaît lorsque les jauges se dilatent sous l’action du chargement, on a : ( )31 4 K V v ε+ε= δ avec K = facteur de jauge ou, puisque SE N 31 =ε=ε : SE N 2 K V v = δ d’où V v K SE2 N δ = (13) Les théories de la flexion, de la torsion et du cisaillement développées dans les trois chapitres suivants, montrent que ce montage est insensible aux composantes du visseur autre que N pouvant s’appliquer sur S. Remarque Si les jauges actives (j) et (j’) sont autocompensées pour le matériau de la poutre, R2 et R4 peuvent être des boîtes de résistances étalonnées et l’on peut mesurer l’effort normal N par une méthode de zéro. Pour cela, on annule vδ en se donnant des variations 2Rδ et 4Rδ c’est-à-dire en rééquilibrant le pont. On a alors : 4 4 2 2 3 3 1 1 R R R R R R R R δ + δ = δ + δ soit : ( ) 4 4 2 2 31 R R R R SE N K2K δ + δ ==ε+ε d’où : ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ δ + δ = 4 4 2 2 R R R R K2 SE N (14) 5.3. – Exemple de poutres en traction ou compression Exemple 1 : hélice d’avion – Figure 7 –
  46. 46. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 41 CHAPITRE II – EFFORT NORMAL Considérons une pale constituant une poutre rectiligne, de section droite évolutive (aire S(x) à la distance x de l’axe de rotation), réalisée en un matériau de masse volumique ρ. La rotation rapide, de vitesse angulaire ω, crée un champ de force centrifuges dans chaque pale (force volumique xf 2 x ωρ= ), d’où un effort normal de traction, variable avec x : ∫ ξξ⋅ξωρ= L x 2 d)(S)x(N (L désigne la distance entre l’axe de rotation et l’extrémité de la pale). Remarque 1 Les efforts aérodynamiques induisent moment de flexion, moment de torsion et effort tranchant. Remarque 2 Les pales de rotors d’hélicoptères ont en général une section constante. Dans ce cas, en appelant m la masse linéique de la pale, on a : ( )222 xLm 2 1 )x(N −ω= Exemple 2 : château d’eau Un poids P est placé au sommet d’une colonne de hauteur h, axisymétrique (d’axe ox, vertical), faite d’un matériau de poids volumique ρg. Quelle doit être la loi d’évolution de la section droite ( ))x(Sx ⎯→⎯ , pour que la contrainte de compression σx soit uniforme dans la colonne et égale une valeur donnée σ (négative) ? L’effort normal dans la colonne vaut, à l’abscisse x : ∫ σ⋅=ξξρ−−= h x )x(Sd)(SgPN – Figure 8 – Cette formule donne par dérivation l’équation différentielle : xd g S Sd σ ρ = On en déduit : x g O eSS σ ρ =
  47. 47. 42 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE II – EFFORT NORMAL La section de base SO est alors donnée par la formule : σ ρ σ −= hg O e P S Exemple 3 : voûte circulaire sous pression uniforme – Figure 9 – On considère une poutre à plan moyen (xoy), de section droite constante S, de ligne moyenne AB (arc de cercle de rayon R, de longueur α= R2L , de centre 0). Les liaisons, indiquées sur la figure, permettent aux sections extrêmes de tourner, et d’effectuer des translations radiales. Le chargement consiste en une force radiale centripète, uniformément distribuée, d’intensité p par unité de longueur de la ligne moyenne. Calculons les réactions d’appuis, en A et B, ainsi que le visseur sur la section droite courante S repérée par l’angle polaire θ. Les équations d’équilibre (1.-(11)) s’écrivent : 0TR d Md ,Rp d Td N, d Nd T =+ θ −= θ + θ = (N = effort normal ; T = TY = effort tranchant ; M = MZ = moment de flexion, en G). Leur intégration donne, A, B, C désignant des constantes : ( )1sinBcosARpN −θ+θ= ( )θ+θ−= cosBsinARpT ( )CsinBcosARpM 2 +θ+θ−=
  48. 48. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 43 CHAPITRE II – EFFORT NORMAL Les conditions aux limites s’écrivent : T = 0, M = 0 et impliquent donc : A = B = C = 0 On a ainsi, sur S : T = 0, M = 0, N = – pR. La voûte travaille donc en compression pure, d’intensité uniforme pR ; les réactions en A et B ont aussi pour intensité pR. La longueur L et le rayon moyen R de la poutre subissent des variations relatives égales à SE Rp − . 6. – STATIQUE DES CÂBLES On nomme câble une poutre infiniment flexible et torsible. Nous supposerons également : – que le câble est peu extensible (allongements relatifs sous charge L Lδ très faible devant 1). – que le chargement consiste en forces (ponctuelles et réparties) à l’exclusion de tout couple. Dans ces conditions, à l’équilibre, le moment résultant du visseur est identiquement nul et les équations d’équilibre (1.-(8)) s’écrivent : ORe;ORdsdp =∧=+ Elles impliquent que le visseur se réduit, sur chaque section droite, au seul effort normal N , et équivalent à la seule équation : OsdpNd =+ (15) L’effort normal N est d’ailleurs nécessairement positif et se nomme tension. Un câble ne supporte en effet aucun effort de compression. Le problème général de statique des câbles consiste à déterminer, pour un chargement et un système de liaisons donnés : – la courbe constituée par la ligne moyenne ; – la tension N au niveau de chaque section droite ; – les efforts de liaison. Remarque On peut dire qu’un câble est une poutre n’ayant pas de forme déterminée au repos, et qui prend, sous l’action du chargement, une forme d’équilibre telle, que les efforts internes se réduisent, sur chaque section droite, à une tension pure.
  49. 49. 44 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE II – EFFORT NORMAL En fonction du type de chargement (forces ponctuelles et/ou réparties), nous distinguerons trois cas : 1er cas : chargement par des forces ponctuelles On a alors partout, Op = ; le poids propre du câble est en particulier négligé. On appelle nœuds A0A1 … AnAn + 1 les points d’application des forces ponctuelles (données et de liaison) ; A0 et An + 1 désignent les extrémités du câble. Entre deux nœuds consécutifs Ai et Ai + 1, l’équation d’équilibre (15) s’écrit ONd = : N est constant en direction et intensité. Chaque tronçon AiAi + 1 est donc rectiligne et la tension y est constante. On doit alors déterminer : – la ligne polygonale A0A1 … AnAn + 1 ; – la tension dans chaque tronçon ; – les efforts de liaison. Pour cela on résout le système d’équations obtenu en écrivant, à chaque nœud : – l’équilibre des forces appliquées ; – les contraintes géométriques imposées. Exemple – Figure 10 – Dans le plan vertical (xoy), où oy est la verticale ascendante, on a deux poulies fixes sans frottement, d’axes parallèles à oz ; leurs diamètres sont suffisamment petits devant la longueur du câble pour qu’on puisse les considérer comme ponctuelles. Elles constituent alors les nœuds ( )111 y,xA et ( )222 y,xA , fixés dans le plan xoy.
  50. 50. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 45 CHAPITRE II – EFFORT NORMAL Sur le câble de longueur L, on considère les trois nœuds : A0 (origine du câble), A2 (à la distance L02 de A0 sur le câble), A4 (extrémité du câble, à la distance L24 de A2 sur le câble). Comme indiqué sur la figure : – le nœud A0 est fixé au sol par l’intermédiaire d’un ressort de raideur k ; – le câble passe sur les poulies (A1) et (A3) ; – un poids P2 est suspendu au nœud A2 ; – un chariot de poids P4 libre de se déplacer sur un rail du plan (xoy) faisant l’angle γ avec la verticale, est fixé à l’extrémité A4. Le segment A3A4 est constamment parallèle à ce rail. Lorsque le ressort est au repos, on suppose que son extrémité A0 se trouve sur l’axe des x. On cherche à déterminer, à l’équilibre : – la ligne polygonale A0A1A2A3A4, en particulier les coordonnées de A0, A2, A4 ainsi que les angles α et β ; – les tensions du câble dans les différents tronçons AiAi + 1 ; – les réactions des poulies, soit R1 et R3. Les équations d’équilibre des nœuds s’écrivent : – Pour A0 : 001 ykN = . – Pour A1 : 1201 NN = et 2 cosN2R 011 α = . – Pour A2 : β+α= cosNcosNP 23122 et β=α sinNsinN 2312 . – Pour A3 : 3423 NN = et 2 cosN2R 233 γ+β = . – Pour A4 : γ= cosPN 434 . Les conditions imposées aux nœuds s’écrivent : – Pour A0 : valeur de x0 donnée, avec x0 = x1. – Pour A1 : valeur de x1 et y1 données. – Pour A2 : 022110 LAAAA =+ (donné) soit 02 21 01 L cos yy yy = α − +− avec ( ) α−=− tgyyxx 2112 et 244332 LAAAA =+ (donné) soit 24 4323 L cos yy cos yy = γ − + β − avec ( ) β−=− tgyyxx 2323 – Pour A3 : valeurs de x3, y3 données. – Pour A4 : ( ) γ−=− tgyyxx 4334 .
  51. 51. 46 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE II – EFFORT NORMAL Cet ensemble de conditions, statiques et cinématiques, constitue un système non linéaire qui permet de calculer les inconnues : tension N, coordonnées des nœuds A0, A2, A4, angles α et β, réactions R1 et R3 des poulies. Elles permettent également de déterminer la valeur minimale de P4 au-dessous de laquelle il n’existe pas de configuration d’équilibre. 2e cas : chargement par des forces réparties Soit )s(p la densité linéique, supposée continue, au point courant ( )z,y,xG de la ligne moyenne 10 AA . Les seules forces ponctuelles sont les réactions aux extrémités. L’équation d’équilibre OsdpNd =+ est intégrable sur l’arc 10 AA . En projection sur les axes x, y, z, elle équivaut aux trois équations scalaires : ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0sdp sd zd Nd 0sdp sd yd Nd 0sdp sd xd Nd z y x avec ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ z y x p p p p et ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ sd zd sd yd sd xd e (16) En adjoignant aux trois équations (16), les deux équations suivantes : 222 zdydxdsd ++= et ∫= 1 0 A A sdL (L = longueur du câble), on forme un système dont l’intégration, compte tenu des conditions aux limites en A0 et A1, donne la figure d’équilibre et la tension N(s). Remarque Dans le repère de Frenet { }b,n,e,G lié au point G, l’équation vectorielle d’équilibre a pour projections : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =+ =+ 0p 0pRN 0sdpNd b n e avec ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ b n e p p p p (17) R désigne le rayon de courbure en G. 1er exemple : câble sous son propre poids, chaînette On ancre les extrémités d’un câble en deux points A0 et A1 du plan vertical (xoy). On note p le poids linéique du câble, et L sa longueur (supérieure à la distance A0A1) puis x0, y0 et x1, y1 les coordonnées de A0 et A1, avec x0 x1 et on oriente la ligne moyenne du câble de A0 vers A1.
  52. 52. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 47 CHAPITRE II – EFFORT NORMAL – Figure 11 – Pour déterminer cette ligne moyenne ainsi que la tension N, partons des équations d’équilibre : 0 sd xd Nd =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ et 0sdp sd yd Nd =−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Une première intégration donne : xN sd xd N = , projection constante de N sur ox. et ctesp sd yd N += L’élimination de N entre ces deux relations donne ensuite xx N cte s N p xd yd += , puis par dérivation : xd sd N p xd yd x 2 2 = soit 2 x 2 2 xd yd 1 N p xd yd ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ += Enfin, par deux intégrations successives, on obtient : ( )ax N p hs xd yd x −= et ( )⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −=− ax N p ch p N by x x (18) 10 AA est donc un arc de chaînette. On en déduit immédiatement : ( )ax N p ch xd sd x −= et ( )⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= ax N p chNN x x (19)
  53. 53. 48 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE II – EFFORT NORMAL Les constantes d’intégration Nx, a et b se déterminent grâce aux relations : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −=− −=− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−−=−= ∫ ax N p ch p N by ax N p ch p N by ax N p shax N p sh p N xdax N p chL 1 x x 1 0 x x 0 x x 0 x 1 x x x 1 0 qui expriment que la chaînette a pour longueur L et passe par les points A0, A1. On remarque que a et p N b x + sont les coordonnées du sommet de la chaînette (situé éventuellement hors de l’arc A0A1), où le rayon de courbure vaut p Nx . 2e exemple Câble ancré en ses extrémités et soumis à une force linéique verticale descendante sd xd fp = , avec f constant. C’est le cas d’un câble porteur de pont suspendu, si le tablier a un poids linéique f et que les suspentes, supposées infiniment rapprochées, sont toutes également tendues. – Figure 12 – On suppose de plus les poids du câble porteur et des suspentes négligeables devant celui du tablier, et x0 x1.
  54. 54. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 49 CHAPITRE II – EFFORT NORMAL On a les équations d’équilibre d’un élément de câble : 0 sd xd Nd =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ et 0xdf sd yd Nd =−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Une première intégration donne : ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⋅−= = fax sd yd N )Ndeconstanteehorizontale(composantN sd xd N x puis l’élimination de N : ( )ax N f xd yd x −= , d’où : ( )2 x ax N f 2 1 by −=− et ( )2 2 x 2 x ax N f 1NN −+= (20) La forme d’équilibre est donc parabolique. Les constantes d’intégration Nx, a et b se déterminent grâce aux trois relations : – ( ) ( )[ ]∫ ++++=−+= 1 0 1 2 x x u u 22x2 2 x 2 u1uLogu1u f2 N xdax N f 1L avec ( )ax N f u x −= – ( )2 0 x 0 ax N f 2 1 by −=− (le câble passe par A0) – ( )2 1 x 1 ax N f 2 1 by −=− (le câble passe par A1) qui expriment que le câble a pour longueur L et passe par les points A0, A1. On note que a et b sont les coordonnées du sommet de la parabole (situé éventuellement en dehors de l’arc 10 AA ), où le rayon de courbure vaut f Nx . 3e cas : chargement mixte (forces ponctuelles et forces réparties) Dans ce cas, on décompose l’arc n+10 AA en tronçon notés 10 AA , 21 AA , … , n+1n AA tels que sur chaque tronçon ; – la force linéique p soit continue ; – il n’y ait pas de force ponctuelle. Ces forces ponctuelles ne peuvent donc être appliquées qu’aux nœuds Ai. L’intégration des équations d’équilibre sur chaque tronçon donne, avec des constantes d’intégration, l’arc de courbe i+1i AA et la tension qui y règne.
  55. 55. 50 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE II – EFFORT NORMAL L’écriture en chaque nœud, de l’équilibre des forces et des contraintes géométriques imposées permet enfin de raccorder les différents tronçons et de déterminer les constantes d’intégration. Exemple : le téléférique – Figure 13 – Un câble porteur de téléférique a son origine ancrée en un point )y,x(A 000 . A un instant donné, la benne, de poids P1 est suspendue en un point )y,x(A 111 . Enfin le câble, après passage sur une poulie )y,x(A 222 , supposée ponctuelle, est tendu par un contrepoids P3 fixé à son extrémité A3. Les tronçons seront notés (1), (2), (3) ; p désigne toujours le poids linéique du câble. Rappelons que le tangent unitaire e en un point G de la ligne moyenne a pour composantes : ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − ==ϕ − ==ϕ x x N axp th sd yd sin N axp ch 1 sd xd cos e
  56. 56. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 51 CHAPITRE II – EFFORT NORMAL Sur le tronçon (1), ou 10 AA , on a : – l’équation de l’arc 10 AA ( ) 1 1 x 1x 1 N axp ch p N by − =−= – la tension ( ) 1 1 x 1 x1 N axp chNN − = – la longueur ( ) 1 2 1 1 x xx 1x 1 N axp sh p N L ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = – le passage par A0 et A1 : ( ) 1 1 x 10x 10 N axp ch p N by − =− et ( ) 1 1 x 11x 11 N axp ch p N by − =− Sur le tronçon (2), on a les formules analogues. Enfin sur le tronçon rectiligne, on écrit : ( ) 32323333 xxx,yyL,yypPN ==−=−+= . L’équilibre du nœud A1 donne : – suivant l’horizontale : xxx NNN 21 == – suivant la verticale : ( ) ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = x 11 x 22 x1 N axp sh N axp shNP Celui de A2 donne : xx2 NR = et ( ) ( )323 x 22 xy2 yypP N axp shNR −++ − = Enfin on a LLLL 321 =++ (longueur totale) La résolution de ce système non linéaire d’équations permet de calculer : – les constantes d’intégration a1, b1, a2, b2, Nx ; – les coordonnées de )y,x(A 111 ; – les équations des arcs de chaînette 10 AA et 21 AA ; – la tension N en chaque point du câble ; – les réactions de liaison en A0 et A2, soit 0R et 2R . Il permet aussi de calculer la valeur minimale du contrepoids P3, au-dessous de laquelle il n’existe pas de configuration d’équilibre.
  57. 57. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 53 CHAPITRE III – MOMENT DE FLEXION CHAPITRE III MOMENT DE FLEXION 1. – FLEXION PURE D’UNE POUTRE PRISMATIQUE On considère une poutre prismatique, pleine ou creuse, limitée par deux sections droites S0 et S1 distantes de L ; on travaille dans le repère principal central d’inertie { }zyx,G0 de la section droite initiale S0 ; on nomme IX, IY, IZ les moments quadratiques principaux de la section droite courante S, d’abscisse x. ( )z,y,xP désigne la particule courante. Sur la section finale S1, on applique le champ de contraintes normales y I M −=σ ; xσ=σ ; ZMM = ; ZII = . Compte tenu du choix des axes et de la définition de IZ, ce champ de forces possède une résultante générale nulle et un moment résultant égal à M. Sur la section S0, on applique le chargement opposé, c’est-à-dire le couple – (figure 1). – Figure 1 – Sur chaque section S, le visseur se réduit donc à la seule composante MZ du moment de flexion. La poutre est dite en flexion pure dans le plan principal (xoy).
  58. 58. 54 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE III – MOMENT DE FLEXION On vérifie aisément que la solution de ce problème d’élasticité est constituée par les champs suivants : ( )[ ] ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +β−α+ν= +α−γ+−ν+= +γ−β+−= cxyzy IE M w bzxzyx IE2 M v ayzyx IE M u PP 222 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ γ+=ω β=ω α+ν=ω x IE M z IE M Z Y X [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡σ =Σ 000 000 00x avec y I M x −=σ [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ε ε ε = z y x 00 00 00 E avec ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ν=ε=ε −=ε y IE M y IE M zy x Les constantes d’intégration a, b, c sont les composantes d’une translation d’ensemble ; α, β, γ sont celles d’une rotation d’ensemble. Ces six constantes sont nulles si l’on prend un repère { }zyx,G0 entraîné dans la translation et la rotation du voisinage de G0, ce que nous supposerons. Conclusions 1)Un domaine élémentaire de centre ( )o,o,xG subit une translation suivant oy de valeur 2 G x IE2 M v = et une rotation autour de GZ de valeur xd vd x IE M G ==ω . Il est non contraint et ne subit aucune déformation 2)Les sections droites restent planes et normales à la ligne moyenne déformée (figure 2). – Figure 2 –
  59. 59. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 55 CHAPITRE III – MOMENT DE FLEXION En effet, la section droite courante S d’abscisse x, subit : – une translation vG, appelée flèche ; – une rotation ω, autour de GZ, avec ω==ω xd vd G Z ; – une déformation dans son plan. Il n’y a pas de gauchissement : le déplacement axial de P, ω⋅−= yu , résulte uniquement de la rotation ω. 3)La fibre moyenne déformée est un arc de cercle, de courbure xd d IE M xd vd 2 G 2 ω == 4) La rigidité globale de la poutre, en flexion dans le plan (xoy), est par définition le rapport : L IEM 01 = ω−ω Pour deux sections droites voisines, distantes de dx, on définit la rigidité de flexion linéique par la formule : Z Z Z IE xd d M = ω Les inverses de ces rigidités de flexion se nomment flexibilités. 5) Dans un élément de fibre longitudinale, de centre ( )z,y,xP , de longueur dx et de section droite dS, l’énergie potentielle élastique emmagasinée vaut : xdSdy IE M 2 1 xdSd 2 1 xdSd 2 2 Z 2 Z xx =εσ=U Dans une tranche de poutre d’épaisseur dx, cette énergie a donc pour valeur : xd IE M 2 1 Sdy IE M 2 xd Wd S Z 2 Z2 2 Z 2 Z ∫∫ == 6) On obtiendrait bien sûr des formules analogues pour une flexion pure dans le plan (xoy), ce qui permet d’écrire le tableau résumé : z I M Y Y x =σ xzy x x ; E εν−=ε=ε σ =ε 2 G 2 Y YY xd wd IE M xd d −== ω Y 2 Y IE M 2 1 xd Wd = y I M Z Z x −=σ xzy x x ; E εν−=ε=ε σ =ε 2 G 2 Z ZZ xd vd IE M xd d == ω Z 2 Z IE M 2 1 xd Wd = (1)
  60. 60. 56 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE III – MOMENT DE FLEXION 2. – FLEXION GAUCHE D’UNE POUTRE PRISMATIQUE C’est le cas, par définition, où MY et MZ sont tous deux non nuls. Les déplacements, déformations, contraintes, énergies s’obtiennent alors par superposition des deux cas simples. Sur chaque section droite S, les points non contraints sont alignés sur une droite appelée axe neutre, d’équation 0x =σ soit 0y I M z I M z z Y Y =− . C’est autour de cette droite que s’effectue la rotation d’ensemble de S, due à la flexion de la poutre. Appelons α et β les angles polaires, à partir de GY, du moment de flexion et de l’axe neutre GY1, respectivement (figure 3). Par changement d’axes on obtient les formules de la flexion gauche dans la base { }11 Z,Y,G : ( ) 1 Y x Z I cosM 1 β−α =σ ; ( ) 1Y 1 IE cosM xd d β−α = ω ; ( ) 1Y 22 IE cosM 2 1 xd Wd β−α = (2) – Figure 3 – on a, de plus : Y Z M M tg =α ; α=β tg I I tg Z Y ; β+β= 2 Z 2 YY sinIcosII 1 3. – MOMENT FLÉCHISSANT DANS UNE POUTRE QUELCONQUE Considérons une poutre de forme quelconque soumise à un chargement quelconque. Compte tenu des hypothèse de poutre (diamètre de chaque section droite S faible devant longueur de la ligne moyenne, rayons de courbure et de torsion de celle-ci en G), on peut considérer comme prismatique chaque tranche mince comprise entre les section droites voisines S et S’ d’abscisses curvilignes s et s + ds et lui appliquer les résultats précédents. Si l’on a, sur S, un moment de flexion , de composantes MY et MZ sur les axes principaux GY et GZ de cette section, il induit :
  61. 61. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 57 CHAPITRE III – MOMENT DE FLEXION –un champ de contraintes Σ dont la seule composante non nulle est : Z I M Y I M Y Y z z X + − =σ , d’où l’on déduit les composantes non nulles de la déformation : E X X σ =ε , XZY εν−=ε=ε . – une rotation de S’ par rapport à S autour de G, définie par = + avec : etsd IE M Y Y sd IE M Z Z (3) De plus l’énergie élastique emmagasinée par unité de longueur a pour expression : Z 2 Z Y 2 Y IE M 2 1 IE M 2 1 sd Wd += (4) 4. – FLEXION D’UNE POUTRE CIRCULAIRE A PLAN MOYEN Une poutre à plan moyen (xoy) a pour ligne moyenne 10 GG un arc de cercle de centre o et de rayon R (figure 4) – ou un cercle complet –. – Figure 4 –
  62. 62. 58 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE III – MOMENT DE FLEXION On la charge dans son plan ce qui donne dans le cas général, sur la section droite courante S d’angle polaire θ : un effort normal N, un effort tranchant TY et un moment de flexion MZ. Appelons U et V les composantes suivant X et Y du déplacement de G induit par N et MZ ; nous justifierons, au chapitre V, que les déplacements dus à TY sont négligeables. D’après les résultats du § 1, le déplacement suivant X d’une particule P de S, d’ordonnée Y est : ω⋅− YU , la rotation ω satisfaisant à l’équation : IE MR d d = θ ω . D’après le formulaire en coordonnées cylindriques donné au tome 1 (formule 1.-(19)), on a : – d’une part : ( ) ( ) SE N d Ud R 1 R V GXG = θ +−=ε=εθ d’où l’on tire : SE RN V d Ud += θ – d’autre part : ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ θ +⋅ω− ∂ ∂ −=ω d Vd R 1 YU R U 2 1 Y d’où l’on tire : ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ θ +=ω d Vd U R 1 On en déduit : ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ θ + θ == θ ω 2 2 d Vd d Ud R 1 IE MR d d soit : SE NR V d Ud avec SE NR IE MR V d Vd 2 2 2 += θ −=+ θ (5) L’intégration des équations (5) lorsqu’on connaît N et MZ donne alors la flèche V(θ) et le déplacement axial U(θ). 5. – FLEXION PLANE D’UNE POUTRE RECTILIGNE A PLAN MOYEN Une poutre rectiligne a pour plan moyen (xoy) ; sa ligne moyenne G0G1 est portée par l’axe des x ; on lui applique des forces parallèles à oy et des couples parallèles à oz. Sur la section droite courante S, les seules composantes non nulles du visseur sont TY et MZ. La flèche v(x) prise par le centre G de la section droite courante d’abscisse x, et due au moment de flexion, satisfait à l’équation fondamentale : Z Z 2 2 IE M xd vd = (6) On l’établit par élimination de ωZ entre les deux équations : xd vd Z =ω et Z ZZ IE M xd d = ω .
  63. 63. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 59 CHAPITRE III – MOMENT DE FLEXION Remarque 1 Si le plan moyen est (xoz), on a les formules analogues, w(x) désignant la flèche de G : xd wd Y −=ω , Y YY IE M xd d = ω d’où Y Y 2 Y 2 IE M xd wd = (7) Remarque 2 Si une courbe du plan (xoy) a pour équation )x(vy = , sa courbure au point courant )y,x(P vaut ( )2 3 2 v1v R 1 − ′+⋅′′= ; dans notre cas, la pente de la tangente à la ligne moyenne déformée, soit Z xd vd v ω==′ est, en module, faible devant l’unité. Z Z IE M représente donc la courbure algébrique prise par la ligne moyenne au point courant G. Remarque 3 On démontrera au chapitre V que la flèche due à l’effort tranchant est négligeable devant celle due au moment de flexion. La formule (6) suffit alors pour calculer la déformation d’une poutre rectiligne en flexion plane. Remarque 4 La flexion plane des poutres constituant un sujet très important, nous allons donner quatre exemples illustrant les principales méthodes utilisées dans les cas hyperstatiques. L’influence de l’effort tranchant sur la flèche sera négligée. 1er exemple : poutre prismatique sur trois appuis alignés, soumise à son propre poids (figure 5) On note 2L la longueur de la poutre, p son poids linéique ; ox, oy, oz sont les axes principaux de la section droite médiane. Nous appliquerons la méthode dite « de la double intégration ». – Figure 5 – A cause de la symétrie il nous suffit de raisonner sur le tronçon O x L, sur lequel on a : ( )xLpRT A −−= et ( ) ( )2 A xLp 2 1 xLRM −−−= Les équations d’équilibre donnent, d’autre part : BA RR = et Lp2RRR OBA =++
  64. 64. 60 SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II CHAPITRE III – MOMENT DE FLEXION La structure est extérieurement hyperstatique de degré 1 ; il y a un appui surabondant. L’équation différentielle aux flèches s’écrit : ( ) ( )2A 2 2 xL IE p 2 1 xL IE R xd vd −−−= Une première intégration donne, compte tenu de la condition 0)0(v =′ : ( )[ ] ( )[ ]3322A LxL IE6 p LxL IE2 R xd vd −−+−−−= Une nouvelle intégration donne, compte tenu de la condition 0)0(v = : ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +−−−+⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +−−−−= 434323A L 4 1 xLxL 4 1 IE6 p L 3 1 xLxL 3 1 IE2 R )x(v La condition 0)L(v = donne enfin : Lp 8 3 RA = On en déduit : Lp 8 3 RR AB == ; Lp 4 5 RO = ; ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= 8 5 L x LpT ; ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−−= 1 L x 5 L x 4Lp 8 1 M 2 2 2 et ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−−= 2 2 3 3 4 44 L x 3 L x 5 L x 2 IE84 Lp )x(v Par symétrie, on obtient sur le tronçon OB : ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += 8 5 L x LpT ; ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++−= 1 L x 5 L x 4Lp 8 1 M 2 2 2 et ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++−= 2 2 3 3 4 44 L x 3 L x 5 L x 2 IE84 Lp )x(v 2e exemple Reprenons le cas précédent, en remplaçant l’appui central par un appui élastique de raideur k (figure 6). Résolvons-le par la méthode énergétique (Menabrea). – Figure 6 –
  65. 65. SUPAERO – MÉCANIQUE DES STRUCTURES – Tome II 61 CHAPITRE III – MOMENT DE FLEXION Appelons structure l’ensemble de la poutre et du ressort. On raisonnera sur le tronçon O x L, où l’on a : ( )xLpRT A −−= et ( ) ( )2O xLp 2 1 xL 2 R LpM −−−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= avec BA RR = , Lp2RRR OBA =++ et )o(vkRO −= . L’énergie potentielle élastique emmagasinée par la structure est la somme : – de celle du ressort : k R 2 1 vk 2 1 2 O2 O = ; – de celle de la poutre : ∫ L O 2 xd IE M Compte tenu des équations d’équilibre et prenant RO pour inconnue hyperstatique, on trouve l’énergie : ( ) ( )∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+= L O 2 2O 2 O O xdxLp 2 1 xL 2 R Lp IE 1 k R 2 1 )R,p(W Le théorème de Menabrea nous donne l’équation supplémentaire : ( )[ ] 0Lp3Lp2R4 IE24 L k R R W O 3 O O =+−+= ∂ ∂ d’où l’on tire : 3 O Lk IE 61 Lp 4 5 R + = puis : OBA R 2 1 LpRR −== et IE6 Lk 1 1 IE Lp 24 5 v 3 4 O + −= On trouve bien entendu les deux cas particuliers extrêmes : • 0 k 1 = , appui infiniment rigide de la figure 6 ; • 0k = , absence d’appui central. 3e exemple : poutre prismatique encastrée – appuyée – La poutre, prismatique de longueur L, est encastrée suivant la section droite d’origine SO, simplement appuyée suivant la section finale SA, comme l’indique la figure 7. Elle est soumise à un chargement réparti vertical descendant de densité variable L x pp = . Le chargement proposé, noté (1) peut être considéré comme la superposition des chargements (2) et (3), avec la condition de flèche résultante nulle en A. Dans le cas (2), isostatique, on trouve la flèche en A : IE Lp 120 11 )L(v 4 2 −= ; dans le cas (3) également isostatique : IE3 LR )L(v 3 A 3 =

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